第九章 非线性时间序列模型讲解

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函数系数自回归模型
函数系数自回归模型为
xt c f1 xt d xt 1 f p xt d xt p t 其中c为常数， fi ( i 1, , p )为p个一元非参数
0 d p 为整数，称为滞后参 型的未知函数， 数， t 是白噪声序列，模型记为 FCAR(p)，p为模型的阶数。 返回
xt j xt j k t k il xt l t i
j 1 k 0 i 1 l 1
t 是白噪声序列。 其中p，q，Q和P是非负整数， 返回 8 上海财经大学统计学系
非参数时间序列模型
• 非参数自回归模型的一般形式为
t 是白噪声序 其中 是 R p到 R1 的可测函数， 列。模型(9.22)有如下两种特殊形式。 • （1）可加非线性自回归模型 （2）函数系数自回归模型
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§9.2 条件异方差模型
• ARCH模型 • GARCH 模型 • 模型推广形式
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ARCH模型的定义
ARCH(q)模型定义如下：
yt xt t t 1, 2,, T 若随机过程t 的 t2平方服从AR(q) 过程，即
非线性时间序列模型
• 一般非线性时间序列模型介绍 • 条件异方差模型
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§9.1 一般非线性时间序列模型 介绍
• 参数非线性时间序列模型 • 非参数时间序列模型
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参数非线性时间序列模型
• SETAR (Self-exciting threshold autoregressive model)模型 • 拟线性自回归模型 • 指数自回归模型 • 双线性模型
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E ( ) 存在的 • 定理9.1 对于ARCH(1)模型， 充要条件是 r r
2r t
1 (2 j 1) 1
j 1
• 定理9.2 ARCH(q)二阶平稳的充要条件是 相应的特征方程的所有根都大于1，此时平 稳序列 t 的无条件方差为
E ( t2 ) 0
k 1 p

xt21
x
t k
t
(9.17)
00 ,0k ,1k (k 1,, p) 和 0 其中 t 是白噪声序列， 为未知参数，正整数 p 为模型的阶数，模型(9.17) 记为EAR(p)。
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双线性模型
• 双线性模型由Granger和Anderson（1978）提出， 并得到进一步研究和发展，Subba Rao和Gabr （1984）讨论了这个模型的一些性质和应用，Liu 和Brockwell（1988）推广到一般的双线性模型 • 双线性模型形式 p q Q P
t 0 1 1 t 1 t p s s t 1
, ,xt p t
p
其中 f i (i 1,, s)
是s个已知的 R 到 R 的 i (i 1,, s)。 可测函数， t 是白噪声序列，
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指数自回归模型
指数自回归模型为
xt 00 0k 1k e
t2 0 1t21 2t22 qt2q t
t
t
其中t 独立同分布，且有E( ) 0 ， D( ) ； i 0 0 0， ( i 1, 2,, q )，则称 t 服从q阶的ARCH过程，记作 t ARCH(q)。
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xt xt 1 , ,xt p t
(9.22)
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可加非线性自回归模型
可加非线性自回归模型为 xt c f1 xt 1 f p xt p t
其中c为常数，fi ( i 1, , p ) 为p个一元非参数 型的未知函数， t 是白噪声序列，模型记 为ANLAR(p)，p为模型的阶数。
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R x , ,x : r x r , j 1, ,l 当分割为 j 1 p j d j 1
其中 l d p 为某个整数，称此模型为Self-exciting Threshold Autoregressive Model ，其形式为 l p xt jk xt k I rj xt d rj 1 t (9.6) j 1 k 1 其中 r1 r2 rl rl 1 整数d称为滞后参数， r2 ,, rl 称为门限参数， 模型(9.6）记为SETARl; p1 ,, pl 模型
j
SETAR (Self-exciting threshold autoregressive model)模型
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4源自文库
考虑一个简单的 SETAR2;1,1 模型
-0.7xt 1 t , xt 0.7 xt 2 t , xt 1 r xt 1 r
t N(0,0.52 )
r分别取 , 1, 0.5,0四个数值，我们对每个模 型分别产生样本长度是500的序列。当 r 时，TAR模型退化成线性AR(1)过程。其他三种情 况，显示了明显的非线性特征。
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拟线性自回归模型
拟线性自回归模型为 x f x , ,x f x
q 1 j j 1
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L( ) log f ( yt xt , Yt 1; )
t 1
T
ARCH模型的极大似然估计
• yt xt t , t 1,2,, T 的对数似然函数为 T L( ) log f ( y x , Y ; ) log(2 ) l ( ) 2 • 对数似然函数关于参数的一阶偏导数为