一元一次方程-二元一次方程组-一元二次方程
一元一次方程与二元一次方程组
6．(2013 年浙江绍兴)我国古代数学名著《孙子算经》中有 这样一题，今有鸡兔同笼，上有 35 头，下有 94 足，问鸡兔各 几何？此题的答案是：鸡有 23 只，兔有 12 只．现在小敏将此 题改编为：今有鸡兔同笼，上有 33 头，下有 88 足，问鸡兔各 几何？则此时的答案是：鸡有__2_2___只，兔有__1_1___只．
问 A、B 两种树苗每株分别是多少元？
解：设 A 种树苗每株 x 元，B 中树苗每株 y 元，
由题意，得
x－y＝2， x＋2y＝20，
解得
x＝8， y＝6.
答：A 种树苗每株 8 元，B 种树苗每株 6 元．
4．二元一次方程(组)． (1)二元一次方程：含有__两__个__未知数，并且未知数的项的 次数都是___1___的整式方程． (2)二元一次方程组：含有两个未知数的两个_一__次___方程所 组成的一组方程． (3)二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的 _公__共__解___．
考点2 解一元一次方程和二元一次方程组 1．解一元一次方程的步骤． (1)_去__分__母___；(2)去括号；(3)___移__项____；(4)_合__并__同__类__项___； (5)未知数的系数化为 1. 2．二元一次方程组的解法． 解二元一次方程组的关键是消元，有 __代__入____ 消元法和 __加__减__消元法两种．
一元一次方程与二元一次方程 组
第1讲 方程与方程组
第 1 课时 一元一次方程与二元一次方程组
1．能够根据具体问题中的数量关系列出方程． 2．会解一元一次方程及简单的二元一次方程组． 3．能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．
考点1 方程(组)的有关概念 1．等式的基本性质． (1)若a＝b，则a±m＝b±___m___(m为代数式)．(2)m为实数，
二元一次方程组与一元一次方程的区别和联系
二元一次方程组与一元一次方程的区别和联系
一元一次方程与二元一次方程组都是一次式，一次式都是线性方程；
解题时二元一次方程组需要化成一元一次方程的形式才能最后求解。
二元一次方程：如果一个方程含有两个未知数，并且未知数的指数是1那么这个整式方程就叫做二元一次方程，有无穷个解。
二元一次方程的一般形式：ax+by+c=0(a,b不为0）。
二元一次方程组：把两个共含有两个未知数的一次方程合在一起就组成一个二元一次方程组。
二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。
二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个公共解，叫做二元一次方程组的解。
消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想。
消元的方法有两种：
代入消元法。
加减消元法。
二元一次方程组的解
一般地，使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。
求方程组的解的过程，叫做解方程组。
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跨学科领域中方程应用探讨
经济学
在经济学中，方程被用来描述市 场供需关系、价格变动等经济现
象。
社会学
社会学研究中，通过建立方程模型 来分析社会现象和社会问题。
环境科学
环境科学中利用方程来模拟和预测 环境变化，如气候变化模型等。
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加减消元法
当方程中两个方程的某一未知数的系数相等或互为相反数时 ，把这两个方程的两边相加或相减来消去这个未知数，从而 将二元一次方程组转化为一元一次方程来解。
实际问题中二元一次方程组应用
行程问题
利用二元一次方程组可 以解决相遇问题、追及
问题等行程问题。
工程问题
利用二元一次方程组可 以解决工作效率、工作 时间、工作总量之间的
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目录
• 方程基本概念 • 一元一次方程 • 二元一次方程组 • 一元二次方程 • 分式方程和无理方程 • 方程在生活和科学中的应用
01
方程基本概念
方程定义与分类
方程定义
含有未知数的等式，表示两个数 学表达式之间的相等关系。
方程分类
根据未知数的个数、次数和系数 等特点，方程可分为一元一次方 程、一元二次方程、二元一次方 程组等。
去分母
通过两边乘以最小公倍数消去分母， 化为整式方程。
解整式方程
利用整式方程的解法，求出未知数的 值。
检验
将求得的解代入原方程，检验是否满 足原方程，并排除增根。
无理方程定义及解法
无理方程定义
转化
根号内含有未知数或绝对值符号内含有未 知数的方程称为无理方程。
通过换元法或平方法将无理方程转化为有 理方程。
初中数学 一元一次方程与二元一次方程组
知识点1——等式的基本性质
（1）等式的性质 1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等．
如果 a=b，那么 a±c= b±c．
（2）等式的性质 2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等．
如果
a=b，那么
ac=
bc；如果
a=b(c≠0)，那么
a
b =
．
cc
（3）等式除了以上两条性质外，还有其他的一些性质：
5
2
解：方程的两边同乘以10， 得 2x-5(3-2x)=10x
去括号，得 2x-15+10x=10x
“去分母”要注意什么？ ①不漏乘不含分母的项；
移项，得 2x+10x-10x=15
②分子是多项式,应添括号.
合并同类项，得 2x=15 两边都除以2，得 x=7.5
知识点2——二元一次方程组的求解
巩固练习2
C
知识点4——一次方程与其他知识的联系
二元一次方程组
一次函数
一元一次方程
分式方程
一元一次不等式 一元二次方程
知识点4——二元一次方程组与一次函数的联系
1.二元一次方程和一次函数的图象的联系：
①以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图象上； ②一次函数图象上的点的坐标都适合相应的二元一次方程．
例2
解方程组：32xx
y5 4y 2
① ②
3x 2 y 20 ① 4x 5y 19 ②
巩固练习1
x 2
y
4
x 3 y 2
-1 B
B
x 1 2m 3
1 2m 0 3
（1）代入消元法 （2）加减消元法
知识点3——一次方程（组）的应用
一元一次方程及二元一次方程组
2、(09齐齐哈尔)一宾馆有二人间、三人间、四人间三种 客房供游客租住, 某旅行团20人准备同时租用这三种客房 共7间,如果每个房间都住满, 租房方案有 ( C ) A. 4种 B. 3种 C. 2种 D. 1种 解:设租二人间x间, 租三人间y间, 则四人间客房7-x-y. 依题意得:
x＝2， 已知 是二元一次方程组 y＝1
mx＋ny＝8， 的解，则 2m－n 的算术平方根为( nx－my＝1
C )
A．±2
B. 2
C．2
D．4
类型之三
一元一次方程的解法
0.3x＋0.5 2x－1 例2：[2011·滨州] 依据下列解方程 ＝ 的过 0.2 3 程，请在前面的括号内填写变形步骤，在后面的括号 内填写变形依据．
14、(09达州) 将一种浓度为15℅的溶液30㎏, 配制成浓度不低于20℅的同种溶液, 则至少 10 ㎏. 需要浓度为35℅的该种溶液______ 解：设35%溶液为x则得：
35%x+30×15%=（x+30）×20% 解得x=10kg，故至少需要35%的溶液 10kg．
练习：P15 第8题 P16 第9题
列方程解应用题：
1.审题 2.设元
3.列方程
4.解方程
5.检验
6.答
一元一次方程应用题的类型：
1.数字问题(包括日历) 2.体积（面积）变化 3.打折销售问题
4.行程问题
5.工程问题
6.储蓄问题
7.和、差、倍、分问题
顺水航行速度=静水速度+水流速度 逆水航行速度=静水速度-水流速度
一元一次方程_二元一次方程组_一元二次方程
一元一次方程二元一次方程和一元二次方程一、知识框架图二、知识点梳理一元一次方程组和二元一次方程组1. 一元一次方程组及解的概念（1）方程：含有未知数的等式叫做方程（2）方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。
（3）一元一次方程：只含有一个未知数，且未知数的次数是一次的整式的方程叫做一元一次方程;它的标准形式是ax+b=0(a≠0)。
（4）二元一次方程：含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是一次的整式方程叫做二元一次方程，它的基本形式是ax+by=0(a≠0, b≠0)。
（5）二元一次方程组：几个一次方程组成的含有两个未知数的一组方程叫做二元一次方程组。
（6）二元一次方程组的解：方程组里每个方程的公共解叫做二元一次方程组的解2.解方程的依据等式的性质：（1） 等式的两边都加上或者减去同一个整式，得到的结果仍是等式 （2） 等式的两边都乘或除以同一个不为零的数或整式，所得结果仍是等式 1. 方程或方程组的解法与步骤（1） 解一元一次方程的一般步骤：①去分母②去括号③移项④合并同类项⑤未知数的系数化为一（2） 解二元一次方程组的基本思路：通过消元使其转化为一元一次方程来解，通常的消元法有代入法和加减法。
2. 列方程（组）解应用题的一般步骤（1） 审题，特别注意关键的字和词的意义，弄清相关数量关系，已知什么，求什么；（2） 设未知数（注意单位的同意）； （3） 根据相灯关系列出方程（组）； （4） 解方程（组），并检验； （5） 写出答案（包括单位名称）。
注意：列方程（组）解应用题的关键是：确定等量关系。
基础训练（一）1. 在方程y x 413-＝5中，用含x 的代数式表示y 为y ＝ ；当x ＝3时，y＝ .2．如果x ＝3，y ＝2是方程326=+by x 的解，则b ＝ . 3. 解下列方程7(2x-1)-3(4x-1)=4(3x+2)-1 15-(8-5x)=7x+(4-3x){4519323a b a b +=--= {2207441x y x y ++=-=-4.若方程组{31x y x y +=-=与方程组{84mx ny mx ny +=-=的解相同，求m 、n 的值.5.已知关于、的二元一次方程组的解满足二元一次方程，求的值。
方程应用(复习讲义)(一元一次方程、二元一次方程、一元一次不等式、分式方程、一元二次方程应用)原卷版
题型三--方程应用（复习讲义）【考点总结|典例分析】考点01一次方（组）程应用1．列方程（组）解应用题的一般步骤（1）审题；（2）设出未知数；（3）列出含未知数的等式——方程；（4）解方程（组）；（5）检验结果；（6）作答（不要忽略未知数的单位名称）．2．一次方程（组）常见的应用题型×100％；售价=标价×折扣；销售（1）销售打折问题：利润 售价-成本价；利润率=利润成本额=售价×数量．（2）储蓄利息问题：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期数)；贷款利息=贷款额×利率×期数．（3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间．（4）行程问题：路程=速度×时间．（5）相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程．（6）追及问题（同地不同时出发）：前者走的路程=追者走的路程．（7）追及问题（同时不同地出发）：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程．（8）水中航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度．1.（2022·山东泰安）泰安某茶叶店经销泰山女儿茶，第一次购进了A种茶30盒，B种茶20盒，共花费6000元；第二次购进时，两种茶每盒的价格都提高了20%，该店又购进了A 种茶20盒，B种茶15盒，共花费5100元．求第一次购进的A、B两种茶每盒的价格．2．（2022·湖南常德）小强的爸爸平常开车从家中到小强奶奶家，匀速行驶需要4小时，某天，他们以平常的速度行驶了12的路程时遇到了暴雨，立即将车速减少了20千米／小时，到达奶奶家时共用了5小时，问小强家到他奶奶家的距离是多少千米？3.（2021·重庆中考真题）重庆小面是重庆美食的名片之一，深受外地游客和本地民众欢迎．某面馆向食客推出经典特色重庆小面，顾客可到店食用（简称“堂食”小面），也可购买搭配佐料的袋装生面（简称“生食”小面）．已知3份“堂食”小面和2份“生食”小面的总售价为31元，4份“堂食”小面和1份“生食”小面的总售价为33元．（1）求每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是多少元？（2）该面馆在4月共卖出“堂食”小面4500份，“生食”小面2500份，为回馈广大食客，该面馆从5月1日起每份“堂食”小面的价格保持不变，每份“生食”小面的价格降低3a% 4．统计5月的销量和销售额发现：“堂食”小面的销量与4月相同，“生食”小面的销量在4月的基础上增加5%2a，这两种小面的总销售额在4月的基础上增加5%11a．求a的值．4.（2020•安徽）某超市有线上和线下两种销售方式．与2019年4月份相比，该超市2020年4月份销售总额增长10%，其中线上销售额增长43%，线下销售额增长4%．（1）设2019年4a元，线上销售额为x元，请用含a，x的代数式表示2020年4月份的线下销售额（直接在表格中填写结果）；时间销售总额（元）线上销售额（元）线下销售额（元）2019年4月份a x a﹣x2020年4月份 1.1a 1.43x 1.04（a﹣x）（2）求2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值．5.（2020•江西）放学后，小贤和小艺来到学校附近的地摊上购买一种特殊型号的笔芯和卡通笔记本，这种笔芯每盒10支，如果整盒买比单支买每支可优惠0.5元．小贤要买3支笔芯，2本笔记本需花费19元；小艺要买7支笔芯，1本笔记本需花费26元．（1）求笔记本的单价和单独购买一支笔芯的价格；（2）小贤和小艺都还想再买一件单价为3元的小工艺品，但如果他们各自为要买的文具付款后，只有小贤还剩2元钱．他们要怎样做才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品，请通过运算说明．6.（2020•重庆）“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为优选品种，提高产量，某农业科技小组对A，B两个小麦品种进行种植对比实验研究．去年A，B两个品种各种植了10亩．收获后A，B两个品种的售价均为2.4元/kg，且B的平均亩产量比A的平均亩产量高100kg，A，B两个品种全部售出后总收入为21600元．（1）请求出A，B两个品种去年平均亩产量分别是多少？（2）今年，科技小组加大了小麦种植的科研力度，在A，B种植亩数不变的情况下，预计A，B两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加a%和2a%．由于B品种深受市场的欢迎，预计每千克价格将在去年的基础上上涨a%，而A品种的售价不变．A，B两个品种全部售出后总收入将在去年的基础上增加209a%．求a的值．考点02不等式的应用3、列不等式（组）解决实际问题列不等式（组）解应用题的基本步骤如下：①审题；②设未知数；③列不等式(组)；④解不等式(组)；⑤检验并写出答案．考情总结：列不等式（组）解决实际问题常与一元一次方程、一次函数等综合考查，涉及的题型常与方案设计型问题相联系，如最大利润、最优方案等．列不等式时，要抓住关键词，如不大于、不超过、至多用“≤”连接，不少于、不低于、至少用“≥”连接．1.（2022·四川泸州）某经销商计划购进A，B两种农产品．已知购进A种农产品2件，B 种农产品3件，共需690元；购进A种农产品1件，B种农产品4件，共需720元．(1)A，B两种农产品每件的价格分别是多少元？(2)该经销商计划用不超过5400元购进A，B两种农产品共40件，且A种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍．如果该经销商将购进的农产品按照A种每件160元，B种每件200元的价格全部售出，那么购进A，B两种农产品各多少件时获利最多？2．（2021·四川成都市·中考真题）为改善城市人居环境，《成都市生活垃圾管理条例》（以下简称《条例》）于2021年3月1日起正式施行．某区域原来每天需要处理生活垃圾920吨，刚好被12个A型和10个B型预处置点位进行初筛、压缩等处理．已知一个A型点位比一个B型点位每天多处理7吨生活垃圾．（1）求每个B型点位每天处理生活垃圾的吨数；（2）由于《条例》的施行，垃圾分类要求提高，现在每个点位每天将少处理8吨生活垃圾，同时由于市民环保意识增强，该区域每天需要处理的生活垃圾比原来少10吨．若该区域计划增设A型、B型点位共5个，试问至少需要增设几个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾？3．（2021·四川眉山市·中考真题）为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学以体育为突破口，准备从体育用品商场一次性购买若千个足球和篮球，用于学校球类比赛活动．每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同．已知篮球的单价比足球单价的2倍少30元，用1200元购买足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍．（1）足球和篮球的单价各是多少元？（2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共200个，但要求足球和篮球的总费用不超过15500元，学校最多可以购买多少个篮球？4.（2021·浙江温州市·中考真题）某公司生产的一种营养品信息如下表．已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克．（1）问甲、乙两种食材每千克进价分别是多少元？（2）该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完．①问每日购进甲、乙两种食材各多少千克？②已知每日其他费用为2000元，且生产的营养品当日全部售出．若A的数量不低于B的数量，则A为多少包时，每日所获总利润最大？最大总利润为多少元？5.（2021·四川资阳市·中考真题）我市某中学计划举行以“奋斗百年路，启航新征程”为主题的知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励．现要购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元．（1）求甲、乙两种奖品的单价；（2）根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共60件，且甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量的12，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用．6.（2021·江苏连云港市·中考真题）为了做好防疫工作，学校准备购进一批消毒液．已知2瓶A型消毒液和3瓶B型消毒液共需41元，5瓶A型消毒液和2瓶B型消毒液共需53元．（1）这两种消毒液的单价各是多少元？（2）学校准备购进这两种消毒液共90瓶，且B型消毒液的数量不少于A型消毒液数量的1 3，请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用．考点03分式方程的应用4．分式方程的应用（1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等．每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝工作量工作效率，时间＝路程速度等．（2）列分式方程解应用题的一般步骤：①设未知数；②找等量关系；③列分式方程；④解分式方程；⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；⑥答．1.（2022·重庆）在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从A地沿相同路线骑行去距A地30千米的B地，已知甲骑行的速度是乙的1.2倍．(1)若乙先骑行2千米，甲才开始从A地出发，则甲出发半小时恰好追上乙，求甲骑行的速度；(2)若乙先骑行20分钟，甲才开始从A地出发，则甲、乙恰好同时到达B地，求甲骑行的速度．2.（2020•泰州）近年来，我市大力发展城市快速交通，小王开车从家到单位有两条路线可选择，路线A为全程25km的普通道路，路线B包含快速通道，全程30km，走路线B比走路线A平均速度提高50%，时间节省6min，求走路线B的平均速度．3.（2020•常德）第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G下载速度的15倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆？4.（2020•广东）某社区拟建A，B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米．建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元．用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的35．（1）求每个A，B类摊位占地面积各为多少平方米？（2）该社区拟建A，B两类摊位共90个，且B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍．求建造这90个摊位的最大费用．5.（2021·山东聊城市·中考真题）为迎接建党一百周年，我市计划用两种花卉对某广场进行美化．已知用600元购买A种花卉与用900元购买B种花卉的数量相等，且B种花卉每盆比A种花卉多0.5元．（1）A，B两种花卉每盆各多少元？（2）计划购买A，B两种花卉共6000盆，其中A种花卉的数量不超过B种花卉数量的1 3，求购买A种花卉多少盆时，购买这批花卉总费用最低，最低费用是多少元？6.（2021·湖南中考真题）“七一”建党节前夕，某校决定购买A，B两种奖品，用于表彰在“童心向党”活动中表现突出的学生．已知A奖品比B奖品每件多25元预算资金为1700元，其中800元购买A奖品，其余资金购买B奖品，且购买B奖品的数量是A奖品的3倍．（1）求A，B奖品的单价；（2）购买当日，正逢该店搞促销活动，所有商品均按原价八折．．销售，学校调整了购买方案：不超过．．．720元，A，B两种奖品共100件．求购买A，．．．预算资金且购买A奖品的资金不少于B两种奖品的数量，有哪几种方案？7.（2020•牡丹江）某商场准备购进A，B两种书包，每个A种书包比B种书包的进价少20元，用700元购进A种书包的个数是用450元购进B种书包个数的2倍，A种书包每个标价是90元，B种书包每个标价是130元．请解答下列问题：（1）A，B两种书包每个进价各是多少元？（2）若该商场购进B种书包的个数比A种书包的2倍还多5个，且A种书包不少于18个，购进A，B两种书包的总费用不超过5450元，则该商场有哪几种进货方案？（3）该商场按（2）中获利最大的方案购进书包，在销售前，拿出5个书包赠送给某希望小学，剩余的书包全部售出，其中两种书包共有4个样品，每种样品都打五折，商场仍获利1370元．请直接写出赠送的书包和样品中，B种书包各有几个？8.（2020•黔西南州）随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求：（1）A型自行车去年每辆售价多少元？（2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A 型车数量的两倍．已知A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多？考点04二次方程的应用5、利用一元二次方程解决实际问题列一元二次方程解应用题步骤和列一元一次方程(组)解应用题步骤一样，即审、设、列、解、验、答六步．列一元二次方程解应用题，经济类和面积类问题是常考内容．6．增长率等量关系（1）增长率=增长量÷基础量．（2）设a 为原来量，m 为平均增长率，n 为增长次数，b 为增长后的量，则()1n a m b +=；当m 为平均下降率时，则有()1n a m b -=．7．利润等量关系（1）利润=售价－成本．（2）利润率=利润成本×100％．8．面积问题（1）类型1：如图1所示的矩形ABCD 长为a ，宽为b ，空白“回形”道路的宽为x ，则阴影部分的面积为()(22)a x b x --．（2）类型2：如图2所示的矩形ABCD 长为a ，宽为b ，阴影道路的宽为x ，则空白部分的面积为()()a x b x --．（3）类型3：如图3所示的矩形ABCD 长为a ，宽为b ，阴影道路的宽为x ，则4块空白部分的面积之和可转化为()()a x b x --．1.（2022·四川眉山）建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．(1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；(2)2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？2.（2022·湖北宜昌）某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨．(1)求4月份再生纸的产量；(2)若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加%m ．5月份每吨再生纸的利润比上月增加%2m ，则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求m 的值；(3)若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%．求6月份每吨再生纸的利润是多少元？3.（2021·四川遂宁市·中考真题）某服装店以每件30元的价格购进一批T 恤，如果以每件40元出售，那么一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，设T 恤的销售单价提高x 元．（1）服装店希望一个月内销售该种T 恤能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，问T 恤的销售单价应提高多少元？（2）当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T 恤获得的利润最大？最大利润是多少元？4.（2021·重庆中考真题）重庆小面是重庆美食的名片之一，深受外地游客和本地民众欢迎．某面馆向食客推出经典特色重庆小面，顾客可到店食用（简称“堂食”小面），也可购买搭配佐料的袋装生面（简称“生食”小面）．已知3份“堂食”小面和2份“生食”小面的总售价为31元，4份“堂食”小面和1份“生食”小面的总售价为33元．（1）求每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是多少元？（2）该面馆在4月共卖出“堂食”小面4500份，“生食”小面2500份，为回馈广大食客，该面馆从5月1日起每份“堂食”小面的价格保持不变，每份“生食”小面的价格降低3a% 4．统计5月的销量和销售额发现：“堂食”小面的销量与4月相同，“生食”小面的销量在4月的基础上增加5%2a，这两种小面的总销售额在4月的基础上增加5%11a．求a的值．5.（2021·重庆中考真题）某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产A产品，乙车间生产B 产品，去年两个车间生产产品的数量相同且全部售出．已知A产品的销售单价比B产品的销售单价高100元，1件A产品与1件B产品售价和为500元．（1）A、B两种产品的销售单价分别是多少元？（2）随着5G时代的到来，工业互联网进入了快速发展时期．今年，该工厂计划依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制B产品的生产车间．预计A产品在售价不变的情况下产量将在去年的基础上增加a%；B产品产量将在去年的基础上减少a%，但B产品的销售单价将提高3a%．则今年A、B两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加2925 a%．求a的值．。
一元一次方程与二元一次方程
一元一次方程与二元一次方程一元一次方程也被称为一元线性方程，其形式为ax + b = 0，其中a和b是已知的常数，x是待求的未知数。
解一元一次方程的方法有很多，其中最常见的方法是移项和因数分解。
例如，对于方程3x + 2 = 8，我们可以通过移项得到3x = 6，然后通过除以3得到x = 2，所以x = 2是该方程的解。
一元一次方程的应用广泛。
在日常生活中，我们可以通过一元一次方程来解决很多实际问题。
例如，我们可以用一元一次方程来计算一笔购物的总价。
假设有一件商品的原价是x元，打折后的价格是80元，我们可以通过一元一次方程2/5x=80来求出原价x的值。
二元一次方程是指含有两个未知数的方程，其一般形式为ax + by = c，其中a、b和c是已知的常数。
解二元一次方程的方法有很多，其中最常见的方法是代入法、消元法和图解法。
通过代入法，我们可以将一个未知数的值表示为另一个未知数的函数，然后将其代入到方程中。
通过消元法，我们可以通过加减方程组来消除一个未知数，然后求出另一个未知数的值。
通过图解法，我们可以将方程转化为直线的形式，并找出两条直线的交点。
二元一次方程的应用也非常广泛。
在实际问题中，我们经常会遇到含有两个未知数的方程。
例如，假设地有两个果园，一个果园里产苹果，另一个果园里产梨，已知两个果园总共有120棵树，而总共产了250箱水果。
如果每个果园分别计划种植x棵和y棵树，并且苹果和梨的产量之比为3:4，我们可以通过二元一次方程组来解决该问题。
总结起来，一元一次方程和二元一次方程是数学中常见的两个类型的方程。
它们都可以在日常生活和实际问题中得到广泛应用。
通过解一元一次方程和二元一次方程，我们可以求解出未知数的值，从而得到问题的解答。
因此，熟练掌握解一元一次方程和二元一次方程的方法对于数学学习和实际问题的解决都非常重要。
初中数学一元一次一元二次方程解法
一元一次方程与一元二次方程组方程的定义：是表示两个数学式（如两个数、函数、量、运算）之间相等关系的一种等式，通常在两者之间有一等号“=”。
它具有多种形式，如一元一次方程、二元一次方程等。
即：还有未知数的等式叫做方程一元一次方程：ax+b=0二元一次方程:ax２+by+c=0一般解法1.去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数（不含分母的项也要乘）；2.去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号；(记住如括号外有减号的话一定要变号）3.移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边；移项要变号4.合并同类项：把方程化成ax=b(a≠0)的形式；5.系数化为1：在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x=b/a.二元一次方程组的解法步骤：3.代入消元法①选取一个系数较简单的二元一次方程变形，用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数；②将变形后的方程代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程（在代入时，要注意不能代入原方程，只能代入另一个没有变形的方程中，以达到消元的目的. ）；③解这个一元一次方程，求出未知数的值；④将求得的未知数的值代入①中变形后的方程中，求出另一个未知数的值；⑤用“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解；⑥最后检验求得的结果是否正确（代入原方程组中进行检验，方程是否满足左边=右边）.4. 加减消元法①利用等式的基本性质，将原方程组中某个未知数的系数化成相等或相反数的形式；②再利用等式的基本性质将变形后的两个方程相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程（一定要将方程的两边都乘以同一个数，切忌只乘以一边，然后若未知数系数相等则用减法，若未知数系数互为相反数，则用加法）；③解这个一元一次方程，求出未知数的值；④将求得的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程中，求出另一个未知数的值；⑤用“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解；⑥最后检验求得的结果是否正确（代入原方程组中进行检验，方程是否满足左边=右边）.应用题结题方法1审题：弄清题意和题目中的已知数、未知数;2找等量关系：找出能够表示应用题全部含义的一个(或几个)相等关系;3设未知数：据找出的相等关系选择直接或间接设置未知数4列方程（组）：根据确立的等量关系列出方程5解方程(或方程组)，求出未知数的值;6检验：针对结果进行必要的检验；7作答：包括单位名称在内进行完整的答语。
一元一次方程,二元一次方程组,一元二次方程知识讲解
一元一次方程，二元一次方程组，一元二次方程教学目的1. 回顾已学过的关于方程（组）与方程的解的概念掌握方程的一些特点以及常规考点，特别是一元二次方程和二元一次方程组的解题技巧和容易犯错的地方，巩固关于一元二次方程和二元一次方程组的解的应用的问题解决方法。
重难点1. 二元一次方程组，一元二次方程的应用在做关于应用题的时候要会理清各个量之间的关系，并运用存在的关系建立方程 教学过程一．一次方程与一次方程组1.方程（组）与方程的解的概念（1）方程：含有未知数的等式叫做方程（2）方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。
（3）一元一次方程：只含有一个未知数，且未知数的次数是一次的整式的方程叫做一元一次方程;它的标准形式是ax+b=0(a ≠0)。
（4）二元一次方程：含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是一次的整式方程叫做二元一次方程，它的基本形式是ax+by=0(a ≠0, b ≠0)。
（5）二元一次方程组：几个一次方程组成的含有两个未知数的一组方程叫做二元一次方程组。
（6）二元一次方程组的解：方程组里每个方程的公共解叫做二元一次方程组的解2.解方程的依据等式的性质：（1） 等式的两边都加上或者减去同一个整式，得到的结果仍是等式（2） 等式的两边都乘或除以同一个不为零的数或整式，所得结果仍是等式2. 方程或方程组的解法与步骤（1） 解一元一次方程的一般步骤：①去分母②去括号③移项④合并同类项⑤未知数的系数化为一（2） 解二元一次方程组的基本思路：通过消元使其转化为一元一次方程来解，通常的消元法有代入法和加减法。
3. 列方程（组）解应用题的一般步骤（1） 审题，特别注意关键的字和词的意义，弄清相关数量关系，已知什么，求什么；（2） 设未知数（注意单位的同意）；（3） 根据相灯关系列出方程（组）；（4） 解方程（组），并检验；（5） 写出答案（包括单位名称）。
注意：列方程（组）解应用题的关键是：确定等量关系。
一元一次方程与二元一次方程组--华师大版
y ( m 1) x 2
y
(
m
1)x
2
( m
5
)x
6
有两个实数解，求m的取值范围. 解：m 17 且m 1. 8
课时训练
1.若 x y 2 2 x y 4 0 ,则x y 的值为
(A )
A.1
B.0
C.-1
D.-2
2.已知xy
1、由等式a+b=3得到a+b+c=c+3是应用了 什么性质？
等式的基本性质是：
1）等式的两边同时加上（或减去）同 一个整式，等式仍成立；
2）等式的两边同时乘以（或除以）同 一个不等于零的整式，等式仍成立。
1.以x=1为根的一元一次方程是____(只需 填写满足条件的一个方程即可）
2次.写方出程一组个__以___xy=_=0_7_ 为解的二元一
2
没有实数解，则实数m的取值范围是（ B ）
A.m>1
B.m<-1
C.m<1且m≠0 D.m>-1且m≠0
课前热身
5.(2004年·北京海淀区)方程组 两个方程组 x y 5 x y 5
x y 5 x 2 xy 2y2 0
x y 0, x 2y 0
可化为
5
23
3) (x2 +x+1)(x2 +x + 12)=42
4)3x2-4x-2=0
〖知识点〗 方程组、方程组的解、解方程 组、二元一次方程（组）、三 元一次方程（组）、解方程组 的基本思想、解方程组的常见 方法。
要点、考点聚焦
1.二元一次方程(组)、二元二次方程(组)的概念.
方程解法公式
方程解法公式方程解法公式是数学中常用的一种解题方法，通过运用特定的公式和方法，可以快速求解各种类型的方程。
下面将介绍几种常见的方程解法公式。
一、一元一次方程的解法公式一元一次方程是指只有一个未知数，并且该未知数的最高次数为1的方程。
解一元一次方程的方法有很多种，其中最常用的是使用一元一次方程的解法公式。
一元一次方程的一般形式为ax + b = 0，其中a和b为已知数，x为未知数。
解一元一次方程的公式是x = -b / a。
根据这个公式，我们可以很方便地求得方程的解。
例如，对于方程2x + 3 = 0，根据解一元一次方程的公式，我们可以得到x = -3 / 2，即解为x = -1.5。
二、二元一次方程组的解法公式二元一次方程组是指含有两个未知数，并且每个未知数的最高次数都为1的方程组。
解二元一次方程组的方法有很多种，其中最常用的是使用二元一次方程组的解法公式。
二元一次方程组的一般形式为：a1x + b1y = c1a2x + b2y = c2其中a1、b1、c1、a2、b2、c2为已知数，x和y为未知数。
解二元一次方程组的公式为：x = (c1b2 - c2b1) / (a1b2 - a2b1)y = (a1c2 - a2c1) / (a1b2 - a2b1)根据这个公式，我们可以很方便地求得方程组的解。
例如，对于方程组2x + 3y = 7，4x - 5y = 1，根据解二元一次方程组的公式，我们可以得到x = 2，y = 1，即解为x = 2，y = 1。
三、一元二次方程的解法公式一元二次方程是指只有一个未知数，并且该未知数的最高次数为2的方程。
解一元二次方程的方法有很多种，其中最常用的是使用一元二次方程的解法公式。
一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知数，x为未知数。
解一元二次方程的公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a根据这个公式，我们可以很方便地求得方程的解。
方程课件ppt课件ppt
方程的种类
总结词
列举方程的不同类型
详细描述
一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程、二元二次方程等。每种类型的方 程都有其特定的形式和特点。
方程的解法概述
总结词
概括方程的解法流程
详细描述
解方程的基本步骤包括去分母、去括号、移项、合并同类项和化简等。根据不同类型的方程，解法会有所不同。
02 一元一次方程
数学建模与方程的关系
01
方程是数学建模的重要工具之一，用于描述实际问题中 变量之间的关系。
02
通过方程，可以建立实际问题的数学模型，进而求解和 分析。
03
不同类型的实际问题可能需要建立不同类型的方程，如 代数方程、微分方程、积分方程等。
1.谢谢聆 听
基于泰勒级数展开，通过迭代逐 步逼近非线性方程组的解。
拟牛顿法
改进牛顿法，使用拟牛顿矩阵代 替海森矩阵，提高迭代效率。
梯度下降法
基于函数梯度的负方向搜索最优 解，适用于大规模非线性优化问
题。
06 数学建模与方程的应用
数学建模的基本概念
数学建模
运用数学语言和方法，通过抽象、简 化建立能近似刻画并解决实际问题的 一种强有力的数学工具。
一元一次方程的定义
总结词
一元一次方程的基本定义
详细描述
一元一次方程是只含有一个未知数，且该未知数的次数为1的方程。它的一般形式是 ax + b = 0，其 中 a 和 b 是常数，x 是未知数。
一元一次方程的解法
总结词
一元一次方程的解法
详细描述
一元一次方程的解法包括移项、 合并同类项和系数化为1等步骤。 解一元一次方程的目的是求出未 知数的值。
多元一次方程组
第2讲：方程与方程组
第二讲 方程与方程组一、学习指引1．知识要点1一元一次方程 2二元一次方程组 3一元二次方程 4分式方程 5方程的整数根 6方程应用问题2．方法指导1一元一次方程经变形总可以化成ax=b 的形式;此时需注意对字母系数的讨论．2二元及多元二元以上一次方程组的求解;主要是通过同解变形进行消元;最终转化为一元一次方程来解决．所以;解方程组的基本思想是消元．3方程ax 2+bx+c=0a ≠0称为一元二次方程：①一元二次方程的基本解法有开平方法、配方法、公式法和因式分解法．②对于方程ax 2+bx+c=0a ≠0; b 2-4ac 称为该方程的根的判别式． 4解分式方程的基本方法：①去分母；②求出整式方程未知数的值；③验根.5列方程组解应用题其具体步骤是： ①审－－理解题意;弄清问题中已知量是什么;未知量是什么;问题给出和涉及的相等关系是什么；②设－－即找出题中和未知量;选择其中一个设为未知数；③列－－找出题中和等量关系;列出方程；④解－－解出所列的方程；⑤答－－检验作答.其中列是关键;特别是找等量关系..找等量关系的方法是—用两种方式表达同一个量二、典型例题例1．解关于x 的方程：14x+b=ax-8； 2 0232=+-x x ；3 6,234()5() 2.x y x yx y x y +-⎧+=⎪⎨⎪+--=⎩ 421124x x x -=--例2．若关于x;y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+k y x ,k y x 95的解也是二元一次方程632=+y x 的解;求k 的值．例3．关于x 的方程0112)21(2=-+--x k x k 有两个不相等的实数根;求k 的取值范围．例4. 符号“a b c d”称为二阶行列式;规定它的运算法则为：a b ad bc c d=-;请你根据上述规定求出下列等式中x 的值：2111111xx =-- ．例5．设a 是方程0120062=+-x x 的一个根;求代数式20061200722++-a a a 的值．例6．求出二元一次方程2x+3y=20的非负整数解．例7．小明计划将今年春节期间得到的压岁钱的一部分作为自己一年内购买课外书籍的费用;其余的钱计划买这些玩具去看望市福利院的孩子们．某周日小明在商店选中了一种小熊玩具;单价是10元;按原计划买了若干个;•结果他的压岁钱还余30%;于是小明又多买了6个小熊玩具;这样余下的钱仅是压岁钱的10%．1问小明原计划买几个小熊玩具;小明的压岁钱共有多少元2为了保证小明购书费用不少于压岁钱的20%;•问小明最多可比原计划多买几个玩具例8．某超市对顾客实行优惠购物;规定如下： 1若一次购物少于200元;则不予优惠；2若一次购物满200元;但不超过500元;按标价给予九折优惠；3若一次购物超过500元;其中500元以下部分包括500元给予九折优惠;超过500元部分给予八折优惠．小李两次去该超市购物;分别付款198元和554元;现在小张决定一次性地购买和小李分两次购买同样多的物品;他需付多少元例9．春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游;推出了如图1对话中收费标准．某单位组织员工去天水湾风景区旅游;共支付给春秋旅行社旅游费用27000元.请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游例10．为了支援四川人民抗震救灾;某休闲用品有限公司主动承担了为灾区生产2万顶帐篷的任务;计划10天完成．1按此计划;该公司平均每天应生产帐篷 顶；2生产2天后;公司又从其它部门抽调了50名工人参加帐篷生产;同时;通过技术革新等手段使每位工人．．．．的工作效率比原计划提高了25％;结果提前2天完成了生产任务．求该公司原计划安排多少名工人生产帐篷图1如果人数超过25人;每增加1人;人均旅游费用降低20元;但人均旅游费用不得低于700元.如果人数不超过25人;人均旅游费用为1000元.第二讲 方程与方程组同步练习班级 姓名基础巩固1.若n 0n ≠是关于x 的方程220x mx n ++=的根;则m+n 的值为__________．2.如果关于x 的一元二次方程22(21)10k x k x -++=有两个不相等的实数根;那么k 的取值范围是 . 3.已知关于x 的方程322=-+x mx 的解是正数;则m 的取值范围为____________. 4.已知x ay b =⎧⎨=⎩是方程组||223x x y =⎧⎨+=⎩的解;则a+b 的值等于 ．5. 若x 与y 互为相反数;且532=-y x ;则=+332y x _________．6.一家商店将某种服装按成本价提高40%后标价;又以8折优惠卖出;结果每件仍获利15元;这种服装每件的成本为 元.7.已知方程组325(1)7x y kx k y -=⎧⎨+-=⎩的解x;y;其和x+y=1;则k ＝_____8.篮球巨星姚明在一场比赛中24投14中;拿下28分;其中三分球三投全中;那么姚明两分球投中 球;罚球投中 球. 9. 用换元法解分式方程13101x x x x --+=-时;如果设1x y x-=;将原方程化为关于y 的整式方程;那么这个整式方程是A ．230y y +-= B ．2310y y -+= C ．2310y y -+= D ．2310y y --= 10. 一条船顺流航行是逆流航行的速度的3倍;则船在静水中航速与水的流速之比为A ．3:1 B.2:1 C.1:1 D.5:211.方程(3)(1)3x x x -+=-的解是A ．0x =B ．3x =C ．3x =或1x =-D ．3x =或0x = 12．08年省政府提出确保到2010年实现全省森林覆盖率达到63%的目标;已知08年我省森林覆盖率为60.05%;设从08年起我省森林覆盖率年平均增长率为x ;则可列方程 A ．()60.051263%x += B ．()60.051263x += C ．()260.05163%x +=D ．()260.05163x +=13．方程4x+y=20的正整数解有 组.A ．2 B.3 C.4D.5142()x y =+;则x －y 的值为A ．－1B ．1C ．2D ．315．两位数的大小恰好等于其个位与十位数字之和的4倍;这样的两位数共有 个 A.3 B.4 C.5 D.6 16.方程12x ⨯+23x ⨯+…+19951996x ⨯=1995的解是 A.1995 B.1996 C.1997 D.1998能力拓展17.解下列关于x 的方程:1ax-1=bx 2 x 2－6x+9=5－2x 23271132x y y x -=⎧⎪⎨--=⎪⎩ 4 3215122=-+-x x x18．已知关于x;y 的方程组⎩⎨⎧=+=+12by ax y x 与⎩⎨⎧=-=-452by ax y x 的解相同;求a;b 的值．19. 已知等腰三角形两边长分别是方程28150x x -+=的两根;求此等腰三角形的周长．20．已知a;b 是一元二次方程x 2－x －1=0的两个根;求代数式3a 2+2b 2－3a －2b 的值．21.已知：关于x 的方程0122=-+kx x .1求证：方程有两个不相等的实数根；2若方程的一个根是-1;求另一个根及k 值.22.某人沿着向上移动的自动扶梯从顶部朝下走到底部用了7min30s;而他沿着自动扶梯从底部朝上走到顶部只用了1min30s;那么此人不走;•乘着扶梯从底部到顶部需用几分钟若停电;此人沿扶梯从底部走到顶部需几分钟假定此人上;下扶梯的行走速度相同23.一辆汽车从A地驶往B地;前13路段为普通公路;其余路段为高速公路．已知汽车在普通公路上行驶的速度为60km/h;在高速公路上行驶的速度为100km/h;汽车从A地到B地一共行驶了2.2h．请你根据以上信息;就该汽车行驶的“路程”或“时间”;提出一个用二元一次方程组．．．．．．．解决的问题;并写出解答过程．24.通惠新城开发某工程准备招标;指挥部现接到甲、乙两个工程队的投标书;从投标书中得知：乙队单独完成这项工程所需天数是甲队单独完成这项工程所需天数的2倍；该工程若由甲队先做6天;剩下的工程再由甲、乙两队合作16天可以完成．1求甲、乙两队单独完成这项工程各需要多少天2已知甲队每天的施工费用为0.67万元;乙队每天的施工费用为0.33万元;该工程预算的施工费用为19万元．为缩短工期;拟安排甲、乙两队同时开工合作完成这项工程;问：该工程预算的施工费用是否够用若不够用;需要追加预算多少万元请说明理由．25．如图;在Rt△ABC中;∠C=90°;AC=6cm;BC=8cm．点P、Q同时由A、B两点出发;分别沿AC、BC方向都以1cm/s的速度匀速移动;几秒后△PCQ的面积是△ABC面积的一半QCBA第二讲 方程典型例题例1.1 当a ≠4时;•方程有惟一解x=84b a +-； 当a=4且b=-8时;方程有无数个解；当a=4且b ≠-8时;方程无解；2x=1或2；3 ⎩⎨⎧==17y x ；4 x=23-．例2．k=103． 例3. ∵原方程有两个不相等的实数根;224(4(12)(1)480b ac k k -=---⋅-=-+∴．> ;∴2k <．又∵原方程中;021≠-k ;10k +≥;∴112k k -≠≥且 ∴1122k k -≠≤且<． 例4.x=4． 例5.-1． 例6.⎩⎨⎧==010y x ;⎩⎨⎧==27y x ;⎩⎨⎧==44y x ;⎩⎨⎧==61y x例7.1由小明原计划买x 个小熊玩具;压岁钱共有y 元由题意;得1030%,10(6)10%.y x y y x y -=⎧⎨-+=⎩ 解这个方程组;得21300x y =⎧⎨=⎩答：小明原计划买21个小熊玩具;压岁钱共有300元．2设小明比原计划多买z 个小熊玩具;由题意得300－1021+z≥20%×300;解得z≤3． 例8. 1小李第一次购物付款198元．①当小李购买的物品不超过200元时;不予优惠;此时实际购买198元的物品； ②当小李购买的物品超过200元时;设小李购买x 元的物品;依题意可得： x ×90%=198;解之;得x=220即小李实际购买220元的物品．2小李第二次购物付款554元;因为554>500;故第二次小李购物超过500元;•设第二次小李购物y 元;依题意可得：y －500×80%+500×90%=554;解之得y=630;即小李实际购买630元的物品．当小张决定一次性购买和小李分两次购买同样多的物品时;•小张应购买的物品为：198+630=828元或者220+630=850元;此时应付款为： 500×90%+828－500×80%=712.4元 或者：500×90%+850－500×80%=730元答：小张应付款712.4元或730元．例9. 设该单位这次共有x 名员工去天水湾风景区旅游.因为1000×25＝25000＜27000;所以员工人数一定超过25人.则根据题意;得1000－20x －25x ＝27000.整理;得x 2－75x +1350＝0;解这个方程;得x 1＝45;x 2＝30. 当x ＝45时;1000－20x －25＝600＜700;故舍去x 1； 当x 2＝30时;1000－20x －25＝900＞700;符合题意. 答：该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游.例10.120002设该公司原计划安排x 名工人生产帐篷;则由题意得：20002000022000(125)(1022)(50)x x -⨯+=--+％;5163(50)x x ∴=+． ∴解这个方程;得750x =．经检验;750x =是所列方程的根;且符合题意．答：该公司原计划安排750名工人生产帐篷．第二讲 方程同步练习基础巩固 1．-2 2．k ＞14-且0k ≠ 3．m ＞-6 且m ≠-4 4．1或5 5．-1 6．125 7．5338．8;3 9．A 10．B 11．D 12．D 13．C 14．C 15．B 16．B能力拓展17．1当a ≠b 时;方程有惟一解x=1a b-；当a=b 时;方程无解；2x=38或2；3 ⎩⎨⎧-==31y x ； 4 x=21-18． ⎩⎨⎧-==13y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2365b a 19．11或13. 20.∵ a;b 是方程x 2－x －1=0的两个根 ∴ a= a 2－1 ;b= b 2－1∴ 3a 2+2b 2－3a －2b=3a 2+2b 2－3a 2－1－2b 2－1=5． 21.1略；2另一根为21；k=1． 22．设此不走;乘着扶梯从底部到顶部需要xmin;停电时此人从底部走到顶部需用ymin;依题意得 1111.51117.5x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得 3.752.5x y =⎧⎨=⎩ 故乘着扶梯从底部到顶部需要用3min45s ；•停电时此人从底部走到顶部需要用2min30s ． 23．答案不唯一;略..24．1设甲队单独完成这项目需要x 天;则乙队单独完成这项工程需要2x 天． 根据题意;得6111612x x x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭解得30x =． 经检验;30x =是原方程的根． 则223060x =⨯=．答：甲、乙两队单独完成这项工程各需要30天和60天．2设甲、乙两队合作完成这项工程需要y 天．则有1113060y⎛⎫+=⎪⎝⎭．解得20y=．需要施工费用：20(0.670.33)20⨯+=万元．2019>;∴工程预算的施工费用不够用;需追加预算1万元．25．2秒．。
初中数学解方程所有公式大全
初中数学解方程所有公式大全详解一、引言在初中数学中，解方程是一个非常重要的知识点。
无论是线性方程、二次方程还是其他类型的方程，掌握解方程的公式和方法都是至关重要的。
本文将详细介绍初中数学中解方程的所有公式和方法，帮助同学们更好地掌握这一知识点。
二、一元一次方程一元一次方程是最基础的方程类型，其一般形式为ax+b=0。
解一元一次方程的公式为：x=-b/a。
在实际解题过程中，需要先对方程进行化简，使其符合一般形式，然后代入公式求解。
三、二元一次方程组二元一次方程组是由两个一元一次方程组成的方程组。
其一般形式为：{a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2}解二元一次方程组的公式为：{x=(c1b2-c2b1)/(a1b2-a2b1)y=(c1a2-c2a1)/(a1b2-a2b1)}这个公式也叫做克拉默法则。
同样地，在实际解题过程中，需要先对方程组进行化简，使其符合一般形式，然后代入公式求解。
四、一元二次方程一元二次方程是初中数学中的一个重要知识点，其一般形式为ax^2+bx+c=0。
解一元二次方程的公式为：x=[-b±√(b^2-4ac)]/2a。
这个公式也叫做求根公式。
同样地，在实际解题过程中，需要先对方程进行化简，使其符合一般形式，然后代入公式求解。
需要注意的是，当判别式b^2-4ac小于0时，方程无实数解。
五、分式方程分式方程是一种比较特殊的方程类型，其一般形式为f(x)/g(x)=0。
解分式方程的公式和方法比较灵活，通常需要先对方程进行变形和化简，消去分母，然后求解。
常用的方法有去分母法、换元法等。
在实际解题过程中，需要根据具体情况选择合适的方法。
六、无理方程无理方程是一种含有根号等无理式的方程类型。
其解法通常需要将无理式转化为有理式，然后利用已知的方法进行求解。
常用的方法有平方差公式法、换元法等。
在实际解题过程中，需要根据具体情况选择合适的方法。
七、高次方程和方程组高次方程和方程组是指次数高于2的方程和方程组。
一元一次方程,二元一次方程,三元一次方程
一元一次方程,二元一次方程,三元一次方程1. 引言1.1 概述在数学领域中，方程是一种数学表达式，它包含了未知数和已知数之间的关系。
解决方程问题是数学中重要的基础问题之一。
从最简单的一元一次方程到更复杂的二元和三元一次方程，我们将逐步探讨它们的定义、性质以及解决方法。
1.2 目的本文旨在介绍并深入了解一元一次方程、二元一次方程和三元一次方程。
通过对这些不同类型方程的研究，我们将能够掌握它们的特征、求解方法以及实际应用。
通过深入理解这些方程，读者将能够更好地应用数学知识解决实际生活中遇到的问题，并培养逻辑推理和问题解决能力。
1.3 结构本文主要分为五个部分：引言、一元一次方程、二元一次方程、三元一次方程以及结论。
- 在第二部分“一元一次方程”中，我们将先介绍其定义和性质，然后探讨如何通过不同的解题方法来求解这类方程，并举例说明其实际应用。
- 第三部分“二元一次方程”将对此类方程进行概述，然后比较不同的解法，并介绍图形解法及其应用。
- 在第四部分“三元一次方程”中，我们将讨论其理论基础，探究求解方法，并提供应用举例。
- 最后，在结论部分我们将对全文进行总结回顾，并展望一元一次方程、二元一次方程和三元一次方程在未来的发展趋势。
通过阅读本文，读者将能够全面了解不同类型的一次方程以及它们在数学和实际生活中的应用。
希望本文能够对读者进一步提升数学水平和问题解决能力有所帮助。
2. 一元一次方程:2.1 定义与性质:一元一次方程是指只含有一个变量，并且该变量的最高次数为1的方程。
常见的一元一次方程的标准形式为ax + b = 0，其中a和b 为已知常数，x为待求变量。
一元一次方程具有以下特性：- 方程中只包含一个未知数x，并且x的最高次数为1；- 系数a不等于0；- 方程两边可以通过加减乘除等基本运算进行转化。
2.2 解题方法:解一元一次方程的常用方法包括：- 原则1: 对等式两边同时加减相同数字或字母，仍然相等；- 原则2: 对等式两边同时乘以(或除以)非零系数，仍然相等；下面是解一元一次方程的步骤：- 将方程根据需要进行整理，使其成为ax + b = 0的标准形式； - 运用原则1和原则2对方程进行逆向运算化简，使得x左侧只剩下一个x并系数为1；- 最后计算出未知数x的值即可。
一元一次方程和二元一次方程组
如图是由截面为同一种矩形的墙砖粘贴的部分墙面，其中三
块横放的墙砖比一块竖放的墙砖高 10 cm，两块横放的墙砖比两块
竖放的墙砖低 40 cm，则每块墙砖的截面面积是(
)
A．425 cm2 C．600 cm2
B．525 cm2 D．800 cm2
某气象台发现：在某段时间里，如果早晨下雨，那么晚上是
A．2×1 000(26－x)＝800x B．1 000(13－x)＝800x C．1 000(26－x)＝2×800x D．1 000(26－x)＝800x
我市某校组织爱心捐书活动，准备将一批捐赠的书打包寄往贫困
地区，其中每包书的数目相等．第一次他们领来这批书的2，结果 3
打了 16 个包还多 40 本；第二次他们把剩下的书全部取来，连同 第一次打包剩下的书一起，刚好又打了 9 个包，那么这批书共有 多少本？
本节课回顾复习 一元一次方程和 二元一次方程组
1. 一元一次方程的解法：1.依据是等式的性质。2.基本步骤略 2. 二元一次方程组的解法： 代入消元法；加减消元法
1．下列变形不是根据等式性质的是( ) A．00..35xy＝35xy B．若－a＝x，则 x＋a＝0 C．若 x－3＝2－2x，则 x＋2x＝2＋3 D．若－12x＝1，则 x＝－2
方程 y－1＝2－y＋2去分母后，结果正确的是( )
2
3
A．6y－y－1＝2－2(y＋2)
B．6y－y－1＝12－2(y＋2)
C．6y－3(y－1)＝12－2(y＋2)
D．6y－3(y－1)＝2－2(y＋2)
某车间有 26 名工人，每人每天可以生产 800 个螺栓或 1 000 个螺母，1 个螺栓需要配 2 个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚 好配套，设安排 x 名工人生产螺栓，则下面所列方程正确的是 ()
各种方程(一元一次、二元一次、三元一次、一元一次、二元二次方程的解法)的解法
各种方程(一元一次、二元一次、三元一次、一元一次、二元二次方程的解法)的解法一元一次、二元一次、三元一次、一元一次、二元二次方程的解法整理稿方程含有未知数的等式叫方程。
等式的基本性质1：等式两边同时加(或减)同一个数或同一个代数式，所得的结果仍是等式。
用字母表示为：若a＝b，c为一个数或一个代数式。
则：(1)a+c＝b+c(2)a-c＝b-c等式的基本性质2：等式的两边同时乘或除以同一个不为0的数所得的结果仍是等式。
(3)若a=b,则b=a（等式的对称性）。
(4)若a=b,b=c则a=c（等式的传递性）。
【方程的一些概念】方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
解方程：求方程的解的过程叫做解方程。
解方程的依据：1.移项； 2.等式的基本性质； 3.合并同类项； 4. 加减乘除各部分间的关系。
解方程的步骤：1.能计算的先计算； 2.转化——计算——结果例如： 3x=5*63x=30x=30/3x=10移项：把方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项，根据是等式的基本性质1。
方程有整式方程和分式方程。
整式方程：方程的两边都是关于未知数的整式的方程叫做整式方程。
分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
一元一次方程人教版5年级数学上册第四章会学到，冀教版7年级数学下册第七章会学到,苏教版5年级下第一章定义：只含有一个未知数,且未知数次数是一的整式方程叫一元一次方程。
通常形式是kx+b=0(k，b为常数，且k≠0）。
一般解法：⒈去分母方程两边同时乘各分母的最小公倍数。
⒉去括号一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号。
但顺序有时可依据情况而定使计算简便。
可根据乘法分配律。
⒊移项把方程中含有未知数的项移到方程的另一边，其余各项移到方程的另一边移项时别忘记了要变号。
⒋合并同类项将原方程化为ax=b(a≠0)的形式。
⒌系数化一方程两边同时除以未知数的系数。
⒍得出方程的解。
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一元一次方程，二元一次方程组，一元二次方程
教学目的
1.回顾已学过的关于方程（组）与方程的解的概念
掌握方程的一些特点以及常规考点，特别是一元二次方程和二元一次方程组的解题技巧和容易犯错的地方，巩固关于一元二次方程和二元一次方程组的解的应用的问题解决方法。
重难点
1.二元一次方程组，一元二次方程的应用
在做关于应用题的时候要会理清各个量之间的关系，并运用存在的关系建立方程
教学过程
一．一次方程与一次方程组
1.方程（组）与方程的解的概念
（1）方程：含有未知数的等式叫做方程
（2）方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。
（3）一元一次方程：只含有一个未知数，且未知数的次数是一次的整式的方程叫做一元一次方程;它的标准形式是ax+b=0(a≠0)。
（4）二元一次方程：含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是一次的整式方程叫做二元一次方程，它的基本形式是ax+by=0(a≠0, b≠0)。
（5）二元一次方程组：几个一次方程组成的含有两个未知数的一组方程叫做二元一次方程组。
（6）二元一次方程组的解：方程组里每个方程的公共解叫做二元一次方程组的解
2.解方程的依据
等式的性质：
（1）等式的两边都加上或者减去同一个整式，得到的结果仍是等式
（2）等式的两边都乘或除以同一个不为零的数或整式，所得结果仍是等式
2.方程或方程组的解法与步骤
（1）解一元一次方程的一般步骤：①去分母②去括号③移项④合并同类项⑤未知数的系数化为一
（2）解二元一次方程组的基本思路：通过消元使其转化为一元一次方程来解，通常的消元法有代入法和加减法。
3.列方程（组）解应用题的一般步骤
（1） 审题，特别注意关键的字和词的意义，弄清相关数量关系，已知什么，求什么；
（2） 设未知数（注意单位的同意）；
（3） 根据相灯关系列出方程（组）；
（4） 解方程（组），并检验；
（5） 写出答案（包括单位名称）。
注意：列方程（组）解应用题的关键是：确定等量关系。
基础训练（一）
1. 在方程y x 413-＝5中，用含x 的代数式表示y 为y ＝ ；当x ＝3时，y ＝ .
2．如果x ＝3，y ＝2是方程326=+by x 的解，则b ＝ .
3.解下列方程
7(2x-1)-3(4x-1)=4(3x+2)-1 15-(8-5x)=7x+(4-3x)
{
4519323a b a b +=--= {
2207441x y x y ++=-=-
4.若方程组
{31x y x y +=-=与方程组{
84mx ny mx ny +=-=的解相同，求m 、n 的值.
5.已知关于、的二元一次方程组的解满足二元一次方程，求的值。
二，一元二次方程
1.一元二次方程的概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的整式方程叫做一元二次方程。
一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0),其中二次项的系数是a，一次项的系数是b,常数项是c。
2.一元二次方程的解法：
（1）配方法；（2）公式法（3）因式分解法（十字相乘法）
3.关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),的根的判别式Δ=b2-4ac
ax2+bx+c=0(a≠0)中，Δ＞0方程有两个不等实数根.
ax2+bx+c=0(a≠0)中，Δ=0方程有两个相等实数根.
ax2+bx+c=0(a≠0)中，Δ＜0方程没有实数根.
基础训练（二）
1.一元二次方程ax2+bx+c=0的两根是x
1、x
2
，则x
1
+ x
2
=___; x
1
·x
2
=_______；
2.用适当的方法求解方程：
（1）、（x-1）2=3 （2）、x2-4x+3=0
3.已知关于一元二次方程(k+1)x2+2x-1=0有两个不相同的实数根，则k的取值范围是。
4.已知关于x 的一元二次方程x2=2(1-m)x-m2的两个实数根分别为x
1、x
2。
（1）求m的取值范围；
（2）设y= x 1+x 2，当y 取得最小值时，求相应m 的值，并求出最小值。
综合练习
1.如果x y y x b a b a 2427773-+-和是同类项，则x 、y 的值是（ ）
A.x ＝－3，y ＝2
B.x ＝2，y ＝－3
C.x ＝－2，y ＝3
D.x ＝3，y ＝－2
2.若（x-y+3）2+|2x+y|=0，则x= ______________.
3.在方程3x +4y =16中，当x =3时，y =___；若x 、y 都是正整数，这个方程的解为_____．
4.关于x 、y 的方程组⎩⎨
⎧=-=+m y x m y x 932的解是方程3x +2y =34的一组解，那么m =（ ） A ．2
B ．-1
C ．1
D ．-2 5方程(m+2)x x +4x+3m+1=0是关于一元二次方程，则m= ______________
4. 方程2
532)1(2=+-x x 化为一般形式是_______________，它的一次项系数为________。
5. 解方程
⎩⎨⎧=-=+1392x y y x ⎪⎩⎪⎨⎧=---=+121334
3144y x y x
2x 2-7x+6=0 (x+1)(x+2)=2x+4
7.（1）当a 为何值时，
方程组
的解互为相反数？（2）若解满足x+y>0,a 的范围是多少？
8. 受气候等因素的影响，今年某些农产品的价格有所上涨. 张大叔在承包的10亩地里所种植的甲、乙两种蔬菜共获利13800元.其中甲种蔬菜每亩获利1200元，乙种蔬菜每亩获利1500元.则甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？
9. 某庄旅游景点为了吸引游客，推出的团体票收费标准如下：如果团体人数不超过25人，每张票价150元，如果超过25人，每增加1人，每张票价降低2元，但每张票价不得低于100元。
阳光旅行社共支付团体票价4800元，则阳光旅行社共购买多少张团体票？。