杨辉三角的规律以及推导公式-杨辉三角规律
杨辉三角的规律以及推导公式
杨辉三角的规律以及定理李博洋摘要杨辉三角中的一些规律关键词杨辉三角幂二项式引言杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家。
在他所着的《详解九章算法》一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”，它是世界的一大重要研究成果。
我们则来对“杨辉三角”的规律进行探讨和研究。
内容1二项式定理与杨辉三角与杨辉三角联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律，即。
杨辉三角我们首先从一个二次多项式(a+b)2的展开式来探讨。
由上式得出：(a+b)2＝a2+2ab+b2此代数式的系数为：121则(a+b)3的展开式是什么呢？答案为：a3+3a2b+3ab2+b3由此可发现，此代数式的系数为：1331但似乎没有什么规律，所以让我们再来看看(a+b)4的展开式。
展开式为：a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4由此又可发现，代数式的系数为：14641似乎发现了一些规律，就可以发现以下呈三角形的数列：1(110)11(111)121(112)1331(113)14641(114)15101051(115)1615201561(116)因此可得出二项式定理的公式为：(a+b)n=C(n,0)a^n*b^0+C(n,1)a^(n-1)*b^1+...+C(n,r)a^(n-r)*b^r...+C(n,n)a^0*b^n 因此，二项式定理与杨辉三角形是一对天然的数形趣遇，它把带进了。
求二项式展开式系数的问题，实际上是一种组合数的计算问题。
用系数来计算，称为“式算”；用杨辉三角形来计算，称作“图算”。
2杨辉三角的幂的关系首先我们把杨辉三角的每一行分别相加，如下：1(1)11(1+1=2)121(1+2+1=4)1331(1+3+3+1=8)14641(1+4+6+4+1=16)15101051(1+5+10+10+5+1=32)1615201561(1+6+15+20+15+6+1=64)……相加得到的数是1，2，4，8，16，32，64，…刚好是2的0，1，2，3，4，5，6，…次幂，即杨辉三角第n行中n个数之和等于2的n-1次幂3杨辉三角中斜行和水平行之间的关系(1)1(2)n=111(3)n=2121(4)n=31331(5)n=414641(6)n=515101051n=61615201561把斜行(1)中第7行之前的数字相加得1+1+1+1+1+1+1=6把斜行(2)中第7行之前的数字相加得1+2+3+4+5=15把斜行(3)中第7行之前的数字相加得1+3+6+10=20把斜行(4)中第7行之前的数字相加得1+4+10=15把斜行(5)中第7行之前的数字相加得1+5=6把斜行(6)中第7行之前的数字相加得1将上面得到的数字与杨辉三角中的第7行中的数字对比，我们发现它们是完全相同的。
杨辉三角的规律总结
杨辉三角的规律总结一、规律总结： 1、《杨辉三角》定理：两个互为补角的三角形的重心，它们的连线平分第三边。
应用定理：将三角形的一个角用内部的点和一条直线段分别与另外两个角的两边分别相连，这三条线段交于一点，则该点就是这个三角形的重心。
2、《杨辉三角》性质：等腰三角形的两底角的平方和等于第三个角的平方。
二、注意事项： 1、在解决具体问题时，需要结合图形中已知的一些关键信息或特征来推导出杨辉三角定理。
基本思路：利用重心计算两底边上的高。
一般地，由于一个角的顶点在另一个角的底边上，所以可以采用内心法来确定其重心。
也可以利用其他方法来确定重心。
比较常用的方法有：（ 1）利用内部的两条线段或内部的三条线段构造三角形。
（ 2）将重心分别向顶点延长，做出所要求的三角形。
2、做题时要灵活运用杨辉三角定理及性质，不要拘泥于杨辉三角定理。
3、在解题过程中，只要遇到角，总可以联想到三角形，但是，这时候我们应先找出其重心再判断出是不是在三角形内部，否则会把角放错位置。
例如：等腰三角形的性质与杨辉三角有什么关系呢？答案：因为任何等腰三角形的两底角的平方和等于第三个角的平方。
《杨辉三角》公式：两个互为补角的三角形的重心，它们的连线平分第三边。
1、例如：△abc是等腰直角三角形，∠a=∠b=90°， ad=dc=1，bc=ca=3，∠c=90°，则△abc的重心在（ a） b（ c） d（ e） e或e（ c） d（ b） e（ d） e或b（ c） d（ a） b例如：△abc是等腰直角三角形，∠abc=180°，∠ab=90°，∠ad=∠dc=1，∠bc=ca=3，∠a=∠b=90°，则△abc的重心在（ a）b（ c） d（ e） e或e（ c） d（ b） e（ d） e或b（ c） d（ a）b（ d） c的解析：第1步：由∠acb=180°可得∠abc=180°，即△abc的三边长均为整厘米数。
杨辉三角的规律公式
杨辉三角的规律公式杨辉三角，又称帕斯卡三角，是古代数学中一种重要的图形。
它的构造方法非常简单：从第一行开始，每一行的两端都是1，其余的数是上一行相邻两个数的和。
下面我们将深入探讨杨辉三角的规律和公式。
1. 杨辉三角的构造让我们以一个简单的示例来说明杨辉三角的构造过程。
首先是第一行的唯一元素1。
然后，每一行的两端都是1，如下所示：11 1接着，根据规则，我们可以继续构造出下一行：11 11 2 1依此类推，我们可以继续构造出更多行，形成完整的杨辉三角。
2. 杨辉三角的规律杨辉三角不仅仅是一种几何图形，它还蕴含着许多有趣的规律。
其中最引人注目的规律之一就是每一行的数字都遵循一定的数学公式。
首先，每一行的数字个数是递增的，从1开始逐渐增加；其次，除了两端的数字是1之外，其他数字都是其上一行相邻两个数字之和。
这一规律可以用数学公式表示如下：考虑第n行的第k个数字，我们记为T(n, k)。
根据规律，有：T(n, k) = T(n-1, k-1) + T(n-1, k)当k等于1或n时，T(n, k)为1。
这个公式描述了杨辉三角中每个数字的生成过程。
3. 应用与拓展杨辉三角虽然看似简单，却有着丰富的应用。
在数学领域，它与组合数学和多项式有着密切的联系；在计算机科学领域，它则与动态规划等算法密切相关。
此外，杨辉三角还有不少拓展和变体。
例如，帕斯卡梯形（Pascal’s Trapezium）就是杨辉三角的一个拓展形式，每一行的元素都是由对应的斜线上的元素之和得到。
结语杨辉三角作为古代数学的经典之作，展现了数学中的奇妙规律和美丽结构。
通过对其规律和公式的探究，我们可以更深入地理解其内在的数学之美。
愿每一个探索者在这个数学的世界里都能发现属于自己的精彩之处！。
杨辉三角形的规律口诀
杨辉三角形的规律口诀
杨辉三角形的规律口诀如下：
1、杨辉三角左右两侧的数字都是1，而里面的数字等于它肩上的两数之和。
2、第n行的数所组成的数字为11n-1。
3、第n行的数字之和是2n-1。
4、每一斜线上的数字之和等于拐角处的数字。
5、每一斜行的数字相加，组成一个斐波那契数列。
6、每一行的数字分别是（a+b）n这一多项式展开后每一项的系数。
7、杨辉三角中的每一个数字都是组合数。
主要特征：
（1）具有对称性；
（2）每一行的首、尾都是1；
（3）中间各数都等于它们两肩上的数的和。
杨辉三角的规律是每行数字的第一列和最后一列的数字都是1，从第三行开始，除去第一列和最后一列都为数字1以外，其余每列的数字都等于它上方两个数字之和。
从规律中我们可以看出杨辉三角形是对称的，它是二项式系数在三角形中的一种几何排列。
杨辉三角的规律以及推导公式-杨辉三角规律
杨辉三角的规律以及定理1 二项式定理与杨辉三角与杨辉三角联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律，即二项式定理。
杨辉三角我们首先从一个二次多项式 (a+b) 2 的展开式来探讨。
由上式得出： (a+b) 2 2+2ab+b 2 ＝a此代数式的系数为： 1 2 1则(a+b) 3 3+3a 2b+3ab 2+b 3 的展开式是什么呢？答案为： a由此可发现， 此代数式的系数为： 1 3 3 1但 4似乎没有什么规律，所以让我们再来看看 (a+b)的展开式。
展开式为： a 4+4a 3b+6a 2b2+4ab 3+b 4+4a 3b+6a 2b2+4ab 3+b 4由此又可发现，代数式的系数为： 1 4 6 4 1 似乎发现了一些规律，就可以发现以下呈三角形的数列：1 (11 0)1 1 (11 1)1 2 1 (11 2)1 3 3 1 (11 3)1 4 6 4 1 (11 4)1 5 10 10 5 1 (11 5)1 6 15 20 15 6 1 (11 6)杨辉三角形的系数分别为： 1,（1,1 ）,（1,2,1 ）,（1,3,3,1 ）,（1,4,6,4,1 ）（1,5,10,10,5,1 ）,（1,6,15,20,15,6,1 ）, （1,7,21,35,35,21,7,1 ）所以： (a+b) 7=a 7+7a 6 b+21a 5b 2+35a 4b 3+35a 3b 4+21a 2b 5+7ab 6+b 7。
由上式可以看出， (a+b) n 等于 a 的次数依次下降 n 、n-1 、n- 2⋯ n -n ，b 的次数依次上升， 0、1、2⋯ n 次方。
系数是杨辉三角里的系数。
2 杨辉三角的幂的关系首先我们把杨辉三角的每一行分别相加，如下：1 ( 1 )1 1 ( 1+1=2 )1 2 1 (1+2+1=4 )1 3 3 1 (1+3+3+1=8 )1 4 6 4 1 (1+4+6+4+1=16 )1 5 10 10 5 1 (1+5+10+10+5+1=32 )1 6 15 20 15 6 1 (1+6+15+20+15+6+1=64 )⋯ ⋯相加得到的数是 1，2， 4，8，16，32， 64，⋯ 刚好是 2 的 0，1，2，3，4，5， 6，⋯ n 次幂，即杨辉三角第n 行中 n 个数之和等于 2 的 n-1 次幂3 杨辉三角中斜行和水平行之间的关系(1)1 (2) n=11 1 (3) n=21 2 1 (4) n=31 3 3 1 (5) n=41 4 6 4 1 (6) n=51 5 10 10 5 1 n=61 6 15 20 15 6 1把斜行(1)中第7 行之前的数字相加得1+1+1+1+1+1+1=6把斜行(2) 中第7 行之前的数字相加得1+2+3+4+5=15把斜行(3) 中第7 行之前的数字相加得1+3+6+10=20把斜行(4) 中第7 行之前的数字相加得1+4+10=15把斜行(5) 中第7 行之前的数字相加得1+5=6把斜行(6) 中第7 行之前的数字相加得 1将上面得到的数字与杨辉三角中的第7 行中的数字对比，我们发现它们是完全相同的。
杨辉三角的系数规律公式
杨辉三角的系数规律公式杨辉三角，这玩意儿在数学里可有着独特的魅力。
咱们先来说说啥是杨辉三角。
它就是一个像三角形一样的数字排列组合。
从最上面的“1”开始，然后下面每行的数字都是由上一行相邻两个数字相加得到的。
比如说，最上面那行是 1，第二行就是 1 1 ，第三行就是 1 2 1 ，第四行就是 1 3 3 1 ，就这么一直排下去。
那杨辉三角的系数规律公式是啥呢？其实就是二项式定理的系数嘛。
咱们就拿（a + b）² = a² + 2ab + b²来说，这里的系数 1 2 1 正好就是杨辉三角第三行的数字。
再比如（a + b）³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³，系数 1 3 3 1 就是杨辉三角第四行的数字。
我还记得我之前给学生们讲这个的时候，有个小同学瞪着大眼睛，一脸懵地问我：“老师，这有啥用啊？”我笑着跟他说：“孩子，这用处可大了去了。
就比如说咱们算组合数的时候，杨辉三角就能帮上大忙。
”这杨辉三角里的数字排列可是有很多有趣的规律。
比如说每行数字的和是 2 的幂次方。
像第二行 1 1 ，和是 2；第三行 1 2 1 ，和是 4；第四行 1 3 3 1 ，和是 8 ，就这么一直下去。
还有呢，杨辉三角是左右对称的，就像照镜子一样。
而且每行中间的数字最大。
咱们在解题的时候，杨辉三角能让复杂的计算变得简单明了。
比如有个题目让咱们算从 10 个不同的球里选 3 个的组合数，要是直接去算，那可麻烦了。
但要是咱们对照着杨辉三角，一下就能找到对应的系数，轻松得出答案。
我之前碰到过一个实际问题，就是在安排座位的时候。
教室里有 5排座位，每排要安排不同数量的学生，而且要求总的安排方式要尽可能多。
这时候我就想到了杨辉三角，通过分析其中的规律，很快就找到了最优的安排方案。
总之，杨辉三角的系数规律公式虽然看起来有点神秘，但只要咱们认真去琢磨，就能发现它在数学世界里就像一把神奇的钥匙，能打开很多难题的大门，让咱们在数学的海洋里畅游得更畅快！所以啊，同学们，可别小看了这杨辉三角，好好研究它，能让你们的数学更上一层楼！。
杨辉三角的规律公式6种
杨辉三角的规律公式6种
1、每个数等于它上方两数之和。
2、每行数字左右对称，由1 开始逐渐变大。
3、第n 行的数字有n+1 项。
4、第n 行数字和为2(n-1) （2 的(n-1) 次方）。
5 (a+b) n 的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1) 行中的每一项。
6、第n 行的第m个数和第n-m 个数相等，即C(n,m)=C(n,n-m) 。
数在杨辉三角中的出现次数。
由1开始，正整数在杨辉三角形出现的次数为∞,1, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 4。
除了1之外，所有正整数都出现有限次，只有2出现刚好一次，6,20,70等出现三次；出现两次和四次的数很多，还未能找到出现刚好五次的数。
120,210,1540等出现刚好六次。
杨辉三角的规律以及推导公式
杨辉三角的规律以及定理1二项式定理与杨辉三角杨辉三角我们首先从一个二次多项式(a+b)2的展开式来探讨。
由上式得出：(a+b)2＝a2+2ab+b2此代数式的系数为： 1 2 1则(a+b)3的展开式是什么呢？答案为：a3+3a2b+3ab2+b3由此可发现，此代数式的系数为： 1 3 3 1 但似乎没有什么规律，所以让我们再来看看(a+b)4的展开式。
展开式为：a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4由此又可发现，代数式的系数为：1 4 6 4 1 似乎发现了一些规律，就可以发现以下呈三角形的数列：1 (110)1 1 (111)1 2 1 (112)1 3 3 1 (113)1 4 6 4 1 (114)1 5 10 10 5 1 (115)1 6 15 20 15 6 1 (116)杨辉三角形的系数分别为：1,（1,1）,（1,2,1）,（1,3,3,1）,（1,4,6,4,1）（1,5,10,10,5,1）,（1,6,15,20,15,6,1）,（1,7,21,35,35,21,7,1）所以：(a+b)7=a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7。
由上式可以看出，(a+b)n等于a的次数依次下降n、n-1、n-2…n-n，b的次数依次上升，0、1、2…n次方。
系数是杨辉三角里的系数。
2杨辉三角的幂的关系首先我们把杨辉三角的每一行分别相加，如下：1 ( 1 )1 1 ( 1+1=2 )1 2 1 (1+2+1=4 )1 3 3 1 (1+3+3+1=8 )1 4 6 4 1 (1+4+6+4+1=16 )1 5 10 10 5 1 (1+5+10+10+5+1=32 )1 6 15 20 15 6 1 (1+6+15+20+15+6+1=64 )……相加得到的数是1，2，4，8，16，32，64，…刚好是2的0，1，2，3，4，5，6，…n次幂，即杨辉三角第n 行中n个数之和等于2的n-1次幂3 杨辉三角中斜行和水平行之间的关系(1)1 (2) n=11 1 (3) n=21 2 1 (4) n=31 3 3 1 (5) n=41 4 6 4 1 (6) n=51 5 10 10 5 1 n=61 6 15 20 15 6 1把斜行(1)中第7行之前的数字相加得1+1+1+1+1+1+1=6把斜行(2)中第7行之前的数字相加得1+2+3+4+5=15把斜行(3)中第7行之前的数字相加得1+3+6+10=20把斜行(4)中第7行之前的数字相加得1+4+10=15把斜行(5)中第7行之前的数字相加得1+5=6把斜行(6)中第7行之前的数字相加得1将上面得到的数字与杨辉三角中的第7行中的数字对比，我们发现它们是完全相同的。
杨辉三角系数的规律公式
杨辉三角系数的规律公式杨辉三角，这可是数学世界里一个相当有趣的存在！咱先来说说杨辉三角到底是啥。
简单来讲，它就是一个三角形的数阵。
从最上面的 1 开始，然后每行的数字都是由上一行相邻两个数字相加得到的。
就像搭积木一样，一层一层地往下搭。
杨辉三角里藏着好多神奇的规律和公式呢。
比如说，它的每行数字之和是 2 的幂次方。
你看，第一行是 1，和是 1，也就是 2 的 0 次方；第二行是 1 1，和是 2，就是 2 的 1 次方；第三行是 1 2 1，和是 4，正好是 2 的 2 次方。
以此类推，是不是很神奇？还有啊，杨辉三角里的二项式系数也有规律。
比如 (a + b) 的 n 次方展开式的系数，就可以在杨辉三角的第 n + 1 行找到。
这就像是一个神秘的密码本，只要你懂得解读，就能轻松找到答案。
我记得有一次，我在给学生们讲杨辉三角的时候，有个小调皮鬼一直说不明白，还跟我较劲。
我就指着黑板上的杨辉三角问他：“你看这一行的数字，1 3 3 1，这是不是和 (a + b)³的展开式系数一模一样？”他眨眨眼睛，还是一脸迷茫。
我又耐心地给他解释：“(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³，系数不就是 1 3 3 1 嘛。
”他挠挠头，突然恍然大悟，大声说：“老师，我懂啦！”那一刻，我心里别提多有成就感了。
再说说杨辉三角的对称性。
它就像一面镜子，左右对称得完美无缺。
从中间画一条线，两边的数字完全一样。
这种对称美，在数学里可不少见，就像大自然中的蝴蝶，两边的翅膀也是对称的。
而且杨辉三角里还有一个很有趣的规律，就是相邻两行数字之间的关系。
比如第 n 行的数字乘以 n 再除以 n + 1 ，就可以得到第 n + 1 行的数字。
这就像是一个神奇的魔法，让数字们按照一定的规则变化着。
杨辉三角的规律和公式可不仅仅是为了好玩，它们在数学的很多领域都有重要的应用。
杨辉三角n次方的公式
杨辉三角n次方的公式杨辉三角是一种二项式数列，它可以描述许多有趣的现象，比如卡特兰数、斐波那契数列、和三角函数。
同时，它还是计算概率、条件概率以及组合分析中不可或缺的一环。
1、杨辉三角的基本性质a) 第n（n>1）行的项数为n个b) 第n行的首项和末项都为1c) 第n行的第k项（k>0 && k<n）为：Cnk=Cn,k-1 + Cn-1,k-12、杨辉三角的三个公式a) Pascal's Triangle Formula：Cnk=n!/(n-k)!*k!，这个公式可以称为拉格朗日公式，它可以帮助用户计算组合数Cnk。
b) Binomial Coefficients Formula：Cnk=(nk)，这个公式最早由希腊数学史学家埃斯梅尔发现，它是随机变量x服从两个同样概率分布的情况下，x的概率分布函数的系数。
c) Recursion Formula：Cnk=(n-1)Cn-1,k-1+nCn-1,k，这个公式是由诺伊尔式公式推导出的，可用来计算条件概率与非条件概率。
3、关于杨辉三角n次方的公式a)将杨辉三角每一项拆分开来：Cnk=n!/(n-k)!*k!；b)将其中的n!分解成多项式：n!=n(n-1)(n-2)...3*2*1；c)将其中的(n-k)!分解成多项式：(n-k)!=(n-k)(n-k-1)(n-k-2)...3*2*1；d)将其中的k!分解成多项式：k!=k(k-1)(k-2)...3*2*1；e)将a、b、c、d四个多项式乘起来：n!/(n-k)!*k!= n(n-1)(n-2...3*2*1)×(n-k)(n-k-1)(n-k-2)...3*2*1×k(k-1)(k-2)...3*2*1；f)考虑到有重复度，将所有系数移到左边：Cnk=(n-k+1)(n-k+2)...n(n-1)(n-2)...k(k-1)(k-2)...3*2*1；g)将其中可以求和的部分移到右边：Cnk=n^n/(n-k+1)×(n-1)^n-1/2 ×...×k^k/k；h)最后就得到杨辉三角n次方的公式：Cnk=n(n-1){n-2}...k{k-1}/[(n-k+1)(n-k+2)...n{n-1}{n-2}...k{k-1}]。
杨辉三角的规律以及推导公式word版本
杨辉三角的规律以及定理李博洋摘要杨辉三角中的一些规律关键词杨辉三角幂二项式引言杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家。
在他所著的《详解九章算法》一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”，它是世界的一大重要研究成果。
我们则来对“杨辉三角”的规律进行探讨和研究。
内容1二项式定理与杨辉三角杨辉三角我们首先从一个二次多项式(a+b)2的展开式来探讨。
由上式得出：(a+b)2＝a2+2ab+b2此代数式的系数为： 1 2 1则(a+b)3的展开式是什么呢？答案为：a3+3a2b+3ab2+b3由此可发现，此代数式的系数为： 1 3 3 1 但似乎没有什么规律，所以让我们再来看看(a+b)4的展开式。
展开式为：a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4由此又可发现，代数式的系数为：1 4 6 4 1 似乎发现了一些规律，就可以发现以下呈三角形的数列：1 (110)1 1 (111)1 2 1 (112)1 3 3 1 (113)1 4 6 4 1 (114)1 5 10 10 5 1 (115)1 6 15 20 15 6 1 (116)因此可得出二项式定理的公式为：(a+b)n=C(n,0)a^n*b^0+C(n,1)a^(n-1)*b^1+...+C(n,r)a^(n-r)*b^r...+ C(n,n)a^0*b^n因此，二项式定理与杨辉三角形是一对天然的数形趣遇，它把数形结合带进了计算数学。
求二项式展开式系数的问题，实际上是一种组合数的计算问题。
用系数通项公式来计算，称为“式算”；用杨辉三角形来计算，称作“图算”。
2杨辉三角的幂的关系首先我们把杨辉三角的每一行分别相加，如下：1 ( 1 )1 1 ( 1+1=2 )1 2 1 (1+2+1=4 )1 3 3 1 (1+3+3+1=8 )1 4 6 4 1 (1+4+6+4+1=16 )1 5 10 10 5 1 (1+5+10+10+5+1=32 )1 6 15 20 15 6 1 (1+6+15+20+15+6+1=64 )……相加得到的数是1，2，4，8，16，32，64，…刚好是2的0，1，2，3，4，5，6，…次幂，即杨辉三角第n行中n个数之和等于2的n-1次幂3 杨辉三角中斜行和水平行之间的关系(1)1 (2) n=11 1 (3) n=21 2 1 (4) n=31 3 3 1 (5) n=41 4 6 4 1 (6) n=51 5 10 10 5 1 n=61 6 15 20 15 6 1把斜行(1)中第7行之前的数字相加得1+1+1+1+1+1+1=6把斜行(2)中第7行之前的数字相加得1+2+3+4+5=15把斜行(3)中第7行之前的数字相加得1+3+6+10=20把斜行(4)中第7行之前的数字相加得1+4+10=15把斜行(5)中第7行之前的数字相加得1+5=6把斜行(6)中第7行之前的数字相加得1将上面得到的数字与杨辉三角中的第7行中的数字对比，我们发现它们是完全相同的。
杨辉三角的递推公式
杨辉三角的递推公式杨辉三角，这可是数学世界里一个相当有趣的存在！咱们先来说说啥是杨辉三角。
它是一个三角形的数阵，每行数字左右对称，由 1 开始逐渐变大，然后再逐渐变小，最后回到 1 。
就像一个排列整齐的数字大军，非常有规律。
那杨辉三角的递推公式是啥呢？其实就是通过前面一行的数字来计算得出下一行的数字。
具体来说，如果我们把杨辉三角的第 n 行第 m 个数记为 C(n,m) ，那么递推公式就是：C(n,m) = C(n - 1,m - 1) + C(n - 1,m) 。
这个公式看起来有点复杂，但咱们一点点来理解。
我记得之前给学生们讲这个的时候，有个小同学瞪着大眼睛问我：“老师，这有啥用啊？”我笑了笑，给他举了个例子。
比如说咱们要算从 5 个不同的水果里选 2 个的组合数，这时候杨辉三角的递推公式就能派上用场啦。
咱们先找到第 5 行，然后找到第 2 个数，就能得出答案。
咱们再深入点讲讲这个递推公式的妙处。
它就像是一个神奇的魔法咒语，能让我们在数字的世界里畅游。
通过不断地运用这个公式，我们可以快速地填满整个杨辉三角，就像在拼图游戏中一块一块地拼凑出完整的画面。
想象一下，我们就像是数字世界的建筑师，用这个递推公式一砖一瓦地搭建起杨辉三角这座宏伟的数字大厦。
每一行、每一个数字都在我们的掌控之中，那种感觉简直太棒了！而且啊，杨辉三角的递推公式可不只是在数学课本里才有意义。
在实际生活中，它也能帮我们解决很多问题呢。
比如说在概率计算中，它可以帮助我们算出各种可能性的数量；在编码理论中，它能优化信息的存储和传输。
还记得有一次，我和几个朋友一起玩猜数字的游戏。
游戏规则是我心里想一个数字，然后他们通过提问来猜出这个数字。
我就突然想到了杨辉三角的递推公式，我把数字的范围想象成杨辉三角的行数，然后根据他们的提问，用类似递推的方式缩小范围，最后他们费了好大劲才猜中。
这让我更加深刻地体会到了杨辉三角递推公式的巧妙之处。
总之，杨辉三角的递推公式虽然看起来有点神秘，但只要我们用心去理解、去运用，就能发现它就像一把万能钥匙，能打开数学世界里一扇又一扇神奇的大门。
杨辉三角的规律以及推导公式doc资料
杨辉三角的规律以及定理李博洋摘要杨辉三角中的一些规律关键词杨辉三角幂二项式引言杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家。
在他所著的《详解九章算法》一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”，它是世界的一大重要研究成果。
我们则来对“杨辉三角”的规律进行探讨和研究。
内容1二项式定理与杨辉三角杨辉三角我们首先从一个二次多项式(a+b)2的展开式来探讨。
由上式得出：(a+b)2＝a2+2ab+b2此代数式的系数为： 1 2 1则(a+b)3的展开式是什么呢？答案为：a3+3a2b+3ab2+b3由此可发现，此代数式的系数为： 1 3 3 1 但似乎没有什么规律，所以让我们再来看看(a+b)4的展开式。
展开式为：a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4由此又可发现，代数式的系数为：1 4 6 4 1 似乎发现了一些规律，就可以发现以下呈三角形的数列：1 (110)1 1 (111)1 2 1 (112)1 3 3 1 (113)1 4 6 4 1 (114)1 5 10 10 5 1 (115)1 6 15 20 15 6 1 (116)因此可得出二项式定理的公式为：(a+b)n=C(n,0)a^n*b^0+C(n,1)a^(n-1)*b^1+...+C(n,r)a^(n-r)*b^r...+ C(n,n)a^0*b^n因此，二项式定理与杨辉三角形是一对天然的数形趣遇，它把数形结合带进了计算数学。
求二项式展开式系数的问题，实际上是一种组合数的计算问题。
用系数通项公式来计算，称为“式算”；用杨辉三角形来计算，称作“图算”。
2杨辉三角的幂的关系首先我们把杨辉三角的每一行分别相加，如下：1 ( 1 )1 1 ( 1+1=2 )1 2 1 (1+2+1=4 )1 3 3 1 (1+3+3+1=8 )1 4 6 4 1 (1+4+6+4+1=16 )1 5 10 10 5 1 (1+5+10+10+5+1=32 )1 6 15 20 15 6 1 (1+6+15+20+15+6+1=64 )……相加得到的数是1，2，4，8，16，32，64，…刚好是2的0，1，2，3，4，5，6，…次幂，即杨辉三角第n行中n个数之和等于2的n-1次幂3 杨辉三角中斜行和水平行之间的关系(1)1 (2) n=11 1 (3) n=21 2 1 (4) n=31 3 3 1 (5) n=41 4 6 4 1 (6) n=51 5 10 10 5 1 n=61 6 15 20 15 6 1把斜行(1)中第7行之前的数字相加得1+1+1+1+1+1+1=6把斜行(2)中第7行之前的数字相加得1+2+3+4+5=15把斜行(3)中第7行之前的数字相加得1+3+6+10=20把斜行(4)中第7行之前的数字相加得1+4+10=15把斜行(5)中第7行之前的数字相加得1+5=6把斜行(6)中第7行之前的数字相加得1将上面得到的数字与杨辉三角中的第7行中的数字对比，我们发现它们是完全相同的。
杨辉三角的规律以及推导公式
精心整理杨辉三角的规律以及定理1二项式定理与杨辉三角杨辉三角我们首先从一个二次多项式(a+b)2的展开式来探讨。
222则为：11(11）（1,5,10,10,5,1）,（1,6,15,20,15,6,1）,（1,7,21,35,35,21,7,1）所以：(a+b)7=a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7。
由上式可以看出，(a+b)n等于a的次数依次下降n、n-1、n-2…n-n，b的次数依次上升，0、1、2…n次方。
系数是杨辉三角里的系数。
2杨辉三角的幂的关系首先我们把杨辉三角的每一行分别相加，如下：1(1)11(1+1=2)121(1+2+1=4)1331(1+3+3+1=8)6，…n31615201561把斜行(1)中第7行之前的数字相加得1+1+1+1+1+1+1=6把斜行(2)中第7行之前的数字相加得1+2+3+4+5=15把斜行(3)中第7行之前的数字相加得1+3+6+10=20把斜行(4)中第7行之前的数字相加得1+4+10=15把斜行(5)中第7行之前的数字相加得1+5=6把斜行(6)中第7行之前的数字相加得1将上面得到的数字与杨辉三角中的第7行中的数字对比，我们发现它们是完全相同的。
n(3)中第2、每行数字左右对称，由1开始逐渐变大。
3、第n行的数字有n+1项。
4、第n行数字和为2(n-1)。
（2的(n-1)次方）5 (a+b)n的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项。
[1]6、第n行的第m个数和第n-m个数相等，即C(n,m)=C(n,n-m)，这是组合数性质。
杨辉三角的规律以及推导公式
精心整理杨辉三角的规律以及定理李博洋摘要杨辉三角中的一些规律展开式为：a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4由此又可发现，代数式的系数为：14641似乎发现了一些规律，就可以发现以下呈三角形的数列：1(110)11(111)121(112)1331(113)14641(114)15101051(115)1615201561(116)因此可得出二项式定理的公式为：(a+b)n=C(n,0)a^n*b^0+C(n,1)a^(n-1)*b^1+...+C(n,r)a^(n-r)*b^r...+C(n,n)a^0*b^n。
2相加得到的数是1，2，4，8，16，32，64，…刚好是2的0，1，2，3，4，5，6，…次幂，即杨辉三角第n行中n个数之和等于2的n-1次幂3杨辉三角中斜行和水平行之间的关系(1)1(2)n=111(3)n=2121(4)n=31331(5)n=414641(6)n=515101051n=61615201561由上面可得：杨辉三角中n行中的第i个数是i-1中前n-1个数之和，即第n 行的数分别为1、(1)中第n行之前的数字之和、(2)中第n行之前的数字之和、(3)中第n行之前的数字之和、(4)中第n行之前的数字之和、…、(n-3)中第n行之前的数字之和、1。
总结杨辉三角对于我们好理解的规律，如下六点：杨辉，字谦光，南宋时期杭州人。
在他1261年所着的《详解九章算法》一书中，辑录了如上所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图，并说明此表引自11世纪前半贾宪的《释锁算术》，并绘画了“古法七乘方图”。
故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”。
在我国古老的文明中，人们发现了很多有趣的规律，而杨辉三角就是其中一个。
杨辉三角的规律以及推导公式
杨辉三角的规律以及推导公式文件编码（GHTU-UITID-GGBKT-POIU-WUUI-8968）杨辉三角的规律以及定理1二项式定理与杨辉三角与杨辉三角联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律，即。
杨辉三角我们首先从一个二次多项式(a+b)2的展开式来探讨。
由上式得出：(a+b)2＝a2+2ab+b2此代数式的系数为：121则(a+b)3的展开式是什么呢？答案为：a3+3a2b+3ab2+b3由此可发现，此代数式的系数为：1331但似乎没有什么规律，所以让我们再来看看(a+b)4的展开式。
展开式为：a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4由此又可发现，代数式的系数为：14641似乎发现了一些规律，就可以发现以下呈三角形的数列：1(110)11(111)121(112)1331(113)14641(114)15101051(115)1615201561(116)杨辉三角形的系数分别为：1,（1,1）,（1,2,1）,（1,3,3,1）,（1,4,6,4,1）（1,5,10,10,5,1）,（1,6,15,20,15,6,1）,（1,7,21,35,35,21,7,1）所以：(a+b)7=a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7。
由上式可以看出，(a+b)n等于a的次数依次下降n、n-1、n-2…n-n，b的次数依次上升，0、1、2…n次方。
系数是杨辉三角里的系数。
2杨辉三角的幂的关系首先我们把杨辉三角的每一行分别相加，如下：1(1)11(1+1=2)121(1+2+1=4)1331(1+3+3+1=8)14641(1+4+6+4+1=16)15101051(1+5+10+10+5+1=32)1615201561(1+6+15+20+15+6+1=64)……相加得到的数是1，2，4，8，16，32，64，…刚好是2的0，1，2，3，4，5，6，…n 次幂，即杨辉三角第n行中n个数之和等于2的n-1次幂3杨辉三角中斜行和水平行之间的关系(1)1(2)n=111(3)n=2121(4)n=31331(5)n=414641(6)n=515101051n=61615201561把斜行(1)中第7行之前的数字相加得1+1+1+1+1+1+1=6把斜行(2)中第7行之前的数字相加得1+2+3+4+5=15把斜行(3)中第7行之前的数字相加得1+3+6+10=20把斜行(4)中第7行之前的数字相加得1+4+10=15把斜行(5)中第7行之前的数字相加得1+5=6把斜行(6)中第7行之前的数字相加得1将上面得到的数字与杨辉三角中的第7行中的数字对比，我们发现它们是完全相同的。
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杨辉三角的规律以及定理
1 二项式定理与杨辉三角
与杨辉三角联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律，即二项式定理。
杨辉三角我们首先从一个二次多项式 (a+b) 2 的展开式来探讨。
由上式得出： (a+b) 2 2+2ab+b 2 ＝a
此代数式的系数为： 1 2 1
则(a+b) 3 3+3a 2b+3ab 2+b 3 的展开式是什么呢？答案为： a
由此可发现， 此代数式的系数为： 1 3 3 1
但 4
似乎没有什么规律，所以让我们再来看看 (a+b)
的展开式。
展开式为： a 4+4a 3b+6a 2b2+4ab 3+b 4+4a 3b+6a 2b2+4ab 3+b 4
由此又可发现，代数式的系数为： 1 4 6 4 1 似乎发现了一些规律，就可以发现以下呈三角形的数列：
1 (11 0)
1 1 (11 1)
1 2 1 (11 2)
1 3 3 1 (11 3)
1 4 6 4 1 (11 4)
1 5 10 10 5 1 (11 5
)
1 6 15 20 15 6 1 (11 6)
杨辉三角形的系数分别为： 1,（1,1 ）,（1,2,1 ）,（1,3,3,1 ）,（1,4,6,4,1 ）（1,5,10,10,5,1 ）,（1,6,15,20,15,6,1 ）, （1,7,21,35,35,21,7,1 ）所以： (a+b) 7=a 7+7a 6 b+21a 5b 2+35a 4b 3+35a 3b 4+21a 2b 5+7ab 6+b 7。
由上式可以看出， (a+b) n 等于 a 的次数依次下降 n 、n-1 、n- 2⋯ n -n ，b 的次数依次上升， 0、1、2⋯ n 次方。
系数是
杨辉三角里的系数。
2 杨辉三角的幂的关系
首先我们把杨辉三角的每一行分别相加，如下：
1 ( 1 )
1 1 ( 1+1=
2 )
1 2 1 (1+2+1=4 )
1 3 3 1 (1+3+3+1=8 )
1 4 6 4 1 (1+4+6+4+1=16 )
1 5 10 10 5 1 (1+5+10+10+5+1=3
2 )
1 6 15 20 15 6 1 (1+6+15+20+15+6+1=64 )
⋯ ⋯
相加得到的数是 1，2， 4，8，16，32， 64，⋯ 刚好是 2 的 0，1，2，3，4，5， 6，⋯ n 次幂，即杨辉三角第n 行中 n 个数之和等于 2 的 n-1 次幂
3 杨辉三角中斜行和水平行之间的关系
(1)
1 (2) n=1
1 1 (3) n=2
1 2 1 (4) n=3
1 3 3 1 (5) n=4
1 4 6 4 1 (6) n=5
1 5 10 10 5 1 n=6
1 6 15 20 15 6 1
把斜行(1)中第7 行之前的数字相加得1+1+1+1+1+1+1=6
把斜行(2) 中第7 行之前的数字相加得1+2+3+4+5=15
把斜行(3) 中第7 行之前的数字相加得1+3+6+10=20
把斜行(4) 中第7 行之前的数字相加得1+4+10=15
把斜行(5) 中第7 行之前的数字相加得1+5=6
把斜行(6) 中第7 行之前的数字相加得 1
将上面得到的数字与杨辉三角中的第7 行中的数字对比，我们发现它们是完全相同的。
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
由上面可得：杨辉三角中n 行中的第i 个数是i-1 中前n-1 个数之和，即第n 行的数分别为1、(1) 中第n 行
之前的数字之和、(2) 中第n 行之前的数字之和、(3) 中第n 行之前的数字之和、(4) 中第n 行之前的数字之和、⋯、(n-3) 中第n 行之前的数字之和、1。
总结杨辉三角对于我们好理解的规律，如下六点：
1、每个数等于它上方两数之和。
2、每行数字左右对称，由 1 开始逐渐变大。
3、第n 行的数字有n+1 项。
4、第n 行数字和为2(n-1) 。
（2 的(n-1) 次方）
5 (a+b) n 的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1) 行中的每一项。
[1]
6、第n 行的第m个数和第n-m 个数相等，即C(n,m)=C(n,n-m) ，这是组合数性质。