常微分期末考试试题和答案
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《 常微分方程 》期末考试试卷（1）
班级 学号 姓名 成绩
.
一、填空（每格3分，共30分）
1、方程
(,)(,)0
M x y dx N x y dy +=有只与
x
有关的积分因子的充要条件
是 。 2、若12(),(),
,()n x t x t x t 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件
是 。 3、若
()t Φ和()t ψ都是
'()x A t x
=的基解矩阵，则
()t Φ和()t ψ具有的关系是
_____________________________。
4、函数),(y x f 称为在矩形域Ｒ上关于y 满足利普希兹条件，如
果 。 5、当 时，方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 称为恰当方程，
或称全微分方程。
6、若()t Φ是x t A x )(='的基解矩阵，则x t A x )(=')(t f =满足η=)(0t x
的解 。 7、若()(1,2,
,)i x t i n =为n 阶齐线性方程()()1()()0n n n x a t x a t x ++
+=的n 个线性无关解，
则这一齐线性方程的通解可表为 。
8、求
dx
dy
=f(x,y)满足00()y x y =的解等价于求积分方程 的解。 9、如果),(y x f 在R 上 且关于y 满足李普希兹条件，则方程),(y x f dx
dy
=存在唯一的解)(x y ϕ=，定义于区间h x x ≤-0上，连续且满足初始条件00)(y x =ϕ，其中
h = ，),(max ),(y x f M R
y x ∈=。
二、计算题(每题10分,共50分)
10、求方程 2
21dy y dx xy x y +=+ 的解。 11、求方程2dy
x y dx
=-通过点(1,0)的第二次近似解。
12、求非齐线性方程sin x x
t ''+=的特解。
13、求解恰当方程 0)4()3(2
=---dy x y dx x y 。 14、求伯努利方程
的通解。
26xy x
y
dx dy -=
三、证明.（20分）
15、1)试验证初值问题
2114x x ⎡⎤
'=⎢⎥
-⎣⎦
，
12(0)ηϕηη⎡⎤
==⎢⎥
⎣⎦
的解为:
1123212()()()t
t t e t ηηηϕηηη+-+⎡⎤
=⎢⎥
+-+⎣⎦
; 2）求该微分方程组的expAt 。
试卷（1）答案
一、填空（每格3分，共30分）
1、方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +
=有只与x 有关的积分因子的充要条件
是
)(x N
x
N
y M ϕ=∂∂-∂∂。 2、若12(),(),,()n x t x t x t 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件
是12[(),(),
,()]0n w x t x t x t ≠。
3、若
()t Φ和()t ψ都是
'()x A t x
=的基解矩阵，则
()t Φ和()t ψ具有的关系是
()()t t C ψ=Φ，)(b t a ≤≤C 为非奇异常数矩阵。
4、函数),(y x f 称为在矩形域Ｒ上关于y 满足利普希兹条件，如果 存在常数Ｌ>0，对于所有
5、当
x
N
y M ∂∂=∂∂时，方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 称为恰当方程，或称全微分方程。 6、若()t Φ是x t A x )(='的基解矩阵，则x t A x )(=')(t f =满足η=)(0t x
的解0
1
10()()()()()()t
t x t t t t s f s ds η--=ΦΦ+ΦΦ⎰
。
7、若()(1,2,
,)i x t i n =为n 阶齐线性方程()()1()()0n n n x a t x a t x ++
+=的n 个线性无关解，则这一齐线性方程的通解可表为)()(1
t x c t x i
n
i i ∑==
，其中n c c c
,,2
,1 是任意常数。
8、求dx dy =f(x,y)满足00()y x y =的解等价于求积分方程y=y 0+⎰x
x dx y x f 0
),(的解。
9、如果),(y x f 在R 上 连续 且关于y 满足李普希兹条件，则方程
),(y x f dx
dy
=存在唯一的解)(x y ϕ=，定义于区间h x x ≤-0上，连续且满足初始条件00)(y x =ϕ，其中
),
min(M
b
a h =，),(max ),(y x f M R y x ∈=。
二、计算题(每题10分,共50分)
10、求方程 2
21dy y dx xy x y
+=+ 的解。 解：原式可化为 2
21()dy y dx y x x +=
+
分离变量得
21(1)
ydy dx
y x x =++