3.2立体几何中的向量方法点到平面的距离

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立体几何中的向量方法-距离的向量计算方法

向量的叉乘
总结词
叉乘是向量的另一种重要运算，表示垂直于原向量的新向量。
详细描述
叉乘是将两个向量a和b相乘，得到一个新的向量c。叉乘的定义为c=a×b，其中c的大小为|a||b|sinθ，方向垂直于原平面，右手定则确定其方向。叉乘的结果是一个向量，满足反交换律，即a×b=-b×a。
03
距离的向量计算方法
详细描述
数乘是将一个数k与一个向量a相乘，得到一个新的向量ka。数乘满足结合律和分配律，即k(a+b)=ka+kb， (k+l)a=ka+la。
向量的点乘
总结词
点乘是向量的另一种重要运算，表示两个向量的夹角和大小关系。
详细描述
点乘是将两个向量a和b相乘，得到一个标量。点乘的定义为 a·b=|a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的大小，θ表示向量a和b的夹角。点乘的结果是一个标量，满足交换律和分配律。
路径。
空间定位问题
要点一
总结词
利用向量的线性组合和向量模长的性质，确定空间中点的位置。
要点二
详细描述
空间定位问题需要确定空间中某点的位置。通过向量的线性组合和向量模长的性质，可以构建方程组，求解出点的坐标。这种方法在解决空间几何问题时非常有效。
空间关系判断问题
总结词
利用向量的数量积、向量积和混合积等性质，判断点、线、面之间的位置关系。
利用向量计算点到直线的最短距离
• 点到直线的最短距离可以通过向量投影的方法计算，将点投影到直线上，然后求投影点到直线上任一点的距离。
利用向Байду номын сангаас计算点到平面的最短距离
• 点到平面的最短距离可以通过向量投影的方法计算，将点投影到平面上，然后求投影点到平面上任一点的距离。

人教版高中数学选修(2-1)-3.2《立体几何中的向量方法(第4课时)》教学课件

解如图，分别以AB、AD、AP所在直线为x、y、z轴建系，则P(0，0，1)，B(3， 0，0)，D(0，4，0)，
∴P→B＝(3，0，－1)，B→D＝(－3，4，0)， ∴P→B|B· →DB→| D＝－59，
P 到 BD 的距离 d＝
|P→B|2－|PB―→·→BD―→|2
|BD| ＝ 10－（－59）2＝153. ∵P 到 BD 的距离为153.
(0， 3， 3)，
由nn⊥ ⊥BB→→MC，，得nn··BB→→MC＝＝00，，即x＋3y＋3y＝3z0＝，0，
令 x＝ 3，则平面 BMC 的一个法向量为 n＝( 3，－1，1) 10 分
又B→A＝(0，0，2 3)，则所求距离 d＝|B→A|n·| n|＝2 515.
d＝
|C→C1|2－|C→C1·A1C→―→|2＝
1－13＝
6 3.
|A1C|
规律方法利用向量求点线距时，不用找到点在直线上的垂足，直接按向量法的求解步骤来求就行，同时线上的点可以任意取，但一般选择特殊点，同时直线的方向向量也可以任意取．
【变式2】如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，若已知AB＝3， AD＝4，PA＝1，求点P到BD的距离．
名师点睛
点到平面距离的求法如图，BO⊥平面 α，垂足为 O，则点 B 到平面 α 的距离就是线段 BO 的长度．若 AB 是平面 α 的任一条斜线段，则在 Rt△BOA
中，|B→O|＝|B→A|·cos∠ABO＝ |B→A|·|B→O|B|→·Oc| os∠ABO.如果令平面 α 的法向量为 n，考虑到法向量的方向，可以得到 B 点到平面 α 的距离为|B→O|＝|A→B|n·| n|.
3.2立体几何中的向量方法（四）

3.2.3 立体几何中的向量方法(三)

u A1E = 0, 由得 u = (1,2,2) u A1B = 0,
z
D1
A1
E
C1
A1B1 = 0,1,0 ,
B1到面A 1BE的距离为 A 1B1 n 2 d= = 3 n
B1
D
C
A
3、向量法求点到平面的距离：
如图 A , 空间一点 P 到平面的距离为 d,已知平面的一个法向量为 n ,且 AP 与 n 不共线,能否用 AP 与 n 表示 d ?
则 d=| PO |= | PA | cos APO. ∵ PO ⊥ , n , ∴ PO ∥ n . ∴cos∠APO=|cos PA, n |.
为1，E为D1C1的中点，求点E到直线A1B的距离.
解2
z
D1
A1
E
C1
B1
D
C
A
y
x
B
例3、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长
为1，E为D1C1的中点，求B1到面A1BE的距离.
1 解 : 建立坐标系. A1E = (-1, ,0), A1B = (0,1,-1) 2 设u = (1, y, z)为面A1BE的法向量
化为向量问题
D1 C1
B1
依据向量的加法法则， AC1 AB AD AA1
进行向量运算
A1 D A 图1
B
C
AC1 ( AB AD AA1 ) 2
2 2 2
2
AB AD AA1 2( AB AD AB AA1 AD AA1 )
1 1 1 2(cos60 cos60 cos60) 6 所以 | AC1 | 6

第3章空间向量与立体几何 §3.2 立体几何中的向量方法 (三)—— 利用向量方法求距离

§3.2 立体几何中的向量方法(三)—— 利用向量方法求距离知识点一求两点间的距离已知矩形ABCD 中, AB ＝4, AD ＝3, 沿对角线AC 折叠, 使面ABC 与面ADC垂直, 求BD 间的距离．解方法一过D 和B 分别作DE ⊥AC 于E, BF ⊥AC 于F, 则由已知条件可知AC ＝5, ∴DE ＝3×45＝125, BF ＝3×45＝125.∵AE ＝AD 2AC ＝95＝CF,∴EF ＝5－2×95＝75,∴DB u u u r ＝DE →＋EF u u u r ＋FB →.|DB u u u r |2＝ (DE →＋B 1E →＋FB →)2＝DE →2＋EF u u u r 2＋FB →2＋2DE →·EF u u u r ＋2DE →·FB →＋2EF u u u r ·FB →. ∵面ADC ⊥面ABC, 而DE ⊥AC, ∴DE ⊥面ABC, ∴ DE ⊥BF, DE → ⊥FB →,|DB u u u r |2＝DE →2＋B 1E →2＋FB →2＝14425＋4925＋14425＝33725,∴|DB u u u r |＝3375.故B 、D 间距离是3375. 方法二同方法一．过E 作FB 的平行线EP, 以E 为坐标原点, 以EP, EC, ED 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系如图．则由方法一知DE ＝FB ＝125, EF ＝75, ∴D ⎝⎛⎭⎫0，0，125, B ⎝⎛⎭⎫125，75，0, ∴BD u u u r ＝⎝⎛⎭⎫125，75，－125, | BD u u u r|＝⎝⎛⎭⎫1252＋⎝⎛⎭⎫752＋⎝⎛⎭⎫－1252＝3375. 【反思感悟】求两点间的距离或某线段的长度的方法： (1)把此线段用向量表示, 然后用|a |2＝a·a 通过向量运算去求|a |.(2)建立空间坐标系, 利用空间两点间的距离公式d ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(z 1－z 2)2求解．如图所示, 正方形ABCD, ABEF 的边长都是1, 而且平面ABCD ⊥平面ABEF, 点M 在AC 上移动, 点N 在BF 上移动, 若CM ＝BN ＝a(0＜a ＜ 2)．(1)求MN 的长；(2)当a 为何值时, MN 的长最小．解 (1)建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(1,0,0), F(1,1,0), C(0,0,1) ∵CM ＝BN ＝a(0<a<2),且四边形ABCD 、ABEF 为正方形, ∴M(22a,0,1－22a), N(22a, 22a,0), ∴|MN →＝(0, 22a, 22a －1), ∴|MN →|＝a 2－2a ＋1.(2)由(1)知MN ＝(a －22)2＋12,所以, 当a＝22时, MN ＝22. 即M 、N 分别移到AC 、BF 的中点时, MN 的长最小, 最小值为22. 知识点二求异面直线间的距离如图所示, 在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中, AB ⊥侧面BB 1C 1C, E 为棱CC 1上异于C 、C 1的一点, EA ⊥EB 1, 已知AB ＝2, BB 1＝2, BC ＝1, ∠BCC 1＝π3, 求异面直线AB 与EB 1的距离．解.以B 为原点, BA →、BA →所在直线分别为y 、z 轴, 如图建立空间直角坐标系．由于BC ＝1, BB 1＝2, AB ＝2, ∠BCC 1＝π3,在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中有B(0,0,0), A(0,0, 2), B 1(0,2,0),设 E (3,,02a ), 由EA ⊥EB 1, 得EA u u u r ·1EB u u u r=0,即⎝⎛⎭⎫－32，－a ，2·⎝⎛⎭⎫－32，2－a ，0＝0, 得⎝⎛⎭⎫a －12⎝⎛⎭⎫a －32＝0, 即a ＝12或a ＝32(舍去), 故E ⎝⎛⎭⎫32，12，0.设n 为异面直线AB 与EB 1公垂线的方向向量, 由题意可设n ＝(x, y,0),则有n ·1EB u u u r=0.易得n ＝(3, 1,0), ∴两异面直线的距离d ＝BE n n⋅u u u r＝⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫32，12，0·(3，1，0)3＋1＝1.【反思感悟】求异面直线的距离, 一般不要求作公垂线, 若公垂线存在, 则直接求解即可；若不存在, 可利用两异面直线的法向量求解．如图所示, 在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中, AB ＝4, AD ＝3, AA 1＝2, M 、N 分别为DC 、BB 1的中点, 求异面直线MN 与A 1B 的距离．解以A 为原点, AD 、AB 、AA 1所在直线分别为x, y, z 轴建立空间直角坐标系, 则A 1(0,0,2), B(0,4,0), M(3,2,0), N(0,4,1)．∴|MN →＝(－3,2,1), 1A B u u u u r ＝(0,4, －2)．设MN 、A 1B 公垂线的方向向量为 n ＝(x, y, z),则10,0,n MN n A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u u r即⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋2y ＋z ＝04y －2z ＝0.令y ＝1, 则z ＝2, x ＝43,即n ＝⎝⎛⎭⎫43，1，2, |n |＝613. 1MA u u u u r＝(－3,－2,2)在n 上的射影的长度为d ＝1MA nn⋅u u u u r ,故异面直线MN 与A 1B 的距离为66161.知识点三求点到平面的距离在三棱锥B —ACD 中, 平面ABD ⊥平面ACD, 若棱长AC ＝CD ＝AD ＝AB ＝1, 且∠BAD ＝30°, 求点D 到平面ABC 的距离．解如图所示, 以AD 的中点O 为原点, 以OD 、OC 所在直线为x 轴、y 轴, 过O 作OM ⊥面ACD 交AB 于M, 以直线OM 为z 轴建立空间直角坐标系,则A ⎝⎛⎭⎫－12，0，0, B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－12，0，12, C ⎝⎛⎭⎫0，32，0, D ⎝⎛⎭⎫12，0，0, ∴AC u u u r =⎝⎛⎭⎫12，32，0,AB u u u r ＝⎝⎛⎭⎫32，0，12, DC u u u r ＝⎝⎛⎭⎫－12，32，0,设n ＝(x, y, z)为平面ABC 的一个法向量,则31·0,2213·0,22AB x z AC x y ⎧⎫=+=⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪=+=⎪⎪⎩⎭n n u u u r u u u r , ∴y ＝－33x, z ＝－3x, 可取n ＝(－3, 1,3), 代入d ＝DC n n⋅u u u r , 得d ＝32＋3213＝3913,即点D 到平面ABC 的距离是3913. 【反思感悟】利用向量法求点面距, 只需求出平面的一个法向量和该点与平面内任一点连线表示的向量, 代入公式求解即可．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为4, M 、N 、E 、F 分别为A 1D 1、A 1B 1、C 1D 1、B 1C 1的中点, 求平面AMN 平面与EFBD 间的距离.解如图所示, 建立空间直角坐标系D —xyz, 则A(4,0,0), M(2,0,4), D(0,0,0), B(4,4,0), E(0,2,4), F(2,4,4), N(4,2,4),从而EF u u u r ＝(2,2,0), MN →＝(2,2,0),AM u u u u r ＝(－2,0,4), BF →＝(－2,0,4), ∴EF u u u r ＝MN →, AM u u u u r ＝BF →,∴EF ∥MN, AM ∥BF, ∴平面AMN ∥平面EFBD.设n ＝(x, y, z)是平面AMN 的法向量,从而·220,·240,MN x y AM x z ⎧⎫=+=⎪⎪⎨⎪=-+=⎪⎩⎭n n u u u u r u u u u r解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2z y ＝－2z .取z ＝1, 得n ＝(2, －2,1),由于AB u u u r在n 上的投影为n AB n⋅u u u r ＝－84＋4＋1＝－83.∴两平行平面间的距离d ＝n ABn⋅u u u r＝83. 课堂小结：1．求空间中两点A, B 的距离时, 当不好建系时利用|AB|＝|AB u u u r|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(z 1－z 2)2来求．2．两异面直线距离的求法．如图(1), n 为l 1与l 2的公垂线AB 的方向向量, d ＝|AB u u u r |＝|CD →·n ||n |.3点B 到平面α的距离：|BO uuu r |=AB n n⋅u u u r .(如图(2)所示)4.面与面的距离可转化为点到面的距离.一、选择题 1.若O 为坐标原点,OA u u u r=（1, 1, -2）, OB uuu r=（3, 2, 8）,OC u u u r=（0, 1, 0）, 则线段AB 的中点P 到点C 的距离为（） A.1652B ．214C.53D.532答案 D解析由题意OP uuu r ＝(1－t )OA →＝12(OA →＋OB →)＝(2, 32, 3),PC →＝OC →－OP uuu r ＝(1－t )OA →＝(－2, －12, －3), PC ＝|PC →|＝ 4＋14＋9＝532.2．如图, 正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1, O 是底面A 1B 1C 1D 1的中心, 则O 到平面ABC 1D 1的距离是( )A ．12B.24C.22 D.32 答案 B解析以D 为坐标原点, 以DA, DC, DD 1所在直线分别为x,y,z 轴建立空间直角坐标系, 则有D 1（0, 0, 1）, D （0, 0, 0）, A （1, 0, 0）, B （1, 1, 0）, A 1（1, 0, 1）, C 1（0, 1, 1）.因O为A 1C 1的中点, 所以O （12, 12,1）, 1C O u u u u r =（12, -12, 0）, 设平面ABC 1D 1的法向量为 n=（x,y,z ）, 则有10,0,n AD n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u r即0,0,x z y -+=⎧⎨=⎩ 则 n = （1, 0, 1）, ∴O 到平面ABC 1D 1的距离为：1C O nd n⋅=u u u u r ,.3．在直角坐标系中, 设A (－2,3), B (3, －2), 沿x 轴把直角坐标平面折成120°的二面角后, 则A 、B 两点间的距离为( )A ．211 B.11 C.22 D ．311 答案 A解析 AB AE EF =+u u u r u u u r u u u r ＋FB →AB u u u r 2＝AE u u u r 2＋EF u u u r 2＋FB →2＋2AE u u u r ·EF u u u r ＋2AE u u u r ·FB →＋2EF u u u r ·FB → ＝9＋25＋4＋2×3×2×12＝44.∴|AB u u u r|＝211.4．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为2, 点E 是A 1B 1的中点, 则点A 到直线BE 的距离是( )A.655B.455C.255D.55 答案 B解析如图所示,BA u u u r=（2, 0, 0）,BE u u u r=（1, 0, 2）,∴cos θ= BA BEBA BE⋅u u u r u u u r u u u r u u u r＝225＝55, ∴sin θ＝1－cos 2θ＝255, 455.A 到直线BE 的距离d ＝|－*6]·OC →|sin θ＝2×255＝二、填空题5．已知A (2,3,1), B (4,1,2), C (6,3,7), D (－5, －4,8), 则点D 到平面ABC 的距离为________．答案 491717解析设平面ABC 的法向量为n ＝(x , y , z ),则0,0,n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r 即⎩⎪⎨⎪⎧(x ，y ，z )·(2，－2，1)＝0，(x ，y ，z )·(4，0，6)＝0. ∴n ＝⎝⎛⎭⎫－32，－1，1, 又AD u u u r=（-7, -7, 7）.∴点D 到平面ABC 的距离d = AD n n⋅u u u r＝491717. 6．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中, 棱长为2, E 为A 1B 1的中点, 则异面直线D 1E 和BC 1间的距离是________．答案 263解析如图所示建立空间直角坐标系,设n 为异面直线D1E 与BC1公垂线的方向向量,并设n =(x,y,z),则有110,0,n BC n D E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u u r易求得n =（1, -2, 1）,∴d=11D C nn⋅u u u u u r ＝|(0，2，0)·(1，－2，1)|1＋4＋1＝46＝263.7．在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中, 点A 到平面A 1BD 的距离为________．答案 33a解析以D 为空间直角坐标原点, 以DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立坐标系,则D (0,0,0), A (a,0,0), B (a , a,0), A 1(a,0, a )．设n ＝(x , y , z )为平面A 1BD 的法向量,则有10,0,n DA n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u r, 即⎩⎪⎨⎪⎧(x ，y ，z )(a ，0，a )＝0，(x ，y ，z )(a ，a ，0)＝0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋z ＝0，x ＋y ＝0，令x ＝1, ∴n ＝(1, －1, －1)．∴点A 到平面A 1BD 的距离d ＝DA n n⋅u u u r ＝a 3＝33a . 三、解答题8．如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEC 1F 所截而得到的, 其中AB ＝4, BC ＝2, CC 1＝3, BE ＝1.(1)求BF 的长；(2)求点C 到平面AEC 1F 的距离．解 (1)建立如图所示的空间直角坐标系,则D (0,0,0), B (2,4,0), A (2,0,0), C (0,4,0), E (2,4,1), C 1(0,4,3)．设F (0,0, z )．∵四边形AEC 1F 为平行四边形,∴由1AF EC =u u u r u u u u r得（-2, 0, z ）=（-2, 0, 2）, ∴z=2.∴F （0, 0, 2）.∴BF u u u r=（-2, -4, 2）.于是|BF u u u r|=26 （2）设n 1为平面AEC 1F 的一个法向量,显然n 1不垂直于平面ADF, 故可设n 1=（x, y, 1）,由0,0,n AE n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r 得 0410,2020,x y x y ⨯+⨯+=⎧⎨-⨯+⨯+=⎩即410,220,yx+=⎧⎨-+=⎩∴1,1,4xy=⎧⎪⎨=-⎪⎩∴n1=（1,14-,1）.又1CCu u u u r=(0,0,3),设1CCu u u u r与n1的夹角为α,则cosα= 1111CC nCC n⋅u u u u ru u u u r343313331116==⋅++∴C到平面AEC1F的距离为d=|1CCu u u u r|cosα=3×4333343311=9．已知：正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中, 底面边长为22, 侧棱长为4, E、F分别为棱AB、BC的中点．(1)求证：平面B1EF⊥平面BDD1B1；(2)求点D1到平面B1EF的距离．(1)证明建立如右图所示的空间直角坐标系, 则D(0,0,0),B(22, 22, 0), E(22, 2, 0),F(2, 22, 0), D1(0,0,4),B1(22, 22, 4)．EFu u u r＝(－2, 2, 0), DB→＝(22, 22, 0), 1DDu u u u r＝(0,0,4),EFu u u r·DB→＝0.∴EF⊥DB, EF⊥DD1, DD1∩BD＝D,∴EF⊥平面BDD1B1.又EF⊂平面B1EF, ∴平面B1EF⊥平面BDD1B1.（2）解由（1）知11D Bu u u u r=)(22,22,0EFu u u r=)(2,2,0-, 1B Eu u u u r=)(0,2,4--,设平面B1EF的法向量为n,且n = (x,y,z),则n⊥EFu u u r,n⊥1B Eu u u u r,即n·EFu u u r=（x, y, z）·)(2,2,0＝－2x＋2y＝0,n ·1B E u u u u r ＝(x, y, z)·(0,－2, －4)＝－2y －4z ＝0. 令x ＝1, 则y ＝1, z ＝－24, ∴n ＝⎝⎛⎭⎫1，1，－24. ∴D 1到平面B 1EF 的距离11D B nd n ⋅=u u u u r ＝|22＋22|12＋12＋⎝⎛⎭⎫－242＝16171710．直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的高为3, 底面是边长为4且∠DAB ＝60°的菱形, AC ∩BD ＝O , A 1C 1∩B 1D 1＝O 1, E 是O 1A 的中点．(1)求二面角O 1—BC －D 的大小；(2)求点E 到平面O 1BC 的距离．解 (1)∵OO 1⊥平面AC ,∴OO 1⊥OA , OO 1⊥OB , 又OA ⊥OB ,建立如图所示的空间直角坐标系,∵底面ABCD 是边长为4, ∠DAB=60°的菱形, ∴OA=23, OB=2,则A(23,0,0), B(0,2,0), C(-23,0,0), O 1(0,0,3) 设平面O 1BC 的法向量为n 1=（x,y,z ）, 则n 1⊥1O B u u u u r , n 1⊥1O C u u u u r , ∴⎩⎨⎧ 2y －3z ＝0－23x －3z ＝0, 若z ＝2, 则x ＝－3, y ＝3, ∴n 1＝(－3, 3,2), 而平面AC 的法向量n 2＝(0,0,3)∴cos 〈n 1, n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝63×4＝12, 设O 1－BC －D 的平面角为α, ∴cos α＝12, ∴α＝60°.故二面角O 1－BC －D 为60°.(2)设点E 到平面O 1BC 的距离为d , ∵E 是O 1A 的中点, ∴1EO u u u u r ＝(－3, 0, 32), 则d=111EO n n ⋅u u u u r ＝|(－3，0，32)·(－3，3，2)|(－3)2＋32＋22＝32 ∴点E 到面O 1BC 的距离等于32.。

立体几何中的向量方法距离问题

n EF，n EG
2x 2y 0 2x 4 y 2Z 0
n ( 1 , 1 ,1) , BE (2, 0, 0)
33
d | n BE| 2 11 .
n
11
答:点 B 到平面 EFG 的距离为 2
11 .
11
练习(用向量法求点到面的距离):
如图, ABCD 是矩形, PD 平面 ABCD , PD DC a , AD 2a , M 、N 分别是 AD 、PB 的中点,求点 A 到平面 MNC 的距离.
1 1 1 2(cos60 cos60 cos60)
6 所以 | AC1 | 6
回到图形问题
这个晶体的对角线 AC1 的长是棱长的 6倍。
思考：
（2）若设AB=1，晶体相对的两个平面之间的距离是多少？
（提示：求两个平行平面的距离，通常归结为 D1
求点到面的距离或两点间的距离来求解）
A1
空间“距离”问题
1. 空间两点之间的距离
利用公式
aaΒιβλιοθήκη 2或ax2 y2 z2
(其中
a
(
x,
y,
z)
)
，可将两点距离问题
转化为求向量模长问题
例1：如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？
cosA1 AC
|
AA1 AA1 |
AC | AC
|
1 3
6 sinA1 AC 3
6 A1H AA1 sinA1 AC 3
∴ 所求的距离是 6 。 3
问题：如何求直线A1B1到平面ABCD的距离？

利用空间向量解决空间距离问题

2x, 3x,
D A
x
得A1E与BD1的距离
d D1A1 n n
14 14
Cy
B
B1到面A1BE的距离
2)A1E
=(-1,1 2
,0),A1B=(0,1,-1)设n

(
x,
y,
z
)为面A1BE的法向量，
则
n

A1E

0,
n A1B 0,
x 1 y 0, 2 y z 0,
则D1
(0,
Hale Waihona Puke 0,1),B(1,1,
0),
A1
(1,
0,1),
E(0,
1 2
,1)
z

A1E

1,
1 2
,
0

,
D1B 1,1, 1
D1
E
C1
n

A1E

0,
x 1 y 0, 2
A1
B1
n D1B 0, x y z 0,
即zy
n
P
四种距离的统一向量形式：
点到平面的距离：
直线到平面的距离：
d

|
AP n |
平面到平面的距离：
n
异面直线的距离：
AB (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (z1 z2 )2
例1、已知正方形ABCD的边长为4，
CG⊥平面ABCD，CG=2,E、F分别是AB、 AD的中点，求点B到平面GEF的距离。 z
即zy

2x, 2x,
z
D1 A1

立体几何中的向量方法空间角

点 A 到平面 MNC 的距离为 a . 2
P
N
D
C
M
A
B
4. 异面直线间旳距离
已知a,b是异面直线, CD为a,b旳公垂线,
n是直线CD的方向向量，
A，B分别在直线a,b上
b
n
C A
DB a
n AB d CD
n
例.已知：直三棱柱ABC A1B1C1的侧棱AA1 4, 底面ABC中, AC BC 2, BCA 900, E为AB的中点。求CE与AB1的距离。
由(1)知D(0，0，0)，P(0，0，1)，
z P
B(1，1，0)，E(0，1 ，1) 22
E
y
PD (0，0，1)，EB (1，1 ， 1)
C
B
22
x
G
00 1
cos PD，EB
2
D
6
A
13
6
2
所以EB与底面ABCD所成旳角旳正弦值为 6
6
所以EB与底面ABCD所成旳角旳正切值为
5 5
练习5：如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC旳中点，作EF⊥PB交PB于点F.
|
6 3
即所求二面角得余弦值是 6 3
1. 三棱锥P-ABC PA⊥ABC,PA=AB=AC,
BAC 900,E为PC中点 ,则PA与BE所成角旳
余弦值为____6_____ . 6
2. 直三棱柱ABC-A1B1C1中, A1A=2, BAC 900 AB=AC=1, 则AC1与截面BB1CC1所成角旳余弦值为__31_01_0_____ .
x

点到平面距离的若干典型求法

点到平面距离的若干典型求法1.引言点到平面的距离是高考立体几何部分必考的热点题型之一，也是学生较难准确把握的难点问题之一。

本文将介绍七种较为典型的求解方法，包括几何方法（如体积法、二面角法）、代数方法（如向量法、公式法）以及常用数学思维方法（如转化法、最值法），以达到秒杀得分的效果。

2.预备知识1) 正射影的定义：从平面外一点P向平面α引垂线，垂足为P'，则点P'叫做点P在平面α上的正射影，简称为射影。

同时，把线段PP'叫作点P与平面α的垂线段。

2) 点到平面距离定义：一点到它在一个平面上的正射影的距离叫作这点到这个平面的距离，也即点与平面间垂线段的长度。

3) 四面体的体积公式：V = Sh/3，其中V表示四面体体积，S、h分别表示四面体的一个底面的面积及该底面所对应的高。

4) 直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。

5) 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线也垂直。

3.求点到平面距离的若干求法3.1 定义法求点到平面距离定义法是最基本的求解方法之一，根据点到平面距离的定义，可以通过求点在平面上的正射影来求解点到平面的距离。

3.2 转化法求点到平面距离转化法是一种常用的求解方法，通过将问题转化为等价的问题来求解。

在点到平面距离的求解中，可以通过将平面方程转化为标准式，然后代入点的坐标，求解点到平面的距离。

3.3 等体积法求点到平面距离等体积法是一种几何方法，通过构造等体积的四面体来求解点到平面的距离。

具体方法是在点与平面之间构造一个四面体，使其与另一四面体等体积，然后根据四面体的体积公式来求解点到平面的距离。

3.4 利用二面角求点到平面距离二面角法是一种几何方法，通过求解点与平面所夹二面角的正弦值来求解点到平面的距离。

具体方法是求解点到平面的垂线与平面法线的夹角，然后根据正弦定理求解点到平面的距离。

3.2立体几何中的向量方法(三)

不共线, 一个法向量为 n ,且 AP 与 n 不共线,能否用 AP 与 n 表示 d ?
分析:过 P 作 PO⊥ α 于 O,连结 OA. 过 ⊥ 连结
P
n
则 d=| PO |= | PA | cos ∠APO . ∵ PO ⊥ α , n ⊥ α , ∴ PO ‖ n . cos∠ ∴cos∠APO=|cos PA, n |.
4
详细答案
思考题: 如图, 思考题: 如图,已知正方形 ABCD 的边长为 4,E,F , , AD GC⊥ 分别是 AB, 的中点, ⊥平面 ABCD, GC=2, , 的中点, , 且 = , z 的距离. 求点 B 到平面 EFG 的距离 G 如图, 解:如图,建立空间直角坐标系 C-xyz. - . 由题设 C(0,0,0),A(4,4,0),B(0,4,0), , , , D(4,0,0),E(2,4,0),F(4,2,0),G(0,0,2). , , , . EF = (2, 2, 0), EG = ( 2, 4, 2), D C
a, a, b), BC1 = (0, a , b), 2 2 12 2 由于AB1 ⊥ BC1 ,所以A 1 B 1 = a +b =0 所以 B C
2 2 B 1 ( 0 , a , b ), D ( 3 a , 1 a , 0) 4 3 1 4
z C1 A1 B1
2 a ∴ b= 2 C 在坐标平面yoz中 ∵ CC1 B 在坐标平面中 D x ∴ 可取 n =( ,0,0)为面 CC1 B 的法向量 =(1, , )
= a + c + b 2CA DB
2 2 2
2ab cos θ = a + b + c d .

高中数学第三章空间向量与立体几何点到平面的距离若干求解方法素材1

点到平面的距离若干求法1定义法求点到平面距离（直接法）定义法求点到平面距离是根据点到平面的定义直接作出或者寻找出点与平面间的垂线段，进而根据平面几何的知识计算垂线段长度而求得点与平面距离的一种常用方法.定义法求点到平面距离的关键在于找出或作出垂线段，而垂线段是由所给点及其在平面射影间线段，应而这种方法往往在很多时候需要找出或作出点在平面的射影。

以下几条结论常常作为寻找射影点的依据：（1)两平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们交线的直线垂直于另一个平面。

（2）如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这个点在该平面内的射影在这个角的角平分线所在的直线上。

（3）经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线。

设斜线和已知两边的夹角为锐角且相等，则这条斜线在这个平面的射影是这个角的角平分线.（4)若三棱锥的三条棱长相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形的外心。

例如图4所示，所示的正方体ABCD A B C D''''-棱长为a,求点A'到平面AB D''的距离。

(注：本文所有解法均使用本例）图4解法一（定义法):如图5所示，连结交B D ''于点E ，再连结AE ，过点A '作A H '垂直于AE ,垂足为H ,下面证明A H '⊥平面AB D ''。

图5AA '⊥平面A B C D ''''∴B D ''⊥AA ' 又在正方形A B C D ''''中,对角线B D A C ''''⊥，且AA A C A ''''=AA '⊂平面AA E '， A C ''⊂平面AA E '∴由线面垂直的判定定理知道B D ''⊥平面AA E 'A H '⊂平面AA E '∴A H '⊥B D ''又由A H '的作法知道A H '⊥AE ，且有B D ''AE E =，B D ''⊂平面AB D ''，AE ⊂平面AB D ''∴由线面垂直的判定定理知道A H '⊥平面AB D ''根据点到平面距离定义,A H '的长度即为点A '到平面AB D ''的距离，下面求A H '的长度。

立体几何中的向量方法求距离

点B到平面GEF的距离。
解：如图所示建立空间直角坐标系,则
z
G
B (0 ,4 ,0);E (2 ,4 ,0);F (4 ,2 ,0);G (0 ,0 ,2)
u u u r
u u u r
u u u r
B E(2 ,0 ,0),E F(2 , 2 ,0)， E G ( 2 , 4 ,2);
r
设平面 E F G 的法向量为 n ( x ,y , z )x
解：如图建立空间直角u u u 坐u r标系,则
z
u A u 1 u ( r 1 ,0 ,1 ) ,C ( 0 ,1 ,0 u ) u ,u D rA 1 ( 1 ,0 ,1 ) D1
A C ( 1 ,1 ,0 ) ,D A ( 1 ,0 ,0 ) ,A1
u u u u ru u u r
设 rD A 1 与 A C 的公垂向量为
立体几何中的向量正射影的距离叫做点到平面的距离。即这个点到平面垂线段的长度。
P
几何法：利用定义先
作出点P到平面的垂线
段PO，再归结到某三角形中计算PO的长度
O
或用等体积法。
点到平面的距离公式
如图，设P是平面α外一点，
点P到α的距离为d,作PO⊥α
解：如图所示建立空间直uuu 角r坐标系,则C(1,1,0),
D(0,2,0),S(0,0,1),AD(0,2,0),
uuu r
uuur
z
SC(1,1,1), SD(0r,1,1),
S
设平面SCD的法向量为n∠ (x, y,z)
则2xyyzzr 00xz2yy, 取 y 1 ,则 n (1 ,1 ,2 )，
★和两条异面直线都垂直相交的直线，叫做两条异面直线的公垂线。 ★两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分，叫做这两条异面直线的公垂线段。 ★两条异面直线的公垂线的长度，叫做两条异面直线的

点到平面的距离公式立体几何

点到平面的距离公式立体几何
点到平面的距离公式是立体几何中常用的公式之一，用于计
算点与平面之间的最短距离。

在三维空间中，假设平面的方程
为Ax+By+Cz+D=0，点的坐标为P(x1,y1,z1)。

点到平面的距离公式可以通过以下步骤来推导：
1.首先，我们需要计算点P在平面上的投影点Q的坐标。

平面上的任意一点Q(x2,y2,z2)满足方程Ax2+By2+Cz2+D=0。

通过代入点P的坐标，我们可以求解出平面上的投影点Q的坐标。

2.接下来，我们可以计算点P与投影点Q的距离。

两点之间的距离计算公式为：
距离=√((x1x2)²+(y1y2)²+(z1z2)²)
将点P和投影点Q的坐标代入该公式，即可计算出点P到平面的最短距离。

请注意，如果平面方程中的系数A、B、C已经是单位向量，则方程可以简化为D=AxByCz，此时点到平面的距离公式为：
距离=|Ax1+By1+Cz1+D|/√(A²+B²+C²)
这就是点到平面的距离公式的推导过程。

这个公式在计算点
与平面的距离时非常有用，可以在立体几何问题中发挥重要作用。

第3章空间向量与立体几何§3.2立体几何中的向量方法(三)——利用向量方法求距离

§3.2立体几何中的向量方法（三>利用向量方法求距离-对点讲练知识点一求两点间的距离八〔I已知矩形ABCD中，AB = 4 , AD = 3,沿对角线AC折叠, ADC垂直，求BD间的距离.解方法一过D和B分别作DE丄AC于E, BF丄AC于F, 则由已知条件可知AC = 5,••• DE =错误！=错误！，BF =错误！=错误!.•/ AE =错误！=错误！= CF,• EF= 5 —2X错误！=错误！，-I =错误！+ -I +错误！.| -1 |2=（错误！+错误！+错误！ >2=错误！2+ -1 2+错误！2+ 错误！错误！+ 2 -1错误！.•••面ADC丄面ABC，而DE丄AC ,•DE 丄面ABC ,•DE丄BF,错误！丄错误！,| — |2=错误！2+错误！2+错误！2=错误！+错误！+错误！=错误！,• | 1 |=错误！.故B、D间距离是错误！.方法二同方法一.过E作FB的平行线EP,以E为坐标原点，以EP, EC, 为x、y、z轴建立空间直角坐标系如图.则由方法一知DE = FB =错误！，EF=错误！，• D错误！，B错误！，使面ABC与面2错误！•一 + 2 ED所在直线分别| -I 匸错误！=错误!.ABEF ，点M 在AC 上移动，点 N 在BF 上移动，若 CM = BN = a(O v a v 错误！＞.(1＞求MN 的长；(2＞当a 为何值时，MN 的长最小. 解(1＞建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(1,0,0＞，F(1,1,0＞，C(0,0,1＞•/ CM = BN = a(0＜a ＜错误! ＞，且四边形 ABCD 、ABEF 为正方形，••• M(错误！a,0,1 —错误!a ＞，N(错误! a ，错误!a,0＞， •••I 错误！ = (0，错误! a ，错误! a — 1＞，二|错误！ |=错误!. (2＞由(1＞知MN =错误！，所以，当a =错误！时，MN =错误!.即M 、N 分别移到AC 、BF 的中点时，MN 的长最小，最小值为错误!. 知识点二求异面直线间的距离U 如图所示，在三棱柱 ABC — 中，AB 丄侧面BBQ I C ，E 为棱CC i 上异于C 、C i 的一点，EA 丄EB i ，已知 AB =错误！，BB i = 2，BC = 1，Z BCC i =错误！，求异面直线AB 与EB i 的距离.解.以B 为原点，错误！、错误！所在直线分别为 y 、z 轴，如图建立空间直角坐标系.由于 BC = I ，BB i = 2， AB =错误！，/ BCC i =错误！，在三棱柱 ABC — A i B i C i 中有 B(0,0,0＞，A(0,0，错误！＞，B i (0,2,0＞，即错误！错误！ = 0,【反思感悟】求两点间的距离或某线段的长度的方法：(1＞把此线段用向量表示，然后用|af 二a a 通过向量运算去求间坐标系，利用空间两点间的距离公式 d =错误！求解.如图所示，正方形ABCD , ABEF 的边长都是1，而且平面a |.(2＞建立空设E ( ＞，由EA ^EB ,得凹•回=0,得错误！错误！ = 0,即a =错误！或a =错误！(舍去＞, 故E 错误！. 设n 为异面直线AB 与EB i 公垂线的方向向量，由题意可设n = (x , y,0＞ , 则有 n • —! =0. 易得n =(错误！，1,0＞ ,•••两异面直线的距离 d = 工 =错误！ = 1.【反思感悟】求异面直线的距离，一般不要求作公垂线，若公垂线存在，则直接求解即可；若不存在，可利用两异面直线的法向量求解.如图所示，在长方体 ABCD — A I B I C I D I 中，AB = 4，AD = 3，AA 1= 2，M 、N 分别为 DC 、BB I 的中点，求异面直线 MN 与A I B 的距离.解以A 为原点，AD 、AB 、AA 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，贝V A 1(0,0,2＞，B(0,4,0＞，M(3,2,0＞，N(0,4,1＞ . •I 错误! = (- 3,2,1＞，I = (0,4，- 2＞ . 设MN 、A 1B 公垂线的方向向量为 n = (x ，y ，z ＞，即错误!.令 y = 1,贝U z = 2，x =错误！，即n =错误！，|n |=错误！.—1= (— 3，- 2,2＞在n 上的射影的长度为d= I ,故异面直线MN与A I B的距离为错误！.知识点三求点到平面的距离卜卫在三棱锥 B —ACD中，平面ABD丄平面ACD，若棱长AC = CD = AD = AB =1,且/ BAD = 30 °求点D到平面ABC的距离.解如图所示，以AD的中点0为原点，以0D、OC所在直线为x轴、y轴，过0作0M丄面ACD 交AB于M，以直线0M为z轴建立空间直角坐标系，则A错误！，B错误！，C错误！，D错误！，•••=错误！，-I =错误！，丨=错误！，设n = (x, y, z>为平面ABC的一个法向量，• y=—错误！ x, z=—错误！ x,可取n =(—错误！，1,3> ,代入d = □ ，得d=错误！=错误！，即点D到平面ABC的距离是错误！.【反思感悟】禾U用向量法求点面距，只需求出平面的一个法向量和该点与平面内任一点连线表示的向量，代入公式求解即可.正方体ABCD —A1B1C1D1 的棱长为4, M、N、E、F 分别为A1D1、A1B1、C1D1、B1C1的中点，求平面AMN平面与EFBD间的距离.解如图所示，建立空间直角坐标系 D —xyz，贝U A(4,0,0> , M(2,0,4> , D(0,0,0> ,B(4,4,0> , E(0,2,4> , F(2,4,4> , N(4,2,4> ,从而一 =(2,2,0> ,错误！= (2,2,0>,I亠=(—2,0,4>,错误！= (- 2,0,4>,二一I =错误！，I亠=错误！，••• EF // MN , AM // BF ,•••平面AMN //平面EFBD.设n = (x, y, z>是平面AMN的法向量，解得错误！•取z = 1 得n = (2, —2,1>,由于一在n上的投影为|创=错误！=—错误！.•两平行平面间的距离课堂小结：1. 求空间中两点A , B的距离时，当不好建系时利用|AB| |=错误！来求.2. 两异面直线距离的求法.如图(1>, n为l i与12的公垂线AB的方向向量, d=|」匸错误！.图⑴3点B到平面a的距离：|•(如图(2>所示>4•面与面的距离可转化为点到面的距离课时作业-一、选择题1•若0 为坐标原点，口=<1 , 1 , 2) , —=<3 , 2, 8),-=<0, 1 , 0),则线段AB的中点P到点C的距离为<)A.错误！ B . 2错误！ C.错误！ D.错误！答案D解读由题意 I = (1 — t>错误！=错误！(错误！ +错误! > = (2,错误！，3>,错误！=错误！—二=(1 — t>错误！ = (— 2,—错误！，— 3> , PC = |错误! |=错误！=错误！ •2. 如图，正方体 ABCD — A i B i C i D i 的棱长为1 , O 是底面 A 1B 1C 1D 1的中心，贝V O 至U平面ABC 1D 1的距离是(>□ ______ C,EA •弐B.错误！C.错误！D.错误！答案B 解读以D 为坐标原点，以 DA , DC , DD 1所在直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系，则有 D 1<0, 0, 1), D<0 , 0, 0), A<1 , 0, 0), B<1 , 1 , 0), A 1<1 , 0, 1),C 1<0, 1, 1).因O 为A 1C 1的中点，所以 0<习，耳,1), 回=胡，口勺，0),设平面ABC 1D 1的法向量为n=<x,y,z )，则有则 n = <1 , 0, 1),••• O 到平面ABC 1D 1的距离为:3 .在直角坐标系中，设A(— 2,3> , B(3, — 2>,沿x 轴把直角坐标平面折成 120。

立体几何中的法向量

立体几何中的法向量现行高中数学教科书第二册（下B）第九章提到了法向量的定义：如果向量⊥平面α，那么向量a叫做平面α的法向量。

但是对于法向量在立体几何中的运用却没有详细介绍，其实灵活运用法向量去求解某些常见的立几问题如“求点到平面的距离”、“求异面直线间的距离”、“求直线与平面所成的角”、“求二面角的大小”、“证明两平面平行或垂直”等是比较简便的，现介绍如下：一、求点到平面的距离设A是平面α外一点，AB是α的一条斜线，交平面α于点B，而n是平面α的法向量，那么向量BA在n方向上的正射影长就是点A到平面α的距离h，所以h==（1）例1：已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是B1C1和C1D1的中点，求点A1到平面DBEF的距离。

解：如图建立空间直角坐标系，＝（1，1，0），＝（0，21，1），1DA＝（1，0，1）设平面DBEF的法向量为n＝（x，y，z），则有：n0=⋅DB即x＋y＝0=⋅21y＋z＝0令x＝1, y=－1, z=21, 取n＝（1，－1，21），则A1到平面DBEF的距离1==h注：此题A1在平面DBEF的射影难以确定，给求解增加难度，若利用（1）式求解，关键是求出平面DBEF的法向量。

法向量的求解有多种，可直接利用向量积，在平面内找两个不共线的向量，例如DB和DF，那么n＝DB×DF。

但高中教材未曾涉及向量积，这里根据线面垂直的判定定理，设＝（x，y，z），通过建立方程组求出一组特解。

二、求异面直线间的距离假设异面直线a、b，平移直线a至a*且交b于点A，那么直线a*和b确定平面α，且直线a∥α，设是平面α的法向量，那么⊥，⊥。

所以异面直线a和b的距离可以转化为求直线a 上任一点到平面α的距离，方法同例1。

例2：已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1解：如图建立空间直角坐标系，则AC ＝（－1，1，0），1DA ＝（1，0，1）连接A 1C 1，则A 1C 1∥AC,设平面A 1C 1D 的法向量为n ＝（x ，y ，z ）,0=⋅由可解得＝（1，1，－1），又1AA ＝（0，0，1）01=⋅DA所以点A 到平面A 1C 1D 的距离为33==h ，即直线DA 1和AC 间的距离为33。

3.2立体几何中的向量方法(平行、垂直、夹角、距离)(高中数学人教版选修2-1)

3.2立体几何中的向量方法
（1）方向向量与法向量（2）平行关系
（3）垂直关系
（4）夹角问题
（5）距离问题
（6）综合问题
（1）方向向量与法向量
1、空间中点的位置的确定：
点的位置向量
OP
2、空间中直线位置的确定：直线的向量式方程
AP t a
如图, l 为经过已知点 A 且平行于非零向量 a 的直线,那么非零向量 a 叫做直线 l 的方向向量。
三边所在的直线为x, y, z轴建立空间 A 直角坐标系.设正方体的棱长为1,
则A1 (1, 0, 0), B1 (1,1, 0),
X Z
D
证明 : 如图分别以D1 A1、D1C1、D1D
C
B
D1
C1
B1
C (0, 0,1), D(0, 0,1) 则A1 D (1, 0,1), B1C (1, 0,1) A1 D // B1C.即直线A1 D // B1C，
D! N A! B! C! M C B
平行;三是证明 MN 可以用平面
D A
方法:一是证明 MN与平面A1BD的法向量垂直;
法1:建立如图所示的空间直角坐标系.
设正方体的棱长为1,则可求得 M(0,1,1/2),N(1/2,1,1),D(0,0,0), A1(1,0,1),B(1,1,0).于是
一. 平行关系：
(1) l / / m a / / b a b ；
a b
l
m
(2) l / / ① a u a u 0 ；
u
α
设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b ，平面 , 的法向量分别为 u, v ，则

高二数学空间向量解决空间距离问题

z
D1
A1
E
C1
B1
D
C
A
y
x
B
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1， E为D1C1的中点，求下列问题： (3) 求面A1DB与面D1CB1的距离；
z
D1
A1
C1
B1
D
C
A
y
x
B
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1， E为D1C1的中点，求下列问题： (4) 求异面直线D1B与A1E的距离.
P
n
d
O
| AP n | d n

A
其中 AP 为斜向量， n 为法向量。
二、直线到平面的距离
| AP n | d n
A
l
P
d
O
n
其中 AP 为斜向量， n 为法向量。
三、平面到平面的距离
n
z
D1
A1
E
C1
B1
D
C
A
y
x
B
练习1：
已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中， E、F分别是B1C1和C1D1 的中点，求点A1到平面DBEF的距离。 z D1 F C
1
A1 D
B1
E C y B
A x
练习2：
已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1，求平面DA1C1和平面AB1C间的距离。 z D1 A1 D B B1 C y C1
D1
C1
B1
C
B
y
x
解：1)以D为坐标原点，DA所在的直线为x轴，DC所在的直线为y轴， DD1所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系D xyz，如图所示 1 则D1 (0, 0,1), B(1,1, 0), A1 (1, 0,1), E (0, ,1) 2 z 1 A1 E 1, , 0 , D1B 1,1, 1 2 E D1 C1 设 n ( x, y , z )是与 A1 E , D1 B都垂直的向量， 1 A1 则 B1 n A E 0, x y 0, 1 2 n D1 B 0, x y z 0, D y 2 x, C 即取 x＝1，得其中一个 n (1, 2, 3) z 3x, B 选 A1 E与 BD1的两点向量为D1 A1 1, 0, 0 , A D1 A1 n 14 得A1E与BD1的距离 d 14 n

027：选修2-1 3.2.3 利用法向量解决立体几何中的线面角问题和求点到平面的距离问题

选修2-1 第三章空间向量与立体几何§3.2.3 利用法向量解决立体几何中的线面角，求点到平面的距离问题班级姓名一、目标导引1．会利用法向量解决立体几何中的线面角； 2．会求点到平面的距离问题．二、教学过程题型一利用法向量解决立体几何中的线面角【知识准备】如图，已知PA 为平面α的一条斜线，n 为平面α的一个法向量，过P 作平面α的垂线PO ，连结OA 则PAO ∠为斜线PA 和平面α所成的角，记为θ，则有 ,OP AP θ+<>= ,由此，在Rt AOP ∆中，sin |sin(,)|2OP AP πθ=-<>= = ．【注意】直线与平面所成的角的范围是θ∈例1 如图所示，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°. （1）证明：AB ⊥A 1C ；（2）若平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，AB ＝CB ，求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值．11【变式1】在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AB ＝1，D 在棱BB 1上，且BD ＝1，求AD 与平面AA 1C 1C 所成角的正弦值．C1题型二利用法向量求点到平面的距离问题【知识准备】设P 是平面α外一点，P A 是α的一条斜线，交平面α于点A ， n 是平面α的法向量，那么向量PA 在n 方向上的正射影长OP 就是点A 到平面α的距离h ，在Rt AOP ∆中，OP = = ．例2 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F ，G 分别是C 1C ，D 1A 1，AB 的中点，求点A 到平面EFG 的距离．A1【课时作业027】班级姓名作业等级A 级学业水平达标1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求直线BC 1与平面A 1BD 所成的角的正弦值．【答案：63】12．正三角形ABC 与正三角形BCD 所在的平面互相垂直，求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值．【答案：155】3．如图所示，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BC ，A 1D 1的中点．(1)求直线A 1C 与DE 所成角的余弦值；【答案：1515】(2)求直线AD 与平面B 1EDF 所成角的余弦值；【答案：33】(3)求平面B 1EDF 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值．【答案：66】B 级应试能力达标4．如图，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，侧棱AA 1⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AA 1＝1，AB ＝3k ，AD ＝4k ，BC ＝5k ，DC ＝6k (k >0)．(1)求证：CD ⊥平面ADD 1A 1； (2)若直线AA 1与平面AB 1C 所成角的正弦值为67，求k 的值．（答案k=1）5．如图，四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ∥CD ，AD ＝CD ＝1，∠BAD ＝120°，∠ACB ＝90°．(1)求证：BC ⊥平面P AC ；(2)若二面角D -PC -A 的余弦值为55，求点A 到平面PBC 的距离．（答案32）1选修2-1 第三章空间向量与立体几何§3.2.3 利用法向量解决立体几何中的线面角，求点到平面的距离问题一、目标导引1.利用法向量解决立体几何中的线面角；2.求点到平面的距离问题二、教学过程题型一利用法向量解决立体几何中的线面角【知识准备】如图，已知PA 为平面α的一条斜线，n 为平面α的一个法向量，过P 作平面α的垂线PO ，连结OA 则PAO ∠为斜线PA 和平面α所成的角，记为θ，则有 ,OP AP θ+<>= ,由此，在Rt AOP ∆中，sin |sin(,)|2OP AP πθ=-<>= =【注意】直线与平面所成的角的范围是θ∈例1 如图所示，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°. ①证明：AB ⊥A 1C ；②若平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，AB ＝CB ，求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值． ①证明取AB 的中点O ，连接OC ，OA 1，A 1B . ∵CA ＝CB ，∴OC ⊥AB . 由于AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°，故△AA 1B 为等边三角形，∴OA 1⊥AB .∵OC ∩OA 1＝O ， ∴AB ⊥平面OA 1C .又A 1C ⊂平面OA 1C ，故AB ⊥A 1C .②解由①知OC ⊥AB ，OA 1⊥AB .又平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，交线为AB ，OC ⊂平面ABC ，所以OC ⊥平面AA 1B 1B ，故OA ，OA 1，OC 两两垂直．以O 为坐标原点，OA ，OA 1，OC 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz .设AB ＝2，则A (1,0,0)，A 1(0，3，0)， C (0,0，3)，B (－1,0,0)，则BC →＝(1,0，3)，BB 1→＝AA 1→＝(－1，3，0)， A 1C -→＝(0，－3，3)．设n ＝(x ，y ，z )是平面BB 1C 1C 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC →＝0，n ·BB 1→＝0，即⎩⎨⎧x ＋3z ＝0，－x ＋3y ＝0，可取n ＝(3，1，－1)．故cos 〈n ，A 1C -→〉＝n ·A 1C -→|n ||A 1C -→|＝－105，∴A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为105.【变式1】在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AB ＝1，D 在棱BB 1上，且BD ＝1，求AD 与平面AA 1C 1C 所成角的正弦值解析取AC 的中点E ，连接BE ，则BE ⊥AC ，以B 为坐标原点，BE ，BB 1所在直线分别为x 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz ，则A ⎝⎛⎭⎫32，12，0，D (0,0,1)，B (0,0,0)，E ⎝⎛⎭⎫32，0，0，则AD →＝⎝⎛⎭⎫－32，－12，1，BE →＝⎝⎛⎭⎫32，0，0. ∵平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，平面ABC ∩平面AA 1C 1C ＝AC ，BE ⊥AC ，BE ⊂平面ABC ， ∴BE ⊥平面AA 1C 1C ，∴BE →＝⎝⎛⎭⎫32，0，0为平面AA 1C 1C 的一个法向量．设AD 与平面AA 1C 1C 所成角为α，∵cos 〈AD →，BE →〉＝－64，∴sin α＝|cos 〈AD →，BE →〉|＝64.题型二利用法向量求点到平面的距离问题【知识准备】设P 是平面α外一点，P A 是α的一条斜线，交平面α于点A ，n 是平面α的法向量，那么向量PA 在n 方向上的正射影长OP 就是点A 到平面α的距离h ，在Rt AOP ∆中，OP = =例2 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F ，G 分别是C 1C ，D 1A 1，AB 的中点，求点A 到平面EFG 的距离．解以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，则A (2,0,0)，E (0,2,1)，F (1,0,2)，G (2,1,0)．所以AG →＝(0,1,0)，GE →＝(－2,1,1)，GF →＝(－1，－1,2)．设n ＝(x ，y ，z )是平面EFG 的法向量，点A 到平面EFG 的距离为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·GE →＝0，n ·GF →＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋y ＋z ＝0，－x －y ＋2z ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝z ，y ＝z .令z ＝1，此时n ＝(1,1,1)，所以d ＝|AG →·n ||n |＝13＝33，即点A 到平面EFG 的距离为33.A 级学业水平达标1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求直线BC 1与平面A 1BD 所成的角的正弦值．【答案：63】解析以D 为坐标原点，DA →，DC →，DD 1→所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Dxyz .设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B (1,1,0)，C 1(0,1,1)，A (1,0,0)，∴BC 1→＝(－1,0,1)，AC 1→＝(－1,1,1)，A 1B -→＝(0,1，－1)， A 1D -→＝(－1,0，－1)．∴AC 1→·A 1B -→＝1－1＝0，AC 1→·A 1D -→＝1－1＝0.∴AC 1⊥A 1B ，AC 1⊥A 1D .又A 1B ∩A 1D ＝A 1，且A 1B ，A 1D ⊂平面A 1BD ，∴AC 1⊥平面A 1BD . ∴AC 1→是平面A 1BD 的一个法向量．∴cos 〈BC 1→，AC 1→〉＝BC 1→·AC 1→|BC 1→||AC 1→|＝1＋12×3＝63.2.正三角形ABC 与正三角形BCD 所在的平面互相垂直，求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值．解析：取BC 的中点O ，连接AO ，DO ，建立如图所示的空间直角坐标系O -xyz .设BC ＝1，A ⎝⎛⎭⎫0，0，32，B ⎝⎛⎭⎫0，－12，0，C ⎝⎛⎭⎫0，12，0，D ⎝⎛⎭⎫32，0，0，所以BA ―→＝⎝⎛⎭⎫0，12，32， BD ―→＝⎝⎛⎭⎫32，12，0，CD ―→＝⎝⎛⎭⎫32，－12，0. 设平面ABD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BA ―→＝0，n ·BD ―→＝0，所以⎩⎨⎧12y ＋32z ＝0，32x ＋12y ＝0，取x ＝1，则y＝－3，z ＝1，所以n ＝(1，－3，1)，所以cos 〈n ，CD ―→＝32＋325×1＝155，因此直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值为155.3.如图所示，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BC ，A 1D 1的中点．(1)求直线A 1C 与DE 所成角的余弦值；【答案：1515】(2)求直线AD 与平面B 1EDF 所成角的余弦值；【答案：33】(3)求平面B 1EDF 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值．【答案：66】解以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AA 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Axyz . 则A 1(0,0，a )，C (a ，a,0)，D (0，a,0)，E ⎝⎛⎭⎫a ，a2，0， (1) A 1C -→＝(a ，a ，－a )，DE →＝⎝⎛⎭⎫a ，－a 2，0，∴cos 〈A 1C -→，DE →〉＝A 1C -→·DE →|A 1C -→||DE →|＝1515，故A 1C 与DE 所成角的余弦值为1515.(2)连接DB 1，∵∠ADE ＝∠ADF ，∴AD 在平面B 1EDF 内的射影在∠EDF 的平分线上．又B 1EDF 为菱形，∴DB 1为∠EDF 的平分线，故直线AD 与平面B 1EDF 所成的角为∠ADB 1.由DA →＝(0，－a,0)，DB 1→＝(a ，－a ，a )，∴cos 〈DA →，DB 1→〉＝DA →·DB 1→|DA →||DB 1→|＝33，又直线与平面所成角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π2， (3)由已知得ED →＝⎝⎛⎭⎫－a ，a 2，0， EB 1→＝⎝⎛⎭⎫0，－a 2，a ，平面ABCD 的一个法向量为m ＝AA 1→＝(0,0，a )．设平面B 1EDF的一个法向量为n ＝(1，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·ED →＝0，n ·EB 1→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，z ＝1，∴n ＝(1,2,1)，∴cos 〈n ，m 〉＝m ·n |m ||n |＝66，∴平面B 1EDF与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值为66. B 级应试能力达标4.如图，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，侧棱AA 1⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AA 1＝1，AB ＝3k ，AD ＝4k ，BC ＝5k ，DC＝6k (k >0)．(1)求证：CD ⊥平面ADD 1A 1； (2)若直线AA 1与平面AB 1C 所成角的正弦值为67，求k 的值．[解] (1)证明：取CD 的中点E ，连接BE .∵AB ∥DE ，AB ＝DE ＝3k ， ∴四边形ABED 为平行四边形，∴BE ∥AD 且BE ＝AD ＝4k . 在△BCE 中，∵BE ＝4k ，CE ＝3k ，BC ＝5k ， ∴BE 2＋CE 2＝BC 2，∴∠BEC ＝90°，即BE ⊥CD .又BE ∥AD ，∴CD ⊥AD . ∵AA 1⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴AA 1⊥CD .又AA 1∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面ADD 1A 1.(2)以D 为坐标原点，DA ―→，DC ―→，DD 1―→的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则A (4k,0,0)，C (0,6k,0)，B 1(4k,3k,1)，A 1(4k,0,1)，∴AC ―→＝(－4k,6k,0)，AB 1―→＝(0,3k,1)，AA 1―→＝(0,0,1)．设平面AB 1C 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧AC ―→·n ＝0，AB 1―→·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－4kx ＋6ky ＝0，3ky ＋z ＝0.取y ＝2，可得平面AB 1C 的一个法向量为n ＝(3,2，－6k )．设AA 1与平面AB 1C 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈AA 1―→，n 〉|＝|AA 1―→·n ||AA 1―→|·|n |＝|－6k |36k 2＋13＝67，解得k ＝1.故k 的值为1. 5.如图，四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ∥CD ，AD ＝CD ＝1，∠BAD ＝120°，∠ACB ＝90°.(1)求证：BC ⊥平面P AC ；(2)若二面角D -PC -A 的余弦值为55，求点A 到平面PBC 的距离．解：(1)证明：∵P A ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥BC ，∵∠ACB ＝90°，∴BC ⊥AC ，又P A ∩AC ＝A ， ∴BC ⊥平面P AC .(2)设AP ＝h ，取CD 的中点E ，则AE ⊥CD ，∴AE ⊥AB .又P A ⊥底面ABCD ，∴P A ⊥AE ，P A ⊥AB ，故建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，P (0,0，h )，C ⎝⎛⎭⎫32，12，0，D ⎝⎛⎭⎫32，－12，0，B (0,2,0)，PC ―→＝⎝⎛⎭⎫32，12，－h ，DC ―→＝(0,1,0)，设平面PDC 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·PC ―→＝0，n 1·DC ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧32x 1＋12y 1－hz 1＝0，y 1＝0，取x 1＝h ，∴n 1＝⎝⎛⎭⎫h ，0，32.由(1)知平面P AC 的一个法向量为BC ―→＝⎝⎛⎭⎫32，－32，0，∴|cos 〈n 1，BC ―→〉|＝32h h 2＋34×3＝55，解得h ＝3，同理可求得平面PBC 的一个法向量n 2＝(3，3，2)，所以，点A 到平面PBC 的距离为 d ＝|AP ―→·n 2||n 2|＝234＝32.。

3.2立体几何中的向量方法(二)

由 ∠A1 AB = ∠A1 AD = ∠BAD 且 AB = AD = AA1 ∴ H 在 AC上.
A A1 B1 H D B C D1 C1
AC = ( AB + BC )2 = 1 + 1 + 2cos 60° = 3 ∴
2
AC = 3
AA1 AC = AA1 ( AB + BC ) = AA1 AB + AA1 BC = cos 60° + cos 60° = 1.
顶点A为端点的三条棱长都相等, 顶点为端点的三条棱长都相等,且它们彼此的夹角为端点的三条棱长都相等都是60° 都是 °,那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系? 长与棱长有什么关系? 如图1,不妨设解:如图不妨设如图
AB = AA1 = AD = 1 , A1 ∠BAD = ∠BAA1 = ∠DAA1 = 60°
的一个法向量. ∴ n = (4, 3, 6) 是平面 ABC 的一个法向量.
方法小结
3
问题:如何求平面的法向量问题如何求平面的法向量? 如何求平面的法向量
⑴设平面的法向量为 n = ( x , y , z )
找出(求出) ⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标 a = ( a1 , b1 , c1 ), b = ( a2 , b2 , c2 )
∴ cos ∠A1 AC = AA1 AC | AA1 | | AC | = 1 3
∴
6 sin ∠A1 AC = 3
∴
如何用向量法求点到平面的距离? 如何用向量法求点到平面的距离
6 6 ∴ 所求的距离是 . A1 H = AA1 sin ∠A1 AC = 3 3
12
如何用向量法求点到平面的距离? 如何用向量法求点到平面的距离