2020高考概率统计试题研究---山东卷与全国一卷对比分析 PDF版含解析

2020年高考概率统计试题研究

－－－全国一卷与山东卷对比分析

全国一卷：

19.甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为12

，（1）求甲连胜四场的概率；（2）求需要进行第五场比赛的概率；（3）求丙最终获胜的概率.【分析】

（1）根据独立事件的概率乘法公式可求得事件“甲连胜四场”的概率；

甲乙比，丙轮空，甲胜；甲丙比，乙轮空，甲胜；甲乙比，丙轮空，甲胜；甲丙比，乙轮空，甲胜。

（2）计算出四局以内结束比赛的概率，然后利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；

比赛最少四场，最多比五场，四局结束可能是甲乙淘汰，甲丙淘汰，乙丙淘汰，其中甲乙淘汰有两种情况。

（3）列举出甲赢的基本事件，结合独立事件的概率乘法公式计算出甲赢的概率，由对称性可知乙赢的概率和甲赢的概率相等，再利用对立事件的概率可求得丙赢的概率.

【详解】（1）记事件:M 甲连胜四场，则()4

11216

P M ⎛⎫== ⎪⎝⎭；

（2）记事件A 为甲输，事件B 为乙输，事件C 为丙输，则四局内结束比赛的概率为

()()()()4

11424P P ABAB P ACAC P BCBC P BABA ⎛⎫

'=+++=⨯= ⎪⎝⎭

，

所以，需要进行第五场比赛的概率为3

14

P P '=-=

；（3）记事件A 为甲输，事件B 为乙输，事件C 为丙输，记事件:M 甲赢，记事件:N 丙赢，

则甲赢的基本事件包括：BCBC 、ABCBC 、ACBCB 、

BABCC 、BACBC 、BCACB 、BCABC 、BCBAC ，

所以，甲赢的概率为()45

11972232

P M ⎛⎫⎛⎫

=+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.

由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等，所以丙赢的概率为()97

123216

P N =-⨯=.当然可以用直接法：

丙赢的基本事件包括：ABAB ，BABA ，ABACB ，ABCAB ，ABCBA ，ACBAB ，ACABB ，BABCA ，BACBA ，BACAB ，BCABA ，BCBAA 。所以，丙赢的概率为Ｐ＝２ （

１２

）４

＋１０ （

１２

）５

＝

７１６

.

变化：（１）较往年相比没有考查分布列，期望方差，二项分布等知识点，试题难度有所下降；

（２）试题背景仍然是随机试验，但背景较往年更贴近生活，学生更容易理解，考查独立事件概率的计算，解答的关键就是列举出符合条件的基本事件。山东卷：

19.为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和2SO 浓度（单位：3μg/m ），得下表：

（1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且2

SO浓度不超过150”的概率；

（2）根据所给数据，完成下面的22

⨯列联表：

2

SO

PM2.5

[0,150](150,475]

[0,75]

(75,115]

（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与2

SO浓度有关？

附：

2

2

()

()()()()

n ad bc

K

a b c d a c b d

-

=

++++

，

2

SO

PM2.5

[0,50](50,150](150,475]

[0,35]32184 (35,75]6812 (75,115]3710

2

()

P K k ≥0.0500.010

0.001k 3.841 6.635

10.828

【分析】

（1）根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果；（2）根据表格中数据可得22⨯列联表；（3）计算出2K ，结合临界值表可得结论.

【详解】（1）由表格可知，该市100天中，空气中的 2.5PM 浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150的天数有32618864+++=天，

所以该市一天中，空气中的 2.5PM 浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150的概率为

64

0.64100

=；（3）由所给数据，可得22⨯列联表为：

2

SO 2.5

PM []

0,150(]

150,475合计

[]

0,75641680(]

75,115101020合计

74

26

100

（3）根据22⨯列联表中的数据可得

222

()100(64101610)()()()()80207426

n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==

++++⨯⨯⨯3600

7.4844 6.635481=≈>，因为根据临界值表可知，有99%的把握认为该市一天空气中 2.5PM 浓度与2SO 浓度有关