【精品】高中必修二数学 立体几何初步 讲义 +练习题 第1讲 8.9

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学生/课程年级高一年级学科

授课教师江老师日期8.9 时段

核心内容立体几何初步(第1讲)

【学习目标】

1.了解柱,锥,台,球及简单组合体的结构特征。

2.能画出简单空间图形的三视图,由三视图能够还原成空间立体图形,并会用斜二测法画出它们的直观图。

3.通过观察用平行投影与中心投影这两种方法画出的视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式。

4.理解柱,锥,台,球的表面积及体积公式。

5.理解平面的基本性质及确定平面的条件。

6.掌握空间直线与直线,直线与平面,平面与平面平行的判定及性质。

7.掌握空间直线与平面,平面与平面垂直的判定及性质。

【知识网络】

【要点梳理】

要点一:空间几何体的结构与特征

本章出现的几何体有:①棱柱与圆柱统称为柱体;②棱锥与圆锥统称为锥体;③棱台与圆台统称为台体;④球体.

柱体常以直三棱柱、正三棱柱、正四棱柱、正六棱柱、圆柱等为载体,锥体一般以正三棱锥、正四棱锥、正六棱锥、圆锥等为载体,计算高、斜高、边心距、底面半径、侧面积和体积等.在研究正棱锥和圆锥、正棱台和圆台时要充分利用其中的直角三角形:高线,边心距,斜高组成的直角三角形;高线,侧棱(母线),外接圆半径(底面半径)组成的直角三角形.空间几何体的三视图:主视图:它能反映物体的高度和长度;左视图:它能反映物体的高度和宽度;俯视图:它能反映物体的长度和宽度.先会读懂三视图,并还原为直观图,再研究其性质和进行计算.侧面展开图问题是经常出现的一个问题.平面图形的翻折与空间图形的展开问题,要对照翻折(或展开)前后两个图形,分清哪些元素的位置(或数量)关系改变了,哪些没有改变,哪些元素是同一个元素.

与几何体的侧面积和体积有关的计算问题,基本概念和公式要熟练,计算要准确,重视方程的思想和割补法、等积转换法的运用,等积转换可使体积计算变得简单化.

要点二:平面基本性质

刻画平面的公理(或基本性质)是立体几何公理体系的基石,是研究空间图形问题、进行逻辑推理的基础.

公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内.作用:是判定直线是否在平面内的依据.

公理2:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.作用:提供确定平面最基本的依据.

公理3:如果不重合的两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过这个点的公共直线.作用:是判定两个平面交线位置的依据.

公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.作用:是判定空间直线之间平行的依据.要点三:空间的平行与垂直关系

理解和熟练应用空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理,是解决有关计算和证明的金钥匙.归纳出以下判定定理:

(1)空间中的平行关系

如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.

如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.

如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和两平面的交线平行.

如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行.

如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行.

(2)空间中的垂直关系

如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直,则这条直线与这个平面垂直.

如果一个平面过另一个平面的一条垂线,则两个平面互相垂直.

如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.解决空间问题的重要思想方法:等价转化——化空间问题为平面问题.空间平行、垂直关系证明的基本思想方法——转化与联系,如图所示.

【典型例题】

类型一:空间几何体的三视图

例1.某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示,墩的上半部分是正四棱锥P-EFGH,下半部分是长方体ABCD-EFGH.图5、图6分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图.

(1)请画出该安全标识墩的侧(左)视图

(2)求该安全标识墩的体积

(3)证明:直线BD 平面PEG

【总结升华】根据三视图判断空间几何体的形状,进而求几何体的表(侧/底)面积或体积,是高考必考内容,处理的关键是准确判断空间几何体的形状,一般规律是这样的:如果三视图均为三角形,则该几何体必为三棱锥;如果三视图中有两个三角形和一个多边形,则该几何体为N棱锥(N值由另外一个视图的边数确定);如果三视图中有两个为矩形和一个多边形,则该几何体为N棱柱(N值由另外一个视图的边数确定);如果三视图中有两个为梯形和一个多边形,则该几何体为N棱柱(N值由另外一个视图的边数确定);如果三视图中有两个三角形和一个圆,则几何体为圆锥.如果三视图中有两个矩形和一个圆,则几何体为圆柱.如果三视图中有两个梯形和一个圆,则几何体为圆台.

举一反三:

【变式1】一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为______________.

例2.如下的三个图中,上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图,它的正视图和侧视图在下面画出(单位:cm )。

(1)在正视图下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图; (2)按照给出的尺寸,求该多面体的体积;

(3)在所给直观图中连结'BC ,证明:'BC ∥面EFG 。

【思路点拨】(1)按照三视图的要求直接在正视图下面,画出该多面体的俯视图; (2)按照给出的尺寸,利用转化思想V=V 长方体-V 正三棱锥,求该多面体的体积;

(3)在长方体ABCD-A′B′C′D′中,连接AD′,在所给直观图中连接BC′,证明EG ∥BC′,即可证明BC′∥面EFG .

正视图

类型二:几何体的表面积和体积

例3.一几何体按比例绘制的三视图如图所示 (单位:m ):

(1)试画出它的直观图; (2)求它的表面积和体积.

【思路点拨】(1)由三视图可知该几何体为棱柱,底面为直角梯形,上下底边长分别为1和2,高为1,侧棱垂直于底面,长为1.由此可画出直观图.

举一反三:

【变式1】设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱长都为a ,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为 ( )

A .2a π

B .273a π

C .211

3

a π D .25a π

【变式2】如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,3cm AB AD ==,12cm AA =,则四棱锥11A BB D D -的体

积为 cm 3.

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