量子力学期末复习总结课件

由波函数可以得到体系的各种性质，因此我们说波函数描述体系的量子状态（简称状态或者态）
8
概率波：
波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在改点找 到粒子的概率成正比例。 按照这种解释，描写粒子的波乃是概率波 概率密度
假设波函数
(x,y,z,t) 描写粒子的状态，在空间一点（x, y, z）和时间t，波的强度是
2m d2x
34
第一步：列出各势区域上的薛定谔方程
35
定态薛定谔方程:
2
d2UE
2md2x
针对一维无限深势阱，可以分为三个区域：第一 个区域和第三个区域，由于势能为无穷大，因而， 这两个区域的波函数为零
第I区域和第III区域
0
|x|>a
36
针对区域II
U=0
2
d2UE
2md2x
由于势阱内部势能为零，此时薛定谔方程可以简写为：
0,
xa/2
V(x)
V0 0, xa/2
I
II
III
仅讨论束缚态（0＜E＜V0）情况
粒子所满足的定态薛定谔方程为：
2
d2UE
2md2x
按阱内与阱外三个区求解
48
第一步：写出定态薛定谔方程
粒子所满足的定态薛定谔方程为：
2
d2UE
2md2x
49
第二步：分区写出定态薛定谔方程
50
势阱外区：也就是第一，第三区域，定态薛定谔方程为：
32
什么是一维无限深势阱问题？
在一维空间运动的粒子，它的势能在一定区域内（-a<x<a）为零， 而在此区域外势能为无限大
U(x) =0
|x|<a
U(x) =∞
|x|>a
由于体系的势能U(x)不随时间变化，因此一维无限深势阱在阱内 满足定态薛定谔方程
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定态薛定谔方程
[2 d2 U (x)](x)E (x)
质量流密度，为质量与概率流密度乘积
Jm J i( )
m
2
m J 0
t
m
质量守恒定律
23
电荷守恒定律
电荷密度，为电荷与概率乘积
qq(x,y,z,t)2 q
电流密度，为电荷与概率流密度乘积
Jq Ji( )
q
2
q J 0
t
q
电荷守恒定律
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波函数标准条件
式右含有ψ及其对坐标一阶导数的积分，由于积分区域τ是任意选取的， 所以S是任意闭合面。要使积分有意义，ψ必须在变数的全部范围，即空 间任何一点都应是有限、连续且其一阶导数亦连续
2 d2(x) V (x)E (x)
I
2m d2x 0
II
III
→ d d22 x(x)2 m 2 (V 0E )(x)0
1 cosn x
a 2a
N为正奇数，|x|<a
0
|x|≥a
44
根据定态波函数公式
(x,t)(x)eiEt
本征函数
于是波函数
n
1 sinn xeiEt
a 2a
=
0
N为正偶数，|x|<a |x|≥a
n
1 cosn xeiEt
a 2a
=
N为正奇数，|x|<a
0
|x|≥a
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[小结] 由无限深方势阱问题的求解可以看 出，解薛定谔方程的一般步骤如下：
一、列出各势域上的薛定谔方程； 二、求解薛定谔方程； 三、利用波函数的标准条件（单值、有限、连续）定未 知数和能量本征值； 四、由归一化条件定出最后一个待定系数（归一化系数）。
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§2.7一维有限深势阱
47
一维空间中运动的粒子，它的势能在一定区域为零（ a x a）
22
而在此区域外，势能为 V 0
空间部分
(r,t) (r)f(t)
时间部分
27
波函数 (r,t)(r)f(t)(r)e iE t
方程时间部分所描述的状态是具有确定能量的状态，因而，
我们称为定态，(r,t) 我们称为定态波函数
2
2U(r)E
称为定态薛定谔方程
2m
28
求解定态问题的步骤
（1）列出定态 Schrodinger方程 [2 2 2U](r)E(r)
守恒定律
21
几率守恒定律 波函数是用来描述粒子在某一时间某一位置粒子 出现的概率（概率密度）是：
( r , t ) ( r , t ) ( r , t ) | ( r , t ) | 2
几率流密度 Ji()
2m
22
质量守恒定律
质量密度，为质量与概率乘积
m m (x ,y ,z,t)2 m
绪论
黑体辐射、光电效应和康普顿散射 揭示了光的波粒二象性
三个实验现象经典物理的理论无法解释
黑体辐射 光电效应
引入新的理论
氢原子光谱
从而诞生了量子力学
1
Bohr原子轨道量子化
1、玻尔的量子论 1913年，Bohr把Planck—Einstein的概念运用来解决原子
结构和光谱的问题，提出了原子的量子论，其中极为重要的两个
来自百度文库
En
Em
3
微粒的粒子性与波动性的关系：
Eh
p
h
n
k
4
第二章： 波函数和 Schrodinger 方程
5
➢ §2.1 波函数的统计解释 ➢ §2.2 态叠加原理 ➢ §2.3 波函数随时间的变化－Schrodinger
方程 ➢ §2.4 粒子流密度和粒子数（量子力学）守
恒定律 ➢ §2.5 定态Schrodinger方程 ➢ §2.6一维无限深方势阱
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第二步：利用波函数的标准条件（单值、有限、连续） 定未知数
39
根据波函数的连续性 ()0代入到下面的方程
A s ix n B c o xs
得到
A si a n B ca o 0 s
A sia n0
A sa i B n ca o 0 sB co as 0
由于A和B不能同时为零，因而，得到两组解
2 ,表示 的共轭复 强度数 与在该时刻改点找到粒子的概率成正比
(x ,y,z,t)(x ,y,z,t)2
9
波函数归一化条件
根据波函数的统计诠释，在任何时刻，对于一个粒子而言， 一定在空间出现，所以，在整个空间中发现粒子是必然事 件。粒子在整个空间出现的概率为“一” 假如波函数的概率有限，但不等于“一”，则可以将波函 数乘以一个常数，使概率等于“一”。这个常数就是归一 化因子
（2）根据波函数三个标准条件求解能量E的本征值问题，得：
本征值：
E1, E2, , En,
本征函数
1， 2, , n,
（3）写出定态波函 数n ( 即r , 得t ) 到 对应n ( 第r ) ne 个本 征x i 值n t E E/ n p 的] 定态波[ 函数
（4）通过归一化确定归一化系数Cn
|C n
n(r )|2d
1
29
例题 0, x a
一个质量为m的粒子在一维势场 V(x) V, xa
0
中运动，其中 V 0，写出两种条件下的定态薛定谔方程？ 0
2
2E
2m
2
2VE
2m
0
30
§2.6一维无限深方势阱
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一、列出各势域上的薛定谔方程； 二、求解薛定谔方程； 三、利用波函数的标准条件（单值、有限、连续）定未 知数和能量本征值； 四、由归一化条件定出最后一个待定系数（归一化系数）
来的手撇过身去。 看着父亲提着箱子走在楼梯上，那 一缕阳 光使父 亲的白 发
格外的刺眼。弓着的背，裤脚上的泥 点，脸 上却格 外的阳 光。
来到宿舍时，
已经不剩几个床位了，我一扫剩下的 几个床 位，心 里已经 默默的 有了决 定，还 没
等我说出口，父亲就已走向那个靠窗 的，干 净的二 层小床 。跟母 亲熟练 的拿出 被
1
2
这个体系的一个可能状态，这就是量子力学中的态叠加原理
16
量子力学遵从态叠加原理，概率密度是否遵从叠加原理？
已知：Ψ= C1Ψ1 + C2Ψ2 那么空间找到电子的几率则是： |Ψ|2 = |C1Ψ1+ C2Ψ2|2
= (C1*Ψ1*+ C2*Ψ2*) (C1Ψ1+ C2Ψ2) = |C1 Ψ1|2+ |C2Ψ2|2 + [C1*C2Ψ1*Ψ2 + C1C2*Ψ1Ψ2*]
定态。假设在定态时，电子的轨道角 动量也是量子化的，只能取约化普朗 克常数的整数倍，这些轨道才是稳定的。
Ln h n
2
定态概念是为了解决电子绕原子核转动时稳定存在而不辐射的
问题而提出的
2
（2）量子跃迁
电子从一个定态到另一个定态是跳跃式的，称为跃迁。当原子 从高能级定态 向低能级定态跃迁时，发出一个光子。反之， 则吸收一个光子。发射或吸收的光子频率ν是唯一确定的， 由频率条件给出：
n =
Asin n x
2a
0
N为正偶数，|x|<a |x|≥a
n =
Bcosn x
2a
0
N为正奇数，|x|<a |x|≥a
（1） （2）
42
第三步：波函数归一化
43
2
再由波函数的归一化条件
n
(x)
dx1
AB 1 a
于是波函数
n =
1 sinn x
a 2a
0
N为正偶数，|x|<a |x|≥a
n =
（1） A=0 coas0
（2） B=0 sin a0
an,n1,2,3......
2
40
2mE 2
an,n1,2,3......
2
一维无限深粒子的能量的能级公式：
n 2 2 2
E n 8ma2
能级分布是不均匀的，能级越高， 能级之间的间距就越大
n 2 2 2
E n 8ma2
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两组波函数
6
§2.1 波函数的统计解释
7
§2.1 波函数的统计解释
波函数是描述微观粒子的状态
由于微观粒子具有波粒二象性，坐标和动量不能同时确定， 当粒子处于某一状态时，坐标和动量一般具有许多可能值， 这些可能值各自以一定的概率出现，这些概率可以由一个 函数得出——波函数 只要系统的波函数已知，系统的其它性质也可以知道：
褥跟衣服在床上整理着。看着舍友疑 惑的看 着我， 我立即 打断了 他们： “你们 别
整理了，我都这么大了，这些东西我 会整理 。”父 母虽然 口中不 断说着 好的锻 炼
锻炼你自 己让你 自己整 理，手 中却不 停的翻 拉着被 褥：“ 你看， 这个应 该这样 叠，
床铺要铺好，要
只能处在一些分立的稳定状态，简称
dd2x2 2m2 E0
|x|<a
2mE 2
方程的解
d220
dx2
|x|<a
A six n B co xs|x|<a 37
二阶常系数齐次线性微分方程
ypyq2y0 yq2y0
或者 或者
yC eiq x Ceiqx
1
2
y C siqn x C co qs x
1
2
三个方程是等价的
yCsiq n x() 1
Ψ= C1Ψ1 + C2Ψ2 、、、、+ CnΨn 这就是量子力学的态叠加原理。 强调：态叠加原理指的是波函数，不是指概率叠加
2c112c222
18
§2.3 波函数随时间的变化－Schrodinger 方程
19
量子力学的两个算符
E i t
量子力学能量算符
pi
量子力学动量算符
20
§2.4粒子流密度和粒子数（量子力学）
总之，波函数在全空间每一点通常应满足单值、有限、连续三个 条件，该条件称为波函数的标准条件。
25
§2.5 定态薛定谔方程
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一般的薛定谔方程
i2 2 U(r)
t 2m
针对一般的薛定谔方程 U (r) 可以是时间的函数，在这种情 况下，通过初态波函数(r,0)去求解末态波函数 (r,t) 很难
目前我们只讨论 U (r)不随时间变化的情况。薛定谔方程可以 利用分离变量法求特解，薛定谔方程性质，时间部分和空间部分 是分离的，薛定谔方程的解可以表示为空间部分乘以时间部分
概念（假定）：定态假设与量子跃迁
（1）定态假定 假设电子围绕原子核做圆周运动时，
我们总是把自己最和蔼的一面留给陌生 人，最 暴躁的 一面给 亲人。
四年
前，也是这个时候，同样的场景，我 迈入的 期望已 久的大 学校园 。当时 的我一 脸
稚气，对大学生活满怀憧憬。还记得 来大学 的第一 天，举 家送我 来到大 学，来 到
电子穿过上狭 缝出现在Ｐ点 的几率密度
电子穿过下狭 缝出现在Ｐ点
的几率密度
相干项 正是由于相干项的出现，
才产生了衍射花纹。
这表明粒子穿过双狭缝后在P点出现的概率密度一般不等于 穿过上狭缝到达P点的概率密度与穿过下狭缝到达P点的概 率密度之和，而需要加上干涉项！
17
§2.2 态叠加原理
以上是Ψ表示为两个态Ψ1和Ψ2 的线性叠加，推广到一 般的情况，态Ψ可以表示为许多态Ψ1 、Ψ2 、Ψ3 、、、、 Ψn的线性叠加
10
11
12
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小结 (r,t) ：描写微观粒子的量子状态
：表示几率密度，描述微观粒子在该点出现的概率
(x ,y ,z ,t) d C d 1
概率密度对整个空间求积分为“1”
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§2 态叠加原理
15
态叠加原理
cc
11
22
如果 是体系的可能状态，那么，它们的线性叠加也是
大学的宿舍。 来到宿舍楼下时“宿舍在7楼，来把东西 给我， 我来拿 。”
“别烦，我自己不会拿吗？早就叫你 们不要 送了， 你们跟 着烦不 烦？”
“儿
子上大学，一个人没出过远门，我们 一起跟 来放心 。”
“我来帮你拿吧，那
箱子挺重的。”说罢我伸过手去。“ 不用， 不重， 马上就 到了。 ”父亲 看着我 迎