2020广东省高考数学试卷(文科)

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2020年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅱ)(含解析版)

2020年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅱ)(含解析版)

2020年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅱ)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.(5分)已知集合A={x||x|<3,x∈Z},B={x||x|>1,x∈Z},则A∩B=()A.∅B.{﹣3,﹣2,2,3}C.{﹣2,0,2}D.{﹣2,2}2.(5分)(1﹣i)4=()A.﹣4B.4C.﹣4i D.4i3.(5分)如图,将钢琴上的12个键依次记为a1,a2,…,a12.设1≤i<j<k≤12.若k﹣j=3且j﹣i=4,则a i,a j,a k为原位大三和弦;若k﹣j=4且j﹣i=3,则称a i,a j,a k为原位小三和弦.用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为()A.5B.8C.10D.154.(5分)在新冠肺炎疫情防控期间,某超市开通网上销售业务,每天能完成1200份订单的配货,由于订单量大幅增加,导致订单积压.为解决困难,许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货,预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成50份订单的配货,为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95,则至少需要志愿者()A.10名B.18名C.24名D.32名5.(5分)已知单位向量,的夹角为60°,则在下列向量中,与垂直的是()A .B.2+C .﹣2D.2﹣6.(5分)记S n为等比数列{a n}的前n项和.若a5﹣a3=12,a6﹣a4=24,则=()A.2n﹣1B.2﹣21﹣n C.2﹣2n﹣1D.21﹣n﹣17.(5分)执行如图的程序框图,若输入的k=0,a=0,则输出的k为()A.2B.3C.4D.58.(5分)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线2x﹣y﹣3=0的距离为()A .B .C .D .9.(5分)设O为坐标原点,直线x=a与双曲线C :﹣=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D,E 两点.若△ODE的面积为8,则C的焦距的最小值为()A.4B.8C.16D.3210.(5分)设函数f(x)=x3﹣,则f(x)()A.是奇函数,且在(0,+∞)单调递增B.是奇函数,且在(0,+∞)单调递减C.是偶函数,且在(0,+∞)单调递增D.是偶函数,且在(0,+∞)单调递减11.(5分)已知△ABC 是面积为的等边三角形,且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π,则O到平面ABC的距离为()A .B .C.1D .12.(5分)若2x﹣2y<3﹣x﹣3﹣y,则()A.ln(y﹣x+1)>0B.ln(y﹣x+1)<0C.ln|x﹣y|>0D.ln|x﹣y|<0二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

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绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题目时,选出每小题答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,在选涂其它答案标号框.回答非选择题目时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题目:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ={x ||x |<3,x ∈Z },B ={x ||x |>1,x ∈Z },则A ∩B =()A. B.{–3,–2,2,3)C.{–2,0,2} D.{–2,2}【答案】D 【解析】【分析】解绝对值不等式化简集合,A B 的表示,再根据集合交集的定义进行求解即可.【详解】因为3,2,1,0,1,2A x x x Z ,1,1B x x x Z x x 或 1,x x Z ,所以 2,2A B ∩.故选:D.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法,考查集合交集的定义,属于基础题.2.(1–i )4=()A.–4B.4C.–4iD.4i【答案】A【解析】【分析】根据指数幂的运算性质,结合复数的乘方运算性质进行求解即可.【详解】422222(1)[(1)](12)(2)4i i i i i .故选:A.【点睛】本题考查了复数的乘方运算性质,考查了数学运算能力,属于基础题.3.如图,将钢琴上的12个键依次记为a 1,a 2,…,a 12.设1≤i <j <k ≤12.若k –j =3且j –i =4,则称a i ,a j ,a k 为原位大三和弦;若k –j =4且j –i =3,则称a i ,a j ,a k 为原位小三和弦.用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为()A.5B.8C.10D.15【答案】C 【解析】【分析】根据原位大三和弦满足3,4k j j i ,原位小三和弦满足4,3k j j i 从1i 开始,利用列举法即可解出.【详解】根据题意可知,原位大三和弦满足:3,4k j j i .∴1,5,8i j k ;2,6,9i j k ;3,7,10i j k ;4,8,11i j k ;5,9,12i j k .原位小三和弦满足:4,3k j j i .∴1,4,8i j k ;2,5,9i j k ;3,6,10i j k ;4,7,11i j k ;5,8,12i j k .故个数之和为10.故选:C .【点睛】本题主要考查列举法的应用,以及对新定义的理解和应用,属于基础题.4.在新冠肺炎疫情防控期间,某超市开通网上销售业务,每天能完成1200份订单配货,由于订单量大幅增加,导致订单积压.为解决困难,许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货,预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05,志愿者每人每天能完成50份订单的配货,为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95,则至少需要志愿者()A.10名B.18名C.24名D.32名【答案】B 【解析】【分析】算出第二天订单数,除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.【详解】由题意,第二天新增订单数为50016001200900 ,故需要志愿者9001850名.故选:B【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用,属于基础题.5.已知单位向量a ,b 的夹角为60°,则在下列向量中,与b 垂直的是()A.a +2bB.2a +bC.a –2bD.2a –b【答案】D 【解析】【分析】根据平面向量数量积的定义、运算性质,结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可.【详解】由已知可得:11cos 601122a b a b .A :因为215(2)221022a b b a b b ,所以本选项不符合题意;B :因为21(2)221202a b b a b b ,所以本选项不符合题意;C :因213(2)221022a b b a b b ,所以本选项不符合题意;D:因为21(2)22102a b b a b b ,所以本选项符合题意.故选:D.【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义和运算性质,考查了两平面向量数量积为零则这两个平面向量互相垂直这一性质,考查了数学运算能力.6.记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若a 5–a 3=12,a 6–a 4=24,则nnS a =()A.2n –1 B.2–21–n C.2–2n –1D.21–n –1【答案】B 【解析】【分析】根据等比数列的通项公式,可以得到方程组,解方程组求出首项和公比,最后利用等比数列的通项公式和前n 项和公式进行求解即可.【详解】设等比数列的公比为q ,由536412,24a a a a 可得:421153111122124a q a q q a a q a q ,所以1111(1)122,21112n nn n n n n a q a a qS q ,因此1121222n n n n n S a .故选:B.【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的基本量计算,考查了等比数列前n 项和公式的应用,考查了数学运算能力.7.执行右面的程序框图,若输入的k =0,a =0,则输出的k 为()A.2B.3C.4D.5【答案】C 【解析】分析】由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出的k 值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,即可求得答案.【详解】由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出的k 值模拟程序的运行过程0,0k a 第1次循环,2011a ,011k ,210 为否第2次循环,2113a ,112k ,310 为否第3次循环,2317a ,213k ,710 为否第4次循环,27115a ,314k ,1510 为是退出循环输出4k .故选:C.【点睛】本题考查求循环框图的输出值,解题关键是掌握模拟循环语句运行的计算方法,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.8.若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线230x y 的距离为()A.55B.255C.355D.455【答案】B 【解析】【分析】由题意可知圆心在第一象限,设圆心的坐标为 ,,0a a a ,可得圆的半径为a ,写出圆的标准方程,利用点 2,1在圆上,求得实数a 的值,利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线230x y 的距离.【详解】由于圆上的点 2,1在第一象限,若圆心不在第一象限,则圆与至少与一条坐标轴相交,不合乎题意,所以圆心必在第一象限,设圆心的坐标为,a a ,则圆的半径为a ,圆的标准方程为 222x a y a a .由题意可得 22221a a a ,可得2650a a ,解得1a 或5a ,所以圆心的坐标为 1,1或 5,5,圆心到直线230x y 的距离均为22555d;所以,圆心到直线230x y 的距离为255.故选:B.【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算,求出圆的方程是解题的关键,考查计算能力,属于中等题.9.设O 为坐标原点,直线x a 与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b的两条渐近线分别交于,D E 两点,若ODE 的面积为8,则C 的焦距的最小值为()A.4B.8C.16D.32【答案】B 【解析】【分析】因为2222:1(0,0)x y C a b a b ,可得双曲线的渐近线方程是b y x a,与直线x a 联立方程求得D ,E 两点坐标,即可求得||ED ,根据ODE 的面积为8,可得ab 值,根据2222c a b ,结合均值不等式,即可求得答案.【详解】∵2222:1(0,0)x y C a b a b双曲线的渐近线方程是by x a∵直线x a 与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b的两条渐近线分别交于D ,E 两点不妨设D 为在第一象限,E 在第四象限联立x ab y x a,解得x a y b故(,)D a b 联立x ab y x a,解得x a y b故(,)E a b ||2ED bODE 面积为:1282ODE S a b ab△∵双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b其焦距为2222222168c a b ab 当且仅当22a b 取等号C 的焦距的最小值:8【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题,解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法,在使用均值不等式求最值时,要检验等号是否成立,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.10.设函数331()f x x x,则()f x ()A.是奇函数,且在(0,+∞)单调递增 B.是奇函数,且在(0,+∞)单调递减C.是偶函数,且在(0,+∞)单调递增 D.是偶函数,且在(0,+∞)单调递减【答案】A 【解析】【分析】根据函数的解析式可知函数的定义域为0x x ,利用定义可得出函数 f x 为奇函数,再根据函数的单调性法则,即可解出.【详解】因为函数 331f x x x定义域为 0x x ,其关于原点对称,而 f x f x ,所以函数 f x 为奇函数.又因为函数3y x 在()0,+¥上单调递增,在(),0-¥上单调递增,而331y x x在()0,+¥上单调递减,在(),0-¥上单调递减,所以函数 331f x x x在()0,+¥上单调递增,在(),0-¥上单调递增.故选:A .【点睛】本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质,属于基础题.11.已知△ABC 是面积为934的等边三角形,且其顶点都在球O 的球面上.若球O 的表面积为16π,则O 到平面ABC 的距离为()A.3B.32C.1D.32【答案】C【分析】根据球O 的表面积和ABC 的面积可求得球O 的半径R 和ABC 外接圆半径r ,由球的性质可知所求距离22d R r.【详解】设球O 的半径为R ,则2416R ,解得:2R .设ABC 外接圆半径为r ,边长为a ,ABC ∵ 是面积为934的等边三角形,21393224a ,解得:3a ,22229933434a r a ,球心O 到平面ABC 的距离22431d R r .故选:C.【点睛】本题考查球的相关问题的求解,涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用;解题关键是明确球的性质,即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面.12.若2233x y x y ,则()A.ln(1)0y x B.ln(1)0y x C.ln ||0x y D.ln ||0x y 【答案】A 【解析】【分析】将不等式变为2323x x y y ,根据 23t tf t 的单调性知x y ,以此去判断各个选项中真数与1的大小关系,进而得到结果.【详解】由2233x y x y 得:2323x x y y ,令 23ttf t ,2x y ∵为R 上的增函数,3x y 为R 上的减函数, f t 为R 上的增函数,x y ,0y x Q ,11y x , ln 10y x ,则A 正确,B 错误;x y Q 与1的大小不确定,故CD 无法确定.故选:A.【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题,解题关键是能够通过构造函数的方式,利用函数的单调性得到,x y 的大小关系,考查了转化与化归的数学思想.二、填空题目:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若2sin 3x ,则cos 2x __________.【答案】19【解析】【分析】直接利用余弦的二倍角公式进行运算求解即可.【详解】22281cos 212sin 12()1399x x .故答案为:19.【点睛】本题考查了余弦的二倍角公式的应用,属于基础题.14.记n S 为等差数列 n a 的前n 项和.若1262,2a a a ,则10S __________.【答案】25【解析】【分析】因为 n a 是等差数列,根据已知条件262a a ,求出公差,根据等差数列前n 项和,即可求得答案.【详解】∵ n a 是等差数列,且12a ,262a a 设 n a 等差数列的公差d根据等差数列通项公式: 11n a a n d 可得1152a d a d 即: 2252d d 整理可得:66d 解得:1d∵根据等差数列前n 项和公式:*1(1),2n n n S na d n N可得: 1010(101)1022045252S1025S .故答案为:25.【点睛】本题主要考查了求等差数列的前n 项和,解题关键是掌握等差数列的前n 项和公式,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.15.若x ,y 满足约束条件1121,x y x y x y,,则2z x y 的最大值是__________.【答案】8【解析】【分析】在平面直角坐标系内画出不等式组表示的平面区域,然后平移直线12y x ,在平面区域内找到一点使得直线1122y x z在纵轴上的截距最大,求出点的坐标代入目标函数中即可.【详解】不等式组表示的平面区域为下图所示:平移直线12y x,当直线经过点A 时,直线1122y x z 在纵轴上的截距最大,此时点A 的坐标是方程组121x y x y的解,解得:23x y,因此2z x y 的最大值为:2238 .故答案为:8.【点睛】本题考查了线性规划的应用,考查了数形结合思想,考查数学运算能力.16.设有下列四个命题:p 1:两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.p 2:过空间中任意三点有且仅有一个平面.p 3:若空间两条直线不相交,则这两条直线平行.p 4:若直线l 平面α,直线m ⊥平面α,则m ⊥l .则下述命题中所有真命题的序号是__________.①14p p ②12p p ③23p p ④34p p 【答案】①③④【解析】【分析】利用两交线直线确定一个平面可判断命题1p 的真假;利用三点共线可判断命题2p 的真假;利用异面直线可判断命题3p 的真假,利用线面垂直的定义可判断命题4p 的真假.再利用复合命题的真假可得出结论.【详解】对于命题1p ,可设1l 与2l 相交,这两条直线确定的平面为 ;若3l 与1l 相交,则交点A 在平面 内,同理,3l 与2l 的交点B 也在平面 内,所以,AB ,即3l ,命题1p 真命题;对于命题2p ,若三点共线,则过这三个点的平面有无数个,命题2p 为假命题;对于命题3p ,空间中两条直线相交、平行或异面,命题3p 为假命题;对于命题4p ,若直线m 平面 ,则m 垂直于平面 内所有直线,∵直线l 平面 , 直线m 直线l ,命题4p 为真命题.综上可知,14p p 为真命题,12p p 为假命题,23p p 为真命题,34p p 为真命题.故答案为:①③④.【点睛】本题考查复合命题的真假,同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断,考查推理能力,属于中等题.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知25cos ()cos 24A A .(1)求A ;(2)若33b c a,证明:△ABC 是直角三角形.【答案】(1)3A;(2)证明见解析【解析】【分析】(1)根据诱导公式和同角三角函数平方关系,25cos cos 24A A可化为251cos cos 4A A,即可解出;(2)根据余弦定理可得222b c a bc ,将33b c a 代入可找到,,a b c 关系,再根据勾股定理或正弦定理即可证出.【详解】(1)因为25cos cos 24A A,所以25sin cos 4A A ,即251cos cos 4A A ,解得1cos 2A ,又0A ,所以3A;(2)因为3A ,所以2221cos 22b c a A bc ,即222b c a bc ①,又33b c a②,将②代入①得, 2223b c b c bc ,即222250b c bc ,而b c ,解得2b c ,所以3a c,故222b a c ,即ABC 是直角三角形.【点睛】本题主要考查诱导公式和平方关系的应用,利用勾股定理或正弦定理,余弦定理判断三角形的形状,属于基础题.18.某沙漠地区经过治理,生态系统得到很大改善,野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量,将其分成面积相近的200个地块,从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区,调查得到样本数据(x i ,y i )(i =1,2,…,20),其中x i 和y i 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位:公顷)和这种野生动物的数量,并计算得20160i ix,2011200i iy,2021)80i i x x (,2021)9000i i y y (,201))800i i i x y x y ((.(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数);(2)求样本(x i ,y i )(i =1,2,…,20)的相关系数(精确到0.01);(3)根据现有统计资料,各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计,请给出一种你认为更合理的抽样方法,并说明理由.附:相关系数r =12211))))ni iiiin ni i x y x x y y y x((((,2=1.414.【答案】(1)12000;(2)0.94;(3)详见解析【解析】【分析】(1)利用野生动物数量的估计值等于样区野生动物平均数乘以地块数,代入数据即可;(2)利用公式20120202211()()()()iii iii i x x yy r x x yy计算即可;(3)各地块间植物覆盖面积差异较大,为提高样本数据的代表性,应采用分层抽样.【详解】(1)样区野生动物平均数为201111200602020i i y ,地块数为200,该地区这种野生动物的估计值为2006012000 (2)样本(,)i i x y 的相关系数为20120202211()()800220.943809000()()iii i i i i x x y y r x x y y(3)由于各地块间植物覆盖面积差异较大,为提高样本数据的代表性,应采用分层抽样先将植物覆盖面积按优中差分成三层,在各层内按比例抽取样本,在每层内用简单随机抽样法抽取样本即可.【点晴】本题主要考查平均数的估计值、相关系数的计算以及抽样方法的选取,考查学生数学运算能力,是一道容易题.19.已知椭圆C 1:22221x y a b(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合,C 1的中心与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴重直的直线交C 1于A ,B 两点,交C 2于C ,D 两点,且|CD |=43|AB |.(1)求C 1的离心率;(2)若C 1的四个顶点到C 2的准线距离之和为12,求C 1与C 2的标准方程.【答案】(1)12;(2)1C :2211612x y ,2C :28y x .【解析】【分析】(1)根据题意求出2C 的方程,结合椭圆和抛物线的对称性不妨设,A C 在第一象限,运用代入法求出,,,A B C D 点的纵坐标,根据4||||3CD AB ,结合椭圆离心率的公式进行求解即可;(2)由(1)可以得到椭圆的标准方程,确定椭圆的四个顶点坐标,再确定抛物线的准线方程,最后结合已知进行求解即可;【详解】解:(1)因为椭圆1C 的右焦点坐标为:(c,0)F ,所以抛物线2C 的方程为24y cx ,其中22c a b.不妨设,A C 在第一象限,因为椭圆1C 的方程为:22221x y a b,所以当x c 时,有222221c y b y a b a ,因此,A B 的纵坐标分别为2b a ,2ba;又因为抛物线2C 的方程为24y cx ,所以当x c 时,有242y c c y c ,所以,C D 的纵坐标分别为2c ,2c ,故22||bAB a,||4CD c .由4||||3CD AB 得2843b c a,即2322()c c a a ,解得2c a (舍去),12c a .所以1C 的离心率为12.(2)由(1)知2a c ,3b c ,故22122:143x y C c c,所以1C 的四个顶点坐标分别为(2,0)c ,(2,0)c ,(0,3)c ,(0,3)c ,2C 的准线为x c .由已知得312c c c c ,即2c .所以1C 的标准方程为2211612x y ,2C 的标准方程为28y x .【点睛】本题考查了求椭圆的离心率,考查了求椭圆和抛物线的标准方程,考查了椭圆的四个顶点的坐标以及抛物线的准线方程,考查了数学运算能力.20.如图,已知三棱柱ABC –A 1B 1C 1的底面是正三角形,侧面BB 1C 1C 是矩形,M ,N 分别为BC ,B 1C 1的中点,P 为AM 上一点.过B 1C 1和P 的平面交AB 于E ,交AC 于F .(1)证明:AA 1//MN ,且平面A 1AMN ⊥平面EB 1C 1F ;(2)设O 为△A 1B 1C 1的中心,若AO =AB =6,AO //平面EB 1C 1F ,且∠MPN =π3,求四棱锥B –EB 1C 1F 的体积.【答案】(1)证明见解析;(2)24.【解析】【分析】(1)由,M N 分别为BC ,11B C 的中点,1//MN CC ,根据条件可得11//AA BB ,可证1MN AA //,要证平面11EB C F 平面1A AMN ,只需证明EF 平面1A AMN 即可;(2)根据已知条件求得11EB C F S 四边形和M 到PN 的距离,根据椎体体积公式,即可求得11B EB C F V .【详解】(1)∵,M N 分别为BC ,11B C 的中点,1//MN BB 又11//AA BB1//MN AA 在等边ABC 中,M 为BC 中点,则BC AM 又∵侧面11BB C C 为矩形,1BC BB 1//MN BB ∵MN BC由MN AM M ,,MN AM 平面1A AMNBC ⊥平面1A AMN又∵11//B C BC ,且11B C 平面ABC ,BC 平面ABC ,11//B C 平面ABC又∵11B C 平面11EB C F ,且平面11EB C F 平面ABC EF11//B C EF//EF BC又BC ∵平面1A AMNEF 平面1A AMN EF ∵平面11EB C F 平面11EB C F 平面1A AMN(2)过M 作PN 垂线,交点为H ,画出图形,如图∵//AO 平面11EB C FAO 平面1A AMN ,平面1A AMN 平面11EB C F NP//AO NP又∵//NO AP6AO NP ∵O 为111A B C △的中心.1111sin 606sin 60333ON A C故:3ON AP,则333AM AP ,∵平面11EB C F 平面1A AMN ,平面11EB C F 平面1A AMN NP ,MH 平面1A AMNMH 平面11EB C F又∵在等边ABC 中EF APBC AM即36233AP BC EF AM由(1)知,四边形11EB C F 为梯形四边形11EB C F 的面积为:111126=62422EB C F EF B C S NP 四边形111113B EBC F EB C F V S h 四边形,h 为M 到PN 的距离23sin 603MH , 1243243V .【点睛】本题主要考查了证明线线平行和面面垂直,及其求四棱锥的体积,解题关键是掌握面面垂直转为求证线面垂直的证法和棱锥的体积公式,考查了分析能力和空间想象能力,属于中档题.21.已知函数f (x )=2ln x +1.(1)若f (x )≤2x +c ,求c 的取值范围;(2)设a >0时,讨论函数g (x )=()()f x f a x a的单调性.【答案】(1)1c ;(2)()g x 在区间(0,)a 和(,)a 上单调递减,没有递增区间【解析】【分析】(1)不等式()2f x x c 转化为()20f x x c ,构造新函数,利用导数求出新函数的最大值,进而进行求解即可;(2)对函数()g x 求导,把导函数()g x 分子构成一个新函数()m x ,再求导得到()m x ,根据()m x 的正负,判断()m x 的单调性,进而确定()g x 的正负性,最后求出函数()g x 的单调性.【详解】(1)函数()f x 的定义域为:(0,)()2()202ln 120()f x x c f x x c x x c ,设()2ln 12(0)h x x x c x ,则有22(1)()2x h x x x,当1x 时,()0,()h x h x 单调递减,当01x 时,()0,()h x h x 单调递增,所以当1x 时,函数()h x 有最大值,即max ()(1)2ln11211h x h c c ,要想不等式() 在(0,) 上恒成立,只需max ()0101h x c c ;(2)2ln 1(2ln 1)2(ln ln )()(0x a x a g x x x a x a且)x a 因此22(ln ln )()()x a x x x a g x x x a ,设()2(ln ln )m x x a x x x a ,则有()2(ln ln )m x a x ,当x a 时,ln ln x a ,所以()0m x ,()m x 单调递减,因此有()()0m x m a ,即()0g x ,所以()g x 单调递减;当0x a 时,ln ln x a ,所以()0m x ,()m x 单调递增,因此有()()0m x m a ,即()0g x ,所以()g x 单调递减,所以函数()g x 在区间(0,)a 和(,)a 上单调递减,没有递增区间.【点睛】本题考查了利用导数研究不等式恒成立问题,以及利用导数判断含参函数的单调性,考查了数学运算能力,是中档题.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中选定一题作答,并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑.按所涂题号进行评分,不涂、多涂均按所答第一题评分;多答按所答第一题评分.[选修4—4:坐标系与参数方程]22.已知曲线C 1,C 2的参数方程分别为C 1:224cos 4sin x y ,(θ为参数),C 2:1,1x t t y t t(t 为参数).(1)将C 1,C 2的参数方程化为普通方程;(2)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C 1,C 2的交点为P ,求圆心在极轴上,且经过极点和P 的圆的极坐标方程.【答案】(1)1:4C x y ;222:4C x y ;(2)17cos 5.【解析】【分析】(1)分别消去参数 和t 即可得到所求普通方程;(2)两方程联立求得点P ,求得所求圆的直角坐标方程后,根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程.【详解】(1)由22cos sin 1 得1C 的普通方程为:4x y ;由11x t t y t t 得:2222221212x t t y t t,两式作差可得2C 的普通方程为:224x y .(2)由2244x y x y 得:5232x y ,即53,22P ;设所求圆圆心的直角坐标为 ,0a ,其中0a ,则22253022a a,解得:1710a , 所求圆的半径1710r , 所求圆的直角坐标方程为:22217171010x y ,即22175x y x , 所求圆的极坐标方程为17cos 5.【点睛】本题考查极坐标与参数方程的综合应用问题,涉及到参数方程化普通方程、直角坐标方程化极坐标方程等知识,属于常考题型.[选修4—5:不等式选讲]23.已知函数2()|21|f x x a x a .(1)当2a 时,求不等式()4f x 的解集;(2)若()4f x ,求a 的取值范围.【答案】(1)32x x或112x;(2) ,13, .【解析】【分析】(1)分别在3x 、34x 和4x 三种情况下解不等式求得结果;(2)利用绝对值三角不等式可得到 21f x a ,由此构造不等式求得结果.【详解】(1)当2a 时, 43f x x x .当3x 时, 43724f x x x x ,解得:32x ≤;当34x 时, 4314f x x x ,无解;当4x 时, 43274f x x x x ,解得:112x;综上所述: 4f x 的解集为32x x或112x .(2) 22222121211f x x a x a x ax a a a a (当且仅当221a x a 时取等号), 214a ,解得:1a 或3a ,a 的取值范围为 ,13, .【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题,属于常考题型.祝福语祝你马到成功,万事顺意!。

2020年广东省高考数学(文科)模拟试卷(6)

2020年广东省高考数学(文科)模拟试卷(6)

上位于第一象限内的点,延长 PF 2 交椭圆于点 Q.若△ PF1Q 是等腰直角三角形且 PF1
为斜边,则椭圆 C 的离心率为(

A .√6 - √3
B .√2 - 1
C. √3 - √2
D. 2- √2
7.( 5 分)已知函数 ??(??=) √3??????-??????????>??0(?)?的最小正周期为 2π,则 f( x)的单调
从数列的前 2024 项中随机抽取 1 项,能被 3 整除的概率是(

1 A.
4
1 B.
3
2 C.
3
1 D.
2
→→
9.( 5 分)已知菱形 ABCD 边长为 1,∠ BAD = 60°,则 ?????????= ( )
1 A.
2
10.( 5 分)已知函数
1 B.- 2
√3 C.
2
√3 D.- 2
f( x)= x3﹣x 和点 P( 1,﹣ 1),则过点 P 与该函数图象相切的直线
23.已知函数 f( x)= |x+2|+|2x﹣ 3|.
( 1)求不等式 f( x)> 6 的解集;
( 2)若函数 f( x)的最小值为
m,正实数
a, b 满足
a2+
??2 9
= m,证明:
1 +
??
3 ≥ 4 √7 . ?? 7
第 5页(共 19页)
2020 年广东省高考数学(文科)模拟试卷( 6)
条数为(

A .1
B.2
C. 3
D.4
11.(5 分)一个空间几何体的正视图是长为 4,宽为 √3的长方形,侧视图是边长为

广东省湛江市2020届高三普通高考测试(一)数学(文)试题含答案

广东省湛江市2020届高三普通高考测试(一)数学(文)试题含答案

绝密★启用前湛江市2020年普通高考测试(一)文科数学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。

回答非选择题时,将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.已知集合A={2,3,5,7,11},B={x|x2>9},则A∩B=A. {3,5,7,11}B. {7,11}C.{11}D. {5,7,11}2.已知子是复数z的共轭复数当z=|1+i1−i |+1+i1−i(i是虚数单位)时,z•z̅A.1B.√2C.2D. 2√23.已知a=613,b=log22√2,c=1.22,则a,b,c的大小关系是A .b>c>aB.a>c>bC.a>b>cD .b>a>c4.在中国园林建筑中,花窗是建筑中窗的一种装饰和美化的形式,既具备实用功能,又带有装饰效果,体现了人们对美好生活的憧憬.苏州园林作为中国园林建筑的代表,在很多亭台楼阁中都采用了花窗的形式,右图就是其中之一.该花窗外框是边长为80cm的正方形,正中间有一个半径为20cm的园,如果窗框的宽度忽咯不计,将一个小球(半径足够小)随机投花窗上,则小球恰好从圆中穿过的概率为A.π6B.π8C.π16D.π325.已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和.若S 15=45,则5a 5−3a 3的值为A.6B.15C.34D.176.已知函数f(x)={a +In x,x >12x ,x ≤1若f(x)在R 上为增函数,则实数a 的取值范围是 A . [2,+∞)B. [0,2]C. (2,+∞)D. (-∞,2]7. 已知a =(2,−6),b =(3,1),则向量a +b 在b 方向上的投影为A.−6B.−√10C.√2D.√108. 已知α,β是两个不同的平面,直线a,b 满足a ⊂α,b ⊂α,则“a//β且b//β”是“α//β”成立的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件9.函数y =f(x +1)为奇函数,且在R 上为减函数若f(2)=−1,则满足−1≤f(x −1)≤1的x 的取值范围是A.[-1,1]B.[1,3]C.[0,2]D.[2,4]是10. 在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中,AA 1⊥平面ABC .若所有的棱长都2,则异面直线AC 1与BC 所成的角的正弦值为11.如图,F 1,F 2是双曲线l :x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点,过F 1的直线与双曲线左、右两支分别交于点P,Q .若F 1Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =5F1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,M 为PQ 的中点,且F 1Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则双曲线的离心率为12.已知π6,2π3为函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的图象与x 轴的两个相邻交点的横坐标,将f(x)的图象向左平移π4个单位得到g(x)的图象,A,B,C 为两个函数图象的交点,则△ABC 面积的最小值为二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分13. 一组样本数据10,23,12,5,9,a,21,b,22的平均数为16,中位数为21,则a −b =14已知实数x,y 满足{x −y ≤05x +y −10≥0x +y −6≤0,则实数z =−x −2y 的最大值为15. 已知S n 为数列{a n }的前n 项和,且S n +2a n =2(n ∈N +)则a n =16.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,F 是抛物线C:y 2=x 的焦点,过F 的直线与抛物线交于A,B 两点若|AB|=2,则△OAB 的面积为三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考 题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答(一)必考题:共60分.17.(12分)如图,在△ABC 中,BD 是AC 边上的高,E 为AB 边上一点,CE 与BD交于点O,∠BOC=135°,CD=1,DE=√5(1)求∠BDE 的正弦值;(2)若BO⃗⃗⃗⃗⃗ =2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,求△ADE 的面积. 18.(12分)如图,在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中,侧面AA 1C 1C ⊥底面ABC,E 为CC 1的中点,AF =2FB(1)求证:BC 1∥平面A 1EF ;(2)若AC =AA 1=2,AB =BC =√2,∠A 1AC =60°,求四棱锥C 1−BFA 1B 1的体积19.(12分)我国全面二孩政策已于2016年1月1日起正式实施.国家统计局发布的数据显示,从2012年到2017年,中国的人口自然增长率变化始终不大,在5‰上下波动(如图)为了了解年龄介于24岁至50岁之间的适孕夫妻对生育二孩的态度如何,统计部门按年龄分为9组,每组选取150对夫妻进行调查统计有生育二孩意愿的夫妻数,得到下表:(1)设每个年龄区间的中间值为x ,有意愿数为y ,求样本数据的线性回归直线方程,并求该模型的相关系数r(结果保留两位小数)(2)从[24,26],[33,35],[39,41],[45,47],[48,50]这五个年龄段中各选出一对夫妻(能代表该年龄段超过半数夫妻的意愿)进一步调研,再从这5对夫妻中任选2对夫妻.求其中恰有一对不愿意生育二孩的夫妻的概率。

2020年广东省高考文科数学考前最后一卷及答案解析

2020年广东省高考文科数学考前最后一卷及答案解析

2020年广东省高考文科数学考前最后一卷一.选择题(共12小题,满分60分,每小题5分) 1.(5分)若复数z 满足(1﹣2i )z =2+i ,则|z |=( ) A .25B .1C .√415D .√412.(5分)已知集合U =R ,A ={x |﹣2≤x ≤2,x ∈Z },B ={﹣1,1},则∁U (A ∩B )=( ) A .(﹣1,1)B .(﹣∞,﹣1)∪(﹣1,1)∪(1,+∞)C .(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞)D .(﹣∞,﹣2)∪(﹣1,0)∪(0,1)∪(2,+∞) 3.(5分)若a =212,b =ln2,c =lg 12,则有( ) A .a >b >cB .b >a >cC .c >b >aD .b >c >a4.(5分)古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是√5−12(√5−12≈0.618,称为黄金分割比例),著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是√5−12.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105cm ,头顶至脖子下端的长度为26cm ,则其身高可能是( )A .165cmB .175cmC .185cmD .190cm5.(5分)将函数y =2cos(2x +π6)的图象向左平移π6个单位得到函数f (x ),则函数y =f(x)xsinx 的图象大致为( )A .B .C .D .6.(5分)某校高三年级有1221名同学,现采用系统抽样方法抽取37名同学做问卷调查,将1221名同学按1,2,3,4,…,1221随机编号,则抽取的37名同学中,标号落入区间[496,825]的人数有( ) A .12人B .11人C .10人D .9人7.(5分)tan255°=( ) A .﹣2−√3B .﹣2+√3C .2−√3D .2+√38.(5分)已知O 、A 、B 为平面内三点,满足|OA →|=|OB →|=5,点C 在直线AB 上,且|OC →|min =3,则|tOA →+OB →|(t ∈R)的最小值为( ) A .245B .4C .165D .1259.(5分)明朝数学家程大位将“孙子定理”(也称“中国剩余定理”)编成易于上口的《孙子口诀》:三人同行七十稀,五树梅花廿一支,七子团圆正半月,除百零五便得知.已知正整数n 被3除余2,被5除余3,被7除余4,求n 的最小值.按此口诀的算法如图,则输出n 的结果为( )。

2020年高考试题——数学(文)(全国卷II)

2020年高考试题——数学(文)(全国卷II)

2020年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷Ⅱ)数学试卷(文科)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={x|x|<3,x∈Z},B={x||x|>1,x∈Z},则A∩B=A.∅B.{-3,-2,2,3}C.{-2,0,2}D.{-2,2}2.(1-i)4=A.-4B.4C.-4iD.4i3.如图,将钢琴上的12个键依次记为a1,a2,…a12,设1≤i≤j≤k≤12。

若k-j=3且j-i=4,则称a i,a j,a k为原位大三和弦;若k-j=4且j-i=3,则称a i,a j,a k为原位小三和弦。

用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为A.5B.8C.10D.154.在新冠肺炎疫情防控期间,某超市开通网上销售业务,每天能完成1200份订单的配货,由于订单量大幅增加,导致订单积压,为解决困难,许多志愿者踊跃报名参加配货工作。

已知该超市某日积压500份订单未配货,预计第二天新订单是1600份的概率为0.05,志愿者每人每天能完成50份订单的配货,为使第二天积压订单及当日订单配货的概率不小于0.95,则至少需要志愿者A.10名B.18名C.24名D.32名5.已知单位向量a,b的夹角为60°,则下列向量中,与b垂直的是A.a+2bB.2a+bC.a-2bD.2a-b6.记S n为等比数列{a n}的前n项和,若a5-a3=12,a6-a4=24,则nnSa=A.2n-1B.2-21-nC.2-2n-1D.21-n-17.执行右面的程序框图,若输入k=0,a=0,则输出的k为A.2B.3C.4D.58.若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线2x -y -3=0的距离为 525 35 459.设O 为坐标原点,直线x =a 与双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于D ,E 两点。

广东省高考数学(文)

广东省高考数学(文)

2020年广东省高考数学试卷(文科)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)(2013•广东)设集合S={x|x2+2x=0,x∈R},T={x|x2﹣2x=0,x∈R},则S∩T=()A .{0} B.{0,2} C.{﹣2,0} D.{﹣2,0,2}2.(5分)(2013•广东)函数的定义域是()A .(﹣1,+∞)B.[﹣1,+∞)C.(﹣1,1)∪(1,+∞)D.[﹣1,1)∪(1,+∞)3.(5分)(2013•广东)若i(x+yi)=3+4i,x,y∈R,则复数x+yi的模是()A .2 B.3 C.4 D.54.(5分)(2013•广东)已知,那么cosα=()A .B.C.D.5.(5分)(2013•广东)执行如图所示的程序框图,若输入n的值为3,则输出s的值是()A .1 B.2 C.4 D.76.(5分)(2013•广东)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是()A .B.C.D.17.(5分)(2013•广东)垂直于直线y=x+1且与圆x2+y2=1相切于第一象限的直线方程是()A .B.x+y+1=0 C.x+y﹣1=0 D.8.(5分)(2013•广东)设l为直线,α,β是两个不同的平面,下列命题中正确的是()A.若l∥α,l∥β,则α∥βB.若l⊥α,l⊥β,则α∥βC.若l⊥α,l∥β,则α∥βD.若α⊥β,l∥α,则l⊥β9.(5分)(2013•广东)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于,则C的方程是()A .B.C.D.10.(5分)(2013•广东)设是已知的平面向量且,关于向量的分解,有如下四个命题:①给定向量,总存在向量,使;②给定向量和,总存在实数λ和μ,使;③给定单位向量和正数μ,总存在单位向量和实数λ,使;④给定正数λ和μ,总存在单位向量和单位向量,使;上述命题中的向量,和在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是()A .1 B.2 C.3 D.4二、填空题:本大题共3小题.每小题5分,满分15分.(一)必做题(11~13题)11.(5分)(2013•广东)设数列{a n}是首项为1,公比为﹣2的等比数列,则a1+|a2|+a3+|a4|=.12.(5分)(2013•广东)若曲线y=ax2﹣lnx在点(1,a)处的切线平行于x轴,则a=_________.13.(5分)(2013•广东)已知变量x,y满足约束条件,则z=x+y的最大值是_________.选做题(14、15题,考生只能从中选做一题)14.(5分)(2013•广东)(坐标系与参数方程选做题)已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ.以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线C的参数方程为.15.(2013•广东)(几何证明选讲选做题)如图,在矩形ABCD中,,BC=3,BE⊥AC,垂足为E,则ED=_________.四、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(12分)(2013•广东)已知函数.(1)求的值;(2)若,求.17.(13分)(2013•广东)从一批苹果中,随机抽取50个,其重量(单位:克)的频数分布表如下:分组(重量)[80,85)[85,90)[90,95)[95,100)频数(个) 5 10 20 15(1)根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率;(2)用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个,其中重量在[80,85)的有几个?(3)在(2)中抽出的4个苹果中,任取2个,求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率.18.(13分)(2013•广东)如图1,在边长为1的等边三角形ABC中,D,E分别是AB,AC边上的点,AD=AE,F是BC的中点,AF与DE交于点G,将△ABF沿AF折起,得到如图2所示的三棱锥A﹣BCF,其中.(1)证明:DE∥平面BCF;(2)证明:CF⊥平面ABF;(3)当时,求三棱锥F﹣DEG的体积V F﹣DEG.19.(14分)(2013•广东)设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n,满足,且a2,a5,a14构成等比数列.(1)证明:;(2)求数列{a n}的通项公式;(3)证明:对一切正整数n,有.20.(14分)(2013•广东)已知抛物线C的顶点为原点,其焦点F(0,c)(c>0)到直线l:x﹣y﹣2=0的距离为,设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点.(1)求抛物线C的方程;(2)当点P(x0,y0)为直线l上的定点时,求直线AB的方程;(3)当点P在直线l上移动时,求|AF|•|BF|的最小值.21.(14分)(2013•广东)设函数f(x)=x3﹣kx2+x(k∈R).(1)当k=1时,求函数f(x)的单调区间;(2)当k<0时,求函数f(x)在[k,﹣k]上的最小值m和最大值M.参考答案与试题解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.ACDCC BABDB10.解:选项①,给定向量和,只需求得其向量差即为所求的向量,故总存在向量,使,故①正确;选项②,当向量,和在同一平面内且两两不共线时,向量,可作基底,由平面向量基本定理可知结论成立,故可知②正确;选项③,由题意必有和表示不共线且长度不定的向量,由于μ为正数,故+不能把向量任意表示出来,故③错误;选项④,因为λ和μ为正数,所以和代表与原向量同向的且有固定长度的向量,这就使得向量不一定能用两个单位向量的组合表示出来,故不一定能使成立,故④错误.故选B二、填空题:11.1512.13.5 14.15.四、解答题:16.解:(1)(2)∵,,∴.17.解:(1)苹果的重量在[90,95)的频率为.(2)重量在[80,85)的有个.(3)设这4个苹果中,重量在[80,85)段的有1个,编号为1.重量在[95,100)段的有3个,编号分别为2、3、4,从中任取两个,可能的情况有:(1,2)(1,3)(1,4)(2,3)(2,4)(3,4)共6种.设任取2个,重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的事件为A,则事件A包含有(1,2)(1,3)(1,4)共3种,所以18.解:(1)在等边三角形ABC中,AD=AE,∴,在折叠后的三棱锥A﹣BCF中也成立,∴DE∥BC.又∵DE⊄平面BCF,BC⊂平面BCF,∴DE∥平面BCF.(2)在等边三角形ABC中,F是BC的中点,所以AF⊥BC,即AF⊥CF ①,且.∵在三棱锥A﹣BCF中,,∴BC2=BF2+CF2,∴CF⊥BF②.又∵BF∩AF=F,∴CF⊥平面ABF.(3)由(1)可知GE∥CF,结合(2)可得GE⊥平面DFG.∴=.19.解:(1)当n=1时,,∵(2)当n≥2时,满足,且,∴,∴,∵a n>0,∴a n+1=a n+2,∴当n≥2时,{a n}是公差d=2的等差数列.∵a2,a5,a14构成等比数列,∴,,解得a2=3,由(1)可知,,∴a1=1∵a2﹣a1=3﹣1=2,∴{a n}是首项a1=1,公差d=2的等差数列.∴数列{a n}的通项公式a n=2n﹣1.(3)由(2)可得式=.∴20.解:(1)焦点F(0,c)(c>0)到直线l:x﹣y﹣2=0的距离,解得c=1 所以抛物线C的方程为x2=4y(2)设,由(1)得抛物线C的方程为,,所以切线PA,PB的斜率分别为,所以PA:①PB:②联立①②可得点P的坐标为,即,又因为切线PA的斜率为,整理得直线AB的斜率所以直线AB的方程为整理得,即因为点P(x0,y0)为直线l:x﹣y﹣2=0上的点,所以x0﹣y0﹣2=0,即y0=x0﹣2所以直线AB的方程为(3)根据抛物线的定义,有,所以=由(2)得x1+x2=2x0,x1x2=4y0,x0=y0+2所以=所以当时,|AF|•|BF|的最小值为21.解:f′(x)=3x2﹣2kx+1(1)当k=1时f′(x)=3x2﹣2x+1,∵△=4﹣12=﹣8<0,∴f′(x)>0,f(x)在R上单调递增.(2)当k<0时,f′(x)=3x2﹣2kx+1,其开口向上,对称轴,且过(0,1)(i)当,即时,f′(x)≥0,f(x)在[k,﹣k]上单调递增,从而当x=k时,f(x)取得最小值m=f(k)=k,当x=﹣k时,f(x)取得最大值M=f(﹣k)=﹣k3﹣k3﹣k=﹣2k3﹣k.(ii)当,即时,令f′(x)=3x2﹣2kx+1=0解得:,注意到k<x2<x1<0,∴m=min{f(k),f(x1)},M=max{f(﹣k),f(x2)},∵,∴f(x)的最小值m=f(k)=k,∵,∴f(x)的最大值M=f(﹣k)=﹣2k3﹣k.综上所述,当k<0时,f(x)的最小值m=f(k)=k,最大值M=f(﹣k)=﹣2k3﹣k解法2:(2)当k<0时,对∀x∈[k,﹣k],都有f(x)﹣f(k)=x3﹣kx2+x﹣k3+k3﹣k=(x2+1)(x﹣k)≥0,故f(x)≥f(k).f(x)﹣f(﹣k)=x3﹣kx2+x+k3+k3+k=(x+k)(x2﹣2kx+2k2+1)=(x+k)[(x﹣k)2+k2+1]≤0,故f(x)≤f(﹣k),而f(k)=k<0,f(﹣k)=﹣2k3﹣k>0.所以,f(x)min=f(k)=k.。

2020年广东省高考文科数学试题a卷[word]

2020年广东省高考文科数学试题a卷[word]

2020年广东省高考文科数学试题a 卷[word]数学〔文科〕本试卷共4页,总分值150分,考试时刻120分钟。

祝考试顺利本卷须知:1. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。

2. 选择题每题选出答案后,用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦洁净后,再选涂其他答案标号,答在试题卷上无效。

3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内,答在试题卷上无效。

4. 考试终止,请将本试题卷和答题卡一并上交。

参考公式:锥体的体积公式V=13Sh ,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高。

一、选择题:本大题共10小题,每题5分,总分值50分。

在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的。

1.全集U=R ,那么正确表示集合M={—1,0,1}和N={x 20x x +=关系的韦恩〔Venn 〕图是2.以下n 的取值中,使i n =1(i 是虚数单位)的是A .n=2 B. n=3 C. n=4 D. n=53.平面向量a =(x,1),b =(—x,x 2 ),那么向量a+bA .平行于x 轴 B.平行于第一、三象限的角平分线C.平行于y 轴D.平行于第二、四象限的角平分线4、假设函数()y f x =是函数()20y a ≠=a>,且a 1的反函数,且(2)1f =,那么()f x = A .2log x B .12x C . 12log x D .22x - 5、等比数列{}n a 的公比为正数,且23952a a a •=,2a =1,那么1a =A .12B .22C . 2D .26、给定以下四个命题:①假设一个平面内的两条直线与另外一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;②假设一个平面通过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;③垂直于同一直线的两条直线相互平行;④假设两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直。

2020年广东高考(文科)数学试题及答案

2020年广东高考(文科)数学试题及答案
15.曲线 的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为______________.
【答案】
【解析】
【分析】
设切线的切点坐标为 ,对函数求导,利用 ,求出 ,代入曲线方程求出 ,得到切线的点斜式方程,化简即可.
【详解】设切线的切点坐标为 ,
【详解】由图可得:函数图象过点 ,
将它代入函数 可得:
又 是函数 图象与 轴负半轴的第一个交点,
所以 ,解得:
所以函数 的最小正周期为
故选:C
【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力,还考查了三角函数周期公式,属于中档题.
8.设 ,则 ()
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据已知等式,利用指数对数运算性质即可得解
据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值,
联立直线方程: ,可得点A的坐标为: ,
据此可知目标函数的最大值为: .
故答案为:1.
【点睛】求线性目标函数z=ax+by(ab≠0)的最值,当b>0时,直线过可行域且在y轴上截距最大时,z值最大,在y轴截距最小时,z值最小;当b<0时,直线过可行域且在y轴上截距最大时,z值最小,在y轴上截距最小时,z值最大.
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 则 ()
A. B.
C. D.
2.若 ,则 ()
A.0B.1
C. D.2
3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥,以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()

广东省2020年高考文科数学模拟试题及答案(二)

广东省2020年高考文科数学模拟试题及答案(二)
②“∃x0∈R,使得x -x0>0”的否定是:“∀x∈R,均有x2-x<0”;
③命题“x2=4”是“x=-2”的充分不必要条件;
④p:a∈{a,b,c},q:{a}⊆{a,b,c},p且q为真命题.其中真命题的序号是________.(填写所有真命题的序号)
三、解答题(共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题,考生根据要求作答。)
(2)解:在左图中,∵四边形 是菱形, , ,
∴ ,且 ,
在右图中,连接 ,则 ,
∵ 为 的中点,
∴ .
19.(1)由茎叶图知
(2)因为m=81,a=80,所以M=81。
①由茎叶图知,女性试用者评分不小于81的有15个,男性试用者评分不小于81的有5个,
所以在40个样本数据中,评分不小于81的频率为
A.1B.2C.3D.4
二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分。)
13.等差数列 中, 且 , , 成等比数列,数列 前20项的和 ____
14.已知实数 , 满足约束条件 ,若 的最小值为3,则实数 ____
15.函数 的单调递增区间是________
16.给出下列四个命题:
①命题“若α=β,则cosα=cosβ”的逆否命题;
A.8B.4C. D.
3.“ ”是“直线 与圆 相切”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4.若非零向量 满足 ,则 的夹角为
A. B. C. D.
5.已知两条平行直线 , 之间的距离为1, 与圆 : 相切, 与 相交于 , 两点,则
A. B. C.3D.

2020年广东省高考数学一模试卷(文科)

2020年广东省高考数学一模试卷(文科)

高考数学一模试卷(文科)题号一二三总分得分一、选择题(本大题共12 小题,共 60.0 分)1. 已知会合 A={ x|x-1< 2} , B={ x|1< 2 x< 16} ,则 A∩B=()A. (-∞,8)B. (-∞,3)C. (0,8)D. (0,3)2. 复数 z= ( i 为虚数单位)的虚部为()A. B. C. D.3. 双曲线 9x2-16y2=1 的焦点坐标为()A. (±,0)B. (0,)C. (±5,0)D. (0,±5)4. 若sin)=,则cos2 α=)((A. B. C. D.5. 已知函数f x)在(-∞ +∞x [-2,1] f x =x2-2x-4,则(,)上单一递减,且当∈时,()对于 x 的不等式 f( x)< -1 的解集为()A. (-∞,-1)B. (-∞,3)C. (-1,3)D. (-1,+∞)6.某几何体的三视图以下图,则该几何体的体积为()A.3πB.4πC.6πD.8π7.履行如图的程序框图,挨次输入 x1=17 ,x2=19 ,x3=20 ,x4=21 ,x5=23,则输出的 S 值及其统计意义分别是()A. S=4,即5个数据的方差为 4B. S=4,即5个数据的标准差为 4C. S=20,即5个数据的方差为20D. S=20,即5个数据的标准差为208.△ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b,c,已知 cosC+ cosA=1,则 cosB 的取值范围为()A. ()B.[ )C. (,1)D. [,1)9. 已知 A, B, C 三点不共线,且点O知足 16 -12 -3 = ,则()A. =12 +3B. =12 -3C. =-12 +3D. =-12 -310. 古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比率理论时,提出了分线段的“中末比”问题:将一线段AB 分为两线段 AC, CB,使得此中较长的一段AC 是全长 AB与另一段 CB 的比率中项,即知足==≈ .后代把这个数称为黄金切割数,把点 C 称为线段 AB 的黄金切割点 .在△ABC 中,若点 P,Q 为线段 BC 的两个黄金切割点,在△ABC 内任取一点 M,则点 M 落在△APQ 内的概率为()A. B. -2 C. D.11. 已知 F 为抛物线 C:x2=4y 的焦点,直线y= x+1 与曲线 C 订交于 A,B 两点, O 为坐标原点,则S△OAB=()A. B. C. D. 212. 函数 f ( x) =( kx-2) lnx, g( x) =2ln x-x,若 f( x)< g( x)在( 1, +∞)上的解集中恰有两个整数,则k 的取值范围为()A. [1- , - )B. (1- , - ]C.[ - , 2- )D.(- , 2- ]二、填空题(本大题共 4 小题,共 20.0 分)13.f x)= f f 2 =______.已知函数(,则(())14. 设 x,y 知足拘束条件,则 z=2x+y 的最大值为 ______.15. 在三棱锥 P- ABC 中, AP,AB,AC 两两垂直,且 AP=AB=AC= ,则三棱锥 P-ABC的内切球的表面积为______.16.已知函数 f( x) =sin(ωx+ ) + (ω> 0),点 P, Q, R 是直线 y=m( m> 0)与函数 f( x)的图象自左至右的某三个相邻交点,且2|PQ|=|QR|=,则ω+m=______.三、解答题(本大题共7 小题,共82.0 分)17.设数列 { a n} 的前 n 项和为 S n, S n=1- a n( n∈N* ).( 1)求数列 { a n} 的通项公式;( 2)设 b n=log 2a n,求数列 {} 的前 n 项和 T n.18.在五面体 ABCDEF 中,四边形 CDEF 为矩形,CD=2DE =2AD =2AB=4 , AC=2,∠EAD=30°.(1)证明: AB⊥平面 ADE;(2)求该五面体的体积.19.某城市的公交企业为了方便市民出行,科学规划车辆投放,在一个人员密集流动地段增设一个起点站,为了研究车辆发车间隔时间x 与乘客等待人数 y 之间的关系,经过检查获得以下数据:间隔时间 /11 12 13 14 1510分等待人数 y/25 26 29 28 3123人检查小组先从这 6 组数据中选用 4 组数据求线性回归方程,再用剩下的 2 组数据进行查验.查验方法以下:先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等待人数,再求与实质等待人数y 的差,若差值的绝对值都不超出1,则称所求方程是“恰当回归方程”.( 1)从这 6 组数据中随机选用 4 组数据后,求剩下的 2 组数据的间隔时间不相邻的概率;( 2)若选用的是后边 4 组数据,求 y 对于 x 的线性回归方程= x+,并判断此方程是不是“适合回归方程”;(3)为了使等待的乘客不超出 35 人,试用( 2)中方程预计间隔时间最多能够设置为多少(精准到整数)分钟.附:对于一组数据(x1,y1),( x2,y2),,( x n,y n),其回归直线= x+ 的斜率和截距的最小二乘预计分别为:==,=.20.已知点(1,),()都在椭圆C:=1(a> b> 0)上.(1)求椭圆 C 的方程;(2)过点 M(0,1)的直线 l 与椭圆 C 交于不一样两点 P,Q(异于极点),记椭圆与 y 轴的两个交点分别为 A1,A2,若直线 A1P 与 A2Q 交于点 S,证明:点 S 恒在直线 y=4 上.x21. 已知函数 f( x) =e -2ax( a∈R)( 1)若曲线 y=f ( x)在 x=0 处的切线与直线x+2y-2=0 垂直,求该切线方程;( 2)当 a> 0 时,证明 f( x)≥-4a 2+4a22. 在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为θ,(为参数)已知点Q( 4, 0),点 P 是曲线 C l上随意一点,点M 为 PQ 的中点,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴成立极坐标系.( 1)求点 M 的轨迹 C2的极坐标方程;( 2)已知直线l :y=kx 与曲线 C2交于 A, B 两点,若=3,求k的值.23.已知函数 f( x) =|x+a|+2|x-1|(a> 0).(1)求 f( x)的最小值;(2)若不等式 f (x) -5< 0 的解集为( m, n),且 n-m= ,求 a 的值.第4页,共 15页答案和分析1.【答案】Dx【分析】解:∵会合 A={ x|x-1< 2}= ( -∞, 3), B={ x|1< 2 < 16}= (0, 4)应选: D.由 A 与 B,求出两会合的交集即可.本题考察了交集及其运算,娴熟掌握交集的定义是解本题的重点.2.【答案】B【分析】解:∵z= =,∴z=的虚部为.应选: B.直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.本题考察复数代数形式的乘除运算,考察复数的基本观点,是基础题.3.【答案】A【分析】解:双曲线9x2-16y2=1 的标准方程为:,可得 a= ,b= , c= = ,因此双曲线的焦点坐标为(±,0).应选: A.直接利用双曲线的方程求解a, b, c 获得焦点坐标即可.本题考察双曲线的简单性质的应用,是基本知识的考察.4.【答案】B【分析】【剖析】本题主要考察利用引诱公式、二倍角公式进行化简三角函数式,属于基础题.利用引诱公式求得cosα的值,再利用二倍角公式求得cos2α的值.【解答】2解: sin()=-cosα=,则cos2α=2cosα-1=-,应选: B.5.【答案】D【分析】【剖析】本题考察减函数的定义,已知函数求值的方法,依据函数单一性解不等式的方法.依据条件可得出f( -1)=-1,依据 f( x)在( -∞,+∞)上单一递减,即可由f( x)< -1 得出f (x)< f( -1),进而获得x> -1,即得出原不等式的解集.【解答】解:∵x∈[-2, 1]时, f( x)=x2-2x-4;∴f(-1) =-1;∵f(x)在( -∞, +∞)上单一递减;∴由 f( x)< -1 得, f( x)< f (-1);∴x> -1;∴不等式 f( x)< -1 的解集为( -1, +∞).应选: D.6.【答案】A【分析】解:由三视图知,几何体是一个简单组合体,左边是一个半圆柱,底面的半径是 1,高为: 4,右边是一个半圆柱,底面半径为1,高是 2,∴组合体的体积是:=3 π,应选: A.几何体是一个简单组合体,左边是一个半圆柱,底面的半径是1,高为: 4,右边是一个半圆柱,底面半径为1,高是 2,依据体积公式获得结果.本题考察由三视图求几何体的体积,考察由三视图复原直观图,本题是一个基础题,题目的运算量比较小,若出现是一个送分题目.7.【答案】A【分析】解:依据程序框图,输出的 S 是 x1=17,x2=19 ,x3=20 ,x4=21 ,x5=23 这 5 个数据的方差,∵ = ( 17+19+20+21+23 ) =20 ,∴由方差的公式S= [( 17-20)2+( 19-20)2+( 20-20)2+( 21-20)2+(23-20)2]=4.应选: A.依据程序框图,输出的S 是 x1=17 ,x2=19,x3=20 ,x4=21 ,x5=23 这 5 个数据的方差,先求这 5 个数的均值,而后辈入方差公式计算即可.本题经过程序框图考察了均值和方差,解决问题的重点是经过程序框图能得出这是一个求数据方差的问题,属于基础题.8.【答案】D【分析】解:∵cosC+ cosA=1,∴由余弦定理可得: ? + ? =1 ,化简可得: b2=ac,由余弦定理可得; cosB= = ≥= ,∴≤ cosB< 1,即: cosB∈[ , 1).应选: D.由余弦定理化简已知等式可得b2=ac,由余弦定理,基本不等式可求cosB≥,联合余弦函数的性质即可得解.本题考察了余弦定理、基本不等式以及余弦函数的性质的综合应用,考察了推理能力和计算能力,属于基础题.9.【答案】A【分析】解:由题意,可知:对于A:==,整理上式,可得:16 -12 -3 =,这与题干中条件相切合,应选: A.本题可将四个选项中的式子进行转变为与题干中式子邻近,再比较,同样的那项即为答案.本题主要考察向量加减、数乘的运算,属基础题.10.【答案】B【分析】【剖析】本题考察了阅读能力及几何概型中的面积型,属中档题.先阅读题意,理解“黄金切割”,再联合几何概型中的面积型可得: BQ=,CP=,因此PQ=BQ+CP-BC=()a,S△APQ: S△ABC=PQ: BC=(-2)a: a= -2,则在△ABC 内任取一点M,则点 M 落在△APQ 内的概率为=,得解.【解答】解:设 BC=a,由点 P, Q 为线段 BC 的两个黄金切割点,因此 BQ=,CP=,因此 PQ=BQ+CP-BC=()a,S△APQ: S△ABC =PQ: BC=(-2) a: a= -2,由几何概型中的面积型可得:在△ABC 内任取一点M,则点 M 落在△APQ 内的概率为=,应选 B.11.【答案】C【分析】解:抛物线C:x2=4y 的焦点( 0, 1),设 A( x1, y1), B( x2, y2),由,整理得: x2-2x-4=0 ,由韦达定理可知:x1+x2=2,y1+y2=3由抛物线的性质可知:|AB|=p+y1+y2=2+3=5 ,点 O 到直线 y= x+1 的距离 d, d= .∴则△OAB 的面积 S, S= ?|AB|?d=.应选: C.依据抛物线的方程求得焦点坐标,依据直线的倾斜角求得直线方程,代入抛物线方程,利用韦达定理求得x1 +x2,由抛物线的性质可知|AB|=p+y1+y2,利用点到直线的距离公式求得O到直线y= x+1的距离d,依据三角形的面积公式S=?|AB| d OAB? ,即可求得则△的面积.本题考察抛物线的性质,直线与抛物线的地点关系,考察韦达定理,点到直线的距离公式及三角形的面积公式,考察计算能力,属于中档题.12.【答案】A【分析】【剖析】本题主要考察函数与方程的应用,利用转变法转变为两个函数图象交点问题,能够数形联合求出对应两点的坐标和斜率是解决本题的重点.将不等式f( x)<g( x)转变为 kx< 4- ,设 h( x)=4- ,求函数的导数,研究函数的极值和图象,利用数形联合确立使(f x)< g( x)在( 1,+∞)上的解集中恰有两个整数为2, 3,而后求出对应点的坐标和对应直线y=kx的斜率,利用数形联合进行求解即可.【解答】解:当 x>1 时, lnx> 0,由 f( x)< g(x)得( kx-2)ln x< 2ln x-x,即 kx-2< 2- ,即 kx< 4- ,设 h( x)=4- ,则 h'(x) =- =-,由 h'(x)> 0 得 -( lnx-1)> 0 得 ln x<1,得 1<x< e,此时 h( x)为增函数,由 h'(x)< 0 得 -( lnx-1)< 0 得 ln x>1,得 x> e,此时 h(x)为减函数,即当 x=e 时, h( x)获得极大值h( e) =4- =4-e,作出函数h( x)的图象,如图,当 x→1时, h( x)→ -∞,h( 3) =4-,h(4)=4-=4-,即A(3,4-),B(4,4-),当直线 y=kx 过 A, B 点时对应的斜率k A== -,k B==1-,要使 f( x)< g( x)在( 1, +∞)上的解集中恰有两个整数,则对应的整数为 x=2,和 x=3,即直线 y=kx 的斜率 k 知足 k B≤k<k A,即 1- ≤k< - ,即实数 k 的取值范围是 [1-,-),应选: A.13.【答案】2【分析】解: f( 2) =ln2 ,∴f( f( 2)) =f( ln2 ) =e ln2=2.故答案为: 2.利用分段函数的定义、对数的恒等式即可得出.本题考察了分段函数的定义、对数的恒等式,属于基础题.14.【答案】7【分析】解:画出x, y 知足拘束条件表示的平面地区,以下图,由,解得点A( 3, 1),联合图形知,直线2x+y-z=0 过点 A 时,z=2x+y 获得最大值为2×3+1=7.故答案为: 7.画出拘束条件表示的平面地区,联合图形找出最优解,求出z 的最大值.本题考察了线性规划的简单应用问题,是基础题.15.【答案】【分析】解:如图,由 AP, AB, AC 两两垂直,且AP=AB=AC=,得,∴,设三棱锥P-ABC 的内切球的半径为r ,利用等体积可得:,解得 r=.∴三棱锥 P-ABC 的内切球的表面积为S=.故答案为:.由题意画出图形,利用等体积法求出多面体内切球的半径,则球的表面积可求.本题考察多面体内切球表面积的求法,训练了利用等积法求多面体内切球的半径,是中档题.16.【答案】3【分析】解:函数f( x) =sin(ωx+ ) + (ω> 0),由 2|PQ|=|QR|=,解得|PQ|=,∴T=|PQ|+|QR|= π,∴ω= =2 ,设 P(x0,m),则 Q( -x0, m), R( T+x0, m),∴|PQ |= -2x0, |QR|= +2x0,∴2( -2x0)= +2 x0,解得 x0= = ,∴m=sin( 2×)+ = + =1,∴ω+m=2+1=3 .故答案为: 3.依据题意求出函数 f( x)的最小正周期 T,得出ω的值,再求出 m 的值,即可求出ω+m 的值.本题考察了正弦函数的图象与性质的应用问题,是中档题.17.【答案】解:(1)数列{ a n}的前n项和为S n,S n=1- a n(n∈N*)①.当 n=1 时,解得:,当 n≥2时, S n-1 =1-a n-1.②① -②得: 2a n=a n -1,因此:(常数),故:数列 { a n} 是以为首项,为公比的等比数列.则:(首项切合通项),因此:.( 2)因为:,则: b n=log 2a n=-n.因此: b n+1=-( n+1),则:,故:=.【分析】( 1)直接利用递推关系式求出数列的通项公式.( 2)利用( 1)的结论,进一步利用裂项相消法求出数列的和.本题考察的知识重点:数列的通项公式的求法及应用,裂项相消法在数列乞降中的应因此 AD⊥CD ,又四边形CDEF 为矩形,因此 CD ⊥DE ,因此 CD ⊥面 ADE,因此 EF⊥面 ADE ,由线面平行的性质定理得:AB∥EF,因此 AB⊥面 ADE( 2)几何体补形为三棱柱,DE=2, AD=2,AB=2,∠EAD =30°.可得 E 究竟面 ABCD的距离为: 2sin60 °=,该五面体的体积为棱柱的体积减去三棱锥 F -BCH 的体积,可得=4 = .【分析】( 1)证明 AD ⊥CD,CD ⊥DE,推出 CD ⊥面 ADE ,而后证明AB⊥平面 ADE ;(2)转变几何体的体积为棱柱的体积,减去三棱锥的体积,即可求该五面体的体积.本题考察直线与平面垂直的判断定理的应用,几何体的体积的求法,考察转变思想以及计算能力.19.【答案】解:(1)设“从这6组数据中随机选用 4 组数据后,剩下的 2 组数据不相邻”为事件 A,记这六组数据分别为1, 2,3, 4 ,5, 6,剩下的两组数据的基本领件有12 ,13, 14, 15 , 16 , 23,24, 25,26, 34,35, 36,45, 46,56,共 15 种,此中相邻的有12,23, 34,45,56 ,共 5 种,因此.( 2)后边 4 组数据是:间隔时间( x 分钟)12 13 14 15等待人数( y 人)26 29 28 31因为,,因此,,因此.当 x=10 时,,因此求出的线性回归方程是“适合回归方程”.( 3)由 1.4x+9.6 ≤35,得,故间隔时间最多可设置为18 分钟.【分析】( 1)由题意联合古典概型计算公式确立概率值即可;(2)第一求得回归方程,而后确立其能否为“适合回归方程”即可;(3)联合( 2)中求得的结论获得不等式,求解不等式即可确立间隔时间.本题主要考察古典概型计算公式,线性回归方程及其应用等知识,属于中等题.20.【答案】解:(1)由题意可得,解得 a2=4, b2=2,故椭圆 C 的方程为+ =1.证明:( 2)易知直线l 的斜率存在且不为0,设过点 M( 0, 1)的直线 l 方程为 y=kx+1,( k≠0), P( x1, y1), Q( x2, y2),由2 2,消 y 可得( k +2 ) x +2kx-3=0 ,∴x1+x2=-,x1x2=-,∵A1( 0, 2), A2( 0,-2),∴直线 A1P 的方程为 y=x+2=?x+2=( k- ) x+2,则直线 A2Q 的方程为y=x-2= ( k+)-2,由,消 x 可得=,整理可得y= = = +4= +4=4,直线 A1P 与 A2Q 交于点 S,则点 S恒在直线y=4 上【分析】( 1)由题意可得,解得a2=4,b2=2得椭圆方程,( 2)先设出直线l 的方程,再分别求出直线A1P的方程,直线A2Q的方程,联立,消x整理可得 y= ,依据韦达定理化简整理可得直线y=4本题考察了椭圆方程的求法,直线和椭圆的地点关系,直线方程的求法,考察了运算求垂直,∴f′( 0) =2即 f′( 0)=1-2a=2,解得: a=- ,x∴f(x) =e +x,则 f( 0) =1.∴切线方程为y=2x+1 ;(2)证明: f′( x) =e x-2a,由 f′( x) =e x-2a=0,解得 x=ln2 a.∴当 x∈( -∞, ln2 a)时, f′( x)< 0,当 x∈( ln2 a, +∞)时, f′( x)> 0.∴f(x)在( -∞, ln2a)上单一递减,在(ln2 a, +∞)上单一递加.∴f(x)min=f(ln2 a)=e ln2a-2aln2a=2a-2aln2 a.令 g( a)=2a-2aln2a+4a2-4a=4 a2-2a-2aln2a=2a(2a-1-la2a)( a>0).要证 g( a)≥0,即证 2a-1-ln2a≥0,令 h( a)=2a-1-ln2 a,则 h′( a) =2- =,当 a∈( 0,)时, h′( a)< 0,当 a∈(, +∞)时, h′( a)> 0,∴h( a)≥h() =0 ,即 2a-1-ln2 a≥0.∴f(x)≥-4a2 +4a.【分析】( 1 )求出函数的导数,计算f′( 0),获得对于 a 的方程,求得 a,获得函数分析式,求得 f( 0),再由直线方程点斜式得答案;( 2)把证明 f( x)≥-4a2+4a 转变为证 f( x)的最小值大于等于-4a2 +4a,即证 a-1-ln2 a≥0,令 h( a)=a-1-ln2 a,求其最小值大于等于0 即可.本题考察利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,考察利用导数求函数的最值,是中档题.22.【答案】解:(1)消去θ得曲线2 2设 M( x, y)则 P( 2x-4, 2y)在曲线C1上,因此( 2x-4)2+( 2y)2=4,即( x-2)2+y2=1,即 x2+y2-4x+3=0,C2轨迹的极坐标方程为:2ρ-4ρ cos θ +3=0.( 2)当 k> 0 时,如图:取AB 的中点 M,连 CM,CA,2 2在直角三角形CMA 中, CM =CA -( AB)2=1- AB2,①在直角三角形 CMO 中,CM 2=OC2-OM 2=4-( AB)2=4- AB 2,②由①②得AB= ,∴OM= , CM=,k= = =.当 k< 0 时,同理可得k=-.综上得 k=±.【分析】( 1)消去θ得曲线 C1的一般方程为: x2+y2 =4;设出 M 的坐标后利用中点公式获得 P 的坐标后辈入 C1德轨迹 C2的直角坐标方程,再化成极坐标方程;( 2)如图:取AB 的中点 M,连 CM ,CA,在两个直角三角形中,依据勾股定理解得CM , OM 后可得斜率.本题考察了参数方程化成一般方程,属中档题.23.【答案】解:(1)f(x)=,∴x=1时, f( x)的最小值为 a +1 .( 2)以下图:当 a+1 < 5< 2a+2 即<a< 4 时, f( x) -5< 0 的解集为( a-3, - ),∴- -a+3= - = ,∴a=3 切合,当 2a+2≤5即0< a≤时, f( x)的解集为(- -1, - ),∴- + +1= ≠.综上可得 a=3 .【分析】( 1)去绝对值变为分段函数可求得最小;(2)联合分段函数的图象,依据两种状况议论可得.本题考察了绝对值不等式的解法,属中档题.。

广东省湛江市2020届高三普通高考测试(一)数学(文)试题 Word版含答案

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姓名,年级:时间:绝密★启用前湛江市2020年普通高考测试(一)文科数学注意事项:1。

答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷指定位置上。

2。

回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。

回答非选择题时,将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.已知集合A={2,3,5,7,11},B={x|x2>9},则A∩B=A。

{3,5,7,11}B. {7,11}C.{11}D。

{5,7,11}2。

已知子是复数z的共轭复数当z=|1+i1−i |+1+i1−i(i是虚数单位)时,z•z̅A。

1B。

√2C.2D。

2√23。

已知a=613,b=log22√2,c=1.22,则a,b,c的大小关系是A .b>c>aB.a>c>bC.a>b>cD .b>a>c4.在中国园林建筑中,花窗是建筑中窗的一种装饰和美化的形式,既具备实用功能,又带有装饰效果,体现了人们对美好生活的憧憬。

苏州园林作为中国园林建筑的代表,在很多亭台楼阁中都采用了花窗的形式,右图就是其中之一.该花窗外框是边长为80cm的正方形,正中间有一个半径为20cm的园,如果窗框的宽度忽咯不计,将一个小球(半径足够小)随机投花窗上,则小球恰好从圆中穿过的概率为A.π6B.π8C.π16D.π325.已知S n是等差数列{a n}的前n项和。

若S15=45,则5a5−3a3的值为A.6B.15C。

34D.17若f(x)在R上为增函数,则实数a的取值范围6。

已知函数f(x)={a+In x,x>12x,x≤1是A。

[2,+∞)B。

[0,2]C。

(2,+∞)D。

(-∞,2]7。

精品解析:2020届广东省湛江市普通高考测试(一)数学(文)试题(解析版)

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湛江市2020年普通高考测试(一)文科数学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{2,3,5,7,11}A =,{}2|9B x x =>,则A B =I ( ). A. {3,5,7,11}B. {7,11}C. {11}D. {5,7,11}【答案】D【解析】【分析】 求解二次不等式,由集合交运算即可容易求得结果.【详解】由29x >,解得3x <-或3x >,∴{|3B x x =<-或3}x >.∴{5,7,11}A B ⋂=.故选:D .【点睛】本题考查二次不等式的求解,集合的交运算,属综合基础题.2.已知z 是复数z 的共轭复数,当1111i i z i i ++=+--(i 是虚数单位)时,z z ⋅( ). A . 1B.C. 2D. 【答案】C【解析】【分析】根据复数的四则运算,求得z ,求其共轭,即可求得结果.【详解】∵21(1)1(1)(1)i i i i i i ++==-+-,∴1||11i i i +==-,∴1z i =+,1z i =-. ∴(1)(1)2z z i i ⋅=+⋅-=.故选:C .【点睛】本题考查复数的四则运算,以及共轭复数的求解,属综合基础题.3.已知136a =,2log 22b =,21.2c =,则a ,b ,c 的大小关系是( ). A. b c a >>B. a c b >>C. a b c >>D. b a c >> 【答案】C【解析】【分析】由对数运算,指数运算,即可容易判断.【详解】∵32223log 22log 22b ===,21.2 1.44c ==,136a =, ∴331366a ⎛⎫= ⎪⎝⎭=.∵3327628⎛⎫=< ⎪⎝⎭, ∴a b c >>.故选:C .【点睛】本题考查指数运算和对数运算,属综合基础题。

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文科试题(广东卷)精校版

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文科试题(广东卷)精校版

2020年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(文科)本试卷共4页,21小题,满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型(B )填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4.作答选做题时.请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答。

漏涂、错涂、多涂的.答案无效。

5.考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。

参考公式:锥体的体积公式V =13sh ,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.若集合A ={0,1,2,3},B ={1,2,4},则集合A U B = A .{0,1,2,3,4} B .{1,2,3,4} C .{1,2} D .{0} 2.函数,f (x )=lg (x -1)的定义域是A .(2,+∞) B.(1,+∞) C.[1,+∞) D .[2,+∞) 3.若函数f(x)=3x+3x-与g(x)=33xx--的定义域均为R ,则 A .f(x)与g(x)均为偶函数 B .f(x)为奇函数,g(x)为偶函数 C .f(x)与g(x)均为奇函数 D .f(x)为偶函数.g(x)为奇函数4.已知数列{n a }为等比数列,n S 是它的前n 项和.若2a *3a =2a 1,且4a 与27a 的等差中项为54,则5s = A .35 B .33 C .31 D .295.若向量a v =(1,1),b v =(2,5),c v =(3,x)满足条件(8a v —b v )·c v=30,则x=A .6B .5C .4D .36.若圆心在x 5O 位于y 轴左侧,且与直线x+2y=0相切,则圆O 的方程是A .22(5)5x y +=B .22(5)5x y +=C .22(5)5x y -+= D .22(5)5x y ++=7.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是 A .45 B .35 C .25 D .158.“x >0”是“32x >0”成立的A .充分非必要条件B .必要非充分条件C .非充分非必要条件D .充要条件 9.如图1,ABCV 为正三角形,'''////AA BB CC ,''''32CC BB CC AB ⊥===平面ABC 且3AA ,则多面体'''ABC A B C -的正视图(也称主视图)是10.在集合{a ,b ,c ,d}上定义两种运算⊕和⊗如下:那么d ⊗ ()a c ⊕=A .aB .bC .cD .d二、填空题:本大题共5小题.考生作答4小题.每小题5分,满分20分. (一)必做题(11~13题)11.某城市缺水问题比较突出,为了制定节水管理办法, 对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查,其中4位居民的月均用水量分别为1x ,…,4x (单位:吨).根据图2所示的程序框图,若1x ,2x ,3x 4x ,分别为1,1.5,1.5,2,则输出的结果s 为 .12.某市居民2020~2020年家庭年平均收入x (单位:万元)与年平均支出Y (单位:万元)的统计资料如下表所示:根据统计资料,居民家庭年平均收入的中位数是 ,家庭年平均收入与年平均支出有 线性相关关系.13.已知a ,b ,c 分别是△ABC 的三个内角A ,B ,C 所对的边,若a =1,b =3,A +C =2B ,则sin A = .(二)选做题(14、15题,考生只能从中选做一题) 14.(几何证明选讲选做题)如图3,在直角梯形ABCD 中,DC ∥AB ,CB ⊥AB ,AB =AD =a ,CD =2a,点E ,F 分别为线段AB ,CD 的中点,则EF = .15.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系(ρ,θ)(02θπ≤<)中,曲线()cos sin 1ρθθ+=与()sin cos 1ρθθ-=的交点的极坐标为三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分l4分) 设函数()3sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,0ω>,(),x ∈-∞+∞,且以2π为最小正周期. (1)求()0f ; (2)求()f x 的解析式; (3)已知94125f απ⎛⎫+=⎪⎝⎭,求sin α的值. 17.(本小韪满分12分)某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中,随机抽取了100名电视观众,相关的数据如下表所示:(1)由表中数据直观分析,收看新闻节目的观众是否与年龄有关?(2)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名,大于40岁的观众应该抽取几名?(3)在上述抽取的5名观众中任取2名,求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率. 18.(本小题满分14分)如图4,¼AEC 是半径为a 的半圆,AC 为直径,点E 为»AC 的中点,点B 和点C 为线段AD 的三等分点,平面AEC 外一点F 满足FC ⊥平面BED ,FB =5a .(1)证明:EB FD ⊥;(2)求点B 到平面FED 的距离.19.(本小题满分12分)某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ;一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C .另外,该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物,42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C .如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元,那么要满足上述的营养要求,并且花费最少,应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐?20.(本小题满分14分)已知函数()f x 对任意实数x 均有()(2)f x kf x =+,其中常数k 为负数,且()f x 在区间[]0,2上有表达式()(2)f x x x =-.(1)求(1)f -,(2.5)f 的值;(2)写出()f x 在[]3,3-上的表达式,并讨论函数()f x 在[]3,3-上的单调性; (3)求出()f x 在[]3,3-上的最小值与最大值,并求出相应的自变量的取值. 21.(本小题满分14分)已知曲线2n C y nx =:,点(,)(0,0)n n n n n P x y x y >>是曲线n C 上的点(1,2n =…).(1)试写出曲线n C 在点n P 处的切线n l 的方程,并求出n l 与y 轴的交点n Q 的坐标 (2)若原点(0,0)O 到n l 的距离与线段n n P Q 的长度之比取得最大值,试求试点n P 的坐标(,n n x y );(3)设m 与k 为两个给定的不同的正整数,n x 与n y 是满足(2)中条件的点n P 的坐标, 证明:1(1)(1)2snn n m x k y ms ks =++<(1,2,)s =…参考答案一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分. 1. A 2. B 3. D 4. C 5. C 6. D 7. B 8. A 9. D 10. A二、填空题:本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分。

2020年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅲ)(含解析版)

2020年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅲ)(含解析版)
整理得 ,因为 ,所以 ,
【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算,以及等差数列求和公式的应用,考查计算求解能力,属于基础题目.
18.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次,整理数据得到下表(单位:天):
锻炼人次
空气质量等级
[0,200]
(200,400]
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 , ,则A∩B中元素的个数为()
A.2B.3C.4D.5
【答案】B
【解析】
【分析】
采用列举法列举出 中元素的即可.
【详解】由题意, ,故 中元素的个数为3.
故选:B
【点晴】本题主要考查集合 交集运算,考查学生对交集定义的理解,是一道容易题.
【详解】易知半径最大球为圆锥的内切球,球与圆锥内切时的轴截面如图所示,
其中 ,且点M为BC边上的中点,
设内切圆的圆心为 ,
由于 ,故 ,
设内切圆半径为 ,则:
,
解得: ,其体积: .
故答案为: .
【点睛】与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接.解题时要认真分析图形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的截面图,如球内切于正方体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径;球外接于正方体,正方体的顶点均在球面上,正方体的体对角线长等于球的直径.
2.若 ,则z=()
A. 1–iB. 1+iC. –iD.i
【答案】D
【解析】
【分析】
先利用除法运算求得 ,再利用共轭复数的概念得到 即可.
【详解】因为 ,所以 .
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2015年广东省高考数学试卷(文科)一、选择题(共10小题,每小题5分,满分50分)2015年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(文科)1.(5分)若集合M={﹣1,1},N={﹣2,1,0}则M∩N=()A.{0.﹣1}B.{0}C.{1}D.{﹣1,1}2.(5分)已知i是虚数单位,则复数(1+i)2=()A.2i B.﹣2i C.2 D.﹣23.(5分)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是()A.y=x+sin2x B.y=x2﹣cosx C.y=2x+D.y=x2+sinx4.(5分)若变量x,y满足约束条件,则z=2x+3y的最大值为()A.2 B.5 C.8 D.105.(5分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,c=2,cosA=.且b<c,则b=()A.B.2 C.2 D.36.(5分)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是()A.l与l1,l2都不相交B.l与l1,l2都相交C.l至多与l1,l2中的一条相交D.l至少与l1,l2中的一条相交7.(5分)已知5件产品中有2件次品,其余为合格品.现从这5件产品中任取2件,恰有一件次品的概率为()A.0.4 B.0.6 C.0.8 D.18.(5分)已知椭圆+=1(m>0 )的左焦点为F1(﹣4,0),则m=()A.2 B.3 C.4 D.99.(5分)在平面直角坐标系xOy中,已知四边形ABCD是平行四边形,=(1,﹣2),=(2,1)则•=()A.5 B.4 C.3 D.210.(5分)若集合E={(p,q,r,s)|0≤p<s≤4,0≤q<s≤4,0≤r<s≤4且p,q,r,s∈N},F={(t,u,v,w)|0≤t<u≤4,0≤v<w≤4且t,u,v,w∈N},用card(X)表示集合X中的元素个数,则card(E)+card(F)=()A.200 B.150 C.100 D.50二、填空题(共3小题,考生作答4小题,每小题5分,满分15分)(一)必做题(11~13题)11.(5分)不等式﹣x2﹣3x+4>0的解集为.(用区间表示)12.(5分)已知样本数据x1,x2,…,x n的均值=5,则样本数据2x1+1,2x2+1,…,2x n+1 的均值为.13.(5分)若三个正数a,b,c 成等比数列,其中a=5+2,c=5﹣2,则b=.坐标系与参数方程选做题14.(5分)在平面直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C1的极坐标方程为ρ(cosθ+sinθ)=﹣2,曲线C2的参数方程为(t为参数),则C1与C2交点的直角坐标为.几何证明选讲选做题15.如图,AB为圆O的直径,E为AB 的延长线上一点,过E作圆O的切线,切点为C,过A作直线EC的垂线,垂足为D.若AB=4.CE=2,则AD=.三、解答题(共6小题,满分80分)16.(12分)已知tanα=2.(1)求tan(α+)的值;(2)求的值.17.(12分)某城市100户居民的月平均用电量(单位:度),以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300)分组的频率分布直方图如图.(1)求直方图中x的值;(2)求月平均用电量的众数和中位数;(3)在月平均用电量为,[220,240),[240,260),[260,280),[280,300)的四组用户中,用分层抽样的方法抽取11户居民,则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户?18.(14分)如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3.(1)证明:BC∥平面PDA;(2)证明:BC⊥PD;(3)求点C 到平面PDA的距离.19.(14分)设数列{a n}的前n项和为S n,n∈N*.已知a1=1,a2=,a3=,且当n≥2时,4S n+5S n=8S n+1+S n﹣1.+2(1)求a4的值;(2)证明:{a n﹣a n}为等比数列;+1(3)求数列{a n}的通项公式.20.(14分)已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A,B.(1)求圆C1的圆心坐标;(2)求线段AB 的中点M的轨迹C的方程;(3)是否存在实数k,使得直线L:y=k(x﹣4)与曲线C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由.21.(14分)设a为实数,函数f(x)=(x﹣a)2+|x﹣a|﹣a(a﹣1).(1)若f(0)≤1,求a的取值范围;(2)讨论f(x)的单调性;(3)当a≥2 时,讨论f(x)+在区间(0,+∞)内的零点个数.2015年广东省高考数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题(共10小题,每小题5分,满分50分)2015年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(文科)1.(5分)若集合M={﹣1,1},N={﹣2,1,0}则M∩N=()A.{0.﹣1}B.{0}C.{1}D.{﹣1,1}【分析】进行交集的运算即可.【解答】解:M∩N={﹣1,1}∩{﹣2,1,0}={1}.故选:C.【点评】考查列举法表示集合,交集的概念及运算.2.(5分)已知i是虚数单位,则复数(1+i)2=()A.2i B.﹣2i C.2 D.﹣2【分析】利用完全平方式展开化简即可.【解答】解:(1+i)2=12+2i+i2=1+2i﹣1=2i;故选:A.【点评】本题考查了复数的运算;注意i2=﹣1.3.(5分)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是()A.y=x+sin2x B.y=x2﹣cosx C.y=2x+D.y=x2+sinx【分析】利用函数奇偶性的判断方法对选项分别分析选择.【解答】解:四个选项中,函数的定义域都是R,对于A,﹣x+sin(﹣2x)=﹣(x+sin2x);是奇函数;对于B,(﹣x)2﹣cos(﹣x)=x2﹣cosx;是偶函数;对于C,,是偶函数;对于D,(﹣x)2+sin(﹣x)=x2﹣sinx≠x2+sinx,x2﹣sinx≠﹣(x2+sinx);所以是非奇非偶的函数;故选:D.【点评】本题考查了函数奇偶性的判断,在定义域关于原点对称的前提下,判断f(﹣x)与f(x)的关系,相等就是偶函数,相反就是奇函数.4.(5分)若变量x,y满足约束条件,则z=2x+3y的最大值为()A.2 B.5 C.8 D.10【分析】作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,通过平移即可求z 的最大值.【解答】解:作出不等式对应的平面区域(阴影部分),由z=2x+3y,得y=,平移直线y=,由图象可知当直线y=经过点B时,直线y=的截距最大,此时z最大.由,解得,即B(4,﹣1).此时z的最大值为z=2×4+3×(﹣1)=8﹣3=5,故选:B.【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法.5.(5分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,c=2,cosA=.且b<c,则b=()A.B.2 C.2 D.3【分析】运用余弦定理:a2=b2+c2﹣2bccosA,解关于b的方程,结合b<c,即可得到b=2.【解答】解:a=2,c=2,cosA=.且b<c,由余弦定理可得,a2=b2+c2﹣2bccosA,即有4=b2+12﹣4×b,解得b=2或4,由b<c,可得b=2.故选:B.【点评】本题考查三角形的余弦定理及应用,主要考查运算能力,属于中档题和易错题.6.(5分)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是()A.l与l1,l2都不相交B.l与l1,l2都相交C.l至多与l1,l2中的一条相交D.l至少与l1,l2中的一条相交【分析】可以画出图形来说明l与l1,l2的位置关系,从而可判断出A,B,C是错误的,而对于D,可假设不正确,这样l便和l1,l2都不相交,这样可推出和l1,l2异面矛盾,这样便说明D正确.【解答】解:A.l与l1,l2可以相交,如图:∴该选项错误;B.l可以和l1,l2中的一个平行,如上图,∴该选项错误;C.l可以和l1,l2都相交,如下图:,∴该选项错误;D.“l至少与l1,l2中的一条相交”正确,假如l和l1,l2都不相交;∵l和l1,l2都共面;∴l和l1,l2都平行;∴l1∥l2,l1和l2共面,这样便不符合已知的l1和l2异面;∴该选项正确.故选:D.【点评】考查异面直线的概念,在直接说明一个命题正确困难的时候,可说明它的反面不正确.7.(5分)已知5件产品中有2件次品,其余为合格品.现从这5件产品中任取2件,恰有一件次品的概率为()A.0.4 B.0.6 C.0.8 D.1【分析】首先判断这是一个古典概型,而基本事件总数就是从5件产品任取2件的取法,取到恰有一件次品的取法可利用分步计数原理求解,最后带入古典概型的概率公式即可.【解答】解:这是一个古典概型,从5件产品中任取2件的取法为;∴基本事件总数为10;设“选的2件产品中恰有一件次品”为事件A,则A包含的基本事件个数为=6;∴P(A)==0.6.故选:B.【点评】考查古典概型的概念,以及古典概型的概率求法,明白基本事件和基本事件总数的概念,掌握组合数公式,分步计数原理.8.(5分)已知椭圆+=1(m>0 )的左焦点为F1(﹣4,0),则m=()A.2 B.3 C.4 D.9【分析】利用椭圆+=1(m>0 )的左焦点为F1(﹣4,0),可得25﹣m2=16,即可求出m.【解答】解:∵椭圆+=1(m>0 )的左焦点为F1(﹣4,0),∴25﹣m2=16,∵m>0,∴m=3,故选:B.【点评】本题考查椭圆的性质,考查学生的计算能力,比较基础.9.(5分)在平面直角坐标系xOy中,已知四边形ABCD是平行四边形,=(1,﹣2),=(2,1)则•=()A.5 B.4 C.3 D.2【分析】由向量加法的平行四边形法则可求=的坐标,然后代入向量数量积的坐标表示可求【解答】解:由向量加法的平行四边形法则可得,==(3,﹣1).∴=3×2+(﹣1)×1=5.故选:A.【点评】本题主要考查了向量加法的平行四边形法则及向量数量积的坐标表示,属于基础试题.10.(5分)若集合E={(p,q,r,s)|0≤p<s≤4,0≤q<s≤4,0≤r<s≤4且p,q,r,s∈N},F={(t,u,v,w)|0≤t<u≤4,0≤v<w≤4且t,u,v,w∈N},用card(X)表示集合X中的元素个数,则card(E)+card(F)=()A.200 B.150 C.100 D.50【分析】对于集合E,s=4时,p,q,r从0,1,2,3任取一数都有4种取法,从而构成的元素(p,q,r,s)有4×4×4=64个,再讨论s=3,2,1的情况,求法一样,把每种情况下元素个数相加即可得到集合E的元素个数,而对于集合F,需讨论两个数:u,w,方法类似,最后把求得的集合E,F元素个数相加即可.【解答】解:(1)s=4时,p,q,r的取值的排列情况有4×4×4=64种;s=3时,p,q,r的取值的排列情况有3×3×3=27种;s=2时,有2×2×2=8种;s=1时,有1×1×1=1种;∴card(E)=64+27+8+1=100;(2)u=4时:若w=4,t,v的取值的排列情况有4×4=16种;若w=3,t,v的取值的排列情况有4×3=12种;若w=2,有4×2=8种;若w=1,有4×1=4种;u=3时:若w=4,t,v的取值的排列情况有3×4=12种;若w=3,t,v的取值的排列情况有3×3=9种;若w=2,有3×2=6种;若w=1,有3×1=3种;u=2时:若w=4,t,v的取值的排列情况有2×4=8种;若w=3,有2×3=6种;若w=2,有2×2=4种;若w=1,有2×1=2种;u=1时:若w=4,t,v的取值的排列情况有1×4=4种;若w=3,有1×3=3种;若w=2,有1×2=2种;若w=1,有1×1=1种;∴card(F)=100;∴card(E)+card(F)=200.故选:A.【点评】考查描述法表示集合,分布计数原理的应用,注意要弄清讨论谁,做到不重不漏.二、填空题(共3小题,考生作答4小题,每小题5分,满分15分)(一)必做题(11~13题)11.(5分)不等式﹣x2﹣3x+4>0的解集为(﹣4,1).(用区间表示)【分析】首先将二次项系数化为正数,然后利用因式分解法解之.【解答】解:原不等式等价于x2+3x﹣4<0,所以(x+4)(x﹣1)<0,所以﹣4<x<1;所以不等式的解集为(﹣4,1);故答案为:(﹣4,1).【点评】本题考查了一元二次不等式的解法;一般的首先将二次项系数化为正数,然后选择适当的方法解之;属于基础题.12.(5分)已知样本数据x1,x2,…,x n的均值=5,则样本数据2x1+1,2x2+1,…,2x n+1 的均值为11.【分析】利用平均数计算公式求解【解答】解:∵数据x1,x2,…,x n的平均数为均值=5,则样本数据2x1+1,2x2+1,…,2x n+1 的均值为:=5×2+1=11;故答案为:11.【点评】本题考查数据的平均数的求法,是基础题.13.(5分)若三个正数a,b,c 成等比数列,其中a=5+2,c=5﹣2,则b= 1.【分析】由已知可得,b2=ac,代入已知条件即可求解b【解答】解:∵三个正数a,b,c 成等比数列,∴b2=ac,∵a=5+2,c=5﹣2,∴=1,故答案为:1.【点评】本题主要考查了等比数列的性质,属于基础试题坐标系与参数方程选做题14.(5分)在平面直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C1的极坐标方程为ρ(cosθ+sinθ)=﹣2,曲线C2的参数方程为(t为参数),则C1与C2交点的直角坐标为(2,﹣4).【分析】曲线C1的极坐标方程为ρ(cosθ+sinθ)=﹣2,把代入可得直角坐标方程.曲线C2的参数方程为(t为参数),化为普通方程:y2=8x.联立解出即可.【解答】解:曲线C1的极坐标方程为ρ(cosθ+sinθ)=﹣2,化为直角坐标方程:x+y+2=0.曲线C2的参数方程为(t为参数),化为普通方程:y2=8x.联立,解得,则C1与C2交点的直角坐标为(2,﹣4).故答案为:(2,﹣4).【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、曲线的交点,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.几何证明选讲选做题15.如图,AB为圆O的直径,E为AB 的延长线上一点,过E作圆O的切线,切点为C,过A作直线EC的垂线,垂足为D.若AB=4.CE=2,则AD=3.【分析】连接OC,则OC⊥DE,可得,由切割线定理可得CE2=BE•AE,求出BE,即可得出结论.【解答】解:连接OC,则OC⊥DE,∵AD⊥DE,∴AD∥OC,∴由切割线定理可得CE2=BE•AE,∴12=BE•(BE+4),∴BE=2,∴OE=4,∴,∴AD=3故答案为:3.【点评】本题考查切割线定理,考查学生分析解决问题的能力,比较基础.三、解答题(共6小题,满分80分)16.(12分)已知tanα=2.(1)求tan(α+)的值;(2)求的值.【分析】(1)直接利用两角和的正切函数求值即可.(2)利用二倍角公式化简求解即可.【解答】解:tanα=2.(1)tan(α+)===﹣3;(2)== ==1.【点评】本题考查两角和的正切函数的应用,三角函数的化简求值,二倍角公式的应用,考查计算能力.17.(12分)某城市100户居民的月平均用电量(单位:度),以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300)分组的频率分布直方图如图.(1)求直方图中x的值;(2)求月平均用电量的众数和中位数;(3)在月平均用电量为,[220,240),[240,260),[260,280),[280,300)的四组用户中,用分层抽样的方法抽取11户居民,则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户?【分析】(1)由直方图的性质可得(0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025)×20=1,解方程可得;(2)由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得,可得中位数在[220,240)内,设中位数为a,解方程(0.002+0.0095++0.011)×20+0.0125×(a﹣220)=0.5可得;(3)可得各段的用户分别为25,15,10,5,可得抽取比例,可得要抽取的户数.【解答】解:(1)由直方图的性质可得(0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025)×20=1,解方程可得x=0.0075,∴直方图中x的值为0.0075;(2)月平均用电量的众数是=230,∵(0.002+0.0095+0.011)×20=0.45<0.5,∴月平均用电量的中位数在[220,240)内,设中位数为a,由(0.002+0.0095+0.011)×20+0.0125×(a﹣220)=0.5可得a=224,∴月平均用电量的中位数为224;(3)月平均用电量为[220,240)的用户有0.0125×20×100=25,月平均用电量为[240,260)的用户有0.0075×20×100=15,月平均用电量为[260,280)的用户有0.005×20×100=10,月平均用电量为[280,300)的用户有0.0025×20×100=5,∴抽取比例为=,∴月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×=5户.【点评】本题考查频率分布直方图,涉及众数和中位数以及分层抽样,属基础题.18.(14分)如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3.(1)证明:BC∥平面PDA;(2)证明:BC⊥PD;(3)求点C 到平面PDA的距离.【分析】(1)利用四边形ABCD是长方形,可得BC∥AD,根据线面平行的判定定理,即可得出结论;(2)利用平面与平面垂直的性质定理得出BC⊥平面PDC,即可证明BC⊥PD;(3)利用等体积法,求点C到平面PDA的距离.【解答】(1)证明:因为四边形ABCD是长方形,所以BC∥AD,因为BC⊄平面PDA,AD⊂平面PDA,所以BC∥平面PDA;(2)证明:因为四边形ABCD是长方形,所以BC⊥CD,因为平面PDC⊥平面ABCD,平面PDC∩平面ABCD=CD,BC⊂面ABCD,所以BC⊥平面PDC,因为PD⊂平面PDC,所以BC⊥PD;(3)解:取CD的中点E,连接AE和PE,因为PD=PC,所以PE⊥CD,在Rt△PED中,PE===.因为平面PDC⊥平面ABCD,平面PDC∩平面ABCD=CD,PE⊂平面PDC,所以PE⊥平面ABCD.由(2)知:BC⊥平面PDC,由(1)知:BC∥AD,所以AD⊥平面PDC,因为PD⊂平面PDC,所以AD⊥PD.设点C到平面PDA的距离为h.=V P﹣ACD,因为V C﹣PDA所以,所以h==,所以点C到平面PDA的距离是.【点评】本题考查平面与平面垂直的性质,线面垂直与线线垂直的判定,考查三棱锥体积等知识,注意解题方法的积累,属于中档题.19.(14分)设数列{a n}的前n项和为S n,n∈N*.已知a1=1,a2=,a3=,且+5S n=8S n+1+S n﹣1.当n≥2时,4S n+2(1)求a4的值;﹣a n}为等比数列;(2)证明:{a n+1(3)求数列{a n}的通项公式.【分析】(1)直接在数列递推式中取n=2,求得;+5S n=8S n+1+S n﹣1(n≥2),变形得到4a n+2+a n=4a n+1(n≥2),进一步得(2)由4S n+2到,由此可得数列{}是以为首项,公比为的等比数列;(3)由{}是以为首项,公比为的等比数列,可得.进一步得到,说明{}是以为首项,4为公差的等差数列,由此可得数列{a n}的通项公式.【解答】(1)解:当n=2时,4S4+5S2=8S3+S1,即,解得:;+5S n=8S n+1+S n﹣1(n≥2),∴4S n+2﹣4S n+1+S n﹣S n﹣1=4S n+1﹣4S n (2)证明:∵4S n+2(n≥2),+a n=4a n+1(n≥2),即4a n+2∵,∴4a n+a n=4a n+1.+2∵=.∴数列{}是以=1为首项,公比为的等比数列;(3)解:由(2)知,{}是以为首项,公比为的等比数列,∴.即,∴{}是以为首项,4为公差的等差数列,∴,即,∴数列{a n}的通项公式是.【点评】本题考查了数列递推式,考查了等比关系的确定,考查了等比数列的通项公式,关键是灵活变形能力,是中档题.20.(14分)已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A,B.(1)求圆C1的圆心坐标;(2)求线段AB 的中点M的轨迹C的方程;(3)是否存在实数k,使得直线L:y=k(x﹣4)与曲线C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由.【分析】(1)通过将圆C1的一般式方程化为标准方程即得结论;(2)设当直线l的方程为y=kx,通过联立直线l与圆C1的方程,利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化,计算即得结论;(3)通过联立直线L与圆C1的方程,利用根的判别式△=0及轨迹C的端点与点(4,0)决定的直线斜率,即得结论.【解答】解:(1)∵圆C1:x2+y2﹣6x+5=0,整理,得其标准方程为:(x﹣3)2+y2=4,∴圆C1的圆心坐标为(3,0);(2)设当直线l的方程为y=kx、A(x1,y1)、B(x2,y2),联立方程组,消去y可得:(1+k2)x2﹣6x+5=0,由△=36﹣4(1+k2)×5>0,可得k2<由韦达定理,可得x1+x2=,∴线段AB的中点M的轨迹C的参数方程为,其中﹣<k<,∴线段AB的中点M的轨迹C的方程为:(x﹣)2+y2=,其中<x≤3;(3)结论:当k∈(﹣,)∪{﹣,}时,直线L:y=k(x﹣4)与曲线C只有一个交点.理由如下:联立方程组,消去y,可得:(1+k2)x2﹣(3+8k2)x+16k2=0,令△=(3+8k2)2﹣4(1+k2)•16k2=0,解得k=±,又∵轨迹C的端点(,±)与点(4,0)决定的直线斜率为±,∴当直线L:y=k(x﹣4)与曲线C只有一个交点时,k的取值范围为[﹣,]∪{﹣,}.【点评】本题考查求轨迹方程、直线与曲线的位置关系问题,注意解题方法的积累,属于难题.21.(14分)设a为实数,函数f(x)=(x﹣a)2+|x﹣a|﹣a(a﹣1).(1)若f(0)≤1,求a的取值范围;(2)讨论f(x)的单调性;(3)当a≥2 时,讨论f(x)+在区间(0,+∞)内的零点个数.【分析】(1)利用f(0)≤1,得到|a|+a﹣1≤0,对a分类讨论求解不等式的解集即可.(2)化简函数f(x)的解析式,通过当x<a时,当x≥a时,利用二次函数f (x)的对称轴求解函数的单调区间即可.(3)化简F(x)=f(x)+,求出函数的导数,利用导函数的符号,通过a的讨论判断函数的单调性,然后讨论函数的零点的个数.【解答】解:(1)若f(0)≤1,即:a2+|a|﹣a(a﹣1)≤1.可得|a|+a﹣1≤0,当a≥0时,a,可得a∈[0,].当a<0时,|a|+a﹣1≤0,恒成立.综上a.∴a的取值范围:;(2)函数f(x)==,当x<a时,函数f(x)的对称轴为:x==a+>a,y=f(x)在(﹣∞,a)时是减函数,当x≥a时,函数f(x)的对称轴为:x==a﹣<a,y=f(x)在(a,+∞)时是增函数,(3)F(x)=f(x)+=,,当x<a时,=,所以,函数F(x)在(0,a)上是减函数.当x≥a时,因为a≥2,所以,F′(x)=═,所以,函数F(x)在(a,+∞)上是增函数.F(a)=a﹣a2+.当a=2时,F(2)=0,此时F(x)有一个零点,当a>2时,F(a)=a﹣a2+,F′(a)=1﹣2a==.所以F(ah)在(2,+∞)上是减函数,所以F(a)<,即F(a)<0,当x>0且x→0时,F(x)→+∞;当x→+∞时,F(x)→+∞,所以函数F(x)有两个零点.综上所述,当a=2时,F(x)有一个零点,a>2时F(x)有两个零点.【点评】本题考查的知识点比较多,包括绝对值不等式的解法,函数的零点,函数的导数以及导数与函数的单调性的关系,考查分类讨论思想的应用,函数与方程的思想,转化思想的应用,也考查化归思想的应用.。

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