7-3 用初等变换解线性方程组.
用初等列变换解线性方程组
陈必红博士学术报告会：用初等列变换解线性方程组
⎛ A −B⎞ ⎜⎝ E O ⎟⎠ 然后, 只许做某列乘一数加到另一列的变换, 努力在上方消出尽可能多的零列. 如果上方的-B不能够被消成零列, 则原方程组 无解. 如果消成了零列, 则零列的下方将变成 方程组的特解. 在有解的情况下, A中的列消 成了一些零列, 它们的下方就是导出组的基础 解系, 如果没有列消成零列, 则特解就是唯一 解.
为证明它们线性无关, 将它们按列排成矩阵后
做列初等变换:
⎛ ⎜
−1
−k1
⎜ ⎜ 1 k1
⎜ −2 ⎜⎝
1 − 2k1
−
1− 2 k2 k3
k2
⎞ ⎟
⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠
c2 − k1c1
⎯c⎯3 −( ⎯12 +k2⎯)c1⎯→
⎛ ⎜ ⎜
⎜ ⎝⎜
−1 1 −2
0 0 1
0⎞
−1
⎟ ⎟
2⎟
1 + 2k2 + k3 ⎟⎠
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例
⎧ x1 + 5x2 − x3 − x4 = −1
⎪⎪ ⎨ ⎪
x1 − 2x2 + x3 + 3x4 3x1 + 8x2 − x3 + x4
=3 =1
⎩⎪x1 − 9x2 + 3x3 + 7x4 = 7
⎛1 5 −1 −1 1 ⎞
⎛1 0 0 0 0 ⎞
⎟
⎟
⎠
ξ3=(-1/2,0,0)T+k2(-1,1,0)T+k3(0,0,1)T
k1,k2为任意数
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矩阵的初等变换与线性方程组
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组本章的重点是研究矩阵更深层的性质——秩，它是矩阵理论的核心概念，是由德国数学家佛洛本纽斯在1879年首先提出的。
为了研究矩阵秩的概念，首先要介绍一个重要的工具———矩阵的初等变换概念，它不仅解决了求矩阵秩的问题，还是帮助求解线性方程组、求逆阵、判定向量组相关性等的有力工具，然后我们将应用秩理论解决方程组的求解问题，最后还要将初等变换概念在理论层次上加以提炼，即介绍初等方阵的概念。
§1 矩阵的初等变换矩阵的初等变换是矩阵之间的一种十分重要的变换，是从实际问题的解决中抽象得到的。
一、引例求解线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+=-+-=+-+=+--979634226442224321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x(1)(1) )(1B )(2B)(3B ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==+-=+-+00304244324321x x x x x x x x )(4B 问题10共采取了几种变换将(1)变为)(4B 的？（三种：(ⅰ) 交换方程的次序；(ⅱ) 用数)0(≠k 乘某方程； (ⅲ) 将某方程的k 倍加到另一方程上。
且这三种变换都可以看成是只对方程组的系数和常数项进行的）20在这三种变换下，(1)与)(4B 是否同解？即这三种变换是否都可逆？ （都可逆，即同解变换） 30采取这三种变换的目的是为了将(1)变为什么形状以便得到解？ （阶梯形。
其寓意：方程④表明方程组有一个多余的方程； 将③代入②得32x x =，表明3x (或2x )可任意取值，称之为自由未知量，其余的未知量称为非自由未知量，当某层的阶宽多于一个未知量时，就必有自由未知量，一般我们取每层阶梯的第一个未知量为非自由未知量，由于一旦确定下自由未知量，任给自由未知量一组数值，就可得到方程组的一个解，所以我们特别重视自由未知量）40 由于(1)与其增广矩阵)(b A B =构成一一对应，那这三种变换在矩阵中对应的效果是什么？⎝⎛=B ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------97963211322111241211 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------34330635500222041211⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----310620000111041211 5000310000111041211B =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---. 对于矩阵的行只作了三种变换，也就是说，为解线性方程组对方程组作变换，就相当于对其增广矩阵的行作同类变换，下面给出这三种对矩阵的行作的变换在矩阵中的正式定义：②-③ ③-2① ④-3① ①②③④①↔ ② ③ ÷③↔④ ④-2③ ③↔④ ④-2③ ①②③④②-③ ③-2①④-3① ②÷ 2③+5② ④-3②二、初等变换1、定义1 以下三种变换称为矩阵的初等行变换：(ⅰ) 对调两行（对调i 、j 两行记作：j i r r ↔）；(ⅱ) 以数k ≠0乘某行中的所有元素（第i 行乘k 记作：k r i ⨯）；(ⅲ) 将某行所有元素的倍加到另一行对应元素上去（将第j 行的k 倍加到第i 行记作：j i r k r +）。
矩阵初等变换解方程组
矩阵初等变换解方程组
矩阵初等变换是一种解线性方程组的有效方法。
下面是一个简单的例子，说明如何使用矩阵初等变换来解线性方程组。
假设我们有以下线性方程组：
y + 2z = 2
-x + 2y - z = 3
首先，我们将这个方程组写成增广矩阵的形式：
1 ]
[ 1 -1 2 | 2 ]
[-1 2 -1 | 3 ]。
初等变换包括：
1.交换两行
2.将一行乘以一个非零常数
3.将一行的若干倍加到另一行上
我们的目标是通过初等变换将增广矩阵转换为行最简形式，这样我们就可以直接读取方程的解。
现在，我们开始进行初等变换：
第一步，我们可以交换第一行和第二行，得到：
2 ]
[ 2 1 -1 | 1 ]
[-1 2 -1 | 3 ]
第三行的第一个元素：
1 -1 | 1 ]
[ 0 0 3 | 5 ]
第三步，我们可以将第二行减去第一行的两倍，以消去第二行的第一个元素：
[ 1 -1 2 | 2 ]
[ 0 3 -5 | -3 ]
[ 0 0 3 | 5 ]
除以3，以将第三个主元素变为1：
2 ]
[ 0 3 -5 | -3 ]
[ 0 0 1 | 5/3 ]
，以消去第二行的第三个元素：
]
[ 0 3 0 | 7 ]
[ 0 0 1 | 5/3 ]
元素变为1：
1 0 | 7/3 ]
[ 0 0 1 | 5/3 ]
：
1 0 | 7/3 ]
[ 0 0 1 | 5/3 ]
我们可以直接读取方程组的解：
3
z = 5/3
应用中，可能需要根据具体情况进行更多的初等变换步骤。
线性代数-矩阵的初等变换
求解未知量
根据行最简形式的矩阵，直接求解出未知量 的值。
案例分析：具体求解过程展示
案例一
01
简单线性方程组求解过程展示，包括构造增广矩阵、进行初等
变换和求解未知量等步骤。
案例二
02
复杂线性方程组求解过程展示，涉及更多未知量和更复杂的增
广矩阵，展示如何利用初等变换求解该类问题。
案例三
03
含参数线性方程组求解过程展示，通过引入参数，展示如何对
含参数的线性方程组进行求解和分析。
04 初等变换在矩阵秩计算中 应用
矩阵秩定义及性质
矩阵秩定义：矩阵A中不等 于0的子式的最大阶数称为
矩阵A的秩，记作r(A)。
矩阵秩的性质
矩阵的秩是非负的，且等于 其行秩或列秩。
若矩阵A可逆，则r(A)=n， 其中n为A的阶数。
若矩阵A为0矩阵，则 r(A)=0。
初等变换与矩阵的等价关系
通过初等变换，我们可以得到与原矩阵等价的矩阵。这种等价关系在线性代数中具有重要意义，它揭示了矩 阵之间的一种本质联系。
初等变换在求解线性方程组中的应用
通过对方程组的增广矩阵进行初等变换，我们可以将方程组化为简化阶梯形式，从而方便地求出方程组的解。
对未来研究方向和趋势展望
深入研究初等变换的 性质和应用
条件
01
非零行的首非零元为1；
02
首非零元所在列的其他元素全 为零。
03
性质
最简形矩阵是唯一的；
对于任意行阶梯形矩阵，总可
04
05
以通过初等行变换化为最简形
矩阵。
06
行阶梯形与最简形矩阵，二者都可以通过初等行变换得到。
区别
行阶梯形矩阵只要求非零行的首非零元所在列的上三角元素全为零，而最简形矩阵还要求非零行的首非零元为1， 且所在列的其他元素全为零。因此，最简形矩阵比行阶梯形矩阵具有更简洁的形式。
线代第四章线性方程组第一节
其中 k 为任意常数． 为任意常数．
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k 取遍所有实数时， 上 取遍所有实数时 ，
式也就取遍方程组的所有 解．这种解的表达形式称 为线性方程组的一般解． 为线性方程组的一般解． 一般解
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下三种关于 线性方程组的 关于线性方程组 以 下三种 关于 线性方程组 的 变换称为线性方程组的 初等变换： 初等变换 ：
(1) 交换某两个方程的位置； 交换某两个方程的位置； (2) 用一个非零数乘以某一个方程的两边； 用一个非零数乘以某一个方程的两边； (3) 将一个方程的倍数加到另一个方程． 将一个方程的倍数加到另一个方程．
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对线性方程组用消元法 对应方程组的增广矩阵
， x1 + x 2 + 2 x3 = 1 1 1 2 1 − 3 x 2 − 2 x3 = 2， B3 = 0 −3 −2 2 ； 0 0 −2 −4 − 2 x3 = −4；
b1 b2 ． ⋮ bm
x1 b1 x b 2 ， b = 2 ，则线性方程组 则线性方程组(4.1)可写为： 可写为： 令x = 可写为 ⋮ ⋮ xn bm
Ax = b ．
为方程组(4.1)的矩阵形式． 称(4.2)为方程组 为方程组 的矩阵形式．
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第一节 利用矩阵的初等变换解线性方程组
线性方程组的几种求解方法
线性方程组的几种解法线性方程组形式如下：常记为矩阵形式其中一、高斯消元法高斯（Gauss)消元法的基本思想是：通过一系列的加减消元运算，也就是代数中的加减消去法，将方程组化为上三角矩阵；然后，再逐一回代求解出x向量。
现举例说明如下：（一）消元过程第一步：将(1)/3使x1的系数化为1 得再将(2)、(3)式中x1的系数都化为零，即由(2)-2×(1)(1)得由(3)-4×(1)(1)得)1(32)2(......3432=+xx)1(321)1(......23132=++xxx第二步：将(2)(1)除以2/3，使x 2系数化为1，得再将(3)(1)式中x 2系数化为零，即 由(3)(1)-(-14/3)*(2)(2)，得第三步：将(3)(2)除以18/3，使x 3系数化为1，得经消元后，得到如下三角代数方程组：（二）回代过程由(3)(3)得 x 3=1, 将x 3代入(2)(2)得x 2=-2, 将x 2 、x 3代入(1)(1)得x 2=1 所以，本题解为[x]=[1,2,-1]T（三）、用矩阵演示进行消元过程第一步： 先将方程写成增广矩阵的形式第二步：然后对矩阵进行初等行变换初等行变换包含如下操作（1） 将某行同乘或同除一个非零实数（2） 将某行加入到另一行 （3） 将任意两行互换第三步：将增广矩阵变换成上三角矩阵，即主对角线全为1，左下三角矩阵全为0，形)3(3)3(......1-=x )2(3)3( (63)18-=x )2(32)2(......02=+x x )1(32)3( (63)10314-=--x x示例：（四）高斯消元的公式综合以上讨论，不难看出，高斯消元法解方程组的公式为1．消元（1）令a ij(1) = a ij , （i,j=1,2,3,…,n）b i(1) =b i , （i=1,2,3,…,n）（2）对k=1到n-1，若a kk(k)≠0，进行l ik = a ik(k) / a kk(k) , （i=k+1,k+2,…,n）a ij(k+1) = a ij(k) - l ik * a kj(k), （i,j= k+1,k+2,…,n）b i(k+1) = b i(k) - l ik * b k(k), （i= k+1,k+2,…,n）2．回代若a nn(n) ≠0x n = b n(n) / a nn(n)x i = (b i(i) – sgm(a ij(i) * x j)/- a ii(i),（i = n-1,n-2,…,1）,( j = i+1,i+2,…,n )（五）高斯消元法的条件消元过程要求a ii(i) ≠0 (i=1,2,…,n),回代过程则进一步要求a nn(n) ≠0,但就方程组Ax=b 讲，a ii(i)是否等于0时无法事先看出来的。
线性方程组求解
第三章 线性方程组§1 消元法一、线性方程组的初等变换现在讨论一般线性方程组。
所谓一般线性方程组是指形式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++sn sn s s n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212*********,, （1） 的方程组，其中n x x x ,,,21 代表n 个未知量,s 是方程的个数，),,2,1;,,2,1(n j s i a ij ==称为线性方程组的系数,),,2,1(s j b j =称为常数项.方程组中未知量的个数n 与方程的个数s 不一定相等。
系数ij a 的第一个指标i 表示它在第i 个方程，第二个指标j 表示它是j x 的系数。
所谓方程组（1)的一个解就是指由n 个数n k k k ,,,21 组成的有序数组),,,(21n k k k ，当n x x x ,,,21 分别用n k k k ,,,21 代入后，（1)中每个等式都变成恒等式. 方程组(1）的解的全体称为它的解集合.解方程组实际上就是找出它全部的解，或者说，求出它的解集合。
如果两个方程组有相同的解集合,它们就称为同解的.显然，如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项，那么这个线性方程组就基本上确定了。
确切地说，线性方程组（1)可以用下面的矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛s sns s n n b a a a b a a a b a a a21222221111211 (2） 来表示。
实际上，有了(2）之后，除去代表未知量的文字外线性方程组（1)就确定了，而采用什么文字来代表未知量当然不是实质性的.在中学所学代数里学过用加减消元法和代入消元法解二元、三元线性方程组.实际上，这个方法比用行列式解线性方程组更有普遍性.下面就来介绍如何用一般消元法解一般线性方程组.例如，解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+-.522,4524,132321321321x x x x x x x x x 第二个方程组减去第一个方程的2倍，第三个方程减去第一个方程，就变成⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=+-.42,24,1323232321x x x x x x x 第二个方程减去第三个方程的2倍,把第二第三两个方程的次序互换，即得⎪⎩⎪⎨⎧-==-=+-.6,42,132332321x x x x x x 这样，就容易求出方程组的解为（9，-1，—6）。
浅析线性方程组的解法及应用
目录摘要 ......................................................................... Abstract (I)第一章绪论 01.1 引言 0第二章行列式与线性方程组求解 02.1 标准形式的二元线性方程组 02.2 标准形式的三元线性方程组 (1)2.3 克莱姆法则 (2)2.3.1逆序数 (2)2.3.2 克莱姆法则 (3)第三章线性方程组的理论求解 (5)3.1 高斯消元法 (5)3.2 线性方程组解的情况 (6)3.3 将非齐次方程组化为齐次方程组求解方法 (7)第四章求解线性方程组的新方法 (8)第五章线性方程组的应用 (10)5.1 投入产出数学模型 (10)5.2 齐次线性方程组在代数中的应用 (13)第六章结论 (15)参考文献 (16)致谢 (17)浅析线性方程组的解法及应用学生：陈晓莉指导教师：余跃玉摘要：线性方程组的求解方法在代数学中有着极其重要的作用.本文介绍了有关线性方程组的一些基本求解方法，由二元到三元的线性方程组，再到n姐线性方程组，其中详细介绍了克莱姆法则。
然后是对于齐次方程组和非齐次线性方程组，介绍了线性方程组的理论解法，里面介绍了消元法、解的情况、将非线性化成线性方程组来求解。
并且给出了相关的例题，可以加深对线性方程组求解的方法的认识。
对于线性方程组还有什么解法，本文也将有探讨。
介绍了这么多解线性方程组的求解，相信在今后解线性方程组会更加方便。
最后还有关于线性方程组的应用，主要介绍了关于投入产出的数学模型，在经济分析与管理中会经常用到。
关键词:线性方程组; 高斯消元法；行列式SOLUTION OF LINEAR EQUATIONS ANDAPPLICATIONStudent: Chen Xiaoli Supervisor: Yu Y ueyuAbstract: Method for solving linear equations plays a very important role in algebra. This paper introduces some basic methods for solving linear equations, from two yuan to three yuan of linear equations, and then to sister n linear equations, which introduces the Clem rule. Then the homogeneous equations and nonhomogeneous linear equations, introduces the theoretical solution of linear equations, which describes the elimination method, solution of the situation, the nonlinear into linear equations. And gives the relevant examples, we can get a deeper understanding method for solving linear equations. For what the solution of linear equations, this paper will also discuss. Introduced so many solution of linear equations, believe that in the future will be more convenient for the solution of linear equations. Finally, on the application of linear equations, mainly introduces the mathematical model of input and output, is frequently used in the economic analysis and management.Keywords: linear equations; Gauss elimination method; determinant第一章 绪论1.1 引言线性代数的核心内容是解线性方程组。
第三章 线性方程组解法
§3.3 高斯－塞德尔迭代
x ik 1a 1 ii(b iij 1 1a ijxk j 1j n i 1a ijxk j),i 1 ,2 ...,n
大家好
21
§3.1 问题的提出
由原方程
8x1 x2 4 x1 10 x2
2x3 12 x3 21
3x1 2x2 5x3 16
构造
xx12((kk11))
2.5x2(k) 0.25x3(k) 1.5x1(k) 2.5x3(k)
5.25 8.0
(2) (3)
x3(k1) 4x1(k) 0.5x2(k) 6.0
§3.1 问题的提出
是方程组的精确解，用有限次运算得不到精 确解。迭代法是牛顿最先提出来的，1940年 经司威尔提出的松弛法也是一种迭代法，共 轭梯度法则是另一种迭代法，是弗莱彻等人 于20世纪60年代提出来的。
大家好
16
§3.1 问题的提出
例3.1
5x 2y 8 3x 20 y 26
5) 给出估计误差和迭代停止判据。
大家好
25
§3.1 问题的提出
❖ 定义：在n维空间中给定一个向量序
列 x k ，xk (x1 k,x2 k,...xn k)T ，如果对每一个分
量
x
k i
,当
k
时都有极限xi,
即
lim
k
xik
矩阵的初等变换_2023年学习资料
方程组的同解变换与增广矩阵的关系-在解线性方程组的过程中，我们可以把一个方程变为另-一个同解的方程，这种变 过程称为同解变换-同解变换有：交换两个方程的位置，把某个方程乘以一个-非零数，某个方程的非零倍加到另一个方 上.-线性方程组与其增广矩阵相互对应，对方程组的变换完-全可以转换为对方程组的增广矩阵的变换-把方程组的上 三种同解变换移植到矩阵上，就得到矩-阵的三种初等变换，-5
?矩阵初等变换举例-2--1-12-r1←今r2-11-4-1-2-14-3÷2-4-6-2-3--9-3 -7-2'3-2r1-0-5-1-3-r3t>r4--2r3-1-r2-00-.-3-可以证明，对于任何矩 A,总可经过有限次初等行变换-把它变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵-10
?矩阵初等变换举例-2--1-12--21-4--10-14-01--11-3-4-6--24-00-.-7-行最简形矩阵与线性方程组的解-因为有上述等价关系，所以有同解线性方程组-2x-x2-53+x4=2X3-=4-X+x2-2x3+x4=4-X2一X3-=3-4x-6x2+2x-2x4=4-4=-3-3x1 6x2-9x3+7x4=9-0=0-c+4-=x3+4-c+3-其解为x2=x+3,其x3为自由未知数.x -=C-七4=-3-其中c为为矩阵的初等行（列）变换：-对调两行（列）；-以非零数k乘某一行（列）中的 有元素；-3把某一行（列）的k倍加到另一行（列）上去：-初等变换的符号-rcC对调i,两行（列）；-换法变 -rkC×k表示第行（列）乘非零数k,倍法变换-r+krc+kc表示第行（列）的k倍加到第行（列）上.消法 换-这三种变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等-变换。-6
第二讲：矩阵初等变换与线性方程组
3．同解方程组
如果两个线性方程组有相同的解集合，则称它们 是同解的．
4. 方程组的同解变换 例 解线性方程组
2x2 x3 1 x1 x2 x3 0
2x1 x2 x3 2
对此线性方程组,可做如下三种消元变换: (1) 互换两个方程的位置; (2) 把某一个方程的两边同乘以一个非零常数c; (3) 将某一个方程加上另一个方程的k倍.
进而 有
m,n Z , m P, n
m 0 m P.
n
n
而任意一个有理数可表成两个整数的商，
Q P.
练习 判断数集 P1, P2 是否为数域？为什么? P1 {2n 1 | n Z },
P2 {n 2 | n Z } Z( 2).
变换ri 2rj不可写成2rj ri； 2ri 3rj无此变换；
1 0 练习：对矩阵 1 1
2 1
1 0 2 r2 +r1
解：
1
1
1
r3 -2r1
2 1 1
2
1
作初等行变换。
1
1 0 2
00
1 1
3-3
r3 -r2
5 +3x4
0
(2)
2x3 4x4 7
x22 x32 13
x1 x2 x3 0
2x - y 3 ex y 3z 5
4
(3)(4)为非线性方程组。
1. 线性方程组与矩阵(P105)
线性方程组的一般形式为
线性方程组解的求法
将第一个方程加到第三个方程上;将第
一个方程的-1倍加到第四个方程上，得
到
x1 2x2 3x3 x4 5,
6x3 3x4 13, 6x3 3x4 13,
12x3 6x4 26.
， 把第二个方程加到第三个方程上;第二个 方程的-2倍加到第四个方程上,得
，
x1 2x2 3x3 x4 5,
0
0
1
1 13 2 6
，
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
由最后的阶梯形矩阵，即可写出方程组的
同解方程组，进而得到方程组的解.
下面研究一般线性方程组的解法. 设线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn b1,
a21x1 a22 x2 a2n xn b2 ,
，
（4.2.1）
am1x1 am2 x2 amn xn bm .
，
它的系数矩阵为 A,增广矩阵为 A ,R(A)= R(A) r .
由于 R(A) r,则矩阵 A 则矩阵中至少
则矩阵中至少有一个r阶子式不为0,从而 这个不为0的r阶子式所在的r个行向量线 性无关.不失一般性,不妨设它位于 A 的左
0
1
0
1
2
0
0
1
(1 )2
2
下面对λ的取值情况进行讨论.
当 1, 2 时,方程组有唯一解：
x1
λ 1, 2 λ
x2
2
1
λ
,
x3
λ 12
2 λ
当 1 时,RA R A 1 3, 原方程组
的同解方程组为：
x1 x2 x3 1
方程组的通解为
xx12
1
x2 x2 ,
知识点1线性方程组解的判定1.初等变换法求解线性方程组在矩阵的
知识点1 线性方程组解的判定1.初等变换法求解线性方程组在矩阵的初等行变换的知识点中，我们已经发现，用消元法解线性方程组的过程，相当于对该方程组的系数与右端常数项对应位置构成的矩阵作初等行变换，方程组的求解过程实质上是对方程组的增广矩阵()|A b 作相应变化，化为行最简形进行求解的过程。
2.例1: 解方程组123123132314254226x x x x x x x x -+=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩对该方程组的增广矩阵初等行变换：()213142542026-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A b 3221312213121310412011501150412r r r r r r ↔----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪−−−→-−−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭3242131011500318r r --⎛⎫ ⎪−−−→- ⎪ ⎪-⎝⎭12112133100901010016r r r r +⨯⨯⎛⎫ ⎪−−−→-⎪ ⎪-⎝⎭最后的矩阵对应方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-==619321x x x ，即为解。
例2:求解线性方程组： 1212122422136x x x x x x +=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩解：()21312332251241242210671360521241240190190520047r r r r r r r r ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-−−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪−−−→--−−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A b最后的矩阵第三行，对应的方程为0=47， 矛盾，所以方程组无解。
例3：解齐次线性方程组Ax θ=，其中系数矩阵为121124113620A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭。
解：121124113620A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭121100130013-⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪-⎝⎭121100130000-⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪⎝⎭120200130000-⎛⎫⎪→- ⎪ ⎪⎝⎭对应的齐次方程组为1243422030x x x x x +-=⎧⎨-=⎩选择24,x x 作为自由未知量，方程变为12434223x x x x x =-+⎧⎨=⎩令2142x k x k =⎧⎨=⎩得11232223x k k x k =-+⎧⎨=⎩。
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就不是阶梯形矩阵
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§7-3 用初等变换解线性方程组
一、矩阵的秩
定义 2 满足以下两个条件的行阶梯形矩阵称为行 最简阶梯形矩阵： 1. 各个非零行的首非零元素都是 1； 2. 每个首非零元素所在的列其余元素都是零． 比如：
2 0 1 4 0 4 5 7 A= 0 0 0 1 0 0 0 0
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§7-3 用初等变换解线性方程组 三、线性方程组的解
1、非齐次线性方程组 设有 n 个未知量， m 个方程的线性方程组
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 a m1 x1 a m 2 x 2 a mn x n bm
定理 1（解的存在定理） 线性方程组有解的充分必要条件是 它的系数矩阵 A 的秩等于增广矩阵 A 的 秩，即 R( A) R( A) ．
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§7-3 用初等变换解线性方程组 二、线性方程组解的存在定理
例 5 判断线性方程组 x1 2 x 2 3 x 3 x 4 1 3 x1 x 2 5 x 3 3 x 4 6 2x x 2 x 2 x 8 2 3 4 1 是否有解．
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§7-3 用初等变换解线性方程组
三、线性方程组的解
定理 在齐次线性方程组（3-2）中
（1）当 R( A) n 时，方程组（3-2）只有零解； （2）当 R( A) n 时，方程组（3-2）有无穷多组解．
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§7-3 用初等变换解线性方程组
三、线性方程组的解
例 6 解齐次线性方程组 x1 x2 x3 x4 0 x1 3 x2 x3 3 x4 0 x 2 x 3x 0 3 4 1
三、线性方程组的解
2、齐次线性方程组 常数项全为零的线性方程组叫做齐次线性方 程组，其一般形式为：
a11 x1 a12 x 2 a1n x n 0 a x a x a x 0 21 1 22 2 2n n （3-2） a m1 x1 a m 2 x 2 a mn x n 0
第七章
7-1
7-2 7-3
矩阵代数
矩阵的概念及其应用
矩阵的初等变换与逆矩阵 用初等变换解线性方程组
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§7-3 用初等变换解线性方程组
一、矩阵的秩 例：用高斯消元法求解
例 1 一工厂有 1000 小时用于生产、维修和 检验，各工序的工作时间分别为 P，M，I，且满 足：P+M+I=1000，P=I-100，P+I=M+100，求各 工序所用时间分别为多少？
（3-1）
当 bi (i 1, 2 ,
, m) 不全为零时，称为非程组
三、线性方程组的解
定理 设在线性方程组（3-1）中，有 （1） 若 R( A) R( A) r n ，则方程组有唯一解； （2） 若 R( A) R( A) r n ，则方程组有无穷多组解； （3） 若 R( A) R( A) ，则方程组无解．
§7-3 用初等变换解线性方程组 二、线性方程组解的存在定理
例 4 解线性方程组
2 x1 x 2 3x 3 1 4 x1 2 x 2 5 x 3 4 2x x 4 x 0 2 3 1
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§7-3 用初等变换解线性方程组 二、线性方程组解的存在定理
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6 2 2 0
§7-3 用初等变换解线性方程组
一、矩阵的秩
例 2 用行初等变换将矩阵
2 0 1 3 A= 1 2 2 4 0 1 3 1
化为行最简阶梯形矩阵．
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§7-3 用初等变换解线性方程组
一、矩阵的秩
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§7-3 用初等变换解线性方程组
三、线性方程组的解
例 5 解线性方程组
x1 2 x 2 2 x 3 x 4 7 2 x1 4 x 2 x 3 8 x 4 1 x 2x x x 4 2 3 4 1
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§7-3 用初等变换解线性方程组
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§7-3 用初等变换解线性方程组 一、矩阵的秩
定义 1 满足以下两个条件的矩阵称为阶梯形矩 阵： 1. 零行（元素全为零的行）在最下方； 2. 任一非零行（元素不全为零的行）的首非零元素 （第一个不为零的元素）的列标随着行标递增而严格增 大． 用行初等变换得到的阶梯形矩阵称为行阶梯形矩 阵．
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§7-3 用初等变换解线性方程组
一、矩阵的秩
例如，矩阵
就是一个阶梯形矩阵．虚线比较形象地表示出它的 “阶梯形” ．
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§7-3 用初等变换解线性方程组
一、矩阵的秩
而矩阵
2 0 0 0
1 4 6 4 5 7 2 1 2 0 0 0 0 0 0 0
定义 3 设 A 为 m n 矩阵，则与 A 等价的行阶 梯形矩阵中非零行个数 r 称为矩阵 A 的秩，记作 R ( A) = r ，并规定 A O 时， R ( A) =0．
1 3 例 3 设 A= 1 4
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5 5 ，求 R（A） 2 3 1 4 7 11 9 19 2 1 3 2 4 0
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§7-3 用初等变换解线性方程组 三、线性方程组的解
例 4 解线性方程组
2 x1 x2 5 x3 x4 8 x 3x 6 x4 9 1 2 2 x2 x3 2 x4 5 x1 4 x2 7 x3 6 x4 0