数理方程与特殊函数(钟尔杰)总复习part2
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数理方程与特殊函数数理方程复习
r
球对称性导致球面波问题
2u t 2
a2
1 r2
r
(r 2
u ) r
u t 0
(r), ut
t 0
(r)
令 v = r u , 则有
2v u 2u r 2 2 r r r 2
所以
1 r
r
(r 2
u ) r
1 r
(2r
u r
r2
2u r 2 )
2v r 2
2u t 2
a2
1 r2
r
Ex20. 上半平面 y > 0 的格林函数
11
1
G(P, M0 )
2
[ln rPM0
ln rPM1
]
P M1
O M0
(x y) ( x0 , y0 )
( x0 , – y0 )
Ex21. 证明
J1/2( x)
2 cos x
x
证:
(1)m x n2m
J n ( x) m0 2n2m m!(n m 1)
n1
L
x
L2
h
Cn
2 L
L 0
4 (L ) n
L2
sin L
d
n≥1
Ex10. 用分离变量法求解
utt u
x
0
uxx 0,
0 x 1, u 0
x1
t
0
u
t0
sin(x),
ut
t0
0
Ex11. 求解方程
uuttx0
a 2uxx g, 0, u
xL
(0 0
x
L,
t
0)
u t0 0, ut t0 0
球对称性导致球面波问题
2u t 2
a2
1 r2
r
(r 2
u ) r
u t 0
(r), ut
t 0
(r)
令 v = r u , 则有
2v u 2u r 2 2 r r r 2
所以
1 r
r
(r 2
u ) r
1 r
(2r
u r
r2
2u r 2 )
2v r 2
2u t 2
a2
1 r2
r
Ex20. 上半平面 y > 0 的格林函数
11
1
G(P, M0 )
2
[ln rPM0
ln rPM1
]
P M1
O M0
(x y) ( x0 , y0 )
( x0 , – y0 )
Ex21. 证明
J1/2( x)
2 cos x
x
证:
(1)m x n2m
J n ( x) m0 2n2m m!(n m 1)
n1
L
x
L2
h
Cn
2 L
L 0
4 (L ) n
L2
sin L
d
n≥1
Ex10. 用分离变量法求解
utt u
x
0
uxx 0,
0 x 1, u 0
x1
t
0
u
t0
sin(x),
ut
t0
0
Ex11. 求解方程
uuttx0
a 2uxx g, 0, u
xL
(0 0
x
L,
t
0)
u t0 0, ut t0 0
数理方程与特殊函数复习课
矩形域上的二维拉普拉斯方程
u (c0 d0 x)22
(cnenx dnenx )Yn (n y)
n10((1112;;2221))
an ch n x bn sh n x
若X提供齐次边界条件
u (c0 d0 y)22
(cnen y dnen y )Xn (n x)
n10((1112;;2221))
n 10((1112;;2221))
利用正交性求解系数
c0
1 f
f 0
( y)dy
an
2 f
f
( y)Yn (n y)dy
0
c0 d0e
1 f
f
( y)dy
0
求解方程组即可
环（圆）域上的二维拉普拉斯方程
环域
将定界条件带入
利用正交性求系数
环（圆）域上的二维拉普拉斯方程
圆域
将定界条件带入
n10((1112;;2221))
c0
1 l
l 0
( x)dx
d0
1 l
l
0
( x)dx
Cn
2 l
l 0
( x)Xn (n x)dx
Dn
2 l
1
na
l
0
( x)Xn(n x)dx
一维热传导方程
u(
x,
t
)
c2,2 0
Cnea2n2t X n (n x)
n10((1112;;2221))
1 l
X (x) X (x) 0
X
'(0)
X
'(a)
0
n
( n a
)2
0
n 0,1, 2,....
2-2数理方程与特殊函数
§2.2 有限长杆上的热传导
一均匀细杆长为 l，在 x=0 端温度为0度，且保持 温度不变， x=l 端与外界绝热。已知初始时刻温度
分布为 ( x). 试求细杆上温度的变化规律。
ut a2uxx 0, u x0 0, ux
u t0 ( x),
0
xl
0
x 0, x
l l
,
t0 t0
X X 0
x0 一
一 二 二
xl 一
二 二 一
特征值
n2 2
l2
2n 12
4l 2
2
n2 2
l2
2n 12 2
4l 2
特征函数
sin n x
l
sin 2n 1 x
2l
cos n x
l cos 2n 1 x
2l
取值范围
n 1, 2,
n 0, 1, 2, n 0, 1, 2, n 0, 1, 2,
r1 l
2
,
2
r2 l
2
,
k
rk l
2
,
即
tg
l
h
,
令 r l, hl,
17:44
有
tgr
r
超越方程
X ( x) Acos x
对应的本征函数
Xk x Ak cos k x,k 1,2,
T t 的方程：
T ' a2T 0
解为
Tk t Ckeka2t
故
u( x,t)
( x),求此杆的温度分布。
解：定解问题为
ut ux
a2uxx |x0 0,
0 (ux
(0
x hu)
l,t |xl
一均匀细杆长为 l，在 x=0 端温度为0度，且保持 温度不变， x=l 端与外界绝热。已知初始时刻温度
分布为 ( x). 试求细杆上温度的变化规律。
ut a2uxx 0, u x0 0, ux
u t0 ( x),
0
xl
0
x 0, x
l l
,
t0 t0
X X 0
x0 一
一 二 二
xl 一
二 二 一
特征值
n2 2
l2
2n 12
4l 2
2
n2 2
l2
2n 12 2
4l 2
特征函数
sin n x
l
sin 2n 1 x
2l
cos n x
l cos 2n 1 x
2l
取值范围
n 1, 2,
n 0, 1, 2, n 0, 1, 2, n 0, 1, 2,
r1 l
2
,
2
r2 l
2
,
k
rk l
2
,
即
tg
l
h
,
令 r l, hl,
17:44
有
tgr
r
超越方程
X ( x) Acos x
对应的本征函数
Xk x Ak cos k x,k 1,2,
T t 的方程：
T ' a2T 0
解为
Tk t Ckeka2t
故
u( x,t)
( x),求此杆的温度分布。
解：定解问题为
ut ux
a2uxx |x0 0,
0 (ux
(0
x hu)
l,t |xl
数理方程与特殊函数(钟尔杰)2弦振动和几类波动方程的定解条件
03
应用
贝塞尔函数在解决弦振动问题、电磁学、光学等领域的问题中有着广泛的应用。
贝塞尔函数
01
定义
贝塞尔函数是一类在数学和物理中广泛应用的特殊函数，通常记作Jn(x)，其中n为非负整数。
02
性质
贝塞尔函数具有一些重要的性质，例如它们是正交的，具有递推关系等。
定义
01
勒让德函数是一种在数学和物理中常用的特殊函数，通常记作Pn(x)和Qn(x)。
应用
高斯函数在解决各种问题中有着广泛的应用，例如统计学、信号处理、图像处理等。
高斯函数
04
弦振动方程的定解条件
弦振动方程的建立
两种常见的弦振动方程：离散型弦振动方程和连续型弦振动方程。
离散型弦振动方程适用于具有固定节点或支撑的弦，而连续型弦振动方程适用于无节点或自由支撑的弦。
建立过程：弦振动方程是通过将物体的质量、弹性系数、阻尼系数等物理参数代入牛顿第二定律，结合初始条件和边界条件而建立的。
在统计力学中的应用
07
研究结论与展望
证明了2弦振动方程的解的存在性和唯一性，并给出了其解的表达式。
研究了几类波动方程的定解条件，给出了其解的表达式和稳定性条件。
探讨了这些方程在实际问题中的应用，并给出了相应的实例分析。
分析了2弦振动方程的稳定性，得到了其稳定性的充分条件。
研究结论
研究展望
进一步研究2弦振动方程和其他复杂振荡系统的动力学行为，以及它们在物理、工程和其他领域的应用。
研究内容与方法
02
数理方程的基本概念
1
偏微分方程概述
2
3
偏微分方程是指包含未知函数及其偏导数的等式。
偏微分方程的定义
数理方程与特殊函数(钟尔杰)5齐次弦振动方程的分离变量法
u( x, t )=T(t)·X(x)
将 utt = T”X, uxx = T X” 代入波动方程
3/16
utt = a2 uxx
T X a 2T X
常微分方程
T”(t) X(x) = a2T(t) X”(x)
T a 2T
X X
T a2T 0 X X 0
n1
u( x,0) Cn sin(n x) Cn sin(n x) ( x)
n1
n1
ut ( x,0) (n )Dn sin(n x) Dn = 0
n1
1
Cn
2
( x)sin(n
0
x)dx
4/7
[cos(7 n) x cos(7 n) x]dx 3/7
(1)通解:
X Ae x Be x
边界条件: X(0) = 0 X(L) = 0
A B 0 Ae L Be L 0
A[e L e L ] 0
A=–B=0
0 时固有值问题只有零解
5/16
(2) 0
X X 0, 0 x L
u(x, t) = cos t sin x
2/16
齐次波动方程分离变量方法
其中
utt a2uxx , (0 x L, t 0) u x0 0, u xL 0
u t0 ( x),ut t0 ( x)
( x), ( x) 是已知函数
设问题的解 u( x, t )可以按自变量分离
例3 设 a2=10000
uuttx
数理方程特殊方程 复习课
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
X X 0
(1),
X
(0)
0,
X
(L)
0
n
n2 2
L2
X
n
(
x)
Bn
sin
n x
L
,
(n
1,
2,
)
X X 0
(2),
X
(0)
0,
X
(L)
0
n
n2 2
L2
(n 1, 2,3 ) (n 0,1, 2,3 )
n x
Xn (x) Bn cos L , (n 0,1, 2, )
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(3)、将一般解代入泛定方程并把自由项按固有函 数系展开后通过比较系数得到Tn(t)的微分方程；
(4)、由原定解问题初值条件把把初始函数按固有函数 系展开后通过比较系数得出T n(t)的定解条件；
(5)、求出T n(t) 。
30
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
5、边界条件齐次化方法
(1)、一般方法
采用未知函数代换法：
u(x, t) V (x, t) W (x, t)
选择适当的W(x,t)，使关于V(x,t)定解问题边界条件是 齐次的。(采用多项式函数待定法求W(x,t))。
a
1 1
所以
a11
a21
a12
a22
Q
a11
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
X X 0
(1),
X
(0)
0,
X
(L)
0
n
n2 2
L2
X
n
(
x)
Bn
sin
n x
L
,
(n
1,
2,
)
X X 0
(2),
X
(0)
0,
X
(L)
0
n
n2 2
L2
(n 1, 2,3 ) (n 0,1, 2,3 )
n x
Xn (x) Bn cos L , (n 0,1, 2, )
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(3)、将一般解代入泛定方程并把自由项按固有函 数系展开后通过比较系数得到Tn(t)的微分方程；
(4)、由原定解问题初值条件把把初始函数按固有函数 系展开后通过比较系数得出T n(t)的定解条件；
(5)、求出T n(t) 。
30
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
5、边界条件齐次化方法
(1)、一般方法
采用未知函数代换法：
u(x, t) V (x, t) W (x, t)
选择适当的W(x,t)，使关于V(x,t)定解问题边界条件是 齐次的。(采用多项式函数待定法求W(x,t))。
a
1 1
所以
a11
a21
a12
a22
Q
a11
高中总复习二轮理科数学精品课件 第二部分 2.2 函数与方程及函数的应用
交点.
在同一平面直角坐标系下作出函数f(x)与g(x)
的图象,如图所示.
由图可知,当 g(x)的图象过点
1
0,- 2
1
和(1,0)时,k=2,此
时函数 f(x)与 g(x)的图象恰有 3 个交点.
当 g(x)的图象与 y=ln x(x>1)的图象相切时,设切点为(a,ln a),因为
1
2
ln +
为
4
.
解析: 易知函数f(x)单调递增.由零点存在定理,若当x∈(-1,1)时,函数f(x)有
零点,
e-1 -1- < 0,
(-1) < 0,
则需要满足
即
(1) > 0,
e + 1- > 0,
1
解得e -1<a<e+1.因为
a 是整数,
所以 a 的可能取值为 0,1,2,3.
||, ≤ ,
(2018全国 填空题 应用零点存在情况求参数值或取
Ⅲ,理15)
值范围;函数的实际应用的考查
常以实际生活为背景,与最值、
不等式、导数、解析几何等知识
交汇命题.
复习策略
1.关于函数的零点问
题,要学会分析转化,
能够把与之有关的不
同形式的问题,化归为
适当方程的解的问题.
2.函数模型的实际应
用问题,主要抓好常见
存在
1
a,b 使-f(x)=a< ,或-f(x)=b∈(0,1),即
1
f(x)=-a>- ,或
f(x)=-b∈(-1,0).
由f(x)=-a>-
1
>0知,函数y=f(x)的图象与直线y=-a(a<0)存在两个交点,此
函数与方程-2025高考数学复习
A.
第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
高考一轮总复习 • 数学
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7．方程log2(x＋4)＝3x的实根的个数为( C )
A．0
B．1
C．2
D．3
[解析] 在同一平面直角坐标系中作出函数y＝log2(x＋4)与y＝3x的
大致图象，如图．由图象可观察出两个函数图象共有两个不同的交点，
故方程log2(x＋4)＝3x有两个根．
第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
高考一轮总复习 • 数学
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题组二 走进教材 2．(必修1P155T1改编)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二 分法求图中的函数零点的是( C )
[解析] 对于选项C，由题图可知零点附近左右两侧的函数值的符号 是相同的，故不能用二分法求解．
第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
函数与方程
知识梳理·双基自测 考点突破·互动探究 名师讲坛·素养提升 提能训练 练案[13]
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知识梳理 · 双基自测
高考一轮总复习 • 数学
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知识梳理 知识点一 函数的零点 1．函数零点的定义 对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使__f_(x_)_＝__0__成立的实数x叫做函数y＝ f(x)(x∈D)的零点． 注：函数的零点不是点．是函数f(x)与x轴交点的横坐标，而不是y ＝f(x)与x轴的交点．
A．0.625
B．0.75
C．0.687 5
D．0.65
第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
高考一轮总复习 • 数学
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[解析] 根据|0.75－0.687 5|＝0.062 5<0.1，判断区间[0.687 5,0.75]内
的任何一个值都可作为方程的近似解．因为 f(0.625)<0，f(0.75)>0，计算 0.625＋0.75
2024版高考数学总复习：函数与方程课件
1
1
与y＝ 2 的交点横坐标所在区间为(
3
1
2
3
B．
1
1
，
3
2
D．
2
，1
3
4
)
解析：设f(x)＝
B
因为f
1
2
1
3
1
f
＝
3
1
所以f
3
＝
1
2
f
1
3
−
1
2
1
3
1
2
−
1
2
1
1
－ 2
3
1
3
1
2
，易知f(x)单调递减，
>0，
<0，
＜0，
所以函数零点所在区间为
1
1
，
3
2
，即所求交点横坐标所在区间为
1
(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个
零点．
(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变
号．
二、基本技能·思想·活动经验
1．判断下列说法的正误，对的画“√”，错的画“×”．
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.
1
，
3
2
1
2
3
4
1
4．(多选题)已知函数f(x)＝
+
1 2
x －2，利用零点存在定理确定各零
2
点所在的范围．下列区间中存在零点的是(
A．(－3，－2)
C．(2，3)
数理方程与特殊函数钟尔杰故有值热传导方程
t
sin
n
L
x
Bn
2 L
L( )sin n d
0
L
7/15
第6页/共16页
固有值问题II
X X 0, 0 x L
X
(0)
0,
X (L)
0
当 λ≤0时,只有零解。当 λ > 0时
通解: X ( x) Acos x B sin x
X(0) = 0 A = 0
X'(L) = 0 B cos L 0
T a 2T
X X
T a 2T
X X
常微分方程 T a2T 0 X X 0
9/15
第8页/共16页
固有值 固有函数
n
(2n
1)2
4 L2
2
(2n 1)
X n( x) Bn sin 2L x
T na2T 0
Tn (t ) ena2t
un(x, t) = Tn(t) Xn(x)
n1
u(0, y) = 0, u(1, y) = siny
准确解:
u( x, y) shx siny sh
第14页/共16页
15/15ຫໍສະໝຸດ 考题1. 热传导方程分离变量法与波动方程分离变量法有 何不同？
2. 固有值问题的边界条件有几类？ 3. 如何利用初始条件确定热传导方程的级数解中的
系数Cn,？ 4. 偏微分方程有源函数f(x, t )时，可不可以用分离
变量法求解？
习题3.2: 1
第15页/共16页
感谢您的观看！
第16页/共16页
(固有值问题边界条件) [ X n X m X m X n ]0L 0
L
0 X m X ndx 0
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6.2 Green公式及调和函数的性质
一、Green公式
设V是以分片光滑的曲面S为边界的有界区域，
P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) 在 V U S 上连续,在V内
具有一阶连续的偏导数，则成立如下的Gauss公式
Ò Px Qy Rz dV Pcosn, x Qcosn, y Rcosn, z dS
f2 (x)]
1 2π
fˆ1()
fˆ2 ()
性质4
F[ f (x)] j fˆ ()
F[ f (k) (x)] ( j)k F[ f (x)]
性质5 fˆ () F[ jxf (x)]
性质6
x0 设为任意常数，则 F[ f (x x0 )] e jx0 F[ f (x)]
性质7
定义3 Mellin变换是指 M (s) f (x)xs1dx 0
定义4 Mellin逆变换是指
f (x) 1
c j
M (s)xsds
2πj c j
第六章 Green函数法
6.1 Poisson方程与Laplace方程的边值问题 6.2 Green公式及调和函数的性质 6.3 Dirichlet与Neumann问题解的适定性 6.4 Poisson方程Dirichlet问题Green函数法 6.5 几种特殊区域上Dirichlet问题的Green函数 6.6 Laplace方程与热传导方程的基本解 6.7 波动方程的基本解 6.8 Poisson方程边值问题近似求法简介
u S (x, y, z)
称这两个定解问题分别为Laplace方程Dirichlet问题与Poisson方程Dirichlet问题。
Neumann问题（第二类边值问题）：在空间中 某光滑的闭曲面S上给出连续函数 ，要求找 出一个函数 u(x, y, z) ，在V内满足
u 0, (x, y, z) V
L[ f (x)] sL[ f (x)] f (0) L[ f (x)] s2L[ f (x)] sf (0) f (0)
LLLLLL L[ f (n) (x)] snL[ f (x)] sn1 f (0) sn2 f (0) L f (n1) (0)
6．积分定理
L[ x f ( )d ] 1 L[ f (x)]
u n
S
(x,
y,
z)
u f (x, y, zபைடு நூலகம், (x, y, z) V
u n
S
(x,
y,
z)
这里是S的外法线方向。则称这两个定解问题分别为Laplace 方程Neumann问题与Poisson方程Neumann问题。
Robin问题（第三类边值问题）：若 u(x, y, z) 在V内满足
L
,
xn
)
1 (2π)n
L
F(1,
2 ,
L
,
)e d d L j(1x1 2x2 L n xn )
n
12
dn
n维Fourier变换具有的性质
F[ f1 f2 ] F[ f1] F[ f2 ]
F[ f1 f2 ] F[ f1]F[ f2 ]
F[
f1
f2
]
1 (2π)2
F[
f1]
的Fourier变换的乘积：
F[ f1(x) f2 (x)] F[ f1(x)]F[ f2 (x)]
f1(x) f2 (x) F1[ fˆ1() fˆ2 ()]
性质3
f1(x), f2 (x) 乘积的Fourier变换等于它们各自的 Fourier变换的卷积再乘以系数 1 ，即
2π
F[ f1(x)
2．延迟定理
L[ f (x )] es L[ f (x)] ≥0
3．位移定理
设a为复数，则有
L[eax f (x)] f%(s a), Re(s a) 0
4．相似定理
L[
f
(cx)]
1 c
f%
s c
，c
0
5．微分定理
设 f (n) (x) (n 1, 2, L )分段连续，则
设 0为任意常数，则 F[ej0x f (x)] fˆ ( 0 )
性质8
F[ x f (t)dt] 1 F[ f (x)]
j
性质9
F[ f (at)]
1
fˆ
(
)
aa
性质10 F[ f (x)] g()
F[g(x)] 2πf ()
性质11
f 2(x)dx 1
+
fˆ
()
2
d
2π
性质12
第五章 积分变换
5.1 Fourier变换 5.2 Fourier变换的应用 5.3 Laplace变换 5.4 Laplace变换的应用 5.5 其他的积分变换
5.1 Fourier变换 一、Fourier变换的定义
定理1 若 f (x) f (x 2L) ,且在一个周期内只有有限个第 一类间断点与极值点，则
其中
a0 2
n1
an
cos
nπx L
bn
sin
nπx L
f (x), x 为连续点 f (x 0) f (x 0) ,
2
x
为不连续点
an
1 L
L
nπx
f (x) cos dx
L
L
bn
1 L
L
nπx
f (x)sin dx
L
L
n 0, 1, 2, L
定义1 fˆ() 称为f(x)的Fourier变换，f(x)称为 fˆ() 的Fourier逆变换。
F f1(x) f2 (x) F[ f1(x)] F[ f2 (x)]
定义6 设 f1(x), f2 (x) 都满足Fourier变换的条件，则称 f1 x f2 d 为 f1(x), f2 (x) 的卷积。记为
f1(x) f2 (x) f1(x ) f2 ()d
性质2
f1(x), f2 (x) 的卷积的Fourier变换等于 f1(x), f2 (x)
2
1
L[x 2 ]
1 s
1 2
π s
即
L
1 πx
1 s
L[xn ]
n 1
sn1
n！ sn1
四、Laplace变换的性质 1．线性定理
若 a1, a2 为任意常数，则
L[a1 f1(x) a2 f2 (x)] a1L[ f1(x)] a2L[ f2 (x)] L1[a1 f%1(s) a2 f%2 (s)] a1L1[ f%1(s)] a2L1[ f%2 (s)]
Fourier变换有多种形式。这些形式的差异主 要体现在积分号前的系数以及被积函数中指 数函数的指数符号。本书采用工程应用中典 型的定义形式，这样的Fourier变换许多性质 也可以从物理上得到解释。
二、正（余）弦变换的定义
定义2 Fourier余弦变换是指
fˆc ()
f (x) cos xdx
0
定义3 Fourier逆余弦变换是指
f (x) 2 π
fˆc()cosxd
0
定义4 Fourier正弦变换是指
fˆs ()
f (x)sin xdx
0
定义5 Fourier逆正弦变换是指
f (x) 2 π
fˆs ()sin xd
0
三、Fourier变换的基本性质
性质1 Fourier变换是一个线性变换：对于任意常数 、 与任意函数 f1(x)、f2 (x) 有
0 e(s jb)x e(s jb)x dx
1
2
j
s
1 jb
s
1 jb
s2
b
b2
,
Re s 0
3．若 f (x) x，Re 1，
则
L[x ]
0
x esxdx
1 s 1
e sx
0
sx
d(sx)
1
s 1
,
Re s 0
分别令 1 及 n (n 0, 1, 2, L ) ，则
设L为平行于虚轴的固定直线, Cn 为一族以原点为
中心并在L左边的圆弧，Cn 的半径随 n 而趋
于无穷。若在
Cn
上，函数g(s)满足 lim g(s) n
sCn
0
，则
对任一正数x，均有
lim g(s)esxds 0
n Cn
2．展开定理
设解析函数 g(s) 满足条件：
（1）在开平面内只有极点为其奇点 s0, s1, s2, L , sk , L ，且这些极点都分布在半平面 Re s ≤0 上；
F[
f2
]
F
f xk
jk F[ f ],
k
1,
2,
L
,
n
k
F[ f ] F[ jxk
f ],
k
1,
2,
L
,
n
五、Fourier变换在常微分方程中的应用
例3 求解 y xy 0
F(xy)
1 j
F ( jxy)
1F( y)
j
1 i
j
yˆ
yˆ
yˆ F(y)
( j)2yˆ
y(x)
F1
c
e 2
/2
c 2π
1 e d 2 / 2 jx R
5.2 Fourier变换的应用
Fourier变换法求解步骤为：
（1）对定解问题作Fourier变换； （2）求解像函数； （3）对像函数作Fourier逆变换。
F[u(x, t)] u(x, t)e jxdx uˆ(, t)