1.10 三向量的双重向量积

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解析几何
需要注意的是，在一般情况下（a b） c a （b c ）. 事实上，（ a bc ） （b c ） a （c b） a （ac） b （ab） c.(1.10.2) 比较（ 1.10.1 ）和（ 1.10.2）可知（a b） c和a （b c ）在一般情况 下是两个不同的向量，因此向量积不满足结合律.
证明：设
(a b) e ,则
(a b) (a ' b ') e (a ' b ')
(e b ')a ' (e a ')b '
[( a b) b ']a ' [( a b) a ']b '
( abb ') a ' ( aba ')b '
2 2 利用（）式可得（ 1 a b） c （a ） b （a b） a （b ） a （a b） b
2 2 a （a ）+ （a b） b （a b）+ （b ）
三式相加可得 a b c b c a c a b 0.






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例2 证明 a b a ' b ' abb ' a ' aba ' b '


aa 'b ' b ba 'b ' a
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解析几何
定理1
a b c a c b b c a.
1.10.1
证：若a， b， c中有一个为零向量，或a， b共线，或c与a， b都垂直， 定理显然成立. 现在设a， b， c为三个非零向量，且a， b不共线，为了证明1.10.1 成立，先来证明当 c a时成立，即有（a b） a （a ） b （a b） a.(1) 由于（a b） a， a， b共面，而a， b不共线，从而可设 （a b） a a b，（2） （2）式两边先后与a， b作数量积得（ a） （a b） 0，
2 （a b） （b ）（ a b） ， 2 2 2 2
于是解得 =-a b， a ，代入（2）式即得（）式成立 1 .
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下证1.10.1成立，因为a， b， a b不共面，故可设c a b a b， a b） b a） 从而有（a b） c （a b） a b a b a b （ （ .
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拉格朗日恒等式对任意4个向量，有
a b a ' b ' b a '
a a ' a b ' b b '
ab 证：（a b ） （a ' b'）=（ ） a ' b' (aa ' )b (ba ' )a b' (aa ' )(bb' ) (a b' )(ba ' ).
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例1 试证雅可比（Jacobi）恒等式
a b c b c a c a b 0
证：因为
a b c a c b b c a， b c a a b c a c b, c a b b c a a b c,
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(a b) (a ' b ') (a ' b ') (a b)
[(abb ')a ' (aba ')b ']
(aa 'b ')b (ba 'b ')b
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量的双重向量积。
a b c
就是向量 a, b, c 的 双重向量积
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二、双重向量积的性质
双重向量积的几何关系
(a b) a (a b) b
( a b) a b c


a

(a b) c 与
和
b 共面
§1.10三向量的双重向量积
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解析几何
一、双重向量积的概念
二、双重向量积的性质
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一、双重向量积的概念 定义1: 给定空间三向量，先作其中两个向量的 向量积，再作所得向量与第三个向量的向量积， 那么最后的结果仍然是一个向量，叫做所给三向
b （ a （ a a b （ a b ） b a b （ a b ）
ac b （bc） a.
记忆规律 三向量的双重向量积等于中间的向量与其余两向量的数量积的乘 积减去括号中另一个向量与其余两向量的数量积的乘积。