离散频谱校正技术

图3.1.1 窗函数的频谱函数三、离散频谱校正技术经FFT 得到的离散频谱其幅值、相位和频率都可能产生较大的误差。

从理论上分析，加矩形窗时单谐波频率的最大误差可达36.4％，即使加其它窗时，也不能完全消除此影响，如加Hanning 窗时，只进行幅值恢复时的最大误差仍高达15.3%，相位误差更大，高达90度。

目前国内外有四种对幅值谱或功率谱进行校正的方法：第一种方法是离散频谱能量重心校正法，第二种方法是对幅值谱进行校正的比值法，第三种方法是FFT+DFT 谱连续细化分析傅立叶变换法，第四种方法是相位差法，这些方法各有其特点。

在相位差校正法中，有时移法、缩短窗长法和综合法。

1．比值校正法这种方法利用频率归一化后差值为1的主瓣峰顶附近二条谱线的窗谱函数比值，建立一个以校正频率为变量的方程，解出校正频率，进而进行幅值和相位校正。

解方程求校正频率的方法是多样化的，直接导出公式的方法称比值公式法，利用迭代求解的方法称为比值迭代公式法，用搜索求解的方法称比值峰值搜索法。

研究表明，加Hanning 窗的比例校正法精度非常高，频率误差小于0.0001f ∆，幅值误差小于万分之一，相位误差小于1度。

（1）频率校正频率校正即求出主瓣中心的横坐标。

设窗函数的频谱函数为()x f ，()x f 对称于y 轴，见图3.1.1。

对于任一x ，窗谱函数为()x f ，离散频谱为y x ；对于任一()1+x ，窗谱函数为()1+x f ，离散频谱为y x +1，构造v 为间隔为1的两点()x f 、()1+x f 的比值函数，由()x f 、()1+x f 、y x 和y x +1就能求出x 。

由于f(x)的函数表达式为已知，故可构造一函数v F x f x f x y y x x ==+=+()()()11(3.1.1)v 是间隔为1的两点的比值，是x 的函数，对上式解出其反函数：x g v =()(3.1.2)即求解谱线校正量x k x -=∆=∆，这种方法称为比值公式法。

校正频率为：Nf k k f sx )(∆+= (3.1.3)式中，()12/,,2,1,0-=N k k Λ为谱线号，N 为分析点数，s f 为采样频率。

（2）幅值校正设窗函数的频谱模函数为()x f ，主瓣函数为：)(0x x Af y -=(3.1.4)这就是信号频谱与窗函数卷积的结果，式中，A 为真实幅值，对应主瓣中心0x ，现将k y y =，k x =代入式(3.1.4)得：)(0x k Af y k -=(3.1.5)式中k x k -=-0∆，故可解出A 值：A y f k k=()∆ (3.1.6)（3）相位校正谱分析所用窗函数都不是对称于y 轴的，都要向右平移2/N 点，其频谱函数相对于y 轴来说有一个相移因子ei N -ω2，相移角为：πϕk -=(3.1.7)这表明窗函数的相位是线性的(图2.3.2)。

信号频谱函数与窗函数的频谱函数作复卷积时是复数相乘，相位角相加。

由图5.2.3可以看出，频率误差为半个谱线间隔时，相位误差将达到90︒，这说明FFT 的实部与虚部所得到的相位如果不加校正则完全是不能用的。

由频率校正得到谱线校正量后，相位校正量为：∆∆ϕπ=-k(3.1.8)当实部为k R ，虚部为k I 时，真实相位角为θϕ=⎛⎝⎫⎭⎪+-tan 1I R k k ∆ (3.1.9)窗函数都具有相同的相位校正公式。

（4）几种典型窗函数的比值校正 a. 矩形窗的比例公式校正方法 矩形窗的定义为：1,,2,1,01)(-==N n n w Λ(3.1.10)其频谱函数为：ωωωω21 )2sin()2sin()(--=N j e N W (3.1.11)k 的取值范围为[-1,+1]区间，当1>>N ，01→N ，所以存在下列简化条件：sin()k N k N ππ≈(3.1.12)由以上简化条件，将归一化频率k Nπω2=，带入(3.1.11)，同时用x 替换k 得其频谱模函数为： f x x x ()sin()=ππ(3.1.13)根据式(3.1.10)和式(3.1.13)构造如下的修正比例函数：xx x x x x x f x f x F v 1)]1(sin[)1( ) sin()1()()(+-=++⋅=+==ππππ(3.1.14)由上式可以求出频率修正量：k vx ∆-=+=11(3.1.15)式(3.1.14)也可以直接变为：xf x x f x ()()()+++=110 (3.1.16)上式表明，在式(3.1.13)所代表的曲线上任取两点p x y 111(,)、p x y 222(,)，当112=-x x 时，两点都在主瓣内，就相当于谱线抽样的情形，见图3.1.2，于是可得矩形窗的重心定理：幅值谱主瓣内两条相邻谱线的重心为主瓣中心，对应的频率为信号的准确频率。

将式(3.1.15)代入式(3.1.6)，可得矩形窗的幅值校正公式：)sin( k ky A k∆∆=ππ(3.1.17)由式(3.1.9)可知矩形窗的相位角ωϕ21-=N ，当N 很大时，221NN ≈-，故仍可用式(3.1.8)和式(3.1.9)进行相位校正。

b. 哈宁(Hanning)窗的比例公式校正方法 哈宁窗的定义为：) 2cos()1()(Nna a n w π--= (3.1.18)其频谱函数为：2 22sin22sin 22sin 22sin 212sin 2sin )(ωπωπωπωπωωωωN i eN N N N N N a N a W -⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++---+= (3.1.19)式中5.0=a ，将归一化频率k Nπω2=和式(3.1.12)的简化条件代入式(3.1.19)，并用x 替换k 得其频谱模函数为：221)21( sin )1( )]1( sin[)1( )]1( sin[21 sin )(x x a a x x x x x x a x x ax f --+⋅=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+++---+=ππππππππ (3.1.20)式(3.1.20)中，当x →0时，f x a ()→；当x →±1时，21)(ax f -→，其图形如图3.1.3所示，主瓣宽度为4个谱线间隔，(-2，+2)区间为主瓣。

图3.1.2 矩形窗的重心定理令aac 21-=，则式(3.1.20)可写为： f x x x x c x a ()sin ()=⋅+-⋅-ππ 22112将上式代入式(3.1.1)构造如下修正函数：cx cx x x x f x f x F v +++⋅-+=+==22)1(12)1()()((3.1.21)由于哈宁(Hanning)窗5.0=a ，则∞→c ，上式右边第二项为1，这时有：xx x f x f x F v -+=+==12)1()()((3.1.22)解出)(x f 的反函数k v v v g x ∆=+-==12)( (3.1.23)这就是哈宁窗的频率校正函数。

式(3.1.22)也可写成：0)1()2()()1(=+++-x f x x f x(3.1.24)这表明哈宁窗的主瓣函数式(3.1.20)，有如下性质：在曲线上任取两点p x y 111(,)、p x y 222(,)，当两点x 坐标差为1时，将左边点左移一格，右边点右移一格，这时两点的重心在坐标原点，见图3.1.4。

图中的),2(1y x '+和),1(2y x '-点重心在坐标原点，对应到幅值谱中则重心处的频率为信号真实频率，这可称为哈宁窗的重心定理。

将式(3.1.23)代入式(3.1.6)，可得哈宁窗幅值校正公式：k y k k kA )1()sin( 22∆-⋅∆∆=ππ(3.1.25)相位校正同矩形窗。

(5) 仿真计算用计算机产生式(3.1.35)的函数，采样频率为1024Hz ，作1024点FFT 后，频率间隔为1Hz ，单边幅值谱的准确幅值为1，这样便于观察校正误差。

分析结果及校正结果见表图3.1.5、图3.1.6。

()()()()180/307.3852cos 180/204.1632cos 180/102.1432cos ππππππ+++++=t t t t y(3.1.35)当频率间隔较远时，如本例中383.4Hz 这个频率成分，采用哪种窗的校正精度都很高，频率和幅值的误差在0.2％以内，相位误差也较小。

当两频率越靠近，校正精度越差，本例中143.2和163.4Hz 这两个频率相隔20条谱线，频率和幅值的校正误差略有增大，不加窗时已超过0.5％，但加窗后的误差仍在1％以下。

从理论分析，当两个频率的间隔过小，由于主瓣重叠，此方法根本不适用。

2.能量重心校正法图3.1.3 Hanning 窗的频谱函数图3.1.4 Ha nning 窗的重心定理图3.2.2 Hanning 窗谱频率校正图3.2.1 Hanning 窗功率谱模函数(1) 常用窗函数的能量特性以下以Hanning 窗为例，研究频谱分析中窗函数的能量特性。

Hanning 窗的定义为：1,,2,1,0)/2cos(5.05.0)(-=-=N n N n n W Λπ(3.2.1)其频谱模函数为：)1(21)sin()(2x x x x y -⋅=ππ (3.2.2)令功率谱函数)()(2x y x G =，则有：22222)1(4)(sin )(x x x x G -=ππ (3.2.3)如图3.2.1所示。

对任意一确定值x ，)(x G 满足下式：∞==+⋅+∑-=,,1,00)()(Λn i x i x G nni(5.3.1)证：[]22222222222222222)1()(16)(sin )1()(16)(sin 12124)1(1)1(116)(sin )()(1)(4))((sin )()(+--++++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++--+-++++--+=+⋅+-++=+⋅+∑∑∑-=-=-=x n x n x x n x n x i x i x i x i x i x x i x i x i x i x i x i x G nn i nni nni ππππππππ(3.2.5)显然，当∞→n时，0)()(=+⋅+∑-=nni i x i x G 成立。

(5.3.1)式表明，Hanning 窗离散频谱的能量重心无穷逼近坐标原点。

由于Hanning 窗旁瓣的功率谱值很小，根据其能量重心的特性，若令]5.0,5.0[-∈x 范围内，就可以用主瓣内功率谱值较大的几条谱线精确地求得主瓣的中心坐标。

对于矩形窗、Hamming 窗、Blackman 窗、Blackman-Harris 窗等常用的窗函数而言，当n 足够大时，离散窗谱的能量重心都在原点附近，其数学证明繁琐，在此省去推导过程。