中考数学命题研究第一编教材知识梳理篇第三章函数及其图象第四节反比例函数的图象及性质(精练

合集下载

反比例函数中考知识点总结

反比例函数一、基础知识1.定义：一般地，形如xk y =（k 为常数，o k ≠）的函数称为反比例函数。

x ky =还可以写成kxy =1-，xy=k(k 为常数，o k ≠)2.反比例函数的图像是双曲线，xky =（k 为常数，0≠k ）中自变量0≠x ，函数值0≠y ，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。

3.反比例函数的图像即是中心对称图形（对称中心是原点），也是轴对称图形（对称轴是x y =或x y -=）。

4.反比例函数x k y =（0≠k ）中比例系数k 的几何意义是：过双曲线xky = （0≠k ）上任意引x 轴y 轴的垂线，所得矩形面积为k 。

5．反比例函数性质如下表：6. 反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出k ） 7．“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数xky =中的两个变量必成反比例关系。

8. 反比例函数的应用反比例函数常考题型一、反比例函数的概念例1下面函数中，哪些是反比例函数？（1）3x y -=（2）x y 8-=（3）54-=x y （4）15-=x y （5）.81=xy （6）（7）（8）xy ＝21 （9）（10）（11）（12）y ＝x ＋4 （13） 5x y =x y 2-=25+=x y x y 23-=31+=xy 21y x =变式1：若y 与－2x 成反比例函数关系，x 与成正比例，则y 与z 的关系（） A ．成正比例函数 B ．成反比例函数 C ．成一次函数 D ．不能确定变式2：若梯形的下底长为，上底长为下底长的，高为，面积为60，则与的函数关系是____________．变式3：当m 取什么值时，函数是反比例函数？变式4：函数y= 3x 的自变量x 的取值范围是___________；当x ＜0时，y 随x 的增大而（）．二、反比例函数的图像与性质例1:如图所示正比例函数0(>=k kx y ）与反比例函数xy 1=的图像相交于A 、C 两点，过A 作x 轴的垂线交x 轴于B ，连结BC .若ABC ∆的面积为S ，则（）A ．1=SB ．2=SC ．3=SD ．S 的值不确定变式1:反比例函数xky =的图像上有一点),(n m P ，其坐标是关于t 的一元二次方程032=+-k t t 的两根，且P 到原点的距离为13，则该反比例函数的解析式为______.变式2:如图，A 、C 是函数xy 1=的图象上的任意两点，过A 作x 轴的垂线，垂足为B ；过C 作y 轴的垂线，垂足为D.记AOB Rt ∆的面积为1S ，COD Rt ∆的面积为2S ，则1S 与2S 的关系是（）. （A ）1S >2S (B)1S <2S （C ）1S =2S （D ）1S 与2S 的大小关系不能确定.（武汉市中考题）变式3:（1）一次函数1+-=x y 与反比例函数xy 3=在同一坐标系中的图像大致是如图中的（）3zx 13y y x 23)2(m xm y --=（2）一次函数12--=k kx y 与反比例函数xky =在同一直角坐标系内的图像的大致位置是图中的（）三、反比例函数应用例1、某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿度。

初三数学反比例函数知识点归纳-复习必备打印背熟

反比例函数是什么？反比例函数相关知识1：反比例函数是什么？反比例函数的定义域和值域因为x在分母上，所以x≠0，即自变量X的取值范围为非零实数。

而且常数k≠0，因此y≠0，即因变量y的`取值范围为非零实数。

反比例函数的图像及其性质形状：反比例函数的图象是两条双曲线，每一条曲线都无限向X轴Y轴延伸但不与坐标轴相交。

增减性：当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小；当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大。

对称性：反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴y=x和y=-x，对称中心是坐标原点。

2：反比例函数知识点1、反比例函数的表达式X是自变量，Y是X的函数y=k/x=k?1/xxy=ky=k?x^(-1)(即：y等于x的负一次方，此处X必须为一次方)y=kx(k为常数且k≠0，x≠0)若y=k/nx此时比例系数为：k/n2、函数式中自变量取值的范围①k≠0;②在一般的情况下，自变量x的取值范围可以是不等于0的任意实数;③函数y的取值范围也是任意非零实数。

解析式y=k/x其中X是自变量，Y是X的函数，其定义域是不等于0的一切实数y=k/x=k?1/xxy=ky=k?x^(-1)y=kx(k为常数(k≠0)，x不等于0)3、反比例函数图象反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线(hyperbola)，反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交(K≠0)。

4、反比例函数中k的几何意义是什么?有哪些应用?过反比例函数y=k/x(k≠0)，图像上一点P(x，y)，作两坐标轴的垂线，两垂足、原点、P点组成一个矩形，矩形的面积S=x的绝对值_y的.绝对值=(x_y)的绝对值=|k|研究函数问题要透视函数的本质特征。

反比例函数中，比例系数k有一个很重要的几何意义，那就是：过反比例函数图象上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足为M、N则矩形PMON的面积S=PM?PN=|y|?|x|=|xy|=|k|。

(安徽专用)2019年中考数学复习第三章函数与图象3.3反比例函数(讲解部分)素材(pdf)

故ｋ＝
答本题的关键是利用ｋ的值相同建立方程，属中等偏难题．点Ｃ在ｘ轴上，点Ａ在直线ｙ＝ｘ上，点Ｂ在ｙ＝上，若Ｓ菱形ＯＡＢＣ＝２，则ｋ的值为㊀㊀㊀㊀．
评析㊀本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解ｋ（ｋ＞０）的图象ｘ
答案㊀
ʑ ｋ＝４，ʑ 反比例函数的解析式为ｙ＝
㊀㊀变式训练㊀（２０１６湖北鄂州鄂城，１４）如图，ＯＡＢＣ为菱形，
（２）证明：ȵ Ｂ（ｍ，ｎ）（ｍ＞１），Ａ（１，４）， ʑ ＡＣ＝４－ｎ，ＢＣ＝ｍ－１，ＯＮ＝ｎ，ＯＭ＝１， ʑ ＡＣ４－ｎ４＝＝－１，ＯＮｎｎ
立直线与双曲线的方程组成方程组求解．
位置．解题策略：分ｋ＞０和ｋ＜０两种情况考虑．
（１）利用ｋ值与图象的位置关系，综合确定系数符号或图象
（２）已知直线与双曲线的表达式求交点坐标．解题策略：联
��
待定系数法．
（３）用待定系数法确定直线与双曲线的表达式．解题策略：（４）应用函数图象的性质比较一次函数值与反比例函数值
６ｔ
)
，
ｋ与边长为５的等边 әＡＯＢ的边ｘＯＡ㊁ＡＢ分别相交于Ｃ㊁Ｄ两点，且ＯＣ＝３ＢＤ，则实数ｋ的值为㊀㊀㊀㊀．
(
即可．（２）联立反比例函数与一次函数的表达式，解之即可．（３）设Ｐｔ，－
２９㊀
��

中考数学考点专题复习课件反比例函数的图象和性质

解：(1)过点 D 作 x 轴的垂线，垂足为 F，∵点 D 的坐标为(4，3)，∴OF
＝4，DF＝3，∴OD＝5，∴AD＝5，∴点 A 坐标为(4，8)，∴k＝xy＝4×8
＝32，∴k＝32 (2)将菱形 ABCD 沿 x 轴正方向平移，使得点 D 落在函数 y＝3x2(x＞0)的
图象 D′点处，过点 D′做 x 轴的垂线，垂足为 F′.∵DF＝3，∴D′F′＝3，∴ 点 D′的纵坐标为 3，∵点 D′在 y＝3x2的图象上，∴3＝3x2，解得：x＝332，即 OF′＝332，∴FF′＝332－4＝230，∴菱形 ABCD 平移的距离为230
3．(2015·苏州)若点 A(a，b)在反比例函数 y＝2x的图象上，则代数式 ab
－4 的值为( B)
A．0 B．－2 C．2 D．－6
4．(2015·牡丹江)在同一直角坐标系中，函数 y＝－xa与 y＝ax＋1(a≠0)
的图象可能是( B )
,A)
,B)
,C)
,D)
5．(2015·青岛)如图，正比例函数 y1＝k1x 的图象与反比例函数 y2＝kx2的图象相交于 A，B 两点，其中点 A 的横坐标为 2，当
①ACMN ＝||kk12||； ②阴影部分面积是12(k1＋k2)； ③当∠AOC＝90°时，|k1|＝|k2|； ④若 OABC 是菱形，则两双曲线既关于 x 轴对称，也关于 y 轴对称．
其中正确的是①__④__．(把所有正确的结论的序号都填上)
(3)(2015·宿迁)如图，在平面直角坐标系中，已知点 A(8，1)，B(0，－3)，反比例函数 y＝kx(x＞0)的图象经过点 A，动直线 x＝t(0＜t＜8)与反比例函数的图象交于点 M，与直线 AB 交于点 N.

反比例函数的知识梳理

第十七章、反比例函数第一节、知识梳理反比例函数一、学习目标：１. 掌握用描点法画反比例函数图象的方法和步骤，并结合函数图象正确理解和掌握反比例函数的概念和性质．２. 能根据已知条件确定反比例函数的解析式，重点掌握待定系数法求反比例函数的解析式．３. 能用反比例函数解决生活实际问题，在解决物理问题，日常生产、生活问题的时候构建反比例函数模型．二、知识概要：三、要点点拨：１. 反比例函数自变量x的取值范围为x≠０．２. 反比例函数的图象为两支，这两支不连续，且以原点为对称中心成中心对称．与坐标轴无限接近但不能相交．３. 反比例函数值的变化规律要在同一支曲线上去研究．四、中考视点：有关反比例函数的试题主要出现在客观题中，但在解答中也时有出现，考查的主要内容有：1. 反比例函数的图象及性质是中考命题的重点．2. 求反比例函数的解析式（重点考查待定系数法），并与现实生活中的问题相联系，有增加的趋势.精彩文档3. 借助于交点坐标，构建与正比例函数、一次函数的综合题，是中考命题的热点.实际问题与反比例函数一、学习目标：１.能够分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决实际问题．２. 能够画出描述实际问题的函数图象，并根据图象反应出的量的变化规律去解决实际问题.二、知识概要：１.根据实际情景构建反比例函数关系式（１）数学中常用的反比例函数关系式．（２）物理学中常用的反比例函数关系式．（３）利用实际问题情境中给出的数量关系，建立反比例函数关系式．２.利用反比例函数关系解决实际问题．３.有关实际问题中的反比例函数图象.（１）作出实际问题的函数图象.（２）利用实际问题的函数图象解决问题．三、知识链接：“反比例关系”和“反比例函数”的联系与区别：反比例关系是小学的概念：如果xy＝k（k是常数，k≠０），那么x与y这两个量成反比例关系．这里x，y既可以代表单独的一个字母，也可以代表多项式或单项式．例如y＋１与x ＋３成反比例，即反比例的关系式为，但x和y 不一定是反比例函数．但反比例函数中的两个变量必成反比例关系．四、中考视点：由实际问题中给出的数量关系写出反比例函数，再由反比例函数的性质去解决实际问题是本节考查的重点.第二节、教材解读精彩文档一、【例1】已知y关于x的反比例函数的图象过点Ｐ（３，６）．（１）求y与x的函数解析式；（２）求当x＝２时y的值．【思考与分析】由反比例函数的形式y=（k是常数，k≠0），可知求解析式的关键是确定系数k的值，所以我们可以根据条件用待定系数法求之．解：（１）设y=，将Ｐ（３，６）代入可得：６=，解得k＝１８，所以函数解析式为：y=．（２）把x＝２代入y=，得y=＝９．【小结】待定系数法求函数解析式的一般步骤：（1）设出含有待定系数的解析式y=（k≠0，k为待定系数）；（2）将已知条件代入（只需知道一个点的坐标）；（3）解出待定系数；（4）将求得的值代回所设解析式.二、要点收藏夹反比例函数（k为常数，k≠0）的图象是双曲线.（1）当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小；（2）当k＜0 时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每个象限内y 值随x值的增大而增大；（3）双曲线的两支无限接近x轴和y轴，但永远达不到x轴和y轴（即双曲线的两支与x轴和y轴没有交点）；（4）双曲线的两支关于直线y＝±x对称.三、典型例题剖析【例2】①如果反比例函数的图象经过点（1，－2），那么k的值是（）精彩文档②写出一个图象位于第二、四象限的反比例函数的表达式 .③当a ____时，反比例函数的图象在每一个象限内，y值随x值的增大而减小.【思考与分析】我们知道在反比例函数解析式中，如果常数k确定了，则这个反比例函数关系式就确定了.①由的图象经过点（1，－2），故将x＝1，y＝－2同时代入解析式便可求出k值；②由反比例函数的图象位于第二、四象限，可知k＜0，因此所写的函数关系式只要满足k＜0就行；③由反比例函数的图象在每一个象限内，y值随x值的增大而减小可知k＞0，即1－a＞0，从而求出a应满足的条件.解：① C；②如（答案不惟一，只要满足k＜0 即可）；③ a＜1．【小结】求反比例函数解析式的关键是借助已有的条件，如过已知某点，或两个分支所在的象限或图象在每一个象限内y值随x值的变化情况等信息求出k的值或k满足的条件.四、在构建反比例函数模型解决实际问题的时候需注意分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型．（在反比例函数关系中，两个变量的积是定值）【例3】已知某盐厂晒出了3000吨盐，厂方决定把盐全部运走.（1）运走所需的时间t（天）与运走速度v（吨/天）有什么样的函数关系？（2）若该盐厂有工人80名，每天最多共可运走500吨盐，则预计盐最快可在几日内运完？（3）若该盐厂的工人工作了3天后，天气预报预测在未来的几天内可能有暴雨，于是盐厂决定在２天内把剩下的盐全部运走，则需要从其它盐厂调过多少人？【思考与分析】我们知道这是一道工程问题，关键是要熟悉本类问题中各量之间的关系.（1）盐的总量＝运走所有的盐所需的时间×运盐的速度，可得t与v的函数关系式；（2）每天运盐500吨，即v=500，把v=500代入（1）中函数关系式可求得对应的t；（3）设从其它盐厂调过n人，依据剩下的盐＝80个工人运走的盐+n个工人运走的盐，列方程求出n即可.解：（1）由题意，得t ＝精彩文档（2）当v=500时，t ＝＝6，即盐最快可在6日内运完.（3）设需从其它盐厂调过n个人，则根据题意，得：解得n=40，即需从其它盐厂调过40人.【小结】本题的关系式是：盐的总量＝运走所有的盐所需的时间×运盐的速度，当然，这三者之间的关系还可以相互转化，通常只要知道其中的两个量就可求出或表示出第三个量；第（2）题实际上是求值问题，只要代入（1）即可；第（3）题借助了方程进行解答.第三节、错题剖析一.反比例函数中，切记k≠0【例1】若函数为反比例函数，则m= .错解：因为为反比例函数，所以|m|=1，所以m=±1.错解剖析：反比例函数的定义是：一般地，形如（k≠0，k为常数）的函数叫做反比例函数.定义中强调了系数k≠0，k为常数这一条件.错解忽视了k≠0这个条件.在本题中m-1相当于定义中的k，这里应有m-1≠0，所以m≠1.正解：由|m|=1，得m=±1．又因为m-1≠0，所以m≠1．所以m=-1.反思：解决反比例函数中的字母取值问题，一定要注意k≠0这一限制条件，否则容易出现错误.二.注意自变量的取值范围精彩文档【例2】一矩形的面积是10，则这个矩形的一组邻边长y与x的函数关系的图象大致是（）错解：选C.错解剖析：本题是一道实际问题，已知矩形的面积是10，两邻边长分别是x，y，所以xy=10，所以（x>0），此函数是反比例函数，由于自变量x的取值范围是x>0，所以函数的图象只有一个分支，且在第一象限.而错解忽视了实际问题中自变量的范围.正解：选D.反思：在具体问题中确定反比例函数的图象，一定要注意自变量的取值具有实际意义.三、对反比例函数概念理解不透【例3】在下列函数关系式：，，，2xy＝1中，y是x的反比例函数的个数是（）A.2B.3C.4D.5错解：选D.错解剖析：选D是因为对反比例函数概念理解不透.反比例函数的概念是：一般地，形如（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数.精彩文档反比例函数通常有3种表达形式： 1：（上述三个式子中k都为常数，且k≠0）.正解：选B四、对反比例函数图象及其性质理解不透【例4】若点（－1，y1），（－2，y2），（2，y3），在反比例函数的图象上，则（）A.y1＞y2＞y3B.y2＞y1＞y3C. y3 ＞y1＞y2D.y3＞y2＞y1错解：选C.错解剖析：对反比例函数图象及其性质理解不透，误认为y随x的增大而增大.反比例函数图象的增减性为：当k>0时，在同一象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，在同一象限内，y随x的增大而增大.这里要特别注意“在同一象限内”这一点，本题中三个点并不在同一象限内.可以用函数的增减性来解决问题，也可以直接代入，求出这三个点的纵坐标的值，来比较函数值的大小.正解：选A.【小结】反比例函数的概念和图象及性质是我们学习这一章内容应该牢牢把握的，很多题目会考查到这些知识，我们要能正确应用.五、将反比例函数与正比例函数混为一谈【例5】近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例，已知200度近视眼镜镜片的焦距为0.5m，则y与x的函数关系式为 .错解：因为度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例，所以设反比例函数解析式为：y＝kx.又因为200度近视眼镜镜片的焦距为0.5m，所以200＝0.5k，解得k＝400.所以y与x的函数关系式为y＝400x.错解剖析：本题是以物理中的物理现象与定律为背景，考查反比例函数的解析式的确定，其中反比例与正比例是两个不同的概念，错解正是混淆了这两个概念而导致的错误.正解：设反比例函数解析式为，根据题意，得２00＝，解得k＝100.所以y与x 的函数关系式为六、错误地理解题意，得到不切实际的答案精彩文档【例6】某学校食堂为方便学生就餐，同时又节约成本，常根据学生多少决定开放多少个售饭窗口，假定每个窗口平均每分钟可以售饭给3个学生，开放10个窗口时，需1小时才能使全部学生就餐完毕.（1）共有多少学生就餐？（2）设开放x个窗口时，需要y小时才能使当天就餐的同学全部吃上饭，试求出y与x之间的函数关系式.（3）已知该学校最多可以同时开放20个窗口，那么最少多长时间可以使当天就餐的学生全部就餐？错解：（1）可先计算出每分钟10个窗口可售给的学生数再乘以就餐所需的时间就能求得全部学生数，即3×10×60＝1800（名）.（2）当天就餐的人数由（1）已经确定，每分钟可以售给的学生个数也是固定的，所以由题意，得y＝3×60x+1800，即y与x之间的函数关系式为：y＝180x+1800.（3）由（2）知，当x＝20时，y＝5400.即当同时开放20个窗口时，最少需5400小时可以使当天就餐的学生全部就餐.错解剖析：本题中的第（1）问是没有错的，问题是在（2）问上，由于当天就餐的人数由（1）已经确定，每分钟可以售给的学生个数也是固定的，则由题意列出的等式应该是3×60xy＝1800，化简后应是反比例函数，若能正确地求出（2），问题（3）也就不会再出现错误了.正解：（1）可先计算出每分钟10个窗口可售给的学生数再乘以就餐所需的时间就能求得全部学生数，即3×10×60＝1800（名）.（2）当天就餐的人数由（1）已经确定，每分钟可以售给的学生个数也是固定的，所以由题意，得3×60xy＝1800，即y与x 之间的函数关系式为（3）由（2）知，当x＝20时，y＝0.5.即当同时开放20个窗口时，最少需0.5小时可以使当天就餐的学生全部就餐.第四节、思维点拨【例1】如图，如果函数y=kx＋k 和函数（其中k为不等于０的常数）的图象在同一坐标系中，其图象为（）.精彩文档【思考与分析】本例是一次函数与反比例函数的图象综合题，我们把函数解析式与函数图象有机结合起来解决这类问题.一般解法：1.我们可以分k＞0和k＜0两种情况，由k的符号确定图象的位置；2．可以由一个图象在坐标系中的位置，确定k的取值范围，再判断另一图象画得是否正确；3.由两图象的位置分别确定k的取值范围，最后看它们是否一致.解法1: 当k＞0时,一次函数y=kx＋k 的图象经过一、二、三象限，反比例函数的图象在第一、三象限，故选Ｂ.当k＜0时，一次函数的图象经过二、三、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限，故选Ｃ .解法2: 图A 中由的图象在第二、四象限可知k＜0，所以一次函数y=kx＋k的图象经过二、三、四象限，所以A不符合，得到答案C．同样的分析方法排除D，得到答案Ｂ.解法3:图A中由一次函数y=kx＋k的图象经过一、二、四象限，得前面的k＜0而后面截距k>0，自身出现矛盾，故排除Ａ，同样的分析方法排除D，得到答案Ｂ，Ｃ.【例2】已知反比例函数和一次函数y=mx+n的图象的一个交点是A（－3，4），且一次函数的图象与x轴的交点到原点的距离为5，分别确定反比例函数和一次函数的解析式.【思考与分析】已知双曲线和直线都经过点A（－3，4），可将A点分别代入解析式用待定系数法确定k，而一次函数与x轴的交点到原点的距离为5，可知交点为（5，0）或（－5，0），然后联立组成方程组，求出m，n的值.精彩文档解：因为反比例函数的图象过点A（－3，4），所以所以这个反比例函数的解析式为又由题意知，一次函数y=mx+n的图象与x轴的交点为（5，0）或（－5，0）.当直线y=mx+n的图象过点（－3，4）和（5，0）时，有当y=mx+n的图象过点（－3，4）和（－5，0）时，有所以 y=2x+10.所以这个一次函数的解析式为y=-x+或y=2x+10.【小结】方程思想是重要的数学思想之一，它是在所给定的数学问题中挖掘并找出已知量与未知量之间的等量关系，再通过对未知量设元，构成方程或方程组，解出未知量，从而达到解决问题的目的.在函数这一部分，许多需要我们确定函数解析式的考题都需要我们根据题中条件构建方程来解决．【例3】某地上年度电价为0.8元/度，年用电量为1亿度，本年度计划将电价调至0.55至0.75元之间.经测算，若电价调至x元，则本年度新增用电量y亿度与（x－0.4）成反比例，又当x＝0.65元时，y＝0.8．（１）求y与x的函数关系式；（２）若每度电的成本价为0.3元，则电价调至0.6元时，本年度电力部门的收益是多少？［收益＝用电量×（实际电价－成本价）］【思考与分析】本题y与x虽不是反比例函数，但根据题意y与（x－0.4）成反比例，根据反比例的特点列出关系式，用待定系数法就可确定函数关系式．用电量为，实际电价减去成本价为x－0.3，二者乘积即为收益．根据题意列出方程解之即可得到结果．解：（1）因为y与（x－0.4）成反比例，0.8代入可以求出k＝0.2．精彩文档（２）根据题意，收益将x＝0.6代入，收益为0.6亿元.所以当电价调至0.6元时，本年度电力部门的收益是0.6亿元．【小结】反比例函数是描述变量之间相互关系的重要数学模型之一．很多实际问题都可以归结为反比例函数的问题来解决．用反比例函数解决实际问题的具体步骤是：（１）认真分析实际问题中变量之间的关系；（２）若变量之间是反比例关系，则建立反比例函数模型（即确定反比例函数解析式）；（３）利用反比例函数的性质去解决实际问题．反比例函数的应用中经常用到数形结合思想.数形结合思想就是在研究问题时把数与形结合起来考虑，不是把问题的数量关系转化为图形的性质，就是把图形的性质转化为数量关系来考虑，从而使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化.【例4】某汽车的功率P为一定值，汽车行驶时的速度v（米/秒）与它所受的牵引力F（牛）之间的函数关系如图所示：（1）这辆汽车的功率是多少？请写出这一函数的表达式；（2）当它所受牵引力为1200牛时，汽车的速度为多少千米/时？（3）如果限定汽车的速度不超过30米/秒，则F在什么范围内？【思考与分析】（1）首先观察图象得到F是v的反比例函数，同时该函数图象通过点（3000，20），然后把F=3000，v=20代入函数关系式P=Fv中得到功率P的值；（2）把F=1200牛代入（1）中求得的函数关系式就能求出速度v的值；（3）由于车速v不超过30米／秒，所以v≤30，即≤30，然后根据函数图象及性质知：F随着精彩文档v的增大而减小即可得到F的范围.解：（1）由P= Fv=20 ×3000=60000，v=；（2）当F=1200时，v==50（米/秒）=180（千米/时），所以当它所受牵引力为1200牛时，汽车的速度为180千米/时；（3）当v=30米/秒时，代入v=则F=2000（牛）所以当v≤30米/秒时，即≤30，则F≥2000（牛）．所以如果限定汽车的速度不超过30米/秒，则F应大于等于2000牛．【小结】解决这道题的关键是读懂题意，看懂图象，充分挖掘图象中隐含的已知条件，然后根据函数图象，确定函数解析式，并利用图象及性质解题.第五节、竞赛数学一、【例1】一次函数y=ax+b 的图象与反比例函数的图象交与M，N两点.如图所示：（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围.【思考与分析】将（-1，-4）代入反比例函数解析式求出k值，再将x=2代入其中求出m的值，然后把M，N两点坐标代入y=ax+b解二元一次方程组，求出a、b的值.精彩文档解：（1）将N（-1，-4）代入，得k=4．从而反比例函数的解析式为：.将M（2，m ）代入到中，解得：m=2.将M（2，2）、N（-1，-4）代入y=ax+b中，解得：a=2，b=-2.所以一次函数的解析式：y=2x－2.（2）由图象可知，当x＜-1或0＜x＜2时，反比例函数的值大于一次函数的值.【小结】数形结合思想是重要的数学思想，函数图象和几何图形一样具有直观形象的特征，如果能发现函数解析式及式子中的相关系数的几何意义，将数量关系借助图象使之形象化、直观化，就可以简化求解过程．二、反比例函数图象的对称性反比例函数（k≠0）的图象是双曲线，它的图象既是轴对称图形又是中心对称图形，它有两条对称轴，分别是一、三象限和二、四象限的角平分线，都过原点且互相垂直；坐标原点是它的对称中心.三、反比例函数（k≠0）中的比例系数k的几何意义1．如图1，过双曲线上的任意一点P分别作x轴和y轴的垂线PM、PN，所得的矩形PMON的面积S=PM·PN，而PM=∣y∣，PN=∣x∣，所以矩形PMON的面积S=PM·PN=∣x ∣·∣y∣＝∣xy∣.因为,所以xy = k，S=PM·PN=k.精彩文档即过双曲线上的任意一点作x轴和y轴的垂线，所得的矩形面积为∣k.∣2．如图1过双曲线上的任意一点E作其中一个坐标轴的垂线EF，连接OE，则△OEF 的面积为【例2】如图2，直线y＝kx（k＞0）与双曲线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则2x1y2－7x2y1＝。

(贵阳专版)中考数学命题研究第一编教材知识梳理篇第三章函数及其图象第四节反比例函数的图象

第四节反比例函数的图象及性质,某某五年中考命题规律) 年份题型题号考查点考查内容分值总分2016解答22 反比例函数的图象与性质反比例函数、一次函数与几何的综合10 102015解答22反比例函数图象反比例函数与一次函数结合：(1)确定表达式；(2)求点的坐标10 102014填空14反比例函数性质根据性质确定k的值4解答22 反比例函数中“k”的几何意义根据图象求：(1)k的值；(2)两三角形面积之间的关系10 142013填空14 反比例函数的图象及性质根据图象上的点求值4 42012解答22 反比例函数的图象及性质根据图象求：(1)点的坐标；(2)表达式10 10命题规律纵观某某市5年中考，反比例函数的图象及性质每年必考，其中以解答题的形式考查了4次，以填空题的形式考查了2次，题号都比较固定，难度一般．命题预测预计2017年某某市中考，反比例函数的图象及性质仍是重点考查内容，务必加强学生的练习.,某某五年中考真题及模拟)反比例函数的图象及性质(6次)1．(2014某某14题4分)若反比例函数y＝的图象在其每个象限内，y随x的增大而增大，则k的值可以是__－1__．(写出一个符合条件的值即可)2．(2013某某14题4分)直线y＝ax＋b(a＞0)与双曲线y＝相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则x1y1＋x2y2的值为__6__．3．(2016某某22题)如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的边OB在x轴上，反比例函数y＝(x＞0)的图象经过菱形对角线的交点A，且与边BC交于点F，点A的坐标为(4，2)．(1)求反比例函数的表达式；(2)求点F的坐标．解：(1)∵反比例函数y＝的图象经过点A，A点的坐标为(4，2)，∴2＝，∴k＝8.∴反比例函数的表达式为y ＝；(2)过点A作AM⊥x轴于点M，过点C作⊥x轴于点N，由题意可知，＝2AM＝4，ON＝2OM＝8，∴点C的坐标为C(8，4)，设OB＝x，则BC＝x，BN＝8－x，在Rt△B中，x2－(8－x)2＝42，解得x＝5，∴点B的坐标为B(5，0)，设直线BC的函数表达式为y＝k1x＋b，直线BC过点B(5，0)，C(8，4)，∴解得∴直线BC的表达式为y＝x －，根据题意得方程组解此方程组得：或∵点F在第一象限，∴点F的坐标为F(6，)．4．(2015某某22题10分)如图，一次函数y＝x＋m的图象与反比例函数y＝的图象相交于A(2，1)，B两点．(1)求出反比例函数与一次函数的表达式；(2)请直接写出B点的坐标，并指出使反比例函数值大于一次函数值的x的取值X围．解：(1)将A(2，1)代入y＝中，得k＝2×1＝2，∴反比例函数的表达式为y＝，将A(2，1)代入y＝x＋m 中，得2＋m＝1，∴m＝－1，∴一次函数的表达式为y＝x－1；(2)B(－1，－2)；当x<－1或0<x<2时，反比例函数的值大于一次函数的值．5．(2014某某22题10分)如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标系原点，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴和y轴上，其中OA＝6，OC＝3.已知反比例函数y＝(x＞0)的图象经过BC边上的中点D，交AB于点E.(1)k的值为__9__；(2)猜想△OCD的面积与△OBE的面积之间的关系，请说明理由．解：S△OCD＝S△OBE，∵点D，E在反比例函数y＝的图象上，∴S△OCD＝S△OAE＝，∵OA＝6，OC＝3，∴S△OBA＝×6×3＝9，∴S△OBE＝S△OBA－S△OAE＝9－＝，∴S△OCD＝S△OBE.6．(2012某某22题10分)已知一次函数y＝x＋2的图象分别与坐标轴相交于A、B两点(如图所示)，与反比例函数y＝(x＞0)的图象相交于C点．(1)写出A、B两点的坐标；(2)作CD⊥x轴，垂足为D，如果OB是△ACD的中位线，求反比例函数y＝(x＞0)的关系式．解：(1)A(－3，0)，B(0，2)；(2)y＝.,中考考点清单)反比例函数的概念1．一般地，如果变量y与变量x之间的函数关系可以表示成①__y＝__(k是常数，且k≠0)的形式，则称y 是x的反比例函数，k称为比例函数．反比例函数的图象及性质(高频点考)2．函数图象表达式y＝(k≠0，k为常数)k k＞0 k＜0图象3.函数系数所在象限增减性质对称性y＝(k≠0)k＞0第一、三象限(x，y同号) 在每个象限内y随x的②__增大而减小__关于③__y＝－x__对称k＜0第二、四象限(x，y异号) 在每个象限内y随x的④__增大而增大__关于⑤__y＝x__对称4.kk的几何意义设P(x，y)是反比例函数y＝图象上任一点，过点P作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，则S矩形PNOM＝PM·PN＝|y|·|x|＝|xy|【方法点拨】反比例函数与一次函数、几何图形结合(1)反比例函数与一次函数图象的综合应用的四个方面：A．探求同一坐标系下两函数的图象常用排除法．B．探求两函数表达式常利用两函数的图象的交点坐标．C．探求两图象中点的坐标常利用解方程(组)来解决，这也是求两函数图象交点坐标的常用方法．D．两个函数值比较大小的方法是以交点为界限，观察交点左、右两边区域的两个函数图象上、下位置关系，从而写出函数值的大小．(2)在平面直角坐标系中求三角形的面积时，通常以坐标轴上的边为底，相对顶点的横坐标(或纵坐标)的绝对值为高；如果没有坐标轴上的边，则用坐标轴将其分割后求解．反比例函数表达式的确定5．步骤(1)设所求的反比例函数为y＝(k≠0)；(2)根据已知条件列出含k的方程；(3)由代入法解待定系数k的值；(4)把k代入函数表达式y＝中．6．求表达式的两种途径求反比例函数的表达式，主要有两条途径：(1)根据问题中两个变量间的数量关系直接写出；(2)在已知两个变量x，y具有反比例关系y＝(x≠0)的前提下，根据一对x，y的值，列出一个关于k的方程，求得k的值，确定出函数的表达式．反比例函数的应用利用反比例函数解决实际问题，首先是建立函数模型．一般地，建立函数模型有两种思路：一是通过问题提供的信息，知道变量之间的函数关系，在这种情况下，可先设出函数的表达式y＝(k≠0)，再由已知条件确定表达式中k的取值即可；二是问题本身的条件中不确定变量间是什么关系，此时要通过分析找出变量的关系并确定函数表达式．,中考重难点突破)反比例函数的图象及性质【例1】(2016某某中考)“科学用眼，保护视力”是青少年珍爱生命的具体表现．科学证实：近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例．如果500度近视眼镜片的焦距为0.2 m，则表示y与x函数关系的图象大致是(),A) ,B) ,C) ,D) 【解析】根据反比例函数的图象特点结合实际问题(x的取值X围)解答．【学生解答】B1．(2016某某中考)已知反比例函数y＝(k>0)的图象经过点A(1，a)，B(3，b)，则a与b的关系正确的是(D) A．a＝b B．a＝－b C．a<b D．a>b2．(2016某某中考)姜老师给出一个函数表达式，甲、乙、丙三位同学分别正确指出了这个函数的一个性质．甲：函数图象经过第一象限；乙：函数图象经过第三象限；丙：在每一个象限内，y值随x值的增大而减小．根据他们的描述，姜老师给出的这个函数表达式可能是(B)A．y＝3x B．y＝C．y＝－D．y＝x23．(2016某某中考)正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数y2＝的图象相交于A，B两点．其中点B的横坐标为－2，当y1<y2时，x的取值X围是(B)A．x<－2或x>2 B．x<－2或0<x<2C．－2<x<0或0<x<2 D．－2<x<0或x>2反比例函数k的几何意义【例2】(2016某某中考)如图，点A为反比例函数y＝－图象上一点，过A作AB⊥x轴于点B，OA，则△ABO 的面积为()A．－4 B．4C．－2 D．2【解析】根据反比例函数图象上点的横纵坐标的积为常数k及实际问题易解．【学生解答】D4．(2016某某中考)如图，过反比例函数y＝(x>0)的图象上一点A作AB⊥x轴于点B，连接AO，若S△AOB＝2，则k的值为(C)A．2 B．3 C．4 D．5,(第4题图)) ,(第5题图)) 5．(2013内江中考)如图点A在双曲线y＝上，点B在双曲线y＝上，且AB∥x轴，则△OAB的面积等于____．反比例函数、一次函数与几何的综合【例3】(2015某某适应性考试)如图，一次函数y＝kx＋5(k为常数，k≠0)的图象与反比例函数y＝的图象相交于A(2，b)，B两点．(1)求一次函数的表达式；(2)若将直线AB向下平移m(m＞0)个单位长度后与反比例函数的图象只有一个公共交点，求m的值．【解析】(1)先将A(2，b)代入y＝求出b，再将A(2，b)代入y＝kx＋5求出k，从而求出一次函数的表达式；(2)向下平移m个单位长度，将一次函数可表示为y＝kx＋5－m[(1)问中已求出k]与y＝结合构成一元二次方程Δ＝0，从而求出m.【学生解答】解：(1)y＝－x＋5；(2)将直线AB向下平移m(m>0)个单位长度，∴y＝－x＋5－m，∵直线与反比例函数的图象只有一个公共交点，∴＝－x＋5－m，x2－2(5－m)x＋16＝0，Δ＝[－2(5－m)]2－4×16＝0，∴m1＝1，m2＝9.6．(2016某某中考)如图，直线y＝x＋2与双曲线相交于点A(m，3)，与x轴交于点C.(1)求双曲线表达式；(2)点P在x轴上，如果△ACP的面积为3，求点P的坐标．解：(1)∵A(m，3)在直线y＝x＋2上，∴，m＝2，∴A的坐标为(2，3)．设双曲线表达式为y＝.点A(2，3)在双曲线上，∴3＝，解得k＝6，故双曲线表达式为y＝；(2)直线y＝x＋2与x轴交于点C，∴C(－4，0)．点P 在x轴上，设点P到点C的距离为n，∴S△ACP＝n·3＝3，解得n＝2，∴P(－2，0)或P(－6，0)．7．(2016某某适应性考试)如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的边OA在x轴上，∠COA＝30°，OC＝8，AC ⊥OA，对角线OB与AC相交于点M，反比例函数y＝(x>0)的图象经过点C.(1)求反比例函数的表达式；(2)将▱OABC向右平移，使它的对角线交点M在反比例函数的图象上，求平移的距离．解：(1)AC⊥OA，∴∠OAC＝90°，在Rt△OAC中，∠COA＝30°，OC＝8，∴AC＝OC＝×8＝4.∵OA＝＝＝4，∴点C的坐标为(4，4)．∵反比例函数y＝的图象上过点C(4，4)，∴k＝xy＝4×4＝16，∴反比例函数表达式为y＝；(2)∵四边形OABC是平行四边形，∴AM＝CM＝AC＝×4＝2，设▱OABC向右平移a个单位长度，则平移后点M′的坐标为(4＋a，2)．又∵M′(4＋a，2)在反比例函数y＝的图象上，∴2(4＋a)＝16，解得a＝4，∴平移的距离为4.。

2024年中考数学总复习考点梳理第三章第四节反比例函数的图象与性质

返回目录
第四节反比例函数的图象与性质
返回目录
考点 3 反比例函数解析式的确定(6年2考)
求m的值
反比例函数图象北师九上P154 上点的坐标特征第3题(背景)
改变设问
解答题(三
2020 24(1)
2
)
求k值
k的几何意义
北师九上P157 第3题(背景)
改变设问
解答题(三
2019 23(2)
4
)
求两个函数待定系数法求反北师九上P162 改变数据、增加
的解析式比例函数解析式第11题(设问)
思维导图
表达式 k的符号
图象
所在象限增减性对称性
反比例函数的图象与性质
待定系数法
反比例函数的图象与性质
反比例函数解析式的确定
利用k的几何意义
k的几何意义
特征
基本图形面积
反比例函数中 k的几何意义
反比例函数的实际应用
解题方法常见应用
第四节反比例函数的图象与性质
返回目录
教材知识逐点过
在每一个象限内， y随x的增大而__增__大____
关于原点成中心对称；对称性
关于直线y＝x，y＝－x成轴对称
第四节反比例函数的图象与性质
返回目录
考点 2 反比例函数中k的几何意义(2020.24) 如图，过反比例函数y＝ k (k≠0)图象上任一点P(x，y)作 x
k的几 x轴，y轴的垂线PM，PN，垂足分别为M，
考查设问溯源教材教材改编维度
2023
13 填空题
物理学科中蓄电池
人教九下P17
3
I的值为
改变数据及设问
电流与电阻的关系

中考重点初二下数学反比例函数的图像和性质考点梳理

反比例函数的单调性和最值问题，要求学生掌握反比例函数在不同区间上的单调性，以及如何利用导数求解最值。
2020年中考数学真题
反比例函数的图像变换和性质应用，考查了学生对反比例函数图像的平移、伸缩等变换的掌握程度，以及在实际问题中的应用能力。
备考策略及技巧分享
深入理解反比例函数的定义和性质
模拟试题训练与答案解析
模拟试题一
已知反比例函数$y = frac{k}{x}$（$k neq 0$）的图像经过点$A(1,2)$和$B(2,m)$，求$k$和$m$的值。
模拟试题二
已知反比例函数$y = frac{3}{x}$的图像上有两点 $P_1(x_1,y_1)$和$P_2(x_2,y_2)$，且$x_1 < x_2 < 0$ ，则$y_1$____$y_2$（填“>”、“<”或“=”）。
轴。
02
当反比例函数的比例系数 0<k<1时，图像在第一、三象限内，且随着k的减小而靠
近坐标轴。
03
当反比例函数的比例系数k<0 时，图像在第二、四象限内，且随着|k|的增大而远离坐
标轴。
03
反比例函数与直线交点问题
与坐标轴交点求解方法
令$x=0$求$y$
通过代入$x=0$到反比例函数中，求解对应的$y$值，得到与$y$轴的交点。
内是减函数。
反比例函数的图像关于原点对称，即如果点 $(x, y)$ 在图像上，则点 $(-x, -y)$ 也在图像上。
反比例函数在其定义域内是连续的，但在 $x = 0$ 处没有定义。
02
反比例函数图像变换规律
平移变换规律
01
02
反比例函数图像沿x轴向左或向右平移，函数表达式中x的达式中y的系数不变，常数项发生变化。

中考数学复习第1编教材知识梳理篇第3章函数及其图

第四节反比例函数的图象及性质,青海五年中考命题规律)年份题型题号考查点考查内容分值总分2017选择19 反比例函数由一次函数与反比例函数的交点，求一次函数大于反比例函数的取值范围3 32016填空7 反比例函数利用正比例函数与反比例函数图象的交点，求字母的值2 22015选择19 反比例函数判别同一坐标系中反比例函数与一次函数图象的位置3 32014选择15 反比例函数利用反比例函数的几何意义比较面积大小3 32013选择16 反比例函数判别同一坐标系中反比例函数与正比例函数图象的位置3解答23 反比例函数一次函数与反比例函数结合，求一次函数解析式及三角形面积8 11命题规律纵观青海省五年中考，“反比例函数的图象与性质”这一考点一般以选择题、填空题的形式呈现，且与一次函数结合在一起考查，难度偏低．预计2018年青海省中考的考查仍会以反比例函数图象及性质与一次函数的结合考查，题型多以选择题的形式呈现，但也应注意反比例函数与其他函数或几何图形综合考查，不可忽视.,青海五年中考真题)反比例函数的图象及性质1．(2014青海中考)如图，点P 1，P 2，P 3分别是双曲线同一支图象上的三点，过这三点分别作y 轴的垂线，垂足分别是A 1，A 2，A 3，得到三个三角形△P 1A 1O ，△P 2A 2O ，△P 3A 3O.设它们的面积分别为S 1，S 2，S 3，则它们的大小关系是( C )A ．S 1＞S 2＞S 3B ．S 3＞S 2＞S 1C ．S 1＝S 2＝S 3D ．S 2＞S 3＞S 1反比例函数与一次函数的结合2．(2017青海中考)如图，已知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，12，B(－1，2)是一次函数y 1＝kx ＋b(k≠0)与反比例函数y 2＝m x (m≠0，x ＜0)图象的两个交点，AC ⊥x 轴于点C ，BD ⊥y 轴于点D ，若y 1＞y 2，则x 的取值范围是( B )A ．x ＜－4B ．－4＜x ＜－1C ．x ＜－4或x ＞－1D ．x ＜－1(第2题图)(第3题图)3．(2014西宁中考)反比例函数y 1＝kx 和正比例函数y 2＝mx 的图象如图所示，根据图象可以得到满足y 1＜y 2的x 的取值范围是( C )A ．x ＞1B ．0＜x ＜1或x ＜－1C ．－1＜x ＜0或x ＞1D ．x ＞2或x ＜14．(2015青海中考)已知一次函数y ＝2x －3与反比例函数y ＝－2x ，那么它们在同一坐标系中的图象可能是( D ),A ) ,B ) ,C ) ,D )5．(2013青海中考)在同一直角坐标系中，函数y ＝2x 与y ＝－1x的图象大致是( D ),A ) ,B ) ,C ) ,D )6．(2016青海中考)如图，直线y ＝12x 与双曲线y ＝kx在第一象限的交点为A(2，m)，则k ＝__2__．7．(2013青海中考)如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C(0，2)，且与反比例函数y ＝8x在第一象限内的图象交于点B ，且BD⊥x 轴于点D ，OD ＝2.(1)求直线AB 的函数解析式；(2)设点P 是y 轴上的点，若△PBC 的面积等于6，直接写出点P 的坐标．解：(1)∵BD⊥x 轴，OD ＝2， ∴点B 的横坐标为2，将x ＝2代入y ＝8x ，得y ＝4，∴B(2，4)．设直线AB 的函数解析式为y ＝kx ＋b(k≠0)，将点C(0，2)，B(2，4)代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，2k ＋b ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝2，∴直线AB 的函数解析式为y ＝x ＋2； (2)P(0，8)或P(0，－4)．8．(2016西宁中考)如图，一次函数y ＝x ＋m 的图象与反比例函数y ＝kx 的图象交于A ，B 两点，且与x 轴交于点C ，点A 的坐标为(2，1)．(1)求m 及k 的值；(2)求点C 的坐标，并结合图象写出不等式组0＜x ＋m≤kx的解集．解：(1)由题意可得：点A(2，1)在函数y ＝x ＋m 的图象上， ∴2＋m ＝1，即m ＝－1.∵A(2，1)在反比例函数y ＝kx 的图象上，∴k2＝1，∴k ＝2； (2)∵一次函数解析式为y ＝x －1，令y ＝0，得x ＝1，∴点C 的坐标是(1，0)，由图象可知不等式组0＜x ＋m≤kx的解集为1＜x≤2.反比例函数与几何图形的结合9．(2014西宁中考)如图，已知▱ABCD 水平放置在平面直角坐标系xOy 中，若点A ，D 的坐标分别为(－2，5)，(0，1)，点B(3，5)在反比例函数y ＝kx(x ＞0)图象上．(1)求反比例函数y ＝kx的解析式；(2)将▱ABCD 沿x 轴正方向平移10个单位长度后，能否使点C 落在反比例函数y ＝kx的图象上？并说明理由．解：(1)∵点B(3，5)在反比例函数y ＝k x 图象上，∴k ＝15，∴反比例函数的解析式为y ＝15x (x ＞0)；(2)平移后的点C 能落在反比例函数y ＝15x 的图象上．理由：∵四边形ABCD 是平行四边形．∴AB∥CD，AB ＝CD.∵点A ，B ，D 的坐标分别为(－2，5)，(3，5)，(0，1)，∴AB ＝5，AB ∥x 轴，∴CD ∥x 轴．∴点C 的坐标为(5，1)，∴▱ABCD 沿x 轴正方向平移10个单位长度后点C 的坐标为(15，1)，在y ＝15x 中，令x ＝15，则y ＝1，∴平移后的点C 能落在反比例函数y ＝15x的图象上．,中考考点清单)反比例函数的概念1．一般地，如果变量y 与变量x 之间的函数关系可以表示成__y ＝kx __(k 是常数，且k≠0)的形式，则称y 是x 的反比例函数，k 称为比例函数．反比例函数的图象及性质2．函数图象解析式 y ＝kx(k≠0，k 为常数) k k ＞0k ＜0图象3.函数的图象性质函数系数所在象限增减性质对称性 y ＝k x (k≠0)k ＞0第一、三象限在每个象限内y关于__y ＝－x__(x ，y 同号) 随x 的__增大而减小__ 对称 k ＜0第二、四象限(x ，y 异号)在每个象限内y 随x 的__增大而增大__关于__y ＝x__对称4.k 的几何意义k 的几何意义设P(x ，y)是反比例函数y ＝kx图象上任一点，过点P 作PM⊥x轴于M ，PN ⊥y 轴于N ，则S 矩形PNOM ＝PM·PN＝|y|·|x|＝|xy|.【方法技巧】反比例函数与一次函数、几何图形结合 (1)反比例函数与一次函数图象的综合应用的四个方面： ①探求同一坐标系下两函数的图象常用排除法． ②探求两函数解析式常利用两函数的图象的交点坐标．③探求两图象交点的坐标常利用解方程(组)来解决，这也是求两函数图象交点坐标的常用方法．④两个函数值比较大小的方法是以交点为界限，观察交点左、右两边区域的两个函数图象上、下位置关系，从而写出函数值的大小．(2)在平面直角坐标系中求三角形的面积时，通常以坐标轴上的边为底，相对顶点的横坐标(或纵坐标)的绝对值为高；如果没有坐标轴上的边，则用坐标轴将其分割后求解．反比例函数解析式的确定5．步骤(1)设所求的反比例函数为y ＝kx (k≠0)；(2)根据已知条件列出含k 的方程； (3)由代入法解待定系数k 的值； (4)把k 代入函数解析式y ＝kx 中．6．求解析式的两种途径求反比例函数的解析式，主要有两条途径：(1)根据问题中两个变量间的数量关系直接写出；(2)在已知两个变量x ，y 具有反比例关系y ＝kx (x≠0)的前提下，根据一对x ，y 的值，列出一个关于k 的方程，求得k 的值，确定出函数的解析式．反比例函数的应用7．利用反比例函数解决实际问题，首先是建立函数模型．一般地，建立函数模型有两种思路：一是通过问题提供的信息，知道变量之间的函数关系，在这种情况下，可先设出函数的解析式y ＝kx (k ≠0)，再由已知条件确定解析式中k 的取值即可；二是问题本身的条件中不确定变量间是什么关系，此时要通过分析找出变量的关系并确定函数解析式．,中考重难点突破)反比例函数的图象及性质【例1】(天水中考)已知函数y ＝mx 的图象如图以下结论：①m ＜0；②在每个分支上y 随x 的增大而增大；③若点A(－1，a)，点B(2，b)在图象上，则a ＜b ； ④若点P(x ，y)在图象上，则点P 1(－x ，－y)也在图象上．其中正确的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1【解析】①根据反比例函数的图象的两个分支分别位于第二、四象限，可得m ＜0，正确；②在每个分支上y 随x 的增大而增大，正确；③若点A(－1，a)，点B(2，b)在图象上，观察图象可知a ＞0，b ＜0，则a ＞b ，错误；④若点P(x ，y)在图象上，则y ＝mx ，即m ＝xy ，又∵m＝(－x)·(－y)＝xy ，则点P 1(－x ，－y)也在图象上，正确．【答案】B1．(2017日照中考)反比例函数y ＝kbx的图象如图所示，则一次函数y ＝kx ＋b(k≠0)的图象大致是( D ),A ) ,B ),C ) ,D )反比例函数k 的几何意义【例2】(宁波中考)如图，点A 为函数y ＝9x (x ＞0)图象上一点，连接OA ，交函数y ＝1x (x ＞0)的图象于点B ，点C 是x 轴上一点，且AO ＝AC ，则△ABC 的面积为________．【解析】分别过点A ，B 作AD⊥x 轴，BE ⊥x 轴，垂足分别为D ，E ，根据反比例函数的几何意义可得，S △BOE ＝12，S △AOD ＝92，S △AOC ＝2S △AOD ＝9.∵AD⊥OC，BE ⊥OC ，∴BE ∥AD.∴△BOE ∽△AOD ，∴OBOA ＝S △BOES △AOD＝19＝13，∴AB AO＝S △ABC S △AOC ＝23，∴S △ABC ＝23S △AOC ＝23×9＝6. 【答案】62．(2017衢州中考)如图，在直角坐标系中，点A 在函数y ＝4x (x ＞0)的图象上，AB ⊥x 轴于点B ，AB 的垂直平分线与y 轴交于点C ，与函数y ＝4x (x ＞0)的图象交于点D.连接AC ，CB ，BD ，DA ，则四边形ACBD 的面积等于( C )A ．2B ．2 3C ．4D ．4 33．(2017宁波中考)如图，正比例函数y 1＝－3x 的图象与反比例函数y 2＝kx 的图象交于A ，B 两点．点C 在x轴负半轴上，AC ＝AO ，△ACO 的面积为12.(1)求k 的值；(2)根据图象，当y 1＞y 2时，写出x 的取值范围．解：(1)过点A 作AD⊥OC 于点D.∵AC＝AO ，∴CD ＝DO ，∴S △ADO ＝12S △ACO ＝6，∴k ＝－12；(2)由(1)得：y ＝－12x ，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ，y ＝－3x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－2，y 1＝6，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝－6，故当y 1＞y 2时，x 的取值范围是x ＜－2或0＜x ＜2.反比例函数解析式的确定及综合应用【例3】(2017内江中考)已知两点A(－4，2)，B(n ，－4)是一次函数y ＝kx ＋b 和反比例函数y ＝mx 图象的两个交点．(1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求△AOB 的面积；(3)观察图象，直接写出不等式kx ＋b －mx＞0的解集．【解析】(1)利用点A 坐标求反比例函数解析式，然后利用此解析式求B 点坐标，从而求一次函数解析式；(2)求AB 直线解析式求C 点坐标；(3)利用函数与不等式关系确定不等式解集．【答案】解：(1)反比例函数解析式为y ＝－8x ；一次函数解析式为y ＝－x －2；(2)求出C(－2，0)，S △AOB ＝S △ACO ＋S △OCB ＝12×2×2＋12×2×4＝6；(3)取值范围：x ＜－4或者0＜x ＜2.4．(2017自贡中考)一次函数y 1＝k 1x ＋b 和反比例函数y 2＝k 2x (k 1·k 2≠0)的图象如图所示，若y 1＞y 2，则x 的取值范围是( D )A ．－2＜x ＜0或x ＞1B ．－2＜x ＜1C ．x ＜－2或x ＞1D ．x ＜－2或0＜x ＜15．(2017襄阳中考)如图，直线y 1＝ax ＋b 与双曲线y 2＝kx 交于A ，B 两点，与x 轴交于点C ，点A 的纵坐标为6，点B 的坐标为(－3，－2)．(1)求直线和双曲线的解析式；(2)求点C 的坐标，并结合图象直接写出y 1＜0时x 的取值范围．解：(1)∵点B(－3，－2)在双曲线y 2＝k x 上，∴k －3＝－2，∴k ＝6，∴双曲线的解析式为y 2＝6x.把y ＝6代入y 2＝6x ，得x ＝1，∴点A 的坐标为(1，6)．∵直线y 1＝ax ＋b 经过A ，B 两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝6，－3a ＋b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4，∴直线的解析式为y 1＝2x ＋4；(2)由直线y 1＝0得，x ＝－2，∴点C 的坐标为(－2，0)，当y 1＜0时x 的取值范围是x ＜－2.。

福建省中考数学复习课件：第3章第四节反比例函数的

A. y1＜y2＜0
B. y1＜0＜y2
C. y1＞y2＞0
D. y1＞0＞y2
【解析】∵k＜0，∴函数图象在第二、四象限，当x＜0时， y＞0；当x＞0时，y＜0；∵x1＜0＜x2，∴y1＞0＞y.故选D.
(3)若反比例函数图象经过点P(3，－2)，则这个反比例函数的解析式为____y_＝__－__6x___；
＝60°，∴ AO = 3
OC
∴SV AHO
SVOFC
=
AO 2 OC 2
，即S△AHO =3
S△OFC
∵在Rt△AOC中，∠OCA
，∵点A在y＝－
6 x
的图象
上，∴S△AHO＝3，∴S△OFC＝1，∴|k|＝2，∵点C图
5
练习2 (2017云南)已知点A(a，b)在双曲线y＝上x ，若 a，
压力
容积
电压
压强＝受力面积，底面积＝高度，电阻＝电流
重难点突破
一反比例函数的图象与性质(重点)
◆基础巩固例已知：反比例函数y＝ kx（k＜0)． (1)这个反比例函数的图象在第__二__、__四__象限；
(2)在这个反比例函数的图象上有两点A(x1，y1)，B(x2，
y2)，若x1＜0＜x2，则下列结论正确的是( D )
第三章函数
第四节反比例函数的图象与性质
考点精讲
反比例函数的图象与性质
考点特训营概念
图象与性质
k的几何意义解析式的确定实际应用题的注意事项：列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围
概念
一般地，形如y＝ kx（k为常数，k≠0）的函数，叫做反比例函数，反比例函数的图象是双曲线温馨提示： 1.反比例函数自变量的取值范围是① __x_≠_0__； 2.反比例函数上点的横、纵坐标之积恒定为k，即xy＝ k.（常用于求k值、判断点是否在函数图象上、求点坐标、求面积等

(河北专版)中考数学第一编教材知识梳理篇第三章函数及其图象第四节反比例函数的图象及性质试题

（河北专版）中考数学第一编教材知识梳理篇第三章函数及其图象第四节反比例函数的图象及性质试题,河北8年中考命题规律)年份题号考查点考查内容分值总分201626(1) 反比例函数的解析式的确定在压轴综合题中以反比例函数二次函数为背景综合考查3 3201510 实际问题中反比例函数图象的判断实际问题以印刷书本数量和使用时间成比例关系3 3201414 反比例函数的图象及性质新定义分段函数，由所给数值判断满足所得解析式的函数图象3 3201310 反比例函数的图象及性质以判断所给结论是否正确的设问形式考查反比例函数的图象及性质3 3201222(1) 反比例函数图象及性质反比例函数与一次函数、平行四边形结合，(1)利用平行四边形的性质，求反比例函数的解析式3 3201112 反比例函数的性质及几何意义程序图、反比例函数与三角形结合，利用反比例函数的性质及k的几何意义判断所给结论的正确性3 3201022(2) 反比例函数的图象及性质反比例函数与一次函数、矩形结合，(2)根据定点求反比例函数的解析式，判断某点是否在图象上3 32009 6 反比例函数的图象及性质已知反比例函数解析式及图象判断增减性2 2命题规律反比例函数在中考中一般设置1道题，分值为2—3分，主要在选择题或解答题中考查，纵观近8年河北中考题可以看出，一般有如下类型：(1)反比例函数解析式的确定，在解答题中考查了3次；(2)反比例函数图象的分析与判断，在选择题中考查了3次；(3)反比例函数图象与性质的相关计算，在选择题中考查了2次，在填空题中考查了1次，解答题中考查了1次．命题预测预计2017年中考的考查会以反比例函数图象及性质的相关计算为主要考查内容.,河北8年中考真题及模拟)反比例函数的图象及性质(8次)1．(2009河北6题2分)反比例函数y ＝1x(x ＞0)的图象如图所示，随着x 值的增大，y 值( B )A ．增大B ．减小C ．不变D ．先减小后增大2．(2014河北14题3分)定义新运算：a⊕b＝⎩⎪⎨⎪⎧a b ，（b ＞0）－ab ，（b ＜0）例如：4⊕5＝45，4⊕(－5)＝45.则函数y ＝2⊕x(x≠0)的图象大致是( D ),A ) ,B ) ,C ) ,D )3．(2013河北10题3分)反比例函数y ＝mx的图象如图所示，以下结论：①常数m ＜－1；②在每个象限内，y 随x 的增大而增大；③若A(－1，h)，B(2，k)在图象上，则h ＜k ；④若P(x ，y)在图象上，则P′(－x ，－y)也在图象上．其中正确的是( C )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④4．(2015河北10题3分)一台印刷机每年印刷的书本数量y(万册)与它的使用时间x(年)成反比例关系，当x ＝2时，y ＝20，则y 与x 的函数图象大致是( C ),A ) ,B ),C ) ,D )5．(2011河北12题3分)根据图①所示的程序，得到了y 与x 的函数图象，如图②.若点M 是y 轴正半轴上任意一点，过点M 作PQ∥x 轴交图象于点P ，Q ，连接OP ，OQ ，则以下结论：①x ＜0时，y ＝2x；②△OPQ 的面积为定值；③x＞0时，y 随x 的增大而增大；④MQ＝2PM ；⑤∠POQ 可以等于90°.其中正确的结论是( B )A ．①②④B ．②④⑤C ．③④⑤D ．②③⑤6．(2016石家庄二十八中模拟)反比例函数y ＝2x的图象在( B )A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第二、三象限D ．第二、四象限7．(2016沧州八中模拟)下列说法中不正确的是( D ) A ．函数y ＝2x 的图象经过原点B ．函数y ＝1x的图象位于第一、三象限C ．函数y ＝3x －1的图象不经过第二象限D ．函数y ＝－3x的值随x 的值的增大而增大8．(2016保定模拟)在反比例函数y ＝m x中，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，则二次函数y ＝mx 2＋mx 的图象大致是( A ),A ) ,B ) ,C ) ,D )9．(2016衡阳四中模拟)如图，函数y ＝－x 的图象是二、四象限的角平分线，将y ＝－x 的图象以点O 为中心旋转90°与函数y ＝1x的图象交于点A ，再将y ＝－x 的图象向右平移至点A ，与x 轴交于点B ，则点B 的坐标为__(2，0)__．(第9题图)(第10题图)10．(2016唐山九中模拟)如图，点A 是反比例函数y ＝kx图象上的一个动点，过点A 作AB ⊥x 轴，AC ⊥y 轴，垂足分别为点B ，C ，矩形ABOC 的面积为4，则k ＝__－4__．11．(2010河北22题8分)如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 与坐标原点重合，顶点A ，C 分别在坐标轴上，顶点B 的坐标为(4，2)．过点D(0，3)和E(6，0)的直线分别与AB ，BC 交于点M ，N.(1)求直线DE 的解析式和点M 的坐标；(2)若反比例函数y ＝mx(x ＞0)的图象经过点M ，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N 是否在该函数的图象上；(3)若反比例函数y ＝mx(x ＞0)的图象与△MNB 有公共点，请直接写出m 的取值范围．解：(1)y ＝－12x ＋3；M(2，2)；(2)y ＝4x ，点N 在函数y ＝4x的图象上；(3)4≤m ≤8.12．(2012河北22题8分)如图，四边形ABCD 是平行四边形，点A(1，0)，B(3，1)，C(3，3)．反比例函数y ＝mx(x ＞0)的图象经过点D ，点P 是一次函数y ＝kx ＋3－3k(k≠0)的图象与该反比例函数图象的一个公共点．(1)求反比例函数的解析式；(2)通过计算，说明一次函数y ＝kx ＋3－3k(k≠0)的图象一定过点C ；(3)对于一次函数y ＝kx ＋3－3k(k≠0)，当y 随x 的增大而增大时，确定点P 横坐标的取值范围(不必写过程)．解：(1)y ＝2x；(2)当x ＝3时，y ＝3k ＋3－3k ＝3. ∴图象一定过点C ；(3)设点P 的横坐标为a ，则23＜a ＜3.,中考考点清单)反比例函数的概念1．一般地，如果变量y 与变量x 之间的函数关系可以表示成①__y ＝kx__(k 是常数，且k≠0)的形式，则称y是x 的反比例函数，k 称为比例函数．反比例函数的图象和性质2．函数图象解析式 y ＝kx(k≠0，k 为常数)k k ＞0 k ＜0图象函数系数所在象限增减性质对称性 y ＝k x (k≠0)k ＞0 第一、三象限(x ，y 同号) 在每个象限内y 随x 的②增大而减小关于③y ＝－x 对称k ＜0 第二、四象限(x ，y 异号) 在每个象限内y 随x 的④增大而增大关于⑤y ＝x 对称k 的几何意义设P(x ，y)是反比例函数y ＝k x 图象上任一点，过点P 作PM⊥x 轴于M ，PN ⊥y 轴于N ，则S 矩形PNOM ＝PM·PN＝|y|·|x|＝|xy|【方法技巧】反比例函数与一次函数、几何图形结合 (1)反比例函数与一次函数图象的综合应用的四个方面： A ．探求同一坐标系下两函数的图象常用排除法．B ．探求两函数解析式常利用两函数的图象的交点坐标．C ．探求两图象中点的坐标常利用解方程(组)来解决，这也是求两函数图象交点坐标的常用方法．D ．两个函数值比较大小的方法是以交点为界限，观察交点左、右两边区域的两个函数图象上、下位置关系，从而写出函数值的大小．(2)在平面直角坐标系中求三角形的面积时，通常以坐标轴上的边为底，相对顶点的横坐标(或纵坐标)的绝对值为高；如果没有坐标轴上的边，则用坐标轴将其分割后求解．反比例函数解析式的确定5．步骤(1)设所求的反比例函数为y ＝kx(k≠0)；(2)根据已知条件列出含k 的方程； (3)由代入法解待定系数k 的值；(4)把k 代入函数解析式y ＝kx中．6．求解析式的两种途径求反比例函数的解析式，主要有两条途径：(1)根据问题中两个变量间的数量关系直接写出；(2)在已知两个变量x ，y 具有反比例关系y ＝kx(x≠0)的前提下，根据一对x ，y 的值，列出一个关于k 的方程，求得k 的值，确定出函数的解析式．反比例函数的应用利用反比例函数解决实际问题，首先是建立函数模型．一般地，建立函数模型有两种思路：一是通过问题提供的信息，知道变量之间的函数关系，在这种情况下，可先设出函数的解析式y ＝kx(k≠0)，再由已知条件确定解析式中k 的取值即可；二是问题本身的条件中不确定变量间是什么关系，此时要通过分析找出变量的关系并确定函数解析式．,中考重难点突破)反比例函数的图象及性质【例1】(1)(2016黔东南中考)若ab<0，则正比例函数y ＝ax 与反比例函数y ＝bx在同一坐标系的大致图象可能是( ),A ) ,B ),C ) ,D )(2)(2016安顺中考)如果点A(－2，y 1)，B(－1，y 2)，C(2，y 3)都在反比例函数y ＝kx(k>0)的图象上，那么y 1，y 2，y 3的大小关系是( )A ．y 1<y 3<y 2B ．y 2<y 1<y 3C ．y 1<y 2<y 3D ．y 3<y 2<y 1 【学生解答】(1)B ；(2)B1．(2016遵义中考)已知点A(－2，y 1)，B(3，y 2)是反比例函数y ＝kx(k<0)图象上的两点，则有( B )A ．y 1<0<y 2B ．y 2<0<y 1C ．y 1<y 2<0D ．y 2<y 1<02．(2016保定博野模拟)已知A(－1，y 1)，B (2，y 2)两点在双曲线y ＝3＋2mx上，且y 1＞y 2，则m 的取值范围是( D )A ．m ＞0B ．m ＜0C ．m ＞－32D ．m ＜－323．在同一平面直角坐标系中，函数y ＝x －1与函数y ＝1x的图象可能是( C ),A ) ,B ),C ) ,D )反比例函数k 的几何意义【例2】(2016铁岭中考)如图，点A 在双曲线y ＝4x 上，点B 在双曲线y ＝kx(k≠0)上，AB∥x 轴，分别过点A ，B 向x 轴作垂线，垂足分别为点D ，C.若矩形ABCD 的面积是8，则k 的值为( )A ．12B ．10C ．8D ．6 【学生解答】A【点拨】由k 的几何意义→点A ，B 对应矩形AEOD ，BEOC 的面积→k 值．4．(2016河南中考)如图，直线y ＝kx 与双曲线y ＝2x(x>0)交于点A(1，a)，则k ＝__2__．(第4题图)(第5题图)5．(2016深圳中考)如图，已知点A 在反比例函数y ＝kx(x ＜0)上，作Rt △ABC ，点D 为斜边AC 的中点，连接DB 并延长交y 轴于点E ，若△BCE 的面积为8，则k ＝__16__.反比例函数与一次函数结合【例3】(2015巴中中考)如图，在平面直角坐标xOy 中，已知四边形DOBC 是矩形，且D(0，4)，B(6，0)．若反比例函数y ＝k 1x(x ＞0)的图象经过线段OC 的中点A ，交DC 于点E ，交BC 于点F ，设直线EF 的解析式为y ＝k 2x ＋b.(1)求反比例函数和直线EF 的解析式； (2)求△OEF 的面积；(3)请结合图象直接写出不等式k 2x ＋b －k 1x＞0的解集．【解析】(1)先利用矩形的性质确定C 点坐标(6，4)，再确定A 点坐标为(3，2)，则根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k 1的值，即可求出反比例函数解析式；然后利用反比例函数解析式确定F 点的坐标为(6，1)，E点坐标为(32，4)，再利用特定系数法求直线EF 的解析式；(2)利用S △OEF ＝S 矩形BCDO －S △ODE －S △OBF －S △CEF 进行计算；(3)观察函数图象得到当32＜x ＜6时，一次函数图象都在反比例函数图象上方，即k 2x ＋b ＞k 1x .【学生解答】解：(1)y ＝6x ，y ＝－23x ＋5；(2)S △OEF ＝454；(3)不等式k 2＋b －k 1x ＞0的解集为32＜x ＜6.6．(2016郴州中考)如图，已知点A(1，2)是正比例函数y 1＝kx(k≠0)与反比例函数y 2＝mx(m≠0)的一个交点．(1)求正比例函数及反比例函数的解析式；(2)根据图象直接回答：在第一象限内，当x 取何值时，y 1<y 2?解：(1)y 1＝2x ，y 2＝2x；(2)0<x<1.7．(2016济宁中考)在矩形AOBC 中，OB ＝6，OA ＝4，分别以OB ，OA 所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是边BC 上一点，过点F 的反比例函数y ＝kx(k>0)图象与AC 边交于点E.(1)请用k 表示点E ，F 的坐标；(2)若△OEF 的面积为9，求反比例函数的解析式．解：(1)∵E，F 是反比例函数y ＝kx(k>0)图象上的点，且OB ＝6，OA ＝4，∴点E 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k 4，4，点F 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6，k 6； (2)由题意知：S △ECF ＝12EC ×CF ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫6－14k ⎝ ⎛⎭⎪⎫4－16k ，∴S △EOF ＝S 矩形AOBC －S △AOE －S △BOF －S △EOF ＝24－12k －12k －12⎝ ⎛⎭⎪⎫6－14k ⎝ ⎛⎭⎪⎫4－16k ＝9.∴12－k248＝9，解得k ＝12(负值舍去)．∴反比例函数的解析式为y ＝12x.,中考备考方略)1．(2016唐山九中模拟)若点A(a ，b)在反比例函数y ＝2x的图象上，则代数式ab －4的值为( B )A ．0B ．－2C ．2D ．－62．(2016龙东中考)已知：反比例函数y ＝6x，当1<x<3时，y 的最小整数值是( A )A ．3B ．4C ．5D ．63．(2016兰州中考)在同一直角坐标系中，一次函数y ＝kx －k 与反比例函数y ＝kx(k≠0)的图象大致是( A ),A ) ,B ),C ) ,D )4．(2016株洲中考)已知，如图一次函数y 1＝ax ＋b 与反比例函数y 2＝kx的图象如图所示，当y 1<y 2时，x 的取值范围是( D )A ．x<2B ．x>5C ．2<x<5D ．0<x<2或x>55．(2016孝感中考)“科学用眼，保护视力”是青少年珍爱生命的具体表现．科学证实：近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m )成反比例．如果500度近视眼镜片的焦距为0.2 m ，则表示y 与x 函数关系的图象大致是( B ),A ) ,B ),C ) ,D )6．(2016福州中考)一个反比例函数图象过点A(－2，－3)，则这个反比例函数的解析式是__y ＝6x__．7．(2016原创)在平面直角坐标系的第一象限内，边长为1的正方形ABCD 的边均平行于坐标轴，A 点的坐标为(a ，a)．如图，若曲线y ＝3x(x ＞0)与此正方形的边有交点，则a 的取值范围是__3≤a ≤3＋1__.8．(2016常德中考)如图，直线AB 与坐标轴分别交于A(－2，0)，B(0，1)两点，与反比例函数的图象在第一象限交于点C(4，n)，求一次函数和反比例函数的解析式．解：设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋b ，可得⎩⎪⎨⎪⎧－2k ＋b ＝0，b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12，b ＝1.∴直线AC 的解析式为y ＝12x ＋1.把x ＝4，y ＝n 代入y ＝12x ＋1，得n ＝3，∴C(4，3)．设反比例函数的解析式为y ＝mx ，得m ＝4×3＝12.∴反比例函数的解析式为y ＝12x.9．(2016自贡中考)若点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)，都是反比例函数y ＝1x图象上的点，并且y 1＜0＜y 2＜y 3，则下列各式中正确的是( B )A ．x 1＜x 2＜x 3B ．x 1＜x 3＜x 2C ．x 2＜x 1＜x 3D ．x 2＜x 3＜x 110．(2016保定二模)如图，直线和双曲线分别是函数y 1＝x(x≥0)，y 2＝4x(x ＞0)的图象，则以下结论：①两函数图象的交点A 的坐标为(2，2)；②当x ＞2时，y 1＜y 2；③当x ＝1时，BC ＝3；④当x 逐渐增大时，y 1随着x 的增大而增大，y 2随着x 的增大而减小．其中正确结论的序号是( A )A ．①③④B ．①②③C ．②③④D ．①②③④(第10题图)(第11题图)11．(2016原创)如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 在第一象限内，边BC 与x 轴平行，A ，B 两点的纵坐标分别为3，1，反比例函数y ＝3x的图象经过A ，B 两点，则菱形ABCD 的面积为( D )A ．2B ．4C ．2 2D ．4 212．(2016唐山南路二模)如图所示，已知A(0.5，y 1)，B(2，y 2)为反比例函数y ＝1x图象上的两点，动点P(x ，0)在x 正半轴上运动，当线段AP 与线段BP 之差达到最大时，点P 的坐标是( D )A ．(0.5，0)B ．(1，0)C ．(1.5，0)D ．(2.5，0)13．(2016天津中考)若点A(－5，y 1)，B(－3，y 2)，C(2，y 3)在反比例函数y ＝3x的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( D )A ．y 1<y 3<y 2B ．y 1<y 2<y 3C ．y 3<y 1<y 2D ．y 2<y 1<y 314．(2016兰州中考)如图，A ，B 两点在反比例函数y ＝k 1x 的图象上，C ，D 两点在反比例函数y ＝k 2x 的图象上，AC ⊥x 轴于点E ，BD ⊥x 轴于点F ，AC ＝2，BD ＝3，EF ＝103，则k 2－k 1＝( A )A ．4B .143C .163D ．6(第14题图)(第15题图)15．(2016淄博中考)反比例函数y ＝a x (a>0，a 为常数)和y ＝2x 在第一象限内的图象如图所示，点M 在y ＝ax的图象上，MC ⊥x 轴于点C ，交y ＝2x 的图象于点A ；MD⊥y 轴于点D ，交y ＝2x 的图象于点B ，当点M 在y ＝ax的图象上运动时，以下结论：①S △ODB ＝S △OCA ；②四边形OAMB 的面积不变；③当点A 是MC 的中点时，则点B 是MD 的中点．其中正确结论的个数是( D )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个16．(2015丽水中考)如图，反比例函数y ＝kx的图象经过点(－1，－22)，点A 是该图象第一象限分支上的动点，连接AO 并延长交另一支于点B ，以AB 为斜边作等腰直角三角形ABC ，顶点C 在第四象限，AC 与x 轴交于点P ，连接BP.(1)k 的值为__22__；(2)在点A 运动过程中，当BP 平分∠ABC 时，点C 的坐标是__(2，－2)__．17．(2016随州中考)如图，直线y ＝x ＋4与双曲线y ＝kx(k≠0)相交于A(－1，a)，B 两点，在y 轴上找一点P ，当PA ＋PB 的值最小时，点P 的坐标为__⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52__． (第17题图)(第18题图)18．(2016内江中考)如图，点A 在双曲线y ＝5x 上，点B 在双曲线y ＝8x 上，且AB∥x 轴，则△OAB 的面积等于__32__．19．(2016广安中考)如图，一次函数y 1＝kx ＋b(k≠0)和反比例函数y 2＝mx(m≠0)的图象交于点A(－1，6)，B(a ，－2)．(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)根据图象直接写出y 1>y 2时，x 的取值范围．解：(1)将A(－1，6)代入y 2＝mx，得m ＝－6，∴y 2＝－6x.将B(a ，－2)代入y 2＝－6x，得a ＝3，∴B(3，－2)．将A(－1，6)，B(3，－2)代入y 1＝kx ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝6，3k ＋b ＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝4.∴y 1＝－2x ＋4；(2)∴x<－1或0<x<3.20．(2016聊城中考)如图，在直角坐标系中，直线y ＝－12x 与反比例函数y ＝kx的图象交于关于原点对称的A ，B 两点，已知A 点的纵坐标是3.(1)求反比例函数的解析式；(2)将直线y ＝－12x 向上平移后与反比例函数在第二象限内交于点C ，如果△ABC 的面积为48，求平移后的直线的函数解析式．解：(1)反比例函数的解析式为y ＝－18x；(2)设平移后的直线为y ＝－12x ＋b 与y 轴交于点D.连接AD ，BD.∵AB ∥CD ，∴S △ABD ＝S △ABC ＝48.∵点A ，B 关于原点O 对称，∴点B 的坐标为(6，－3)，即|x A |＝x B ＝6.∴S △ABD ＝S △AOD ＋S △BOD ＝12OD ·|x A |＋12OD ·x B ＝6OD.即6OD ＝48，OD ＝8.∴平移后的直线解析式为y ＝－12x ＋8.21．(2016原创)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数y ＝mx的图象交于A(2，3)，B(－3，n)两点．(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)若P 是y 轴上一点，且满足△PAB 的面积是5，直接写出OP 的长．解：(1)∵反比例函数y ＝m x 的图象经过点A(2，3)，∴m ＝6，∴反比例函数的解析式是y ＝6x，∵点B(－3，n)在反比例函数y ＝6x的图象上，∴n ＝－2.∴B(－3，－2)．∵一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过A(2，3)，B(－3，－2)两点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝3，－3k ＋b ＝－2.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝1. ∴y ＝x ＋1；(2)OP 的长为3或1.22．(2016贵阳适应性考试)如图，在平面直角坐标系中，▱OABC 的边OA 在x 轴上，∠COA ＝30°，OC ＝8，AC⊥OA ，对角线OB 与AC 相交于点M ，反比例函数y ＝kx(x>0)的图象经过点C.(1)求反比例函数的解析式；(2)将▱OABC 向右平移，使它的对角线交点M 在反比例函数的图象上，求平移的距离．解：(1)∵AC⊥OA，∴∠OAC ＝90°，在Rt △OAC 中，∠COA ＝30°，OC ＝8，∴AC ＝12OC ＝12×8＝4.∵OA＝OC 2－AC 2＝82－42＝43，∴点C 的坐标为(43，4)．∵反比例函数y ＝k x 的图象过点C(43，4)，∴k ＝xy ＝43×4＝163，∴反比例函数解析式为y ＝163x ；(2)∵四边形OABC 是平行四边形，∴AM ＝CM ＝12AC ＝12×4＝2，设▱OABC 向右平移a 个单位长度，则平移后点M′的坐标为(43＋a ，2)．又∵M′(43＋a ，2)在反比例函数y ＝163x的图象上，∴2(43＋a)＝163，解得a ＝43，∴平移的距离为4 3.。