概率论和数理统计试题库

一、 事件的关系与运算
1、设A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为（ A ） （A ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销”. （B ）“甲种产品滞销”. （C ）“乙种产品畅销”. （D ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”.
二、 五大公式：
1、已知事件A ，B 有概率4.0)(=A P ，5.0)(=B P ，条件概率3.0)|(=A B P ，则
=⋃)(B A P 0.62 ．
1、已知事件A ，B 有概率4.0)(=A P ，5.0)(=B P ，条件概率3.0)|(=A B P ，则
=⋃)(B A P 0.78 ；
1、已知事件A ，B 有概率4.0)(=A P ，条件概率3.0)|(=A B P ，则=⋂)(B A P 0.28 ；
1、设A 、B 、C 是三个事件，3/1)()()(===C P B P A P ，0)()(==AC P AB P ，
4/1)(=BC P ，则=⋃⋃)(C B A P 3/4（或0.75） ；
1、设A 、B 、C 是三个事件，4/1)(=A P ，3/1)(=A B P ，2/1)(=B A P ，则
=)(B A P 1/3 ；
1、设“甲地发生春季旱情”=A 、“乙地发生春季旱情”=
B 是两个随机事件，且4/1)(=A P ，3/1)(=A B P ，2/1)(=B A P ，则情”“甲或乙地发生春季旱=
C 发生的概率为 1/3 ；
1、已知4/1)()()(===C P B P A P ，0)(=AB P ， 6/1)()(==BC P AC P ，则
=)( C B A P 5/12 ；
1、设“甲地房价下跌”=
A 、“乙地房价下跌”=
B 是两个随机事件，且4/3)(=A P ，
3/2)(=A B P ，2/1)(=B A P ，则“甲或乙地房价下跌”=
C 发生的概率为 ； 1．设事件A 、B 互不相容，p A P =)(，q B P =)(，则=-)(B A P
（A ）q p )1(-. （B ）pq . （C ）q p -. （D ）p . （ D ）
1、若6.0)(,4.0)(,5.0)(===B A P B P A P ，则=)(A B P （ C ）
(A) 0.2 ； (B) 0.45； (C) 0.6； (D) 0.75；
1、若2/1)(,3/1)(,4/1)(===B A P A B P A P ，则=⋃)(B A P （ C ） (A) 1/5 ； (B) 1/4； (C) 1/3； (D) 1/2；
1、从多年的教学经验可知，一名二年级同学参加英语CET4培训班集中培训后能超过425分的概率为0.8，不参加培训而能超过425分的概率为0.4。

假如这次有70%的同学参加了培训。

（1）任取我们班一名同学，求该同学超过425分的概率？
（2）如果一名同学得分超过425分，则他参加过培训的概率有多大？ 解：设事件A =“参加培训”，B =“英语CET4成绩超过425分”，则
8.0)(=A B P 8.0)(=A B P ，4.0)(=A B P ，7.0)(=A P 3.0)(=A P ，所以
（1）68.04.03.08.07.0)()()()()(=⨯+⨯=+=A B P A P A B P A P B P 。

（2）823529.068
.08
.07.0)()()()()()(=⨯===
B P BA P A P B P AB P B A P 。

1、在某工厂里有甲、乙、丙三台机器生产螺丝钉，它们的产量各占25%、35%、
40%，并且在各自的产品里，不合格品各占5%、4%、2%。

问：（1）全部螺丝钉的不合格品率为多少？（2）若现在从产品中任取一件恰是不合格品，则该不合格品是甲厂生产的概率为多大？
解：设1A 表示“螺丝钉由甲台机器生产”，2A 表示“螺丝钉由乙台机器生产”，
3A 表示“螺丝钉由丙台机器生产”，B 表示“螺丝钉不合格”。

（1）由全概率公式)()()()()()()(332211A B P A P A B P A P A B P A P B P ++= =0.25×0.05+0.35×0.04+0.40×0.02=0.0345； （5分） （2）由贝叶斯公式362319.00345
.005
.025.0)
()
()()(11=⨯=
=
B P A B P A P B A P （3分）
1、金鱼的主人外出，委托朋友换水，设已知如果不换水，金鱼死去的概率为0.8，若换水，则金鱼死去的概率为0.15。

有0.9的把握确定朋友会记得换水。

问：（1）主人回来金鱼还活着的概率？（2）若主人回来金鱼已经死去，则朋友忘记换水的概率为多大？
解：设A 表示“朋友换水”，B 表示“金鱼还活着”，则9.0)(=A P ，1.0)(=A P ，
85.015.01)(=-=A B P ，15.0)(=A B P ，2.0)(=A B P ，8.0)(=A B P ， （1）由全概率公式)()()()()(A B P A P A B P A P B P +=
=0.9×0.85+0.1×0.2=0.785； …………………………………（5分） （2）由贝叶斯公式372093.0785
.018
.01.0)
()
()()(=-⨯=
=
B P A B P A P B A P ……（8分）
1、 已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.
解：设“任取一产品，经检验认为是合格品” ……………………（2） “任取一产品确是合格品”
则（1）
(3)
（2）
. (2)
1、有甲、乙、丙三个盒子，其中分别有一个白球和两个黑球、一个黑球和两个白球、三个白球和三个黑球。

掷一枚骰子，若出现1，2，3点则选甲盒，若出现4点则选乙盒，否则选丙盒。

然后从所选的中盒子中任取一球。

求： （1）取出的球是白球的概率；
（2）当取出的球为白球时，此球来自甲盒的概率。

解：设 A =“选中的为甲盒”， A =“选中的为乙盒”， C =“选中的为丙盒”，D =“取
出一球为白球”，已知312
(),(),()666P A P B P C ===
，
123
(|),(|),(|)336P D A P D B P D C ===
……………………………… (3分) （1）由全概率公式 3112234
()6363669
P D =
⨯+⨯+⨯= …………………… (2分) （2）由Bayes 公式 31363(|)489
P A D ⨯
== ……………………………… (2分)
1、发报台分别以0.6和0.4的概率发出信号“·”和“—”，由于通信系统受到干扰，当发出信号“·”时，收报台未必收到“·”，而是分别以概率0.8和0.2收到信号“·”和“—”，同样当发出信号“—”时，收报台分别以概率0.9和0.1收到信号“—”和“·”，求：（1）收报台收到信号“·”的概率；（2）当收报台收到信号“·”时，发报台是发出信号“·”的概率。

A =
B =()()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B =+0.90.950.10.020.857.=⨯+⨯=()0.90.95
(|)0.9977()0.857P AB P B A P A ⨯=
==
解：设 A =“发出信号‘’”， B =“发出信号‘—’”， C =“收到信号‘·’”，已知6.0)(=A P ，4.0)(=B P ，8.0)(=A C P ，1.0)(=B C P …………… (3分) （1）由全概率公式
52.01.04.08.06.0)()()()()(=⨯+⨯=+=B C P B P A C P A P C P ……… (2分) （2）由Bayes 公式 13
12
52.08.06.0)
()()()(=⨯=
=
C P A C P A P C A P …… (2分)
三、 三大概型(古典、几何、伯努利)
2、设10件中有3件是次品。

今从中随机地取3件，则这三件产品中至少有1
件是次品的概率为)24/17(/131037
或C C -； 2、已知10件产品中由2件次品，在其中任取2次，每次任取一件，作不放回抽
样，则其中一件是正品，一件是次品的概率为 16/45 ；
1、同时抛掷3枚均匀的硬币，则恰好有两枚硬币正面向上的概率为（ C ）
(A) 1/8 (B) 2/8 (C) 3/8 (D) 4/8； 1、某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p ，则在第4次射击时恰好第2次命中目标的概率为（ B ）
(A) 22)1(4p p -； (B) 22)1(3p p -； (C) 22)1(2p p -； (D) 3)1(p p -； 1、袋中有5个球（3个红球，2个白球），每次取1个，无放回地抽取两次，则第二次取到红球的概率为（ A ）
(A) 53； (B) 43； (C) 21； (D) 103；
2、已知某型电子器件寿命X (以天计)的概率密度函数为
⎪⎩⎪⎨⎧≤>=.10,0,10,10)(2x x x
x f
（1）求X 的分布函数).(x F
（2）现有一大批此种器件(设各器件损坏与否相互独立)，任取10只，以Y 表示寿命大于15天的
器件的只数，求Y 的分布律。

解：（1）因为 当10≤x 时，00)(==
⎰
∞
-x
dx x F ，当10>x 时，
x x dx x dx x F x x
10110100)(1010210
-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+=⎰⎰∞-，故⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=.10,
0,
10,101)(x x x x F （4分） （2）因为任意一只器件寿命X 大于15天的概率为3
2)15(1=
-=F p ，
又各器件损坏与否相互独立，所以Y 服从)3
2,10(b ，概率分布律为
.10,,2,1,0,313210}{10 =⎪
⎭
⎫
⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-k k k X P k
k ………………（8分）
2、已知随机变量X 的概率密度函数为
⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=.
,0,
0,2
cos 21
)(其他πx x x f （1）求X 的分布函数).(x F
（2）现对X 独立地重复观察4次，以Y 表
示大于6/π的次数，求Y 的分布律。

解：（1）因为 当0≤x 时，00)(==
⎰
∞
-x
dx x F ，当π≤≤x 0时，
2s i n 2s i n 2c o s 210)(0
0x x dx x dx x F x
x =⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=+=⎰
⎰∞
-，当π>x ， 1)(=x F ，故⎪⎪
⎩⎪
⎪⎨⎧>≤≤<=.1
0,2s i n ,
0,0)(ππx x x x x F ，，
……………………（4分） （2）因为X 大于6/π的概率为)12/sin(1)6/(1ππ-=-=F p ，所以Y 服从))12/sin(1,4(π-b ，概率分布律为
()().4,3,2,1,0,)12/sin()12/sin(14}{4=-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛==-k k k X P k
k ππ ………………（4分）
四、 一维随机变量的分布及性质 5．设随机变量)2,1(~-U X ，令⎩⎨
⎧<-≥=.
0,1,
0,1X X Y ，则Y
4、随机变量X 的分布函数是⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≤<≤<≤--<=x
x x x x F 3,131,6.011,4.01,0)(，则X 的分布律是
4
.02.04.03
11k
p X -，=≤<-)31(X P 0.4 ；
9、设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<≥=.
1,0,
1,1
)(2x x x x f ，令⎩⎨⎧≥<=.4,2,4,1X X Y ，则Y 的分布律为
4
14
32
1k
p Y ；
4、随机变量X 的分布函数是⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≤<≤<≤--<=x
x x x x F 3,131,8.011,6.01,0)(，则=≤<-)31(X P 0.4 ；
2．设离散型随机变量X 的分布律为k
k X P αβ==}{， ,2,1=k 且0>α，则参数=β （A ）11-=
αβ （B ）1+=αβ （C ）1
1
+=αβ （D ）不能确定 （ C ） 2、设离散型随机变量X 的分布律为k k X P β==}{， ,2,1=k ，则参数=β（ D ） (A) 1/5 ； (B) 1/4； (C) 1/3； (D) 1/2； 3、设连续型随机变量X 的概率密度为∞<<-∞+=
x x
A
x f ,1)(2
，则参数=A （ D ） (A) 0 ； (B) 1； (C) π； (D) π/1；
2、设随机变量X 的概率分布律为 ,2,1,0,}{=>==k b b k X P k λ，则参数=λ（ C ） (A) 0>λ的任意实数； (B) 1+=b λ； (C) 11+=
b λ；(D) 1
1-=b λ；
五、 连续型概率密度与分布函数的相关计算
5、连续型随机变量的分布函数为⎩⎨⎧≤>-=-000
,1)(x x e x F x λ，则概率密度函数为
⎩⎨
⎧≤>=-00
,)(x x e x f x λλ； 4、随机变量X 的分布函数是⎪⎩
⎪
⎨⎧≥<≤<=.1,1,10,,
0,0)(2x x x x x F ，则随机变量X 的概率密度
函数为⎩⎨⎧<<=.
,0,
10,2)(其他x x x f ；
4、随机变量X 的分布函数是⎪⎩
⎪
⎨⎧≥<≤<=.1,1,10,,0,0)(x x x x x F ，则随机变量X 的概率密度
函数为⎩⎨⎧<<=.
,0,
10),2/(1)(其他x x x f ；
5、设随机变量的概率密度为⎩⎨⎧<<=.
,0,
10,4)(3其他x x x f ，若}{}{a X P a X P <=>，则
=a 42/1；
7、随机变量K 在)5,0(内服从均匀分布，则关于x 的方程02442=+++K Kx x 有实根的概率为_____3/5（或0.6）__； 3、随机变量X 的概率密度为
求（1）常数； （2）X 的分布函数)(x F ； （3）)31(<<X P
解：（1）因为
122)1()(2
=+=+=⎰⎰
∞∞
-a dx ax dx x f ，所以2/1-=a . （3分）
（2）因为⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧>≤<-≤=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤<+-≤==
⎰⎰
∞
-.
2,1,20,4,0,0.2,120,)121(,
0,0)()(20x x x x x x x dt t x dt t f x F x x （4分）
（3）因为X 为连续型随机变量，4
1
)41
1(1)1()3(}31{=
--=-=<<F F X P 。

或 （4分）
2、随机变量X 的概率密度为
+∞<<-∞=-x Ae x f x
,)(，
求（1）常数A ； （2）}10{<<X P ； （3）X 的分布函数)(x F 。

解：（1）[]
A Ae dx e A dx Ae
dx x f x
x x
222)(10
=-====+∞
-∞+-∞+∞
--∞+∞
-⎰
⎰
⎰，
∴ 2
1
=
A ………………………………（2分） （2）.2
121}10{110---=
=<<⎰e dx e X P x
……………………（2分） 1,02,()0,
.ax x f x +≤≤⎧=⎨
⎩其它a 321
11
(13)()(1)24x P x f x dx dx <<==-=
⎰
⎰
（
3
）当0<x 时，x x
t x
e dt e dt t
f x F 2121)()(===
⎰
⎰∞-∞-，当0≥x 时，x x
t t x t t x e e e dt e dt e dt t f x F --∞--∞-∞
--=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+==⎰⎰⎰
21121212121)()(0
000，
的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥-<=-.
0,1,0,)(2121x e x e x F x
x ………………………………（3分）
2、设连续型随机变量X 的分布函数为 ,1.1,11,arcsin ,
1,0)(<<⎪⎩
⎪
⎨⎧≥-+-≤=x x x B A x x F 求
（1）A 和B ；（2）}2/1{<X P ；（3）概率密度函数)(x f ;（4）)(X E .
解：（1）⎩⎨
⎧+==+=---==-+=+-)01(1)1arcsin(
)01()01(0)1arcsin()01(F A F F A F ，π1
,21==B A . ……(2分)
(2) 5.0)2/1()2/1(}2/1{=--=<F F X P ………………………………(2分)
（3） ⎪⎩
⎪⎨⎧
≥<-=.1,0,1,11)(2
x x x x f π………(2分)（4）011)(112
=-=⎰-dx x x
X E π………(2分)
六、 一维随机变量的函数的分布求法
3、设随机变量X 的分布函数为()F x ，则31Y X =+的分布函数为（ A ）
（A ）11()33F y -；（B ） (31)F y +；（C ） 3()1F y +；（D 11
()33F y -；
3、设随机变量X 的概率密度为+∞<<-∞+=x x x f ,)
1(1
)(2
π，则X Y 2=的概率密度为（ B ） （A ）
)41(12y +π；（B ）；)4(22y +π（C ） )1(1
2
y +π；（D ） y arctan 1π
； 4、设圆的半径)1,0(~U R ，求圆的面积2
R S π=的分布密度。

解：因为)1,0(~U R ，⎩⎨
⎧<<=.
,0,
10,1)(其它r r f
当0≤s ，0}{)(=≤=s S P s F ；当π≤<s 0，
X
π
π
π
π
ππ
s
dr s
R P s
R s
P s R P s S P s F s
=
=≤
≤=≤
≤-
=≤=≤=⎰
2
1}0{}{}{}{)(；当π>s ，1}{)(=≤=s S P s F
所以⎪⎩
⎪⎨
⎧≤≤==.,0.
0,21
)(')(其它ππs s s F s f 1、设长方形的长)1,0(~U X ，已知长方形的周长为2，求长方形面积的数学期望和方差。

解：因)1,0(~U X ，故⎩⎨⎧<<=其他；,0,
10,1)(x x f ……………………（1分）
面积为)1(X X A -=，所以
6
1
)1()()1())1(()(1
=
-=-=-=⎰⎰
∞+∞
-dx x x dx x f x x X X E A E …………（2分） 30
1
)1()()1())1(()(1
222
2
2
2
2
=
-=-=-=⎰⎰∞+∞
-dx x x dx x f x x X X E A E ， 180
1361301)()()(22=-=
-=A E A E A D …………………………（3分） 2、若)1,0(~N X ，X
e Y =，求Y 的概率密度函数。

解：因为当0≤y 时，y e
Y X
≤=是不可能事件，所以0}{)(=≤=y Y P y F Y ；
又当0>y 时，)(ln }ln {}{}{)(y F y X P y e P y Y P y F X X Y =≤=≤=≤=（5分）
所以Y 的概率密度函数⎪
⎩⎪
⎨⎧≤>⋅==-.0,,
0,0,1
21)(')(2)(ln 2
y y y
e y F y
f y Y Y π（3分） 1、设)1,0(~N X ，求X Y =的概率密度。

解：设随机变量X 和Y 的分布函数分别为)(x F X 、)(y F Y ，先求Y 的分布函数
)(y F Y 。

由于0≥=X Y ，故当0≤y 时，0)(=y F Y ……………………（1分）
当0>y 时，有)()(}{}{}{)(y F y F y X y P y X P y Y P y F X X Y --=≤≤-=≤=≤=， 将)(y F Y 关于y 求导数，即得Y 的概率密度为
⎪⎩
⎪⎨⎧≤>=⎩⎨⎧≤>-+=-.0,0,
0,2.0,0,0)],()([2)(22
y y e y y y f y f y f y
X X Y π
……………（4分） 1、设)1,0(~N X ，求2X Y =的概率密度。

解：设随机变量X 和Y 的分布函数分别为)(x F X 、)(y F Y ，先求Y 的分布函数)(y F Y 。

由于02
≥=X
Y ，故当0≤y 时，0)(=y F Y ……………………（2分）
当0>y 时，有
)()(}{}{}{)(2y F y F y X y P y X P y Y P y F X X Y --=≤≤-=≤=≤=，
将)(y F Y 关于y 求导数，即得Y 的概率密度为
⎪⎩⎪⎨⎧≤>=⎪⎩⎪
⎨⎧≤>-+=-.0,
0,0,21.0,0,0)],()([21
)(2y y e y y y y f y f y y f y
X X Y π……………（4分）
1、设随机变量)1,0(~U X ，求X e Y 2=的分布密度函数)(y f Y 。

解：因)1,0(~U X ，故⎩⎨⎧<<=其他；
,0,
10,1)(x x f X ……………………（1分）
⎪⎪
⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<=⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≥<≤<=≤=≤=⎰.,1,
1,ln 21,1,0.,1,1,)(,1,0}ln 21{}{)(2
222
ln 2102e y e y y y e y e y dx x f y y X P y e P y F y X X
Y ……（3分）
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≥<≤<==.,1,1,21
,
1,0)(')(22e y e y y
y y F y f Y Y …………………（2分）
七、常见随机变量的分布与数字特征
2．设),(~p n b X ，4.2)(=X E ，44.1)(=X D ，则=n __6___，=p __0.4___。

2、设),(~1p n b X ，),(~2p n b Y 则~Y X +),(21p n n b +；
1．设离散型随机变量),1(~p b X ，}1{4}0{===X P X P ，则==}0{X P __0.8___。

3、若)(~λπX 且)2(3)1(===X P X P ，则=λ 2/3 ； 3、若)2(~πX ，则=)(2X E 6 ；
3、设)(~λπX ，且}2{}1{===X P X P ，则=λ___2________；
4、设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则==)}({2X E X P e 21
；
3、设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则==}{k X P e k !1
；
6、设X 和Y 相互独立，且分别服从参数为3和5的泊松分布，则Y X +服从参数为 8 的泊松分布；
2、设随机变量X 的概率分布律为 ,2,1,0,!
}{==
=k k A
k X P ，则参数=A （ D ） (A) 0 ； (B) 1； (C) e ； (D) 1-e ；
4、某地警察每晚查获机动车醉驾的人数X 服从参数为20=λ泊松分布，则今晚某地警察查获至少一人醉驾的概率为201--e ；
3、尽管一再强调考试不要作弊，但每次考试往往总有一些人作弊。

假设某校以往每学期期末考试中作弊同学人数X 服从参数为10的泊松分布，则本次期末考试中无同学作弊的概率为 10-e ；
5某地每天发生交通事故的次数X 服从参数为10=λ泊松分布，则明天至少发生一次交通事故的概率为101--e ；
5、设随机变量X 在]6,1[上服从均匀分布，则方程012=++Xx x 有实根的概率为 4/5或0.8 ；
3．设随机变量)1,0(~N X ，X 的分布函数为)(x Φ，则)2(>X P 的值为
（A ）)]2(1[2Φ-. （B ）1)2(2-Φ.
（C ）)2(2Φ-. （D ）)2(21Φ-. （ A ）
4、若)1,0(~N X ，则2|(|>X P )=（ A ）
（A ）)]2(1[2Φ-；（B ）1)2(2-Φ；（C ）)2(2Φ-；（D ）)2(21Φ-。

4、若X 服从标准正态分布)1,0(N ，则)1|(|>X P =（ B ） （A ）1)1(2-Φ；（B ）)]1(1[2Φ-；（C ）)1(2Φ-；（D ）)1(21Φ-；
6、若)2,1(~),4,2(~N Y N X 且X 与Y 相互独立，则~2Y X -)12,0(N ； 8、已知)4,2(~N X ，)2,1(~-N Y ，则~2Y X +)12,0(N ；
2、某人射击直到中靶为止,已知每次射击中靶的概率为0.75. 则射击次数的数
学期望与方差分别为 （ D ）
)
(A 4934与； )(B 16934与； )(C 4941与； (D) 9
434与．
2、已知某同学投篮球时的命中概率为)10(<<p p ，设X 表示他首次投中时累计已投篮的次数，则X 的概率分布律为p p k X P k 1)1(}{--==,.,2,1 =k ；
3、设某批电子元件的正品率为5/4，次品率为5/1，现对这批电子元件进行测试，只要测得一个正品就停止测试工作，则测试次数的分布律为
,2,1,5
4
51}{1
=⎪
⎭
⎫
⎝⎛==-k k X P k ； 6、一射手朝一目标独立重复地射击指导击中目标为止，设每次击中目标的概率为p ，X 为
首次击中目标时的射击次数，则X 的数学期望为 1/p ；
4、设连续型随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<≥=-.0,0,0,)(x x e x f x λλ，
则=≥})({X D X P （ D ）
(A) 0 ； (B) 1； (C) 1-e ； (D) e ；
4、已知某种型号电子器件的寿命X (以小时计)的概率密度函数为
⎪⎩⎪
⎨⎧≤>=.
100,0,100,100
)(2x x x x f
（1）求X 的分布函数).(x F （2）现有一大批此种器件(设各器件损坏与否相互独立)，任取10只，以Y 表示寿命大于150小时的器件的只数，求Y 的分布律。

解：（1）因为 当100≤x 时，00)(==⎰∞-x
dx x F ，当100>x 时，
x x dx x dx x F x
x
10011001000)(100
1002100-=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-=+=⎰⎰
∞
-， 所以⎪⎩⎪⎨⎧≤>-
=.100,
0,100,100
1)(x x x
x F …………（4分） （2）因为任意一只器件寿命X 大于150小时的概率为3
2
)150(1=
-=F p ， 又各器件损坏与否相互独立，所以Y 服从)3
2
,10(b ，概率分布律为
.10,,2,1,0,313210}{10 =⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-k k k X P k
k ………………（8分）
1、某地区人口寿命X 服从80=θ的寿命分布，求该地区人口的平均寿命和40岁以前死亡的概率。

解：因X 服从80=θ的寿命分布，故⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-00
080
1)(80
1x x e x f x ………（1分）
（1）人的平均寿命80801)(801
===-+∞+∞∞-⎰⎰dx e x dx x xf EX x
； …………(2分)
（2）该地区人40岁以前死亡的概率
21
40080
1
40
801
1|)80(801801}40{----=-==<⎰e e dx e X P x x ……………(3分)
八、 二维离散型随机变量的概率分布
5、从1,2,3中任取一个数，记为X ，再从X ,,1 任取一个数，记为Y ，则
==}2{Y P 5/18 ；
6．设离散型随机变量X 和Y 的联合概率分布为
若Y X ,独立，则βα,的值为
（A ）91,92==βα. （B ）92
,91==βα.
（C ） 61,61==βα （D ）18
1
,185==
βα. （ A ） 7．设随机变量与相互独立，其概率分布分别为
则有
（A ） （B ）
（C ） （D ） （ C ）
1、二维随机变量),(Y X 的联合分布律为
1
.01.02.012
.03.01.001
01-Y
X
(,)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)
1111
69183X Y P αβ
X Y 010.40.6X P 01
0.40.6Y P ()0.P X Y ==()0.5.P X Y ==()0.52.P X Y ==() 1.P X Y ==
（1）求Y X ,的边缘分布律；（2）求)0(=+Y X P 。

解：.（1）3.02.01.0)1(=+=-=X P ，4.01.03.0}0{=+==X P ，
3
.01.02.0}1{=+==X P ，
6
.02.03.01.0}0{=++==Y P ，
4.01.01.02.0}1{=++==Y P 。

（5分）
（2）5.0}1,1{}0,0{)0(==-=+====+Y X P Y X P Y X
P 。

（3分）
2、二维随机变量),(Y X 的联合分布律为
1
.03.02.012
.01.01.00
1
01-Y
X
（1）求Y X ,的边缘分布律；（2）求)1(=+Y X P ；（3）Y X ,是否相互独立。

解：（1）3.02.01.0)1(=+=-=X P ，4.01.03.0}0{=+==X P ，
3
.01.02.0}1{=+==X P ，
4
.02.01.01.0}0{=++==Y P ，
6.01.03.02.0}1{=++==Y P 。

…………………………………（4分）
（2）5.0}0,1{}1,0{)1(===+====+Y X P Y X P Y X P ………………（7分） （3）因为}0{}0{1.0}0,0{==≠===Y P X P Y X P ，Y X ,不相互独立。

1、二维随机变量),(Y X 的联合分布律为
1
.03.02.012
.01.01.00
1
01-Y
X
（1）求)(X E 和)(Y E ；（2）求)1(=+Y X P ；（3）Y X ,是否相互独立。

解：（1）3.02.01.0)1(=+=-=X
P ，4.01.03.0}0{=+==X P ，
3.01.02.0}1{=+==X P ，03.01
4.003.01)(=⨯+⨯+⨯-=X E 4.02.01.01.0}0{=++==Y P 6.01.03.02.0}1{=++==Y P ，
6.06.014.00)(=⨯+⨯=Y E 。

…………………………………（3分）
（2）5.0}0,1{}1,0{)1(===+====+Y X P Y X P Y X
P ………………（3分）
（3）因为}0{}0{1.0}0,0{==≠===Y P X P Y X P ，Y X ,不相互独立。

（1分）
1、盒子里有3只红球，2只白球，在其中不放回任取2次，每次任取1只。

定义随机变量⎩⎨⎧=，第一次取得白球；，第一次取得红球，10X ，⎩⎨⎧=，第二次取得白球；，第二次取得红球，10Y ，求（1）
二维随机变量),(Y X 的联合分布律；（2）求}{Y X P =；（3）Y X ,是否相互独立。

解：（1）1034253}0,0{=⋅===Y X P ，
103
4352}0,1{=⋅===Y X P 1034253}1,0{=⋅===Y X P ，10
1
4152}1,1{=⋅===Y X P ………（3分）
（2）4.0}1,1{}0,0{)(===+====Y X P Y X P Y X
P ………………（3分）
（3）因为}0{}0{3.0}0,0{==≠===Y P X P Y X P ，Y X ,不相互独立。

（1分） 九、二维连续型随机变量的分布
4、设随机变量X 与Y 相互独立且均服从区间），（10上的均匀分布，
=<-)2/1(Y X P ；
4、设),(Y X 的联合密度为 )
1)(1(),(22y x k
y x f ++=
（1）求常数k ；（2）求),(Y X 落入以)1,1(),0,1(),1,0(),0,0(为顶点的正方形内的概率; (3) Y X ,是否独立？
解：（1） 因为11111),(2
22==++=⎰⎰⎰
⎰
∞∞-∞∞
-∞∞
-∞
∞-πk dy y dx x k dxdy y x f ，所以21π=k 。

（2分） （2）
161
11111
),(102
10
10
1
022=++=⎰⎰⎰
⎰dy y dx x dxdy y x f π。

（2分）
(3) )1(1
1)
1)(1(11
)(2
222x dy y x x f X +=++=
⎰∞
∞-ππ， )1(1
1)
1)(1(11
)(2222y dx y x y f Y +=++=
⎰∞
∞-ππ，
所以 )()(),(x f x f y x f Y X =，Y X ,相互独立. （3分）
2、设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤=.
,0.
10,12),(2其他x y y y x f
试求（1）边缘密度函数)(x f X ，)(y f Y ；（2）)(XY E 。

解：(1) ⎩⎨⎧<<=⎪⎩⎪
⎨⎧<<==
⎰⎰
∞
+∞
-.,0,
10,4.
,0,10,12),()(302其他其他x x x dy y dy y x f x f x X
⎩⎨⎧<<-=⎪⎩⎪
⎨⎧<<==⎰⎰
∞
+∞
-.,0,
10),1(12.
,0,10,12),()(212其他其他y y y y dx y dx y x f y f y Y …（4分）
（2）⎰⎰
∞+∞
-∞+∞
-=
dxdy y x xyf XY E ),()(
⎰⎰⎰==⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⋅=1
0510025.0312dx x dx dy y xy x …………（2分）
3、设X 和Y 是相互独立的随机变量，X 在)1,0(上服从均匀分布，Y 的概率密度函数为
⎪⎩
⎪⎨⎧≤>=-.0,0,
0,21)(2
y y e y f y
Y
求（1）X 和Y 的联合概率密度函数；
（2）设含有a 的二次方程022=++Y Xa a ，求a 有实根的概率(已知8413.0)1(=Φ，5000.0)0(,9772.0)2(=Φ=Φ，5066.22=π根据需要选用)。

解： X 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<=.,0,
10,1)(其它x x f X （1）因为X 和Y 是两个相互
独立的随机变量，所以X 和Y 的联合概率密度函数为
⎪⎩
⎪⎨⎧><<==-.,0,
0,10,21)()(),(2
其它y x e y f x f y x f y
Y X ………………………（3分）
（2）二次方程022=++Y Xa a 有实根的充要条件为0442≥-Y X ，即02≥-Y X ，所求概率为
1445
.0)5000.08413.0(5022.21))0()1((2121121
}0{10
2
211
02
1
00
2
21
0222
2
2
=--=Φ-Φ-=-=-=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡-==≥-⎰
⎰⎰⎰
⎰-
---πππ
dx e
dx e dx e
dy e dx Y X P x x x y x y。

…………（8分）
4、向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标和纵坐标相
互独立，且均服从)2,0(2N 分布. 求（1）命中环形区域
}21),({22≤+≤=y x y x D 的概率；（2）命中点到目标中心距离2
2Y X Z +=的数学期望.
解： （1）⎰⎰=
∈D
dxdy y x f D Y X P ),(}),{(
⎰
⎰
⎰⎰
-
+-
=
=πθπ
π
20
21
8
8
22
28181
dr r e
d dxdy
e r D
y x
41812
1
8
2
2
1
8
2
2)8(-
----=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣
⎡-=--
=⎰
e e e r
d e
r r ；………（4） （2）
(3)
.
2、已知二维随机变量（X ,Y ）的概率密度为
⎩⎨⎧>>=+-.0,
0,0),()(其他，
，y x e y x f y x
求（1）)(Y X P <；（2）)(XY E 。

解：（1） 2
1
}{0
20
)
=
===<⎰
⎰
⎰
⎰⎰∞+-∞+∞+--+-dx e dy e dx e dxdy e
Y X P x x
y
x
D
y x （… …………（3分）
X
Y 228
18x y EZ E e
dxdy
π+-
+∞+∞-∞
-∞
==⎰⎰
22
228
8
01
1
84
r r re
rdrd e r dr
πθπ
-
-+∞+∞
=
=⎰⎰
⎰222
8
8
8
2
r r r re
e
dr dr +∞
-
-
-+∞+∞-∞
=-+=
=⎰
⎰
1
),()(0
)
(====⎰
⎰⎰⎰
⎰⎰∞+-∞+-∞+∞++-∞+∞
-∞+∞
-dy ye dx xe dxdy xye
dxdy y x xyf XY E y x
y x
…………（3分）
十、二维随机变量的函数的分布
5、设随机变量X 与Y 相互独立且均服从区间）
，（30上的均匀分布，则)1},(max{≤Y X P 为____1/9____ ___；
6、设随机变量X 和Y 相互独立，且均服从区间[]1,0的均匀分布，则
}2
1
},{min{≤Y X P = 3/4 ；
6、设X 和Y 相互独立，且均服从0-1分布，则}2
1
},{min{≤Y X P = 1/4 ；
5、假设甲乙两同学进教室的时间X 与Y 相互独立且均服从区间），（100上的均匀
分布，则=<-)5(Y X P 3/4 ；
2、设系统L 由两个相互独立的子系统1L 和2L 连接而成，其寿命分别为X 和Y ，已知它们
的概率密度分别为⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,)(x x e x f x X 和⎩⎨⎧≤>=-.
0,0,
0,2)(2y y e y f y Y 求（1）子系统1L 和2L 串
联时；（2）子系统1L 和2L 并联时系统L 的寿命Z 的概率密度。

解：X 和Y 的分布函数分别为⎩⎨⎧≤>-=-.0,0,0,1)(x x e x F x X 和⎩⎨⎧
≤>-=-.
0,0,0,1)(2y y e y F y
Y ……（3分）
（1）串联时},min{Y X Z =，其分布函数为⎩⎨⎧≤>-=-.
0,0,0,1)(3min z z e z F z ,
所以概率密度为⎩⎨⎧≤>=-.0,0,
0,3)(3min z z e z f z ………………………………………………（2分）
（2）并联时},max{Y X Z =，其分布函数为⎩⎨⎧≤>--=--.0,0,
0),1)(1()(2max z z e e z F z z ,
所以概率密度为⎩⎨⎧≤>-+=---.
0,0,
0,32)(32max z z e e e z f z z z …………………………………（2分）
2、若Y X ,相互独立，X 服从]1,0[上的均匀分布，Y 的概率密度为
⎩
⎨⎧≤≤=.,0,
10,2)(其他y y y f Y 求Y X Z +=的概率密度。

解：由卷积公式，要使被积函数0)()(≠-x z f x f Y X ， 必须10≤≤x ，10≤-≤x z ，………………（1分） 所以
对0<z 或2>z ，有0)(=z f Z ；………………（2分）
对10≤≤z ，有20)(2)(z dx x z z f z
Z =-=⎰，………………（2分）
对21≤<z ，有211
2)(2)(z z dx x z z f z Z -=-=⎰
-，………………（2分）
十一、随机变量的数字特征
7、随机变量X 和Y 的方差分别为9)(=X D 和4)(=Y D ，相关系数5.0=XY ρ，则)(Y X D -=__7__；
3．设随机变量),,,,(~),(2
22
121ρσσμμN Y X ，则X 和Y 相互独立的充分必要条件是0=ρ。

4．设4)(=X D ，1)(=Y D ，6.0=XY ρ，则=-)2(Y X D
（A ）2.2 . （B ）3.2 . （C ）4.6. （D ） 4.2. （ B ）
3、设随机变量X 和Y 不相关，则下列结论中正确的是（ B ）
（A ）X 与Y 独立. （B ）)()()(Y D X D Y X D +=-. （C ）)()()(Y D X D Y X D -=-. （D ）)()()(Y D X D XY D =. 3、设随机变量X 和Y 相互独立，则下列结论中不正确的是（ A ）
（A ）)(4)()2(X D Y D Y X D -=-； （B ）)(2)()2(Y E X E Y X E -=-； （C ）0),cov(=Y X ； （D ）X 与Y 不相关；
4、设连续型随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<≤≤=.
0,0,
10,3)(2x x x x f ，则=)(X E （ C ）
(A) 0 ； (B) 1； (C)
4
3
； (D) 3； 5、设随机变量与相互独立，其方差分别为6和3，则=-)2(Y X D （ D ） （A ）9； （B ）15； （C ）21； （D ）27； 3、随机变量X 的分布函数是⎪⎩
⎪
⎨⎧≥<≤<=.1,110,,0,0)(2x x x x x F ，则X 的数学期望为 2/3 ；
2、已知二维连续型随机变量),(Y X 的联合概率密度函数为
⎩⎨
⎧<<<<=其它
y 01x 0,
),(x Ax y x f
（1）求A ；（2）求)(Y X
E -。

X Y
解：（1）因为
13
),(1
20
10
==
==⎰⎰⎰⎰⎰
∞∞
-∞∞
-A
dx Ax dy Ax dx dxdy y x f x ,所以3=A 。

（4分）(2)⎰⎰
∞∞
-∞∞
-=-=
-dxdy y x f y x Y X E ),()()(8
3233)(1
030
10
==-⎰
⎰⎰dx x dy x y x dx x。

（4分） 1、二维随机变量),(Y X 的具有联合概率密度函数
⎩⎨⎧<<<=.
,01
0,,1),(其它x x y y x f
求),(),(),(Y X Cov Y E X E .
解：3
2
2)(1
21
=
==⎰⎰⎰-dx x xdy dx X E x
x
……………（2分） 0)(10
==⎰⎰-x
x
ydy dx Y E ……………（4分）
0)(10
==⎰⎰-x
x
xydy dx XY E ……………（6分）
0)()()(),(=-=Y E X E XY E Y X Cov ……………（8分）
2、设随机变量321,,X X X 相互独立且都服从)1,0(上的均匀分布，求
},,m ax {321X X X U =和},,min{321X X X V =的数学期望。

解：因为321,,X X X 的密度均为⎩⎨⎧<<=其它，
,0.101)(x x f ,⎪
⎩⎪⎨⎧≥<<≤=.
1,1.10,,00)(x x x x x F ， 所以（1）
⎪⎩
⎪
⎨⎧≥<<≤==≤≤≤=≤=.1,1,10,,
0,0))((},,{}{)(33321u u u u u F u X u X u X P u U P u F U ……（2分）
⎩⎨
⎧<<==.
,0,
10,3)(')(2其它u u u F u f U U ，随机变量U 的数学期望⎰∞∞
-=du u uf U E U )()( .4
3
31
02=⋅=⎰du u u …………………………………………………………（4分）
(2) ⎪⎩
⎪
⎨⎧≥<<--≤=--=≤=.1,1,10,)1(1,0,0))(1(1}{)(33u u u u u F v V P v F V ………（6分）
⎩⎨⎧<<-==.
,0,
10,)1(3)(')(2其它u u v F v f V V
所以随机变量V 的数学期望4
1
)1(3)()(1
2=
-⋅==⎰⎰∞∞
-dv v v du v vf V E V ……（8分） 2、已知二维随机变量（X ,Y ）的概率密度为
⎩⎨
⎧≤≤≤=.0,
1012),(2其他，
，x y y y x f 试求：数学期望)(X E 和)(Y E 。

解：⎰
⎰
∞+∞
-∞+∞
-=dxdy y x xf X E ),()(
⎰⎰⎰==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅=10410025
4
412dx x dx dy y x x …………（3分）
⎰
⎰
∞+∞
-∞+∞
-=dxdy y x yf Y E ),()(
⎰⎰⎰==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅=10410025
3
312dx x dx dy y y x …………（2分）
十二、 大数定律与中心极限定理
4．设随机变量X 的期望与方差分别为0)(=X E ，1)(=X D ，则用切比雪夫不等式估计下面概率值≥<}3{X P ____8/9____。

7、若随机变量X ，2X D ,1)(==）（X E ，则利用切比雪夫不等式估计概率 ≥<）（3|1-X |P 7/9 ；
7、若随机变量X ，1)(,2)(==X D X E ，则利用切比雪夫不等式估计概率
()≥
<-32X P 9
8
；
1、设行宫市场上某菜贩每天能卖出的黄瓜量为随机变量X (kg)，已知X 在区间]100,50[上服从均匀分布，黄瓜的进价为3元/kg ，当天卖出价为5元/kg ，若当天没有卖出，则第二天
必须卖出，且卖出价为2元/kg 。

（1）设]100,50[∈y 为菜贩进的黄瓜数量，求菜贩的收益期望值； （2）菜贩每日进黄瓜数量y 为多少时，能赚到的钱最多，能赚到多少钱. 解：设某菜贩每天能卖出的黄瓜量为随机变量X (kg)，则X 的密度函数为
⎪⎩⎪⎨⎧<<=.,0,
10050,50
1
)(其它
x x f 菜贩的收益为随机变量Y (元)，则
⎩⎨
⎧≥<-=⎩⎨
⎧≥-<--+-=.,
2,
,3.,)35(,),)(32()35(y X y y X y X y X y y X X y X Y
（1）
⎰⎰+-=10050
50
1
2501)
3()(y y
dx
y dx y x Y E )37502502
3
(5012-+-=
y y ，]100,50[∈y
（2）3.833250≈=
y ，代入得期望收益为33.1333
400
≈
即每日进黄瓜数量y 为83.3kg 时，期望收益最大，为133.33元。

1、有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3米。

现从木柱中随机地取出100根，问其中至少有30根小于3米的概率。

（已知9987.0)3(,9938.0)5.2(,9772.0)2(=Φ=Φ=Φ，根据需要选用。

） 解：因为木柱中80%的长度不小于3米，所以其小于3米的概率为0.2，设X 为100根木柱中长度小于3米的根数，则)2.0,100(~b X ，其分布律为
k
k k k X P -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==1008
.02.0100}{，.100,,1,0 =k 20)(=X E ，16)(=X D ，（6分） 用棣莫佛-拉普拉斯定理，
0062
.09938.01)5.2(1}
16
20
301620
{
1}30{1}30{=-=Φ-≈-<
--=<-=≥X P X P X P （5分） 1（本小题7分）：有一批梧桐树苗，其中90%的高度不低于3米。

现从树苗中随机地取出300株，问其中至少有30株低于3米的概率。

（已知9987.0)3(,9772.0)5.2(,5000.0)0(=Φ=Φ=Φ，根据需要选用。

）
解：因为树苗中90%的高度不低于3米，所以其低于3米的概率为0.1，设X 为300株树苗中高度低于3米的株数，则)1.0,300(~b X ，其分布律为
k
k k k X P -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==3009
.01.0300}{，.300,,1,0 =k 30)(=X E ，27)(=X D ，…（3分） 用棣莫佛-拉普拉斯定理，
5000
.05000.01)0(1}
27
30
302730
{
1}30{1}30{=-=Φ-≈-<
--=<-=≥X P X P X P ……………… （7分） 1（本小题7分）：某校大一新生中90%的年龄不小于18岁。

现从这些新生中随机地抽查300名，问其中至少有30名小于18岁的概率。

（已知
9987.0)3(,9772.0)5.2(,5000.0)0(=Φ=Φ=Φ，根据需要选用。

）
解：因为新生中90%的年龄不小于18岁，所以任取一名学生其小于18岁的概率为0.1，设X 为300名新生中小于18岁的人数，则)1.0,300(~b X ，分布律为
k
k k k X P -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==3009
.01.0300}{，.300,,1,0 =k 30)(=X E ，27)(=X D ，…（3分） 用棣莫佛-拉普拉斯定理，
5000
.05000.01)0(1}
27
30
302730
{
1}30{1}30{=-=Φ-≈-<
--=<-=≥X P X P X P ……………… （4分） 1、某蛋糕店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而售出的一只蛋糕的价格是一个随机变量，它取1元、1.5元、2.0元各个值的概率分别为0.3、0.1、0.6。

若售出300只蛋糕，求售出价格为1.5元的蛋糕多于30只的概率。

解：售出的300只中，价格为1.5元的个数X 服从二项分布)1.0,300(b ，
301.0300)(=⨯=X E ，279.01.0300)(=⨯⨯=X D ，……………（2分）
用棣莫佛-拉普拉斯定理，
5000
.05000.01)0(1}
27
30
302730
{
1}30{1}30{=-=Φ-≈-<
--=<-=≥X P X P X P …………… （4分） 六、（本小题9分）：某超市有三种矿泉水出售，由于售出哪一种矿泉水是随机的，因而售出的一瓶矿泉水的价格是一个随机变量，它取1元、1.5元、2.0元各个值的概率分别为0.3、0.1、0.6。

若售出300瓶矿泉水，求售出价格为1.5元的矿泉水多于30瓶的概率。

解：售出的300瓶中，价格为1.5元的个数X 服从二项分布)1.0,300(b ，
301.0300)(=⨯=X E ，279.01.0300)(=⨯⨯=X D ，…（4分） 用棣莫佛-拉普拉斯定理，
5000
.05000.01)0(1}
27
30
302730
{
1}30{1}30{=-=Φ-≈-<
--=<-=≥X P X P X P ………… （5分） 六、（本小题9分）：某超市有三种牛奶出售，由于售出哪一种牛奶是随机的，因而售出的一袋牛奶的价格是一个随机变量，它取1元、1.5元、2.0元各个值的概率分别为0.3、0.1、0.6。

若售出300袋牛奶，求售出价格为1.5元的牛奶多于30袋的概率。

解：售出的300袋牛奶中，价格为1.5元的袋数X 服从二项分布)1.0,300(b ，
301.0300)(=⨯=X E ，279.01.0300)(=⨯⨯=X D ，…（4分） 用棣莫佛-拉普拉斯定理，
5000
.05000.01)0(1}
27
30
302730
{
1}30{1}30{=-=Φ-≈-<
--=<-=≥X P X P X P ………… （5分） 六、（本小题9分）：对敌人的防御阵地进行100次轰炸，每次轰炸命中目标的炸弹数目是一个随机变量，其期望值是2，方差是1.69. 求在100次轰炸中有180颗到220颗炸弹命中目标的概率。

注：9382.0)54.1(=Φ.
解：第i 次命中目标的炸弹数为i X ，100次轰炸命中目标的炸弹数为∑==100
1i i X X ，
则X 近似服从正态分布，2002100)(=⨯=X E ，16969.1100)(=⨯=X D ，…（4分）
用棣莫佛-拉普拉斯定理，
8764
.01)54.1(2}1320
13200{}20200{}220180{=-Φ≈≤-=<-=≤≤X P X P X P ………… （5分）
十三、 统计量的分布及数字特征
6、若)1,0(~),1,0(~N Y N X 且X 与Y 相互独立，则
~2
/)(2
2
Y X X
+)2(t ；
6、若)(~),1,0(~2
n Y N X χ且X 与Y 相互独立，则
~/n
Y X t (n ) ； 6．设随机变量)2(~t X ，则~1
2X
)1,2(F 。

8、若总体),(~2
σμN X ，则样本均值~11
∑==n
i i X n X ),(2n N σμ；。

8、若总体),(~2σμN X ，则样本方差的期望=)(2S E 2σ；
7、设样本4321,,,X X X X 为来自总体)1,0(N 的样本，243221)(X X X C X Y +++=，若
Y 服从自由度为2的2χ分布，则=C 1/3 。

7、设样本4321,,,X X X X 为来自总体)1,0(N 的样本，()3
/24
2322
1
X
X X
X Y ++=
，则Y 服
从)3(t 。

6、设样本321,,X X X 为独立同分布的标准正态随机变量，令()2
/23
2
21X
X
X Y +=
，
则Y 服从 ；
8．设总体)4,2(~2
N X ，n X X X ,,,21 为来自X 的样本，则下列结论中正确的是
（A ）
)1,0(~42N X -. （B ）)1,0(~16
2
N X -. （C ）
)1,0(~22
N X -. （D ）
)1,0(~/42N n
X -. （ D ） 6、若)2(,,,21≥n X X X n 为来自总体)1,0(N 的简单随机样本，X 为样本均值，2S 为样本方差，则（C ）
（A ）)1,0(~N X n ；（B ）)(~22n nS χ；（C ）
)1(~/-n t n
S X ；（D ）)1,0(~N X ；
6、若)2(,,,21≥n X X X n 为来自总体)2,1(2N 的简单随机样本，X 为样本均值，则下列统计量服从标准正态分布的是（C ） （A ）
21-X ； （B ）41
-X ； （C ）n X /21-； （D ）2
1-X ； 十四、估计量的评选标准
7．判断未知参数估计量的三个标准为无偏性、有效性、相合性。

5、下列不是评价估计量三个常用标准的是（ D ）
)(A 无偏性； )(B 有效性； )(C 相合性； )(D 正态性。

9. 设总体X 的数学期望为μ，n X X X ,,,21 为来自X 的样本，则下列结论中正确的是 （A ）1X 是μ的无偏估计量. （B ）1X 是μ的极大似然估计量. （C ）1X 是μ的相合（一致）估计量. （D ）1X 不是μ的估计量. （ A ）
5、设21θθ，是参数θ的无偏估计、)()(21θθD D =且相互独立，以下估计量中最有效的为 （ D ）
)(A 21θθ-； )(B 21θθ+； )
(C 213231θθ+； )(D 212
1
21θθ+. 7、总体21,X X 是取自总体))(1,(未知μμN 的一个样本，下列四个估计量均为μ的无偏估计，则其中最有效的是 ( D )
)(A 1X ； )
(B 213132X X +；)(C 214143X X +； )(D 212
1
21X X +. 十五、参数估计
7、总体X 的分布律 ()1/,0,1,2,,1P X k N k N ===-.已知取自总体的一个样
本为(6,1,3,5,3,4,0,6,5,2)，则参数N 的矩估计值是 ( A )
)(A 8； )(B 7； )(C 6； )(D 5.
2、设总体的概率密度为
试用来自总体的样本，求未知参数的矩估计和极大似然估计.
解：先求矩估计
故的矩估计为
再求极大似然估计
所以的极大似然估计为
.
2、设随机变量X 的分布密度函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其他，
，，001
)(θθθx x f ，
0>θ未知。

12,,,n X X X 为取自总体X 的一个样本，
（1）求θ的矩估计量1ˆθ和极大似然估计量2ˆθ；
101,
,(;).0,x x f x θθθ-<<⎧=⎨
⎩其它(0)θ>12,,,n
x x x θ1
10
1EX x dx θθμθθ===
+⎰111μθμ∴
=
-θ1X
X θ=
-11
11
1
(,
,;)()n
n n i n i L x x x x x θθθθθ--===∏1
ln ln (1)ln n i
i L n x θθ==+-∑1
ln ln 0
n
i
i d L n
x d θθ==+
∑θ1
11ln n
i i x n θ==-
∑
（2）问：1ˆθ与2ˆθ是否是θ的无偏估计? 为什么？（要求写出证明过程）
解：（1） θ的矩估计量为 1
ˆ2X θ=， (4分) θ的最大估计量为 21ˆmax{}i
i n
X θ≤≤= (4分) （2）由于11122ˆ()(2)()2
n n i i i E E X E X n n θθθ======∑∑，故1ˆθ是θ的无偏估计。

(1分)
由于 1
21,[0,]ˆmax{}()0,[0,]n n
i
M i n
nz z X f z z θθθθ-≤≤⎧∈⎪
==⎨⎪∉⎩
， 有 1
2
ˆ()()1
n M n
znz n
E zf z dz dz n θ
θθθθ+∞
--∞
===
≠+⎰⎰
所以2ˆθ不是θ的无偏估计。

(2分) 2、（本小题8分）：设随机变量X 具有分布律
其中θ（10<<θ）为未知参数。

已知取得了样本值2,1,1321===x x x ，求θ的矩估计量和极大似然估计量。

解：θθθθθ23)1(3)1(221)(22-=-+-⨯+⨯=X E ，样本均值3
4
3211=++=
x ， 令3423=
-θ，得θ的矩估计值为6
5ˆ=θ
………………………（4分） 似然函数为)1(2)1(2)(522θθθθθθθ-=-⋅⋅=L ，
对数似然函数为)1ln(ln 52ln )(ln θθθ-++=L ，似然方程为
0115)(ln =--=θθθθd L d ，得θ的最大似然估计值为6
5ˆ=θ。

……（8分）
2、（本小题10分）：设随机变量X 具有分布函数。