极限思想在高中数学解题中的应用
浅析极限思想在高中数学客观题中的应用
浅析极限思想在高中数学客观题中的应用【摘要】随着高中数学解题思路的不断优化，尤其是新课程要求下的素质训练与知识构成之间的关联性逐渐增强，从多方面加强高中数学的解题能力，有很大的作用.在高考竞争激烈的情形下，如何在有限的时间内，高效率地解客观题是高考取胜的一种策略.本文通过对极限的概念分析，并从多方面概述极限在高中数学客观题解答中的应用，通过多个实例分析极限思想在数列中的应用以及在三角形问题、解析几何中的具体应用.【关键词】极限思想；高中数学；客观题；应用极限思想是用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想，通过对问题的极端状态的讨论，避开了抽象复杂的演算，优化了解题过程和解题方法，降低了解题难度.本文以运动变化的观点讨论了极限思想在高中客观题解答中的应用，以开阔学生的视野，提高学生解题的技巧.一、简述极限思想的相关概念（一）极限思想的概念分析极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论（包括级数）为主要工具来研究函数的一门学科.所谓极限思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想.用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果.极限思想是微积分的基本思想，数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限来定义的.（二）建立概念的极限思想极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终.可以说数学分析中的几乎所有的概念都离不开极限.在几乎所有的数学分析著作中，都是先介绍函数理论和极限的思想方法，然后利用极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、级数的敛散性、多元函数的偏导数、广义积分的敛散性、重积分和曲线积分与曲面积分的概念.譬如函数在点连续的定义，是当自变量的增量时，函数值的增量趋于零的极限；函数在点导数的定义，是函数值的增量与自变量的增量之比，当时的极限.二、分析极限思想解题的作用（一）简化解题，深化思维在求不等式的解集和变量的取值范围问题中，利用极限思想来寻求解题的途径，常常能达到简化计算过程，化难为易，深化思维，使问题轻松获解的效果.譬如：不等式+logx+2>0的解集是（）.A.[2，3）B.（2，3]C.[2，4）D.（2，4].本题为不等式解集问题，通常考查变数字母取其区间的端点和端点的极限情况.当x趋近2时，左边结果趋近，且当x=2时，不等式有意义，排除B、D，又当x趋近于4时，不等式成立，排除A，因此答案选C.（二）优化解题，活化思维在立体几何问题中，利用运动变化的观点对最大、最小、最近、最远等特殊位置进行极端位置的考察，以达到发现问题的解题思路和问题结果的目的，活化思维，培养思维的灵活性.譬如在对教材中许多公式、定理等的发现，采取“题型+方法”教学方式，让启发式教学进入数学教学活动，选择自觉渗透数学思想方法，利用概念、公式、定理教学，培养学生思维的概括性和创造性；通过应用教学，培养学生思维的连续性和广阔性.（一）极限思想在数列中的应用通过采用极限思想的运用，结合数列的特点，极限思想是一种重要的数学思想，灵活地借助极限思想，可以避免复杂运算，探索解题新思路.例△ABC的各边中点得到一个新的△A1B1C1，又连接△A1B1C1的各边中点得到△A2B2C2，如此无限继续下去，得到一系列三角形：△ABC，△A1B1C1，△A2B2C2、‥‥这一系列三角形趋向于一个点M，已知A（0，0），B（3，0），C（2，2），则点M的坐标是：分析易知A，A1，A2，A3‥‥都在直线AA1上，且A2为AA1的中点，A3为AA2的中点，依法类推，设AA1=a，则AAn=a-1/2a-1/4a-1/8a…，当n趋向于无穷大的时候，这一系列三角形无限趋近于△ABC的重心，从而由重心的坐标计算公式，可求得M513，213.（二）极限思想在解析几何中的运用极限是微积分中最基本、最主要的概念，它从数量上描述变量在变化过程中的变化趋势，而在无限变化过程中考察变量的变化趋势的思想就是极限思想.在高中数学中，极限思想深入渗透到解析几何章节中，并且又衔接高等数学，起着承上启下的作用.（三）数学应用意识的提高从当前数学教学的实际特点出发，围绕素质教育的要求，让学生在掌握知识的同时，也能更好地展现出自我思考、自我探究的方式，与数学的应用价值结合在一起，并实现构建数学模型的能力.通过对概念的理解，积极寻求思维突破口，并敢于应用.例如这样一个题目：已知是定义域为R的奇函数，当时，，求的表达式.这是一个很常规的问题.在教学中，不应仅仅看重获得结果，更应定位在通过问题的解决过程加深对函数符号、函数概念与函数图像的对称性的理解.如：有的学生在求的对应解析式时，有种解法很困惑：设，则，，所以当时，解析式为.出现这个问题的原因在于没有理解抽象符号的含义.四、结语对于某些客观题，如果我们能灵活地运用极限思想去解，不仅可以避开抽象复杂的运算，大大降低解题难度，还可以优化解题思路，达到事半功倍之效；当然，对于一些其他类型的题目，运用极限思想也可达到拓展思路、辅助解题的作用.。
极限思想在高中数学中的应用
教学实践JIAOXUESHIJIAN极限思想在高中数学中的应用广西壮族自治区北海市北海中学宁德芬【摘要】极限思想作为社会实践的产物，其渊源甚至可以追溯到古代。
用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，再确认这个变量通过无限过程的结果就是所求的未知量;最后用极限计算来得到结果。
在高中数学的学习过程中，极限思想可以给学生提供一条意想不到的解题思路,让原本烦琐的题目以相对简易的方式求得答案。
本文将围绕可以运用极限思想的几道例题阐述极限思想在高中数学中的妙用。
【关键词】极限思想高中数学解题思路一、极限思想对部分求范围的题目有奇效在解决高中数学选择题时,极限思想是必须掌握的一种解题技巧，它本质上是特殊值法的延伸，利用极限思想来解决小题不仅可以透析题目的深刻本质,还可以达到化繁为简的目的。
1.已知定义在(-8,+8)上的函数/(%) = [(3;1)%-4：严<1,是减函数，那么a的取值范围是Uog,%),%>1()。
A.(0,1)B.(0,1/3)C.(1/7,1/3)D.(1/7,1)解析:本题的关键在于讨论函数在分界点x=l的领域内，使得(3a-l)%-4a>log必，即前者图象在后者之上,然后再结合图象去求a的取值范围。
此时,利用极限思想就可以很快地确定满足这一条件下的a的取值范围，之后交集范围便是题目所求。
而又因为/(%)在R 上的减函数，所以解得l/7<a<l/3，故选择C o从这道题中，我们显然可以看到极限思想帮助我们省去不少烦琐的计算过程,而是透析这道题所求范围的本质,从而达到了快速高效解题的目的。
所以,充分掌握极限思想,并在做题时时刻保持对数学思想的“敏锐嗅觉”，将会成为解题制胜的一大法宝。
二、极限思想能处理复杂的无穷等比数列问题极限本质上是从微积分中剥离出来的基本概念，它从数量上描述变量在变化过程中的一种状态或者趋势,而我们知道无穷等比数列中,g代表了该数列的变化规律，所以克制无穷等比数列是按照特定规律g变化的一种不定状态。
高中数学中的极限概念是如何应用的
高中数学中的极限概念是如何应用的在高中数学的学习中，极限概念是一个极为重要的知识点。
它不仅是数学分析的基础，还在众多领域有着广泛而深刻的应用。
首先，让我们来理解一下什么是极限。
简单来说，极限描述的是当自变量无限趋近于某个值时，函数所趋近的一个确定的值。
比如说，当 x 无限趋近于 0 时，函数 f(x) ＝ sin(x) ／ x 的极限是 1 。
这就是极限的一个简单例子。
那么，极限在高中数学中有哪些具体的应用呢？在函数的研究中，极限发挥着关键作用。
通过求函数在某一点的极限，我们可以判断函数在该点的连续性。
如果函数在某点的极限值等于该点的函数值，那么函数在这一点就是连续的。
连续性是函数的一个重要性质，它对于我们理解函数的变化规律非常有帮助。
例如，对于函数 f(x) ＝ x ＋ 1 ，当 x 趋近于 1 时，f(x) 的极限就是2 ，而且 f(1) 也等于 2 ，所以这个函数在 x ＝ 1 处是连续的。
极限还用于求函数的导数。
导数反映了函数在某一点的变化率。
通过极限的方法，我们可以求出函数在某一点的导数。
比如，对于函数 f(x) ＝ x²，它在点 x 处的导数 f'（x) 可以通过极限来计算，即 f'（x) ＝ lim （h→0) （（x ＋ h)² x²）／ h ，经过计算可以得到 f'（x) ＝ 2x 。
导数的应用非常广泛，它可以帮助我们解决诸如求函数的单调性、极值和最值等问题。
在数列中，极限也有着重要的地位。
对于一个数列，如果它存在极限，我们就说这个数列是收敛的；如果不存在极限，就说它是发散的。
比如，数列 1/2， 1/4， 1/8， 1/16，…… 它的通项公式是 aₙ ＝（1/2)ⁿ 。
当 n 趋向于无穷大时，这个数列的极限是 0 ，所以这个数列是收敛的。
而数列 1， 2， 3， 4，…… 通项公式是 aₙ ＝ n ，当 n 趋向于无穷大时，这个数列的值也趋向于无穷大，不存在极限，所以这个数列是发散的。
极限思想在高中数学解题中的应用
极限思想在高中数学解题中的应用摘要：极限思想在函数、方程、不等式、三角函数﹑数列、立体几何等众多问题中都可巧妙运用。
在高中数学解题中,教师应渗透有关极限思想的教学,让极限思想进入学生数学思维领域，其次学生需善于总结发现运用极限思想解决相关题型。
下面就如何让极限思想应用于解高中几大类型题目,展开叙述。
关键词：极限思想；解题；应用；一、在日常教学中渗透,逐步形成认知在高中阶段,许多知识和方法和“无限趋近”相关﹐如区间的无穷远处、数列的项数﹑柱锥台之间的关系、函数图像的渐进线、曲边图形的面积及曲线的切线等。
因此,教师要在日常教学中进行渗透,让学生逐步形成对它的认知。
教科书这样呈现区间表示:实数集可以用区间表示为。
我们可以把满足, ,,的实数的集合分别表示为,,,。
二、在概念教学中渗透,深化理解与认识教科书虽然没有正面提及极限的概念,但是在导数的定义中,已经很紧密地把导数和极限概念关联在一起了。
当时，(为常数),把称为在点的导数,记作。
在这里,“无限趋近”的实质就是高等数学中的极限概念﹐实际教学中教师通常是借助导数的几何意义来帮助学生理解“无限趋近”,让学生直观地体验“无限趋近”,然后引导学生逐步认识“无限趋近”在解题中的作用。
三、在优化解题中渗透,体验巧妙解题的魅力数学思想的魅力在于能巧妙运用,优化解题思路，提升解题效率。
极限思想也不例外,它在函数、方程、不等式、三角函数﹑数列、立体几何等众多问题中都可巧妙运用。
尤其在解决带参数的超越函数的零点问题上,可利用参变量分离方法和极限思想对所构造超越函数的图像进行定位,从而避开繁杂的讨论,大大优化解题过程。
1.极限思想在立体几何中的应用立体几何很考验同学们的空间想象和计算能力，同学们一般会花费大量时间解答这类题,但如果能够恰当地运用极限思想,就可以将复杂图形简单化,计算也随之变得容易。
例1、圆台的上底面和下底面的半径分别是和,作一个平行于圆台底面的截面将圆台分为体积相等的两部分,则截面圆的半径为（）。
极限思想在中学数学中的应用研究
极限思想在中学数学中的应用研究
极限思想是以极限的概念来分析数学问题，它提供了一种有效的方
法来研究函数、曲线、表面以及对这些图形和曲线进行计算和分析。
极限思想可以帮助人们更深入地理解数学知识，了解并分析数学中的
现象，并使用极限的思想来解决数学问题。
极限思想在中学数学中有着广泛的应用。
在微积分中，通过极限的思
想可以求得函数在某点附近的解析解及导数；在代数学中，极限思想
可以用来计算多项式的极值；在解析几何中，可以利用极限思想求出
圆周上某点到圆心的距离；在概率论与数理统计中，用极限思想可以
研究正态分布的形成。
此外，极限思想也用于优化问题中，帮助研究者设计出最优的解决方案；在几何图形中，极点的概念也可以用极限思想判断；在动力学和
运动中，可以利用极限思想找到运动物体的运行轨迹。
总之，极限思
想在中学数学中的应用非常广泛，可以帮助学生更好地理解数学公式，更加深入地剖析数学问题，有效地解决实际问题，为数学有着重要作用。
极限思想在高中数学解题中的应用
极限思想在高中数学解题中的应用极限思想在高中数学解题中的应用极限思想作为一个重要的数学概念在高中数学教学中得到了培训，影响着后来数学解题的过程，也对提升高中数学解题水平比较有意义。
因此，如何应用极限思想在高中数学解题中显得尤为重要。
首先，要认识到极限中的关系。
极限的基本概念是“当x的值逐渐接近某个特定的值，y的值也会逐渐靠近某个特定的值”，换句话说，所谓的“靠近”，就是指每次减小x的值时，y的值也会靠近某个极限值。
根据极限的定义，某一极限存在时，x的关系可以抽象成一个方程，即极限=f（x）。
其次，要学会把握极限的推导过程，比如一些分式除以越来越小的常数，我们往往会把这样的分式将其多次连乘，并且把和分母相特殊的项放到分母里，最终将这样的分式简化成一个极限式。
再次，要学会利用极限的思想来解决实际问题，比如高中生求解一元二次方程，可以先进行联立方程求值，再使用极限的思想，当a，b极限的值为1的时候，极限的解为2a+db。
这样就可以轻松求出一元二次方程的解。
比如，当方程为：ax2+bx+c=0时，极限值为2a+db，从而得到方程的解。
最后，要保持极限思想的正确认识和理解，比如说，在一般条件下，极限的值及其对应的x的值是有限的，而不是无穷的，那么也就意味着，在一定的条件范围下，有些函数的极限就是有限的，所以，当c取不同值时，极限也就有所变化，从而达到解决数学问题的目的。
极限思想作为一个数学思想，最重要的还是要正确理解和运用。
极限思想是对极端情况的分析，也可以帮助我们在解决数学问题中节省不少时间和精力。
因此，广大高中生要加强极限思想的学习，用正确的思想来解决高中数学中的各种问题，从而提高数学解题的水平。
最新极限思想在高中数学解题中的应用
极限思想在高中解题中的运用 多伦县第三中学 刘洪庆极限的思想是近代数学的一种重要思想，我们在大学所学的数学分析就是以极限概念为基础、极限理论为主要工具来研究函数的一门学科。
而在高中一些数学问题的解答上如运用极限的思想，会使我们的解答简单而高效。
所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。
下面将用例题举出极限思想的妙处。
尝试将极限思想和方法渗透、融合在解题教学中，实现方法与内容的整合实践，以期引起广大师生的广泛关注和高度重视。
数学思想方法是数学的灵魂，没有数学思维就没有真正的数学学习。
要让学生学好数学，用好数学，就要让学生走进数学的“灵魂深处”。
给大家介绍说明本文要用到的数学符号:”。
“负向趋近于”表示③“”。
“正向趋近于”表示②““趋近于”。
”表示①“a :a a :a :-→+→→ 举例: 大”。
且比“正向趋近于”表示“11:1+→小”。
且比“负向趋近于”表示“11:1-→例1、函数xx xx e e e e y ---+=的图象大致为（ ）解析：x x x x x x x x e e e e e e ee y 11-+=-+=--当 +→0x 时，+→1x e ，-→11x e ，∴+→-0)1(x x e e 、2)1(→+x x e e ， +∞→+=∴02y 。
故排除B 、C 、D 。
选A 例2、函数x x x y --=226cos 的图象大致为（ ）解析：当 +→0x 时，+→12x ，-→121x ，∴+→-0)212(x x ，16cos →x ， ∴+∞→+=01y 。
当 -→0x 时，-→12x ，+→121x ，∴-→-0)212(x x ，16cos →x ， ∴-∞→-=01y 。
排除A 、B 又应为x 6cos 是值域[]1,1-上的周期函数，所以选D例3、函数x x x f tan 2)(-=在⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2ππ上的图象大致为（ ）解析: 当-→2πx 时,+∞→x tan ,-∞→-x tan ,-∞→-x x tan 2,-∞→∴)(x f ,排除B 、D 选项当 +-→)2(πx 时, -∞→x tan ,+∞→-x tan ,+∞→-x x tan 2,+∞→∴)(x f 排除A 选项故选C例4、函数x e e y x x sin )(--=的图象（部分）大致是（ ）解析：当+→0x 时，+→1x e ，-→11x e ，∴+→-0)1(xx e e ，+→0sin x ， +→+⨯+=∴0)0()0(y 。
浅谈极限思想在数学解题中的应用_0
浅谈极限思想在数学解题中的应用极限思想是一种重要的数学思想，它是一种用有限认识无限，从近似认识精确，从量变认識质变的思想。
灵活地借助极限思想，可以简化计算过程，优化解题方案，探索解题新方法。
标签：极限思想；数学解题；应用极限思想是社会实践的产物。
早在远古已经萌芽，从我国古代名言：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”中渗透着的极限思想，到刘徽的‘割圆术’，再到法国数学家柯西对极限做出的明确定义。
极限思想逐渐成为一种重要的数学工具，它能突破解题常规，巧解数学问题，因此被广泛应用于解决函数、线性代数、平面几何、立体几何等问题，以达到化难为简，节省时间的效果。
一、利用极限思想判断参数的取值范围例1.已知不等式m2+（cos2θ-5）m+4sin2θ≥0恒成立，则实数m的取值范围（）。
A.0≤m≤4B.1≤m≤4C.m≥4或m≤0D.m≥1或m≤0分析：当m趋于∞时，左边结果大于0，可以排除A，B；当m趋于1时，不等式不一定成立，排除D，因此答案为C。
由此可以看出极限思想是特殊值法的延伸。
该题利用极限思想，着眼于问题的极限状态，减少了计算量，迅速准确获解。
二、利用极限思想判断函数值的范围例 2.已知0<x<y<m<1，则有（）。
三、利用极限思想求行列式的值通过验证，此结果与展开行列式所得的计算结果相同。
该题利用极限思想发掘问题中的有用信息，利用连续函数及函数极限的性质，避开了复杂的计算，优化了解题方案。
四、总结极限思想简而言之就是无限接近的思想。
它能够将复杂的数学问题简单化，具有较强的工具性和实用性。
要想学好数学并且能自如应对应试考试，深入了解和灵活应用极限思想是必要的。
数学的发展必须突破常量研究的传统范围，在曲与直，变与不变的问题上大胆运用极限思想。
在初等数学里，圆面积是用一系列边数无线增多的内接或外接正多边形面积的极限来定义的；在高等数学里，同样用类似的办法来定义曲边梯形的面积，并对其求极限，进而给出定积分的概念及几何意义。
极限思维在高中数学教学中的应用
LiberalArtsGuidance2024年第2期（总第506期）文理导航No.2,2024Serial No.506【摘要】随着社会的发展和科技的进步,人们对知识的需求也在不断增加。
而对于中学生而言,学习数学是必不可少的一个环节。
然而,由于学生对数学的理解程度不同及不同的学习方式,数学教育变得越来越复杂化。
因此,如何提高学生对数学的兴趣和理解能力成为当前亟待解决的问题之一。
极限思维作为一种新的教学方法,具有一定的优越性。
它能够帮助教师更好地引导学生思考问题,激发他们的创造力和想象力,从而达到更好的教学效果。
本文重点研究极限思维在高中数学教学中的应用,旨在提升学生数学素养。
【关键词】极限思维;高中数学;教学;应用目前,极限思维已经被广泛地运用于各个领域中,包括自然科学、社会科学、人文科学等。
而在数学教学方面,极限思维的应用也得到了广泛的研究与实践。
引入极限思维的方法可以使学生更深入地理解数学的本质和规律,提升其解决问题的能力和创新能力。
此外,极限思维还可以帮助教师更好地了解学生的知识水平和发展状况,进而制订更为有效的教学计划和策略。
因此,极限思维是一种非常有前途的新型教学方法,在未来的发展过程中将会得到更广泛的应用。
一、高中数学教学现状分析当前,随着社会的发展和教育的不断进步,数学作为一门基础学科的地位越来越重要。
然而,由于学生对数学的理解程度不同及教师的教学水平参差不齐等因素的影响,导致数学教学中的一些问题。
其中最突出的问题就是学生对数学知识掌握不够深入,缺乏实际操作能力。
而极限思维是一种基于逻辑推理的方法,它通过将复杂的问题分解成一系列简单的问题,从而达到解决问题的目的。
这种方法不仅可以帮助学生更好地理解数学概念,还可以培养他们的创新意识和求解能力。
此外,极限思维还能够激发学生的想象力和创造力,让他们更加关注于数学的本质与规律。
二、极限思维应用优势极限思维是一种高效的学习方法,可以帮助学生更好地理解和掌握知识点。
极限思想在高等数学中的应用
极限思想在高等数学中的应用
极限思想在高等数学中的应用
极限思想是高等数学的基础理论之一。
它的概念深刻，在高等数学的应用中也
有着重要的意义，比如微分学、积分学等。
首先，极限思想用于定义一个函数的极限，可以描述这个函数的表现变化趋势，当函数收敛到某一极限时，它的表现就会趋于稳定。
其次，在微分学方面，极限思想也有着重要用处。
微分学归纳出来的大部分公式都是由极限概念获得的，比如基于极限思想可以得出微积分中的极限中值定理、牛顿近似积分准则等。
简而言之，极限思想是科学研究过程中具有重要价值的一个概念。
极限思想还可以应用于微分方程求解、定积分计算中。
极限思想在微分方程解
法中有着大量的应用，比如变步长Euler法、欧拉法、龙格库塔法等，都是极限思想的应用。
另外，定积分计算中，极限思想也有重要作用，比如把函数的积分计算分解成若干极限，每一步极限可以简便的得出结果，最终把所有的结果求和后可以得到最终的结果。
总结来说，极限思想在高等数学中应用极为广泛。
极限思想既可以用来定义函
数的极限，也可以用来微分方程的求解，定积分的计算等，它能够在很大程度上提高计算效率，简化高等数学的研究。
例析极限、特殊化思想在解题中的运用
例析极限、特殊化思想在解题中的运用高群安(湖北省襄州一中㊀４４１１０４)摘㊀要:极限思想㊁特殊化思想ꎬ在历年高考中都占有重要的地位.在解题中ꎬ它具有排除否定功能ꎬ具有探求导向作用ꎬ它给我们观察㊁猜想㊁发现提供了有力的依据ꎬ使我们的求解过程有明确的努力方向ꎬ从而增强目标意识ꎬ提高我们的思维水平和解题效率.关键词:极限思想ꎻ特殊化思想ꎻ广泛应用中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)２８－００７２－０３收稿日期:２０２０－０７－０５作者简介:高群安(１９６３－)ꎬ男ꎬ湖北省襄阳人ꎬ本科ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀一㊁数学思想概要特殊化思想㊀就是用特殊值㊁特殊点㊁特殊函数㊁特殊数列㊁特殊方程㊁特殊图形 去探求未知的题设结论ꎬ或验证已给题设结论的正误.错误的结论可当即否定ꎬ正确的结论则需要进一步的证明.极限思想㊀就是用极限的概念㊁理论去分析问题和解决问题的一种重要的数学思想ꎬ它在探究㊁解决有关数学问题中有着非常广泛的应用.极限思想㊁特殊化思想在历年的高考中占有重要的地位.运用极限㊁特殊化思想解决有关数学问题ꎬ可以迅速排除错误结论ꎬ缩小目标范围ꎬ优化解题过程ꎬ提高解题效率.㊀㊀二㊁数学思想应用举例特殊化思想是解决选择题的一种常用的方法.然而ꎬ对一些解答题ꎬ若先用特值法探求结论ꎬ就能使我们的求解过程有明确的努力方向ꎬ提高解题的效率.极限思想是运动与静止相互转化的观点在数学中的体现ꎬ如三角形可以看作是梯形上底趋向于零的极限情况ꎻ点可以看作是圆的半径趋向于零的极限情况.１.求值问题例１㊀抛物线ｙ＝－ｘ２＋ｂｘ＋ｃ的顶点坐标为(ｍꎬ１)ꎬ与ｘ轴的两交点为Ａ㊁Ｂꎬ求｜ＡＢ｜的值.分析㊀取ｍ＝０ꎬ则抛物线方程为ｙ＝－ｘ２＋１ꎬ易得｜ＡＢ｜＝２.解法一㊀把抛物线按向量(－ｍꎬ０)平移后ꎬ顶点坐标为(ｍꎬ１)ꎬ此时抛物线方程为ｙ＝－ｘ２＋１ꎬ｜ＡＢ｜的长度不变ꎬ易得｜ＡＢ｜＝２.解法二㊀ȵ抛物线ｙ＝－ｘ２＋ｂｘ＋ｃ的顶点坐标为(ｍꎬ１)ꎬ所以抛物线方程可化为ｙ＝－(ｘ－ｍ)２＋１ꎬ令ｙ＝－(ｘ－ｍ)２＋１＝０得ｘ１＝ｍ－１ꎬｘ２＝ｍ＋１ꎬ｜ＡＢ｜＝｜ｘ２－ｘ１｜＝２.例２㊀求３ｘ＋ｘ＋８３ｘ－１３＋３ｘ－ｘ＋８３ｘ－１３之值.分析㊀当ｘȡ１时ꎬ原式有意义ꎬｘ＝１时ꎬ原式＝１＋１＝２ꎻｘ＝４时ꎬ原式＝３４＋４＋０＝２.由此猜想:原式的值是一个与ｘ无关的常数２.题中根式过多ꎬ能否通过换元转化ꎬ简化求解过程呢?解㊀设ｘ－１３＝ｔȡ０ꎬ则ｘ＝３ｔ２＋１ꎬｘ＋８３＝ｔ２＋３.ʑ原式＝３３ｔ２＋１＋ｔ(ｔ２＋３)＋３３ｔ２＋１－ｔ(ｔ２＋３)＝３(１＋ｔ)３＋３(１－ｔ)３＝１＋ｔ＋１－ｔ＝２.图１例３㊀如图１所示ꎬ在әＡＢＣ中ꎬ点Ｏ是ＢＣ的中点ꎬ过点Ｏ的直线分别交直线ＡＢꎬＡＣ于不同的两点ＭꎬＮꎬ若ＡＢң＝ｍＡＭңꎬＡＣң＝ｎＡＮңꎬ则ｍ＋ｎ的值为(㊀㊀).Ａ.１㊀Ｂ.２㊀Ｃ.３㊀Ｄ.４解法一㊀当点Ｍ与Ｂ重合时ꎬＮ与Ｃ重合ꎬ此时ｍ＝ｎ＝１ꎬｍ＋ｎ＝２.故选Ｂ.解法二㊀ȵＯ为ＢＣ的中点ꎬʑＡＯң＝１２(ＡＢң＋ＡＣң)＝１２(ｍＡＭң＋ｎＡＮң)＝ｍ２ＡＭң＋ｎ２ＡＮң.ȵＭꎬＯꎬＮ三点共线ꎬʑｍ２＋ｎ２＝１ꎬʑｍ＋ｎ＝２.故选Ｂ.例４㊀如图２ꎬ在四边形ＡＢＣＤ中ꎬＡＢ＝ＡＤꎬøＢＡＤ＝øＢＣＤ＝９０ʎꎬ四边形ＡＢＣＤ的面积为８ꎬ则ＡＣ的长为.思路一㊀(利用极限思想探求答案)当ＣңＤ时ꎬＡＣңＡＤꎬ四边形ＡＢＣＤң等腰直角三角形ＡＢＤ.２７由１２ＡＢ ＡＤ＝１２ＡＤ２ң８⇒ＡＤң４ꎬＡＣң４.图２㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图３思路二㊀(利用特殊图形探求答案)取满足条件的正方形ＡＢＣＤꎬ则由ＡＢ２＝８⇒ＡＣ２＝２ＡＢ２＝１６⇒ＡＣ＝４ꎬ由此猜想ＡＣ＝４.解法一㊀如图３ꎬ连接ＢＤꎬ作ＡＯʅＢＤ于点Ｏꎬ作ＣＨʅＡＯ于点Ｈ.连接ＯＣ.依题意可设ＯＡ＝ＯＢ＝ＯＤ＝ＯＣ＝ａꎬＯＨ＝ｂꎬＣＨ＝ｃꎬ则因为四边形ＡＢＣＤ的面积为８ꎬ所以１２ＢＤˑＡＨ＝８⇒ａ(ａ＋ｂ)＝８ꎬ于是ＡＣ２＝(ａ＋ｂ)２＋ｃ２＝ａ２＋２ａｂ＋(ｂ２＋ｃ２)＝２ａ２＋２ａｂ＝２ａ(ａ＋ｂ)＝１６ꎬ故所求ＡＣ的长为４.点评㊀解答的关键是作辅助线由面积关系导出ａ(ａ＋ｂ)＝８ꎬ再由勾股定理㊁整体代换求出ＡＣ＝４.不作辅助线能否求出ＡＣ呢?解法二㊀在四边形ＡＢＣＤ中ꎬ设ＡＢ＝ＡＤ＝ａꎬＢＣ＝ｂꎬＣＤ＝ｃꎬＡＣ＝ｘꎬ由题设易得ａ２＋ｂｃ＝１６.由余弦定理得ｘ２＝ａ２＋ｂ２－２ａｂｃｏｓＢꎬｘ２＝ａ２＋ｃ２－２ａｃｃｏｓＤꎬｃｏｓＢ＋ｃｏｓＤ＝０{⇒(ｃ＋ｂ)ｘ２＝ｃ(ａ２＋ｂ２)＋ｂ(ａ２＋ｃ２)⇒ｘ２＝ａ２＋ｂｃ＝１６ꎬｘ＝４ꎬ即ＡＣ＝４.２.参数范围问题例５㊀(２０１５课标１ 理１６)在平面四边形ＡＢＣＤ中ꎬøＡ＝øＢ＝øＣ＝７５ʎꎬＢＣ＝２ꎬ则ＡＢ的取值范围是.分析㊀如图４ꎬ四边形ＡＢＣＤ中ꎬＢＣ＝２ꎬ角ＡꎬＢꎬＣꎬＤ的大小确定ꎬ当ＤңＡ时ꎬｘ递增ꎻＤңＣ时ꎬｘ递减.图４㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图５解㊀如图５ꎬøＡ＝øＢ＝øＣ＝７５ʎꎬＢＣ＝２.设ＡＢ＝ｘꎬ则当ＡＤң０时ꎬｘң６＋２ꎻＤＣң０时ꎬｘң６－２.ʑＡＢɪ(６－２ꎬ６＋２).点评㊀本题是运用正弦定理解三角形ꎬ求取值范围问题.本解答抓住Ｄ点的动态变化ꎬ运用数形结合的思想㊁极限的思想ꎬ巧妙地解决了问题.３.求单调区间例６㊀已知偶函数ｆ(ｘ)ꎬ当ｘɪ(－ɕꎬ０]时单调递减ꎬ求ｆ(２ｘ－ｘ２)的单调递增区间.分析㊀若取满足条件的特殊函数ｆ(ｘ)＝｜ｘ｜ꎬ则ｆ(２ｘ－ｘ２)＝｜ｘ２－２ｘ｜.画出图象ꎬ由图可知ꎬ递增区间为[０ꎬ１]和[２ꎬ＋ɕ).解㊀利用复合函数的单调性.设ｕ＝ｕ(ｘ)＝２ｘ－ｘ２＝－(ｘ－１)２＋１ꎬ则ｕȡ０⇔０ɤｘɤ２ꎬｕɤ０⇔ｘɤ０或ｘȡ２ꎬｕ(ｘ)在(－ɕꎬ１]单调递增ꎬ[１ꎬ＋ɕ)单调递减ꎬ函数ｙ＝ｆ(２ｘ－ｘ２)可看作是由ｙ＝ｆ(ｕ)ꎬｕ＝２ｘ－ｘ２复合而成的复合函数.根据复合函数同增异减的性质得 ｆ(２ｘ－ｘ２)的单调递增 等价于 ｆ(ｕ)递增ꎬｕ(ｘ)递增ꎬ{或ｆ(ｕ)递减ꎬｕ(ｘ)递减{ ⇔ｕȡ０ꎬｘɤ１ꎬ{或ｕɤ０ꎬｘȡ１{⇔０ɤｘɤ１或ｘȡ２ꎬ即ｆ(２ｘ－ｘ２)的单调递增区间是[０ꎬ１]和[２ꎬ＋ɕ).４.比较大小例７㊀әＡＢＣ中ꎬｓｉｎ２Ａ＋ｓｉｎＢ＋ｓｉｎ２Ｃ>２ꎬ试判断әＡＢＣ的形状.分析㊀由对称性不妨设ＡɤＢɤＣꎬ试判断әＡＢＣ的形状实际上就是比较角Ｃ与直角的大小关系ꎬ取Ａ＝Ｂ＝Ｃ＝６０ʎꎬ则左边＝３ˑ３/４＝９/４>右边ꎬ满足条件ꎻ取Ａ＝Ｂ＝４５ʎꎬＣ＝９０ʎꎬ则左边＝２ꎬ不满足条件ꎻ取Ａ＝Ｂ＝３０ʎꎬＣ＝１２０ʎꎬ则左边＝５/４<２ꎬ不满足条件.由此猜想әＡＢＣ为锐角三角形ꎬ因此问题转化为证明最大角Ｃ<９０ʎ.５.否定错误选项例８㊀(２０１４课标１ 文１１)设ｘꎬｙ满足约束条件ｘ＋ｙȡａꎬｘ－ｙɤ－１ꎬ{且ｚ＝ｘ＋ａｙ的最小值为７ꎬ则ａ等号(㊀㊀).Ａ.－５㊀㊀Ｂ.３㊀㊀Ｃ.－５或３㊀㊀Ｄ.５或－３图６解析㊀画出不等式组对应的平面区域ꎬ如图所示.当ａɤ０时ꎬ在直线ｘ＋ｙ＝ａ上ꎬｘң－ɕꎬｙң＋ɕ时ꎬｚ＝ｘ＋ａｙң－ɕꎬｚ＝ｘ＋ａｙ无最小值ꎬ否定Ａ㊁Ｃ㊁Ｄ.故选Ｂ.点评㊀本解答的关键是利用极限思想ꎬ结合图形直观.当ａɤ０时ꎬ目标函数ｚ＝ｘ＋ａｙ没有最小值ꎬ否定选项ＡＣＤ.６.不等式问题例９㊀(襄阳市２０２０年５月高三月考试题１１)ｆ(ｘ)是Ｒ上的偶函数ꎬｘȡ０时ꎬｘｆᶄ(ｘ)＋２ｆ(－ｘ)ɤ０ꎬ则不等式４ｘ２ｆ(ｘ３)>(１２－ｘ)２ｆ(－ｘ６)的解集是.３７Ａ.(４ꎬ＋ɕ)㊀㊀㊀Ｂ.(－ɕꎬ－１２)ɣ(４ꎬ＋ɕ)Ｃ.(－１２ꎬ４)㊀Ｄ.(－ɕꎬ－１２)解法一(特值法)㊀取满足条件的特殊函数ｆ(ｘ)＝－ｘ２ꎬ则由４ｘ２ｆ(ｘ３)>(１２－ｘ)２ｆ(２－ｘ６)得４ｘ２[－(ｘ３)２]>(１２－ｘ)２[－(２－ｘ６)２]⇒１６ｘ４<(ｘ－１２)４⇒４ｘ２<(ｘ－１２)２⇒ｘɪ(－１２ꎬ４).选Ｃ.如果是求解题ꎬ该怎么办呢?解法二(构造法)㊀构造函数ｇ(ｘ)＝ｘ２ｆ(ｘ)ꎬ因为ｆ(ｘ)是Ｒ上的偶函数ꎬｘȡ０时ꎬｘｆᶄ(ｘ)＋２ｆ(－ｘ)ɤ０ꎬ即ｘｆᶄ(ｘ)＋２ｆ(ｘ)ɤ０ꎬ所以当ｘȡ０时ꎬｇᶄ(ｘ)＝ｘ２ｆᶄ(ｘ)＋２ｘｆ(ｘ)＝ｘ[ｘｆᶄ(ｘ)＋２ｆ(ｘ)]ɤ０ꎬ所以偶函数ｇ(ｘ)＝ｘ２ｆ(ｘ)在[０ꎬ＋ɕ)递减ꎬ４ｘ２ｆ(ｘ３)>(１２－ｘ)２ｆ(２－ｘ６)⇔３６(ｘ３)２ｆ(ｘ３)>３６(１２－ｘ６)２ｆ(１２－ｘ６)⇔ｇ(ｘ３)>ｇ(１２－ｘ６)⇔｜ｘ３｜<｜１２－ｘ６｜⇒－１２<ｘ<４.选Ｃ.点评㊀本题主要考查依据题设条件ꎬ构造函数模型ꎬ解决不等问题的能力.７.利用极限思想回避讨论例１０㊀过点Ｐ(－１ꎬ２)的直线ｌ被圆Ｏ:ｘ２＋ｙ２＝４截得的弦长为２２ꎬ求直线ｌ的方程.解㊀由题设可得圆心Ｏ(０ꎬ０)到直线ｌ的距离ｄ＝１ꎬ设ｌʒｙ－２＝ｋ(ｘ＋１)ꎬ则由ｄ＝｜ｋ＋２｜ｋ２＋１＝１⇒ｋ＝－３４或ｋ＝ɕꎬ故所求直线ｌ的方程为ｘ＝１或３ｘ－４ｙ＋５＝０.点评㊀按常规解答本题应分直线ｌ的斜率存在与不存在两种情况讨论ꎬ本解答巧妙地应用了极限的思想: ｋңɕ时ｄң１ 得斜率不存在的情况满足条件ꎬ回避了分类讨论ꎬ简化了解答过程.８.利用极限思想优化解题过程例１１㊀(２０１２四川 文１２)㊀已知设函数ｆ(ｘ)＝(ｘ－３)３＋ｘ－１ꎬ{ａｎ}是公差不为０的等差数列ꎬｆ(ａ１)＋ｆ(ａ２)＋ ＋ｆ(ａ７)＝１４ꎬ则ａ１＋ａ２＋ ＋ａ７＝(㊀㊀).㊀Ａ.０㊀㊀Ｂ.７㊀㊀Ｃ.１４㊀㊀Ｄ.２１分析㊀明知山有虎ꎬ偏向虎山行.若取{ａｎ}为常数列ꎬ则易得ａｎ＝３ꎬ答案选Ｄꎬ但题设中{ａｎ}不是常数列呀!能否利用极限的思想和连续函数的性质快速解答呢?解㊀ｆ(ｘ)是Ｒ上的连续函数ꎬ公差ｄң０时ꎬａｎңａ４ꎬ１４＝ｆ(ａ１)＋ｆ(ａ２)＋ ＋ｆ(ａ７)ң７ｆ(ａ４)⇒ｆ(ａ４)ң２⇒(ａ４－３)３＋ａ４－１＝(ａ４－３)[(ａ４－３)２＋１]＋２ң２⇒ａ４ң３ꎬʑａ１＋ａ２＋ ＋ａ７ң７ａ４ң２１.观察答案ꎬ选Ｄ.㊀９.利用极限思想解决定值问题例１２㊀(见文[２])已知椭圆Ｍ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)的焦距为２３ꎬ点Ｐ(０ꎬ２)关于直线ｙ＝－ｘ的对称点在椭圆上.(１)求椭圆Ｍ的方程ꎻ(２)如图ꎬ椭圆Ｍ的上下顶点分别为ＡꎬＢꎬ过点Ｐ的直线ｌ与椭圆交于不同两点ＣꎬＤꎬ①求线段ＰＤ长度的最大值ꎻ②当ＡＤ与ＢＣ相交于点Ｑ时ꎬ试问:点Ｑ的纵坐标是否定值?若是ꎬ求出该定值ꎻ若不是ꎬ请说明理由.解㊀(１)椭圆Ｍ的方程是ｘ２４＋ｙ２＝１.(过程略)(２)①ＰＤ长度的最大值是２２１３.(过程略)②当点ＣңＡ时ꎬＤңＢꎬ四边形ＡＣＤＢң直角梯形ꎬ利用相似形的性质易得ｙＱ＝１２ꎻ当点ＣңＤ时ꎬ椭圆的割线ＰＣＤң切线ＰＴꎬ点Ｑң切点Ｔꎬ利用方程易求得ｙＱ＝１２.下面证明:点Ｑ的纵坐标是定值１２.设直线ｌʒｙ＝ｋｘ＋２ꎬＣ(ｘ１ꎬｋｘ１＋２)ꎬＤ(ｘ２ꎬｋｘ２＋２)ꎬ由ｙ＝ｋｘ＋２ꎬｘ２＋４ｙ２＝４{⇒(４ｋ２＋１)ｘ２＋１６ｋｘ＋１２＝０ꎬʑｘ１ｘ２ｘ１＋ｘ２＝１２－１６ｋ⇒ｋｘ１ｘ２＝－３４(ｘ１＋ｘ２).设Ｑ(ｘꎬｙ)ꎬ由ＡꎬＱꎬＤ共线及ＣꎬＱꎬＢ共线得ｙ－１ｘ＝ｋｘ２＋１ｘ２ꎬｙ＋１ｘ＝ｋｘ１＋３ｘ１{⇒ｙ－１ｙ＋１＝ｋｘ１ｘ２＋ｘ１ｋｘ１ｘ２＋３ｘ２＝－３４(ｘ１＋ｘ２)＋ｘ１－３４(ｘ１＋ｘ２)＋３ｘ２＝－１３⇒ｙ＝１２.可见ꎬ极限特殊化思想ꎬ具有排除否定功能.在求解题中ꎬ具有探求导向作用ꎬ它给我们观察㊁猜想㊁发现提供了有力的依据ꎬ使我们的求解过程有明确的努力方向ꎬ从而增强目标意识ꎬ提高我们的思维水平和解题效率.㊀㊀参考文献:[１]２０１２年全国及各省市高考试题解析[Ｍ].西安:陕西人民教育出版社ꎬ２０１２:１４８.[２]翟金成.高二数学测试题[Ｊ].中学生数理化(高二版)ꎬ２００９(０６):１９－２４.[责任编辑:李㊀璟]４７。
极限思想在高中数学中的应用
n n
x cos x − sin x ≤0 x2
在
π x ∈ 0, 2
n
∑
i =2
n
n
图1 证 明： 如 图 1， 在 单 位 圆 圆 O 中， 设 = OD = cos x ，则 ∠AOB = x ， CB = sin x ， OC
ni
∑ i! ∏
i =2
其中每一项均为正值，当 n 增加时，不 但对应的项数增多，而且括号内的数值也增
1 + k > 2 时， 大，所以数列 n 单调递增。又当 k −1 1 1 1 1 1 1− <1 < 1 + < 2 + ∑ = 2 + 1 − < 3 ，所以 ， ，所以 n 2 k! 2 n 2 1 1 + 有 n 上界。 记 1 n 。
lim
0
n =0 n →∞ 2 n
，从而 sin x sin x cos 2 x = 1 ，所以 lim = 1。 cos x < < 1 ，又因为 lim x → 0 x x 基 于 这 个 证 明， 我 们 可 以 知 道， 尽 管 sin x f ( x) = x 在 x = 0 处没有定义，但在非常接近 0 sin x 的位置， x → 1 。 π f ( x) = x cos x − sin x, x ∈ 0, 例 4。已知函数 2 。 （1）求证： f ( x) ≤ 0 。 sin x π （2）若 a < x < b 在 x ∈ 0, 2 上恒成立，求的 a 最大值与 b 的最小值。 解：（1） 由 f ( x) = x cos x − sin x 得： π 0, f ' ( x) = − x sin x < 0 ，所以 f ( x) 在 2 上单调递减， 从而 f ( x) ≤ f (0) = 0 。 sin x （2）当 x > 0 时， a < x < b ⇔ sin x > ax且 sin x < bx 。 ( x) sin x − cx ， 则 g ' ( x) = cos x − c ， 故 令 g= 当 c ≤ 0 时， g ( x) > 0 对任意 x ∈ 0, π 2 恒成立。 π 当 c ≥ 1 时， 因 为 对 任 意 x ∈ 0, 2 ， π ' 0, 上单调递 g ( x) = cos x − c < 0 ，所以 g ( x) 在区间 2 减，从而 g ( x) ≤ g (0) = 0 对任意 x ∈ 0, π2 恒成立。 π 0, ， 当 0 < c < 1 时， 存 在 唯 一 的 x ∈ 2 ' g ( x0 ) = cos x0 −' c = 0 。 x) 0, π2 上的情况如下： g ( x) 与 g (在区间
高中数学：极限思想的应用
高中数学：极限思想的应用利用极限思想处理某些数学问题往往能化难为易。
引例两人坐在方桌旁，相继轮流往桌面上平放一枚同样大小的硬币。
当最后桌面上只剩下一个位置时，谁放下最后一枚，谁就算胜了。
设两人都是高手，是先放者胜还是后放者胜？（G·波利亚称“由来已久的难题”）G·波利亚的精巧解法是“一猜二证”：猜想（把问题极端化）如果桌面小到只能放下一枚硬币，那么先放者必胜。
证明（利用对称性）由于方桌有对称中心，先放者可将第一枚硬币占据桌面中心，以后每次都将硬币放在对方所放硬币关于桌面中心对称的位置，先放者必胜。
从波利亚的精巧解法中，我们可以看到，他是利用极限的思想考察问题的极端状态，探索出解题方向或转化途径。
极限思想是一种重要的数学思想，灵活地借助极限思想，可以避免复杂运算，探索解题新思路，现举五例说明极限思想的应用。
例1 已知0<x<y<a<1< span="">，则有（）</x<y<a<1<>（A）（B）（C）（D）（02年高考）分析当时，由题意，此时，故可排除（A）、（B），当时，由题意，此时，则，排除（C），故选（D）例 2 给出下列图象其中可能为函数的图象是。
分析这道模拟试题得分率很低，许多学生做这道题时感到无从下手，通过与部分学生访谈知道，大部分学生都是猜想结果，虽然有一些学生想到求函数的导数，但仍然不知如何处理。
其实，这道题若从极限角度考虑，问题便迎刃而解。
当时，时图象是上升的，排除④，再令a=b=c=0，y”>0不是恒成立的，排除②，选①③。
例3 已知数列{a n}中，a1=1，且对于任意正整数n，总有，是否存在实数a，b，能使得对于任意正整数n恒成立？若存在，给出证明；若不存在，说明理由。
分析极限思想：如果这样的，b存在的话，则由，对两边取极限，得，解得若0，则数列{}应该是以1为首项，以为公比的等比数列。
浅谈极限思想在函数题型中的应用
浅谈极限思想在函数题型中的应用在高中学习中，我们接触了极限这一概念.极限在高中第一次被真正应用是在选修2-2（理科）中，用于引入导数.极限思想是用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。
如果接触足够多的函数与导数有关题目时，会发现极限的使用不仅仅局限于极限的定义，而是更为广泛，如求函数值域、最值等。
在解题过程中用好极限思想，能大大减少运算量，优化解题过程，降低解题难度.因此我认为，有必要对极限有更进一步的认识。
一、求简单函数极限的方法极限的严格定义我们会在大学学习，在这里我们的目标只是求出函数某个值的极限。
（1）简单的极限题目如下：此类题只需将值代入计算即可。
（2）还有一些极限略显复杂，如：，由于0不能做分母，而x=1时，x3-x=0.但x2-2x+1与x3-x有公因式x-1，故先因式分解再约分最后代入计算：但如果分子与分母没有公因式呢？我们将会在第三部分一起探究。
二、运用极限的运算法则求一些复杂函数的极限设，存在，且令则有以下运算法则，加减：数乘：乘除：冥运算有了运算法则，我们可以进行一些复杂函数的极限运算，如：对于分子分母都是多项式的函数，求x→∞的极限，我们可以分子分母同除以自变量的最高次幂：由此，我们还可以得出结论：同类题目只需比较两个多项式最高次幂的系数。
除此之外，还有许多不同类型的求极限题目，有不同的解题思路，如出现了根号，且出现了无穷减无穷，则可以考虑分子有理化等。
三、巧用洛必达法则，化繁为简洛必达法则是利用导数来计算或形式的极限的方法，巧用洛必达法则求函数极限，可以使问题简化。
洛必达法则：设函数满足：以下是洛必达法则在高考中的应用：（2010年全国新课标理）设函数综合得a的取值范围为原解在处理第（2）问时较难想到，利用洛必达法则可简便处理：由洛必达法则知故综上，可知a的取值范围为.对恒成立问题中的求参数取值范围，参数与变量分离较易理解，但有些题中求分离出来的函数式的最值问题有点麻烦，利用洛必达法则可以较好的处理它的最值。
极限思想在高中数学及应用
极限思想在高中解题中的运用宜宾县一中 雷勇极限的思想是近代数学的一种重要思想，我们在大学所学的数学分析就是以极限概念为基础、极限理论为主要工具来研究函数的一门学科。
而在高中一些数学问题的解答上如运用极限的思想，会是我们的解答简单而高效。
所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。
下面将用例题举出极限思想的妙处。
尝试将极限思想和方法渗透、融合在解题教学中，实现方法与内容的整合实践，以期引起广大师生的广泛关注和高度重视。
例1、过抛物线)0(2>=a ax y 的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与QF 的长分别是p 、q ,那么q p 11+等于（ ）(A)a 2 (B) a 21(C) a 4 (D) a4分析：本题是有关不变性的问题，常规解法是探求a q p 、、的关系，过程繁琐，且计算较复杂。
若能充分借助于极限思想即取PQ 的极限位置可使问题变得简便易行：将直线PQ 绕点F 顺时针方向旋转到与y 轴重合，此时Q 与O 重合，点P运动到无穷远处，虽不能再称它为抛物线的弦了，它是弦的一种极限情形，因为a OF p QF 41===，而+∞→=q PF ，所以a qp 411→+，故选择（C ）。
针对客观选择题题型的特点，这种解法体现出思维的灵活性和敏捷性，凸现了试题的选拔功能。
例2、正n 棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值X 围是（ ） A （2,n n ππ-） B （1,n nππ-） C （0,2π） D （21,n n n nππ--） 分析：当正棱锥的顶角无限接近底面时，两侧面所成的二面角无A 1A 3限接近π.当正棱锥的高无限增大时，两侧面所成的二面角无限接近正n 多边形的一个内角，即为2n n π-，因此，所求二面角的X 围应为（2,n nππ-）例3、已知长方形的四个项点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点0P 沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角），设4P 坐标为),0,(4x 若,2x 14<<那么θtg 的取值X 围是（ ）A ．)1,31(B ．)32,31(C ．)21,52(分析：本题命制得很有趣，它把人们常见的台球活动模型迁移到数学试题中，考查了处理几何、代数问题的能力，是一个小型综合题，我们可以充分利用几何关系通过“极端位置”找出θtg 的取值X 围，根据极限的观点，令14→x ，不妨令4P 与0P 重合，依据入射角等于反射角，即知1P 、2P 、3P 均为各边中点，此时21tan =θ，而四个选择项中仅有选择项（C ）与此数据有关，故选（C ）例4、已知函数21()(1)4f x x =+，若存在,t t 为实数，只要[1,]x m ∈(1)m >，就有()f x x ≤，那么m 的最大值是分析：作函数y x =与21(1)4y x =+的图像，平移f(x)的图像.使之与直线y x =交于（1，1）和(,),(1)m m m >两点，此时所得的图像是()y f x t =+，图像的极端位置；于是解方程组(1)1()f t f m t m +=⎧⎨+=⎩，再由1m >，得49t m =-⎧⎨=⎩，所以max 9m =例5、已知数列{}n a 中，51=a 且对于任意正整数n ，总有21-=+n nn a a a ，是否存在实数b a ,，使得n n b a a )43(--=，对于任意正整数n 恒成立？若存在，给出证明；若不存在，说明理由。
极限思想在中学数学中的应用
极限思想在中学数学中的应用第一章绪论1.1 选题提出的背景1.2 选题研究的意义1.3 选题研究的现状第二章极限思想2.1 极限思想的产生2.2 极限思想的发展2.3极限思想的内涵第三章极限思想在中学数学中的教学.3.1 高中教学中贯彻数学思想方法3.2 极限思想在教学中的渗透第四章极限思想在中学数学中的应用4.1极限思想在数列中的应用4.3 极限思想在函数中的应用4.4 极限思想在解析几何中的应用4.5 极限思想在立体几何中的应用绪论1.1 选题提出的背景万事万物总在变化，我们为了描述正在变化的现象，在数学中导入了函数这一概念，随着对变量和自变量等函数关系的不断深入变化，微积分就这么产生了，极限是微积分的基础，也是微积分中最重要的一部分，它是从数量上描述变量在无限变化过程中的变化趋势。
极限思想微积分的基本思想，他作为现代数学的基础，与各类科学问题紧密相关，如：求物体运动的瞬时加速度，求曲线的切割，求函数的最大值，最优化问题等。
这些问题在十七世纪中期，牛顿和莱布尼茨在前人的基础上，经过不懈的努力，创立了微积分，在创立微积分的过程中也产生了一种重要的数学思想，极限思想、德国数学家克莱因在二十世纪初提出让微积分进入中学数学课堂。
很多国家都开始将微积分的内容设置在高中数学课程的重要位置上，并要求微积分的分割以及逐步逼近等思想。
这些都体现了极限思想这一数学思想。
在英国，微积分的思想方法出现在高中数学教材上，在美国，微积分设置在高中数学类的选修课上，日本则在高中教材数学二，数学三中分别系统的介绍了微积分的概念和方法。
在我国现行的高中数学课本中融入部分微积分的内容和思想。
自建国以来，关于“在中学数学课程中开设微积分”这一热点话题曾多次在数学改革中探讨，1950 年-1958 年，在新中国成立初期，我国中学数学教材的编写主要参考了前苏联中学数学的课本。
虽包含了部分微积分的初步知识，但并没有做出明确的大纲学习要求。
极限与趋势思想在高中数学中的应用情形归纳
极限与趋势思想在高中数学中的应用情形归纳极限与趋势思想是一种在高中数学中广泛应用的数学工具和概念。
它们可以帮助学生更好地理解和解决各种数学问题。
本文将总结几个在高中数学中常见的应用情形，并探讨极限与趋势思想在这些情况下的具体应用方式。
1. 函数的极限在高中数学中，极限是一个重要的概念。
当讨论函数在某一点的性质时，我们通常会利用极限的概念。
比如，我们可以通过计算函数在某一点的极限来确定函数的连续性、变化趋势等。
极限思想可以帮助我们理解函数在不同点的行为，并通过计算极限来解决相关的问题。
2. 数列的极限数列也是高中数学中常见的概念。
在研究数列的性质和行为时，极限思想可以提供有力的工具。
比如，我们可以通过计算数列的极限来判断数列的敛散性，以及数列的增长趋势和收敛速度等。
极限思想可以帮助我们深入理解数列的性质，并解决与数列相关的各种问题。
3. 函数的渐近线函数的渐近线是指函数在无穷大或某个特定点处趋近于的直线。
在高中数学中，我们经常需要探讨函数的渐近线及其性质。
学生可以运用极限与趋势思想来研究函数的渐近线。
通过研究函数在无穷大或某特定点的极限，我们可以确定函数的渐近线的斜率和截距，并进一步推导出函数在不同情况下的渐近线方程。
4. 求解极值问题在高中数学中，求解函数的极值问题是一个常见的任务。
极大值和极小值问题需要运用极限与趋势思想来解决。
通过计算函数在特定区间内的极限，我们可以确定函数的极值点，并求得相应的最大值或最小值。
极限与趋势思想可以帮助我们解决各种与极值相关的问题，并提供有效的解决方法。
综上所述，极限与趋势思想在高中数学中扮演着重要的角色。
通过运用极限与趋势思想，我们能够更深入地理解数学问题，并解决与之相关的各种情况。
在教学实践中，我们应注意培养学生的极限思维和趋势感知能力，以帮助他们更好地应用这些概念和工具解决实际问题。
浅谈高中数学中的极限思想
浅谈高中数学中的极限思想高中数学中的极限思想或称极限概念是数学中一个非常重要的概念，它扮演着桥梁和空间的作用，它贯穿于数学的各个方面，是数学研究的基础。
极限思想是数学证明和表达的重要方式，它给出了一种确定结果的有效途径，有助于我们更好地理解和掌握数学的规律和规律。
极限思想的本质是一种逼近论，那么其本质是什么呢？极限思想的本质是一个可以不断接近但永远无法获得绝对精确值的过程，也就是极限逼近。
这里说的极限逼近不仅仅是数值上的接近，而是一种概念上的接近。
比如，你可以想到某个结果，并把它视为永远无法到达的极限，但它却可以作为一种有意义的抽象概念来使用。
极限思想在高中数学中的应用有很多，它不仅仅用于数学的计算和推理，还可以用于几何、微积分和抽象代数学等更多的数学领域，因为它的本质是一种逼近，它对数学的理解和掌握有很大的帮助。
在高中数学中，需要用到极限思想的最常见的情况是处理数学问题时，一般来说，需要用到极限思想的大多是涉及某种变量或数据无限增加或逼近某个极限时所产生的问题，例如：求某个函数的极限、求某条曲线的倾斜率。
对于求极限的问题，最常见的做法是用极限法，即将变量的某个值视为变量的极限，从而求得函数的极限值。
另外，极限也可以用于数学推理，例如，用极限法来证明一些定理，如泰勒定理，和维数定理等。
极限思想也可以应用于几何中，例如可以用极限思想来分析几何图形中的形状变化趋势，从而得出几何几何定理中的结论。
总而言之，极限思想是高中数学的重要概念，不仅仅是一种被广泛应用的概念，更是一种可以帮助我们更好地理解和掌握数学的重要方式。
因此，理解和掌握极限思想的原理和应用是非常必要的，它有助于我们更好地理解数学的原理和技巧，并提高学习数学的能力。
例析极限思想在高中数学中的一些应用
将函数ｙ＝ｆ（Ｘ）的图像先向左（ｂ＞０）或向右 （ｂ＜Ｏ）平移ｂ个单位，再将横坐标变为原来的
丢倍，就可以得到函数了＝，（觚十６）的图像．
万方数据
·２７·
２００９年第１１期
中学数学研究
故本题函数的值域为ｙ（一２，朽］．即无最 小值，最大值为√５．
点评：本题所涉及的最值问题，似乎与极限 知识无关，但通过深入分析，才探知题目中所隐 藏的“极限这只无形之手”．
、／丽、
压ｓｉｎ＿兰，除了参考答案提供的方法之 ￣／２”＋１。
外，令Ｔ＝丢÷扣一紫，‘．‘铲１了２，号 ＜了４，ｉ５弋了６，……，２ｎｚ，ｚ－１＜鼎，．·．Ｔ＜了２· 詈·争鼎，．·．Ｔ２＜‘虿１·鱼４·Ｆ５紫）
（●、 ２Ⅵ３·●鱼～５·—亘—７…—，２—ｚ矗＋—７１）—＝南—２一１ｎ’＋ｌ＝’．一．…．．Ｊ、‘Ｔ＜
注重基本方‘法 考查数学能力
叫００９年度高考广东理科第（２１）题方法分析
江西省都昌县第一中学 （３３２６００）袁建明
２００８年数学考纲指出“对能力的考查，强 调以能力立意”，纵览２００９年全国各地高考数 学试卷和模拟试题，众多关于不等式的证明或 解法的试题无论从题型的设计还是能力立意， 理性思维的考查等都给人面目一新的感觉，尤 其是综合和灵活应用方面．在高考命题时，强调 不等式与数列、函数、导数等主干知识点的结 合，创新问题情景、能够检测出考生个体理性思 维的广度和深度，以及进一步学习的潜能．同 时，对能力的考查，仍以思维能力为核心，全面 考查各种能力，强调思维的敏捷性、条理性、严 谨性、创新性和实践性，强化对素质教育的正确 导向，这就要求我们在今后的教学工作中充分 重视基本方法，分析不同方法对解题所起的不 同效果。在基本方法的基础上进行拓展．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
极限思想在高中解题中的运用
多伦县第三中学 刘洪庆
极限的思想是近代数学的一种重要思想，我们在大学所学的数学分析就是以极限概念为基础、极限理论为主要工具来研究函数的一门学科。
而在高中一些数学问题的解答上如运用极限的思想，会使我们的解答简单而高效。
所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。
下面将用例题举出极限思想的妙处。
尝试将极限思想和方法渗透、融合在解题教学中，实现方法与内容的整合实践，以期引起广大师生的广泛关注和高度重视。
数学思想方法是数学的灵魂，没有数学思维就没有真正的数学学习。
要让学生学好数学，用好数学，就要让学生走进数学的“灵魂深处”。
给大家介绍说明本文要用到的数学符号:
”。
“负向趋近于”表示③“”。
“正向趋近于”表示②““趋近于”。
”表示①“a :a a :a :
-→+→→ 举例: 大”。
且比“正向趋近于”表示“11:1+→
小”。
且比“负向趋近于”表示“11:1-→
例1、函数x
x x
x e e e e y ---+=的图象大致为（ ）
解析： x x x x x x x x e e e e e e e
e y 11-+
=-+=--
当 +→0x 时，+→1x e ，
-→11x e ，∴+→-0)1(x x e e 、2)1(→+x x e e ， +∞→+
=∴02y 。
故排除B 、C 、D 。
选A 例2、函数x x x y --=2
26cos 的图象大致为（ ）
解析：当 +→0x 时，+→12x ，
-→121x ，∴+→-0)212(x x ，16cos →x ， ∴+∞→+
=01y 。
当 -→0x 时，-→12x ，
+→121x ，∴-→-0)212(x x ，16cos →x ， ∴-∞→-
=01y 。
排除A 、B 又应为x 6cos 是值域[]1,1-上的周期函数，所以选D
例3、函数x x x f tan 2)(-=在⎪⎭
⎫ ⎝⎛-2,2ππ上的图象大致为（ ）
解析: 当-→2π
x 时, +∞→x tan ,-∞→-x tan ,-∞→-x x tan 2,
-∞→∴)(x f ,排除B 、D 选项
当 +-→)2
(π
x 时, -∞→x tan ,+∞→-x tan ,+∞→-x x tan 2,+∞→∴)(x f 排除A 选项 故选C
例4、函数x e e y x x sin )(--=的图象（部分）大致是（ ）
解析：当+→0x 时，+→1x e ，-→11x e ，∴+→-0)1(x
x e e ，+→0sin x ， +→+⨯+=∴0)0()0(y 。
排除B 、D
当-→0x 时，-→1x e ，+→11x e ，∴-→-0)1(x x e
e ，-→0sin x ， +→-⨯-=∴0)0()0(y 。
排除A
故选C
通过以上例题可以看出，让学生掌握和运用极限思想，不仅降低了某些问题的解题难度，而且在寻找解题思路、探索发现新结论有着重大作用。