多元函数微分学复习习题及答案

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第八章 多元函数微分法及其应用复习题及解答

一、选择题

1.极限=

（ B ）

lim x y x y

x y →→+00

242

(A)等于0；(B)不存在； (C)等于 ；(D)存在且不等于0或1212

23 0

x y →→4、函数在点处具有偏导数是它在该点存在全微分的

（ A ）

z f x y =(,)(,)x y 00(A)必要而非充分条件； (B)充分而非必要条件；(C)充分必要条件；

(D)既非充分又非必要条件

5、设，则= （ B ）

u y x =arctan

∂∂u

x

(A)

； (B) ； (C)

；(D)

x x y 22+-

+y

x y 22

y

x y 22

+-+x x y 22

6、设，则 （ A ）

f x y y

x

(,)arcsin

=f x '(,)21=（A ）；

（B ）

； （C ）； （D ）-14

14-12127、若，则 （　C ）)ln(y x z -==∂∂+∂∂y

z y x z x 8、设9、若1011（（12f （A ）点是函数的极大值点； （B ）点是函数的极小值点；P 0z P 0z （C ）点非函数的极值点；

（D ）条件不够，无法判定。

P 0z 二、填空题

1、极限= ??????? 。答：lim

sin()

x y xy x

→→0π

π

2、极限=??????? 。答：lim

ln()x y x y e x y

→→++01

2

2

2

ln 2

3、函数的定义域为 ??????? 。答：z x y =+ln()x y +≥1

4、函数的定义域为 ??????? 。答：，z x

y

=

arcsin -≤≤11x y ≠05、设函数，则= ??????? 。答：f x y x y xy y x (,)ln =++⎛⎝ ⎫

⎭

⎪22f kx ky (,)k f x y 2⋅(,)

678，

x xy =ln 91解：(1)要使函数有意义，必须有，即有.

z =2210x y --≥221x y +≤故所求函数的定义域为,图形为图3.1

22{(,)|1}D x y x y =+≤(2)要使函数有意义，必须有.故所有函数的定义域为，

ln()z x y =+0x y +>{}(,)|0D x y x y =+>图形为图3.2

(3)要使函数有意义，必须有，即且.

1

ln()

z x y =

+ln()0x y +≠0x y +>1x y +≠

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故该函数的定义域为，图形为图3.3

{}(,)|01D x y x y x y =+>+≠，(4)要使函数有意义，必须有.故该函数的定义域为，

ln(1)z xy =-10xy ->{(,)|1}D x y xy =>图形为图3.4

图3.1 图3.2

图3.3 图3.4

2解：x y 34、设解：z 1单y 解：L 利润目标函数)]

33(01.032400[)910(),(22y xy x y x y x y x L +++++-+=，

)0,0(,400)33(01.06822>>-++-+=y x y xy x y x 令，解得唯一驻点（120，80）.

⎩⎨⎧=+-='=+-='0)6(01.060)6(01.08y x L y x L y

x

又因，得

06.0,01.0,006.0-=''=-=''=<-=''=yy xy xx L C L B L A .

0105.332>⨯=--B AC

e n d

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得极大值. 根据实际情况，此极大值就是最大值．故生产120单位产品甲与320)80,120(=L 80单位产品乙时所得利润最大320元.五、证明题

1、设? 求证? )

11(y x e z +-=z y

z y x z x 222

=∂∂+∂∂2? 3?

? ? ? x y F y x -=∂∂y z F z -=∂∂z

x F x z -=∂∂所以 ?

1)()((-=-⋅-⋅-=∂∂⋅∂∂∂∂z

x y z x y F F F F F F x z z y

y x