假设检验的基本思想及方法

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第七章 假设检验
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若令 u x 110 4/5
则拒绝域有另一种表示: W {u u0.05} {u 1.645}
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第七章 假设检验
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五、作出判断
在有了明确的拒绝域后，根据样本观测值 我们可以做出判断：
➢ 当 x 108.684 或 u 1.时64，5 则拒绝 H0
t检 验 {uuxu1}0
{u u/} n {| u | u1 / 2}
已 知
0 0 0
0 0 0
u x 0 / n
{u u1 } {u u } {| u | u1 / 2}
未 知
0 0 0
0 0 0
t
x 0
s/ n
{t t1 (n 1)} {t t (n 1)}
即接收 H1 ；
➢ 当 x 108.684 或 u 1.645时，则接收 H0
在例7.1.1中，由于 x 108 108.684
因此拒绝原假设，即认为该日生产不正常。
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第七章 假设检验
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§7.2 正态总体参数假设检验
参数假设检验常见的有三种基本形式
(1) H0 : 0 vs H1 : 0
试判断该厂此类铝材的长度是否满足设定要求？
解：这是一个关于正态均值的双侧假设检验问题。 采用t 检验，拒绝域为:
t t (n 1) 1 2
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第七章 假设检验
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若取 =0.05，则 t0.975(4)= 2.776.
现由样本计算得到: x 239.5, s 0.4, 故
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第七章 假设检验
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四、给出拒绝域
确定显著性水平后，可以定出检验的拒绝域W。
在例7.1.1中，若取=0.05,
由于g()关于 单调减，只需要
g
(110)
5(c
110) 4
0.05
成立即可。这给出c 的值为
c 110 0.8u0.05 110 0.81.645 =108.684 检验的拒绝域为 W {x 108.684}
函数算得，即：
g (
)
1
( ), (
),
0 1
对例7.1.1，其拒绝域为W {x，c由} (7.1.3)可以算出 该检验的势函数
g( )
P ( x
c)
P
x
4/5
c
4/5
c
4/5
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第七章 假设检验
这个势函数是 的减函数
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第七章 假设检验
设 x1, , xn 是来自N (, 2 )的样本，考虑关于
的检验问题。检验统计量可选为
u x 0 / n
三种假设的拒绝域形式分别见下图：
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第七章 假设检验
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W {u c} W {u c} W {u c1 或 u c2}
(a H1 : 0 )
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第七章 假设检验
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势函数是 的增函数（见图），只要 g(0 ) 就可保证在 0 时有 g()
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7.2.1 (a) g()的图形
第七章 假设检验
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对单侧检验 H0 : 0 vs 是H类1 : 似 的，0 只是拒绝域变为: W {u u1 }
定义7.1.1 设检验问题 H0 : 0 vs H1 : 1
的拒绝域为W，则样本观测值落在拒绝域内 的概率称为该检验的势函数，记为
x g( ) P ( W ), 0 1 (7.1.3)
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势函数 g( )是定义在参数空间 上的一个函数。 犯两类错误的概率都是参数 的函数，并可由势
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第七章 假设检验
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解：这是一个假设检验的问题，总体X ~N(, 0.22),
检验假设: H0 : 8 v.s. H1 : 8 这个双侧检验问题的拒绝域为
| u | u1 / 2
取置信水平 =0.05，则查表知 u0.975=1.96。
用观测值可计算得
x 8015, u 5 8.15 8 0.2 1.6771
区间：
x
s n
t1
/2 (n
1)
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第七章 假设检验
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反之若有一个如上的1- 置信区间，也可获得 关于 H0 : 的 水0 平为 的显著性检验。
所以: “正态均值 的1- 置信区间”与“关于 H0 : 0的双侧检验问题的水平 的检验”
是一一对应的。
类似地，“参数 的1- 置信上限”与“关于
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(1) 是参数估计问题吗？
(2) 回答“是”还是“否” ，假设检验问题 。
(3) 命题“合金平均强度不低于110Pa”正确
与
0 { : 110}
1 { : 110}
否这仅两涉个及非如空下参两数个集参合数都集称合作：统计假设，
简称假设。
(4) 我们的任务是利用样本去判断假设（命题） “ 0 ”是否成立。这里的“判断”在统
H0 : 110 vs H1 : 110
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第七章 假设检验
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二、选择检验统计量，给出拒绝域形式
由样本对原假设进行判断总是通过一个统计量 完成的，该统计量称为检验统计量。使原假设 被拒绝的样本观测值所在区域称为拒绝域，一
般用W 表示，在例7.1.1中，样本均值 x愈大， 意味着总体均值 也大，因此，合理的拒绝域
第七章 假设检验
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第七章 假设检验
§7.1 假设检验的基本思想与概念 §7.2 正态总体参数假设检验 §7.3 其它分布参数的假设检验 §7.4 分布拟合检验
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§7.1 假设检验的基本思想与概念
7.1.1 假设检验问题
例7.1.1 某厂生产的合金强度服从 N ( ,，16)其中
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第七章 假设检验
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观测数 据情况
总体情况
H 0为真
H1为真
( x1 ,
, xn ) W
犯第一类 错误
正确
(x1, , xn ) W c 正确
犯第二类 错误
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第七章 假设检验
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犯第一类错误的概率 和犯第二类错误的概率 可以用同一个函数表示，即所谓的势函数。势函 数是假设检验中最重要的概念之一，定义如下：
的设计值 为不低于110(Pa)。为保证质量，该
厂每天都要对生产情况做例行检查，以判断生 产是否正常进行,即该合金的平均强度不低于
110(Pa)。某天从生产中随机抽取25块合金，
测得强度值为x1, x2 , …, x25，其均值为 x 108 (Pa)，问当日生产是否正常？
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三、选择显著性水平
检验可能犯以下两类错误：
➢ 其一是 H0为真但样本观测值落在拒绝域中， 从而拒绝原假设 H0，这种错误称为第一类错 误，其发生的概率称为犯第一类错误的概率，
或称拒真概率，通常记为.
➢ 其二是 H0不真（即 H1为真）但样本观测值落 在接受域中，从而接受原假设 H，0 这种错误称 为第二类错误，其发生的概率称为犯第二类错 误的概率,或称受伪概率，通常记为 。
(b) H1 : 0
(c) H1 : 0
第七章 假设检验
第21页
该检验用 u 检验统计量，故称为u 检验。
下面以 H0 : 0 vs 为H例1 :说 明：0
由 P0 u c可 推出具体的拒绝域为 W u u1
该检验的势函数是 的函数，它可用正态分布
写出，具体为
g 1 n 0 u1
第七章 假设检验
第25页
例7.2.1 从甲地发送一个讯号到乙地。设乙地接
受到的讯号值服从正态分布 N (,0.22 ),其中
为甲地发送的真实讯号值。现甲地重复发送同 一讯号5次，乙地接收到的讯号值为
8.05 8.15 8.2 8.1 8.25
设接受方有理由猜测甲地发送的讯号值为8， 问能否接受这猜测？
计学中
称为检验或检验法则。
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7.1.2 假设检验的基本步骤
一、建立假设
在假设检验中，常把一个被检验的假设称为 原假设，用 H0表示，通常将不应轻易加以否 定的假设作为原假设。当 H0被拒绝时而接收 的假设称为备择假设，用 H1表示，它们常常 成对出现。
在例7.1.1中，我们可建立如下两个假设：
其势函数为 g n 0 u
对双侧检验问题(7.2.3)，拒绝域为 W { u u1 2} 其势函数为
g 1 n u n u
0
1 / 2
0
1 / 2
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第七章 假设检验
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7.2.1(b)(c) g() 的图形
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利用这个势函数容易写出犯两类错误的概率
分别为
(
)
c
4/5
,
0
和
(
)
1
c 4/
5
,
1,
由此可得如下结论：
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第七章 假设检验
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➢ 当 减小时，c 也随之减小，必导致的增大； ➢ 当 减小时，c 会增大，必导致 的增大；
说明：在样本量一定的条件下不可能找到一
u 值未落入拒绝域内，故不能拒绝原假设， 即接受原假设，可认为猜测成立。
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第七章 假设检验
第27页
二、 未知时的t 检验
由于 未知，一个自然的想法是将（7.2.4）中
未知的 替换成样本标准差s，这就形成t 检验
统计量
t n x 0 s
(7.2.9)
三种假设的检验拒绝域分别为
(2) H0 : 0 vs H1 : 0 (3) H0 : 0 vs H1 : 0
➢ 当备择假设 H1在原假设 H0一侧时的检验称 为单侧检验；
➢ 当备择假设 H1 分散在原假设 H0两侧时的检验 称为双侧检验。
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第19页
7.2.1 单个正态总体均值的检验
一、已知 时的u 检验
个使 和 都小的检验。
英国统计学家 Neyman 和 Pearson 提出水平
为 的显著性检验的概念。
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第七章 假设检验
第14页
定义7.1.2 对检验问题 H0 : 0 对 H1 : 1
如果一个检验满足对任意的 0， 都有 g( ) ,
则称该检验是显著性水平为 的显著性检 验，简称水平为 的检验。
t = 5 239.5 240 0.4 =2.7951
由于2.7951>2.776，故拒绝原假设， 认为该厂生产的铝材的长度不满足设定要求 。
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第七章 假设检验
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表7.2.1 单个正态总体的均值的检验问题
检验 法
条 件
原假 备择 检验统 设 H0 假设 H1 计量
拒绝域
u检 验
{| t | t1 /2(n 1)}
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第七章 假设检验
第31页
三、假设检验与置信区间的关系
这里用的检验统计量与6.5.5节中置信区间所用 的枢轴量是相似的。这不是偶然的，两者之间 存在非常密切的关系。
设 x1, , xn 是来自正态总体 N (, 2 ) 的样本，现 在 未知场合讨论关于均值 的检验问题。
形如 W {(x1, , xn ) : x c} {x c}
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第七章 假设检验
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正如在数学上我们不能用一个例子去证明一个 结论一样，用一个样本（例子）不能证明一个 命题（假设）是成立的，但可以用一个例子（ 样本）推翻一个命题。因此，从逻辑上看，注 重拒绝域是适当的。事实上，在“拒绝原假设 ”和“拒绝备择假设（从而接收原假设）”之 间还有一个模糊域，如今我们把它并入接收域 ，所以接收域是复杂的，将之称为保留域也许 更恰当，但习惯上已把它称为接收域，没有必 要再进行改变，只是应注意它的含义。
H0 : 0的单侧检验问题的水平 的检验”
t t1 n 1, t t n 1, | t | t1 /2 n 1 .
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第七章 假设检验
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例7.2.2 某厂生产的某种铝材的长度服从正态分 布，其均值设定为240厘米。现从该厂抽取5件 产品，测得其长度为（单位：厘米）
239.7 239.6 239 240 239.2
考虑双侧检验问题:
H0 : 0 vs H1 : 0
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第七章 假设检验
第32页
则水平为的检验接收域为
W
Hale Waihona Puke Baidu
|
x
0
|
s n
t1
/2 (n
1)
它可以改写为
W
x
s n
t1 / 2 (n
1)
0
x
s n
t1 / 2 (n
1)
并且有 P0 (W ) 1 , 这里0并无限制.
若让0 在(- )内取值，就可得到 的1- 置信