7-3 用初等变换解线性方程组.
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第七章
7-1
7-2 7-3
矩阵代数
矩阵的概念及其应用
矩阵的初等变换与逆矩阵 用初等变换解线性方程组
温州职业技术学院
§7-3 用初等变换解线性方程组
一、矩阵的秩 例：用高斯消元法求解
例 1 一工厂有 1000 小时用于生产、维修和 检验，各工序的工作时间分别为 P，M，I，且满 足：P+M+I=1000，P=I-100，P+I=M+100，求各 工序所用时间分别为多少？
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§7-3 用初等变换解线性方程组 一、矩阵的秩
定义 1 满足以下两个条件的矩阵称为阶梯形矩 阵： 1. 零行（元素全为零的行）在最下方； 2. 任一非零行（元素不全为零的行）的首非零元素 （第一个不为零的元素）的列标随着行标递增而严格增 大． 用行初等变换得到的阶梯形矩阵称为行阶梯形矩 阵．
§7-3 用初等变换解线性方程组 二、线性方程组解的存在定理
例 4 解线性方程组
2 x1 x 2 3x 3 1 4 x1 2 x 2 5 x 3 4 2x x 4 x 0 2 3 1
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§7-3 用初等变换解线性方程组 二、线性方程组解的存在定理
温州职业技术学院
§7-3 用初等变换解线性方程组 三、线性方程组的解
例 4 解线性方程组
2 x1 x2 5 x3 x4 8 x 3x 6 x4 9 1 2 2 x2 x3 2 x4 5 x1 4 x2 7 x3 6 x4 0
温州职业技术学院
6 2 2 0
§7-3 用初等变换解线性方程组
一、矩阵的秩
例 2 用行初等变换将矩阵
2 0 1 3 A= 1 2 2 4 0 1 3 1
化为行最简阶梯形矩阵．
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§7-3 用初等变换解线性方程组
一、矩阵的秩
（3-1）
当 bi (i 1, 2 ,
, m) 不全为零时，称为非齐次线性方程组．
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§7-3 用初等变换解线性方程组
三、线性方程组的解
定理 设在线性方程组（3-1）中，有 （1） 若 R( A) R( A) r n ，则方程组有唯一解； （2） 若 R( A) R( A) r n ，则方程组有无穷多组解； （3） 若 R( A) R( A) ，则方程组无解．
定理 1（解的存在定理） 线性方程组有解的充分必要条件是 它的系数矩阵 A 的秩等于增广矩阵 A 的 秩，即 R( A) R( A) ．
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§7-3 用初等变换解线性方程组 二、线性方程组解的存在定理
例 5 判断线性方程组 x1 2 x 2 3 x 3 x 4 1 3 x1 x 2 5 x 3 3 x 4 6 2x x 2 x 2 x 8 2 3 4 1 是否有解．
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§7-3 用初等变换解线性方程组
三、线性方程组的解
定理 在齐次线性方程组（3-2）中
（1）当 R( A) n 时，方程组（3-2）只有零解； （2）当 R( A) n 时，方程组（3-2）有无穷多组解．
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§7-3 用初等变换解线性方程组
三、线性方程组的解
来自百度文库
例 6 解齐次线性方程组 x1 x2 x3 x4 0 x1 3 x2 x3 3 x4 0 x 2 x 3x 0 3 4 1
定义 3 设 A 为 m n 矩阵，则与 A 等价的行阶 梯形矩阵中非零行个数 r 称为矩阵 A 的秩，记作 R ( A) = r ，并规定 A O 时， R ( A) =0．
1 3 例 3 设 A= 1 4
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5 5 ，求 R（A） 2 3 1 4 7 11 9 19 2 1 3 2 4 0
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§7-3 用初等变换解线性方程组
一、矩阵的秩
例如，矩阵
就是一个阶梯形矩阵．虚线比较形象地表示出它的 “阶梯形” ．
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§7-3 用初等变换解线性方程组
一、矩阵的秩
而矩阵
2 0 0 0
1 4 6 4 5 7 2 1 2 0 0 0 0 0 0 0
就不是阶梯形矩阵
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§7-3 用初等变换解线性方程组
一、矩阵的秩
定义 2 满足以下两个条件的行阶梯形矩阵称为行 最简阶梯形矩阵： 1. 各个非零行的首非零元素都是 1； 2. 每个首非零元素所在的列其余元素都是零． 比如：
2 0 1 4 0 4 5 7 A= 0 0 0 1 0 0 0 0
三、线性方程组的解
2、齐次线性方程组 常数项全为零的线性方程组叫做齐次线性方 程组，其一般形式为：
a11 x1 a12 x 2 a1n x n 0 a x a x a x 0 21 1 22 2 2n n （3-2） a m1 x1 a m 2 x 2 a mn x n 0
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§7-3 用初等变换解线性方程组
三、线性方程组的解
例 5 解线性方程组
x1 2 x 2 2 x 3 x 4 7 2 x1 4 x 2 x 3 8 x 4 1 x 2x x x 4 2 3 4 1
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§7-3 用初等变换解线性方程组
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§7-3 用初等变换解线性方程组 三、线性方程组的解
1、非齐次线性方程组 设有 n 个未知量， m 个方程的线性方程组
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 a m1 x1 a m 2 x 2 a mn x n bm
7-1
7-2 7-3
矩阵代数
矩阵的概念及其应用
矩阵的初等变换与逆矩阵 用初等变换解线性方程组
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一、矩阵的秩 例：用高斯消元法求解
例 1 一工厂有 1000 小时用于生产、维修和 检验，各工序的工作时间分别为 P，M，I，且满 足：P+M+I=1000，P=I-100，P+I=M+100，求各 工序所用时间分别为多少？
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§7-3 用初等变换解线性方程组 一、矩阵的秩
定义 1 满足以下两个条件的矩阵称为阶梯形矩 阵： 1. 零行（元素全为零的行）在最下方； 2. 任一非零行（元素不全为零的行）的首非零元素 （第一个不为零的元素）的列标随着行标递增而严格增 大． 用行初等变换得到的阶梯形矩阵称为行阶梯形矩 阵．
§7-3 用初等变换解线性方程组 二、线性方程组解的存在定理
例 4 解线性方程组
2 x1 x 2 3x 3 1 4 x1 2 x 2 5 x 3 4 2x x 4 x 0 2 3 1
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§7-3 用初等变换解线性方程组 二、线性方程组解的存在定理
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§7-3 用初等变换解线性方程组 三、线性方程组的解
例 4 解线性方程组
2 x1 x2 5 x3 x4 8 x 3x 6 x4 9 1 2 2 x2 x3 2 x4 5 x1 4 x2 7 x3 6 x4 0
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6 2 2 0
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一、矩阵的秩
例 2 用行初等变换将矩阵
2 0 1 3 A= 1 2 2 4 0 1 3 1
化为行最简阶梯形矩阵．
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§7-3 用初等变换解线性方程组
一、矩阵的秩
（3-1）
当 bi (i 1, 2 ,
, m) 不全为零时，称为非齐次线性方程组．
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§7-3 用初等变换解线性方程组
三、线性方程组的解
定理 设在线性方程组（3-1）中，有 （1） 若 R( A) R( A) r n ，则方程组有唯一解； （2） 若 R( A) R( A) r n ，则方程组有无穷多组解； （3） 若 R( A) R( A) ，则方程组无解．
定理 1（解的存在定理） 线性方程组有解的充分必要条件是 它的系数矩阵 A 的秩等于增广矩阵 A 的 秩，即 R( A) R( A) ．
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§7-3 用初等变换解线性方程组 二、线性方程组解的存在定理
例 5 判断线性方程组 x1 2 x 2 3 x 3 x 4 1 3 x1 x 2 5 x 3 3 x 4 6 2x x 2 x 2 x 8 2 3 4 1 是否有解．
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三、线性方程组的解
定理 在齐次线性方程组（3-2）中
（1）当 R( A) n 时，方程组（3-2）只有零解； （2）当 R( A) n 时，方程组（3-2）有无穷多组解．
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三、线性方程组的解
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例 6 解齐次线性方程组 x1 x2 x3 x4 0 x1 3 x2 x3 3 x4 0 x 2 x 3x 0 3 4 1
定义 3 设 A 为 m n 矩阵，则与 A 等价的行阶 梯形矩阵中非零行个数 r 称为矩阵 A 的秩，记作 R ( A) = r ，并规定 A O 时， R ( A) =0．
1 3 例 3 设 A= 1 4
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5 5 ，求 R（A） 2 3 1 4 7 11 9 19 2 1 3 2 4 0
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一、矩阵的秩
例如，矩阵
就是一个阶梯形矩阵．虚线比较形象地表示出它的 “阶梯形” ．
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一、矩阵的秩
而矩阵
2 0 0 0
1 4 6 4 5 7 2 1 2 0 0 0 0 0 0 0
就不是阶梯形矩阵
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一、矩阵的秩
定义 2 满足以下两个条件的行阶梯形矩阵称为行 最简阶梯形矩阵： 1. 各个非零行的首非零元素都是 1； 2. 每个首非零元素所在的列其余元素都是零． 比如：
2 0 1 4 0 4 5 7 A= 0 0 0 1 0 0 0 0
三、线性方程组的解
2、齐次线性方程组 常数项全为零的线性方程组叫做齐次线性方 程组，其一般形式为：
a11 x1 a12 x 2 a1n x n 0 a x a x a x 0 21 1 22 2 2n n （3-2） a m1 x1 a m 2 x 2 a mn x n 0
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三、线性方程组的解
例 5 解线性方程组
x1 2 x 2 2 x 3 x 4 7 2 x1 4 x 2 x 3 8 x 4 1 x 2x x x 4 2 3 4 1
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§7-3 用初等变换解线性方程组 三、线性方程组的解
1、非齐次线性方程组 设有 n 个未知量， m 个方程的线性方程组
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 a m1 x1 a m 2 x 2 a mn x n bm