投资学chapter3

协方差（covariance）和相关系数分别从绝对 和相对角度来测算两个随机变量之间相互关系。 风险资产之间的协方差：
ij Cov(ri , rj ) E[(ri ri )(rj rj )]
如果协方差>0,可能两资产的收益均高于平均值 或均低于平均值； 如果协方差<0
风险资产之间的相关系数：
Slowpoke
wA wB AB
2 2 wB B
wA wB AB
投资组合的标准差 p 等于多少？
p 15.44%
解释：假设投资组合的收益满足正态分布， 那么： 组合收益位于（-2.74%，28.14%）之间的可 能性或概率为68%。
资产组合多元化的效应

比较投资组合的标准差和各个证券标准差的加 权平均数
E[U ( X )] PU ( X i ) i
i 1
n
不同风险态度示意图
凹函数：设f为定义在区间Ｉ上的函 数，若对Ｉ上的任意两点Ｘ１，Ｘ ２和任意的实数λ∈（０，１），总 有 u[ E ( x)] E[u( x)] u[ E ( x)] E[u ( x)] f(λx1+(1-λ)x2)≥λf(x1)+(1-λ)f(x2), 则f称为Ｉ上的凹函数.（向下凹） 特征：一阶导数＞0，二阶导数＜0
ij ij / i j
j 的收益 ••••• • • •••
收益 i 的收益
j 的收益 ••• •• ••• • • • •
i 的收益
j 的收益 ••• • ••• ••• • • ••• • • ••• ••• •••i 的 • • ••• ••• c.完全不相关
• • • a.完全正相关
1926-1999 年74年间美 国资本市场 大公司股票 和小公司股 票的收益率
（二）期望收益率 期望收益率应用的对象：随机变量 对于一个有限个取值的随机变量，可表示为：
E (r ) ri pi
i 1 n
期望收益率的两大要素：各种状态下可能的收 益率及其发生概率。
（三）风险的度量——方差与标准差
b . 完全负相关
PF:浦发银行 ZH:招商银行 BG:宝钢股份
不同相关性资产收益（2005.1-2005.12）
例
经济状况 萧条 衰退 正常 繁荣 Supertech RA -20% 10% 30% 50% Slowpoke RB 5% 20% -12% 9%
计算两个公司收益的协方差和相关系数
（二）证券市场风险的种类 市场风险 market risk 利率风险 interest risk 汇率风险 exchange rate risk 通胀风险 inflation risk 财务（违约）风险 financial risk, default risk 经营风险 business risk 流动性风险 liquidity risk
[ pi (ri r ) 2 ]1/ 2
i 1
n
例

假设财务分析人员坚信宏观经济将出现四种状况 ：萧条、衰退、正常、繁荣，每种状态出现的可 能性相同。Supertech公司的期望收益状况与宏 观经济状况基本一致，而Slowpoke公司的期望收 益状况并非如此。两个公司的预期收益如下：
概率
资产C
收益 概率
130
期望收益 130
1
Байду номын сангаас
120 140
130
1/2 1/2
110 150
130
1/2 1/2
假设：初始投资额为100元 资产A期望收益率 资产B期望收益率 资产C期望收益率
130 1 30 % 100
1 120 1 140 1 32.5% 2 98 2 98
1 110 1 150 1 37% 2 95 2 95
风 险 溢 价 分 别 为 ？
股权风险溢价之谜
1928-2002年美国金融市场的风险溢价
第二节 均值-方差分析


收益的衡量 以股票为例： 总收益=股利收入+资本利得（资本损失） 收益率的衡量 收益率=（至期末支付的股利+期初和期末 的价格变化）/期初价格

投资组合方差的矩阵列表：

方差
i j ij
2 p i 1 j 1
2 p i2 i2 2 i j i j i , j i 1 i 1 j 1 i j n n n
n
n
N个资产的多元化效应
举例： 假设：组合中所有的证券具有相同的方差（ VAR）；所有的协方差相同（COV），所有 证券在组合中的比例相同（1/N) 方差矩阵变为：
i
(二)资产组合的方差计算

两项资产组合收益率的方差为：
w w 2wA wB A,B
2 p 2 A 2 A 2 B 2 B
用相关系数的形式表示为：
w w 2wAwB A B AB
2 p 2 A 2 A 2 B 2 B
资产组合方差的大小依赖于单个资产的方差、各资 产间的相关系数以及投资比重。
经济状况 萧条 衰退 正常 繁荣 Supertech RA -20% 10% 30% 50% Slowpoke RB 5% 20% -12% 9%

计算期望收益：
RA 17.5%; RB 5.5%
•计算标准差：
A 25.86%; B 11.50%
二、风险资产之间的关联性——协方差和 相关系数
wA A wB B 0.2012
组合的标准差小于组合中各个证券标准差的加权平均数 原因： 组合中证券的相关系数小于1 重要结论：当由两种证券构成投资组合时，只要 AB 1 ， 组合的标准差就小于这两种证券各自的标准差的加权平均 数，组合的多元化效应就会发生作用。
四、N种资产构成的资产组合




马克维茨运用线性规划来处理收益与风险的权衡 问题，给出了选择最佳资产组合的方法，完成了 论文，1959年出版了专著，不仅分析了分散投资 的重要性，还给出了如何进行正确的分散方法。 马的贡献是开创了在不确定性条件下理性投资者 进行资产组合投资的理论和方法，第一次采用定 量的方法证明了分散投资的优点。他用数学中的 均值方差，使人们按照自己的偏好，精确地选择 一个确定风险下能提供最大收益的资产组合。获 1990年诺贝尔经济学奖。
方差：对资产实际收益率与期望收益率的偏离的 测度方法。单一风险资产的方差：
择的重要一点就是把收益 率的方差或标准差作为证 概率乘以相应离差的平方，然后再加总，即可得到方差 券收益风险的度量标准。
i 1

2 pi [ri E (r )]2马克维茨关于资产组合选
n
标准差（standard deviation）：方差的平方根。
r (1 rt ) 几何收益率的优点：减少无意义 t 1
n
3.几何收益率
1/ n
1
的收益率出现的可能性。
0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 -0.02 -0.04 -0.06 -0.08
浦发银行收益率的时间序列


前面对资产的历史收益进行了刻画和衡量，在将 来出售资产的收益是不确定的，将风险因素纳入 衡量收益的特征用概率统计相关术语，通过随机 变量的分布和概率密度函数的特征来刻画收益的 均值、风险。 收益作为随机变量的分布：正态分布
三、承担风险的回报——风险溢价
对于风险厌恶的投资者而言，资产本身隐含 的风险愈多，相应地必须能提供更多的预 期报酬作为投资者承担风险的补偿，这一 补偿成为风险溢价，或风险报酬（risk premium）。
风险溢价=风险期望资产收益率-无风险资产收益率
不同风险资产的比较
资产A
收益 概率 收益
资产B


假设A与B的期望收益是相等的，即： 100=500p+100(1-p) 风险厌恶型投资者会认为A、B资产带来的 效用不等
U[E(x)]>E[U(x)]
风险偏好型投资者 E[U(x)] > U[E(x)]
2、效用函数
当投资者投资风险资产时，其期末财富（或投资结果）是一 个随机变量。如果期末存在n种投资结果，其中第i种情形下 的财富为Xi，发生的概率为 P (0 i 1) i 由此，可以建立效用的期望值公式：
一、风险-收益的数学度量
（一）资产收益率的计算方法 1.持有期收益率 P P I 1 0
ri 假设一个投资者在期初购买某只证券， P 0 价格为每股20元，在第一年末该股票 n 2.算术平均收益率 价格为每股10元，第2年年末价格又达 r rt / n 到20元，整个投资期间该证券没有发 t 1 生任何分红派息等行为。
U (b) U (b)
u[ E ( x)] E[u( x)]
U (b)
U (a)
U (a)
U (a)
a
b
a
b
a
b
投资者风险类型及行为特征
（1）风险厌恶型（Risk Averse）：不喜欢风险， 承担风险必须相应的风险补偿。相同期望受益， 则选择风险较小的资产；或相同的风险，选择 收益最大资产。效用函数严格凹。 （2）风险中性型（Risk Neutral）：根据最大期 望收益率准则进行资产选择，购买风险资产以 后也得不到风险补偿。效用函数为线性。 （3）风险偏好型（Risk Seeker）：这类投资者 喜欢风险，为获取高收益而甘愿承担高风险。 赌博者、彩票者，投资ST、垃圾股票。 效用函 数严格凸。
第一节 风险与风险偏好
一、风险概述
(一)金融风险的内涵 金融市场是一个若干状态变量构成的复杂多变性 随机系统，这种金融系统中状态变量的事前不确 定性就是风险。 从整个金融经济学框架看，其核心在于如何分 散风险以及如何确定风险的合理价格。 对于投资学而言，其核心在于如何对资产定价 以及对不同风险资产进行优化配置。