第三章_地球重力场及地球形状的基本理论(2)
地球物理学基础ppt课件
1、火成（岩浆）岩密度＞变质岩密度＞沉积岩密度
根据长期研究的结果，认为决定岩、矿石密 度的主要因素为：
※ 组成岩石的各种矿物成分及其含量的多少； ※ 岩石中孔隙度大小及孔隙中的充填物成分； ※ 岩石所承受的压力等。
2、火成岩（2.5～3.6 g /cm³）
（1）主要取决于矿物成分及其含量的百分比，由 酸性→基性→超基性岩，随着密度大的铁镁 暗色矿物含量增多密度逐渐加大。
Δg = gg
+
0
-
σ1
σ2
σ3
σ0
σ1>σ0
σ2<σ0
σ3=σ0
4、引起重力异常的条件
（1）探测对象与围岩要有一定的密度差。 （2）岩层密度必须在横向上有变化，即岩层内有密度不同的地
质体存在，或岩层有一定的构造形态。 （3）剩余质量不能太小（即探测对象要有一定的规模） （4）探测对象不能埋藏过深
（1）重力观测是在地球的自然表面上而不是在大地 水准面上进行的（自然表面与大地水准面间的 物质及测点与大地水准面间的高差会引起重力 的变化）
（2）地壳内物质密度的不均匀分布；
（3）重力日变化
3、重力异常的物理意义
A
大地水准面
σ0
△F
σ V
g0 △g
△F
g观
△σ =σ–σ0 △m=Δσ×V
g观 g0 F
由上式可见：重力场强度，无论在数值上，还是 量纲上都等于重力加速度，而且两者的方向也一致。 在重力勘探中，凡是提到重力都是指重力加速度（或 重力场强度）。
2、重力的单位（gravity unit)
在SI制中：g（重力加速度）的单位为1m/s2，规定 1m/s2的百万分之一为国际通用重力单位（gravity unit)，简写为g.u，即：
大地测量学基础(第3章 地球重力场及地球型状的基本理论+2012.02.25 续2)
18
三、重力归算
重力归化包括以下步骤： 首先将大地水准面外部的地形质量全部去掉，或 者移到大地水准面以下去，然后再将重力测量结果从 地面降低到大地水准面上。
19
三、重力归算
1．空间改正 假设在图中，A 为地面上一点，A0 为大地水准 面上相应的投影点，A点的高程为H，我们要 将A点的重力加以改正归算到大地水准面上， 求出A0 点的重力值。现求其改正数。
2T 2T 2T T 2 2 2 0 x y z
T 2 T g r r
lim V = 0
∞
15
二、确定大地水准面的理论和方法
Molodensky 公式
T T0 T1 T2 ...
T0 1 gS ( )d 4R
R g1 2
1 T1 g1S ( )d 4R
g
h hp l
3
d
注意： g g p p g p ( 0 0.3086 H )
16
二、确定大地水准面的理论和方法
3、Stokes与Molodensky关系
1） Stokes 要求大地水准面外部没有质量，这就需要将重 力观测值归算到大地水准面上，从而需要对密度进行假 设。 Molodensky避免了复杂的重力归算。 2） Molodensky的零次解就是Stokes解； Molodensky的 一次解相当于Stokes解+局部地形改正； 3） Stokes确定的是大地水准面， Molodensky确定的是 大地水准面。和 Stokes和Molodensky对应的正高和正 常高。
W g n U 1 U U ne cos p n n
T n
p
第三章地球重力场及地球形状的基本理论1-PPT资料73页
第二节 地球重力场的基本原理
（3）引力位的物理意义 引力所做功等于位函数在终点和起点的函数值之差。 在某一位置处质体的引力位就是将单位质点从无穷远处移动到
该点所做功。
Q
A dVVQVQ0
Q0
Q
M
Q0
F
m
第二节 地球重力场的基本原理
2 离心力位
x r cos cos , y r cos sin , z r sin
空间点S的坐标（x,y,z)，地面质点M的坐标(xm,ym,zm)
则有
z
(Xm,ym,zm)
dm
Rψ
o
φm φ
λm λ
ρ
r S0
Se
y
(X，y，z) S
V f dm
x
第二节 地球重力场的基本原理
将 引力位函数
用级数展开，再代入 有:
再将
代入，按（R/r）合并集项得：
第二节 地球重力场的基本原理
（2） 位函数的性质 ① 位函数是标量函数，可对各分量求和，也可对某个质体进行积 分。 V＝V1＋V2＋·····＋ Vn 所以，地球总体的位函数应等于组成其质量的各基元分体位 函数dVi之和，对整个地球而言，则有
dm
V dV f
M
M
z
(Xm,ym,zm)
dm Rψ
(X，y，z) S
第二节 地球重力场的基本原理
讨论前三项： ① 先看v0
可见，V0就是把地球质量集中到地球质心处时的点的引力位。 ② 再讨论v1，ψ 为R,r之间的夹角
r x iyjz k Rxmiymjzmk
第二节 地球重力场的基本原理
上式两边同除以地球质量M，又因为
清华考研辅导班-2021清华大学807大地测量考研经验真题参考书
清华考研辅导班-2021清华大学807大地测量考研经验真题参考书清华大学807大地测量考试科目，2020年初试时间安排为12月22日下午14:00-17:00进行考试，考试时间为3小时一、适用院系专业：清华大学003土木工程系081601大地测量学与测量工程二、考研参考书目清华大学807大地测量没官方指定的考研参考书目，盛世清北根据专业老师指导及历年考生学员用书，推荐使用如下参考书目：《大地测量学基础》武汉大学出版社孔祥元等著《现代大地控制测量》测绘出版社施一民《误差理论与测量平差基础》武汉大学出版社武汉大学测绘学院等编盛世清北建议参考书阅读方法：目录法：先通读各本参考书的目录，对于知识体系有着初步了解，了解书的内在逻辑结构，然后再去深入研读书的内容。
体系法：为自己所学的知识建立起框架，否则知识内容浩繁，容易遗忘，最好能够闭上眼睛的时候，眼前出现完整的知识体系。
问题法：将自己所学的知识总结成问题写出来，每章的主标题和副标题都是很好的出题素材。
尽可能把所有的知识要点都能够整理成问题。
三、重难点知识梳理清华大学807大地测量2020年暂未提供考试大纲，但盛世清北的课程中总结了复习的大体方向，考试重难点知识梳理内容如下：（一）大地测量的基本技术与方法1.大地测量学的发展及新技术2.国家平面大地控制网的建立3.国家高程控制网的建立4.工程测量控制网的建立5.大地测量的基本方法（二）地球重力场及地球形状的基本理论1.地球重力场基本概念2.大地水准面3.高程系统4.垂线偏差与大地水准面差距5.地球形状的确定（三）大地坐标系建立及坐标换算1.大地测量常用坐标系2.椭球定位和定向3.地球参心坐标系4.地心地固坐标系5.站心坐标系6.坐标系换算（四）地球椭球及其数学投影变换的基本理论1.地球椭球的数学性质2.地面观测值归算至椭球面3.大地测量主题解算4.地图数学投影变换的基本概念5.高斯平面直角坐标系6.几种基本投影的概念四、考研真题一、术语解释(每小题 2分，共 20分)1、数字地图2、大地水准面3、空间信息可视化4、高程5、工程测量学6、1985国家高程基准7、中误差8、间接平差9、空间关系10、3S技术在空间数据库的支持下，利用图形算法、地图学方法和数据挖掘技术，为通过视觉感受与形象思维而获取新知识的空间数据处理、分析及显示的技术。
重力场的基本知识可修改全文
在以上假设下，利用实际观测结果，可以 导出一个近似公式，称为参考椭球面（大 地水准面）上正常重力公式，即
g0 () ge (1 sin 2 1sin 2 2)
式中g0(φ)为正常重力值，其随纬度φ变化；
ge ，gp 分别称为赤道处和两极处重力平均
值；β称为地球重力扁度[ (gp – ge) / ge] ；
历史上使用的是C.G.S.制，它是为了纪念第一个 测定重力加速度值的意大利著名物理学家伽利略 (G.Galieo)，取1cm/s2作为重力的一个单位，称作 “伽”(Gal)。
实用中是取它的 千分之一即“毫伽”作常 用单位。
近二十年来随着高精度重力测量，特别是 在水文、工程、 环境勘查中微重力测量的
1m／ s2 ＝106 g.u.
1Gal = 104 g.u.
1mGal＝ 10 g.u.
目前，最好的重力仪测量精度可达到微伽 级。
4
重力加速度并不是一个恒量，在空间上和 时间上都存在着一定的变化，只是这种变 化相对重力全值(约9.8m/s2)来说太小了， 因而需要专门设计的仪器—重力仪才能可 靠地测量出这些变化来。
从以上讨论可知，地球表面正常重力场的 基本特征是：
(1)正常重力是人们根据需要而提出来的， 不同的计算公式对应不同参数的地球模型， 反映的是理想化条件下地球表面重力变化 的基本规律，所以它不是客观存在的；
(2)正常重力值只与纬度有关，在赤道上最 小，两极处最大，相差约50000g.u.；
(3)正常重力值随纬度变化的变化率，在纬 度45°处达到最大，而在赤道和两极处为
大地水准面与参考椭球面差异不是均匀分 布的，最大的差异可达 117 m，它与地球表 面地形以及地下物质分布有关。
由于大多数地区大地水准面与参考椭球面 差异不大，因此在很多情况下，可将两者 视为相同，这时，天文纬度近似等于地理 纬度。
第三章 1重力场基本理论
B− A A =f ( ) 4
2 2
若地球是旋转椭球体， 若地球是旋转椭球体，则有转动惯量
A = B ，将系数代入
M K ω 2r 3 2 则有： 则有： U = f [1 + 2 (1 − 3 cos θ ) + sin 2 θ ] r 2 fM 2r
式中： 式中：
KM = A − C
地球正常重力位的公式
g
水准面之间既不平行，也不相交和相切。 水准面之间既不平行，也不相交和相切。
重力的单位
•对于某一单位质点而言，作用其上的重力在数值上等 于使它产生的重力加速度的数值，所以重力即采用重 力加速度的量纲，单位是： 伽(Gal=cms－２)， ， 毫伽(mGal= Gal/1000=10－５ms－２) 微伽(µGal= mGal/1000=10－８m s－２) •地面点重力近似值 980Gal，赤道重力值 978Gal，两 极重力值 983Gal。由于地球的极曲率及周日运动的原 因，重力有从赤道向两极增大的趋势。 •地球上重力的大小与方向只与被吸引点的位置有关， 理论上应该是常数，但重力是随时间变化而变化，即 相同的点在不同的时刻所观测到的重力不相同。
四、地球的正常重力位
重力位
dm ω 2 2 W = f ⋅∫ + (x + y2 ) r 2 M
•要精确计算出地球重力位，必须知道地球表面的形状 及内部物质密度，但前者正是我们要研究的，后者分 布极其不规则，目前也无法知道，故根据上式不能精 确地求得地球的重力位，为此引进一个与其近似的地 球重力位——正常重力位。 •正常重力位是一个函数简单、不涉及地球形状和密度 便可直接计算得到的地球重力位的近似值的辅助重力 位。当知道了地球正常重力位，想法求出它同地球重 力位的差异(称扰动位)，便可求出大地水准面与这已 知形状(正常位水准面)的差异。最后解决确定地球重 力位和地球形状的问题。
第三章地球重力场
§3.2-地球重力场的基本理论
引力位函数是调和函数，因为
二阶导数算子
V2V2V2V0
x2 y2 z2
V f dm r
V f
1 r dm ,
x
x
V f
1 r dm ,
a．若dW≠0，必有dl ≠0,说明水准面之间不相交和相切；
b．若dW＝C，由于各处重力g 不同，因而各处的dl也不 同. 说明水准面之间不平行
§3.2-地球重力场的基本理论
（2）调和函数（谐函数）：二阶偏导数之和为零，满足拉普 拉斯方程的函数。
二阶导数算子
V2V2V2V0
x2 y2 z2
x2y2
r2
§3.2-地球重力场的基本理论
2、重力位的特性
（1）重力位对三坐标标求偏导则得重力分量或重力加 速度分量：
W g x x
gy
W y
W g z z
V x
Q x
V y
Q y
V z
Q z
g g2x g2y gz2
对任意方向的偏导数等于重力g在该方向的分力：
W l gl gcogs,(l)
（g,l）为重力g与l的夹角。
重力单位：由于对单位质点，作用在它上面的重力值等于其重力 加速度，故采用加速度单位作为重力量纲，即伽（cm/s2）
3、离心力
Pm2 为地球自转速度
28616.04957.292111505rads1 为质点所在平行圈半径
大地测量学
第一章绪论1、大地测量学：在一定时间、空间参考系统中，测量和描绘地球及其他行星体的一门学科。
最基本任务：测量和描绘地球并检测其变化，为人类活动提供关于地球等行星体的空间信息经典测量学是把地球假设为刚体不变，均匀旋转的球体或椭球体，并一定范围内测绘地和研究其形状、大小及外部重力场。
2、大地测量学地位及作用：（1）大地测量学在国民经济各项建设和社会发展中发挥着基础先行性的重要保证作用。
（2）大地测量学在防灾减灾救灾及环境监测、评价与保护中发挥着独具风貌的特殊作用。
（3）大地测量学是发展空间技术和国防建设的重要保障。
（4）大地测量学在当代地球科学研究中的地位显得越来越重要。
（5）大地测量学是测绘学科的各类分支学科（大地测量、工程测量、海洋测量、矿山测量、航空摄影测量与遥感、地图学与地理信息系统等）的基础学科。
3、大地测量学的三个基本分支：几何大地测量学、物理大地测量学及空间大地测量学。
4、现代大地测量学同传统大地测量学之间没有严格界限，但是现代大地测量学确实具有许多新的特征（测量范围大，动态方式，周期短，精度高）。
5、大地测量学的基本内容：（1）确定地球形状及外部重力场及其随时间的变化，建立统一的大地测量坐标系，研究地壳形变（包括地壳垂直升降及水平位移），测定极移以及海洋水平面地形及其变化等。
（2）研究月球及太阳系行星的形状及重力场。
（3）建立和维持具有高科技水平的国家和全球的天文大地水平控制网和精密水准网以及海洋大地控制网，以满足国民经济和国防建设的需要.（4）研究为获得告警的测量成果的仪器和方法等。
（5）研究地球表面向椭球面或平面的投影数学变换及有关的大地测量计算。
（6）研究大规模、高精度和多类别的地面网、空间网及其联合网的数据处理的理论和方法，测量数据库建立及应用等。
第二章坐标系统与时间系统1、地球的运转可分为四类：（1）与银河系一起在宇宙中运动。
（2）在银河系内与太阳系一起旋转。
（3）与其他行星一起绕太阳旋转（公转或周年视运动）（4）绕其瞬时旋转轴旋转（自转或周日视运动）。
大地测量学基础(第3章 地球重力场及地球型状的基本理论+2012.02.25 续1)
2
一、地球重力场模型
• 建立空间直角坐标系与球面极坐标系
2
r
R r
2
2
R
R r
2
2 Rr cos r [1 (
2
R r
)
2
2
R r
cos ]
l (
) 2
cos
1 2
1
V
1 r
(1 l )
f r
(1
1 2
l
3 8
l
2
5 16
l ) dm
2H R
3H R
2
2
)] 2 0
H R
3
0H
R
2
1 g 0 . 3086 H 0 . 72 10
7
H
2
0 0 . 3086 H
22
二、地球正常重力场
正常重力场参数
在物理大地测量中,正常椭球重力场可用4个基本参 数决定,即：
U0, A0 fM , A2 f ( A C ) fK M ,
3
V v 0 v1 v 2
v
i0
n
i
按(R/r)集项
3
一、地球重力场模型
v0
f r
f r
dm
M
f
M r
v1
M
R r
cos dm 0
v2
f r
M
(r )
R
R
2
( cos ) dm 2 2
2
3
1
v3
f r
大地测量学基础-第3章地球重力场及地球形状的基本理论
赤道重力值约978Gal；
两极重力值 约983Gal；
除两极和赤道外其它地面点的重力近似值为 980Gal。
四、地球的正常重力位和正常重力
1、地球正常重力位 • 地球重力位包括引力位和离心力位，其计算公式为(3-53) :
W f
dm
2
(x2
y2)
Mr
2
• 式中第二项为离心力位，比较容易计算；第一项是引力位，无法 精确计算，因为我们无法准确知道地球内部物质密度分布以及地 球的真实形状。
考虑大小）：
W l
gl
g cos(g,l)
• 由上式知，当g与l相垂直时，dＷ / dl =0，即：Ｗ＝常数
• 连结重力位相同的点所构成的面叫重力等位面，又称“重力等势 面”。它处处与重力的方向垂直。
• 由测量学知，水准面就是一个处处与铅垂线垂直的曲面，所以在 水准面上，各点的重力位能相等，即水准面是一个重力等位面。
dA
f
M m r2 dr
• 积分，得引力位能：
V f M m C r
• r→∞时, V=0。所以 C=0 ，则有
V f M m r
• 取单位质点，即m=1，则： V f M
r
(3 35)
F
f
M m r2
V f M r
(3 33) (3 35)
• 根据牛顿第二定律： F ma
•
得加速度： a
数之和：
dm
V dV f
(M )
(M) r
(3 39)
• 式中，dm是地球单元质量（相当于dM）；r为dm至被吸引的单 位质点的距离；（M）表示对整个地球质量M进行积分。
• 将（3-38）式推广到空间直角坐标系中，则加速度a可分解为3个 分量。在这种情况下，由引力位V构成了这样一个加速度引力场： 单位质点的物体在引力场中的加速度等于引力位的导数，方向与 向径方向相反（3-38）；引力位对被吸引点各坐标轴的偏导数等 于相应坐标轴上的加速度(或引力)向量的负值
第三章 1重力场基本理论
• 1975年国际地球正常重力公式：
0 978 .032 (1 0.005302 sin 2 0.0000058 sin 2 2 )
• ＷGS84坐标系中的椭球重力公式：
a 2 2
顾及r与a的关系得： 0 fM (1 3 q ( 5 q ) cos 2 ) 2 • 特例：
fM 3q (1 ) 9.78ms 2 ，赤道正常重力： e 90 a2 2
0 ，极点处正常重力：
fM p 2 (1 q) 9.832ms 2 a
第三章 1.地球重力场的基本理论
——引力、离心力与重力 ——引力位与离心力位 ——地球的正常重力位 ——正常重力公式
上一讲应掌握的内容 1、测量坐标参考系统
• 由基准和坐标系两方面要素构成。 • 基准是指用以描述地球形状的参考椭球的参数以及参考椭 球在空间中的定位及定向，甚至还包括单位长度。 • 狭义的坐标系是指点位表示方法（3种），广义的坐标系 是由坐标原点、坐标轴的指向和尺度所定义的。
四、地球的正常重力位
重力位
dm 2 2 W f (x y2 ) r 2 M
•要精确计算出地球重力位，必须知道地球表面的形状 及内部物质密度，但前者正是我们要研究的，后者分 布极其不规则，目前也无法知道，故根据上式不能精 确地求得地球的重力位，为此引进一个与其近似的地 球重力位——正常重力位。 •正常重力位是一个函数简单、不涉及地球形状和密度 便可直接计算得到的地球重力位的近似值的辅助重力 位。当知道了地球正常重力位，想法求出它同地球重 力位的差异(称扰动位)，便可求出大地水准面与这已 知形状(正常位水准面)的差异。最后解决确定地球重 力位和地球形状的问题。
大地测量学基础大纲
大地测量学基础教学大纲与2009年考研考试大纲对比注：教学要求中有下划线的内容即为考研考试大纲内容，不一样的要求用小括号说明并加画下划线。
●课程学习的基本要求一本课程的性质本课程是测绘专业的专业基础课，必修课；开课对象：测绘专业学生。
二本课程的特点与教学内容为了适应新形势下教学的需要，在原有课程的基础上，删除了陈旧、过时的内容，增添了大量的新理论、新技术。
所涉及的内容较为广泛。
如地球重力学、实用天文学、椭球大地测量学、控制测量学、大地坐标系的建立与变换等相关内容。
内容广、难、深。
但课时短。
在教学内容基本要求如下：第一章绪论部分侧重于（了解）大地测量学的基本概念，掌握大地测量学的定义和内容、地位与作用、（了解）发展简史及未来展望，熟练掌握（熟悉）经典大地测量与现代大地测量的区别。
第二章坐标系统与时间系统，1、了解行星运动的三大规律，掌握岁差、章动、极移的概念，掌握恒星时、世界时、历书时、力学时、原子时、协调世界时的概念以及它们之间的相互关系。
2、了解坐标系统的基本概念，熟练掌握惯性坐标系、协议天球坐标系、瞬时平天球坐标系、瞬时真天球坐标系的定义以及其相互关系；3、掌握地固坐标系的定义，熟练掌握协议地球坐标系、瞬时地球坐标系的定义及其相互关系；熟练掌握协议地球坐标系与协议天球坐标系的其相互关系；4、了解参心坐标系的建立方法，一点定位和多点定位的基本原理；了解北京54坐标系、80坐标系、新北京54坐标系的主要特点及其相互联系与区别；了解地心坐标系的建立方法，掌握国际地球参考系统（ITRS）与国际地球参考框架（ITRF）的概念；5、熟练掌握站心坐标系的定义、站心坐标系与空间直角坐标系之间的相互关系；6、熟练掌握坐标系之间的换算关系（平面之间坐标、空间直角坐标、不同大地坐标等）。
（熟练掌握几种坐标系统的定义以及其相互换算关系）；第三章地球重力场基本原理1、了解地球的基本概念；掌握地球重力位、地球重力、正常重力位、正常重力的概念；掌握正常重力公式推导思路；2、了解正常重力场参数；掌握正常椭球、水准椭球、总地球椭球、参考椭球的概念；3、熟练掌握正高系统、正常高系统的概念，了解（掌握）力高高程系统的定义（概念）；4、熟练掌握国家高程基准；5、了解（掌握）垂线偏差和大地水准面差距的定义与测定方法；了解（掌握）确定地球形状的基本方法。
第三章_地球重力场及地球形状的基本理论(1)
(cos )
球谐系数分析 ank , bnk
an0 f 1n Pn (cos1)dm
(M )
ank
2 (n k)! (n k)!
f
1n
Pnk
(cos1
)
cos
k
1dm
(M )
bnk
2 (n (n
k)! k)!
f
1n Pnk (cos1)sin k1dm
(M )
零 阶项 a00 fM
S)
S
质
体 引 力
z
m 1
r (x, y, z)
位
dm ( ,, )
y o
x
质体(M)
Foundation of Geodesy
Earth Gravity Field
一、重力位（geopotential） 力的位函数：为一数量函数，该函数对任意方向
的导数等于力在该方向上的分力。
离心力位 Q ( x, y, z)
dm
V dV f
M
M
Foundation of Geodesy
z
(Xm,ym,zm)
dm Rψ
ρ
r S0
o
φ φm
λm λ
x
Se
y
S (X，y，z)
Foundation of Geodesy
第二节 地球重力场的基本原理
② 在空间直角坐标系中，引力位V确认这样一个加速度引力场，即 引力位对被吸引点各坐标轴的偏导数等于相应坐标轴上的加速度 (或引力)向量的负值：
离心力：
P
2
离心力位： Q(x, y, z) 2 (x2 y 2 )
2
验证：
Q x
大地测量学基础作业与参考答案
7．水准面的不平行性是由于什么原因引起的?这种现象对水准测量会产生什么影响? 答：由于水准面是一重力等位面，正常重力的大小与纬度有关，当位 W 一定时，两水准面 之间的距离与重力成反比， 从而导致两水准面之间的不平行。 这种现象会引起经过不同路线 测定某点的高程不同，使某点高程产生多值性。 8．1956 年黄海高程系统与 1985 国家高程基准有何差别？ 答：1956 年黄海高程系统的高程基准面是采用 1950 年至 1956 年 7 年间青岛验潮站的潮汐 资料推求得到的。1985 国家高程基准的高程基准面是采用青岛验潮站 1952～1979 年中取 19 年的验潮资料计算确定的。两者相差 0.029m。 9．1956 年黄海高程系统与 1985 国家高程基准的水准原点高程各是多少？ 答：1956 年黄海高程系统水准原点高程是 72.289m，1985 国家高程基准的水准原点高程是 72.260m。 第四章 地球椭球及其数学投影变换的基本理论 1.椭球面上的常用坐标系有哪些？ 答：有大地坐标系、空间直角坐标系、天文坐标系、子午面直角坐标系、地心纬度坐标系及 归化纬度坐标系、站心地平坐标系。 2. 地球椭球基本参数有哪些？它们的互相关系是什么？ 答：椭圆的长半轴 a 、短半轴ｂ、扁率 、第一偏心率 e 、第二偏心率 e 、辅助 量
6.正高、正常高和大地高如何定义的？三者有何关系： 答：正高：地面点沿垂线方向至大地水准面的距离，用 H 正 表示；地面点沿垂线方向至似大 地水准面的距离，用 H 常 表示；地面点沿法线方向至椭球面的距离，用 H 大 表示。三者的关 系为：
H 大 H 正常 。其中 为高程异常， N 为大地水准面差距。 H大 H正 N
X 0 , Y0 , Z 0
为平移参数； X , Y , Biblioteka 为旋转参数， m 为尺度变化参数。
第三章 地球重力场及地球形状的基本理论(2)
3 cos2
2
1 ;
2
P3 cos
5 cos3
2
3 cos
2
那么:
Vn
f r
M
R r
n
Pn
cos
dm
f r n1
Pn
cos
M
Rn
Pn
cos
m
dm
n k 1
2n k! n k!
Pnk
cos
cos
K
M
RnPnK cosm cos Kmdm Pnk cos sinK
M
R
P2 cos
3 cos2
2
1; 2
P3 cos
5 cos3
2
3 cos
2
② 球谐函数 a.主球函数:
勒让德多项式Pn(cosθ)称为n阶主球函数（或带球函数）；
Pn cos
1 2n n!
d n (cos2 1)n
d cos n
b.缔合球函数:
cosKλP Kn(cosθ)及cosKλP Kn(cosθ)称为缔合球函数，当 K=n时称扇球函数，K≠n时称田球函数
的重力场称为正常重力场。正常重力场的等位面称为正常水准面。 因为正常椭球面是一个正常水准面，所以正常椭球又称水准椭球。
＊正常(地球)椭球是一个假想的球体。是一个理想化的椭球体。 ＊正常重力位U：近似的地球重力位。是一个函数简单、不涉及地球
形状和密度便可直接得到的地球重力位近似值的辅助重力位。 ＊扰动位T：地球实际重力位W与正常重力位U之差。
讨论前三项：
① 先看v0 可见，V0就是把地球质量集中到地球质心处时的点的引力位。
② 再讨论v1，ψ为R,r之间的夹角
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大地测量学基础
Foundation of Geodesy
大地测量学基础 ndation of Geodesy Foundation of Geodesy Foundation of Geodesy Foundation of Geodesy Foundation of Geodesy
g
OA
dh
1
A m
g
OA
dh
1
g
dh
A m
B m
g dh
B m
AB
A m
B m
OA
1
B m
g dh
AB
1
m 0
g m dh
AB
g m
m 0
上式中
A m
B m
A m
B m
g
OA
dh很小,忽略不计, g
可用平均值g
m 代替,
AB
路
线
上
正
常
重
力
m 0
近
似
等
于
地
面
A 0
dh 1
A m
0
OA
A 0
dh
1
B m
0
AB
B 0
dh
A 0
B m
B 0
HA
A m
B m
A m
B m
0
OA
A 0
dh
1
B m
0
AB
B 0
dh
A 0
B m
B 0
HA
当A、B间距不大时，水准路线O-A-B上各点的正常重力可用A、B两点的
正常重力的平均值来代替，即：
0
1 2
A 0
B
B
gdh gdH
0
C
dh A
大地水准面
W = WB
B点水准面
dH
O
C W = W0
则：B点的正高为：
H
B 正
B
dH
C
W0 WB gmB
1 gmB
B
gdh
0
式中：
g
B m
为大地水准面上C点到B点的平均重力，不能精确测定，
因而正高也不能精确求得。
第四节 高程系统
3 正常高系统：
① 定义
将
B 0
第四节 高程系统
那么
1
B m
0
B 0
AB
dh
A 0
B 0
B m
HA
1
B m
A 0
B 0
2
B 0
dh
AB
A 0
B m
B 0
HA
B 0
A 0
B m
h
2
A 0
B 0
B m
HA
B 0
A 0
B m
(
h
2
H
A
)
B 0
A 0
B m
Hm
B m
Hm
下面来求Δγ：
0 e 1 sin 2
青岛验潮站的优势： 位置适中; 半日潮有规律;不在江河入海;海面开阔、无岛
礁;海底平坦;水深10米以上。
第五节 我国国家的高程基准
2 .水准原点
(1)为了长期、牢固地表示出高程基准面的位置，作为传递高程的起算 点，必须建立稳固的水准原点，用精密水准测量方法将它与验潮站的水 准标尺进行联测，以高程基准面为零推求水准原点的高程，以此高程作 为全国各地推算高程的依据。
③ 正高H正和正常高H常的差异
H
B 正
1
g
B m
H
B 常
1
B m
0Bgdh B
gdh
0
B
gdh
H
B 正
gmB
H
B 常
B m
0
H
B 正
B m
g
B m
H
B 常
B m
g mB
g
B m
gmB
H
B 常
H
B 常
g mB
B m
g
B m
H
B 常
H
B 正
H
B 常
g
B m
B m
g
B m
H
B 常
在山区，二者差异不超过4m，平原地区不超过0.5m，海面上两者
可见，等位面不是等高面，这给某些大型工程，特别是大型水 库建设的测量工作带来不便，为了解决这一矛盾，采作力高高程系 统
W A=WB=W
A
HA
O
大地水准面
B HB
W0
第四节 高程系统
2）力高高程系统： 用纬度45º处的正常重力γ45。代替γm 建立的高程系统，其定义
式为：
也就是说，将正常高公式中的
e
1
1 2
1 2
c os 2
e
1
1 2
e
2
c os 2
当
45时, 45
e
1
1 2
, 则
0
45 1
2
e 45
c os 2
9806161
0.002644cos2
第四节 高程系统
对上式求微分有：
亦即：
d 0
980616 0.002644 2sin2
d
1.508344sin 2
(2)青岛验潮资料确定的大地水准面引测到稳固的基准点，作为全国水 准测量的起算点，称为高程原点。
(3)高程原点的组成：主点——原点 参考点和附点 “1956国家高程基准”的原点高程：72.289 m “1985国家高程基准”的原点高程：72.260 m
第五节 我国国家的高程基准
3. 我国的高程系统： 1) 1956年黄海高程系统 采用1950至1956年7月的潮汐资料推求的平均海水面 2) 1985黄海高程系统 采用1950至1979年的潮汐资料推求的平均海水面。从1988年 1月1日启用。 “1956年黄海高程系统”与“1985年黄海高程系统” 相差2.9厘米的固定常数。
HB 2
为OAB路线上地面高度为H的点的正常重力,
0 0.3086H;
0为OAB路线上各点的正常重力, 0 e 1 sin2
H
B 常
1
B m
gdh
1
B m
B m
0
B 0
g 0.3086
HB 2
H dh
第四节 高程系统
又因为：
H B H dh H B
2)天文大地垂线偏差:根据所采用的椭球不同可分为绝对垂线偏差 及相对垂线偏差，垂线同总地球椭球(或参考椭球)法线构成的角 度称为绝对(或相对)垂线偏差，它们统称为天文大地垂线偏差。
3)天文经度 ：包含测站垂线的子午面与起始子午面的夹角； 4)天文纬度 ：测站的垂线与赤道面的夹角； 5)天文方位角：包含测站垂线的子午面与测站垂线和照准面所张
正
高
系
统
中
的gmB
用
正
常
重
力
B m
代
替
而
得
到
的
高
程
系
统.
H
B 常
1
B m
gdh
其中，g由沿水准路线的重力测量得到，dh是水准测量的高差,
gdh 是过B点的水准面与大地水准面的位能差，
B m
可由正常重力公式计算得来，正常高可以精确求得。不随水准路线而 异，是唯一的。
我国规定采用正常高高程系统作为我国高程的统一系统。
各国通过验潮确定一个起始高程点，作为高程基准点。 ★不同高程起算点构成不同的系统，它们之间的高程相差
可能达到米级。
第五节 我国国家的高程基准
（2）全球高程基准的统一：采用精密重力测量，确定精确的大 地水准面模型，采用卫星测量确定各点精确的大地高，进而在统 一的矿架确定精确的正高或正常高。
（3）局部高程基准主要采用验潮方法。我国先后采用过的验潮 站有：吴淞、达门、青岛、大连等
H85=H56-0.029m
作业： (1) 为什么水准测量会产生多值性？ (2) 试绘图表示地面一点的正高、正常高、大地高以及它们之间
的关系，并给出关系式及说明各项的意义。
第六节 关于测定垂线偏差和大地水准面差距的基本概念
一）关于测定垂线偏差的基本概念 1. 基本概念 1) 垂线偏差：地面点重力方向与该点相应椭球面上的法线之间的夹角， 用μ 表示，子午（南北）分量为ξ ，卯酉（东西）分量为η 。
Foundation of Geodesy
第三章 地球重力场及地球形状的基本理论
第四节 高程系统
一、一般说明
正高: 以大地水准面为参考面
H H正 N
正常高: 以似大地水准为参考面 H H正常
高程异常ζ：似大地水准面到参考椭球面的高度。 大地水准面差距N：大地水准面到参考椭球面的高度。
第四节 高程系统
第四节 高程系统
② 正常高高差的实际计算公式：
ε为正常位水准面不平行引起的高差改正,λ为重力异常引起的高 差改正
(1) 正常高（高差）计算公式推导
g
g
B m
B m
第四节 高程系统
g为OAB 路 线 上 各 点 的 重 力 观 测值,
B m
为B点
的
平
均
HB 2
处