课后部分习题参考答案

部分习题参考答案：

第一讲思考题

习题2.有人说“我在说谎”，他是否属于所有说谎人所组成的集合？试分析说明之。 解：设说谎人集合为A ,诚实人集合为B ，则这人既不属于A ,也不属于B 。 因为①如果属于A ，他现在说“我在说谎”，说明他是诚实人了，则不属于A ，故矛盾。 ②如果属于B ，他现在说“我在说谎”，说明他是说谎人了，则不属于B ，故又矛盾 从而可知这人既不属于A ,也不属于B 。这其实说的是罗素的“理发师悖论”，这也说明集合是不能够随便定义的！

习题4.证明长度为1的线段和长度为2的线段的基数相同。

证明1：设△ABC 的中位线为1l 和△ABC 底边2l ，且线段12,l l 的长度分别是为1和2，设A 是线段1l 上的点集，B 是线段2l 上的点集，如图所示，显然A~B ，故结论成立。

证明2：设长度为1的线段为区间A=(0,1)，长度为2的线段为B=(0,2)，建立A 到B 的一一映射：y=2x ，这样A~B ，即基数相等。

习题6.求集合{1,2,3,,100}M = 的所有子集的元素和之和（规定空集的元素和为0）。

解：由幂集()P M （即M 的所有子集组成的集合）的元素可知，要求幂集()P M 的元素和之和只要知道集合M 的每个元素在幂集中出现的次数即可求得，下面就来求各元素出现的次数：①幂集()P M 中的空集∅，个元素出现的次数为0，②幂集()P M 中的单个元素集合如{1}，每个元素出现的次数为0

99C ，因为这时可以认为先从集合M 中任取一个元素确定下来，还需从集合M 中余下的99个元素中任取0个元素，故每个元素出现的次数为0

99C ；③幂集()P M 中的两个元素集合如{1,2}，每个元素出现的次数为1

99C ，因为这时可以认为先从集合M 中任取一个元素确定下来，还需从集合M 中余下的99个元素中任取1个元素，故每个元素出现的次数为1

99C ；以此类推……..，有④幂集()P M 中的100个元素集合如

{1,2,,100} ，每个元素出现的次数为99

99C ，因为这时可以认为先从集合M 中任取一个元

素确定下来，还需从集合M 中余下的99个元素中任取99个元素，故每个元素出现的次数为99

99C ；所以幂集()P M 的元素和之和为：

019999

999999(123100)()50502

S C C C =+++++++=⨯

习题7.证明：由直线上互不相交的开区间作为集A 的元素，则A 至多为可数集。 证明：因为任一开区间中必含有一个有理数，所以A 与有理数的子集对等，而可数集的非空子集为有限集或为可数集，即A 至多是可数集。

习题8.设(1,2,3,)i A i = 都是可数集，则1

i i A +∞

= 也是可数集。

证明：先设,1,2,3,i A i = 是互不相交的可数集，且,1,2,3,i A i = 中的元素都可排列

成一个无限序列123{,,,},1,2,3,i i i i A a a a i == ，则1

i i A +∞

= 中的元素可按如下的箭头方向

排列：

1111213141516{,,,}A a a a a a a =→→→

2212223242526{,,,,,,}A a a a a a a =

↓

3313233343536{,,,,,,}A a a a a a a =

4414243444546{,,,,,,}A a a a a a a =

↓

5515253545556{,,,,,,}A a a a a a a =

称p q h +=为元素(,1,2,)pq a p q = 的高度，按高度的大小编号，如上按箭头方向，这样

就可以将1

i i A +∞

= 中的所有元素排成一列，即

1

i

i A

+∞

= 11122131221314233241{,,,,,,,,,,}a a a a a a a a a a = ，故1

i i A +∞

= 可数集。

对一般情形可设1

111

,\,2n n n i i B A B A A n -===≥ ，则1

i i B +∞

= 为不交集列，且1

i i B +∞

==

1

i

i A

+∞

= ，从

而由前面证明可知1

i i A +∞

= 仍为可数集。

若不同的两个i A 与()j A i j ≠有公共元素，则应从该序列中删去重复的元素，但删去后，它

仍是一个无限集，因此1

i i A +∞

= 是一可数集。

习题9.可数集E 的外测度为零。

证明：因为E 是可数集，所以可设123{,,,}E r r r = ，对任给的0ε>，令

1

1

(,)2

2

i i i i i I r r ε

ε

++=-

+

，则区间的长度为1

1

,1,2,2

2

2

i i i i i i

I r r i ε

ε

ε

++=+-+

=

= ，

显然E 中的每一点都是

1

i

i I

+∞

= 的内点，因为区间(1,2,)i I i = 可以彼此相交，所以

*

1

2

i

i m E ε

ε+∞

=≤

=∑，而ε可以取任意小的正数，所以*

0m E =

第二讲思考题

1．尽管欧几里得的《几何原本》有严重的缺陷，但它却有巨大的历史意义，怎样理解它的历史意义？ 解：《几何原本》的伟大历史意义在于，它是用公理法建立起演绎的数学体系的最早典范．在这部著作里，全部几何知识都是从最初的几个假设（定义、公设、公理）出发，运用逻辑推理的方法展开和叙述的．也就是说，从《几何原本》发表开始，几何才真正成为了一个有着比较严密的理论系统和科学方法的学科．

2.为什么说非欧几何学的诞生促进了几何学公理体系的建立？

解：罗氏几何的创立不仅解决了第五公设的独立性问题更重要的是：它扩大了对几何本身意义的认识．自从第一种非欧几何——罗氏几何的思想获得承认以后，几何学的发展便开始了繁荣的新时期．几何对象的推广，即抽象空间概念的形成在数学的近代阶段中起了巨大的作用．非欧几何在分析和代数方面的应用也胜过了欧氏几何．

数学发展的现代阶段的开端，特别是现代几何学的开端通常以罗氏几何的发现作为其标志之一．第五公设的试证导致发现非欧几何，这引起了几何学上的革命，也促进了几何基础问题的研究．非欧几何发现后，许多数学家参加了使几何基础的结构崭然一新的工作．例如，1866年，赫姆霍尔兹(Helmho1Lzl1821一1894年)提出运动概念作为基本概念，列入他的深奥的公理系统中．187l 年，德国数学家康托儿(Contor ，1845—1918年)和1872年德国数学家戴德金(Dedekind ，1831—1916年)拟成了(关于直线的)连续公理．1882年德国数学家巴士(M ．Pasch ，1843一1930年)拟成了顺序公理. 3．试述罗氏平行线的性质和欧氏平行线的性质有何异同？

解：欧氏几何与罗氏几何中关于结合公理、顺序公理、连续公理及合同公理都是相同的，只是平行公理不一样．欧氏几何讲“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”．罗氏几何讲“过直线外一点存在两条直线和已知直线平行”。

4．在欧氏几何公理体系中，证明三角形角边角合同定理，即在△ABC 和△A'B'C'中，若

'',''','''AB A B ABC A B C BAC B A C ≡∠≡∠∠≡∠,则'''A B C A B C ∆≡∆.