【精品】高中必修二数学 立体几何初步 讲义 +练习题 第1讲 8.9

学生/课程年级高一年级学科

授课教师江老师日期8.9 时段

核心内容立体几何初步（第1讲）

【学习目标】

1．了解柱，锥，台，球及简单组合体的结构特征。

2.能画出简单空间图形的三视图，由三视图能够还原成空间立体图形，并会用斜二测法画出它们的直观图。

3.通过观察用平行投影与中心投影这两种方法画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式。

4.理解柱，锥，台，球的表面积及体积公式。

5.理解平面的基本性质及确定平面的条件。

6.掌握空间直线与直线，直线与平面，平面与平面平行的判定及性质。

7.掌握空间直线与平面，平面与平面垂直的判定及性质。

【知识网络】

【要点梳理】

要点一：空间几何体的结构与特征

本章出现的几何体有：①棱柱与圆柱统称为柱体；②棱锥与圆锥统称为锥体；③棱台与圆台统称为台体；④球体．

柱体常以直三棱柱、正三棱柱、正四棱柱、正六棱柱、圆柱等为载体，锥体一般以正三棱锥、正四棱锥、正六棱锥、圆锥等为载体，计算高、斜高、边心距、底面半径、侧面积和体积等．在研究正棱锥和圆锥、正棱台和圆台时要充分利用其中的直角三角形：高线，边心距，斜高组成的直角三角形；高线，侧棱(母线)，外接圆半径(底面半径)组成的直角三角形．空间几何体的三视图：主视图：它能反映物体的高度和长度；左视图：它能反映物体的高度和宽度；俯视图：它能反映物体的长度和宽度．先会读懂三视图，并还原为直观图，再研究其性质和进行计算．侧面展开图问题是经常出现的一个问题．平面图形的翻折与空间图形的展开问题，要对照翻折(或展开)前后两个图形，分清哪些元素的位置(或数量)关系改变了，哪些没有改变，哪些元素是同一个元素．

与几何体的侧面积和体积有关的计算问题，基本概念和公式要熟练，计算要准确，重视方程的思想和割补法、等积转换法的运用，等积转换可使体积计算变得简单化．

要点二：平面基本性质

刻画平面的公理(或基本性质)是立体几何公理体系的基石，是研究空间图形问题、进行逻辑推理的基础．

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内．作用：是判定直线是否在平面内的依据．

公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．作用：提供确定平面最基本的依据．

公理3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线．作用：是判定两个平面交线位置的依据．

公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．作用：是判定空间直线之间平行的依据．要点三：空间的平行与垂直关系

理解和熟练应用空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理，是解决有关计算和证明的金钥匙．归纳出以下判定定理：

(1)空间中的平行关系

如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．

如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．

如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和两平面的交线平行．

如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．

如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行．

(2)空间中的垂直关系

如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．

如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直．

如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．解决空间问题的重要思想方法：等价转化——化空间问题为平面问题．空间平行、垂直关系证明的基本思想方法——转化与联系，如图所示．

【典型例题】

类型一：空间几何体的三视图

例1．某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示,墩的上半部分是正四棱锥P－EFGH,下半部分是长方体ABCD－EFGH.图5、图6分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图.

（1）请画出该安全标识墩的侧(左)视图

（2）求该安全标识墩的体积

（3）证明:直线BD 平面PEG

【总结升华】根据三视图判断空间几何体的形状，进而求几何体的表（侧/底）面积或体积，是高考必考内容，处理的关键是准确判断空间几何体的形状，一般规律是这样的：如果三视图均为三角形，则该几何体必为三棱锥；如果三视图中有两个三角形和一个多边形，则该几何体为N棱锥（N值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个为矩形和一个多边形，则该几何体为N棱柱（N值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个为梯形和一个多边形，则该几何体为N棱柱（N值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个三角形和一个圆，则几何体为圆锥．如果三视图中有两个矩形和一个圆，则几何体为圆柱．如果三视图中有两个梯形和一个圆，则几何体为圆台．

举一反三：

【变式1】一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为______________.

例2．如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm ）。

（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图； （2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；

（3）在所给直观图中连结'BC ，证明：'BC ∥面EFG 。

【思路点拨】（1）按照三视图的要求直接在正视图下面，画出该多面体的俯视图； （2）按照给出的尺寸，利用转化思想V=V 长方体-V 正三棱锥，求该多面体的体积；

（3）在长方体ABCD-A′B′C′D′中，连接AD′，在所给直观图中连接BC′，证明EG ∥BC′，即可证明BC′∥面EFG ．

正视图

类型二：几何体的表面积和体积

例3.一几何体按比例绘制的三视图如图所示 （单位：m ）:

（1）试画出它的直观图； （2）求它的表面积和体积.

【思路点拨】（1）由三视图可知该几何体为棱柱，底面为直角梯形，上下底边长分别为1和2，高为1，侧棱垂直于底面，长为1．由此可画出直观图．

举一反三：

【变式1】设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 ( )

A ．2a π

B ．273a π

C ．211

3

a π D ．25a π

【变式2】如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,3cm AB AD ==,12cm AA =,则四棱锥11A BB D D -的体

积为 cm 3.