2017年陕西省高三教学质量检测试题(一)

2017年陕西省高三教学质量检测试题（一）
一、选择题（共12小题；共60分）
1. 已知是坐标原点，点，若点为平面区域上的一个动点，则
的取值范围是
A. B. C. D.
2. 设，其中，均为实数．若，则
A. B. C. D.
3. 设角的终边过点，则
A. B. C. D.
4. 已知非零单位向量，满足，则与的夹角是
A. B. C. D.
5. 圆：上的点到直线距离的最大值是
A. B. C. D.
6. 如图，网格纸上的小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积
是
A. B. C. D.
7. 如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行
该程序框图若输出的，则输入的，不可能为
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
8. 将函数的图象向左平移个单位长度后关于原点对称，则函数
在上的最小值为
A. B. C. D.
9. 已知，，则实数，，的大小关系是
A. B. C. D.
10. 已知是所在平面外一点，，分别是，的中点．若，
，则异面直线与所成角的大小是
A. B. C. D.
11. 设双曲线的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率
A. B. C. D.
12. 设为函数的零点，且满足，则这样的零点有
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
二、填空题（共4小题；共20分）
13. 已知数列，，它的前项和为，且是与的等差中项．若为等比
数列，，则．
14. 点满足不等式，，则的最小值为．
15. 从一架钢琴挑出的个音键中，分别选择个，个，个，，个键同时按下，可发出和
声，若有一个音键不同，则发出不同的和声，则这样的不同的和声数为（用数字作答）．
16. 已知函数，下列关于函数的研究：的值域为．在
上单调递减．的图象关于轴对称．的图象与直线
至少有一个交点．其中，结论正确的序号是．
三、解答题（共7小题；共91分）
17. 在中，角，，所对的边分别为，，，且．
（1）求角；
（2）若，求面积的最大值．
18. 私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少
开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力．为此，很多城市实施了机动车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了人，将调查结果进行整理后制成下表：
年龄岁
频数
赞成人数
（1）若从年龄在和这两组的被调查者中各随机选取人进行追踪调查，求恰有人不赞成的概率；
（2）在（1）的条件下，令选中的人中不赞成“车辆限行”的人数为，求随机变量的分布列和数学期望．
19. 如图，四棱锥中，底面，，，，
，为棱上任意一点．
（1）求证：；
（2）设，当平面平面时，求二面角的大小．
20. 已知，为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且
．
（1）求椭圆的方程；
（2）过的直线，分别交椭圆于，和，，且，问是否存在常数，使得，，成等差数列?若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
21. 已知函数．
（1）当时，求的图象在处的切线方程；
（2）当时，求的极值；
（3）求证：．
22. 已知在平面直角坐标系中，直线的参数方程是（是参数），以原点
为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）判断直线与曲线的位置关系；
（2）设为曲线上任意一点，求的取值范围．
23. 已知函数．
（1）若函数的图象与轴围成的三角形面积的最小值为，求实数的取值范围；
（2）对任意的都有，求实数的取值范围．
答案
第一部分
1. D 【解析】作出不等式组对应的平面区域如图，设，
因为，，所以，即，平移直线．
由图象可知当经过点时，直线截距最小，此时最小为．
经过点时，直线截距最大，此时最大为，即．
2. B 【解析】由得，所以
即故复数的模．
3. A 【解析】由于角的终边过点，因此，故．
4. D 【解析】由可得，即，
而，
即与的夹角为钝角．
5. A
【解析】将圆的方程化为，即圆心坐标为，半径为，
则圆心到直线的距离，
故圆上的点到直线距离的最大值为．
6. B 【解析】该几何体是一个放倒的半圆柱上面加一个四棱锥的组合体，故该几何体的体积
四棱锥半圆柱
7. D 【解析】该算法的功能为求两个正整数的最大公约数，执行该算法后输出的，即输入的，的最大公约数为．
8. A 【解析】将的图象左移个单位长度得
的图象，该图象关于原点对称，即为奇函数，则，且，所以，即，
当时，，
所以当，即时，取得最小值，最小值为．
9. C 【解析】依题意得，，，，所以，，
，则．
10. A
【解析】取的中点为，连接，，
则，，，，
所以异面直线与所成的角为，
在中，依题意得，，，
由勾股定理可知，则．
11. B 【解析】将渐近线方程代入抛物线方程得，由于渐近线与抛物线相切，则，即，故，而．
12. C 【解析】依题意得，
所以，即，
因为，即为，
当为偶数时，，则零点有个；
当为奇数时，，则零点有个．
所以共有个零点．
第二部分
13.
【解析】设数列的公比为，依题意有，，即，故，则．
14.
【解析】所确定的平面区域如图中阴影部分所示，
目标函数 的几何意义是点 到点 距离的平方，由图可知 的最小值为点 到直线 距离的平方，即为
．
15.
【解析】依题意共有 类不同的和声，当有 个键同时按下时，有
种不同的和声，则和声总数为 ．
16.
【解析】函数
，其图象如图所示，
由图象可知 的值域为 ，故 错；
在 和 上单调递减，在 上不是单调的，故 错； 的图象关于 轴对称，故 正确；
由于在每个象限都有图象，所以与过原点的直线 至少有一个交点，故 正确． 第三部分 17. （1） 由
，得
， 所以
， 所以
，
所以
．
（2） 由余弦定理 ，得 ，当且仅当 时取等号，即 ． 所以
，即 面积的最大值为 ．
18. （1） 由表知，年龄在 内的有 人，不赞成的有 人，年龄在 内的有 人，不赞成的有 人，恰有 人不赞成的概率为
（2） 的所有可能取值为 ， ，
， ．
，
，
，
所以的分布列是
所以的数学期望．
19. （1）连接，
则，
又，，
所以，
所以平面，而平面，
因为平面，
所以，
又，
所以．
（2）以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，则，，．
设，
，
取平面的一个法向量，
因为，，
所以可取平面的一个法向量，
平面平面．
所以．
取平面的一个法向量，
取平面的一个法向量，
则，
故二面角的平面角为．
20. （1）因为，
所以，．
所以椭圆：．
将代入可得，
所以椭圆的方程为．
（2）①当的斜率为零或斜率不存在时，；
②当的斜率存在且时，的方程为，
代入椭圆方程，并化简得．设，，
则，．
因为直线的斜率为，
所以．
所以．
综上，．
所以．
故存在常数，使得，，成等差数列．
21. （1）当时，，
所以．
因为，，
所以所求切线方程为．
（2），，
因为，
所以当时，，当时，，函数的极小值为，无极大值．（3）由（2）知，取，．
当时，，取，得．
所以
即．
22. （1）直线的普通方程为．
曲线的直角坐标方程为．
圆心到直线的距离，
所以直线与曲线的位置关系是相离．
（2）设，（为与轴正半轴所成的角）
则．
因为，
所以．
23. （1），
如图所示，
函数的图象与轴围成的，求得，，．所以
解得．
（2）由（1）中图，可知，
对任意的都有，
即，解得．。