一般MIMO系统的信道估计

x(n-L+2)
D
x(n-L+1)
H(0)
H(1)
H(2)
H(L-2)
H(L-1)
抽头迭代更新算法
+ y(n)
图 0-1 同时适用于 SISO 和 MIMO 系统的自适应信道估计的结构 Fig 0-1 Adaptive Channel Estimation Structure for Both SISO and MIMO
在算法中引入指数遗忘因子 λ ,于是(7.15)化为
(e(n) λe(n −1) L ) λn−1e(1) 2 F
(7.17)
对(7.17)进行优化可以得到如下的适用于 MIMO 系统的 RLS 信道估计算法.
观测值: y (n), n = 1, 2,L
已知量: X (n), n = 1, 2,L ; λ → 1− (例如 λ = 0.99 )为一正常数 初始值: Hˆ (1) = E H (n) ,对于 Rayleigh 衰落 E H (n) = 0 ; P (0) = δ I ,其中δ 为
(7.6)
根据 Wiener 滤波的理论,令 X 为系统输入, y(n) 为期望响应,则所要考察的 Wiener 滤波器具有如下的形式
yˆ (n) = A HX (n)
(7.7)
Wienner 滤波的理论要求对下式进行优化,从而求得 A
J
=
E

y
(n)
−
yˆ (n)
2

(7.8)
对此式进行优化,并利用矩阵求导法则可得
图 0-1 同样适用于 MIMO 系统,只不过此时每个时间单位移入滤波器的不是
一个符号,而所有接收天线接收到的符号合并而成的矢量,即 y (n) .接收信号模型
(7.6)与 SISO 系统中相对应的模型是一致的,不同之处仍仅仅在于 SISO 中的标量 变成了 MIMO 中的矢量.因此不难得知 MIMO 中的 LMS 算法,RLS 算法和 Kalman 算法在形式上应该是相同的,只需将原先 SISO 算法中相应的一些标量转化成矢 量即可.其推导也可参照 SISO 的情况独立完成,只需要将 SISO 中的向量求导转换
1. K (n) = P − (n)X (n) X H (n) P − (n)X (n) + R (n)−1 2. α (n) = yH (n) − X H (n) Hˆ − (n)H 3. Hˆ + (n) = Hˆ − (n) + αH (n) KH (n)
4. Hˆ + (n) = Hˆ − (n) I − X (n) K H (n) 5. Hˆ − (n +1) = Hˆ − (n) FH (n) = Hˆ − (n)
=
0, σ 2I,
(k ≠ 0) (k = 0)
= σ 2Iδ (k)
(7.4)
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如果定义
X (n)= xH (n),L, xH (n − L +1)H
(7.5)
H HH (0),L, HH ( L −1)H
则
y(n) = H HX (n)+ z(n)
1.43 MIMO 系统的 LMS 信道估计
对于 MIMO 系统,我们可以引入 SISO 系统的自适应滤波理论进行信道估计. 本节讨论 LMS 信道估计方法.为了简化讨论起见,我们假定当前讨论的 LMS 滤波 和后面将要讨论的 RLS 及 Kalman 滤波都工作在通信系统的训练阶段,此时所有 发送符号都是已知的训练符号.接收信号模型将一直沿用(7.1).
1.44 MIMO 系统的 RLS 信道估计
MIMO 的 RLS 信道估计仍然是采用最小二乘的优化准则对下式进行优化而 得
(e(n) e(n −1) L e(1)) 2 = F
(y (n) − H H (n)X (n) y (n −1) − H H (n)X (n −1) L y (1) − H H (n)X (1)) 2 F (7.15)
H (n +1) = F (n) H (n +1) + W (n)
(7.18)
W (n) 为过程噪声,满足 E W (n) WH (n) = Q (n) .通过合理地选取状态转移矩阵 F (n) 和过程噪声 W (n) ,(7.18)可以非常好地体现信道的时变特性.LMS 或者 RLS
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为矩阵求导即可.基于此,我们不再详细推导这些算法,而是参照 SISO 的情况直接 写出.
MIMO 的 LMS 信道估计算法可以归纳如下
观测值: y (n), n = 1, 2,L
已知量: X (n), n = 1, 2,L ; µ 为一充分小的正常数 初始值: Hˆ (1) = E H (n) ,对于 Rayleigh 衰落 E H (n) = 0
( ) A = E X (n)X H (n) −1 E X (n) yH (n)
(7.9)
=
R −1 XX
RXy
1.42 最小均方误差 Jmin
我们还可以根据(7.9)进一步确定 Jmin .为此将(7.9)代入(7.8)有
( ) Jmin = Tr
Ryy
−
RXHy
R −1 XX
RX y
6. P − (n +1) = F (n) P + (n) FH (n) + Q (n) = P + (n) + Q (n)
1.46 一般 MIMO 系统的信道估计算法的性能
本章介绍了 LMS,RLS 和 Kalman 三类一般 MIMO 系统的信道估计算法.这些 算法都是 SISO 系统中 LMS,RLS 和 Kalman 自适应估计算法向 MIMO 情况的自 然拓展.它们的推导完全可以参照 SISO 的推导过程得出.本小节讨论这三类估计 算法的性能.本节并不直接给出 MIMO 系统下这三类算法估计性能的数学公式, 但会指出一个事实,即这三类适用于 MIMO 的算法的性能可以分解为一系列 SISO 下相同算法的性能的集合.由于人们已经解决了 SISO 下这三类算法的性能
的导出都是基于信道恒定不变或者不考虑信道的变化特性,因此二者依赖的信道 模型没有(7.18)细致,这也是导致它们达不到 Kalman 滤波器的性能的原因之一.
除了 Markov 建模之外,Kalman 滤波器用所谓的观测方程来刻画信道和接收 机上的噪声对信号的影响.
yH (n) = X H (n)H H (n)+ zH (n)
其中
L−1
y(n) = ∑ HH (l)x(n − l) + z(n) l=0
(7.1)
H (l ) = hmn (l )M×N
=

h00 (l ) h10 (l )
M
( hM −1,0 l
)
h01 (l ) h11 (l )
M
( ) hM −1,1 l
L L O L
( ) h0,N −1 l ( ) h1,N −1 l
迭代:
对于 y (n), n = 1, 2,L 1. yˆ (n) = Hˆ H (n)X (n)
2. e(n) = y (n) − yˆ (n)
3. Hˆ (n +1) = Hˆ (n) + µX (n)eH (n)
MIMO 的 LMS 算法仍然以 MMSE 为优化准则对下式进行优化.
E

e(n)
式中 ⋅ 表示矩阵的 Frobenius 范数,定义为 F
( ) ∑ ∑ aij
=
F
2
aij
ij
(7.16)
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对(7.15)进优化可得到 LS 估计的正则方程.在实际情况中(7.15)并不是所希望
的,它虽然提供了对恒定信道的最小估计误差,但失去了对时变信道的跟踪能力,
因为所有已接收的信号都会对当前信道的估计构成约束.为了克服这一困难人们
(7.19)
其中 z (n) 为观测噪声,满足 E zH (n) z (n) = R (n) .根据(7.18)和(7.19),采用
MMSE 的估计准则,我们可以推得适用于 MIMO 的 Kalman 信道估计算法.
观测值: y (n), n = 1, 2,L
已知量:
X
(n),
n
=
1,
2,L
2

=
E
(y (n)
−
H
H
(n)X
(n))H
(y
(n)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
−
H
H
(n)X
( n ) )
(7.14)
对(7.14)的优化会得出(7.9),但在实用中 RXX 和 RXy 是未知的.因此 LMS 算法
采用随机梯度的方式代替显式的 RXX 和 RXy .迭代式中的 µ 即用来调整随机梯度 游走的步长.
对于(7.1)定义的模型(7.10)有更简单的结论.因为
Ryy = H H RXX H + σ 2I
而
RXHy = H H RXX
故
(7.10) (7.11) (7.12)
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{ } Jmin = Tr σ 2I = MLσ 2
(7.13)
注意,当采用的 Wiener 滤波器的阶数小于 MIMO 信道的最大抽头数 L 时(7.13) 不能得到.
一任意正常数 迭代:
对于 y (n), n = 1, 2,L 1. yˆ (n) = Hˆ H (n)X (n)
2. e(n) = y (n) − yˆ (n)
3.
k
(n)
=
1+
λ
λ−1P (n −1)X (n) −1X H (n) P (n −1)X
(n)
4. Hˆ (n +1) = Hˆ (n) + k [n]eH (n)
SISO 系统的自适应滤波算法几乎共用同一个的结构,如图 0-1 所示.接收符 号序贯进入滤波器.每移入一个符号即会得到滤波器的一个输出值.该输出值与参 考输出值的差,即误差信号经抽头迭代更新算法处理得到抽头的更新值,在下一个 接收符号移入之前各个抽头进行更新.
D
D
x(n)
x(n-1)
x(n-2)
D

( ) M
hM −1,N −1
l

为与第 l 抽头对应的信道转移矩阵,
(7.2)
z(n) = [z(n, 0),L, z(n, N −1)]T
(7.3)
为 n 时刻 N 根接收天线上的热噪声,它与 x(n) 相互独立,服从复高斯分布.令δ (k) 表示 Dirac 函数,则
Rzz (k) = E z(n)zH (n − k)
;
F
(n)
=
I
;
Q
(n)
=
σ
2I
q
;
R
(n)
=
σ
2I
r
初始值: Hˆ − (1) = E H − (n) ,对于 Rayleigh 衰落 E H − (n) = 0 ;
P
−
(1)
=
E
( H
(1)
−
E
H
(1) ) ( H
(1)
−
E
H
(1)
)H

迭代:
对于 y (n), n = 1, 2,L
y(n) = H HX (n)+ z(n)
(7.20)
取 y (n) 的第 m 个元素, H 的第 m 列和 z (n) 的第 m 个元素,根据(7.20)我们可
以得到
ym
=
H
H m
X
+ zm
这里为了简化标注我们省去了时间变量 n .(7.21)中
(7.21)
( ) H mm = h0m (0) , h1m (0) ,L, hM −1,m (0), h0m (1) , h1m (1) ,Lh0m ( L −1), h1m ( L −1) ,LhM −1,m ( L −1) T
5. P (n) = λ−1P (n −1) − λ−1k (n)X H (n) P (n −1)
1.45 MIMO 系统的 Kalman 信道估计
Kalman 估计从诞生之初就因为它优良的跟踪能力而闻名,因此尤其适用于信 道估计与追踪.同 LMS 算法一样,它也采用 MMSE 估计准则,同时引入一阶 Markov 模型来刻画信道的时变特性,即
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1.41 MIMO 系统中的 Wiener-Hopf 方程
设在时刻 n ,由 M 根天线发送的信号为 x(n) = [x(n, 0),L, x(n, M −1)]T ,由 N 根
天线接收到的信号为 y(n) = [ y(n, 0),L, y(n, N −1)]T .视 MIMO 信道为一线性系统, 任一发送天线(设为天线 m )到任一接收天线(设为天线 n )之间的信道可由一长度 为 L ( L 不依赖于 m 和 n )的 FIR 来建模,令其单位冲击响应为 hmn (l), l = 0,L, L −1, 则有
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计算,因此 MIMO 下它们的性能公式是可以直接写出的,但限于篇幅,本章不做具 体的计算.
一个有趣的现象是对于一般 MIMO 系统,它可以事实上看作一系列相互独立 的过采样 SISO 系统的集合.为了便于说明这一观点,我们将一般 MIMO 系统的模 型(7.6)重写于此