一元二次方程与函数

．一元二次方程与函数练习

1.已知a 是一元二次方程2320x x +-=的实数根，求代数式2352362a a a a a -⎛⎫÷+- ⎪--⎝⎭的值.

2..已知x 2-x-1=0求x 3+x 2-3x+2010的值

3.已知a 是方程x 2+5x-2=0一个根，求2a 2+10a-7和a 3+6a 2+3a+4的值

4． 已知：关于x 的一元二次方程2

3(1)230mx m x m --+-= ()m 为实数

(1) 若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；

（2）求证：无论m 为何值，方程总有一个固定的根；

（3）若m 为整数，且方程的两个根均为正整数，求m 的值.

5.已知关于x 的一元二次方程22

(41)30x m x m m -+++=.

（1）求证：无论m 取何实数时，原方程总有两个实数根；

（2）若原方程的两个实数根一个大于2，另一个小于7，求m 的取值范围；

6.关于x 的一元二次方程2(32)220mx m x m --+-=．

（1）若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围； （2）在（1）的条件下，求证：无论m 取何值，2(32)22mx

m x m --+-=0总有实数根； （3）若m 为正整数，且关于x 的一元二次方程

2(32)220mx m x m --+-=有两个不相等的整数

根，求m 的值

7.已知：关于x 的一元二次方程2

3(1)230mx m x m --+-= ()m 为实数

(1) 若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；

（2）求证：无论m 为何值，方程总有一个固定的根；

（3）若m 为整数，且方程的两个根均为正整数，求m 的值.

8.已知关于的x 一元二次方程x 2-2(2m-3)x+4m 2-14m+8=0

(1)若m>0，求证方程有两个不相等的实数根

(2)若12

9.设m 为整数，且4

10.已知关于x 的方程032)1(2=+++-k kx x k ．

（1）若方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围；

（2）当方程有两个相等的实数根时，求关于y 的方程2(4)10y a k y a +-++=的整数根

（a 为正整数）．

11.已知关于x 的方程2(32)(3)0mx m x m +-+-=，其中0m >。

（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；

（2）设方程的两个实数根分别为1x ，2x ，其中12x x >，若21

13x y x -=，求y 与m 的函数关系式；

（3）在（2）的条件下，请根据函数图象，直接写出使不等式y m ≤-成立的m 的取值范围。

12.如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y kx b =+的图象与x 轴交于点A (3-,0)，

与y 轴交于点B ，且与正比例函数43

y x =的图象的交点为C (

m ,4) ． (1) 求一次函数y kx b =+的解析式；

(2) 若点D 在第二象限，△DAB 是以AB 为直角边的

等腰直角三角形，直接写出点D 的坐标．

13.在平面直角坐标系xOy 中，A 为第一象限内的双曲线1k y x

=（10k >）上一点，点A 的横坐标为1，过点A 作平行于 y 轴的直线，与x 轴交于点B ，与双曲线2k y x

=（20k <） 交于点C . x 轴上一点(,0)D m 位于直线AC 右侧，AD 的中点为E .

(1)当m=4时，求△ACD 的面积（用含1k ，2k 的代数

式表示）；

(2)若点E 恰好在双曲线1k y x

=（10k >）上，求m 的值； (3)设线段EB 的延长线与y 轴的负半轴交于点F ，当

点D 的坐标为(2,0)D 时，若△BDF 的面积为1，

且CF ∥AD ，求1k 的值，并直接写出线段CF 的长.

14.在平面直角坐标系xOy 中， A ，B 两点在函数1

1:(0)k C y x x

=>的图象上， 其中10k >．AC ⊥y 轴于点C ，BD ⊥x 轴于点D ，且 AC =1． (1) 若1k =2，则AO 的长为 ，△BOD 的面积为 ；

(2) 如图1，若点B 的横坐标为1k ，且11k >，当AO =AB 时，求1k 的值；

(3) 如图2，OC =4，BE ⊥y 轴于点E ，函数22:(0)k C y x x

=>的图象分别与线段BE ， BD 交于点M ，N ，其中210k k <<．将△OMN 的面积记为1S ，△BMN 的面积记为2S ，若12S S S =-，求S 与2k 的函数关系式．

图2

图1

15..已知关于x 的一元二次方程（a-1)x 2+(2-3a)+3=0

(1)求证：当a 取不等于1的实数时，方程总有两个实根

(2)若m,n(m

3

411=+n m ，直线l:y=mx+n 交x 轴于点A ，交y 轴于点B 。坐标原点O 关于直线l 的对称点O ′在反比例函数y=x k 的图像上，求反比例函数y=x k 的解析式

(3)在（2）成立的条件下，将直线l 绕点A 逆时针旋转角θ（0〈θ〈90°），得到直线l ′, l ′交y 轴于点P ，过点P 作x 轴的平行线，与上述反比例函数y=x

k 的图像交于点Q ，当四边形APQO'的面积为9-2

33时，求θ的值

16.一副直角三角板如图放置点C 在FD 的延长线上，AB ∥CF ，∠F=∠ACB=90º，∠A=60º，AC=23。求CD 的长

E

B

A

F

D C