工程数值方法2第四章
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Ax B 有理分式 x 能很好地反映函数在 附近无界，并
且也保证了当 时趋于某个定值 。 用有理函数逼近 可得到较好的效果。
2
所谓有理函数是指用形如
Pn ( x) Rnm ( x) Qm ( x)
k a x k k b x k k 0 k 0 m n
的函数逼近 f ( x) 。如果取 || f ( x) Rnm ( x) || 最小
当 x 1 时从 Rk ( x) 产生出一序列来逼近 2 ：
即写成 1.5，1.4，1.417，1.4138，1.41429， … 而 2 1.414213
3 7 17 41 99 , , , , ,... 2 5 12 49 70
11
§5.2 有理插值
插值问题的提出
) 记 R ( x) Pn ( x ， nm Qm ( x)
就称为函数在F 的k阶反差商。
x xk 1 vk 1 ( x) vk 1 ( xk 1 ) vk ( x)
16
连分式插值
k 1
x x0 v0 ( x) v0 ( x0 ) v1 ( x)
v0 ( x) f ( x)
x x0 f ( x) v0 ( x0 ) v1 ( x)
x x0 R( x) v0 ( x0 ) x x1 v1 ( x1 ) v2 ( x2 ) x xn 1 vn ( xn )
21
连分式插值
该式是一个连分式，假设对于互异节点x0,x1, …,xn
函数vk(x) 在xk处有定义，那么有
R( xk ) f ( xk ), k 0,1, , n
8
连分式例题
9
连分式例题
x 将上式右端 略去，就有近似式 1 y
10
连分式例题
计算结果如下
2 x 4 3x x2 8x 8 R1 ( x) , R2 ( x) ,R 3 ( x) x 4 x 4x 8 5 x 2 20 x 16 x3 18 x2 48 x 32 R4 ( x) 2 , R5 ( x) x 12 x 16 6 x 2 32 x 32
即R(x) 是一个有理插值函数。
22
连分式插值
下面仅对n=3加以证明。 此时R(x)为
x x0 R ( x) v0 ( x0 ) x x1 v1 ( x1 ) x x2 v2 ( x2 ) v3 ( x3 )
令该式中 x x0 有 R( x0 ) v0 ( x0 ) f ( x0 )
由于 x3 21x2 157 x 409 比 x2 16 x 71 的次数高，故又可相除，并得到新的商式 x 5 余式 6( x 9). 再将 x2 16 x 71 转为分子，
x 9 转为分母相除最后得到
6
辗转相除法例题
4 x 2 64 x 284 R 2x 3 3 x 21x 2 157 x 409 4 2x 3 3 x 21x 2 157 x 409 x 2 16 x 71 4 2x 3 6( x 9) x5 2 x 16 x 71 4 2x 3 6 x5 2 x 16 x 71 x9 4 2x 3 6 x5 8 x7 x9
a1 0 .于是 R11 ( x) 0 。其不满足 x2 2, y2 1
，所以若插值函数为 R11 的形式，则插值问题无解。
14
连分式例题
2 3 4 x x x 例： ln(1 x ) x 2 3 4 k x ( 1) k k k 1
ln(1 x ) 1
19
连分式插值
继续下去，则写成
x x0 f ( x) v0 ( x0 ) x x1 v1 ( x1 ) v2 ( x2 ) x xn 1 x xn vn ( xn ) vn 1 ( x)
20
连分式插值
x xk 上式右端略去 ，并记 vk 1 ( x )
故有
4 x 2 64 x 284 R 2x 3 3 x 21x 2 157 x 409
5
辗转相除法例题
4 x 2 64 x 284 R 2x 3 3 x 21x 2 157 x 409 4 2x 3 3 x 21x 2 157 x 409 x 2 16 x 71
(k ) 取 x0 0, y(k ) f(0) , k 0,1, ,5 ，试建立Taylor插
值多项式并近似地计算 ln 2 。
29
帕徳逼近
x 2 x3 x 4 x5 解：易知 ， P5 ( x) x 故 2 3 4 5 1 1 1 1 ln 2 P5 (1) 1 0.78333 2 3 4 5
x x2 v2 ( x) v2 ( x2 ) v3 ( x)
f ( x) v0 ( x0 ) x x0 x x1 v1 ( x1 ) v2 ( x)
代入到
得
x x0 f ( x) v0 ( x0 ) x x1 v1 ( x2 ) x x2 v2 ( x1 ) v3 ( x)
13
无解举例
并非所有有理插值都有解，例如，给定
x0 0, x1 1, x2 2 y0 0, y1 0, y2 2
a1 x a0 取有理插值式子为 R11 ( x) b1 x b0 ，则由 x0 0, y0 0 ，得 a0 0 ，再由 x1 1, y1 0 ，得
0 1 2 3 4
1 1/2 -2 1/5 -5/2 -2 1/10 -10/3 -3/2 1/17 -17/4 -4/3
2 3
1
故插值函数 R( x) 1
x0 1 2 x 1 1 x 2 x2 2 x 3 2 1
28
§5.3 帕徳（Pade）逼近
从插值角度看Taylor多项式，一点，n个条件， 唯一存在。 例4 给定 f ( x) ln(1 x) ，
vn-2(xn-1)
f(xn)
v0(xn)
v1(xn)
v2(xn)
…
vn-1(xn) vn(xn)
25
连分式插值
表中
v1 ( x1 ) x1 x0 x2 x0 , v1 ( x2 ) v0 ( x1 ) v0 ( x0 ) v0 ( x2 ) v0 ( x0 ) x3 x1 x2 x1 , v2 ( x3 ) v1 ( x2 ) v1 ( x1 ) v1 ( x3 ) v1 ( x1 )
试运用辗转相除法将它化成连分式。
4
辗转相除法例题
解：第一步。将分子分母相除，得到商式及分式， 计算过程如下
2x 3 x3 21x 2 157 x 409 2 x 4 45 x3 381x 2 1353x 1511 2 x 4 42 x3 314 x 2 818 x 3x3 67 x 2 535 x 1511 3x3 63x 2 471x 1277 4 x 2 64 x 284
就可得到最佳有理一致逼近，如果取 || f ( x) Rnm ( x) ||2
最小则可得到最佳有理平方逼近函数。
3
§4.1 连分式概念
下面介绍运用辗转相除即连分式的方法求有 理分式之值，以下例说明
例1 给出有理分式
2 x 4 45 x3 381x 2 1353x 1511 R x3 21x 2 157 x 409
这个方法称为辗转相除 或连分式法
7
连分式例题
例2 求 y x 1 的连分式逼近。 解：将等式 y x 1 两边平方有 y2 1 x
， y 2 1 x ( y 1)( y 1) x
x x y 1 y 1 1 y 1 y x 将右端 y 反复用 1 1 y 代入就有
15
连分式插值
定义 给出一组点集 F{x0 , x 1 , ,} ，如果函数序列 {vk ( x)} 满足下列关系：
x xk 1 v ( x ) , k 1, 2, k vk 1 ( x) vk 1 ( xk 1 ) v ( x) f ( x) 0
x x
Taylor 展开
x 2 连分式 22 x 3 22 x 4 5 6x 3x2 R22 ( x ) 6 6 x x2 420 x 630 x 2 260 x 3 25 x 4 R44 ( x ) 420 840 x 540 x 2 120 x 3 6 x 4
v2 ( x2 )
xn xn 1 vn ( xn ) vn1 ( xn ) vn 1 ( xn 1 )
26
连分式插值
例 给出函数表如下
x
y
0
1
1
1/2
2
1/5
3
1/10
4
1/17
求它的连分式插值。
27
连分式插值
x v0 ( x) v1 ( x) v2 ( x) v3 ( x) v4 ( x )
第4章 有理逼近
§4.1 连分式概念 §4.2 有理插值 §4.3 帕徳（Pade）逼近
1
代数插值，计算简单，光滑性好，是逼近光滑函 数的重要工具.但当函数 f ( x) 在某点a 附近无界， 或当 x 而 f ( x) 趋向于某一定数时，采用多项 式作 f ( x) 的插值函数，插值效果差。 （1）多项式不能反映在某点 a 附近无界, （2 ）当 x 时多项式的值总时趋于无穷.
12
有理插值问题
给定 f ( x) 的n+m+1 个互异的节点 xi (i 0,1, , n m)处 的值 yi f ( xi ) ，要求寻找一个有理分式 Rnm ( x) 使得 Rnm ( xi ) f ( xi ) .
问题： 1. 插值问题是否有解，解是否唯一？ 2. 怎样构造差值函数？ 3. 插值函数的误差估计。
再令该式中 x x1 R( x1 ) v0 ( x0 )
x1 x0 v0 ( x1 ) f ( x1 ) v1 ( x1 )
23
连分式插值ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x2 x0 当 x x2 时 R( x2 ) v0 ( x0 ) x x v1 ( x1 ) 2 1 v2 ( x2 ) v0 ( x2 ) f ( x2 )
17
连分式插值
k2
x x1 v1 ( x) v1 ( x1 ) v2 ( x)
代入到 得
x x0 f ( x) v0 ( x0 ) v1 ( x)
x x0 x x1 v1 ( x1 ) v2 ( x)
18
f ( x) v0 ( x0 )
连分式插值
k 3
最后当 x x3 时
24
连分式插值
为了计算反差商，可造反差商表：
f(x)
f(x0)
f(x1)
v0 ( x) v1 ( x) v2 ( x)
v0(x0)
v0(x1) v1(x1)
…
vn-1(x) vn(x)
f(x2)
f(x3)
v0(x2)
v0(x3)
v1(x2)
v1(x3)
v2(x2)
v2(x3)
n
其中 Pn ( x) ak x k , Q ( x) m
k 0
k b x k k 0
m
称 Rnm ( x)为有理分式，记为 R(n, m) ， Pn ( x), Qm ( x) 分别为次数
不高于n,m次的多项式并且是不可约的。
Pn ( x), Qm ( x)包含了个n+m+2个参数，但自由度只有n+m+1个。
x3 x0 R( x3 ) v0 ( x0 ) x3 x1 v1 ( x1 ) x3 x2 v2 ( x2 ) v3 ( x3 ) x3 x0 x3 x0 v0 ( x0 ) v0 ( x0 ) v0 ( x3 ) f ( x3 ) x x v1 ( x3 ) v1 ( x1 ) 3 1 v2 ( x3 )
且也保证了当 时趋于某个定值 。 用有理函数逼近 可得到较好的效果。
2
所谓有理函数是指用形如
Pn ( x) Rnm ( x) Qm ( x)
k a x k k b x k k 0 k 0 m n
的函数逼近 f ( x) 。如果取 || f ( x) Rnm ( x) || 最小
当 x 1 时从 Rk ( x) 产生出一序列来逼近 2 ：
即写成 1.5，1.4，1.417，1.4138，1.41429， … 而 2 1.414213
3 7 17 41 99 , , , , ,... 2 5 12 49 70
11
§5.2 有理插值
插值问题的提出
) 记 R ( x) Pn ( x ， nm Qm ( x)
就称为函数在F 的k阶反差商。
x xk 1 vk 1 ( x) vk 1 ( xk 1 ) vk ( x)
16
连分式插值
k 1
x x0 v0 ( x) v0 ( x0 ) v1 ( x)
v0 ( x) f ( x)
x x0 f ( x) v0 ( x0 ) v1 ( x)
x x0 R( x) v0 ( x0 ) x x1 v1 ( x1 ) v2 ( x2 ) x xn 1 vn ( xn )
21
连分式插值
该式是一个连分式，假设对于互异节点x0,x1, …,xn
函数vk(x) 在xk处有定义，那么有
R( xk ) f ( xk ), k 0,1, , n
8
连分式例题
9
连分式例题
x 将上式右端 略去，就有近似式 1 y
10
连分式例题
计算结果如下
2 x 4 3x x2 8x 8 R1 ( x) , R2 ( x) ,R 3 ( x) x 4 x 4x 8 5 x 2 20 x 16 x3 18 x2 48 x 32 R4 ( x) 2 , R5 ( x) x 12 x 16 6 x 2 32 x 32
即R(x) 是一个有理插值函数。
22
连分式插值
下面仅对n=3加以证明。 此时R(x)为
x x0 R ( x) v0 ( x0 ) x x1 v1 ( x1 ) x x2 v2 ( x2 ) v3 ( x3 )
令该式中 x x0 有 R( x0 ) v0 ( x0 ) f ( x0 )
由于 x3 21x2 157 x 409 比 x2 16 x 71 的次数高，故又可相除，并得到新的商式 x 5 余式 6( x 9). 再将 x2 16 x 71 转为分子，
x 9 转为分母相除最后得到
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辗转相除法例题
4 x 2 64 x 284 R 2x 3 3 x 21x 2 157 x 409 4 2x 3 3 x 21x 2 157 x 409 x 2 16 x 71 4 2x 3 6( x 9) x5 2 x 16 x 71 4 2x 3 6 x5 2 x 16 x 71 x9 4 2x 3 6 x5 8 x7 x9
a1 0 .于是 R11 ( x) 0 。其不满足 x2 2, y2 1
，所以若插值函数为 R11 的形式，则插值问题无解。
14
连分式例题
2 3 4 x x x 例： ln(1 x ) x 2 3 4 k x ( 1) k k k 1
ln(1 x ) 1
19
连分式插值
继续下去，则写成
x x0 f ( x) v0 ( x0 ) x x1 v1 ( x1 ) v2 ( x2 ) x xn 1 x xn vn ( xn ) vn 1 ( x)
20
连分式插值
x xk 上式右端略去 ，并记 vk 1 ( x )
故有
4 x 2 64 x 284 R 2x 3 3 x 21x 2 157 x 409
5
辗转相除法例题
4 x 2 64 x 284 R 2x 3 3 x 21x 2 157 x 409 4 2x 3 3 x 21x 2 157 x 409 x 2 16 x 71
(k ) 取 x0 0, y(k ) f(0) , k 0,1, ,5 ，试建立Taylor插
值多项式并近似地计算 ln 2 。
29
帕徳逼近
x 2 x3 x 4 x5 解：易知 ， P5 ( x) x 故 2 3 4 5 1 1 1 1 ln 2 P5 (1) 1 0.78333 2 3 4 5
x x2 v2 ( x) v2 ( x2 ) v3 ( x)
f ( x) v0 ( x0 ) x x0 x x1 v1 ( x1 ) v2 ( x)
代入到
得
x x0 f ( x) v0 ( x0 ) x x1 v1 ( x2 ) x x2 v2 ( x1 ) v3 ( x)
13
无解举例
并非所有有理插值都有解，例如，给定
x0 0, x1 1, x2 2 y0 0, y1 0, y2 2
a1 x a0 取有理插值式子为 R11 ( x) b1 x b0 ，则由 x0 0, y0 0 ，得 a0 0 ，再由 x1 1, y1 0 ，得
0 1 2 3 4
1 1/2 -2 1/5 -5/2 -2 1/10 -10/3 -3/2 1/17 -17/4 -4/3
2 3
1
故插值函数 R( x) 1
x0 1 2 x 1 1 x 2 x2 2 x 3 2 1
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§5.3 帕徳（Pade）逼近
从插值角度看Taylor多项式，一点，n个条件， 唯一存在。 例4 给定 f ( x) ln(1 x) ，
vn-2(xn-1)
f(xn)
v0(xn)
v1(xn)
v2(xn)
…
vn-1(xn) vn(xn)
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连分式插值
表中
v1 ( x1 ) x1 x0 x2 x0 , v1 ( x2 ) v0 ( x1 ) v0 ( x0 ) v0 ( x2 ) v0 ( x0 ) x3 x1 x2 x1 , v2 ( x3 ) v1 ( x2 ) v1 ( x1 ) v1 ( x3 ) v1 ( x1 )
试运用辗转相除法将它化成连分式。
4
辗转相除法例题
解：第一步。将分子分母相除，得到商式及分式， 计算过程如下
2x 3 x3 21x 2 157 x 409 2 x 4 45 x3 381x 2 1353x 1511 2 x 4 42 x3 314 x 2 818 x 3x3 67 x 2 535 x 1511 3x3 63x 2 471x 1277 4 x 2 64 x 284
就可得到最佳有理一致逼近，如果取 || f ( x) Rnm ( x) ||2
最小则可得到最佳有理平方逼近函数。
3
§4.1 连分式概念
下面介绍运用辗转相除即连分式的方法求有 理分式之值，以下例说明
例1 给出有理分式
2 x 4 45 x3 381x 2 1353x 1511 R x3 21x 2 157 x 409
这个方法称为辗转相除 或连分式法
7
连分式例题
例2 求 y x 1 的连分式逼近。 解：将等式 y x 1 两边平方有 y2 1 x
， y 2 1 x ( y 1)( y 1) x
x x y 1 y 1 1 y 1 y x 将右端 y 反复用 1 1 y 代入就有
15
连分式插值
定义 给出一组点集 F{x0 , x 1 , ,} ，如果函数序列 {vk ( x)} 满足下列关系：
x xk 1 v ( x ) , k 1, 2, k vk 1 ( x) vk 1 ( xk 1 ) v ( x) f ( x) 0
x x
Taylor 展开
x 2 连分式 22 x 3 22 x 4 5 6x 3x2 R22 ( x ) 6 6 x x2 420 x 630 x 2 260 x 3 25 x 4 R44 ( x ) 420 840 x 540 x 2 120 x 3 6 x 4
v2 ( x2 )
xn xn 1 vn ( xn ) vn1 ( xn ) vn 1 ( xn 1 )
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连分式插值
例 给出函数表如下
x
y
0
1
1
1/2
2
1/5
3
1/10
4
1/17
求它的连分式插值。
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连分式插值
x v0 ( x) v1 ( x) v2 ( x) v3 ( x) v4 ( x )
第4章 有理逼近
§4.1 连分式概念 §4.2 有理插值 §4.3 帕徳（Pade）逼近
1
代数插值，计算简单，光滑性好，是逼近光滑函 数的重要工具.但当函数 f ( x) 在某点a 附近无界， 或当 x 而 f ( x) 趋向于某一定数时，采用多项 式作 f ( x) 的插值函数，插值效果差。 （1）多项式不能反映在某点 a 附近无界, （2 ）当 x 时多项式的值总时趋于无穷.
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有理插值问题
给定 f ( x) 的n+m+1 个互异的节点 xi (i 0,1, , n m)处 的值 yi f ( xi ) ，要求寻找一个有理分式 Rnm ( x) 使得 Rnm ( xi ) f ( xi ) .
问题： 1. 插值问题是否有解，解是否唯一？ 2. 怎样构造差值函数？ 3. 插值函数的误差估计。
再令该式中 x x1 R( x1 ) v0 ( x0 )
x1 x0 v0 ( x1 ) f ( x1 ) v1 ( x1 )
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连分式插值ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x2 x0 当 x x2 时 R( x2 ) v0 ( x0 ) x x v1 ( x1 ) 2 1 v2 ( x2 ) v0 ( x2 ) f ( x2 )
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连分式插值
k2
x x1 v1 ( x) v1 ( x1 ) v2 ( x)
代入到 得
x x0 f ( x) v0 ( x0 ) v1 ( x)
x x0 x x1 v1 ( x1 ) v2 ( x)
18
f ( x) v0 ( x0 )
连分式插值
k 3
最后当 x x3 时
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连分式插值
为了计算反差商，可造反差商表：
f(x)
f(x0)
f(x1)
v0 ( x) v1 ( x) v2 ( x)
v0(x0)
v0(x1) v1(x1)
…
vn-1(x) vn(x)
f(x2)
f(x3)
v0(x2)
v0(x3)
v1(x2)
v1(x3)
v2(x2)
v2(x3)
n
其中 Pn ( x) ak x k , Q ( x) m
k 0
k b x k k 0
m
称 Rnm ( x)为有理分式，记为 R(n, m) ， Pn ( x), Qm ( x) 分别为次数
不高于n,m次的多项式并且是不可约的。
Pn ( x), Qm ( x)包含了个n+m+2个参数，但自由度只有n+m+1个。
x3 x0 R( x3 ) v0 ( x0 ) x3 x1 v1 ( x1 ) x3 x2 v2 ( x2 ) v3 ( x3 ) x3 x0 x3 x0 v0 ( x0 ) v0 ( x0 ) v0 ( x3 ) f ( x3 ) x x v1 ( x3 ) v1 ( x1 ) 3 1 v2 ( x3 )