人教版高中数学必修一学案：《对数函数及其性质》(附答案)

2.2.2 对数函数及其性质(二)

自主学习

1．理解对数函数的性质．

2．掌握对数函数的单调性及其应用．

基础自测

1．函数y ＝log 2x 在[1,2]上的值域是( )

A ．R

B ．[0，＋∞)

C ．(－∞，1]

D ．[0,1]

2．函数y ＝log 2x －2的定义域是( )

A ．(3，＋∞)

B ．[3，＋∞)

C ．(4，＋∞)

D ．[4，＋∞) 3．下列不等式成立的是( )

A ．log 32

B ．log 32

C ．log 23

D ．log 23

对点讲练

利用对数函数单调性解不等式

【例1】 (1)已知log a 12

>1，求a 的取值范围； (2)已知log 0.72x

规律方法 (1)解对数不等式问题通常转化为一般不等式(组)求解，其依据是对数函数的单调性．

(2)解决与对数函数相关的问题时要遵循“定义域优先”原则．

(3)若含有字母，应考虑分类讨论．

变式迁移1 已知log a (2a ＋1)

对数函数最值问题

【例2】 已知集合A ＝{x |2≤x ≤π}，定义在集合A 上的函数y ＝log a x 的最大值比最小值大1，求a 的值．

规律方法 利用函数单调性求最值时，关键看底数a 是否大于1，当底数未明确范围时，应进行讨论．

变式迁移2 函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为

( )

A.14

B.12

C ．2

D ．4

利用图象求参数范围

【例3】 若不等式2x －log a x <0，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时恒成立，求实数a 的取值范围．

规律方法 “数”是数学的特征，它精确、量化，最有说服力；而“形”则形象、直观，能降低人的思维难度，简化解题过程，把它们的优点集中在一起就是最佳组合，在平时做题时一定要注意图象的运用．

变式迁移3 当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2

A ．(0,1)

B ．(1,2)

C ．(1,2]

D ．(0，12

)

解决与对数函数有关的函数单调性问题的关键：一要看底数是否大于1，当底数未明确给出时，则应对底数a 是否大于1进行讨论；二要注意其定义域；三要注意数形结合思想的应用．

课时作业

一、选择题

1．函数f (x )＝lg|x |为( )

A ．奇函数，在区间(0，＋∞)上是减函数

B ．奇函数，在区间(0，＋∞)上是增函数

C ．偶函数，在区间(－∞，0)上是增函数

D ．偶函数，在区间(－∞，0)上是减函数

2．已知函数f (x )＝2log 12

x 的值域为[－1,1]，则函数f (x )的定义域是( ) A ．[22

，2] B ．[－1,1] C ．[12，2] D ．(－∞，22

]∪[2，＋∞) 3．设函数f (x )＝log 2a (x ＋1)，若对于区间(－1,0)内的每一个x 值都有f (x )>0，则实数a 的取值范围为( )

A ．(0，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫12，1 D.⎝⎛⎭

⎫0，12 4．函数y ＝x ＋a 与y ＝log a x 的图象只可能是( )

5．若log a 34<1，则a 的取值范围是( )

A ．a >1

B ．0

或a >1 C ．0

6．已知log 0.45(x ＋2)>log 0.45(1－x )，则实数x 的取值范围是____________．

7．已知f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

(6－a )x －4a (x <1)log a x (x ≥1)是(－∞，＋∞)上的增函数，则a 的取值范围为______．

三、解答题

8．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg x ，求满足f (x )>0的x 的取值范围．

9．求函数y ＝log a (a －a x )的值域．

2.2.2 对数函数及其性质(二) 答案

基础自测

1．D 2.D 3.A

对点讲练

【例1】 解 (1)由log a 12>1得log a 12

>log a a . ①当a >1时，有a <12

，此时无解． ②当0

，1)． (2)∵函数y ＝log 0.7x 在(0，＋∞)上为减函数，

∴由log 0.72x

⎩⎪⎨⎪⎧

2x >0x －1>02x >x －1，解得x >1. ∴x 的取值范围为(1，＋∞)．

变式迁移1 解 (1)当a >1时，原不等式等价于

⎩⎪⎨⎪⎧

a >12a ＋1<3a 2a ＋1>0，解得a >1.

(2)当0

03a 3a >0

， 解得0

综上所述，a 的范围是01.

【例2】 解 当a >1时，y max ＝log a π，y min ＝log a 2，

由题意有log a π－log a 2＝1，∴a ＝π2

. 同理，当0

∴a ＝2π.故所求的值为a ＝π2或2π

. 变式迁移2 B [不论a 大于1还是0

∴f (0)＋f (1)＝a ，解得a ＝12

.故选B.] 【例3】 解

要使不等式2x

⎫0，12内恒在函数y ＝2x 图象的上方，而y ＝2x 图象过点⎝⎛⎭⎫12，2.由图可知，log a 12

≥2， 显然这里0

又log a 12

≥2＝log a a 2，