最优线性相位FIR滤波器的设计步骤11

最优线性相位FIR 滤波器的设计步骤 [11] 1）输入数据，滤波器性能要求，滤波器类型； 2）根据类型和()h n 长度N ，确定cos()的个数r ； 3）在[]0,π频率区间，用密集的格点表示离散频率

=

r π

π

⨯总格点数

格点密度；

4）计算各格点频率上的()d H ω和()W ω函数值 ； 5）用公式表示逼近问题， 将()

d H ω，

()W ω表示成()ˆd

H ω，()ˆW ω， 加权逼近误差()()()()ˆˆd

E W H P ωωωω⎡⎤=-⎣

⎦；

6）用Remez 算法，求逼近问解的解； 7）计算滤波器的单位抽样响应()

h n 。

图3.1加权最优化算法流程图

3.3 均方误差最小准则

频率响应误差[12]：

()()()()()-1

N j j j j n

j n d

d

n n E e

H e H e h n e

h n e ω

ω

ω

ωω∞

--=-∞

==-=-∑∑

=

()()()-1

N j n

j n

d

d

n n

h n h n e

h n e

ωω--=-+

⎡⎤⎣⎦∑∑其它

(3.11)

均方误差：

()

()()2

2

21122j j j d e E e d H e H e d π

π

ωωωωωπ

π

π

π

--=

=

-⎰

⎰

=

()()()

2

1

2

N d d n n

h n h n h n -=-+

∑∑

其它 (3.12)

当()()d h n h n -=0 01n N ≤≤-时

()

22min e e =

(3.13)

3.4 最大误差最小化准则

当()h n 为偶/奇对称，N 为奇/偶数的四种情况[13]，其频响为：

()()

1

2

2

N j

j L j H e

e

e

H π

ωω

ω--=⋅⋅

(3.14)

()h n 为偶对称时，0L =

N 为奇数时,

()()()

120

cos N n H a n n ωω-==∑ (3.15)

N 为偶数时，

()()12

01sin 2N n H d n n ωω-=⎡⎤

⎛⎫=- ⎪⎢⎥

⎝

⎭⎣⎦∑ (3.16)

利用三角恒等式将 ()H ω 表示成两项相乘形式

()()()

H P Q ωωω=

(3.17)

表3.1H(ω)表现形式

()(cos a n ω()(cos b n ω()(cos c n ω()(cos c n ω其中：()()a n a n = 0,1,

,2

n = ()()()()()()11012112,3,,

122

11222b b b N

b n b n b n n N N b b ⎧=+⎪

⎪

⎪

⎡⎤=+-=-⎨⎣⎦⎪

⎪⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪

⎪⎝⎭

⎝⎭⎩ (3.18)

由下而上由()b n 求()b n

()()()()()()()()1101215

112,3,,

22

112,3,,122c c c N c n c n c n n N c n c n n ⎧

=+⎪⎪

-⎪=--+=⎡⎤⎨⎣⎦⎪

⎪=-=-⎪⎩

(3.19)

()()()()()()11012112,3,,

122

11222d d d N

d n d n d n n N N d d ⎧=-⎪

⎪

⎪

⎡⎤=--=-⎨⎣⎦⎪

⎪⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪

⎪⎝⎭

⎝⎭⎩ (3.20)

交错定理：若()P ω 是r 个余弦函数的线性组合[14]。即

()()()

1

cos r n P n n ωαω-==∑

(3.21)

A 是()0,π内的一个闭区间(包括各通带、阻带，但不包括过渡带)，()ˆd H ω 是A 上的一个连续函数,则()P ω是()ˆd

H ω的唯一地和最佳的加权chebyshev 逼近的充分必要条件是：加权逼近误差函数()E ω在A 中至少有()1r +个极值点，即A 中至少有()1r +个极值点

i ω，且12i r ωωωω+<<

<<使得()()1i i E E ωω+=-，1,2,

,i r =且

()()max i A

E E ωωω∈=⎡⎤⎣⎦

3.5 实验分析

利用Parks-McClellan 算法设计一个等波纹FIR 低通滤波器，要求采用类型I 的线性相位滤波器来实现。其技术指标为0.2,0.3,0.25,50p s p s R dB A dB ωπωπ==== Asd=-max(db(wsi:1:501)) subplot(2,1,1); stem([1:46],h);

title('实际脉冲响应');xlabel('n');ylabel('h(n)'); w=linspace(0,pi,512)';

M1=20;alpha=(M1-1)/2;l=0:M1-1;w1=(2*pi/M1)*l; Hrs=[1,1,1,zeros(1,15),1,1]; [H1, W1]=freqz(h,1);

subplot(2,1,2);plot(w/pi,abs(H1),w1(1:11)/pi,Hrs(1:11),'o'); title('最优法设计幅频响应');xlabel('ω'); axis([0 1 -0.1 1.4 ]); grid on;

set(gca,'xtick',[0 0.2 0.3 1],'ytick',[0,1])