数系的扩充精品PPT教学课件
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[字幕]自然数充满奥秘 人类竞相寻规律
远古的人类，为了统计捕获的野兽和
采集的野果，用手指或石子数个数，历经 漫长的岁月，创造了自然数1、2、3、4、 5、…现在人们把0归入自然数，那不过是 为了方便．其实0并不自然，它是自然数减 法的产品。自然数是现实世界最基本的数 量，是全部数学的发源地．自然数的全体 构成自然数集N．自然数的加法与乘法满足 交换律、结合律以及分配律．
以上教学目标的确定，主要基于以下 几个方面：
(1)依据教学大纲和教材内容的特点， 由此确定第一个教学目标；
(2)数系扩充的过程体现了数学的发现 和创造过程，有利于发展学生独立获取 数学知识的能力和创新意识，由此确定 第二个教学目标；
(3)数系扩充的过程体现了数学发生发 展的客观需求和背景，学生将在问题情 境中
4.3数系的扩充 教学目标
1．知识目标：在问题情境中了解数系 的扩充过程，体会实际需求与数学内部的 矛盾(数的运算规则、方程理论)在数系扩 充过程中的作用，感受人类理性思维的作 用以及数与现实世界的联系．
2．能力目标：发展学生独立获取数学 知识的能力和创新意识．
3．情感、态度、价值观目标：提高学生 学习数学的兴趣，形成锲而不舍的钻研精 神，使学生对数学有较为全面的认识．初 步认识数学的应用价值、科学价值和人文 价值，崇尚数学具有的理性精神和科学态 度，树立辩证唯物主义世界观．
重点难点分析 本节内容的教学重点是了解数系扩充
的过程以及引入复数的必要性．难点是正 确理解各种数集及它们之间的关系． 课前准备 老师：在上本节课前收集数的发展史上一 些重要的、典型的事件，做成幻灯片． 学生：在上课前了解一些数的发展史料．
教学设计 一、寻入新课 (教师活动)复习提问，并点评． (学生活动)回答问题． [问题]1．已学数集主要有哪些? 2．根据自己查阅的数学史料，说出一
古希腊人说，有些自然数的平方，可以
拆成两个自然数的平方．如52=42+32．他们 还把所有这样的自然数组都找出来了．两千
年之后，费马发现，任何立方数都不能拆成 两个立方数，进而断言，没有正整数x，y，
z满足xn+yn=zn，n≥3．这就是著名的费马大 定理，数学家为证明这个定理奋斗了二百多 年．直到二十世纪末，才被普林斯顿大学教 授怀尔斯所证明．这是二十世纪最伟大的数 学成就之一．
发生在自然数中另一个奇特的事实是：
220的所有因数1、2、4、5、10、11、20、 22、 44、55、110之和等于284，而284的 所有因数之和1+2+4+71+142恰好等于 220．这两个数好像门当户对的亲家，你
中有我，我中有你．人称“亲和数”，过了 两千年，费马发现了另一对亲和数：17296， 18416．他的同时代的同胞笛卡尔发现了第 三对亲和数：2620，2924．百年之后，善 于批量生产的欧拉找到了60对亲和数，又过 了两百年，意大利少年帕加尼尼发现了欧拉 遗漏了一对较小的亲和数：1184，1210．
引进了分数之后，分份和度量问题以及两个 自然数相除(除数不为0)的问题也就解决了， 并且产生了小数．小数与分数既有相同之处， 也有区别，它们之间的差异甚至是
很本质的．分数可以由自然数的除法得到， 而有的小数则不能，分数都是小数，小数不
一定是分数．小数的严格定义如同实数，是 非常艰难的，直到19世纪与20世纪之交， 几 位数学大师从有理数出发，严格定ZT实数， 小数才有了严谨的说法．
应了人类两千多年的需要． 在算术中，不讨论负数，但0在讨论之列，
所以分数也包括0/n=0，由于m/n可能是自然 数，这样分数包括自然数以及不是自然数的 纯分数．因此，自然数可视为特殊的分 数．当人类把数的范围从自然数扩充到分数 以后，自然要求分数运算和自然数运算一样， 都要满足加法、乘法的交换律与结合律以及 乘法对加法的分配律，这时，分数运算还是 个新事物必须给出明确的定义，人们习惯的 做法是根据实际意义给出分数运算的所谓法 则．
[字幕]负数出在初世纪 千年之后才普及
为了表示各种具有相反意义的量以及满 足记数法的需要，人类引进了负数．负数概 念最早产生于我国，东汉初期的“九章算术” 中就有负数的说法．公元3世纪，刘徽在注 解“九章算术”时，明确定义了正负数： “两算得失相反，要令正负以名之”，大意 是说：意义相反的两个数，应分别称为正数 与负数．不仅如此，刘徽还给出了正负数的 加减法运算法则．千年之后，负数概念才经 由阿拉伯传人欧洲，那时，欧洲的数学相当 进步，但普遍认可负数还经历了百年之久， 据考证，分数产生于四千多年前，而负数则
些对数的发展起作重大作用的历史事件和 人物．
设计意图：激发学生学习兴趣，引入新 课．
二、新课讲授
【了解过程，体会作用】
(教师活动)指导学生阅读教材，打出字 幕(介绍一些对数的发展起重大作用的历史 事件和人物)，讲解数系扩充过程．
(学生活动)阅读教材，体会实际需求与 数学内部的矛盾(数的运算规则、方程的理 论)在数系扩充过程中的作用．
[字幕]分数运算有来历理解小数不容易 大约在四千年前，为了公平分配物质，
印度人引进了分数．但无论是分数的确切定 义和科学表示，还是分数算法，最早建立起 来的都是中国，这是中国对世界数学的杰出 贡献之一，如在成书于公元1世纪的《九章 算术》中，已经有约分、通分及分数的四则 运算等知识．分数是两个自然数之比，它适
18世纪，英国数学家华林发现了自然数又 一个重要的内在联系：每一个自然数都是4 个平方数之和，9个立方数之和，19个四方 数之和，百年之后，数学大师希尔伯特证明 了华林的发现是正确的．1965年，陈景润证 明了每一个自然数都是37个五方数之和， 而且37不能再小了．
还是在18世纪，中学教师哥德巴赫猜想， 每一个偶数(大于6)都是两个质数之和．每 一个奇数(大于9)都是三个质数之和．这个 猜想是否正确至今无人知晓．
两千多年前，人们发现某些自然很怪 异：6=1+2+3，28=1十2+4+7+14，496= 1+2+4+8+16+31+62+124+248，6、28、
496是各自因素(除Байду номын сангаас身外)之和，它们如同 人间的全家福，故美其名曰“完全数”．十 八世纪，欧拉证明了所有的偶完全数必为如
下形式：2n-1(2n-1)，其中n和2n一1是质 数．到二十世纪末，人类总共发现了33个 偶完全数．其中最大的一个是 2859432(2859433-1)．
远古的人类，为了统计捕获的野兽和
采集的野果，用手指或石子数个数，历经 漫长的岁月，创造了自然数1、2、3、4、 5、…现在人们把0归入自然数，那不过是 为了方便．其实0并不自然，它是自然数减 法的产品。自然数是现实世界最基本的数 量，是全部数学的发源地．自然数的全体 构成自然数集N．自然数的加法与乘法满足 交换律、结合律以及分配律．
以上教学目标的确定，主要基于以下 几个方面：
(1)依据教学大纲和教材内容的特点， 由此确定第一个教学目标；
(2)数系扩充的过程体现了数学的发现 和创造过程，有利于发展学生独立获取 数学知识的能力和创新意识，由此确定 第二个教学目标；
(3)数系扩充的过程体现了数学发生发 展的客观需求和背景，学生将在问题情 境中
4.3数系的扩充 教学目标
1．知识目标：在问题情境中了解数系 的扩充过程，体会实际需求与数学内部的 矛盾(数的运算规则、方程理论)在数系扩 充过程中的作用，感受人类理性思维的作 用以及数与现实世界的联系．
2．能力目标：发展学生独立获取数学 知识的能力和创新意识．
3．情感、态度、价值观目标：提高学生 学习数学的兴趣，形成锲而不舍的钻研精 神，使学生对数学有较为全面的认识．初 步认识数学的应用价值、科学价值和人文 价值，崇尚数学具有的理性精神和科学态 度，树立辩证唯物主义世界观．
重点难点分析 本节内容的教学重点是了解数系扩充
的过程以及引入复数的必要性．难点是正 确理解各种数集及它们之间的关系． 课前准备 老师：在上本节课前收集数的发展史上一 些重要的、典型的事件，做成幻灯片． 学生：在上课前了解一些数的发展史料．
教学设计 一、寻入新课 (教师活动)复习提问，并点评． (学生活动)回答问题． [问题]1．已学数集主要有哪些? 2．根据自己查阅的数学史料，说出一
古希腊人说，有些自然数的平方，可以
拆成两个自然数的平方．如52=42+32．他们 还把所有这样的自然数组都找出来了．两千
年之后，费马发现，任何立方数都不能拆成 两个立方数，进而断言，没有正整数x，y，
z满足xn+yn=zn，n≥3．这就是著名的费马大 定理，数学家为证明这个定理奋斗了二百多 年．直到二十世纪末，才被普林斯顿大学教 授怀尔斯所证明．这是二十世纪最伟大的数 学成就之一．
发生在自然数中另一个奇特的事实是：
220的所有因数1、2、4、5、10、11、20、 22、 44、55、110之和等于284，而284的 所有因数之和1+2+4+71+142恰好等于 220．这两个数好像门当户对的亲家，你
中有我，我中有你．人称“亲和数”，过了 两千年，费马发现了另一对亲和数：17296， 18416．他的同时代的同胞笛卡尔发现了第 三对亲和数：2620，2924．百年之后，善 于批量生产的欧拉找到了60对亲和数，又过 了两百年，意大利少年帕加尼尼发现了欧拉 遗漏了一对较小的亲和数：1184，1210．
引进了分数之后，分份和度量问题以及两个 自然数相除(除数不为0)的问题也就解决了， 并且产生了小数．小数与分数既有相同之处， 也有区别，它们之间的差异甚至是
很本质的．分数可以由自然数的除法得到， 而有的小数则不能，分数都是小数，小数不
一定是分数．小数的严格定义如同实数，是 非常艰难的，直到19世纪与20世纪之交， 几 位数学大师从有理数出发，严格定ZT实数， 小数才有了严谨的说法．
应了人类两千多年的需要． 在算术中，不讨论负数，但0在讨论之列，
所以分数也包括0/n=0，由于m/n可能是自然 数，这样分数包括自然数以及不是自然数的 纯分数．因此，自然数可视为特殊的分 数．当人类把数的范围从自然数扩充到分数 以后，自然要求分数运算和自然数运算一样， 都要满足加法、乘法的交换律与结合律以及 乘法对加法的分配律，这时，分数运算还是 个新事物必须给出明确的定义，人们习惯的 做法是根据实际意义给出分数运算的所谓法 则．
[字幕]负数出在初世纪 千年之后才普及
为了表示各种具有相反意义的量以及满 足记数法的需要，人类引进了负数．负数概 念最早产生于我国，东汉初期的“九章算术” 中就有负数的说法．公元3世纪，刘徽在注 解“九章算术”时，明确定义了正负数： “两算得失相反，要令正负以名之”，大意 是说：意义相反的两个数，应分别称为正数 与负数．不仅如此，刘徽还给出了正负数的 加减法运算法则．千年之后，负数概念才经 由阿拉伯传人欧洲，那时，欧洲的数学相当 进步，但普遍认可负数还经历了百年之久， 据考证，分数产生于四千多年前，而负数则
些对数的发展起作重大作用的历史事件和 人物．
设计意图：激发学生学习兴趣，引入新 课．
二、新课讲授
【了解过程，体会作用】
(教师活动)指导学生阅读教材，打出字 幕(介绍一些对数的发展起重大作用的历史 事件和人物)，讲解数系扩充过程．
(学生活动)阅读教材，体会实际需求与 数学内部的矛盾(数的运算规则、方程的理 论)在数系扩充过程中的作用．
[字幕]分数运算有来历理解小数不容易 大约在四千年前，为了公平分配物质，
印度人引进了分数．但无论是分数的确切定 义和科学表示，还是分数算法，最早建立起 来的都是中国，这是中国对世界数学的杰出 贡献之一，如在成书于公元1世纪的《九章 算术》中，已经有约分、通分及分数的四则 运算等知识．分数是两个自然数之比，它适
18世纪，英国数学家华林发现了自然数又 一个重要的内在联系：每一个自然数都是4 个平方数之和，9个立方数之和，19个四方 数之和，百年之后，数学大师希尔伯特证明 了华林的发现是正确的．1965年，陈景润证 明了每一个自然数都是37个五方数之和， 而且37不能再小了．
还是在18世纪，中学教师哥德巴赫猜想， 每一个偶数(大于6)都是两个质数之和．每 一个奇数(大于9)都是三个质数之和．这个 猜想是否正确至今无人知晓．
两千多年前，人们发现某些自然很怪 异：6=1+2+3，28=1十2+4+7+14，496= 1+2+4+8+16+31+62+124+248，6、28、
496是各自因素(除Байду номын сангаас身外)之和，它们如同 人间的全家福，故美其名曰“完全数”．十 八世纪，欧拉证明了所有的偶完全数必为如
下形式：2n-1(2n-1)，其中n和2n一1是质 数．到二十世纪末，人类总共发现了33个 偶完全数．其中最大的一个是 2859432(2859433-1)．