《数学建模与数学实验》期末考查试卷

《数学建模与数学实验》考查方案

考查时间

第19周

考核方式 试卷口 过程评价口 作业或调查口 作品□ 项目任务口 一、必做题：（60分） 1简答题：（20分）

（1）通过《数学建模与数学实验》课程的学习，请谈谈对数学建模和数学实验的认识，学

习《数学建模与数学实验》课程的收获。 （不少于500字）（15分） （2）简要说明数学建模的一般过程或步骤。 （5分）

2、（ 40分）一阶常微分方程模型一一人口模型与预测

下表列出了中国

1982-1998年的人口统计数据，取

1982年为起始年（t=0 ）,

N 0 =101654 万人。

（1）建立中国人口的指数增长模型， 用数据拟合求相应的参数， 并用该模型进行预测,

与实际人口数据进行比较。

（2） 建立中国人口的Logistic 模型，用数据拟合求相应的参数，并用该模型进行预测， 与实际人口数据进行比较。

（3） 利用MATLAB 图形，标出中国人口的实际统计数据，并画出两种模型的预测曲 线。 （4） 利用MATLAB 图形，画出两种预测模型的误差比较图，并分别标出其误差。

（5） 用两个模型估计 2015年中国人口。

二、选作题：（40分）（在如下问题中任选一题做建模解答） 第1题送货模型

某地区有8个公司（如图一编号①至⑧），某天某货运公司要派车将各公司所需的三种原 材料A,B,C 从某港口（编号⑨）分别运往各个公司。 路线是唯一的双向道路（如图1 ）。货运公 司现有一种载重6吨的运输车，派车有固定成本

20元/辆，从港口出车有固定成本为

10元

/车次（车辆每出动一次为一车次）。每辆车平均需要用15分钟的时间装车，到每个公司卸车 时间平均为10分钟，运输车平均速度为 60公里/小时（不考虑塞车现象），每日工作不超过 8小时。运输车载重运费 1.8元/吨公里，运输车空载费用

0.4元/公里。一个单位的原材料

A,B,C 分别毛重4吨、3吨、1吨，原材料不能拆分，为了安全，大小件同车时必须小件在 上，大件在下。卸货时必须先卸小件，而且不允许卸下来的材料再装上车， 另外必须要满足

各公司当天的需求量（见表1 ）。 要求：

1、货运公司派出运输车 6辆，每辆车从港口出发（不定方向）后运输途中不允许掉头， 应如何

教学部门 及专业 教学班级

数学学院11级数学与应用数学

专业

2011级数学与应用数学 1、2班 课程名称 数学建模与数学实验

调度（每辆车的运载方案，运输成本）使得运费最小。

2 、每辆车在运输途中可随时掉头，若要使得成本最小，货运公司怎么安排车辆数？应如何调度？

3 、（1）如果有载重量为4吨、6吨、8吨三种运输车，载重运费都是1.8元/吨公里，空

载费用分别为0.2，0.4，0.7元/公里，其他费用一样，又如何安排车辆数和调度方案？（2）当各个公司间都有或者部分有道路直接相通时，分析运输调度的难度所在，给出你的解决问

题的想法（可结合实际情况深入分析）。

图1 唯一的运输路线图和里程数

表各公司所需要的货物量

第2题高阶常微分方程模型一一饿狼追兔问题

现有一只兔子、一匹狼，兔子位于狼的正西100米处，假设兔子与狼同时发现对方并起起跑，兔子往正北60米处的巢穴跑，而狼在追兔子。已知兔子、狼是匀速跑且狼的速度是兔子的两倍。

要求：

（1）建立狼的运动轨迹微分模型。

（2）画出兔子与狼的运动轨迹图形。

（3）用解析方法求解，问兔子能否安全回到巢穴？

（4）用数值方法求解，问兔子能否安全回到巢穴？第3题多元回归模型

设某公司生产的商品在市场一的销售价格为％（元/件）、用于商品的广告费用为X2（万元）示。

要求:

（1）选择恰当的模型，建立销售量y关于销售价格x,和广告费用x2的关系模型。并利用MATLAB画出曲线图形。

（2）设第13个月将该商品的销售价格定为80元/件，广告费用为7万元，预计该商品的销售

量将是多少？并对其作统计上的误差分析。

第4题课程安排优化问题

某年级学生共分四个班，现需要为其安排下学期课程表（课程开设及任课教师情况见表

1），具体要求如下：

1、每星期一至星期五上午可以安排四节课，下午可以安排两节课，课程安排均为两节连上；

2、可用排课教室数为3个（D2、D3）;

3、同一课程两次课之间至少相隔一天；

4、每位教师每天上课不超过四节；

5、周四下午全校政治学习，不安排上课。

表

（1）

（2）如果教师上课节数不做限制，请修改你的模型并重新求解；

（3）如果可用排课教室多于4个，请修改你的模型并重新求解。

第5题房地产销售问题

我市某房地产公司通过对历史资料进行回归分析（即数据拟合），并结合2008年上半年

可能出现的影响楼盘销售的因素，预测该公司2008年上半年的销售情况如下表所示：

该公司的楼盘2007年12月的销售均价为4800元/平方米，平均每套120平方米，2008 年上半年的售

价保持不变。2007年12月末尚有49套现房未售出。商品房从规划到售出会发生下列费用：（1）建造成本，包括固定成本（主要是指购地、机器设备的折旧）和可变成

本（钢材、水泥、装饰材料和人工成本等，其中人工成本在可变成本中占到大约40%），按

照2007年12月份的建材价格计算，可变成本（万元）与商品房建造套数（以平均每套120平方米计算）的平方成正比，比例系数为0.5。且可变成本与建材价格上涨幅度有关，例如

建材价格上涨10%，则可变成本是按前面方法计算结果的 1.1倍。（2）销售费用，与当月销售金额成正比。（3）折旧，建造好的商品房未售出的必须计提折旧，折旧分40年平均摊销，即该公司生产的商品房平均每套每月的折旧为48万元/（40*12）=0.1万元。

近年以来，央行和国家发改委等部门出台了一系列措施平抑建材价格，但由于对建材需求结构而言，总体上求大于供的市场状况没有得到根本改善，预计今年建材的价格仍会有一

定的增长。预计的增长速度（以2007年12月的价格为基准）见下表：