运筹学_线性规划_数学模型

足约束条件的所有(x1，x2，…，xn)（可 行解）中求出使目标函数达到最大(小)z
值的决策变量值(x1*，x2*，…，xn*)（最
优解）。
1.和式
max（或 min ） Z
c
j 1
n
j
xj
s .t .
n a ij x j ( 或 ， ) b i j 1 x ij 0
单位产 品消耗 原料 原料名称
产品名称
甲
乙
可供利用的原料 数量（吨/日） 6 8
A B
产品售价 （千元/吨）
1 2 3
2 1 2
根据市场调查，有如下资料： 1.乙产品的需求量至多 2 吨/日; 2.乙产品的需求量比甲产品的需求量至多大 1 吨/日。 求该厂产值最大的生产方案。
提出三个问题大家考虑：
四、线性规划问题的标准形式
为了使线性规划问题的解法标准，就要把一般形式 化为标准形式。其一般形式如下所示：
线性规划的标准形式：
线性规划问题标准形式的要求如下： 1、目标函数为
3、bi≥0，i=1,2,…m; 4、除非负约束外（ xj≥0 ），其余 约束都为等式。
X ( x1 , x 2 , , x n ) ;
T
C ( c 1 , c 2 , , c n ); b ( b1 , b 2 , , b m ) ;
T
a 11 a 21 A a m1
a 12 a 22 am2

a1n a2n a mn
市场限制
非负限制
例 2．靠近某河流有两个化工厂（见图） ，流经第一化工厂的河 流流量为每天 500 万 m ，在两个工厂之间有一条流量为每天 200 万 m 的支流。 第一化工厂每天排放含有某种有害物质的工业污水 2 万 m ，第二化工厂每天排放这种工业污水 1.4 万 m 。从第一化工 厂排出的工业污水流到第二化工厂以前，有 20%可以自然净化。根 据环保要求，河流中工业污水的含量不应大于 0.2%。这两个工厂 都需各自处理一部分工业污水。第一化工厂处理工业污水的成本 是 1000 元/万 m ， 第二化工厂处理工业污水的成本是 800 元/万 m 。 现在要问在满足环保要求的条件下，每厂各应处理多少工业污水， 使这两个工厂总的处理工业污水费用最小。
i 1, ， m j
1, , n
2.向量式
max（或 min ） Z CX n （或 ， ） b P j x j j 1 X 0
X ( x1 , x 2 , , x n )
0 0 0 0
1.问题的未知数是什么？ 2.以什么准则进行决策？ 3.约束条件是什么？
例1：（产品组合问题）
某厂利用A、B两种原料，生产甲、乙两种产品，有关数据如下：
单位产 品消耗 原料 原料名称
产品名称
甲
乙
可供利用的原料 数量（吨/日） 6 8
A B
产品售价 （千元/吨）
1 2 3
2 1 2
根据市场调查，有如下资料：
一、线性规划数学模型的建立
建立线性规划数学模型是解决线性规划问
题的一个重要步骤。
建立的线性规划数学模型是否真正的反映
客观实际，数学模型本身是否正确，都直接影
响求解结果，从而影响决策结果，所以，建立
正确的线性规划模型尤为重要。下面举例说明
线性规划数学模型的建立。
例1：（产品组合问题）
某厂利用A、B两种原料，生产甲、乙两种产品，有关数据如下：
标准形式的变换方法

1.目标函数为min型，价值系数一律反号。
因为求min Z等价于求max (-Z)，所以可令Z'= -Z，即化为max Z'

2.第i 个约束的bi 为负值，则该行左右两端系数同时反号，同时不等号也 要反向。 3.第i 个约束为 型，在不等式左边增加一个非负的变量xn+i ，称为松弛 变量；同时令 cn+i = 0，不等式变为等式。 4.第i 个约束为 型，在不等式左边减去一个非负的变量xn+i ，称为剩余 变量；同时令 cn+i = 0，不等式变为等式。 5.若xj 0，令 xj= -xj ，代入非标准型，则有xj 0
n : 变量个数 ; m : 约束行数 ;
x n ( , ) b1 x n ( , )b2 x n ( , )bm xn 0
s .t .
n m : 线性规划问题的规模 c j : 价值系数 ; b i : 右端项 ; a ij : 技术系数
求解线性规划问题的任务是：在满
• 1.利奥尼德· 康托洛维奇（1912-1986）
• 2.G.B.丹齐克（Dantzing，1914-2005） •
• 几个重大历史事件：
• 1939年，前苏联数学家康托洛维奇出版《生产组织和计划中 的数学方法》一书 • 1947年，美国数学家丹齐克提出单纯形算法（Simpler） • 1951年美国经济学家库普曼斯出版《生产与配置的活动分析》 • 1950-1956年，线性规划的对偶理论出现 • 1960年丹齐克与沃尔夫建立大规模线性规划问题的分解算法 • 1975年康托洛维奇和库普曼斯因“最有资源配置理论的贡献” 荣获诺贝尔经济学奖 • 1979年苏联数学家Khachian提出“椭球法” • 1984年印度数学家Karmarkar提出“投影梯度法” •
s.t.
二、线性规划问题的共同特征 （模型的三要素）
⑴ 每一个问题都用一组决策变量(x1，x2，…，xn)表示某 一方案；这组决策变量的值就代表一个具体方案。一 般这些变量取值都是非负的。 ⑵ 存在一定的约束条件，这些约束条件可以用一组线性
等式或线性不等式来表示。
⑶ 都有一个要求达到的目标，它可用决策变量的线性函 数（称为目标函数）来表示。按问题的不同，要求目 标函数实现最大化或最小化，max或min。
1.乙产品的需求量至多 2 吨/日;
2.乙产品的需求量比甲产品的需求量至多大 1 吨/日。
求该厂产值最大的生产方案。
1.问题的未知数是什么？ 2.以什么准则进行决策？ 3.约束条件是什么？
设未知数
目标函数
约束方程
这里生产方案指的是如何安排甲、乙产品的产量。显然，产量是未 知数。 ① 设：甲产品的产量为 x1 吨/日 乙产品的产量为 x2 吨/日
min z x 1 2 x 2 3 x 3 x2 2 x1 x2 3 x1 4 x1 2 x 2 x 0, x 2 1 x3 9
2 x3 4 3 x3 6 0, x3 取值无约束
令 z z
x3 0



6.若xj 无约束（不限），令 xj= xj - xj， xj 0，xj 0，代入非标准型
变换举例
例1.将下述线性规划问题化为标准型：
m in z x1 2 x 2 3 x 3 2 x1 x 2 3 x1 x 2 s .t . 4 x 2 x2 1 x 0, x 2 1 x3 9 2 x3 4 3 x3 6 0 , x 3无 约 束
三、线性规划数学模型的一般表示方式
max ( min )Z(x) c1 x1 c 2 x 2 c n x n
a 11 x 1 a 12 x 2 a 1 n a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n a x a m 2 x 2 a mn m1 1 x1 , x 2 , ,
T
s .t .
C ( c 1 , c 2 , , c n );
a1 j a2 j Pj a mj
b1 b2 b b m
3.矩阵式
max （或 min ） Z CX s.t. AX （或 ， ） b X 0
设 xj 分别代表采用切割方案1~8所需7.4米的钢
筋的数量。
若目标函数为使购买的7.4m钢筋最少, 则有 min Z x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 2 x1 x2 x3 x4 2 x2 x3 3 x5 2 x6 x7 x1 x3 3 x4 2 x6 3 x7 4 x8 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 , x8 100 100 100 0
整理得数学模型： 目标函数： min z = 1000 x1 + 800 x2 约束条件： s.t.
x1 1
x1 2 x2 1.4
0.8 x1 + x2 1.6
x1 0 ， x2 0
例3、合理下料问题
用7.4m长的钢筋，分别截取2.9m、2.1m、1.5m各 至少100根，要求用料最少。
s.t.
若目标函数为余料最少, 则有 min Z 0.1x1 0.3 x2 0.9 x3 0 x4 1.1x5 0.2 x6 0.8 x7 1.4 x8 2 x1 x2 x3 x4 2 x2 x3 3 x5 2 x6 x7 x1 x3 3 x4 2 x6 3 x7 4 x8 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 , x8 100 100 100 0
第一章 线性规划问题及单纯形法


线性规划问题及其数学模型
图解法


单纯形法原理
单纯形法计算步骤

单纯形法的进一步讨论
• 线性规划（概论）
•
•
两个重要人物：
苏联数学家，对经济学的主要贡献在于：建立 和发展了线性规划方法，并运用于经济分析，对 线性规划方法的建立和发展做出了开创新贡献。 美国数学家，因创造了单纯形法，被称为 “线性规划之父”。1982年，为表彰丹齐克，国 际数学规划协会设立丹齐克奖。表彰在数学规划 有突出贡献的人