二次函数的实际应用(拱桥问题)教师.docx

二次函数中抛物线形与拱桥问题

1有一座抛物线形拱桥，•正常水位时，桥下水面宽度为20m,拱顶距离水面4m.

(1) 在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的表达式;

(2) 在正常水位的基础上，当水位上升h (m)时，桥下水面的宽度为d (m),求出将d 表示为h 的函数表达式；

(3) 设正常水位时桥下的水深为2m,为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于 18m,求水深超过多少米时就会影响过往

船只在桥下的顺利航行.

解：(1)设抛物线的解析式为

y=ax2,

且过点(10, -4)

(3)当 d=18 时，吩10丿4 — , "0.76

0.76 + 2 = 2.76

•••当水深超过2.76m 时会影响过往船只在桥下顺利航行。

2、如图，有一座抛物线形的拱桥，桥下面处在目前的水位时，水面宽AB=10m,如果水 位上升2m,就将达到警戒线CD,这时水而的宽为8m.若洪水到来，水位以每小时0.1m 速度上升，经过多少小时会达到拱顶？

解：以AB 所在的直线为x 轴,AB 中点为原点，建立直角坐标系，则抛物线的 顶点E 在y 轴上，且B 、D 两点的坐标分别为(5, 0)、(4, 2) 设抛物线为y=ax2+k.

(2)设水位上升hm 时, /?-4

水面与抛物线交于点(2 )

h-4 = -—X —

则

25 4 ・ 6/=

1074^7/

由B 、D 两点在抛物线上，有 1& + 上=2

25a +上=0

1

y = -----

故 25

2 ,500 乙250

a7 =~ — X

解这个方程组，得99所以，99

505050500

顶点的坐标为(0,9)则OE= 99-o.i= 9 (h)

500

所以，若洪水到来，水位以每小时O.lm速度上升，经过9

-I?

3、如图4,有一座抛物线形拱桥，抛物线可用y= 25表示..在正常水位时水面AB的宽为20m,如果水位上升3m时，水面CD的宽是10m.

(1)在正常水位时，有一艘宽8m＞高2.5m的小船，它能通过这座桥吗？

(2)现有-辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计).货车正以每小时40km的速度开往乙地，当行驶1小时时，忽然接到紧急通过:前方连降暴雨，造成水位以每小时0. 25m的速度持续上涨(货车接到通知时水位在CD处,当水位达到桥拱最高点0时，禁止车辆通行).试问•:如果货车按原來的速度行驶，能否安全通过此桥?若能，请说明理由.若不能，耍使货车安全通过此桥，速度应超•过每小时多少千米？

x42--LxlO2 « -4

解：⑴由对称性，当x=4时，y= 25 25当x=10时，y= 25 .故正常水位时,

⑵水位由CD处涨到点O的时间为1-0.25=4小时.货车按原来的速度行驶的路程为401 +40x4=20(X280.・•・货车按原來的速度行驶/V能安全通过此桥.设货车速度提高到x千米/时，当4x4-40x1=280时，x=60.・•・要使货车安全通过此桥，货车的速度超过60千米/时。

4、如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小相同。正常水位时，大孔水面宽度AB=20米，顶点M距水面6米(即MO6米)，小孔顶点N距水面4.5米。当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图屮的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度EF。(10m)

5、如图所示，有一座拱桥圆弧形，它的跨度为60米，拱高为18米，当洪水泛滥到跨度只有30米时，就要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PN=4米时，是否采取紧急措施？

小时会达到拱顶.

4

AB距桥面4米，由

16

25

3—>2.5

25 故小船能通过.

解：不采取紧急措施。

其理由如下:

设半径 0A=* V AB=60 PM=18

A AM=30 0M=X ~ 18

解得：X =34 即：OA=34OM=16 连接 OA ,贝lj ： OA =34

ON=(PM —PN)+OM=(18—4)+16=30

・••在Rt/\A ON 中，由勾股定理得：A. N 2 + 302 = 34

解得：A N=16 贝I 」：AB = 32>30

所以不采取紧急措施。

6、有一座抛物线型拱桥，其水面宽AB 为18米，拱顶O 离水面AB 的距离OM 为8米， 货船在水面上的部分的横断面是矩形CDEF,如图建立平面直角坐标系.

（1）求此抛物线的解析式；

⑵如果限定矩形的长CD 为9米，那么矩形的高DE 不能超过多少米，才能使船通过拱桥? ⑶若设EF=a,请将矩形CDEF 的而积S 用含a 的代数式表示，并指出a 的取值范围.

解:(1)

⑵ VCD=9

9

••・点E 的横坐标为2

•••点E 的坐标为（2 , -2）,因此耍使货船能通过拱桥，则货船最大高度不能超过92=6米

8a-—a 3(0

・・・S 矩形CDEF= 81

7、（2003-黄石）屮华民族的科学文化历史悠久、灿烂辉煌，我们的祖先儿千年前就能在生 产实践中运用数学.1300多年前，我国隋代建筑的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形（如图）.经 测量，桥拱下的水面距拱顶6 m 时，水面宽34.64 m,已知桥拱跨度是37.4 m,运用你

所学的知识计算出赵州桥的大致拱高.（运算时取37.4=14 ,

37. 4 tn

・••在RtAAOM 中，由勾股定理，得: 302 +("18)2 *

—a

（3）由EF=a,贝IJE 点坐标为（2 討,此时E /

卜詞e 討 8

-—X 51 则点E 的纵坐标为