条件极值对自变量有附加条件的极值问题(精)

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g h dx＝0 x x g h dy＝0 y y
7 8
§2. 条件极值
所以函数f x , y, u, v 在某点M x , y, u, v 达到条件极值, 则在该点处应满足(5), (6), (7), (8)及g 0, h 0.


若d L x , y , z , t 0, 有极小值；
2 2
若d L x , y , z , t 0, 有极大值。
注： 该方法可推广到一个函数受n个函数约束的条件.
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§2. 条件极值
拉格朗日乘数法 要找函数 z f ( x , y ) 在条件 ( x , y ) 0 下的可能
因为由问题本身可知，最大值一定存在， 所以， 最大值就在这个可能的极值点处取得。 故，最大值 umax 63 42 2 6912.
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§2. 条件极值
例4
求函数f ( x , y ) x 2 2 y 2在方程
x 2 y 2 1约束条件下的最大与最小值。 解 构造拉格朗日函数，
由 (1)，(2) 得 由 (1)，(3) 得
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y 2 x, 3 z 1 x, 3
(5) (6)
§2. 条件极值
将 (5)，(6) 代入 (4)：
x 2 x 1 x 12 3 3
于是，得
x 6, y 4,
z 2.
即，得唯一驻点(6, 4, 2) ， 这是唯一可能的极值点。
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§2. 条件极值
下面进一步讨论充分条件.
设从方程组 g x , y , u, v 0 h x , y, u, v 0
中确定了唯一一组函数u u x, y , v v x, y ,
把它们代入拉格朗日函数L中得 L x , y , u, v L x , y , u x , y , v x , y f x , y , u x , y , v x , y
Lx yz (2 y 2 z ) 0 L xz (2 x 2 z ) 0 y Lz xy (2 y 2 x ) 0 2 2 xy 2 yz 2 xz a 0
则
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L x , y, z , t f x , y , z , t 1 g x , y , z , t 2h x , y , z , t
解出 x, y, z, t 即得 可能极值点的坐标.
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§2. 条件极值
在可能的极值点 x, y, z, t , 计算
4
, 称为拉格朗日系数，也称为待定系数. D g, h 由于 0, 总能求得不全为零的数 和 使 D u, v f g h
u u u 0
5
f g h 0 v v v
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6
现在引入函数L, 它称为拉格朗日函数 :
L x, y, u, v f x, y, u, v g x, y, u, v h x, y, u, v
函数L的直接极值的必要条件为 Lx 0, Ly 0, Lu 0, Lv 0
这正好是方程 5 , 6 , 7 , 8 .从这四个方程再加上 g 0和h 0, 可解出函数f 的可能有条件极值点 M x , y , u, v 和待定系数 , .
1 2 3
然后相加，得 1 1, 2 , 3 ，
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§2. 条件极值
f g h g h f x x x dx y y y dy g h g h f f u u u du v v v dv 0
d L Lxx dx Lyy dy Lzz dz 2 Lxy dxdy 2 Lxz dxdz
2 2 2 2
2 Lyz dydz
若d 2 L x , y , z , t 0, 有极小值； 若d 2 L x , y , z , t 0, 有极大值。
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解出 x , y , ，其中 x , y 就是可能的极值点的坐标.
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§2. 条件极值
拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况： 要找函数 u f ( x , y , z , t ) 在条件 g( x , y , z , t ) 0 ，
h( x , y, z , t ) 0 下的极值。
构造函数（其中1 , 2都是常数）
Lx ( x , y , z , t ) 0, Ly ( x , y , z , t ) 0, Lz ( x , y , z , t ) 0, 求解方程组 Lt ( x , y , z , t ) 0, g ( x , y , z , t ) 0, h( x , y , z , t ) 0.
先构造函数 L( x, y) f ( x, y) ( x, y) ，其中 为某一常数，可由
极值点,
源自文库
Lx f x ( x , y ) x ( x , y ) 0, Lx f y ( x , y ) y ( x , y ) 0, ( x , y ) 0.
§2. 条件极值
这时(4)式化为 f g h g h f x x x dx y y y dy＝0
4
由于dx和dy是相互独立的, 要使上式成立，必须 f x f y
由一阶微分形式不变性,有 df dL Lx dx Ly dy Ludu Lv dv
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§2. 条件极值
从而 d 2 f d 2L
2 dLx dx dLy dy dLu du Lud 2 u dLv dv L2 d v v
§2. 条件极值
条件极值：对自变量有附加条件的极值问题，称为条件 极值问题． 求f x, y, u, v 在条件
g x , y , u, v 0 h x , y , u, v 0
约束下的极值.
下面讨论f 在点 x, y, u, v 取到极值的必要条件.
u x 3 y 2 z 为最大.
解 令
F ( x , y , z ) x 3 y 2 z ( x y z 12) ,
(1) ( 2) ( 3) ( 4)
Fx 3 x2 y2z 0 3 x 2 y 2 z , 3 3 F 2 x yz 0 y 则 2 x yz , 3 2 3 2 Fz x y 0 x y , x y z 12 x y z 12,
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§2. 条件极值
设f 在M x, y, u, v 点取到极值，则
f f f f df dx dy du dv 0 x y u v g g g g dg dx dy du dv 0 x y u v h h h h dh dx dy du dv 0 x y u v
所以 1 2 d L dx dy dz dx 2 dy 2 dz 2 0 c
2
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§2. 条件极值
因此函数f 在点 c, c, c, c 达到极小值, 极小值为4c.
至于实际问题，可由实际意义来判断是否有极值.
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§2. 条件极值
解得
1 x y z c, 3 . c
于是点 c, c, c, c 是可能的极值点.
由于 1 L x y z t 3 xyzt c 4 , c
故
在点 c, c, c, c 处, L的二阶微分
§2. 条件极值
即
yz 2 ( y z ) xz 2 ( x z ) xy 2 ( x y ) 2 2 xy 2 yz 2 xz a 0
(1) ( 2) ( 3) ( 4)
因 x 0, y 0, z 0, 由(2), (1)及(3), (2)得
x xz, y yz
于是， x y z .
y x y , z xz 代入条件，得
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§2. 条件极值
2 x x 2 x x 2 x x a 2 0. 6x2 a2 , 6 6 6 a, y a, z a. 解得 x 6 6 6
§2. 条件极值
例1. 求函数f x y z t 在限制条件 xyzt c 4 下的极值. 解 : 作拉格朗日函数
令
L x y z t xyzt c 4
Lx 1 yzt 0 Ly 1 xzt 0 Lz 1 xyt 0 L 1 xyz 0 t 4 xyzt c
这是唯一可能的极值点。 因为由问题本身可知，
最大值一定存在， 所以， 最大值就在此点处取得。 6 a 6 a 6 a 6 a3 . V 故，最大值 max 6 6 6 36
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§2. 条件极值
例3
将正数 12 分成三个正数 x , y , z 之和 使得
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1 dL dx dy dz dt 3 yztdx xztdy xytdz xyzdt c
§2. 条件极值
2 d L dxdy dydz dxdz dt dx dy dz c
2
将方程xyzt c 4两端微分, 在点 c , c , c , c 处有 dx dy dz dt 0 即 dt dx dy dz
§2. 条件极值
例2 求表面积为 a2 而体积为最大的长方体的体积.
解 设长方体的长、宽、高为 x , y，z. 体积为 V .
则问题就是条件 求函数 令
2 xy 2 yz 2 xz a 2 0
下，
V xyz ( x 0, y 0, z 0) 的最大值.
2
L( x, y, z ) xyz (2 xy 2 yz 2 xz a ),