微分中值定理的推广

微分中值定理的简单推广

刘威 20101101904

数学科学学院 数学与应用数 10级汉一班

指导教师 苏雅拉图

摘要：微分中值定理是数学分析中的基本定理，包括罗尔定理拉格朗日定理柯西中值定理。在本文所做的推广是改变或减弱原定理的条件，得到与原定理类似的结论。

关键词：连续;可导;可微;区间

一 微分中值定理

1.1罗尔中值定理

若函数)(x f 满足:

)(I 在区间],[b a 上连续;

)(II 在区间),(b a 内可导;

)(III )()(b f a f =,

则在),(b a 内至少存在一点ξ使0)('=ζf .

1.2拉格朗日中值定理

若函数)(x f 满足:

)(I 在区间],[b a 上连续;

)(II 在区间),(b a 内可导,

则在),(b a 内至少存在一点ξ使a b a f b f f --=)

()()('ζ.

1.3柯西中值定理

若函数)(x f 与)(x g 满足:

)(I 在区间],[b a 上连续;

)(II 在区间),(b a 内可导，并且在区间),(b a 内0)('≠x g ,

则在),(b a 内至少存在一点ξ使)()()

()()(')

('a g b g a f b f g f --=ξξ.

二 微分中值定理的推广

2.1罗尔中值定理的推广

定理1 若函数)(x f 满足:

)(I 在区间),(b a 内连续;

)(II 在区间),(b a 上可导;

)(III )(lim 0x f a x +→与)(lim 0x f b x -→存在且相等,

则在),(b a 内至少存在一点ξ使0)('=ξf .

证明. 令

?????=-=+∈=b

x b f a x a f b a x x f x F )0()0()

,()

()(

)(x F 满足罗尔定理条件

∴ ),(b a ∈?ξ t s . 0)('=ξF 即0)('=ξf

定理2 若函数)(x f 满足:

)(I 在区间),[+∞a 上连续;

)(II 在区间),(+∞a 上可导;

)(III )()(lim a f x f x =+∞→ ,

则在),(+∞a 内至少存在一点ξ使0)('=ξf .

证明.令

11

+-=a x t ， ),(+∞∈a x , )1,0(∈t ,

则 )(11

t a t x ψ=-+= ， )1,0(∈t ，),()(+∞∈ψa t 。

于是

)())(()(t g t f x f =ψ=，

)1())1(()()(lim ))((lim )(lim )00(00g f a f x f t f t g g x t t =ψ===ψ==++∞→→→++.

因)(t g 在区间)1,0(内连续且可导,

∴)1,0(∈?η ,使 0)('=ηg .

)('))((')('ηψηψη?=f g ,

01

)'11()('2≠-=-+=ηηηψa ,

∴0))(('=ηψf ,

记ξηψ=)(,则0)('=ζf .

定理3 若函数)(x f 满足

)(I 在区间),[+∞a 上连续

)(II 在区间),(+∞a 上可导

)(III M x f x =+∞→)(lim

则在),(+∞a 内至少存在一点ξ使2)1()

()('a a f M f -+-=ξξ.

证明. 令

11

+-=a x t ),(+∞∈a x )1,0(∈t ,

则 )(11

t a t x ψ=-+=，)1,0(∈t ， ),()(+∞∈ψa t .

于是

)())(()(t g t f x f =ψ=，

M x f t f t g x t t ===+∞→→→)(lim ))((lim )(lim 00ψ.

因)(t g 在区间)1,0(内连续且可导,

∴)1,0(∈?τ, 使01)

(01)0()1()('--=--=M

a f g g g τ，

即 M a f g -=)()('τ.

)('))((')('τψτψτ?=f g , 21

)'11

()('t a t t -=-+=ψ, ∴2)1()

()('a a f M f -+-=ξξ.

定理4 若函数)(x f 满足:

)(I 在区间),(+∞-∞上连续;

)(II 在区间),(+∞-∞内可导;

)(III A x f x f x x ==-∞

→+∞→)(lim )(lim , 则在),(+∞a 内至少存在一点ξ使0)('=ξf .

证明.令

t x tan =, )2

,2(ππ-∈t , 则 )()(tan )(t g t f x f ==.

由定理1知,在)2

,2(ππ-内存在一点η,使0)('=ηg , 即 0sec )(tan ')('2=?=ηηηf g .

在)2

,2(ππ-内0sec 2≠η, ∴ 0)(tan '=ηf .

记ξη=tan ,则0)('=ζf .

定理5 若函数)(x f 满足:

)(I 在区间],[b a 上连续;

)(II 在区间),(b a 上可导;

)(III -∞=+→)(lim x f a x ，-∞==→)(lim x f b

x , 则在),(b a 内至少存在一点ξ使0)('=ζf .

证明.取)(2

1b a c +=. 若0)(>c f ,

由连续函数的介值定理知,?),(c a d ∈,使0)(=d f ,?),(b c e ∈,使0)(=e f . 因函数)(x f 在],[(e d 上满足罗尔定理的条件,

∴),(e d ∈?ξ,使0)('=ζf .

若0)(≤c f ,

令 1)()()(+-=c f x f x F ,于是有01)(>=c F .

由连续函数的介值定理知,?),(c a m ∈,使0)(=m F ，?),(b c n ∈，使0)(=n F .

函数)(x F 在区间],[n m 上满足罗尔定理的条件,

∴),(e d ∈?ξ,使0)('=ζF .

2.2拉格朗日中值定理的推广

定理6 若函数)(x f 满足:

)(I 在区间),(b a 内连续;

)(II 在区间),(b a 内可导;

)(III )(lim 0x f a x +→与)(lim 0

x f b x -→存在, 则在),(b a 内至少存在一点ξ使a b a f b f f -+--=

)0()0()('ξ. 证明.做辅助函数

)()0()0()0()()(a x a

b a f b f a f x f x F -?-+---+-=, 则0)0()0(=-=+b F a F .

由定理1知,),(b a ∈?ξ,使0)('=ζF . a

b a f b f x f x F -+---

=)0()0()(')(', ∴a

b a f b f f -+--=)0()0()('ξ. 2.3柯西中值定理的推广 定理7 若函数)(x f 与)(x g 满足:

)(I 在区间],[b a 上连续;

)(II 在区间),(b a 上可导;

)(III 并且在区间),(b a 内0)('≠x g ,并且)0(+a f ，)0(-b f ，)0(+a g ，)0(-b g 均存在,

则在),(b a 内至少存在一点ξ使)

0()0()0()0()(')('+--+--=a g b g a f b f g f ξξ. 证明.),(b a ∈?α,使)0()0())(('+--=-a g b g a b g α.

0)('≠αg ,

∴0)0()0(≠+--a g b g .

令

)

0()0()0()0())0()(()0()()(=--+--?+--+-=a g b g a f b f a g x g a f x f x F , 则

0)0()0(=-=+b F a F .

由定理1知,),(b a ∈?ξ使0)('=ξF . a b a f b f x g x f x F -+---=)0()0()

(')(')(', ∴)

0()0()0()0()(')('=--+--=a g b g a f b f g f ξξ. 定理8 若函数)(x f 与)(x g 满足:

)(I 在区间],[b a 上连续;

)(II 在区间),(b a 上可导;

（Ⅲ）在区间),(b a 内)('x f 与)('x g 不同时为0且)()(b g a g ≠,

则在),(b a 内至少存在一点ξ,使)

()()()()(')('a g b g a f b f g f --=ξξ. 证明.首先证明若)(x f ，)(x g 在区间],[b a 上连续,在),(b a 内上可导,则在),(b a 内至

少存在一点ξ，使00

)(')('1)()(1

)()(=ξξg f b g b f a g a f .

做辅助函数=)(x F 1

)(')('1)()(1

)()(x g x f b g b f a g a f

则0)()(==b F a F .

由罗尔定理知,),(b a ∈?ξ,使0)('=ξF ,

即

00

)(')('1)()(1)()

(=ξξg f b g b f a g a f ,

即

0)]()()[(')]()()[('=---b f a f g b g a g f ξξ.

因)()(b g a g ≠,∴)

()()()()(')('a g b g a f b f g f --?=ξξ. )('x f 与)('x g 不同时为0假设0)('≠x g , ∴)

()()()()(')('a g b g a f b f g f --=ξξ. 以上是对微分中值定理简单推广后所得到的定理及其证明.微分中值定理还可以推广到行列式函数、向量函数、抽象函数等多个方面,对这部分内容我会在以后的学习中继续研究.

参考文献：[1]欧阳光中,朱学炎 .数学分析[M] .北京：高等教育出版社，2010.

[2]刘玉琏. 数学分析讲义[M].北京：高等教育出版社，2010.