微分中值定理的推广

微分中值定理的简单推广
刘威 20101101904
数学科学学院 数学与应用数 10级汉一班
指导教师 苏雅拉图
摘要：微分中值定理是数学分析中的基本定理，包括罗尔定理拉格朗日定理柯西中值定理。

在本文所做的推广是改变或减弱原定理的条件，得到与原定理类似的结论。

关键词：连续;可导;可微;区间
一 微分中值定理
1.1罗尔中值定理
若函数)(x f 满足:
)(I 在区间],[b a 上连续;
)(II 在区间),(b a 内可导;
)(III )()(b f a f =,
则在),(b a 内至少存在一点ξ使0)('=ζf .
1.2拉格朗日中值定理
若函数)(x f 满足:
)(I 在区间],[b a 上连续;
)(II 在区间),(b a 内可导,
则在),(b a 内至少存在一点ξ使a b a f b f f --=)
()()('ζ.
1.3柯西中值定理
若函数)(x f 与)(x g 满足:
)(I 在区间],[b a 上连续;
)(II 在区间),(b a 内可导，并且在区间),(b a 内0)('≠x g ,
则在),(b a 内至少存在一点ξ使)()()
()()(')
('a g b g a f b f g f --=ξξ.
二 微分中值定理的推广
2.1罗尔中值定理的推广
定理1 若函数)(x f 满足:
)(I 在区间),(b a 内连续;
)(II 在区间),(b a 上可导;
)(III )(lim 0x f a x +→与)(lim 0x f b x -→存在且相等,
则在),(b a 内至少存在一点ξ使0)('=ξf .
证明. 令
⎪⎩⎪⎨⎧=-=+∈=b
x b f a x a f b a x x f x F )0()0()
,()
()(
)(x F 满足罗尔定理条件
∴ ),(b a ∈∃ξ t s . 0)('=ξF 即0)('=ξf
定理2 若函数)(x f 满足:
)(I 在区间),[+∞a 上连续;
)(II 在区间),(+∞a 上可导;
)(III )()(lim a f x f x =+∞→ ,
则在),(+∞a 内至少存在一点ξ使0)('=ξf .
证明.令
11
+-=a x t ， ),(+∞∈a x , )1,0(∈t ,
则 )(11
t a t x ψ=-+= ， )1,0(∈t ，),()(+∞∈ψa t 。

于是
)())(()(t g t f x f =ψ=，
)1())1(()()(lim ))((lim )(lim )00(00g f a f x f t f t g g x t t
=ψ===ψ==++∞→→→++. 因)(t g 在区间)1,0(内连续且可导,
∴)1,0(∈∃η ,使 0)('=ηg .
)('))((')('ηψηψη⋅=f g ,
01
)'11()('2≠-=-+=ηηηψa ,
∴0))(('=ηψf ,
记ξηψ=)(,则0)('=ζf .
定理3 若函数)(x f 满足
)(I 在区间),[+∞a 上连续
)(II 在区间),(+∞a 上可导
)(III M x f x =+∞→)(lim
则在),(+∞a 内至少存在一点ξ使2)1()
()('a a f M f -+-=ξξ.
证明. 令
11
+-=a x t ),(+∞∈a x )1,0(∈t ,
则 )(11
t a t x ψ=-+=，)1,0(∈t ， ),()(+∞∈ψa t .
于是
)())(()(t g t f x f =ψ=，
M x f t f t g x t t ===+∞→→→)(lim ))((lim )(lim 00ψ.
因)(t g 在区间)1,0(内连续且可导,
∴)1,0(∈∃τ, 使01)(01)0()1()('--=--=M
a f g g g τ，
即 M a f g -=)()('τ.
)('))((')('τψτψτ⋅=f g , 21
)'11
()('t a t t -=-+=ψ, ∴2)1()
()('a a f M f -+-=ξξ.
定理4 若函数)(x f 满足:
)(I 在区间),(+∞-∞上连续;
)(II 在区间),(+∞-∞内可导;
)(III A x f x f x x ==-∞
→+∞→)(lim )(lim , 则在),(+∞a 内至少存在一点ξ使0)('=ξf .
证明.令
t x tan =, )2
,2(ππ-∈t , 则 )()(tan )(t g t f x f ==.
由定理1知,在)2
,2(ππ-内存在一点η,使0)('=ηg , 即 0sec )(tan ')('2=⋅=ηηηf g .
在)2
,2(ππ-内0sec 2≠η, ∴ 0)(tan '=ηf .
记ξη=tan ,则0)('=ζf .
定理5 若函数)(x f 满足:
)(I 在区间],[b a 上连续;
)(II 在区间),(b a 上可导;
)(III -∞=+→)(lim x f a x ，-∞==→)(lim x f b
x , 则在),(b a 内至少存在一点ξ使0)('=ζf .
证明.取)(2
1b a c +=. 若0)(>c f ,
由连续函数的介值定理知,∃),(c a d ∈,使0)(=d f ,∃),(b c e ∈,使0)(=e f . 因函数)(x f 在],[(e d 上满足罗尔定理的条件,
∴),(e d ∈∃ξ,使0)('=ζf .
若0)(≤c f ,
令 1)()()(+-=c f x f x F ,于是有01)(>=c F .
由连续函数的介值定理知,∃),(c a m ∈,使0)(=m F ，∃),(b c n ∈，使0)(=n F .
函数)(x F 在区间],[n m 上满足罗尔定理的条件,
∴),(e d ∈∃ξ,使0)('=ζF .
2.2拉格朗日中值定理的推广
定理6 若函数)(x f 满足:
)(I 在区间),(b a 内连续;
)(II 在区间),(b a 内可导;
)(III )(lim 0x f a x +→与)(lim 0
x f b x -→存在, 则在),(b a 内至少存在一点ξ使a
b a f b f f -+--=
)0()0()('ξ. 证明.做辅助函数 )()0()0()0()()(a x a
b a f b f a f x f x F -⋅-+---+-=, 则0)0()0(=-=+b F a F .
由定理1知,),(b a ∈∃ξ,使0)('=ζF . a
b a f b f x f x F -+---
=)0()0()(')(', ∴a
b a f b f f -+--=)0()0()('ξ. 2.3柯西中值定理的推广 定理7 若函数)(x f 与)(x g 满足:
)(I 在区间],[b a 上连续;
)(II 在区间),(b a 上可导;
)(III 并且在区间),(b a 内0)('≠x g ,并且)0(+a f ，)0(-b f ，)0(+a g ，)0(-b g 均存在,
则在),(b a 内至少存在一点ξ使)
0()0()0()0()(')('+--+--=a g b g a f b f g f ξξ. 证明.),(b a ∈∃α,使)0()0())(('+--=-a g b g a b g α.
0)('≠αg ,
∴0)0()0(≠+--a g b g .
令
)
0()0()0()0())0()(()0()()(=--+--⋅+--+-=a g b g a f b f a g x g a f x f x F , 则
0)0()0(=-=+b F a F .
由定理1知,),(b a ∈∃ξ使0)('=ξF . a b a f b f x g x f x F -+---=)0()0()
(')(')(', ∴)
0()0()0()0()(')('=--+--=a g b g a f b f g f ξξ. 定理8 若函数)(x f 与)(x g 满足:
)(I 在区间],[b a 上连续;
)(II 在区间),(b a 上可导;
（Ⅲ）在区间),(b a 内)('x f 与)('x g 不同时为0且)()(b g a g ≠,
则在),(b a 内至少存在一点ξ,使)
()()()()(')('a g b g a f b f g f --=ξξ. 证明.首先证明若)(x f ，)(x g 在区间],[b a 上连续,在),(b a 内上可导,则在),(b a 内至
少存在一点ξ，使00
)(')('1)()(1
)()(=ξξg f b g b f a g a f .
做辅助函数=)(x F 1
)(')('1)()(1
)()(x g x f b g b f a g a f
则0)()(==b F a F .
由罗尔定理知,),(b a ∈∃ξ,使0)('=ξF ,
即
00
)(')('1)()
(1)()
(=ξξg f b g b f a g a f , 即
0)]()()[(')]()()[('=---b f a f g b g a g f ξξ.
因)()(b g a g ≠,∴)
()()()()(')('a g b g a f b f g f --⋅=ξξ. )('x f 与)('x g 不同时为0假设0)('≠x g , ∴)
()()()()(')('a g b g a f b f g f --=ξξ. 以上是对微分中值定理简单推广后所得到的定理及其证明.微分中值定理还可以推广到行列式函数、向量函数、抽象函数等多个方面,对这部分内容我会在以后的学习中继续研究.
参考文献：[1]欧阳光中,朱学炎 .数学分析[M] .北京：高等教育出版社，2010.
[2]刘玉琏. 数学分析讲义[M].北京：高等教育出版社，2010.。