质点系动能定理机械能守恒定律

对第i 个质点，有
2
n1
F i外 dri
1
f ji dri
j

1 2
mi vi22

1 2
mi vi21
m1
Fi外
m2 Fi内 mi
对所有质点求和可得
n
2
n
F i外 dr i
1
i 1
i 1
n 1 j
f
ji dr i

n i 1
P
R
30 A
o
取图中点 B为重力势能零点
B
Ep 0
上页 下页 返回 退出
B 系统机械能守恒 EB EA , 图中 点为重力势能零点
即
1 2
mvB2

1 2
k R2

mgR(2
sin
30)
P
又
kR mg m vB2
R
R 30 A
o
所以
k 2mg
R
B Ep 0
上页 下页 返回 退出
B

90
mg cos Rd
v
mvdv mgR
1 mv 2
0
0
2
上页 下页 返回 退出
解法二，根据动能定理，对物体受力分析，只有重力 和摩擦力作功，
A阻
mgcosds
1 mv2 90

ຫໍສະໝຸດ BaiduA阻

1 2
mv2
mg cos Rd
2
0
解法三，根据功能原理，以物体和地球为研究对象
运动的距离为 ， 此后沙箱带着弹丸以匀速运动.求
此过程中内力所做的功.(假定子弹所受阻力为一恒 力)
解 设子弹对沙箱作 用力为f′；沙箱对 子弹作用力为f
则这一对内力的功
A f ( l) f ' fl 0
上页 下页 返回 退出
补充： 有一轻弹簧, 其一端系在铅直放置的圆环的顶点P, 另
§2-4 质点系动能定理 机械能守恒定律
一、质点系动能定理
多个质点组成的质点系，既要考虑外力，又 要考虑质点间的相互作用力（内力）。
二质点组成的 系统
推 广
两个质点在外力及 内力作用F1下如图所F示2 ：
m1
f12
f 21
m2
多个质点组 成的系统
上页 下页 返回 退出
对m1运用质点动能定理：
1 2
mi vi22

n i 1
1 2
mi
v i21
A外 A内 Ekb Eka Ek
质点系动能定理：所有外力与所有内力对质点 系做功之和等于质点系总动能的增量。
上页 下页 返回 退出
二、质点系功能原理
A外 A内 Ek
因为对系统的内力来说，它们有保守内力和非保
守内力之分，所以内力的功也分为保守内力的功 Aic和
1）生产斗争和科学实验的经验总结； 2）能量是系统状态的函数； 3）系统能量不变, 但各种能量形式可以互相转化； 4）能量的变化常用功来量度 .
上页 下页 返回 退出
例3 在光滑的水平台面上放有质量为M的沙箱，一 颗从左方飞来质量为m的弹丸从箱左侧击入，在沙 箱中前进一段距离l后停止.在这段时间内沙箱向右
条件 Ae Aid 0
定律 EKa EPa EKb EPb
或 E EK EP 常量
或 EKb EKa EPa EPb
上页 下页 返回 退出
四、 能量转换与守恒定律
在一个孤立系统内，不论发生何种变化过程，各 种形式的能量之间无论怎样转换，但系统的总能量将 保持不变.这就是能量转换与守恒定律.
上页 下页 返回 退出
质点动能定理：
A外

1 2
mvb2

1 2
mva2
（重力、弹力在内的一切外力）
质点系动能定理：
A外

A保内
A非保内

1 2
mvb2

1 2
mva2
质点系功能原理： A外 A非保内 Ek E p （不考虑重力、弹力的功）
上页 下页 返回 退出
例题1 在图中，一个质量m=2kg的物体从静止开始，
非保守内力的功 Aid 。
A内 A保内 A非保内
A保内 E p
A外 A非保内 Ek Ep E（机械能）
系统的功能原理：当系统从状态1变化到状态2 时，它的机械能的增量等于外力的功与非保守内力 的功的总和，这个结论叫做系统的功能原理。
注意
内力可以改变质点系的动能
b1 a1
F1

d
r1

b2 a2
F2

d
r2

b1 a1
f12 d r1
b1 a1
f21 d r2

(1 2
m1v12b

1 2
m2v22b )
(1 2
m1v12a

1 2
m2v22a )
A外 A内 Ekb Eka Ek
上页 下页 返回 退出
对N个质点的系统
Ae 0 , Ain A阻
A阻

Ek

E p

1 mv 2
2

mgR
代入已知数字得 A 1 mv2 mgR 42.4J 2
负号表示摩擦力对物体作负功，即物体反抗摩擦力
作功42.4J
上页 下页 返回 退出
三、机械能守恒定律
A外 A非保内 Ek E p 机械能守恒定律：如果一个系统内只有保守内 力做功，或者非保守内力与外力的总功为零，则系 统内各物体的动能和势能可以互相转换，但机械能 的总值保持不变。这一结论称为机械能守恒定律。
沿四分之一的圆周从A滑到B，已知圆的半径R=4m， 设物体在B处的速度v=6m/s，求在下滑过程中，摩擦力
所作的功。
解：解法一，根据功的定义，以m为研究对象，受力
分析.
mg cos

f
ma
m dv dt
A fr
R O

则 f mg cos m dv
dt
A阻 fds
N
v G
一端系一质量为m 的小球, 小球穿过圆环并在圆环上运动(不计 摩擦) .开始小球静止于点 A, 弹簧处于自然状态,其长度为圆环半 径R; 当小球运动到圆环的底端点B时,小球对圆环没有压力. 求弹 簧的劲度系数.
解 以弹簧、小球和地球为一系统，
A B 只有保守内力做功 系统机械能守恒 EB EA
b1 a1
F1

d
r1

b1 a1
f12 d r1

1 2
m1v12b

1 2
m1v12a
对m2运用质点动能定理：
b2 a2
F2
d
r2

b2 a2
f21 d r2

1 2
m2v22b

1 2
m2v22a
F1
F2
m1
f12
f 21
m2
上页 下页 返回 退出
作为系统考虑时，得到：