傅里叶变换性质证明

2.6傅里叶变换的性质

2.6.1线性

若信号「和J的傅里叶变换分别为一「；和I r aC ,

F[f1(t)]=F1(ffl)i F[fJt)]=F a(ffl)

则对于任意的常数a和b,有

F[af1(t)+fJtll=aF1(ffl l÷bFJffl)

将其推广，若■-、出 -,则

其中匚为常数，n为正整数。

由傅里叶变换的定义式很容易证明线性性质.

显然傅里叶变换也是一种线性运算，在第一章我们已经知道了，线性有两个含义：均匀性和叠加性。均匀性表明，若信号乘以常数a,则信号的傅里叶变换也乘以相同的常数a,即卩

叠加性表明，几个信号之和的傅里叶变换等于各个信号的傅里叶变换之和

砒（W2©］的©卜伽）1

2.6.2反褶与共轭性

号反褶、共轭以及既反褶又共轭后，新信号的傅里叶变换

设f(t) 的傅里叶变换为F面我们来讨论信

（1）反褶

f(-t)是f(t)的反褶，其傅里叶变换为

本性质还可利用前两条性质来证明： 设 g(t)=f(-t)

，h(t)=g*(t),则

在上面三条性质的证明中，并没有特别指明 f(t)是实函数还是

复函数，因此

，

无论f(t)为实信号还是复信号，其傅里叶变换都满足下面三条性 质

(2) 共轭

=匸施)时论匸加門(M

因为F 是实数，所以［dt)*=dt 彳寻共觇提到积分之外 根据傅里叶变换的定义

(3) 既反褶又共轭

* ς⅛tl 3r F⅛r^!⅛ :o⅛苫

FLT(-O] = FH y)

F[f,HI)=r⅛)

FLn£)]"H J)

2.6.3奇偶虚实性

已知f(t)的傅里叶变换为。在一般情况下，是复函数，因此可以把它表示成模与相位或者实部与虚部两部分，即

FQ) U 卩(询)* 眄'

=j?Crt)) +χ((⅛) 显獻μ⅛)

卜阿跖丽

下面根据f(t)的虚实性来讨论F()的虚实性。

(1) f(t) 为实函数

对比式(2-33)与(2-34),由FT的唯一性可得

R(O)) = J [/(t) cosaf址

(1.1)f(t)是实的偶函数，即f(t)=f(-t)

X()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故

这时X( )=0 ,于是

可见，若f(t)是实偶函数，则F()也是实偶函数，即

7】：’匚Fl左边反褶，右边共轭

(1.2)f(t)是实的奇函数，即-f(t)=f(-t)

R(J的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故这时R( )=0 ,于是

(2-33)

φ((w) = arc tan

(曲)=2[ /(t)cos^⅛

根据定义，上式还可以写成

Λ1(唧) = -2j[ ∕⅛)sin(Λ⅛⅛

可见，若f(t)是实奇函数，则F()是虚奇函数，即

咆=DM%仁[北宓阚九血M左边反褶，右边共轭

有了上面这两条性质，下面我们来看看一般实信号(即可能既不是偶信号，又不是奇信号，反正不清楚，或者说是没有必要关心信号的奇偶特性)的FT频谱特点。

2.6.4对称性

傅里叶变换与傅里叶反变换之间存在着对称关系，称为傅里叶变换的对称性质。若已知

Fa)=F[f(t)]

则有

F[f(t)]=2 Λ f(-町

证明：因为

2πJ-*

上式右边是傅里叶正变换定义式，被变换函数是F(t)

所以

F[F(t)]=2 Λ f(-)

若f(t)为偶信号，即f(t)=f(-t) ,则有

F[F(t)]=2f(巧

从上式可以看出，当f(t)为偶信号时，频域和时域的对称性完全成立即f(t)的频谱是F( )，F(t)的频谱为f()。

若f(t)为奇信号，即f(t)=-f(-t) ,则有F[F(t)]=-2f(小

利用FT的对称性，我们可以很方便地一些信号的傅里叶变换。下面我们举些例子来说明这一点。

».2试根据FT的对称性』利用冲瀏信号的僅里叶变换来求直疣信居的傅里叶变换.

解：已知沖⅛⅛信暑的偉里叶变换为∏E^ωi=E,将E视为常数函数.它是偶函数，很据FT的对称性，⅛F[E]=27IE

例Z 3试根据FT的对称性』利用拒形脉沖信号的傅里叶变换来求解匚遜数的便里叶变换II 解：已知矩理脉冲信号的傅里叶≡⅛,⅛

根据町的对称性，可再

l4■厂⅛Ξu C'^1"j⅛ ⅛ B⅛^Λ⅛L⅛J B

t^ :⅛f 湎

FE叫一U 2腮逓（妙

⅛⅛⅛⅛^,⅛⅛λ⅛i 一、…

即£趣数的珂是脉宽为狡⅛≡⅛的矩刑脉沖n矩形脉冲信号波形与频诣、S a iS数的波形与频借如下图所示，

例Z 4试根据FT 的对称性，利用符号函数的傅里叶变换来求解求信号£(1)-1/1的傅里叶变换d

⅛f j *fr"j ⅞⅛^ X I H ・ ⅛⅛* ∖∙ I *⅝ ⅛ ⅜ J ； 一蚩 ⅛∙*⅛⅛ -*⅞⅛i⅛.

⅝,^¾ J⅛J¾⅛ ** "JF ∣^⅛ 4 1*1

解：已知符号函数的傅里叶吏换⅛F[5s ∏(f)]-盒，根据FT 的譏性可潯

■ ≡

QJLM)--

J

∣⅛

灿

X

J

根据FT 的对称性，考虑Ct)是苛函数・有

2.6.5尺度变换

这里a 是非零的实常数

下面利用FT 的定义及积分的性质，分a>0和a<0两种情形来证明傅里叶变 换的尺度变换特性。

证明：因为E"i f>kF 令 at=x ，

Π∕Wl=-f /(χ>-

⅛χ = lf(-)

当a > 0时

F[y» ]=--Γ 代产飪=--F (-)

当a V 0时

一…’

.l ..

上述两种情况可综合成如下表达式:

j

r⅛s

≡

若 F[f(t)]=F(

),则

T

I L