含两个绝对值的不等式

含绝对值不等式的解法 (3)

学习目标：1. 掌握绝对值不等式的几种解法;并解决绝对值不等式的求解问题

2. 理解含绝对值不等式的三种解法思想：去掉绝对值符号，等

价转化，数形结合。

一课前准备，复习：

根据公式：|x|0)⇔；

|f(x)|

|x|>a(a>0)⇔；

|f(x)|>g(x)⇔．

(1)|ax＋b|≤c(c>0)⇔_____________________________________

(2)|ax＋b|≥c(c>0)⇔_____________________________________

变式一：d＜|ax+b|＜c( 0＜d＜c)⇔

二．新课导学：含两个绝对值的不等式解法

1．|x－a|<|x－b|和|x－a|>|x－b|型不等式的解法

对于这种类型不等式的解决办法是去掉绝对值．

①|x－a|<|x－b|⇔；

②|x－a|>|x－b|⇔ .

再将这个式子整理，便可化为一般的不等式求解．

试试：解不等式(1)|2||1|

-<+；

x x

2．|x－a|＋|x－b|≤c和|x－a|＋|x－b|≥c型不等式的解法

例解不等式：|x＋3|＋|x－ 3|>8

解法一：零点分段法：

具体做法：（1）

（2）

（3）；

解i)当x≤－3时，原不等式可化为，即x<－4，此时，不等式的解为x<

－4.

ii ）当 时，原不等式可化为x+3+3-x>8，6>8矛盾，此时不等式无解。

iii ）当x ≥3时，原不等式可化为 ，即x>4.此时不等式的解为x>4.

综上所述，原不等式的解集为(－∞，－4)∪(4，＋∞)．

解法二：利用绝对值的几何意义，借助 求解。

解 如下图，设数轴上与－3,3对应的点分别为A ，B ，那么A ，B 两点之间的距离为 ，因此区间[－3,3]上的数 不等式的解．设在A 点左侧存在一点A1，使得A1到A ，B 的距离之和为8，即|A1A|＋|A1B|＝8，设点A1对应的数为x ，则有 ，∴x ＝ .

同理，设点B 的右侧存在一点B1，使|B1B|＋|B1A|＝8，设点B1对应的数为x ，则有 ，∴x ＝ .

从数轴上可以看到，A1与B1之间的点到A 、B 的距离之和都 ，而点A1的左侧或点B1的右侧的任何点到A ，B 的距离之和都 8.

所以不等式的解集为(－∞，－4)∪(4，＋∞)．

解法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．正确求出函数的________并画出函数图象(有时需要考查函数的增减性)是关键.

解 原不等式可转化为 >0，

构造函数y ＝ ，即y ＝⎩⎨⎧ －2x －8

x ≤－3－2 3

x ≥3.

作出函数的图象(如图)．

函数的零点是－4,4.由图象可知，当 时，y>0，即

|x ＋3|＋|x －3|－8>0.

所以原不等式的解集为(－∞，－4)∪(4，＋∞)．

总结：解含绝对值不等式的核心任务是：去绝对值，将不等式恒等变形为不含绝对值的常规不等式，然后利用已经掌握的解题方法求解；注意不可盲目平方去绝对值符号.

规律技巧 本例三种解法中，第一种方法最重要，可作为含两个及两个以上绝对值符号的不等式解法的通法．但在分段讨论时要做到“不重不漏”；第二种解法中关键是找到特殊点，如A1，B1；第三种方法的关键是构造函数，利用图象作答．

试试： 解不等式(1)|x ＋2|>|x －1|； (2)512≥-+-x x

3 变式：设函数()14f x x x =+-- ()1解不等式()2f x >；()2求函数()y f x =的最值．

4 拓展延伸： 解不等式|x-1|+|2-x|＞3+x

当堂检测 解不等式(1)52312≥-++x x ; (2)512≥-+-x x .

7、 42≥-+x x

9、 21<++x x 10、 .24>--x x

(2) 不等式 31++-x x >a ，对一切实数x 都成立，则实数a 的取值范围是

导图小结