概率与概率分布
概率与概率分布
掌握概率的概念、性质和法则 明确概率分布的含义，了解二项试验和分布
的基础知识。
概率与概率分布
第一节 概率的一般概念
概率论起源于17世纪，当时在人口统计、人 寿保险等工作中，要整理和研究大量的随机数据资 料，这就需要一种专门研究大量随机现象的规律性 的数学。
参赌者就想：如果同时掷两颗骰子 ，则点数 之和为9 和点数之和为10 ，哪种情况出现的可能 性较大？
概率与概率分布
一、频率和概率的定义
1. 频率 对随机现象进行观测时，若事件Ａ在ｎ次观测中出 现了ｍ次,则ｍ与ｎ的比值，就是事件Ａ出现的频 率（也称为相对频数）。用 Ｗ（Ａ）表示事件Ａ 的频率。 公式为：Ｗ（Ａ）=ｍ/ｎ
概率与概率分布
2. 概率
概率是对随机事件出现可能性大小的客观量度。
事件Ａ发生的概率记为P（Ａ）。
概率与概率分布
二、概率的性质
1. 对于任何事件Ａ，均有0≤Ｐ（Ａ）≤1 2. 不可能事件的概率为零，P（V）=0 3. 必然事件的概率为1，P（U）=1
概率与概率分布
三、概率的加法和乘法
1. 概率的加法
互不相容事件：在一次试验中不可能同时出现的 事件。
事件之和：有限个互不相容事件中任意一个发生。 如：A+B=A或B发生。
假设把两枚硬币投1000次，得到的结果为下表：
正面的数量 0 1 2
总计
频数（f） 253 499 248 1000
百分比（%） 25.3 49.9 24.8 100.0
概率分布实质上是无限次抛掷的频数分布。尽 管我们永远不能观察到这个无限次抛掷的频数 分布，但我们知道这是的频数分布会无限接近 概率分布。
概率与概Байду номын сангаас分布
概率与概率分布.ppt
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每次试验的可能结果可能不止一个，但试验的所 有可能结果在试验之前是确切知道的 在试验结束之前，不能确定该次试验的确切结果
事件的概念
1. 事件：随机试验的每一个可能结果(任何样本点集合)
– 例如：掷一枚骰子出现的点数为3
2. 随机事件：每次试验可能出现也可能不出现的事件
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例如：掷一枚骰子可能出现的点数
例如：掷一枚骰子出现的点数小于7 例如：掷一枚骰子出现的点数大于6
3. 必然事件：每次试验一定出现的事件，用表示 4. 不可能事件：每次试验一定不出现的事件，用表示
事件与样本空间
1. 例如：掷一枚骰子出现的点数 一个试验中所有基本事件的集合，用表示 例如：在掷枚骰子的试验中，{1,2,3,4,5,6}
主观概率定义
1. 对一些无法重复的试验，确定其结果的概率 只能根据以往的经验人为确定 2. 主观概率是一个决策者对某事件是否发生， 根据个人掌握的信息对该事件发生可能性的 判断 3. 例如，我认为2011年的中国股市是一个震荡 向上的状况
概率的性质与运算法 则
概率的性质
1. 非负性
– 对任意事件A，有 0 P 1
概率的统计定义
在相同条件下进行 n次随机试验，事件 A 出现
m 次，则比值 m/n 称为事件A发生的频率。 随着n的增大，该频率围绕某一常数P上下摆 动，且波动的幅度逐渐减小，取向于稳定， 这个频率的稳定值即为事件A的概率，记为
m P( A) p n
概率的统计定义
（实例）
【例】：某工厂为节约用电，规定每天的用电量指标 为1000度。按照上个月的用电记录，30天中有12天的 用电量超过规定指标，若第二个月仍没有具体的节电 措施，试问该厂第一天用电量超过指标的概率。 解：上个月30天的记录可以看作是重复进行了30次 试验，试验A表示用电超过指标出现了12次。根据概 率的统计定义有 超过用电指标天数 12 P( A) 0.4 试验的天数 30
第5章概率与概率分布
第5章 概率与概率分布一、思考题、频率与概率有什么关系 、独立性与互斥性有什么关系、根据自己的经验体会举几个服从泊松分布的随机变量的实例。
、根据自己的经验体会举几个服从正态分布的随机变量的实例。
二、练习题、写出下列随机试验的样本空间：（1）记录某班一次统计学测试的平均分数。
（2）某人在公路上骑自行车，观察该骑车人在遇到第一个红灯停下来以前遇到的绿灯次数。
（3）生产产品，直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。
、某市有50%的住户订阅日报，有65%的住户订阅晚报，有85%的住户至少订两种报纸中的一种，求同时订这两种报纸的住户的百分比。
、设A 与B 是两个随机事件，已知A 与B 至少有个发生的概率是31，A 发生且B 不发生的概率是91，求B 发现的概率。
、设A 与B 是两个随机事件，已知P(A)=P(B)=31，P(A ｜B)= 61，求P(A ｜B ) 、有甲、乙两批种子，发芽率分别是和。
在两批种子中各随机取一粒，试求： （1）两粒都发芽的概率。
（2）至少有一粒发芽的概率。
（3）恰有一粒发芽的概率。
、某厂产品的合格率为96%，合格品中一级品率为75%，从产品中任取一件为一级品的概率是多少、某种品牌的电视机用到5000小时未坏的概率为43，用到10000小时未坏的概率为21。
现在有一台这种品牌的电视机已经用了5000小时未坏，它能用到10000小时的概率是多少、某厂职工中，小学文化程度的有10%，初中文化程度的有50%，高中及高中以上文化程度的有40%，25岁以下青年在小学、初中、高中及高中以上文化程度各组中的比例分别为20%，50%，70%。
从该厂随机抽取一名职工，发现年龄不到25岁，他具有小学、初中、高中及高中以上文化程度的概率各为多少、某厂有A ，B ，C ，D 四个车间生产同种产品，日产量分别占全厂产量的30%，27%，25%，18%。
已知这四个车间产品的次品率分别为，，和，从该厂任意抽取一件产品，发现为次品，且这件产品是由A ，B 车间生产的分布。
概率与统计中的概率分布知识点
概率与统计中的概率分布知识点概率是概率论的核心概念，而概率分布则是概率论的基本工具之一。
在概率与统计学中，我们经常会遇到各种概率分布，它们描述了随机变量的可能取值及其相应的概率。
本文将介绍几种常见的概率分布，包括离散型分布和连续型分布，并讨论它们的性质和常见应用。
一、离散型分布离散型分布是指随机变量取有限或可数个值的概率分布。
下面我们将介绍三种常见的离散型分布：伯努利分布、二项分布和泊松分布。
1. 伯努利分布伯努利分布是指随机变量取两个可能值的分布。
它的典型例子是抛硬币的结果，正面为1，反面为0。
伯努利分布的概率质量函数可以表示为：P(X=k) = p^k * (1-p)^(1-k)，其中p为成功的概率，k为取值。
2. 二项分布二项分布描述了在n次独立重复试验中，成功的次数的概率分布。
每次试验只有两个结果，成功或失败，成功的概率为p。
二项分布的概率质量函数可以表示为：P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中C(n, k)为组合数。
3. 泊松分布泊松分布适用于描述单位时间或单位空间内随机事件发生的次数的概率分布。
泊松分布的概率质量函数可以表示为：P(X=k) = (lambda^k* e^(-lambda)) / k!，其中lambda为单位时间或单位空间内随机事件的平均发生率。
二、连续型分布连续型分布是指随机变量在一定区间内取连续值的概率分布。
下面我们将介绍三种常见的连续型分布：均匀分布、正态分布和指数分布。
1. 均匀分布均匀分布是指随机变量在一定区间内取值的概率相等。
均匀分布的概率密度函数可以表示为：f(x) = 1 / (b-a)，其中a和b分别为区间的上下限。
2. 正态分布正态分布是最重要的连续型分布之一，也被称为高斯分布。
正态分布具有钟形曲线的特点，其概率密度函数可以表示为：f(x) = (1 /(sqrt(2*pi)*sigma)) * e^(-(x-mu)^2 / (2*sigma^2))，其中mu为均值，sigma为标准差。
概率与概率分布
第六章概率与概率分布推论统计研究如何依据样本资料对总体性质作出推断，这是以概率论为基础的。
通过概率论，可以知道在一定条件下，总体的各种抽样结果所具有的概率特性。
然后，推论统计依据这些概率特性，研究在发生了某种抽样结果的情况下总体参数是什么，或者对社会研究中提出的某种假设进行检定。
学习推论统计必须首先对概率论有所了解。
第一节概率论1．随机现象和随机事件概率是与随机现象相联系的一个概念。
所谓随机现象，是指事先不能精确预言其结果的现象。
随机现象具有非确定性，但内中也有一定的规律性。
例如，事先我们虽不能准确预言一个婴儿出生后的性别，但大量观察，我们会发现妇女生男生女的可能性几乎一样大，都是0．5，这就是概率。
随机现象具有在一定条件下呈现多种可能结果的特性。
但由于到底出现哪种结果，却又无法事先预言。
因此，人们把随机现象的结果以及这些结果的集合体称作随机事件，简称事件。
当随机事件发生的可能性能用数量大小表示出来时，我们就得到了概率。
在统计学中，我们把类似掷一枚硬币的行为（或对某一随机现象进行观察）称之为随机试验。
随机试验必须符合以下三个条件：①它可以在相同条件下重复进行；②试验的所有结果事先已知；③每次试验只出现这些可能结果中的一个，但不能预先断定出现哪个结果。
随机试验的每一个可能的结果，称为基本事件（或称样本点）；所有可能出现的基本事件的集合，称为样本空间，记为Ω。
随机事件（可记为A、B、C等）如果仅含样本空间中的一个样本点，该事件称为简单事件；随机事件如果含样本空间中的一个以上的样本点，该事件称为复合事件。
换言之，复合事件是样本空间Ω的某个子集。
随机事件有两种极端的情况：一种是必然会出现的结果，称为必然事件；另一种是不可能出现的结果，称为不可能事件。
从样本空间来看，必然事件是由其全部基本事件组成的，可记为S；不可能事件则不含任何基本事件，可记为Φ。
2．事件之间的关系客观事物之间总是存在着一定的关系，随机事件之间也不例外。
概率分布和概率分布律
概率分布和概率分布律概率分布是概率论中的一个重要概念，它描述了随机变量的所有可能取值及其对应的概率。
概率分布可以用来描述随机事件发生的可能性大小，是统计分析和推断的基础。
概率分布可以分为离散型和连续型两种。
离散型概率分布是指随机变量只能取有限个或可列个取值的情况，其概率可以用概率分布律表示。
概率分布律是指在离散型概率分布中，每个取值对应的概率。
以掷骰子为例，假设一个骰子的每个面上的数字分别为1、2、3、4、5、6。
如果我们想知道掷骰子后出现某个数字的概率，就可以使用概率分布律来描述。
在这个例子中，每个数字出现的概率都是1/6，因为骰子是均匀的，每个面出现的可能性是相等的。
所以，掷骰子的概率分布律可以表示为：P(1) = 1/6P(2) = 1/6P(3) = 1/6P(4) = 1/6P(5) = 1/6P(6) = 1/6这个概率分布律告诉我们，在掷骰子的过程中，每个数字出现的概率都是1/6。
除了离散型概率分布律，还有连续型概率分布。
连续型概率分布是指随机变量的取值可以是任意的实数，其概率可以用概率密度函数表示。
概率密度函数是描述连续型概率分布的函数，它的值并不表示概率，而是在某个取值附近的概率密度。
以正态分布为例，正态分布是一种常见的连续型概率分布，也被称为高斯分布。
它的概率密度函数可以用一个钟形曲线来表示，曲线的中心对应着平均值，曲线的宽度对应着标准差。
正态分布在自然界中广泛存在，例如身高、体重等。
正态分布的概率密度函数形式如下：f(x) = (1 / (σ * sqrt(2π))) * exp(-((x - μ)^2) / (2σ^2))其中，μ表示平均值，σ表示标准差。
概率密度函数告诉我们，在正态分布中，随机变量取某个值的概率密度是多少。
概率分布和概率分布律在统计学中扮演着重要的角色。
它们可以帮助我们理解随机事件的分布情况，预测未来事件的可能性，进行统计推断和假设检验等。
在实际应用中，我们经常使用概率分布和概率分布律来描述和分析数据，以便更好地了解数据的特征和规律。
概率与概率分布
概率与概率分布概率是数学中的一个重要概念，它描述了事件发生的可能性。
在现实生活和各个学科领域中，概率都有着广泛的应用。
而概率分布则是概率理论的基础，用于描述不同事件发生的概率分布情况。
本文将介绍概率的定义，概率的性质以及概率分布的类型和应用。
一、概率的定义与性质1.1 概率的定义概率是指某个事件在特定条件下发生的可能性。
它通常用一个介于0和1之间的数值来表示，其中0代表不可能发生的事件，而1代表必然发生的事件。
概率的计算方法可以通过实验观察、理论推导或者数据统计等方式得到。
1.2 概率的性质概率具有以下几个重要的性质：1) 非负性：概率的值始终是非负的，即概率不会为负数。
2) 正则性：所有可能事件的概率之和等于1，即P(Ω) = 1，其中Ω代表样本空间。
3) 可列可加性：对于任意一组互不相容的事件Ai（i = 1,2,...,n），它们的概率之和等于各个事件概率的和，即P(A1∪A2∪...∪An) =P(A1)+ P(A2)+ ...+ P(An)。
二、概率分布的概念与类型2.1 概率分布的概念概率分布是用于描述随机变量可能取值的概率情况的函数或表格。
随机变量是实验结果的函数，它的取值是根据概率分布来确定的。
2.2 常见的概率分布类型2.2.1 离散概率分布离散概率分布是指随机变量的取值只能是离散的、有限或可数个的情况。
常见的离散概率分布有：1) 伯努利分布：描述了只有两个可能结果的随机试验，如抛硬币的结果。
2) 二项分布：用于描述重复n次、每次试验只有两个可能结果的情况。
3) 泊松分布：适用于描述单位时间或单位面积内随机事件发生次数的概率分布。
2.2.2 连续概率分布连续概率分布是指随机变量的取值可以是连续的、无限多个的情况。
常见的连续概率分布有：1) 均匀分布：描述在一个区间内每个取值出现的可能性相等的概率分布。
2) 正态分布：也称为高斯分布，是最常见的连续概率分布之一，广泛应用于各个领域。
概率密度与概率分布函数
概率密度与概率分布函数概率——随机事件发⽣的可能性⼤⼩
对于离散型随机变量，概率是指某⼀个随机事件发⽣的可能性，⽐如
P(X=x i)=p i
x表⽰所有随机事件，i表⽰其中的⼀个取值。
概率分布表⽰所有随机事件的概率规律，⽤于了解实验的全部可能结果及其发⽣的概率，⽐如
P(X=x i)=p i,i=1,2,...,n
⽤图表表⽰为
X x1x2...x n
P p1p2...p n
离散型随机变量的概率分布函数可以表⽰为
F(x)=P(X<x)=∑
x i<x p
i
概率分布函数为概率的累加。
对于连续型随机变量，讨论某⼀点的概率没有意义，所以引⼊概率密度（函数），表⽰⼀段区间的概率除以该区间的长度。
常⽤f(x)表⽰，有
∫∞−∞f(x)dx=1
连续型随机变量的概率分布函数
F(x)=∫x−∞f(x)dx
概率分布函数为概率密度的积分。
概率分布函数的导数为概率密度，即
f(x)=F′(x)
概率分布函数为概率的累加或概率密度的积分，由于概率或概率密度都是⾮负的，概率分布函数是⼀个单调⾮降函数。
平时我们遇到的正态分布、瑞利分布等就是指离散型随机变量的概率分布或连续型随机变量的概率密度函数。
参考：
Processing math: 100%。
概率分布的计算
概率分布的计算概率分布的计算是统计学中最基础的概念之一。
它描述了在某个随机事件中，各个可能结果发生的概率。
概率分布在各个领域都有广泛的应用，例如金融、医学、天气预报等。
在本文中，我们将介绍概率分布的基本概念、常见的概率分布类型以及概率分布的计算方法。
1. 概率和概率分布概率是描述某个事件发生的可能性的数值。
它的取值范围在0到1之间，0表示不可能发生，1表示一定会发生。
概率分布则是表示一个随机变量所有可能取值及其对应的概率的函数。
2. 常见的概率分布类型2.1 二项分布二项分布描述了进行多次独立重复试验中成功的次数的概率。
每次试验只有两个可能的结果，称为“成功”和“失败”。
例如，抛掷硬币就是一个二项分布。
二项分布的概率质量函数为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中，n表示试验的总次数，k表示成功的次数，p表示每次试验成功的概率。
2.2 正态分布正态分布是自然界中最常见的分布之一。
它可用于描述众多随机现象，例如人的身高、体重等。
正态分布的概率密度函数为：f(x) =(1/(σ√(2π))) * exp(-(x-μ)²/(2σ²))，其中，μ表示期望值，σ表示标准差。
2.3 泊松分布泊松分布用于描述单位时间、单位面积或单位体积内随机事件发生的次数。
例如，电话中断次数、交通事故数量等都可以用泊松分布来描述。
泊松分布的概率质量函数为：P(X=k) = (e^(-λ) * λ^k) / k!，其中，λ表示单位时间、单位面积或单位体积内事件发生的平均次数。
3. 概率分布的计算方法概率分布的计算方法有两种：经验法和理论法。
3.1 经验法经验法是通过观测和统计数据来计算概率分布。
它适用于实际数据收集和分析，但需要大量的数据样本和时间。
在经验法中，可以通过频率来估计概率，即事件发生的次数除以总次数。
3.2 理论法理论法是通过特定的数学模型来计算概率分布。
概率分布及概率分布图
概率密度函数图
总结词
概率密度函数图是一种展示连续概率分布的图形，通过曲线的高低表示概率密度的大小。
详细描述
概率密度函数图是连续概率分布的图形表示，它通过曲线的高低表示概率密度的大小。在概率密度函数图中，曲 线下方的面积表示事件发生的概率。这种图形可以帮助我们了解连续随机变量的分布情况，并用于估计和预测未 来的事件。
02 离散概率分布
二项分布
01
02
03
定义
二项分布是描述在n次独 立重复的伯努利试验中成 功的次数的概率分布。
公式
$B(n, p) = C(n, k) p^k (1-p)^{n-k}$，其中C(n, k)是组合数，表示从n个 不同项中选取k个的方法 数。
应用场景
例如，抛硬币的结果（正 面或反面），或者给定数 量的独立事件中成功事件 的次数。
泊松分布
定义
泊松分布是描述在单位时间内（或单 位面积内）随机事件的次数，当这些 事件以小概率发生，并且这些事件之 间是独立的。
公式
应用场景
例如，放射性衰变或者网络中同时发 生的请求数。
$P(X=k) = frac{e^{lambda}lambda^k}{k!}$，其中 $lambda$是事件的平均发生率。
05 概率分布及概率分布图的 应用实例
在统计学中的应用
1 2 3
描述性统计
概率分布图可以用来描述数据的分布情况，如频 数分布图、直方图等，帮助我们了解数据的集中 趋势、离散程度等。
假设检验
在假设检验中，概率分布图可以用来表示样本数 据和理论分布之间的比较，帮助我们判断样本数 据是否符合预期的分布。
概率分布的种类
离散概率分布
描述离散随机变量的取值概率，如二项分布、泊 松分布等。
概率与概率分布
三、概率分布
若要全面了解随机试验，则必须知道随机试验的全 部可能结果及各种可能结果发生的概率，即必须知 道随机试验的概率分布(probability distribution)。
为了深入研究随机试验 ，先引入随机变量(random variable)的概念。
二项分布的累计函数:
i
F(x) P(x) x0
x ~ B(n, p)
性质
n
由于(p+q)n=1，所以 P( x) 1 x0
二项分布的数学期望 E(x)=np
方差 D(x)=npq
标准差 npq
例如：某种昆虫在某地区的死亡率为40%，即 p=0.4，现对这种害虫用一种新药进行治疗试验，每次 抽样10头为一组治疗。试问如新药无疗效，则在10头 中死3头、2头、1头以及全部愈好的概率为多少？
对立事件
必有一件发生，但 A+B=U; A•B=V;B=Ā;
不同时发生，也不 P(A+B)=1; P(A•B)=0;
能同时不发生
P(B)=P(Ā)=1-P(A)
互不相关; 独立事件 多个彼此独立事件 P(A•B)=P(A)•P(B);
1、有一批种子，其中二级占5%,一级占 10%，其余为三级，问三级种子占多少？
时，随机变量序列的平均数收敛于数学期望。
lim n
P |
1 n
Xi
|
1
意义：当n很大时，独立同分布的随机变量的平均值
依概率收敛于它的数学期望 。
切比雪夫大数定理
若X1, X2,‥,Xn相互独立，每个Xk的方差存在，且一
致有界， 即存在常数c，使得
第三章 概率与分布
第三章概率与分布第一节概率一、什么是随机现象客观现象随机现象随机事件的概率(即发生可能性的大小)就是随机事件隐蔽着的规律。
二、概率的概念在一定条件下，随机现象可能出现多种结果。
随机现象的结果以及这些结果的集合就称作随机事件，简称事件。
为了使随机事件发生可能性的大小能进行比较，有必要确定概率的最大值和最小值是什么。
为此，我们把不可能发生的事件称为不可能事件（记）,不可能事件发生的概率定为0：在一定条件下一定会发生的事件称作必然事件(记作S)，必然事件发生的概率定为l：对于一般随机事件，由于它发生的可能性介于“必然”与“不可能”之间，因此它发生的概率介于0和1之间：0≤≤l例、某班有学生50名，其中有15名女生。
现从该班任抽20名学生，则“其中有10名女生”的事件为随机事件；“其中至少有5名男生”的事件为必然事件；“其中有18名女生”的事件为不可能事件。
( 为什么? )三、概率的计算方法（一）频率法在相同条件下进行次试验或观察，随机事件出现的次数称作频数。
频数与试验次数的比值，称作次试验或观察中事件E出现的频率，记作：=。
频率具有如下性质：l、0≤≤l2、对于必然事件，频率=l；试验者掷币次数N出现“正面”频数n频率蒲丰皮尔逊皮尔逊4040120002400020486019120120.50690.50160.5005对于不可能事件（），频率=0；3、频率具有双重性质：随机性和统计规律性。
法国统计学家蒲丰（Buffon）和英国统计学家皮尔逊（K·Pearson）所做的大量投掷硬币的经典试验结果说明：当→∞时，频率的稳定值反映了随机事件自身固有的规律性。
凭借日常生活经验可知：某事件出现的可能性（概率）越大，则实际观测结果的频率也越大，反之亦然。
因此，常常把事件的概率定义为观察次数趋于无穷时相应频率的稳定值。
即：==在实际中，当概率不易求出时，往往就取充分大的频率作为概率的近似值。
但应注意，频率是个试验值，具有随机性，它只能近似地反映事件出现的可能性大小。
概率与概率分布
第5章概率与概率分布一、思考题5.1、频率与概率有什么关系？5.2、独立性与互斥性有什么关系？5.3、根据自己的经验体会举几个服从泊松分布的随机变量的实例。
5.4、根据自己的经验体会举几个服从正态分布的随机变量的实例。
二、练习题5.1、写出下列随机试验的样本空间：（1）记录某班一次统计学测试的平均分数。
（2）某人在公路上骑自行车，观察该骑车人在遇到第一个红灯停下来以前遇到的绿灯次数。
（3）生产产品，直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。
5.2、某市有50%的住户订阅日报，有65%的住户订阅晚报，有85%的住户至少订两种报纸中的一种，求同时订这两种报纸的住户的百分比。
5.3、设A与B是两个随机事件，已知A与B A发生且B不发生B发现的概率。
5.4、设A与B是两个随机事件，已知P(A)=P(B)= P(A｜B)=5.5、有甲、乙两批种子，发芽率分别是0.8和0.7。
在两批种子中各随机取一粒，试求：（1）两粒都发芽的概率。
（2）至少有一粒发芽的概率。
（3）恰有一粒发芽的概率。
5.6、某厂产品的合格率为96%，合格品中一级品率为75%，从产品中任取一件为一级品的概率是多少？5.7、某种品牌的电视机用到5000用到10000现在有一台这种品牌的电视机已经用了5000小时未坏，它能用到10000小时的概率是多少？5.8、某厂职工中，小学文化程度的有10%，初中文化程度的有50%，高中及高中以上文化程度的有40%，25岁以下青年在小学、初中、高中及高中以上文化程度各组中的比例分别为20%，50%，70%。
从该厂随机抽取一名职工，发现年龄不到25岁，他具有小学、初中、高中及高中以上文化程度的概率各为多少？5.9、某厂有A，B，C，D四个车间生产同种产品，日产量分别占全厂产量的30%，27%，25%，18%。
已知这四个车间产品的次品率分别为0.10，0.05，0.20和0.15，从该厂任意抽取一件产品，发现为次品，且这件产品是由A ，B 车间生产的分布。
概率与概率分布
第二节 随机事件的概率
描述随机事件发生的可能性大小的数值 称为随机事件的概率，通常用符号P（A）， P（B），P（C）……显示。 一、概率的古典定义 古典型试验的特点： 1、试验观测的一切可能结果的个数是有限 的。 2、各个可能结果出现的可能性是均等互斥 的。
概率的古典定义： 如果在一次试验中，共有n个同等可能且 互斥的结果，其中属于事件A的有m个，则事 件A的概率定义为 m p( A) n m：属于事件A的结果数 n：一切可能结果数
x 2
2 2
则称随机变量x服从正态分布，记作 2 X∽ N（， ） μ 总体平均数 σ 总体标准差 e 自然对数的底数 e=2.71828
二、正态分布的性质 1、一个高峰， 一个对称轴，一条渐近线。 2、曲线与横轴所围的面积为1 ，包含的概率 为100%。 3、正态曲线下的面积有一定的分布规律。 包含的概率为68.26% 1 2 包含的概率为95.45% 3 包含的概率为99.73%（99.74%) 1.96 包含的概率为95% 2.58 包含的概率为99%
第四章 概率与概率分布
第一节 随机现象与随机事件
一、 确定性现象与随机现象 （一）确定性现象 定义：在一定条件下必然会发生某一种结果 的现象称为确定性现象。 特点：在一定试验条件下，发生的结果有着 必然或肯定性的规律，而且可根据已知的事 实推算或预言它的结果。
（二）随机现象 定义：在一定条件下，对同一研究对象进 行试验观测，其试验观测的结果是不确定 的，这种现象叫随机现象。 特点：在一定条件下具备多种可能结果，但 究竟发生哪一种结果事先不能确切地知道。 二、事件与随机事件 在一定条件下，对某事物或现象所进行的 观察或实验叫试验，观察或实验的结果叫作 事件。
概率的计算与分布
概率的计算与分布概率是数学中的一个重要概念，用于描述事件发生的可能性。
在实际应用中，概率的计算与分布是非常关键的，它们可用于估计和预测各种事件的发生概率。
本文将介绍概率的基本计算方法和常见的概率分布。
一、概率的计算方法1. 事件的概率事件的概率是指某个事件发生的可能性。
概率的计算方法有两种，分别是古典概率和统计概率。
- 古典概率：古典概率适用于实验结果固定且等可能发生的情况下。
计算公式为 P(A) = n(A) / n(S)，其中 n(A) 表示事件 A 发生的次数，n(S) 表示样本空间中的样本总数。
- 统计概率：统计概率适用于实验结果无法预测，需要通过统计方法来估计的情况。
计算公式为 P(A) = N(A) / N，其中 N(A) 表示事件 A在一系列重复试验中出现的次数，N 表示试验的总次数。
2. 条件概率条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
条件概率的计算方法为P(A|B) = P(A∩B) / P(B)，其中P(A∩B) 表示事件 A 和事件 B 同时发生的概率，P(B) 表示事件 B 发生的概率。
3. 独立事件独立事件是指两个或多个事件之间互不干扰、相互独立的情况下发生的事件。
对于独立事件，它们的概率计算方法为P(A∩B) = P(A) *P(B)。
4. 互斥事件互斥事件是指两个或多个事件之间不可能同时发生的情况。
对于互斥事件，它们的概率计算方法为 P(A∪B) = P(A) + P(B)。
二、常见的概率分布1. 均匀分布均匀分布是指在某个区间内各个取值的概率相等的分布。
其概率密度函数为 f(x) = 1 / (b-a)，其中 a 和 b 表示区间的上下限。
2. 正态分布正态分布是自然界和社会现象中最常见的分布之一，也被称为高斯分布。
其概率密度函数为f(x) = (1 / σ√(2π)) * e^(-(x-μ)² / (2σ²))，其中μ 和σ 分别表示均值和标准差。
概率与概率分布
故乘客候车小于5min的概率为
1 P(0 5) dx 0.5 0 10
5
2、正态分布 一、 概念和公式的引出 正态分布 如果随机变量 的密度函数为
1 f ( x) e 2
( x )2 2 2
( x (,))
其中 , ( 0) 为参数，则称随机变量 服从参数为
如果随机变量 取值为0，1，2，…，n，其概率 分布为
k P( k ) Cn p k (1 p) nk (k 1,2,, n)
则称 服从参数为n,p的二项分布，记作
～B(n, p)
三、进一步练习 练习[摸球]
练习 [使用寿命] 按规定，某种型号电子元件的使用 寿命超过1500小时的为一级品．已知某大批产品的一 级品率为0.2，现从中随机地抽查10只，设10只元件 中一级品的只数为 ，求 的概率分布．
“出现正面”这一随机事件．
3.2.1 离散型随机变量及其分布
一、案例 二、概念和公式的引出
三、进一步的练习
案例 [取球]
上面我们已经知道随机变量可以表示随机试验的
结果，有些随机试验的结果可用随机变量的取值按 一定顺序列出．如掷一枚骰子，可用 取值1，2，…，6来表示所有结果．
二、 概念和公式的引出 离散型随机变量
k 10 k
的概率分布为
10 k
P( k ) C (0.2) (0.8)
(k 1,2, ...)
3．泊松分布 二、 概念和公式的引出 泊松分布 如果随机变量 的概率分布为
P( k )
k
k!
e
( 0, k 0,1,2,, n)
则称 服从参数为 的泊松分布，记作
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第六章概率与概率分布本章是推断统计的基础。
主要内容包括：基础概率，概率的数学性质，概率分布、期望值与变异数推断统计研究如何依据样本资料对总体性质作出推断，这是以概率论为基础的。
第一节基础概率概率论起源于17 世纪，当时在人口统计、人寿保险等工作中，要整理和研究大量的随机数据资料，这就需要一种专门研究大量随机现象的规律性的数学。
参赌者就想：如果同时掷两颗骰子，则点数之和为9 和点数之和为10 ，哪种情况出现的可能性较大？例如17世纪中叶，贵族德•梅尔发现：将一枚骰子连掷四次，出现一个6点的机会比较多，而同时将两枚掷24 次，出现一次双6 的机会却很少。
概率论的创始人是法国的帕斯卡(1 623—1 662)和费尔马(1601—1665)，他们在以通信的方式讨论赌博的机率问题时，发表了《骰子赌博理论》一书。
棣莫弗(1 667—1 754)发现了正态方程式。
同一时期瑞士的伯努利(1654一1705)提出了二项分布理论。
1814 年，法国的拉普拉斯(1749—1827)发表了《概率分析论》，该书奠定了古典概率理论的基础，并将概率理论应用于自然和社会的研究。
此后，法国的泊松( 1 78 1 —1 840)提出了泊松分布，德国的高斯(1777—1855)提出了最小平方法。
1 、随机现象和随机事件概率是与随机现象相联系的一个概念。
所谓随机现象，是指事先不能精确预言其结果的现象，如即将出生的婴儿是男还是女？一枚硬币落地后其正面是朝上还是朝下?等等。
所有这些现象都有一个共同的特点，那就是在给定的条件下，观察所得的结果不止一个。
随机现象具有非确定性，但内中也有一定的规律性。
例如，事先我们虽不能准确预言一个婴儿出生后的性别，但大量观察，我们会发现妇女生男生女的可能性几乎一样大，都是0.5，这就是概率。
随机现象具有一定条件呈现多种可能结果的特性。
人们把随机现象的结果以及这些结果的集合体称作随机事件。
在统计学中，我们把类似掷一枚硬币的行为（或对某一随机现象进行观察）称之为随机试验。
随机试验必须符合以下三个条件：①它可以在相同条件下重复进行；②试验的所有结果事先已知；③每次试验只出现这些可能结果中的一个，但不能预先断定出现哪个结果。
1样本点随机试验的每一个可能的结果，称为基本事件（或称样本点）2•样本空间所有样本点的全体称作样本空间（Sample space）记作Q ［例］掷一颗骰子，试列出它的基本事件和样本空间。
随机事件：简单事件：仅含样本空间中一个样本点的事件。
复合事件：含样本空间中一个样本点以上的的事件。
极端的随机事件:不可能事件：从样本空间来看，不含任何基本事件，记作①。
必然事件：从样本空间来看，该事件事件是由其全部基本事件所组成，记作S［例］事件：对掷一颗骰子的试验，我们研究如下①A为“点数是3”；②B为“出现奇数点”；③C为“出现点数不超过6”;④D为“点数是7”。
［解］因为｛1，2，3, 4, 5, 6｝，所以①A= ｛3｝，为简单事件；②B= ｛1，3, 5｝，为复合事件；③C= ｛1，2, 3, 4, 5, 6｝，为必然事件;④ D = {7}，为不可能事件。
2. 事件之间的关系(1) 事件和(qrconjunctgn) 构成的事件C 称为A事事互斥事件，且在一次试验中必有其一 发生，称A 与B 为对立B 件(逆事件)或记A B B 为相互独立事件，记作 A/ B 或B B / A(2)事件积(As-wei ^B 事件C 称为A 与B 的事件积,___ 事 * 与事件B 同时发生所构成的(3)事含A 记作 A B 或 B A 的包含与相等一一事件A 发生必然导致事件 B 发生，则称为B 包如果 A B 同时 A B则A=B(4)互斥事件或互不相容事件，记作事件\A 和事件B 不能同时发生，则称B 和A 是互斥事件,(5)对立事件 A B 至少有一个事件发生所A B 的事 co两随机事件之间的关#匸血2IT 6. 1 两随机宰件之珂弱羌汞3. 先验概率在统计学中，有两种常见的确定概率的方法：古典法和频率法。
用古典法求出的概率由普拉斯1814年提出。
以想象总体为对象，利用模型本身所具有的对称性来事先求得概率，故被称为先验概率。
条件：（1）在一样本空间中，各样本点出现的机会均等；（2）该样本空间只有有限（n）个样本点。
这样对于含有m个样本点的事浄A，其出现的概率为：用古典法求算概率，在应用上有两个缺点：①它只适用于有限样本点的情况；②它假设机会均等，但这些条件实际上往往不能得到满足［例］掷两枚均匀的硬币，①求“两枚都朝上”的概率；②求“一枚朝上，一枚朝下”的概率4、经验概率求算概率的另一途径是运用频率法。
设想有一个与某试验相联系的事件A，把这个试验一次又一次地做下去，每次都记录事件A是否发生了。
假如做了n 次试验，而记录到事件f A发生了m 次（即成功m次），则频数与试验次数的比值，称作次试验中事件A发生的频率°显然，频率具有双重性质：随机性和规律性当试验或观察次数趋近于无穷寸相应频率趋于稳定1这个极限值就是用频率法所定义的概率------------------------- °-------------------------------------频率稳定到概率这个事实，给了“机会大小”即概率一个浅显而说得通的解释，这在统计学上具有很重要的意义。
坚持这种观点的统计学派也就被称为频率学派。
比如:法国统计学家蒲丰（Buffon）把铜板抛了4040次，正面的次数是2048，比例是0.5069 。
1900年，英国统计学家皮尔逊把硬币抛了24000次，正面的次数是12012,比例是0.5005南非数学家柯屈瑞在监狱时，把硬币抛了10000次，正面的次数是5067,比例是0.5067 。
再如：保险公司会利用概率进行人寿保险经营，比如研究表明20-24岁的男性中明年死亡的概率是0.0015,同龄的女性是0.0005,保险公司对男性的保费就多收一些第二节概率的数学性质1.非负性图丘3概率(荫帛件相加)的几何图形表示法［例］从一副普通扑克牌中抽一张牌，求抽到一张红桃或者方块的概率。
［例］在一副52张扑克牌中，求单独抽取一次抽到一张红桃或爱司的概率。
［例］根据上海市职业代际流动的统计，向下流动的概率是0.07，静止不动的概率是0.6,求向上流动的概率是多少？［例］为了研究父代文化程度对子代文化程度的影响，某大学统计出学生中父亲具有大学文化程度的占30%，母亲具有大学文化程度的占20%，而双方都具有文化程度的占有10%，问从学生中任抽一名，父代至少有一名具有大学文化程度的概率是多少？ 加法规则可推广到对对两个以上的事件，若事件A ) A , B p C B K 都互斥，那今 有3乘法规则“在B 已经发生条件发生的概率”■条件概率的意思是，P ( A / B ))或 P ( B / A ) P ( B ) 关系。
换言之经发生时供发生的 概率可能有别于B 没有发生时A 发生的概率。
的概念，对于灵活运用概率的乘法规则很 概率达^计独立是且B) P(A) P( B)若A 和B 在统计上相互独立(无关)，这时乘法规则可以简化为［例1］假定有下列3000个社区的数据，如果随机地从这个总体中抽取一个 社区，得到一个中等的而且犯罪率低的社区的概率是多少 ？例2］假定数据变动如下，随机地从这个总体中抽取一个社区，得到一个中 等的而且犯罪率低的社区的概率又是多少 ？［例3］根据统计结果，男婴出生的概率是 22/43,女婴出生的概率是21/43, 某单位有两名孕妇，问两名孕妇都生男婴的概率是多少？都生女婴的概率是多 少？其中一男一女的概率是多少？［例4］某居民楼共20户，其中核心家庭为2户，问访问两户都是核心家庭的概率是多少？问访问第二户才是核心家庭的概率是多少?冲P(B)+P(C)+ P(K)A / B)式中符号代表条件概率。
应理解为,A 发生的概率可能与 *重要。
现在用条件 理解统计独立在抽样方法中还经常涉及到回置抽样和不回置抽样。
如前所述，所谓回置抽样，就是抽取的单位登记后又被放回总体中去，然后再进行下一次抽取。
使用回置抽样法，先后两次抽取是彼此独立的。
因为每一次抽取后抽取到的单位都得返还，总体保持不变，前一次的结果不可能影响到后一次。
所谓不回置抽样，就是不再把抽取到的单位退还总体。
这样先后两次抽取就不再独立了，必须使用条件概率的概念。
例1用回置法从一幅普通扑克牌抽取两次，计算得到两张A的概率。
例2:用不回置法从一幅普通扑克牌抽取两次，计算得到两张A的概率。
例3:为了研究父代文化程度对子代文化程度的影响，某大学统计出学生中父亲具有大学文化程度的占30%，母亲具有大学文化程度的占20%，而双方都具有文化程度的占有10%，问从学生中任抽一名，父代至少有一名具有大学文化程度的概率是多少？在抽样方法中还经常涉及到回置抽样和不回置抽样。
如前所述，所谓回置抽样，就是抽取的单位登记后又被放回总体中去，然后再进行下一次抽取。
使用回置抽样法，先后两次抽取是彼此独立的为每一次抽取后抽取到的单位都得4 4 1返还，总体保持不变，前一次的结果不可能影响到后一次。
所谓不回置抽样，就是不再把抽取到的单位退还总体。
这样先后两次抽取就不再独立了，必须使用条件概率的概念。
A的概率。
4、排列和样本点的计数要正确解决概率问题，往往光考虑乘法规则还不够，还要同时考虑使用加法规则。
一般最简单的做法是：首先确定一种符合要求的排列方式并计算它们发生的概率，然后再考虑还有没有其他同样符合要求的排列方式。
如果存在着其他实现方式，并且都具有相同的概率^就可以简单地把排列方式数与以某一给定的排N !列方式计算的概率相注意，后一步相当于使用了加法规则。
r1 ! r 2 ! r k !所有N个元素都不相同的情况下，排排列方式数为N!N个元素中，若其中第一组中有r1个不能区分的元素，第2组中有r2个不能区分的元素，…，第k组中有rk个不能区分的元素，且各组彼此是可以区分的，则总的排列数为：：［例］从一幅洗得很好的扑克牌中做了3次抽取，假定使用回置法，求至少得到1张A1/13 1/13(11 /13)和一张K的概率是多少？［解］按照题意，要在不同样本空间中考虑三种复合事件：/ 13抽到1张A和1张K，另I张非A非K，用符号(AKO)表示(其中1 “O3表示其他御抽到1张A和2 张K，用符号(AKK)表示；抽到2张A和1张K，用符号(AAK)表示。
因为在不同样本空间中基本事件实现的概率不同，必须对它们加以区别。
次序为AKO的样本点实现的概率是次序为AKK的样本点实现的概率是次序为AAK的样本点实现的概率是(AKO)含有3!= 6种排列方式所以，在三次抽取中，至少得到1张A和1张K的概率是［例］假如对1000个大学生进行歌曲欣赏调查，发现其中有500个学生喜欢民族歌曲，400个学生喜欢流行歌曲，而这些学生中有100人属于既喜欢民族歌曲又喜欢流行歌曲的，剩下来的学生两种歌曲都不喜欢。