数学分析教案

教案

2006-2007学年第 1 学期

课程名称：数学分析3

课程编号：4081103

学院、专业、年级：数学科学学院、数学与应用数学专业、05级***师：***

教师所在单位：数学科学学院

山东师范大学

《数学分析3 》教案

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课程简介

《数学分析》课程是高等师范院校和综合性大学数学类专业——数学与应用数学专业、信息与计算科学专业本、专科的一门重要基础课，是进一步学习复变函数论、微分方程、微分几何、概率论、实变分析与泛函分析等后继课程的阶梯，是考取数学类硕士研究生的必考基础课之一。本课程内容包括极限论、函数微分学、函数积分学、无穷级数等方面的系统知识，用现代数学工具——极限的思想与方法研究函数的分析特性——连续性、可微性、可积性。本课程所讲授的这些内容和方法是现代应用数学的基础，是数学类专业学生必须具备的最基础的基本训练，是实现数学类专业培养目标的重要基础课。

《数学分析》课程在大学低年级开设，它集科学性、严密性与连贯性于一体，系统性与逻辑性强，是连接初等数学与高等数学的桥梁，也是区分初等数学与高等数学的标志。对于刚上大学的大学生来说，在从初等数学（用非极限方法研究常量数学）到高等数学（用极限方法研究变量数学）的转变过程中，本课程的学习起着关键的作用。通过本课程的学习，学生可以对近代应用数学的发展有一个初步的了解，进而提高学习数学的兴趣，提高应用所学数学知识解决实际问题的能力与意识。通过本课程的讲授，可以引导学生了解当前数学领域的最新发展状况，培养学生探索新知识的意识和能力。

《数学分析》课程授课时间为三个学期，各学期课程名称分别为：《数学分析(1)》、《数学分析(2) 》、《数学分析(3) 》。其中《数学分析(1)》主要包括如下内容：

函数；数列极限；函数极限；函数连续性；实数连续性的基本定理；导数与微分。

授课学期：第一学期；授课总时数：108学时；学分：6学分。

《数学分析(2) 》主要包括如下的内容：

不定积分；定积分；定积分的应用；级数理论。

授课学期：第二学期；授课总时数：108学时；学分：6学分。

《数学分析(3) 》主要包括如下的内容：

多元函数偏导数，多元函数可微性，多元函数Taylor公式，多元函数极值，多元函数定积分、面积分、线积分及格林公式，高斯公式，斯托克斯公式。

授课学期：第三学期；授课总时数：98学时；学分：6学分。

现用教材：《数学分析》课程现在所用教材为面向21世纪课程教材和国家九五重点教材——华东师范大学主编的《数学分析（上、下册）》（第三版）。

同步参考教材：《数学分析学习指导书》（上、下册），吴良森等编著；

《数学分析学习指南》（自编）（上、下及下下册）；

《数学分析研究》，马顺业编著；

《数学分析讲义》（第三版）（上、下册），刘玉琏等等编著

等教材或教学参考书。

《数学分析3 》教案

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教学大纲

1、说明

数学分析（3）的教学内容为多元函数的极限与连续、多元函数的微分学、隐函数定理及其应用、含参量正常积分、曲线积分、重积分、曲面积分等七章内容。通过教学，可使学生了解到多元函数与一元函数的差异与联系，理解到积分学多方面的应用。

另外，由于学期的差异所造成的原因，本学期的数学分析3这门课程还将讲述傅立叶（Fourier）级数这一章内容。

本课程授课学期：第三学期；授课总时数：108学时；学分：6学分。

2、课程内容及课时分配

一、傅立叶（Fourier）级数（11学时）

三角级数，三角函数系的正交性，傅立叶级数，贝塞尔（Bessel）不等式，黎曼——勒贝格（Riemann-lebesgue）定理，傅立叶级数的部分和公式，按段光滑且以2π为周期的函数展

开为傅立叶级数的收敛定理，奇函数与偶函数的傅立叶级数，以l2为周期的函数的傅立叶级数，一致收敛性定理，傅立叶级数的逐项积分与逐项微分，维尔斯特拉斯的函数逼近定理*。

二、多元函数的极限与连续（13学时）

平面点集概念（邻域、内点、界点、开集、闭集、开域、闭域等），平面点集的基本定理一区域套定理、聚点定理、有限覆盖定理。

二元函数概念。

二重极限，累次极限，二元函数连续性，复合函数的连续性定理，有界闭域上连续函数的性质。

n 维空间与n元函数（距离、三角形不等式、极限、连续性等）*。

注：建议用映射观点定义多元函数。

三、多元函数的微分学（19学时）

偏导数及其几何意义，全微分概念，全微分的几何意义，全微分存在的充分条件，全微分在近似计算中的应用，方向导数与梯度，复合函数的偏导数与全微分，一阶微分形式的不变性，高阶导数及其与顺序无关性，高阶微分，二元函数的泰勒定理，二元函数极值。

注：在极值举例中可介绍“最小二乘法”。

四、隐函数定理及其应用（13学时）

隐函数概念，隐函数定理，隐函数求导。

隐函数组概念，隐函数组定理，隐函数组求导，反函数组与坐标变换，函数行列式，函数相关*。

几何应用，条件极值与拉格朗日乘数法。

注：建议用映射观点阐述函数组、反函数组与坐标变换的概念。

五、含参量积分（13学时）

含参量积分概念，连续性、可积性与可微性，积分顺序的交换。

含参量反常积分的收敛与一致收敛，一致收敛的柯西准则，维尔斯特拉斯判别法、连续性、可积性与可微性，积分顺序的交换*。Γ函数与B 函数。

六、曲线积分（10学时）

第一型和第二型曲线积分概念与计算，格林（Green ）公式，曲线积分与路径无关条件。

七、重积分（16学时）

平面图形面积，二重积分定义与存在性，二重积分性质，二重积分计算（化为累次积分），二重积分的换元法（极坐标变换与一般变换）。

三重积分定义与计算，三重积分的换元法（柱坐标变换、球坐标变换与一般变换）。 重积分应用（体积，曲面面积，重心，转动惯量等）。 n 重积分*。

无界区域上反常二重积分的收敛性概念，无界函数的反常二重积分。 注1：用微元法讲重积分应用。

注1：在讲授无界区域上非正常二重积分时，介绍dx o

e x ⎰∞-2的计算。 八、曲面积分（13学时）

曲面的侧，第一型和第二型曲面积分概念与计算，奥斯特罗格拉斯基一高斯公式，斯托克斯（Stokes ）公式。