《概率的加法公式》习题
高中数学人教B版必修3 3.1 同步练习 《概率的加法公式》(人教)
《概率的加法公式》同步练习1.若A ，B 是互斥事件，则( ) A.P (A ∪B )＜1 B.P (A ∪B )＝1 C.P (A ∪B )＞1D.P (A ∪B )≤12.从装有十个红球和十个白球的罐子里任取2球，下列情况中是互斥而不对立的两个事件是 ( )A ．至少有一个红球；至少有一个白球B ．恰有一个红球；都是白球C ．至少有一个红球；都是白球D ．至多有一个红球；都是红球3.对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，如图3-1-2为检测结果的频率分布直方图.根据标准，产品长度在区间[20,25)上的为一等品，在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品，在区间[10,15)和[30,35)上的为三等品.用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为( )图3-1-2A.0.09B.0.20C.0.25D.0.454.某城市2015年的空气质量状况如下表所示：其中污染指数T ≤150时，空气质量为轻微污染.该城市2015年空气质量达到良或优的概率为( ) A.35 B.1180 C.119 D.595.一商店有奖促销活动中有一等奖与二等奖两个奖项，其中中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率为0.25，则不中奖的概率为________.6.甲、乙两人下棋，和棋的概率为12，乙获胜的概率为13，则甲胜的概率为16，甲不输的概率为 .7.如果事件A 和B 是互斥事件，且事件A ∪B 的概率是0.8，事件A 的概率是事件B 的概率的3倍，则事件B 的对立事件的概率为__ __. 8.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件： (1)“恰有1名男生”与“恰有2名男生”； (2)“至少有1名男生”与“全是男生”； (3)“至少有1名男生”与“全是女生”； (4)“至少有一名男生”与“至少有一名女生”.9.围棋是一种策略性两人棋类游戏，已知围棋盒子中有多粒黑子和多粒白子，从中随机取出2粒，都是黑子的概率是13，都是白子的概率是1330.(1)求从中任意取出2粒恰好是同一色的概率； (2)求从中任意取出2粒恰好是不同色的概率.答案与解析【答案】 1.D.解析：∵A ，B 互斥，∴P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )≤1.(当A ，B 对立时，P (A ∪B )＝1).2.B.解析：对于A ，“至少有一个红球”可能为一个红球、一个白球，“至少有一个白球”可能为一个白球、一个红球，故两事件可能同时发生，所以不是互斥事件；对于B ，“恰有一个红球”，则另一个必是白球，与“都是白球”是互斥事件，而任取2个球还有都是红球的情形，故两事件不是对立事件；对于C ，“至少有一个红球”为都是红球或一红一白，与“都是白球”显然是对立事件；对于D ，“至多有一个红球”为都是白球或一红一白，与“都是红球”是对立事件. 3.D.解析：由题图可知抽得一等品的概率为0.3，抽得三等品的概率为0.25，则抽得二等品的概率为1－0.3－0.25＝0.45. 4.A.解析：所求概率为110＋16＋13＝35.故选A.5.23.解析：“甲胜”是“和棋或乙胜”的对立事件，所以甲胜的概率为1－(12＋13)＝16，“甲不输”是“乙胜”的对立事件，所以甲不输的概率为1－13＝23.6.51.解析：由100×0.49＝49，知有49次“正面朝上”， 故有100－49＝51(次)“正面朝下”. 7.0.8.解析：根据题意有P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝4P (B )＝0.8，∴P (B )＝0.2，则事件B 的对立事件的概率为1－0.2＝0.8..8.解析：从3名男生和2名女生中任选2人有如下三种结果：2名男生，2名女生，1男1女.(1)“恰有1名男生”指1男1女，与“恰有2名男生”不能同时发生，它们是互斥事件；但是当选取的结果是2名女生时，该两事件都不发生，所以它们不是对立事件.(2)“至少1名男生”包括2名男生和1男1女两种结果，与事件“全是男生”可能同时发生，所以它们不是互斥事件.(3)“至少1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥，由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件.(4)“至少有1名女生”包括1男1女与2名女生两种结果，当选出的是1男1女时，“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件.9.解析：(1)设“从中任意取出2粒都是黑子”为事件A ，“从中任意取出2粒都是白子”为事件B ，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C ，则C ＝A ∪B ，事件A 与B 互斥，则P (C )＝P (A )＋P (B )＝13＋1330＝2330，即任意取出2粒恰好是同一色的概率是2330.(2)设“从中任意取出2粒恰好是不同色”为事件D ，则事件D 与事件C 是对立事件． 由(1)，知P (C )＝2330，所以任意取出2粒恰好是不同色的概率P (D )＝1－P (C )＝1－2330＝730.。
概率的一般加法公式
个产品中有93个产品长度合格 例6. 100个产品中有 个产品长度合格， 个产品中有 个产品长度合格， 90个产品重量合格，其中长度、重量都合 个产品重量合格， 个产品重量合格 其中长度、 格的有85个 现从中任取一产品， 格的有 个。现从中任取一产品，记 A=“产品长度合格”，B=“产品重量合 产品长度合格” 产品长度合格 产品重量合 求产品的长度、 格”，求产品的长度、重量至少有一个合 格的概率。 格的概率。
中基本事件的总数
P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(A∩B). ∪ －
一个电路板上装有甲、一两根熔丝， 例2. 一个电路板上装有甲、一两根熔丝， 甲熔断的概率为0.85，乙熔断的概率为 甲熔断的概率为 ， 0.74，两根同时熔断的概率为 ，两根同时熔断的概率为0.63，问至 ， 少有一根熔断的概率是多少？ 少有一根熔断的概率是多少？ 甲熔丝熔断” 解：设A=“甲熔丝熔断”，B=“乙熔丝熔 甲熔丝熔断 乙熔丝熔 乙两个熔丝至少一根熔断” 断”，则“甲、乙两个熔丝至少一根熔断” 为事件A∪ 为事件 ∪B. P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(A∩B) ∪ － =0.85+0.74－0.63 － =0.96.
的整数中任取一个数， 例3. 从1~100的整数中任取一个数，试求 的整数中任取一个数 取到的数能被5或 整除的概率 整除的概率。 取到的数能被 或9整除的概率。 取到的整数能被5整除 解：设A={取到的整数能被 整除 ，B={取 取到的整数能被 整除}， 取 到的整数能被9整除 整除}。 到的整数能被 整除 。 A中含有 个基本事件；B中含有 个基 中含有20个基本事件 中含有11个基 中含有 个基本事件； 中含有 本事件； 含有2个基本事件 本事件； A∩B含有 个基本事件。 含有 个基本事件。 P(取到的整数能被 或9整除 取到的整数能被5或 整除 整除) 取到的整数能被 =P(A)+P(B)－P(A∩B) －
高中数学 3.1.4概率的加法公式活页训练 新人教B版必修2
3.1.4 概率的加法公式双基达标限时20分钟1．抽查10件产品，记事件A为“至少有2件次品”，则A的对立事件为( )．A．至多有2件次品B．至多有1件次品C．至多有2件正品D．至少有2件正品解析至少有2件次品包含2，3，4，5，6，7，8，9，10共9种结果，故它的对立事件为含有1或0件次品．答案 B2．从某班学生中任找一人，如果该同学身高小于160 cm的概率为0.2，该同学的身高在[160 cm，175 cm]的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm的概率为( )．A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8解析所求概率为1－0.2－0.5＝0.3.答案 B3．从1，2，3，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的是( )．A．①B．②④C．③D．①③解析从1～9中任取两数，有以下三种情况：(1)两个均为奇数；(2)两个均为偶数；(3)一个奇数和一个偶数，故选C. 答案 C4．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03，出现丙级品的概率为0.01，则对产品抽查一件，抽得正品的概率为________． 解析 记事件A ＝{甲级品}，B ＝{乙级品}，C ＝{丙级品}，事件A 、B 、C 彼 此互斥，且A 与(B ∪C )是对立事件，所以P (A )＝1－P (B ∪C )＝1－P (B )－P (C ) ＝1－0.03－0.01＝0.96. 答案 0.965．同时抛掷两枚骰子，没有5点或6点的概率为49，则至少有一个5点或6点的概率是________．解析 记“没有5点或6点”的事件为A ，则P (A )＝49，“至少有一个5点或6点”的事件为B .因A ∩B ＝∅，A ∪B 为必然事件，所以A 与B 是对立事件， 则P (B )＝1－P (A )＝1－49＝59.故至少有一个5点或6点的概率为59.答案 596．经统计某储蓄所一个窗口等候的人数及相应的概率如下：(1)t 是多少？(2)至少3人排队等候的概率是多少？解 (1)∵t ＋0.3＋0.16＋0.3＋0.1＋0.04＝1，∴t ＝0.1.(2)至少3人包括3人，4人，5人以及5人以上，且这三类是互斥的，∴概率 为0.3＋0.1＋0.04＝0.44.综合提高 （限时25分钟）7．在所有的两位数中，任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率是 ( )． A.56B.45C.23D.12解析 所有的两位数中有45个能被2整除，有30个能被3整除，其中有15个既能被2整除又能被3整除，所以所求概率为45＋30－1590＝23.答案 C8．如果事件A 、B 互斥，记A －、B －分别为事件A 、B 的对立事件，那么 ( )． A ．A ∪B 是必然事件 B.A －∪B －是必然事件 C.A －与B －一定互斥D.A －与B －一定不互斥解析 用Venn 图解决此类问题较为直观，如右图所示，A －∪ B －是必然事件，故选B. 答案 B9．某战士射击一次中靶的概率为0.95，中靶环数大于5的概率为0.75，则中靶环数大于0且小于6的概率为________．(只考虑整数环数)解析 因为某战士射击一次“中靶的环数大于5”事件A 与“中靶的环数大于 0且小于6”事件B 是互斥事件，P (A ＋B )＝0.95. ∴P (A )＋P (B )＝0.95，∴P (B )＝0.95－0.75＝0.2. 答案 0.210．掷两枚骰子出现点数之和为3的概率是________． 解析 掷两枚骰子出现结果总数为36种． 其中和为3的结果是(1，2)，(2，1)． 故和为3的概率为P ＝236＝118.答案11811．在数学考试中，小明的成绩在90分以上的概率是0.18，在80～89分的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09，60分以下的概率是0.07，计算：(1)小明在数学考试中取得80分以上的概率； (2)小明考试及格的概率．解 分别记小明的成绩“在90分以上”“在80～89分”“在70～79 分”“在60～69分”为事件B 、C 、D 、E ，这四个事件彼此互斥． (1)小明的成绩在80分以上的概率是P (B ∪C )＝P (B )＋P (C )＝0.18＋0.51＝0.69.(2)解法一 小明考试及格的概率是P (B ∪C ∪D ∪E )＝P (B )＋P (C )＋P (D )＋P (E )＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93. 解法二 小明考试不及格的概率是0.07， 所以小明考试及格的概率是P (A )＝1－0.07＝0.93.所以小明在数学考试中取得80分以上的概率是0.69，考试及格的概率是0.93. 12．(创新拓展)袋中有红、黄、白3种颜色的球各1只，从中每次任取1只，有放回地抽取3次，求：(1)“3只球颜色全相同”的概率； (2)“3只球颜色不全相同”的概率．解 (1)“3只球颜色全相同”包括“3只全是红球”(事件A )，“3只全是黄 球”(事件B )，“3只球全是白球”(事件C )，且它们彼此互斥，故“3只球颜 色全相同”这个事件可记为A ∪B ∪C ，又P (A )＝P (B )＝P (C )＝127，故P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝19.(2)记“3只球颜色不全相同”为事件D ，则事件D －为“3只球颜色全相同”， 又P (D －)＝P (A ∪B ∪C )＝19.所以P (D。
人教b版数学必修三：3.1.4《概率的加法公式》导学案(含答案)
3.1.4概率的加法公式自主学习学习目标1．通过实例理解互斥事件和对立事件的定义及其关系．2．会用概率加法公式求互斥事件及对立事件的概率．自学导引1．互斥事件(互不相容事件)在同一试验中，________________的两个事件叫做互斥事件(或称互不相容事件)．2．事件A与事件B的并(或和)由事件A和B______________________________所构成的事件C，称为事件A与B的并(或和)，记作________．3．互斥事件的概率加法公式(1)设事件A和事件B是两个互斥事件，则P(A∪B)＝________________.(2)如果事件A1，A2，…，A n两两互斥(彼此互斥)，那么P(A1∪A2∪…∪A n)＝________________________.4．对立事件________________且________________的两个事件叫做互为对立事件．事件A的对立事件记作____．5．事件A的对立事件A的概率求法：P(A)＝____________.对点讲练知识点一事件关系的判断例1判断下列给出的每对事件，是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明道理．从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张)中，任取一张．(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．点评判断事件间的关系时，一是要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还是互斥、对立，其发生的条件都是一样的，二是考虑事件间的结果是否有交事件，可考虑利用Venn图分析．对于较难判断关系的，也可列出全部结果，再进行分析．变式迁移1某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B 为“至少订一种报”，事件C为“至多订一种报”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报纸也不订”．判断下列各对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件：(1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；(4)B与C；(5)C与E.知识点二互斥事件的概率例2 在数学考试中，小明的成绩在90分以上的概率是0.18，在80～89分的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09，计算小明在数学考试中取得80分以上的成绩的概率和小明及格的概率．点评 对于一个较复杂的事件，一般要将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率就是这些事件的概率的和，关键是确定事件是否互斥．变式迁移2 抛掷一均匀的正方体玩具(各面分别标有数1、2、3、4、5、6)，事件A 表示“朝上一面的数是偶数”，事件B 表示“朝上一面的数不小于4”，求P (A ∪B )．知识点三 对立事件的概率例3 甲、乙两人下棋，和棋的概率为12，乙获胜的概率为13，求： (1)甲获胜的概率；(2)甲不输的概率．点评 求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的并事件；二是先求对立事件的概率，进而再求所求事件的概率．(1)[10,16)(m)；(2)[8,12)(m)；(3)水位不低于12 m.1．互斥事件与对立事件的区别与联系互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生．因此，对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件．2．互斥事件概率的加法公式必须在各个事件彼此互斥的前提条件下使用．当直接求其一事件的概率较为复杂时，可转化去求其对立事件的概率.课时作业一、选择题1．把语文、数学、物理、化学四本书随机地分给甲、乙、丙、丁四位同学．每人一本，则事件“甲同学分得语文书”与事件“乙同学分得语文书”是( )A ．对立事件B ．不可能事件C ．互斥但不对立事件D ．以上答案都不对2．现有2008年奥运会志愿者7名，其中4名为男性，3名为女性，从中任选2名志愿者为游客做向导，其中下列事件：①恰有1名女性与恰有2名女性；②至少有1名女性与全是女性；③至少有1名男性与至少有1名女性；④至少有1名女性与全是男性．是互斥事件的组数有( )A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组3．某射手在一次射击中命中9环的概率是0.28，命中8环的概率是0.20，不够8环的概率是0.30，则这个射手在一次射击中命中9环或10环的概率是( )A ．0.50B ．0.22C ．0.70D ．无法确定4．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对产品抽查一件抽得正品的概率为( )A ．0.09B ．0.98C ．0.97D ．0.965．某人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( )A ．至多有一次中靶B ．两次都中靶C ．两次都不中靶D ．只有一次中靶二、填空题6．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，所选3人中至少有1名女生的概率为45，那么所选3人中都是男生的概率为________． 7．某家庭电话在家中有人时，打进的电话响第一声时被接的概率为0.1，响第二声时被接的概率为0.3，响第三声时被接的概率为0.4，响第四声时被接的概率为0.1，那么电话在响前4声内被接的概率为__________．8．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，则摸出黑球的概率是________．三、解答题9．盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取三个球，设事件A＝{3个球中有1个红球，2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球，1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．问(1)事件D与A、B是什么样的运算关系？(2)事件C与A的交事件是什么事件？10．某射手射击一次射中10环，9环，8环，7环的概率分别是0.24,0.28,0.19,0.16，计算这名射手射击一次．(1)射中10环或9环的概率；(2)至少射中7环的概率．3．1.4概率的加法公式自学导引1．不可能同时发生2．至少有一个发生(即A发生，或B发生或A、B都发生)C＝A∪B3．(1)P(A)＋P(B)(2)P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A n)4．不能同时发生必有一个发生A5．1－P(A)对点讲练例1解(1)是互斥事件，不是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件，但是，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能“抽出方块”或者“抽出梅花”，因此，二者不是对立事件．(2)既是互斥事件，又是对立事件．理由是：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．变式迁移1解(1)由于事件C“至多订一种报”中可能只订甲报，即事件A与事件C 有可能同时发生，故A与C不是互斥事件．(2)事件B“至少订一种报”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故B 与E是互斥事件，由于事件B发生可导致事件E一定不发生，且事件E发生会导致事件B 一定不发生，故B与E是对立事件．(3)事件B“至少订一种报”中有可能只订乙报，即有可能不订甲报，也就是说事件B 发生，事件D也可能发生，故B与D不是互斥事件．(4)事件B“至少订一种报”中有这些可能：“只订甲报”，“只订乙报”，“订甲、乙两种报”．事件C“至多订一种报”中有这些可能：“一种报纸也不订”，“只订甲报”，“只订乙报”．由于这两个事件可能同时发生，故B与C不是互斥事件．(5)由(4)的分析，事件E “一种报纸也不订”是事件C 的一种可能，事件C 与事件E 有可能同时发生，故C 与E 不是互斥事件．例2 解 根据题意，小明的数学成绩在给出的四个范围内的事件是互斥的，记B ＝“考试成绩在90分以上”，C ＝“考试成绩在80～89分”，D ＝“考试成绩在70～79分”，E ＝“考试成绩在60～69分”，记事件A ＝“考试成绩在80分以上”，则A ＝B ∪C ，且B 、C 为互斥事件，由互斥事件的概率加法公式可知P(A)＝P(B ∪C)＝P(B)＋P(C)＝0.18＋0.51＝0.69.记事件F ＝“小明考试及格”，有F ＝B ∪C ∪D ∪E ，且B 、C 、D 、E 两两互斥，由互斥事件的概率加法公式应有P(F)＝P(B ∪C ∪D ∪E)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＋P(E)＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.变式迁移2 解 A ∪B 这一事件包括4种结果，即出现2、4、5和6，所以P(A ∪B)＝36＋16＝23. 例3 解 (1)“甲获胜”是“和棋或乙获胜”的对立事件，所以甲获胜的概率P ＝1－⎝⎛⎭⎫12＋13＝16. (2)方法一 记事件A ＝“甲不输”，则A 是“甲胜”与“和棋”这两个互斥事件的并，所以P(A)＝16＋12＝23； 方法二 实际上，事件A “甲不输”是“乙胜”事件的对立事件，所以P(A)＝1－13＝23. 变式迁移3 解 设水位在[a ，b)范围的概率为P([a ，b))．由于水位在各范围内对应的事件是互斥的，由概率加法公式得：(1)P([10,16))＝P([10,12))＋P([12,14))＋P([14,16))＝0.28＋0.38＋0.16＝0.82.(2)P([8,12))＝P([8,10))＋P([10,12))＝0.1＋0.28＝0.38.(3)记“水位不低于12 m ”为事件A ，P(A)＝1－P([8,12))＝1－0.38＝0.62.课时作业1．C2．B3．A [P ＝1－0.30－0.20＝0.50.]4．D [P ＝1－0.03－0.01＝0.96.]5．C [至少有一次中靶和两次都不中靶不可能同时发生．]6.15解析 设A ＝{3人中至少有1名女生}，B ＝{3人都为男生}，则A 、B 为对立事件；∴P(B)＝1－P(A)＝15. 7．0.98．0.30解析 P ＝1－0.42－0.28＝0.30.9．解 (1)对于事件D ，可能的结果为1个红球2个白球，或2个红球1个白球，故D ＝A ∪B.(2)对于事件C ，可能的结果为1个红球2个白球，2个红球1个白球，三个均为红球，故C ∩A ＝A.10．解 设“射中10环”，“射中9环”，“射中8环”，“射中7环”的事件分别为A、B、C、D，则A、B、C、D是互斥事件，(1)P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.24＋0.28＝0.52；(2)P(A∪B∪C∪D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.24＋0.28＋0.19＋0.16＝0.87.答射中10环或9环的概率是0.52，至少射中7环的概率为0.87.。
概率的加法公式在生活中的趣味例题
概率的加法公式在生活中的趣味例题
假设有两个不同颜色的袋子，袋子 A 中有 3 个红球和4 个蓝球，袋子 B 中有5 个红球和2 个蓝球。
现在我们随机选择一个袋子，并从中抽取一个球。
问题：如果抽到的球是红色的，那么它来自袋子 A 的概率是多少？
解答：根据概率的加法公式，我们可以计算出总体事件发生的概率为：
P(红球) = P(红球|袋子A) * P(袋子A) + P(红球|袋子B) * P(袋子B)
其中，P(红球|袋子A) 表示在袋子 A 中抽到红球的概率，P(袋子A) 表示选择袋子A 的概率，P(红球|袋子B) 表示在袋子 B 中抽到红球的概率，P(袋子B) 表示选择袋子B 的概率。
根据已知条件，我们知道P(红球|袋子A) = 3/7，P(袋子A) = 1/2，P(红球|袋子B) = 5/7，P(袋子B) = 1/2。
将这些值代入公式计算得：
P(红球) = (3/7) * (1/2) + (5/7) * (1/2)
简化计算后，结果为4/7。
概率加减法专项练习200题(有答案)
概率加减法专项练习200题(有答案)
以下是一系列概率加减法的练题，共计200道题目。
每道题都
附带了答案，供您核对。
希望这些题目能够帮助您提高对概率加减
法的理解和应用能力。
题目
1. 在一个筐中有8个红球和6个蓝球，从中随机抽出一个球。
求抽出的是红球的概率。
2. 一副扑克牌中有52张牌，包括4种花色的A、2、3、4、5、6、7、8、9、10、J、Q、K。
从中抽出一张牌，求抽出的是红心的
概率。
3. 在一个班级中，有20个男生和15个女生。
随机抽取一个学生，求抽取的是女生的概率。
4. 一家餐馆中午提供三种菜品供选择：红烧鸡、糖醋鱼和番茄
炒蛋。
如果一个顾客随机选择一道菜品，求他选择红烧鸡的概率。
5. 一家超市中有300个苹果，其中有20个有瑕疵。
从中随机
抽取一个苹果，求抽取的是有瑕疵的概率。
（更多题目略）
答案
1. 红球的概率为 8/14 或 4/7。
2. 红心的概率为 13/52 或 1/4。
3. 女生的概率为 15/35 或 3/7。
4. 选择红烧鸡的概率为 1/3。
5. 有瑕疵的概率为 20/300 或 1/15。
（更多答案略）
希望以上练习题和答案对您有所帮助。
如果您对概率加减法还有其他问题，我将尽力为您解答。
概率的加法公式 (1)
（B ）
1 A. 2 1 C. 6
5 B. 6 D. 2 3
4. 从装有两个红球和两个黑球的口袋内任 取两个球，那么互斥而不对立的两个事件 是（ C ） A.“至少有一个黑球”与“都是黑球” B.“至少有一个黑球”与“至少有一个红 球”
C.“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”
D.“至少有一个黑球”与“都是红球”
10. 我国西部一个地区的年降水量在下列 区间内的概率如下表所示：
年降水量 /mm 概率 ［100， 150） 0.21 ［150， 200） 0.16 ［200， 250） 0.13 ［250， 300］ 0.12
则年降水量在[200，300]（mm）范围内
的概率是______________. 0.25
例1中事件C：“出现奇数点或2点”的 概率是事件A：“出现奇数点”的概率 与事件B：“出现2点”的概率之和，即
P(C)=P(A)+P(B)=
1 1 2 2 6 3
例4. 在数学考试中，小明的成绩在90分以 上的概率是0.18，在80~89分的概率是0.51, 在70~79分的概率是0.15，在60~69分的概 率是0.09，计算小明在数学考试中取得80 分以上成绩的概率和小明考试及格的概率.
11.某射手在一次射击中射中10环、9环、8 环、7环、7环以下的概率分别为0.24、 0.28、0.19、0.16、0.13.计算这个射手在一 次射击中： （1）射中10环或9环的概率， 0.52 （2）至少射中7环的概率； 0.87 （3）射中环数不足8环的概率. 0.29
新授
概率的加法公式
C.0.02
D.0.68
7.某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙
两级均属次品，若生产中出现乙级品的概 率为0.03、丙级品的概率为0.01，则对成 品抽查一件抽得正品的概率为（ D ） A.0.09 B.0.98
3.1.4 概率的加法公式 练习
3.1.4 概率的加法公式 练习【典例解析】例1、判断下列各对事件是否是互斥事件，并说明道理某小组3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中○1恰有一名男生和恰有两名男生；○1是互斥事件 ○2至少有一名男生和至少有一名女生；○2不可能是互斥事件 ○3至少有一名男生和全是男生；○3不可能是互斥事件 ○4至少有一名男生和全是女生;○4是互斥事件 【双基达标】一、选择题：3、在第3，6，16路公共汽车的一个停靠站（假定这个车站只能停靠一辆公共汽车），有一位乘客需要在5分钟之内乘上车赶到厂里，他可乘3路或6路公共汽车到厂里，已知3路车、6路车在5分钟之内到此车站的概率为0.20和0.60，则该乘客在5分钟内乘上所需车的概率是（ C ）A 、0.20B 、0.60C 、0.80D 、0.12。
4、甲乙两人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率是90%，同甲、乙两人下成和棋的概率为（ D ）A 、60%B 、30%C 、10%D 、50%5、把一副扑克牌中的4个K 随机分给甲、乙、丙、丁四个人，每人得到1张扑克牌，事件“甲分到红桃K ”与事件“乙分到梅花K ”是（ D ）A 、对立事件B 、不可能事件C 、互斥但非对立事件D 、以上都不对二、填空题：6、现在有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，取出的是理科书的概率为7、甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是21，乙获胜的概率是31，则乙不输的概率是 8、某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对产品抽查一件，抽得正品的概率为三、解答题：9、甲、乙两个篮球运动员在相同的条件下投篮命中率分别为0.82、0.73，则“在一次投篮中至少有一人投篮命中的概率为P=0.82+0.73=1.55”这句话对不对？为什么？10、向三个相邻的军火库投一个炸弹，炸中第一军火库的概率为0.025，炸中第二、第三军火库的概率各为0.1，只要炸中一个，另两个也要发生爆炸，求军火库发生爆炸的概率。
新人教B版高中数学(必修3322概率的一般加法公式(选学)同步测试题
3.2.2概率的一般加法公式(选学)1．事件A 概率满足A ． P(A)=0B ． P(A)=1C ． 0≤P(A)≤1D ． P(A)<0或P(A)>12．下列说法：⑴频率反映随机事件的频繁程度，概率反映随机事件发生的可能性大小；⑵做n 次随机试验，事件A 发生次，则事件A 发生的频率nm 就是事件的概率；⑶频率是不能脱离n 次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；⑷频率是概率的近似值，而概率是频率的稳定值．其中正确的个数是A ．1B ．2C ．3D ．43．下列命题中错误的是A ．对立事件一定互斥B ．互斥事件不一定对立C ．对立事件概率之和为1D ．互斥事件一定对立4．已知事件M “3粒种子全部发芽”，事件N “3粒种子都不发芽”，那么事件M 和N 是A ．等可能事件B ．不互斥事件C ．互斥但不是对立事件D ．对立事件5．一箱产品中有正品4件，次品3件，从中任取2件，其中事件：⑴恰有1件次品和恰有2件次品；⑵至少有1件次品或全是次品；⑶至少有1件正品和至少1件次品；⑷至少有1件次品和全是正品．四组中有互斥事件的组数是A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组6．袋中装有白球和黑球各3个，从中任取2球，在下列事件中是对立事件的是A ．恰有1个白球和恰有2个黑球B ．至少有1个白球和全是白球C ．至少有1白球和至少有1个黑球D ．至少有1个白球和全是黑球7．掷一颗色子，色子落地时向上的数是3的倍数的概率是__________．8．现在有语文、数学、英语、物理、化学共5本书，从中任取1本，取出的是理科书的概率为_________．9．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0．42，摸出白球的概率是0．28，那么摸出黑球的概率是________．10从一批乒乓球产品中任取1个，如果其质量小于2．45g 的概率是0．22，质量不小于0．50g 的概率是0．20，那么质量在［2．45，2．50］g 范围内的概率是多少？课外作业1．“某彩票的中奖概率为10001”意味着 A ．买100张彩票就一定能中奖B ．买1000张彩票中一次奖C ．买1000张彩票一次奖也不中D ．购买彩票中奖的可能性是10001 2．下列说法不正确的是A ．不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1B ．某人射击10次，击中靶心8次，则他击中靶心的概率是0．8C ．“直线y=k(x+1)过定点（-1，0）”是必然事件D ．先后抛掷两枚均匀硬币，两次都出现反面的概率是31 3．设某厂产品的次品率为2%，估算该厂8000件产品中合格品的件数可能为A ．160件B ．7840件C ．7998件D ．7800件4．一人在打靶中连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是A ．至多有一次中靶B ．两次都中靶C ．两次都不中靶D ．只有一次中靶5．若书架上放有中文书a 本，英文书b 本，日文书c 本，则从中抽取1本外文书的概率是A a -1B ．c b +C ．c b a +-1D ． cb ac b +++ 6．在5件产品中，有3件一级品和2件二级品，从中任取2件，则概率为107的事件是 A ．都不是一级品 B ．恰有一件一级品C ．至少一件一级品D ．至多一件一级品7．做所有的两位数（10~99）中，任取一个数恰好能被2或3整除的概率是A ．65B ． 54C ． 32D ． 21 8．从1~9这9个数中任取2个数，其中⑴恰有1个是奇数，恰有1个是偶数；⑵至少有1个是奇数，两个都是奇数；⑶至少有1个是奇数，两个都是偶数；⑷至少有1个是奇数，至少有1个是偶数．其中是对立事件的有A ．⑴B ．⑵⑷C ．⑶D ．⑴⑶9．甲乙两人下棋，两人下成和棋的概率是21，乙胜的概率是31，则乙不输的概率是___． 10某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0．03，丙级品的概率为0．01，则对产品抽查一件，抽得正品的概率为_________．11．在10000张有奖储蓄的奖券中，设有1个一等奖，5个二等奖，10个三等奖，从中买一张奖券，中奖的概率是__________．12．若事件A、B满足A∩B=￠，A+B=Ω，且P（A）=0．3,则P（B）=________．13．1个盒内放有10个大小相同的小球，其中有7个红球，2个绿球，1个黄球，从中任取一个球，求：⑴得到红球的概率；⑵得到红球或绿球的概率；⑶得到黄球的概率．14．某射手在一次射击中击中10环、9环、8环的概率分别为0．24，0．28，0．19．计算这个射手在一次射击中：⑴射中10环或9环的概率；⑵不够8环的概率．15．同时掷两个色子，试求：⑴点数和不大于3的概率；⑵点数和恰为9的概率。
内蒙古准格尔旗高中数学第三章概率3.1.4概率的加法公式习题新人教B版必修3(new)
《概率的加法公式》习题1。
某射手在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为0.24、0.28、0。
19、0。
16、0。
13。
计算这个射手在一次射击中： （1)射中10环或9环的概率； (2）至少射中7环的概率； （3)射中环数不足8环的概率。
2．从1，2,…，9中任取两数，其中:①恰有一个偶数和恰有一个奇数;②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数。
在上述事件中，是对立事件的是（ ）A.①B.②④C.③D.①③3。
甲、乙2人下棋，下成和棋的概率是 ,乙获胜的概率是 ,则甲不胜的概率是（ ） A 。
B. C 。
D. 4。
从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）A 。
“至少有一个黑球”与“都是黑球”B 。
“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C 。
“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球” D.“至少有一个黑球”与“都是红球”5.抽查10件产品，设事件A ：至少有两件次品，则A 的对立事件为（ )A 。
至多两件次品B 。
至多一件次品 C. 至多两件正品 D 。
至少两件正品 6。
从一批羽毛球产品中任取一个,其质量小于4。
8 g 的概率为0。
3,质量小于4。
85 g 的概率为0.32，那么质量在［4.8,4。
85) (g ）范围内的概率是（ ） A.0.62 B 。
0.38C 。
0。
02D 。
0.687。
某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03、丙级品的概率为0。
01，则对成品抽查一件抽得正品的概率为（ ） A 。
0.09 B 。
0。
98 C 。
0。
97 D 。
0.968。
为了调整个人所得税征收制度，某机构准备调查了解某市市民的收入情况，随机抽取了n 名市民进行试点调查,其月收入介于1200元和4200元之间，将调查结果按如下方式分为五组：第一组[)1200,1800;第二组[)1800,2400；；第五组[]3600,4200125616231213，下表是按上述分组方式得到的频率分布表：分组频数频率[)1200,1800x a[)1800,240090b[)2400,3000y0。
概率的加法公式
例4. 某战士射击一次，问： （1）若事件A=“中靶”的概率为0.95，则 A的概率为多少？ （2）若事件B=“中靶环数大于5”的概率为 0.7 ，那么事件C=“中靶环数小于6”的概率 为多少？ （3）在（1）（2)条件下，事件D=“中靶 环数大于0且小于6”的概率是多少？
解：因为A与A互为对立事件，
的概率是______________. 0.25
11.某射手在一次射击中射中10环、9环、8 环、7环、7环以下的概率分别为0.24、 0.28、0.19、0.16、0.13.计算这个射手在一 次射击中： （1）射中10环或9环的概率， 0.52 （2）至少射中7环的概率； 0.87 （3）射中环数不足8环的概率. 0.29
三、概率的一般加法公式
1、加法公式的推广： P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(A∩B).
2、加法公式的推广：
例3. 在数学考试中，小明的成绩在90分以 上的概率是0.18，在80~89分的概率是0.51, 在70~79分的概率是0.15，在60~69分的概 率是0.09，计算小明在数学考试中取得80 分以上成绩的概率和小明考试及格的概率.
0 P ( A) 1
问题. 抛掷一颗骰子，观察掷出的点数. 设 事件A为“出现奇数点”，B为“出现2 1 1 点”. 已知P(A)= ，P(B)= ，求“出现 6 2 奇数点或2点”的概率。 问题中事件C：“出现奇数点或2点” 的概率是事件A：“出现奇数点”的概 率与事件B：“出现2点”的概率之和， 1 1 2 即 P(C)=P(A)+P(B)= 2 6 3
C.“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”
D.“至少有一个黑球”与“都是红球”
5.抽查10件产品，设事件A：至少有两件
概率的一般加法公式
D.以上全不对
6.在20瓶墨水中，有5瓶已经变质不能使 用，从这20瓶墨水中任意选出1瓶，取出
1 的墨水是变质墨水的概率为_________. 4
7.从1，2，3，4，5五个数字中，任意有放
回地连续抽取三个数字，则三个数字完全
12 不同的概率是_________. 25
=0.96.
例3. 从1~100的整数中任取一个数，试求 取到的数能被5或9整除的概率。 解：设A={取到的整数能被5整除}，B={取 到的整数能被9整除}。 A中含有20个基本事件；B中含有11个基 本事件； A∩B含有2个基本事件。 P(取到的整数能被5或9整除) =P(A)+P(B)－P(A∩B)
而甲跑第一棒，乙跑第四棒只有一种可能
1 (1, 4)，故P(A∩B)= 12
所以，甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率为：
P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(A∩B) 1 1 1 5 4 4 12 12
例5.一个旅行社有30名翻译，其中英语 翻译12名，日语翻译10名，既会英语又 会日语的有3名，其余的人是其他语种的 翻译。 从中任意选出一名去带旅行团， 求以下事件的概率： 2 （1）是英语翻译； —— 1 5 —— （2）是日语翻译； 3 1 —— （3）既是英语翻译又是日语翻译；（ 4） 10 19 是英语翻译或是日语翻译。 —— 30
解：作点集 Ω={(x，y)| x∈N, y∈N, 1≤x≤6, 1≤y≤6}.
第 二 次 抛 掷 后 向 上 的 点 数
6 5 4 3 2 1
······ ······ ······ ······ ······ ······
1 2 3 4 5 6
人教B版高中数学必修三同步测试：314概率的加法公式.docx
3.1.4概率的加法公式课后篇巩固探究L一组试验仅有四个互斥的结果A,B,C,D则下面各组概率可能成立的是()A.P(A)=0.31,P(B)=0.27,P(O=0.28,P(Z))=0.35B .P(A) =0.32,P(B) =0.27,P(C)=0.06,P(D)=0.47 C・P(A)gp(B)斗召5 112D.P(A)=^,P(B)=ip(Q=ip(D)=| |解析：|由已知得P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=1,故只有D满足.SS D2.下列叙述错误的是()A.若事件A发生的概率为P(A),则OWP(A)W1B.互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件C.两个对立事件的概率之和为1D.对于任意两个事件A和B,都有P(AUB)=P(A)+P(B)|解析：|概率的加法公式的适用条件是事件A0必须是互斥的，故选D.3.若事件A和B是互斥事件,且44)二0.1,则P(B)的取值范围是()A.[0,0.9]B.[0.1,0.9]C.(0,0.9]D.[0,l]解痢本题主要考查互斥事件的概率关系.由于事件4和B是互斥事件，则P(AU 3)=PQ)+P(B)=0.1 +P(B),又0WP(A U B)W 1，所以0W0.1 +P(B)W1，所以0WP(B)W0.9,故选A.^|A4.从一批乒乓球产品中任取一个，如果其质量小于4.8克的概率是0.3,质量不小于4.85克的概率是0.32,则质量在[4.8,4.85)克范围内的概率是( )A.0.62B.0.38C.0.7D.0.68|解析：|根据互斥事件的概率公式得1-0.3-0.32=0.3 &5.从装有两个红球和三个白球的不透明的口袋中任取两个球贝」下列各组中互为对立事件的是()A.至少一个白球;都是白球B.至少一个红球;至少一个白球C.恰有两个白球;至少一个红球D.恰有一个白球;至少一个红球解析:|A中至少有一个白球包含两个都是白球;B中至少一个红球与至少一个白球都包含恰有一个红球一牛白球;D中至少一个红球包含恰有一个白球的情形.故选C.6.( J导学号17504052某家庭电话，打进的电话响第一声时被接的概率为寺，响第二声时被接的概率为春，响第三声时被接的概率为响第四声时被接的概率为存，则电话在响前四声内被接的概率为()B —C —D -2 匕・10 心10 卩丐|解析：|设“电话响第一声被接"为事件A,“电话响第二声被接"为事件B,“电话响第三声被接”为事件C,“电话响第四声被接"为事件D,则A,B,C f D两两互斥，从而P(AUBUCU13 2 1 9D)二P(A)+P(B)+P(C)+P(D)二乔+ T5+5+ W =T O-答案:B7.已矢U事件A0 满足AQB=0,A U 8= 0若P(4)二0.3侧P(B)二__________ .解析：|由ACIB=0,且AUB=々知事件A,3 为对立事件,ZP(B)=l-P(A)=l-0.3=0.7.答案：0.78.在不透明的盒子屮有大小、形状相同的一些黑球、白球和黄球，从中摸出一个球，摸出黑球的概率为0.42,摸出黄球的概率为0.18,则摸出的球是白球的概率为______________ ，摸出的球不是黄球的概率为_________ ，摸出的球是黄球或者是黑球的概率为__________ .解析：|摸出白球的概率为1-0.42-0.18=0.4;不是黄球的概率为1-0.18=0.82;4＜出的球是黄球或黑球的概率弓1-0.4=0.6.答案：|0.4 0.82 0.69.100件产品中有10件次品，从中任取7件,至少有5件次品的概率可以看成三个互斥事件的概率和, 则这三个互斥事件分别是____________ , _________ 和__________ .罔恰有5件次品恰有6件次品全部都是次品10.甲射击一次，屮靶概率是/Y乙射击一次，屮靶概率是已知寺罟是方程?-5x+6=0的根,且巴满足方程代v+、0.则甲射击一次，不中靶概率为__________ ;乙射击一次,不中靶概率为_________ ・解析：|由Pi满足方程?-x+i=0知代屮]+卜0,解得P|=i因为二寻是方程?-5x+6=0的根,所以寻•4 4 L r ] r 2 P] 舟=6,解得Pzg因此甲射击一次,不中靶概率为1弓弓,乙射击一次,不中靶概率为1斗=|・答案:* |11.G1 _)导学号17504053根据协定，包括汽车在内的进口商品将最多五年内把关税全部降低到世贸组织所要求的水平，其中有21%的进口商品恰好5年关税达到要求,18%的进口商品恰好4 年关税达到耍求,其余的进口商品将在3年或3年内关税达到要求,求进口汽车在不超过4年的时间内关税达到要求的概率.解:(方法一)设“进口汽车恰好4年关稅达到要求”为事件4,“不到4年关稅达到要求”为事件B,则“进口汽车在不超过4年的时间内关税达到要求”就是事件A+B,显然A与B是互斥事件，所以P(AUB)=P(A)+P(B)=0.18+(1 -0.21 -0」8)=0.79.(方法二)设“进口汽车在不趨过4年的时间內关税达到要求”为事件M,“进口汽车恰好5年关税达到要求"为事件N,所以P(M)=1 -P(/V)=1-0.21=0.79.12.( 导学号17504054猎人在相距100 m处射击一野兔，命屮的概率为与,若第一次未击中,则猎人进行第二次射击，但距离己是150 g若又未击中，则猎人进行第三次射击，但距离己是200 知此猎人命中的概率与距离的平方成反比，求射击不超过三次击屮野兔的概率.解:设距离为d,命中的概率为P,则有P二,则d=100f£代入，得EP孑=5 000,所以P二乂畀d d设第一、二、三次击中野兔分别为事件AA2A3,则P(A|)弓,恥2)=鬻=仙半=1200’ 81 ? 1 所以P(A[ u A2UA3)=P(A I)+P(A2)+P(A3)=2 + g + @ 故射击不超过三次击中野兔的概率为鈴.61 72 *。
高中数学人教B版必修3 3.2 素材 《概率的一般加法公式》练习题1(人教)
第三章 3.2 3.2.2A 级 基础巩固一、选择题1．某小组有5名同学，其中男生3名，现选举2名代表，至少有一名女生当选的概率是导学号 95064767( B )A ．910B ．710C ．310D ．15[解析] 记3名男生分别为A 1，A 2，A 3,2名女生分别为B 1，B 2，从5名同学中任选2名的所有情况为(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，A 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2)共10种，至少有1名女生当选的情况有7种，故所求概率P ＝710.2．下列命题中是错误命题的个数为导学号 95064768( C ) ①对立事件一定是互斥事件；②A 、B 为两个事件，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )； ③若事件A 、B 、C 两两互斥，则P (A )＋P (B )＋P (C )＝1. A ．0 B ．1 C ．2D ．3[解析] 互斥不一定对立，对立必互斥①正确；只有A 与B 是互斥事件时，才有P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )，∴②错误；事件A 、B 、C 两两互斥，则有P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )，但A ∪B ∪C 不一定是必然事件，例如基本事件空间是由两两互斥的事件A 、B 、C 、D 组成且事件D 与A ∪B ∪C 为对立事件，P (D )≠0时，③不对．3．将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为导学号 95064769( B )A ．19B ．112C ．115D ．118[解析] 将骰子(均匀的)连掷三次共有6×6×6＝216(种)可能结果，点数依次成等差数列的情况有(6,5,4)、(6,4,2)、(5,4,3)、(5,3,1)、(4,3,2)、(3,2,1)、(1,3,5)、(1,2,3)、(2,3,4)、(2,4,6)、(3,4,5)、(4,5,6)、(1,1,1)、(2,2,2)、(3,3,3)、(4,4,4)、(5,5,5)、(6,6,6)，共18种可能情况，所以所求概率为18216＝112.4．从数字1、2、3中任取两个不同数字组成一个两位数，则这个两位数大于21的概率是导学号 95064770( D )A ．16B ．14C ．13D ．12[解析] 从数字1、2、3中任取两个不同数字组成一个两位数，基本事件为12、13、21、23、31、32共6个．其中大于21的有23、31、32共3个，∴所求概率为36＝12.二、填空题5．从甲口袋中摸出一白球的概率为13，从乙口袋中摸出一白球的概率为12，从两口袋中各摸出一球，都是白球的概率为16，则从两口袋中各摸出一球，至少有一个白球的概率为23.导学号 95064771 [解析] “至少有一个白球”是事件A ＝“从甲口袋中摸出的是白球”和B ＝“从乙口袋中摸出的是白球”的并事件，∴P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (A ∩B )＝13＋12－16＝23.6．甲、乙两人对同一目标各进行一次射击，两人击中目标的概率都是0.8，两人都未击中的概率为0.04，则目标被两人同时击中的概率为__0.64__.导学号 95064772[解析] 目标被击中即甲击中或乙击中，P (甲)＝0.8，P (乙)＝0.8，∴P (甲且乙)＝0.64. 三、解答题7．100个产品中有93个产品长度合格，90个产品重量合格，其中长度、重量都合格的有85个．现从中任取一产品，记A 为：“产品长度合格”，B 为：“产品重量合格”，求产品的长度、重量至少有一项合格的概率.导学号 95064773[解析] P (A )＝93100，P (B )＝90100，P (A ∩B )＝85100.而A ∪B 为：“产品的长度、重量至少有一项合格”∴P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (A ∩B )＝93100＋90100－85100＝0.98.B 级 素养提升一、选择题1．抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件A ＝{出现的点数是1,2}，事件B ＝{出现的点数是2,3,4}，则事件{出现的点数是2}可以记为导学号 95064774( B )A ．A ∪B B ．A ∩BC ．A ⊆BD ．A ＝B[解析] A ∪B ＝{出现的点数是1,2,3,4}，A ∩B ＝{出现的点数是2}，故选B ． 2．对于任意事件M 和N ，有导学号 95064775( D ) A ．P (M ∪N )＝P (M )＋P (N ) B ．P (M ∪N )>P (M )＋P (N ) C ．P (M ∪N )<P (M )＋P (N ) D ．P (M ∪N )≤P (M )＋P (N )[解析] 本题主要考查对概率加法公式的理解．当M 和N 是互斥事件时，P (M ∪N )＝P (M )＋P (N )；当M 和N 不是互斥事件时，P (M ∪N )<P (M )＋P (N )．综上可得P (M ∪N )≤P (M )＋P (N )，故选D ．二、填空题3．100张卡片上分别写有1、2、3、…、100，计算下列事件的概率.导学号 95064776 (1)任取其中1张，这张卡片上写的是偶数的概率为 12 ；(2)任取其中1张，这张卡片上写的数是5的倍数的概率为 15 ；(3)任取其中1张，这张卡片上写的数是偶数且是5的倍数的概率为110； (4)任取其中1张，这张卡片上写的数是偶数或是5的倍数的概率为 35 .[解析] 从100张卡片中任取一张，共有100种取法． (1)其中偶数有50个，故取得偶数的概率为12.(2)其中是5的倍数的有20个，故是5的倍数的概率是210＝15. (3)既是偶数又是5的倍数的有10个，故既是偶数又是5的倍数的概率为110.(4)记事件A 为“取出偶数”，事件B 为“取出的数是5的倍数”，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (A ∩B )＝12＋15－110＝35.4．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03，出现丙级品的概率为0.01，则对成品任意抽查一件抽得正品的概率为__0.96__.导学号 95064777[解析] 本题主要考查对立事件的概率．记“抽出的产品为正品”为事件A ，“抽出的产品为乙级品”为事件B ，“抽出的产品为丙级品”为事件C ，则事件A 、B 、C 彼此互斥，且A 与B ∪C 是对立事件，所以P (A )＝1－P (B ∪C )＝1－P (B )－P (C )＝1－0.03－0.01＝0.96.三、解答题5．甲，乙两门高射炮同时向一敌机开炮，已知甲击中敌机的概率为0.6，甲、乙同时击中敌机的概率为0.48，求敌机被击中的概率.导学号 95064778[解析] 设事件A 为：“甲击中敌机”，事件B 为：“乙击中敌机”，则A ∪B 为：“敌机被击中”＝“甲，乙至少有一门击中敌机”，所以P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (A ∩B )＝0.6＋0.8－0.48＝0.92.C 级 能力拔高从1,2,3，…，10中任选一个数，求下列事件的概率：导学号 95064779 (1)它是偶数； (2)它能被3整除；(3)它是偶数且能被3整除的数； (4)它是偶数或能被3整除．[解析] 基本事件空间Ω＝{1,2,3,4，…，10}，总基本事件个数m ＝10. (1)设“是偶数”为事件A ，即A ＝{2,4,6,8,10}， ∴P (A )＝510＝12.(2)设“能被3整除”为事件B ，即B ＝{3,6,9}， ∴P (B )＝310.(3)设“是偶数且能被3整除”为事件C ，即C ＝{6}， ∴P (C )＝110.(4)设“是偶数或能被3整除”为事件D ，即D ＝A ∪B ，根据概率的加法公式得 P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (A ∩B ) ＝P (A )＋P (B )－P (C )＝12＋310－110＝710.。
课时作业3：3.2.2概率的一般加法公式
3.2.2概率的一般加法公式同步测控1．面积为S 的△ABC 中，D 是BC 的中点，向△ABC 内部投一点，那么点落在△ABD 内的概率为( )A.12B.13C.14D.162．一个红绿灯路口，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为45秒．当你到达路口时，恰好看到黄灯亮的概率是( ) A.112 B.38 C.116 D.563．在半径为2的球O 内任取一点P ，则|OP |>1的概率为( ) A.78 B.56 C.34 D.124．在区间[－1，2]上随机取一个数x ，则|x |≤1的概率为________．课时训练1．先将一个棱长为3的正方体木块的六个面分别涂上颜色，再将该正方体均匀切割成棱长为1的小正方体，现从切好的小正方体中任取一块，则所得正方体的六个面均没有涂色的概率是( )A.14B.16C.19D.1272．在2010年山东省召开的全国糖茶博览会期间，4路公交车由原来的每15分钟一班改为现在的每10分钟一班，在车站停1分钟，则乘客到达站台立即乘上车的概率是( ) A.110 B.19 C.111 D.9103．x 是[－4,4]上的一个随机数，则x 满足x 2＋x －2≤0的概率是( ) A.12 B.38 C.58D ．0 4．将一个长与宽不等的长方形，沿对角线分成四个区域(如下图所示)，并涂上四种颜色，中间装个指针，使其可以自由转动，则对指针停留的可能性下列说法正确的是( )A ．一样大B ．蓝白区域大C ．红黄区域大D ．由指针转动圈数决定5．设A 为圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点与A 连接，则弦长超过半径的概率为( )A.12B.13C.34D.236．在面积为S 的△ABC 的内部任取一点P ，则△PBC 的面积小于S2的概率为( )A.14B.12C.34D.237.如下图，在平面直角坐标系内，射线OT 落在60°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠xOT 内的概率为________．8．有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________． 9．如下图，正方形OABC 的边长为2.(1)在其四边或内部取点P (x ，y )，且x ，y ∈Z ，则事件“|OP |>1”的概率________．(2)在其内部取点P (x ，y )，且x ，y ∈R ，则事件“△POA ，△P AB ，△PBC ，△PCO 的面积均大于23”的概率是________．10．平面上画了两条平行且相距2a 的平行线．把一枚半径r <a 的硬币任意投掷在这个平面上，求硬币不与任一条平行线相碰的概率．11．街道旁边有一游戏：在铺满边长为9 cm 的正方形塑料板的宽广地面上，掷一枚半径为1 cm 的小圆板，规则如下：每掷一次交5角钱，若小圆板压在边上，可免费重掷一次；若小圆板全部落在正方形内可再交5角，再掷一次；若小圆板压在塑料板的顶点上，可获得一元钱．试问：(1)小圆板压在塑料板的边上的概率是多少？ (2)小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少？12．已知正三棱锥S －ABC 的底面边长为a ，高为h ，在正三棱锥内取一点M ，试求点M 到底面的距离小于2h的概率．参考答案 同步测控1．【解析】选A.向△ABC 内部投一点的结果有无限个，属于几何概型．设点落在△ABD 内为事件M ，则P (M )＝△ABD 的面积△ABC 的面积＝12.2．【解析】选C.到达路口看到红灯或黄灯或绿灯亮是一次试验，则该试验的结果有无限个，属于几何概型．设看到黄灯亮为事件A ，构成事件A 的测度是5，试验的全部结果构成的区域测度是30＋5＋45＝80，则P (A )＝580＝116.3．【解析】选A.V 球＝43π×23＝323π，当|OP |≤1时，球的体积为43π×13＝43π，|OP |>1的概率为P ＝1－43π43π×23＝78. 4．【解析】由|x |≤1，得－1≤x ≤1.由几何概型的概率求法知，所求的概率P ＝区间[－1，1]的长度区间[－1，2]的长度＝23. 【答案】23课时训练1．【解析】选D.由题意，正方体被切割成27块，六个面均没有涂色的只有最中间那一块，则其概率为127.故选D.2．【解析】选C.记“乘客到达站台立即乘上车”为事件A ，则A 所占时间区域长度为1 min ，而整个区域的时间长度为11 min ，故由几何概型的概率公式，得P (A )＝111.3．【解析】选B.求出x 2＋x －2≤0的解集为[－2,1]，区间[－2，1]的长度为3，区间[－4,4]的长度为8，长度之比即是所求的概率为38.故选B.4．【解析】选B.指针停留在哪个区域的可能性大，即表明该区域的张角大，显然，蓝、白区域大．故选B.5． 【解析】选D.如下图所示，图中AB ＝AC ＝OB (半径)，则弦长超过半径，即是动点落在阴影部分所在的扇形圆弧上，由几何概型的概率计算公式，得P ＝240πOB1802πOB ＝23.故选D.6．【解析】选C.EF 为△ABC 的中位线．当点P 位于四边形BEFC 内时，S △PBC 的面积小于S2，又∵S △AEF ＝14S ，S BEFC ＝34S .∴△PBC 的面积小于S 2的概率为P ＝34S S ＝34.7.【解析】记“射线OA 落在∠xOT 内”为事件A .构成事件A 的区域测度是60°，所有基本事件对应的区域测度是360°，所以由几何概型的概率公式得P (A )＝60°360°＝16.【答案】168．【解析】先求点P 到点O 的距离小于1或等于1的概率，圆柱的体积V 圆柱＝π×12×2＝2π，以O 为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V 半球＝12×43π×13＝23π.则点P 到点O 的距离小于1或等于1的概率为：23π2π＝13，故点P 到点O 的距离大于1的概率为：1－13＝23.【答案】239．【解析】(1)在正方形的四边和内部取点，P (x ，y )且x ，y ∈Z ，所有可能的事件是(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，其中满足|OP |>1的事件是(0,2)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，所以满足|OP |>1的概率为23.(2)在正方形内部取点，其总的事件的包含的区域面积为4，由于各边长为2，所以要使△POA ，△P AB ，△PBC ，△PCO 的面积均大于23，应该三角形的高大于23，所以这个区域为每个边长从两端各去掉23后剩余的正方形，其面积为23×23＝49，所以满足条件的概率为494＝19.【答案】(1)23 (2)1910．解：设事件A ：“硬币不与任一条平行线相碰”．为了确定硬币的位置，由硬币中心O 向靠得最近的平行线引垂线OM ，垂足为M ，参看图，这样线段OM 长度(记作|OM |)的取值范围是[0，a ]，只有当r <|OM |≤a 时，硬币不与平行线相碰，其长度范围是(r ，a ]．所以P (A )＝ r ，a ]的长度[0，a ]的长度＝a －ra11．解：(1)如下图(1)所示，因为O 落在正方形ABCD 内任何位置是等可能的，小圆板与正方形ABCD 的边相交接是在小圆板的中心O 到与它靠近的边的距离不超过1 cm 时，所以O 落在图(1)中的阴影部分时，小圆板就能与塑料板的边相交接．因此，试验全部结果构成的区域是边长为9 cm 的正方形，设事件A ：“小圆板压在塑料板边上”．S 正方形＝9×9＝81(cm 2)，S 阴影＝9×9－7×7＝32(cm 2)．故所求概率P (A )＝3281.(2)小圆板与正方形的顶点相交接是在小圆板的中心O 到正方形ABCD 的顶点的距离不超过小圆板的半径1 cm 时，如图(2)所示的阴影部分．设事件B ：“小圆板压在塑料板顶点上”． S 正方形＝9×9＝81(cm 2)，S 阴影＝π×12＝π(cm 2)，故所求的概率P (B )＝π81.12．解：如下图，在SA 、SB 、SC 上取点A 1、B 1、C 1，使A 1、B 1、C 1分别为SA 、SB 、SC 的中点，则当点M 位于面ABC 和面A 1B 1C 1之间时，点M 到底面的距离小于h2.设△ABC 的面积为S ，由△ABC ∽△A 1B 1C 1且相似比为2，得△A 1B 1C 1的面积为S4.由题意，三棱椎S －ABC 的体积为13Sh ，三棱台A 1B 1C 1－ABC 的体积为13Sh －13·S 4·h 2＝13Sh ·78.故P ＝78.。
《概率的一般加法公式》习题.docx
《概率的一般加法公式（选学）》习题1、从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（）A、至少有一个黑球与都是黑球B、至少有一个黑球与至少有一个红球C、恰好有一个黑球与恰好有两个黑球D、至少有一个黑球与都是红球2、下列说法正确的是（）A、事件A、B中至少有一个发生的概率一定比A、B中恰有一个发生的概率大B、事件A、B同时发生的概率一定比A、B中恰有一个发生的概率小C、互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件D、互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件3、一人在打靶中连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（）A、至多有一次中靶B、两次都中靶C、两次都不中靶D、只有一次中靶4、从一批羽毛球产品中任取一个，如果其质量小于4.8克的概率是0.3,质量不小于4.85 克的概率是0.32,那么质量在［4.8,4.85）克范围内的概率是（）A、0.62B、0.38C、0.70D、0.685、盒子中有大小、形状均相同的一些黑球、白球和黄球，从中摸出一个球，摸出黑球的概率是0.42,摸出黄球的概率是0.18,则摸出的球是白球的概率是______________,摸出的球不是黄球的概率是___________ ,摸出的球或者是黄球或者是黑球的概率是________ ・6、判断下列各对事件是否是互斥事件，并说明道理某小组3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中①恰有一名男生和恰有两名男生；②至少有一名男生和至少有一名女生；③至少有一名男生和全是男生；④至少有一名男生和全是女生7、某地区的年降水虽在下列范围内的概率如表：年降水量/mm[100,150)[150,200)[200,250)[250,300)概率0.120.250.160.14①求年降水量在［100,200）（呦»范围内的概率;②求年降水暈在［150,3000"?）范闱内的概率.8、某射手在一次射击训练中,射中10环，9环,8环、7环的概率分别是0.21, 0.23, 0.25,0.28,计算这个射手在一次射击中：①射中10环或7环的概率；②不够7坏的概率.答案：1、 c2、 D3、 C4、 B5、0.40, 0.82, 0.606、解：①是互斥事件道理是：在所选的2名同学中，“恰有1名男生”实质是选岀的是“1名男生和1名女它与“恰有两名男生”不可能同时发生，所以是一对互斥事件.②不可能是互斥事件理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“两名都是男生”两种结“至少有1名女生”包括“1名女生，以名男生”和“两名都是女生”两种结果，它们可同时发生.③不可能是互斥事件理由是：“至少有1名男生”包插“1名男生、1名女生”和“两名都是男生”，这与“全是男生”可同时发生.④是互斥事件理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“两名都是男生”两种结果，它和“全是女生”不可能同时发生.评注：互斥事件是概率知识屮重要概念，必须正确理解.①互斥事件是对两个事件而言的，若有A、B两个事件，当事件A发生吋，事件B就不发生；当事件B发生时，事件A就不发生（即事件A、B不可能同时发生），我们就把这中不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，否则就不是互斥事件；②对互斥事件的理解，也可以从集合的角度去加以认识.如果A、B时两个互斥事件，反映在集合上，是表示A、B这两个事件所含结果组成的集合彼此互不相交.如果事件人,人2，...,力”中的任何两个都是互斥事件，那么称事件人,比,…，代彼此互斥，反映在集合上，表示为由各个事件所含的结果组成的集合彼此互不相交.7、解：①记这个地区的年降水量在［100,150）、［150,200）、［200,250）、［250,300）（mm）范围内分别为事件A、B、C、D.这四个事件是彼此互斥的，根据互斥事件的概率加法公式，年降水量在［100,200)(mm)范围内的概率是P(A + B) = P(A) + P(B) = 0.12 + 0.25 = 0.37②年降水量在［150,300) (mm)范围内的概率是P(B + C+D)= P(B)+ P(C)+ P(D)=0.25+0.16+0.14=0.55答案：年降水量在［100,200)(mm)范围内的概率是().37,年降水量在［150,300) (mm)范围内的概率是0.55.评注：互斥事件的概率加法公式是一个很基本的计算公式，解题时要在具体的情景中判断事件是否为互斥事件.如果两个事件在一次试验中，一个发生另一个就不发生，或者说两个事件不同时发生，这样的事件是互斥事件.8、解：①记“射中10环”为事件A,记“射中7环”为事件B,由于在第一次射击中，A与B不可能同时发生，故A与B是互斥事件，“射屮10环或7环”的事件为A+B,故P(A + B) = P(A) + P(B) =0.21+0.28=0.49②记“不够7环”的事件为E,则事件£为“射屮7环或8环或9环或10环”，由CD可知“射中7环”、“射中8环”等等是彼此互斥事件，.・・P(E) =0.21+0.23+0.25+0.28二0.97,从而P(E) = 1 —P(E) = 1 —0.97=0.03.答案：射中10环或7环的概率为0.49；射不够7环的概率为0.03.评注：①必须分析清楚事件A、B互斥的原因，只有互斥事件才可考虑用概率的和公式.②所求的事件必须是儿个互斥事件的和.③只有满足上述两点才可用公式P(A+B) = P(A) + P(B) •④当直接求某一事件的概率较为复杂或根本无法求时，可先转化为求其对立事件的概率，由本题②发现，某人射不够7坏的可能性已经很小.。
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《概率的加法公式》习题
1.某射手在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为0.24、0.28、0.19、0.16、0.13.计算这个射手在一次射击中： （1）射中10环或9环的概率； （2）至少射中7环的概率； （3）射中环数不足8环的概率.
2．从1，2，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数.在上述事件中，是对立事件的是（ ） A.① B.②④ C.③ D.①③
3.甲、乙2人下棋，下成和棋的概率是 ,乙获胜的概率是 ，则甲不胜的概率是（ ）
A .
B .
C .
D .
4. 从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ） A .“至少有一个黑球”与“都是黑球” B .“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” C .“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球” D .“至少有一个黑球”与“都是红球”
5.抽查10件产品，设事件A ：至少有两件次品，则A 的对立事件为（ ） A . 至多两件次品 B . 至多一件次品 C . 至多两件正品 D . 至少两件正品
6.从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8 g 的概率为0.3，质量小于4.85 g 的概率为0.32，那么质量在[4.8，4.85) (g)范围内的概率是（ ）
A .0.62
B .0.38
C .0.02
D .0.68
7.某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03、丙级品的概率为0.01，则对成品抽查一件抽得正品的概率为（ ） A .0.09 B .0.98 C .0.97 D .0.96
8.为了调整个人所得税征收制度，某机构准备调查了解某市市民的收入情况，随机抽取了n
名市民进行试点调查，其月收入介于1200元和4200元之间，将调查结果按如下方式分为五组：第一组[)1200,1800；第二组[)1800,2400；；第五组[]3600,4200，下表是按
上述分组方式得到的频率分布表：
分组
频数 频率 [)1200,1800 x a [)1800,2400
90
b
12561
6
23121
3
[)2400,3000 y 0.40 [)3000,3600
160 0.32 []3600,4200
z
0.04
(1)求n 及上表中的b a z y x ,,,,的值；
(2)为了了解市民对个人所得税征收制度的意见，现利用分层抽样的方法从这n 名市民中抽取一个容量为50的样本进行问卷调查，若从第一组或第五组中抽出的市民中任选两名，求事件“两人收入之差大于1000元”的概率.
答案：
1.（1）0.52 （2）0.87 （3）0.29
2. C
3. B
4. C
5. B
6. C
7. D
解(1)由表知，50032
.0160==
n ，90
0.18;500b ∴==
5000.40200;5000.0420y z =⨯==⨯=，302016020090500=----=∴x ，
06.0500
30
==
∴a . (2)由题意知，分层抽样比例为
10150050=， 故在样本中，第一组抽出的人数为310
1
30=⨯，
分别记为321,,a a a ，第五组抽出的人数为210
1
20=⨯
，分别记为21,b b ， 则从中任意选取两人的不同结果为：()()()()()3221113121,,,,,,,,,a a b a b a a a a a ，
()()()()()2123132212,,,,,,,,,b b b a b a b a b a ，共10种.
其中，使“两人收入之差大于1000元”成立的选法有()(),,,,2111b a b a (),,12b a
()()()223132,,,,,a b a b a b 共6种。