定积分的简单应用面积
定积分求平面图形面积在实际生活中的应用
定积分求平面图形面积在实际生活中的应用定积分是数学中重要的概念，定积分可以用来计算函数在一定范围（定义域）内的积分值。
它是一种可以用来计算面积或计算曲线积分问题的一种技术。
在实际生活中，定积分用于求解平面图形面积的问题，广泛应用于水利、建筑、航空航天等各个领域。
首先，定积分可以用于求解椭圆面积的问题。
椭圆面积可以用定积分来计算，其计算公式为：S=[π/2*(a2-b2)]，其中a是椭圆的长轴，b是椭圆的短轴。
这个公式能够准确地计算出椭圆的面积，在水利等领域中，椭圆管道的运用非常广泛，可以用定积分计算出椭圆管道的面积，从而帮助水利设计者准确地计算水利结构的尺寸。
其次，定积分可以用于求解三角形面积的问题。
三角形的面积也可以通过定积分进行计算，其计算公式为：S=*a*b*sin（C），其中a 和b是三角形的底边，C是三角形的内角。
这个公式可以准确的计算出三角形的面积，在建筑设计等领域中，三角形结构的运用非常广泛，可以用定积分计算出三角形结构的面积，从而帮助设计者准确地计算建筑结构的尺寸。
此外，定积分还可以用于求解复杂图形的面积。
复杂图形的面积可以用定积分来计算，例如可以用定积分计算圆柱体的表面积、圆柱管的表面积以及球的表面积等。
在航空航天等领域中，复杂图形的运用也非常广泛，例如飞机机身的设计、航天器的设计等，可以用定积分计算出复杂图形的面积，从而帮助设计者准确地计算机构的尺寸。
综上所述，定积分在实际生活中极具价值，它可以用于求解椭圆
面积、三角形面积以及复杂图形的面积等问题，在水利、建筑、航空航天等各个领域都有很广泛的应用，其准确的计算方法可以为实际生活中的设计者提供帮助。
定积分求面积实际案例
定积分求面积实际案例
嘿，朋友们！今天咱就来讲讲定积分求面积的实际案例，绝对让你大开眼界！
比如说啊，咱想象一下有个大操场，你要知道这个操场的某个部分的面积。
就像你想知道足球场那一块有多大！这时候定积分就派上用场啦！咱可以沿着操场的边界来划分小部分，然后一点点加起来，这不就求出面积了嘛！
再举个例子，想象你喜欢吃披萨，那圆形的披萨，你怎么知道自己吃了多大一块呢？哈哈，用定积分呀！把披萨想象成被分成很多小块，每一块的面积都可以通过定积分算出来，厉害吧！
还有哦，假如你有一个奇奇怪怪形状的花园，不是那种规规矩矩的，那你怎么知道种满花需要多少土呢？定积分就可以帮你精确计算出那个不规则形状的面积呀！
有一次我和朋友就争论一个不规则图形的面积，大家都各执一词呢！我说用定积分能算出来，他还不信。
结果一算出来，他那惊讶的表情，我现在都记得！这不就证明定积分求面积真的超级有用嘛！
我觉得啊，定积分就像是一把神奇的钥匙，能打开计算各种形状面积的大门！它让我们能更准确地了解和处理现实生活中的各种情况。
无论是操场、披萨还是花园，定积分都能帮我们搞定面积问题，难道不是很棒吗？所以呀，大家一定要好好掌握定积分求面积这个强大的工具，让它为我们的生活服务，为我们的思考助力呀！。
定积分求平面图形面积在实际生活中的应用
定积分求平面图形面积在实际生活中的应用定积分是一种在数学中用来计算平面图形面积的方法，在实际生活中具有重要意义，这里简要介绍它在实际生活中的应用情况。
首先，定积分可以用来估算台形的面积。
台形的底部被分割为一系列的小矩形，每个小矩形的面积是定值，相互之间相差一定的距离，而高度则是由上下两边的函数描述的，由此可以将台形的面积分解为一系列的矩形的面积的和，然后用定积分的方法可以计算出台形的面积。
其次，定积分可以用来计算曲线与直线之间的面积，以及曲线与坐标轴之间的面积。
例如，当一定区域内某曲线与X轴之间的面积可用定积分进行计算，具体来说，是将这定区域内某曲线与X轴之间分解为一系列的小矩形，每个小矩形的面积都是定值，然后用定积分的方法计算出这一系列矩形的面积的和，从而得出曲线与X轴之间的面积。
此外，定积分还可以用来计算三维图形的体积。
例如，当某三维图形在某个区域内时，可以用定积分该区域内某曲面与XOY面之间的面积进行计算，然后再分别用某直线与XOZ面之间的面积和某曲线与YOZ面之间的面积进行计算，最后把这三个面积的和相乘就可以得出三维图形的体积。
最后，定积分还可以用来计算容积问题。
例如，当求某容器的容积时，可以用某曲线与XOY面的面积来计算出容器的内曲面的面积，然后用某直线与XOZ面的面积来计算容器的内曲面到XOZ面的距离，
最后将这两个面积的乘积相加即可得出容器的容积。
以上就是定积分求取平面图形面积在实际生活中的应用情况。
定积分是一种重要的数学工具，广泛应用于实际生活中，对于理解和掌握定积分相关知识，可以帮助我们更好地、更有效地解决实际中的问题。
定积分的应用(面积)
x y
(t (t
) )
(a t b) 给出，
曲边梯形的面积为
n
n
b
A m y dx m (t) d[ (t)] a (t) (t)dt
Note: (1) 带绝对值； (2) 变量代换．
(3) 极坐标系下
①(3极) 点极在坐区标域系内下部 A 2 1 r 2 ( )d
设 rr()
（以 y 为积分变量还是以 x 为积分变量）
法 1 “横分”（以 y 为积分变量）
A
2 4
4
2
y
(
y
2
4)
dy
36 ．
法 2 区间分割，用“竖分”（以 x 为积分变量）
竖分：没有代表区间，左半部 抛—抛 例 2 求由曲线 y2 4 x右与半x部 2 y直线4 所—围抛图形的面积．
法 2 区间分割，用“竖分”（以 x 为积分变量）
积分 [xi , §x5i1]定 [x积i , 分xi 的x应i ] ,用Q : f (i )xi ,
微元
[x, x dx] , dQ : f (x)dx ．
b
a
n
f ( x)dx lim d 0 i1
f (i )xi Q
小区间上部分量的积累
“分割、取近似、求和、取极限”
“微元法”思想： 在[a, b] 上取代表小区间[x, x dx] 若 f (x)dx 为 Q 的线性主部（即 f ( x)dx dQ ）．则称
f (x)
则 Alim
f ( x)dx
o
b f ( x)dx ．
a x xdx b x
a
推广到一般
(1) 直角坐标系下
y y f (x)
定积分的简单应用__平面图形的面积
的面积。
y
y=x-2
解：阴影部分面积
2
S=S1+S2.
S1由y= x ，y= - x ， 1
x=1围成：
s1 s2
o 12
4
x
S2由y= x，y= x-2 ， -1
x=1围成：
-2 x=1
y2
x=
1
s1
[
0
x (
x )]dx,
4
s2
[
1
x (x 2)]dx,
1
4
s 0 2 xdx 1 ( x x 2)dx.
y x4
4
y 2x
2 S1
S2 y x 4
S1
8
2
S 2S1 S2 2 0
8
2xdx ( 2
2x x 4)dx
y2 2x
2
8
0 2 2xdx 2 ( 2x x 4)dx
42 3
3
x2
|02
(2 2 3
3
x2
1 2
x2
4x)
|82
16 3
64 3
26 3
18
例3.求曲线x= y2 和直线y=x-2所围成的图形
4
8
8
8
8
(0 2xdx 4 2xdx) 4 (x 4)dx 0 2xdx 4 (x 4)dx
2
2 3
3
x2
|80
( 1 2
x2
4x)
|84
40 3
练习1
练习2
练习 1（课本变式题）：
计算由曲线 y2 2x和直线 y x 4所围成的图形的面积.
解: 两曲线的交点
定积分求平面图形面积在实际生活中的应用
定积分求平面图形面积在实际生活中的应用把复杂的积分问题求解出来就可以计算出平面图形的面积，在实际生活中也可以看到它的很多应用。
其中有一类是涉及设计的，比如建筑设计中的空间分配、土地开发等；另一类是分析的，比如海洋表面的波浪分析等。
1、建筑设计建筑设计中，定积分可以用来求解空间分配问题。
比如，在房屋设计中，它可以用来确定楼层、楼梯、墙壁、门窗等占用了多少面积。
此外，它还可以用来求解不规则房间布局时，室外墙体和室内墙体的面积分配。
同样，在土地开发中也可以看到定积分的应用，如计算出道路两端的封闭区域面积，以及计算建筑的总面积。
定积分也可以帮助规划者精确计算出规划区域的面积，从而更好地管理规划区域的开发。
2、海洋表面的波浪分析定积分也可以用来求解海洋表面的波浪。
水波的主要性质是在洋流中运动，它的变化符合泊松方程，这是一个带积分的方程，可以用定积分来求解。
这种波浪分析可以更好地解释海洋表面的复杂性，进而指导航管理者和建筑者采取更安全有效的导航措施。
此外，在海岸线上，可以使用定积分来计算海岸线内各子区域的面积，以及海岸线及其各个部分的面积，为海洋管理者提供有形的参考数据。
3、农业此外，定积分在农业中也有非常广泛的应用。
比如，在种植作物时，可以使用定积分来计算出作物地的面积，以及需要灌溉地区的面积；在研究农田开发时，可以利用定积分来计算出耕作面积。
通过计算出具体的面积数据，可以更好地规划农田的分布和种植规模，从而节约农业资源，提高农作物的产量。
总结定积分是一种有用的数学技术，可以把复杂的数学问题转化成计算机可计算的简单形式，在计算平面图形面积上表现出很强的优势。
它在实际生活中有很多应用，比如建筑设计、土地开发、海洋洋面波浪分析，以及农业规划等。
1定积分的简单面积应用
二、新课讲解
.几种典型的平面图形面积的计算：
类型2：由两条曲线y=f(x)和y=g(x)，直线
x=a,x=b(a<b)所围成平面图形的面积S
y f ( x)
y g ( x)
y
y f ( x)
o
a
y g ( x)
b x
(2)
(1)
b b b
(1) S f ( x)dx g ( x)dx [ f ( x) g ( x)]dx
答 汽车在这1min 行驶的路程是 1350m.
变力所做的功
物体在变力Ｆ（x）的作用下做直线 运动，并且物体沿着与Ｆ（x）相同的方 向从x=a移动到x=b（a<b），那么变力Ｆ b （x）所作的功 W F ( x)dx
a
2 2 1
3
2
1
1
1
x x 8 ( x) ( x) 3 3 3 1 1
2
3
例2.计算由曲线 y 2 x 直线y=x-4以及x轴围成图形 的面积. 解: 作出y=x-4, y 2x 的图 象如图所示:
y 2x 解方程组：
得：直线y=x-4与 y 2 x 交点为 (8，4)直线y=x-4与x轴的交点为 (4，0) 因此，所求图形的面积为一 个曲边梯形与一三角形面积 之差： 8 8 40 本题还有其他解法吗？ S 2 x dx ( x 4)dx 0 4 3
x 0 x 1 y x 解方程组 或 2 y 0 y 1 y x
y yy x x
2
B
C
o D
y x2
即两曲线的交点为(0,0),(1,1)
S = S曲边梯形OABC - S曲边梯形OABD
定积分的应用
定积分的应用定积分是微积分中的重要内容之一，经常被应用于实际问题的解决中。
本文将从三个方面来论述定积分的应用。
一、定积分在几何中的应用首先，定积分可以用于求曲线下面的面积。
以 y=f(x) 为例，若f(x)>0，则曲线 y=f(x) 与 x 轴的两点 a、b 组成的图形的面积为S=∫baf(x)dx这时，可以将曲线 y=f(x) 分成许多小块，每块宽度为Δx，高度为 f(xi)，从而可以得到其面积为ΔS=f(xi)Δx因此，当Δx 趋于 0 时，所有小块的面积之和就等于图形的面积，即∑ΔS→S因此，用定积分就可以求出图形的面积。
其次，定积分还可以用于求旋转体的体积。
以曲线 y=f(x) 在 x 轴上旋转360°为例，其体积为V=π∫baf(x)^2dx这里，π为圆周率。
最后，定积分还可以用于求某些奇特图形的长、面积等等。
二、定积分在物理中的应用物理中也有许多问题可以通过定积分来解决。
比如，运动问题中的速度、加速度，可以通过位移的变化来求得。
若某运动物体的速度为 v(t)，则其位移 s(t) 为s(t)=∫v(t)dt同样，若某运动物体的加速度为 a(t)，速度为 v(t)，则其位移为s(t)=∫v(t)dt=∫a(t)dt最后，定积分还可以用于求密度、质量等物理量。
三、定积分在工程中的应用定积分在工程中的应用也非常广泛。
比如，在流体力学中，对于一条管道中的液体，可以通过惯性和重力等因素，求出其中液体的流量和压力。
而这些流量和压力可以通过定积分计算得出。
在电学中，电量、电荷、电流和电势等都可以通过定积分来求解。
在结构设计中，定积分也常常被用来计算约束力、杠杆比例等。
总之，定积分在几何、物理和工程等领域中都有着广泛应用。
熟练地掌握定积分的方法和应用，对于科学研究和实际问题的解决都有着非常积极的帮助。
定积分的应用求面积与弧长
定积分的应用求面积与弧长定积分是微积分中的一个重要概念，它有着广泛的应用。
其中之一就是通过定积分来求解曲线的面积和弧长。
本文将介绍定积分在求解面积和弧长问题中的应用方法。
一、定积分求解曲线下面积在平面直角坐标系中，考虑曲线y=f(x)与x轴所围成的封闭曲线。
我们希望求解这个封闭曲线所包围的面积。
设x的取值范围为[a, b]。
根据定积分的定义，可以用无穷小的矩形近似曲线下面积。
即将[a, b]区间分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx=(b-a)/n，并在每个小区间内选择任意一个点xi。
那么第i个小区间的面积即为f(xi)Δx。
将所有小区间的面积累加起来，即可得到近似曲线下面积的总和：S≈Σf(xi)Δx当n趋向于无穷大时，即Δx趋向于0，这个近似值趋于真实的曲线下面积。
所以我们可以得到曲线下面积的定积分表示：S=∫[a, b] f(x) dx其中，f(x)是曲线的函数，而dx表示对x的积分。
通过计算定积分，就可以得到所求曲线下的面积。
二、定积分求解曲线的弧长另一个常见的问题是求解曲线的弧长。
考虑曲线y=f(x)在[a, b]区间上的一部分弧段。
我们可以将弧段分割成n个小弧段，每个小弧段的长度为Δs。
与求解面积类似，我们可以得到每个小弧段的长度：Δs≈√(Δx)²+(Δy)²其中Δy=f(xi+1)-f(xi)，Δx=xi+1-xi。
将所有小弧段的长度累加起来，即可得到对曲线的弧长的近似值：L≈ΣΔs当n趋向于无穷大时，即Δx趋向于0，这个近似值趋于真实的曲线弧长。
所以我们可以得到曲线的弧长的定积分表示：L=∫[a, b] √(1+(f'(x))²) dx其中，f'(x)是曲线函数的导数。
通过计算定积分，就可以得到所求曲线的弧长。
综上所述，定积分的应用可以帮助我们求解曲线的面积与弧长问题。
无论是求解面积还是弧长，都可以通过将曲线划分为无穷小的小区间或小弧段，并使用定积分的方法进行累加求和，最终得到准确的结果。
定积分的应用：平面图形面积
6 曲线 y x 2 与它两条相互垂直的切线所围成平面图 S ，其中一条切线与曲线相切于点 形的面积 S 最小 . a __时，面积 A( a , a 2 ) ，a 0 ，则当
二、求由下列各曲线所围成的图形的面积： 1 1、 y 与直线 y x 及 x 2 ； x 2 x y 2、 与直线 y x 及y 2 x ； 3、 r 2a ( 2 cos ) ； 4 、摆线 x a ( t sin t ) , y a (1 cos t )( 0 t 2 ) 及 x 轴； 5、r 3 cos 及r 1 cos 的公共部分； 6、笛卡尔叶形线 x 3 y 3 3axy .
0 x
x
两边同时对 x 求导
3 f ( x ) 2 y 2 xy 2 xy y
2 积分得 y cx,
9 y x, 2
2
9 因为曲线 y f ( x ) 过点( 2,3) c 2
因为 f ( x ) 为单调函数
3 所以所求曲线为 y 2x. 2
练习题
A 40
4
A1
1 2 2 a . a cos 2d 2
2 a 2 cos 2
例 5 求心形线 r a(1 cos ) 所围平面图形 的面积(a 0) .
1 2 2 解 dA a (1 cos ) d 2
利用对称性知
d
1 2 A 2 a (1 cos ) 2 d 2 0 2 a (1 2 cos cos 2 )d 0 3 2 3 1 a 2 2 sin sin 2 a . 4 2 0 2
t1 t2
（其中t1 和t 2 对应曲线起点与终点的参数值）
定积分的应用
定积分的应用在我们的生活中，有很多场景都需要用到定积分。
而在数学上，定积分也起到了重要的作用。
定积分可以计算曲线下的面积，如求函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的面积。
接下来，我们将介绍一些常见的定积分的应用。
一、曲线下的面积假设我们有一个区间 $[a,b]$，以及一个函数 $f(x)$。
我们可以使用定积分来计算这个函数在该区间上的曲线下的面积。
这个面积可以用下面的式子来计算：$$ S=\int_{a}^{b}f(x)dx $$ 其中，$\int$ 表示定积分。
如果我们以 $f(x)\geq 0$ 的形式进行了定义，那么定积分就可以计算出曲线下的正面积。
例如，如果我们要计算函数 $f(x)=x^2$ 在区间 $[0,1]$ 上的曲线下的面积，我们可以通过下面的定积分来计算：$$ S=\int_{0}^{1}x^2dx $$利用积分的定义，可以将该式子化简为：$$ S=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^{n}f(x_i)\Deltax=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^{n}x_i^2\Delta x $$ 其中，$\Delta x=\frac{1}{n}$ 且 $x_i=i\Delta x$。
如果我们取 $n=100$，你会发现：$$ S=0.010050167\cdots $$ 这时，我们就可以知道函数 $f(x)=x^2$ 在区间 $[0,1]$ 上的曲线下的面积为约为 $0.010050167$。
二、体积类似于计算曲线下的面积，定积分也可以用于计算体积。
我们可以使用定积分来计算旋转曲面的体积，例如旋转曲面、扫描曲面等。
例如，假设我们需要计算曲线 $y=x^2$ 从 $x=0$ 到 $x=1$ 周围在 $y$ 轴旋转一周所形成的立体的体积，我们可以使用下面的公式计算出体积：$$ V=\int_{0}^{1}\pi y^2dx $$替换掉 $y=x^2$ 的值，我们得到：$$ V=\int_{0}^{1}\pi x^4dx $$ 计算该定积分的结果为：$$ V=\frac{\pi}{5} $$ 所以，曲线$y=x^2$ 从 $x=0$ 到 $x=1$ 周围所形成的立体的体积为$\frac{\pi}{5}$。
定积分的简单应用--面积
定积分的简单应用--面积
积分在微积分学中是一个重要的概念，它可以用来求解有关函数的性质问题。
例如，在求解曲线上某一特定点的高度，求解曲线下某一段距离的和以及在求解曲线下某一区域的面积等。
从某种意义上来说，积分也可以看作是函数极限的概念的一种推广。
首先，为了求解曲线上某一特定点的高度，可以先求出曲线的函数表达式，然后在这函数的表达式中计算出特定点的高度值即可；再比如求解曲线下某一段距离的和，可以利用反积分的原理来解决，即可以把把要求求解的区间划分为若干小段，然后求出每一段的长度，最后将这些段的长度和起来就可以得到最终结果。
至于求解曲线下某一区域的面积，此处与前文讲述的求解曲线下某一段距离的和是相类似的。
但需要留意的是，求解曲线下某一区域的面积，是需要利用积分的概念，具体地说就是利用曲线下某一段持续的长度的时间，也就是利用反积分的原理实现的。
反之，在求解曲线下某一段距离的和时，则是靠前文提到的划分小段的方法实现的。
定积分应用求面积
y2 2
4
y3
4
4y 2
6
2
18
8
注：如果取x为积分变量
X型 在 0,8 上任取小区间x, x dx,
则 dA 2 x1xdx
A
8
0
2 x
y穿出
1 x
y穿入
dx
y
dA
o (2,2)
(8,4)
以 f ( x)dx作为 A的近似值。
即： A f ( x)dx
f ( x)dx 叫做面积元素, 记为
dA f ( x)dx
Oa
y f (x)
A
dx
x x dx
b
x
b
（3）写出A的积分表达式，即：A f ( x)dx a
3
一般地，如果某一实际问题中的所求量 U符合下列条件：
以极点O为圆心，以 a为半径的的圆的极坐标方程: r a.
P(r, )
P(r, )
r
O
(a,0) x O (a,0)
x
P(r, )
3
3
O
x
以点(a,0) 为圆心，以 a 为半径的的圆的极坐标方程 r 2a cos
过极点O，且与极轴的夹角为 的直线方程 .
（1）U是与一个变量x的变化区间[a，b]有关的量； （2）U对于区间[a，b]具有可加性；
（3）部分量
U
的近似值可表为
i
f i xi
那么这个量就
可以用积分来表示。
具体步骤是：
（1）确定积分变量，和它的变化区间[a,b]； （2）写出积分元素
定积分的应用公式总结
定积分的应用公式总结定积分是微积分中的重要概念，它在许多领域都有着广泛的应用。
在本文中，我们将对定积分的应用公式进行总结，并举例说明其在实际问题中的应用。
1. 面积与定积分。
定积分最基本的应用之一就是计算曲线与坐标轴之间的面积。
设函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(x) ≥ 0，则曲线y = f(x)与x轴所围成的图形的面积为。
A = ∫[a, b] f(x) dx。
这就是定积分的几何意义，它表示曲线与x轴之间的面积。
2. 物理学中的应用。
在物理学中，定积分常常用来计算曲线下方的面积，从而得到某一变量的总量。
例如，如果我们知道一个物体在 t 时刻的速度 v(t)（单位时间内的位移），则该物体在时间区间 [a, b] 内的位移为。
S = ∫[a, b] v(t) dt。
这里的 S 就表示了物体在时间区间 [a, b] 内的总位移。
3. 概率统计中的应用。
在概率统计中，定积分也有着重要的应用。
例如，如果我们知道某一随机变量X 的概率密度函数为 f(x)，则 X 落在区间 [a, b] 内的概率为。
P(a ≤ X ≤ b) = ∫[a, b] f(x) dx。
这里的 P(a ≤ X ≤ b) 表示了随机变量 X 落在区间 [a, b] 内的概率。
4. 工程中的应用。
在工程领域，定积分也有着广泛的应用。
例如，在计算流体的体积、质量、密度、压力等问题时，定积分常常是不可或缺的工具。
另外，在电路分析、信号处理、控制系统等领域，定积分也有着重要的作用。
5. 经济学中的应用。
在经济学中，定积分常常用来描述某一商品的总收益、总成本、总利润等。
例如，如果知道某一商品的需求函数为 D(p)，则该商品在价格区间 [a, b] 内的总收益为。
R = ∫[a, b] p D(p) dp。
这里的 R 表示了商品在价格区间 [a, b] 内的总收益。
总结。
定积分的应用远不止以上几个领域，它在数学、物理、工程、经济等众多领域都有着重要的作用。
定积分的应用公式总结
定积分的应用公式总结定积分是微积分中的重要概念，具有广泛的应用范围。
在实际问题中，定积分可以用于求解曲线下的面积、求解容积、质量、中心矩等问题。
接下来，我们将总结定积分的应用公式，包括面积、体积、质量、中心矩等几个重要应用。
1. 曲线下的面积定积分最常见的应用是求解曲线下的面积。
对于一个函数f(x)，在区间[a, b]上，曲线y=f(x)与x轴所围成的面积可以通过定积分来计算。
公式为：S = ∫(a到b)f(x)dx其中S表示曲线下的面积，∫表示定积分，f(x)是函数曲线在x轴上的对应值。
2. 旋转体的体积定积分还可以用于计算旋转体的体积。
考虑一个曲线y=f(x)，在[a, b]区间上绕x轴旋转一周，所形成的旋转体体积可以通过定积分来计算。
公式为：V = π∫(a到b)f(x)^2dx其中V表示旋转体的体积，π表示圆周率。
3. 弧长定积分可以用于计算曲线的弧长。
设有曲线y=f(x)，在区间[a,b]上的弧长可以通过定积分来计算。
公式为：L = ∫(a到b)√(1+(f'(x))^2)dx其中L表示曲线的弧长，f'(x)表示f(x)的导数。
4. 质量和质心对于一条位于直角坐标系中的线密度分布曲线，其质量可以通过定积分来计算。
设密度函数为ρ(x)，曲线上的质量可以表示为：m = ∫(a到b)ρ(x)dx其中m表示曲线上的质量，ρ(x)表示密度函数。
同时，还可以通过定积分来计算曲线的质心。
曲线的质心可以通过以下公式来计算：x_c = (1/m)∫(a到b)xρ(x)dxy_c = (1/m)∫(a到b)yρ(x)dx其中x_c和y_c表示曲线的质心的坐标。
以上的公式总结了定积分的一些重要应用，包括面积、体积、弧长、质量和质心等。
在实际问题中，我们可以根据具体的问题情况，选择适当的公式来计算所需的结果。
这些公式可以帮助我们更好地理解和应用定积分的概念，解决实际问题。
定积分求平面图形面积在实际生活中的应用
定积分求平面图形面积在实际生活中的应用定积分是一种重要的数学工具，可以被用来求解很多问题。
在实际生活中，定积分也能够帮助我们解决诸多问题，特别是一些关于平面图形面积的问题。
本文将介绍定积分求平面图形面积在实际生活中的应用。
首先，定积分可以用来计算平面图形的面积。
以二次函数为例，给定一个二次函数，积分可以用来计算函数图像在某一范围内的面积。
例如，若二次函数的方程为 y = ax2 + bx + c，令a = 1，b = 2，c = 5，在[0,2]范围内，可以用积分求出该函数图像的面积为 9.8。
其次，定积分可以用来计算一个圆柱体的体积。
例如，假设有一个圆柱体，其中一个轴的长度为a，另一轴的长度为b，则该圆柱体
的体积可以用定积分计算出来。
此外，定积分也可以用来计算汽车行驶的总里程数。
例如，若给定汽车从A地到B地的时与距离函数，则可以用定积分来计算汽车的总里程数。
最后，定积分还可以用来计算公路或铁路运营成本。
例如，对于一条公路或铁路，可以假定各个部分之间的距离关系，并用定积分来计算运营成本。
这在很大程度上有助于管理部门控制费用，提高效率。
以上就是定积分求平面图形面积在实际生活中的应用，它可以用来计算二次函数图像的面积、计算一个圆柱体的体积、计算汽车行驶的总里程数以及计算公路或铁路运营成本等。
定积分的应用在很大程度上有助于人们高效地解决诸多实际生活中的问题。
定积分的简单应用--面积
0
3 03
3
s
s1
s2
4
8 3
4 3
小结：
求平面图形的面积的一般步骤 （1）根据题意画出图形； （2）找出范围，确定积分上、下限； （3）确定被积函数； （4）写出相应的定积分表达式； （5）用微积分基本定理计算定积分，求出结果。
思考：
求曲线y= x 2与直线x+y=2围成的图形的面积。
a
a
（二）例题分析
例1.求如图所示阴影部分图形的面积。
分析：图形中阴影部分的面积由两个部分组成； y
一部分是x轴上方的图形的面
积（记为s1）;
1
另一部分是x轴下方图形的面
-∏
积（记为s2）.
oቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
-1
∏x
根据图像的性质： s1 =s2.
s1
sin xdx cos x | (cos cos 0) 2.
0
0
所以，所求阴影部分的面积是4..
思考：
求如下图形中阴影部分面积
5
4
o
2
s
2
sin
xdx
(
5
4
sin
xdx)
4 2
2
例2.求抛物线y=x2 与直线y=2x所围成平面图 形的面积。
解:
x 画出抛物线y= 2 与直线y=2x所围成的平面图形，
y
如图所示。
x2
求出曲线y= 与直线y=2x的交点为（0，
图3
想一想：上图中（2）、（3）满足上面的公式吗？
例3.求曲线x= y2 和直线y=x-2所围成的图形
定积分求平面图形面积”在实际生活中的应用案例
定积分求平面图形面积”在实际生活中的应用案例
实际生活中，使用积分求平面图形面积的应用非常广泛。
比如，土木工程的测量是一个经常要用到积分求平面图形面积的地方。
在实际的施工场景中，工程师要精确测算出建筑物的面积，以便按比例设计施工；例如，在建筑物的形状是一个多边形时，工程师就要利用积分求解该图形的面积；一般情况下，解决这类多边形面积问题会根据弦切原理，把多边形分解成由相邻线段组成的小三角形，根据三角形面积公式和微积分积分公式累加，然后就可以求得具体的多边形面积。
另外，还有一些科学实验时，也需要利用积分求平面图形面积，一个常见的例子是物理实验中的摩擦力的测量，将滑板分别放在静止的木架上，在滑板上放入物体，通过测量滑板的面积，就能算出其上的摩擦系数，而物体滑动时，摩擦力变化就可以由动能守恒方程式解出，这一数据也是日常实验要用到的。
而在市政规划上，也会涉及到使用积分求平面图形面积的应用，例如，要给一个城市进行公共绿地的开发设计时，城市规划师需要精确测量出绿地的面积，这时，便要借助积分的技术，来求解绿地的面积。
总的来说，在实际生活当中，平面图形面积的求解是一种经常会使用到的科学技术，积分是其中用来求解多边形面积的一种常用方法，比如工程测量、物理科学实验、城市规划设计等，积分求平面图形面积在实际生活中的应用非常广泛，是日常生活中非常实用的一项科学知识。
定积分的简单应用面积
＝ 23x23＋16x210＋ 2x－12x2＋16x213
＝23＋16＋ 2x－13x231 (10 分)
＝56＋6－13×9－2＋13＝163.
(8 分) (12 分)
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
法二 若选积分变量为 y，则三个函数分别为
x＝y2，x＝2－y，x＝－3y.
(4 分)
因为它们的交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)． (6 分)
成图形的面积．
审题指导 解答本题可先求
题型三 由两条曲线和直
出曲线与直线交点的横坐
线所围成图形面积
标，确定积分区间，然后
分段利用公式求解．
【解题流程】 作图 → 求出两曲线的交点坐标 →
确定积分区间 → 确定被积函数 定 的――积 性→分 质 分解 → 求值
[规范解答] 法一 画出草图，如图所示．
3．1 平面图形的面积
§3 定积分的 简单应用
【课标要求】
1．进一步理解定积分的概念和性质． 2．能应用定积分计算简单的平面曲线围成图形的面积．
【核心扫描】
1．利用定积分求平面图形的面积．(重点)． 2．准确认识平面图形的面积与定积分的关系．(易混点)
一般地，设由曲线 y＝f(x)，y＝g(x)以及直线 x＝a，x＝b 所围成的平面图形(如图)的面积为 S，则
S＝－轴上cf(方x)的dx定＋积分bf(减x)去dxx，轴故下选方的D定. 积分．
a
c
我们知道，当函数 f(x)在区间[a，b]上恒为正时， 定积分bf(x)dx 的几何意义是以曲线 f(x)为曲边的曲边梯形
a
的面积．在一般情况下，定积分bf(x)dx 的几何意义是介
定积分的几何应用总结 知乎
定积分的几何应用总结
对于定积分的几何应用，以下是一些常见的总结：
1.面积计算：定积分可以用于计算曲线与x轴之间的有界区
域的面积。
将曲线或曲线组合表示为函数，并将其积分，
可以得到该区域的面积。
2.弧长计算：曲线的弧长是曲线沿着x轴或y轴的长度。
通
过使用定积分，可以计算曲线的弧长，将其表示为函数，
并应用弧长的求和公式来获得结果。
3.体积计算：通过将曲线或曲面绕着轴旋转，可以使用定积
分来计算所得到的旋转体的体积。
例如，旋转一条曲线或
一个区域围绕x轴或y轴旋转，可以使用定积分来计算所
得到的圆柱体或圆锥体的体积。
4.重心和质心计算：通过将物体划分为无穷小的微元，并使
用定积分来计算每个微元的质量，可以计算出物体的重心
和质心。
这对于研究物体的平衡和运动以及静力学方面很
有用。
5.曲线长度计算：通过将曲线表示为参数方程或极坐标方程，
并使用定积分来计算微元曲线的长度，可以得到整个曲线
的长度。
这些是定积分的一些常见几何应用示例，但实际上，定积分在几何学中还有更多的应用。
它们在计算和描述曲线、平面和空间几何形状的属性时起着关键作用。
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4
0）和（2，4）。
设所求图形的面积为S，根据图像可以看
出S等于直线y=2x，x=2以及x轴所围成
平面图形的面积（设为S1）减去抛物线
x y= 2 ，直线x=2以及x轴所围成的图形
的面积（设为S2）。
o
2
x
∵
s1
2 2xdx x2 | 2 22 02 4
0
0
s2
2 x2dx 1 x3 | 2 1 (23 03) 8
§3.1 定积分的简单应用
（一）复习回顾
定积分的几何意义
（1）当f(x) ≥0时，ab f (x)dx 表示的是y=f(x)
与x=a, x=b和x轴所围曲边梯形的面积。
（2）当f(x) ＜0时，y=f(x)与x=a, y=b和x轴
b
b
所围曲边梯形的面积为 | f (x)dx | f (x)dx
一般地，设由曲线y=f(x)，y=g(x)以及直线x=a，y=b所围成
的平面图形（如图1）的面积S，则
b
b
y
s f (x)dx g(x)dx.
a
y
a
y y=f(x)
s
y=g(x)
oa
bx
y=f(x)
oa
s bx
y=g(x)
y=f(x)
s o a y=g(x) b x
图1
图2
图3
想一想：上图中（2）、（3）满足上面的公式吗？
a
a
（二）例题分析
例1.求如图所示阴影部分图形的面积。
Байду номын сангаас
分析：图形中阴影部分的面积由两个部分组成； y
一部分是x轴上方的图形的面
积（记为s1）;
1
另一部分是x轴下方图形的面
-∏
积（记为s2）.
o
-1
∏x
根据图像的性质： s1 =s2.
s1
sin xdx cos x | (cos cos 0) 2.
说明：物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并
且物体沿着与F(x)相同的方向从x=a点移动到x= b点，
则变力F(x) 所做的功为:
W＝
b
F ( x)dx
a
（四）总结
（1）利用定积分求所围平面图形的面积， 要利用数形结合的方法确定被积函数和积 分上、下限。
（2）当平面图形是由多条曲线围成时，要 合理分区域积分求面积。
（五）课后作业
课本P90习题4-3 第1、2、3、4题。
再见
0
3 03
3
s
s1
s2
4
8 3
4 3
小结：
求平面图形的面积的一般步骤 （1）根据题意画出图形； （2）找出范围，确定积分上、下限； （3）确定被积函数； （4）写出相应的定积分表达式； （5）用微积分基本定理计算定积分，求出结果。
思考：
求曲线y= x 2与直线x+y=2围成的图形的面积。
抽象概括：
[
1
x (x 2)]dx,
1
4
s 0 2 xdx 1 ( x x 2)dx.
9 2
（三）练习
1.求曲线y=1/x、直线x=1，x=2以及x轴所围成的平 面图形的面积。
2.求由曲线xy=1及直线x=y，y=3所围成的平面图
形的面积。 3.求曲线y=sinx(x∈[
4
，3
4
])和y=cosx(x ∈[
例3.求曲线x= y2 和直线y=x-2所围成的图形
的面积。
y
y=x-2
解：阴影部分面积
2
S=S1+S2.
S1由y= x ，y= - x ， 1
x=1围成：
s1 s2
o 12
4
x
S2由y= x，y= x-2 ， -1
x=1围成：
-2 x=1
y2
x=
1
s1
[
0
x (
x )]dx,
4
s2
，3
44
])
围成的平面图形的面积。
(2)变力沿直线所做的功
例4：如果1N能拉长弹簧1cm,为了将弹簧
拉长6cm,需做功（A）
A. 0.18J B. 0.26J C. 0.12J D. 0.28J
略解：设 F kx 则由题可得 。
k 100
所以做功就是求定积分
0.06
100xdx 0.18
0
0
0
所以，所求阴影部分的面积是4..
思考：
求如下图形中阴影部分面积
5
4
o
2
s
2
sin
xdx
(
5
4
sin
xdx)
4 2
2
例2.求抛物线y=x2 与直线y=2x所围成平面图 形的面积。
解:
x 画出抛物线y= 2 与直线y=2x所围成的平面图形，
y
如图所示。
x2
求出曲线y= 与直线y=2x的交点为（0，