第3节 正态总体下的抽样分布定理
6.3抽样分布定理
2． ．
σ σ
2 1
2 S12 S2 2 2
～ F ( n1 − 1, n2 − 1) .
σ 12
2 σ2
N ( µ1 − µ 2 , + ) 3. X − Y ～ n1 n2
10
证明
1．因为 ．
X ~ N ( µ1 ,
独立， 且 X 与Y 独立，则
σ
2
n1
) ，Y ~ N ( µ 2 ,
σ
2
n2
U V / ( n1 + n2 − 2)
( X −Y ) − (µ − µ ) ~ t (n + n =
1 2
Sω
1 1 + n1 n2
1
2
−2)
13
2．因为 ．
( n1 −1) S
σ12
2 1
( n2 − 1) S ~ χ ( n1 − 1)， 2
2
2 2
σ2
~ χ 2 ( n2 − 1)，
且它们相互独立，按 F 分布的定义即得 且它们相互独立，
2
1 n 1 n E ( X ) = ∑ E ( Xi ) = ∑ µ = µ n i =1 n i =1
1 n 1 n 2 σ2 D( X ) = 2 ∑ D ( X i ) = 2 ∑σ = n i =1 n i =1 n
于是
X ~ N (µ ,
X −µ σ/ n
σ2
n
)
从而
～ N (0,1)
( n1 − 1) S12 / ( n2 − 1) S
σ
2 2
σ
2 1
( n1 − 1)
2 2
/ ( n2 − 1)
=
概率论与数理统计6.5正态总体下的抽样分布
已知 未知
已知，用S
未知，用S
*
N分布（定理6.5）
t(n-1)分布（定理6.6）
F (n1, n2 )分布（定理6.7） F (n1 1, n2 1)分布（定理6.8）
§6.5正态总体下的抽样分布
定理 6.5.1 设 X1, X 2 , , X n 为来自正态总体
N(, 2 ) 的简单随机样本, X 是样本均值,
Xi
2
35.2
P
20 i 1
Xi
2
7.4
0.975 0.005 0.97
17
例5：设某厂的灯泡使用寿命X ~ (1000, 2)，单位小时
现抽样9个样本，样本方差为1002小时2。求P X 1062
解：T
X S*
~
t(n 1)
n
P
X
1062
P
X 1000 100 3
1)
n
2
E(S 2 )
2
1 n
n i1
E( Xi
)( X
) (n 1) 2
n
2 E[
1 n
n i1
(
Xi
)(
X
)]
(n
1)
n
2
2E[( X )2 ] (n 1) 2
n
2D X (n 1) 2
n
2 2 (n 1) 2 (n 1) 2
n
n
n
E(S *2 ) E( n S 2 ) n E(S 2 ) 2
P
1
2
20 i1
Xi X
2
35.2
P
1
2
20 i1
Xi X
03 第三节 正态总体的抽样分布
第三节 正态总体的抽样分布分布图示★ 抽样分布★ 单正态总体的抽样分布★ 例 1 ★ 例 2 ★ 例 3★ 双正态总体的抽样分布★ 例 4 ★ 例 5★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题12-3内容要点一、抽样分布有时, 总体分布的类型虽然已知, 但其中含有未知参数,此时需对总体的未知参数或对总体的重要数字特征(如数学期望、分差等) 进行统计推断, 此类问题称为参数统计推断.在参数统计推断问题中, 常需利用总体的样本构造出合适的统计量, 并使其服从或渐近地服从已知的总体分布. 统计学中泛称统计量分布为抽样分布.二、单正态总体的抽样分布设总体X 的均值μ,方差为2σ,n X X X ,,,21 是取自X 的一个样本,X 与2S 分别为该样本的样本均值与样本方差, 则有 ,)(,)(2σμ==X D X E )(2S E .2σ=定理1 设总体),,(~2σμN X n X X X ,,,21 是取自X 的一个样本, X 与2S 分别为该样本的样本均值与样本方差, 则有 (1) )/,(~2n N X σμ; (2) ).1,0(~/N n X U σμ-= 定理2 设总体),,(~2σμN X n X X X ,,,21 是取自X 的一个样本, X 与2S 分别为该样本的样本均值与样本方差, 则有(1) 2χ=);1(~)(11212222--=-∑=n X X S n n i iχσσ(2) X 与2S 相互独立.定理3 设总体),,(~2σμN X n X X X ,,,21 是取自X 的一个样本, X 与2S 分别为该样本的样本均值与样本方差, 则有 (1) )(~)(121222n X n i i χμσχ∑=-=(2) ).1(~/--=n t n S X T μ三、双正态总体的抽样分布定理 4 设),(~211σμN X 与),(~222σμN Y 是两个相互独立的正态总体, 又设1,,,21n X X X 是取自总体X 的样本, X 与21S 分别为该样本的样本均值与样本方差. 2,,,21n Y Y Y 是取自总体Y 的样本, Y 与22S 分别为此样本的样本均值与样本方差. 再记2w S 是21S 与22S 的加权平均, 即.2)1()1(212222112-+-+-=n n S n S n S w 则 (1) );1,0(~//)()(22212121N n n Y X U σσμμ+---= (2) );1,1(~212221212--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n F S S F σσ(3) 当22221σσσ==时, ).2(~/1/1)()(212121-++---=n n t n n S Y X T w μμ例题选讲单正态总体的抽样分布例1 (E01) 设),2,21(~2N X 2521,,,X X X 为X 的一个样本,求:(1) 样本均值X 的数学期望与方差; (2) }.24.0|21{|≤-X P解 )1( 由于),2,21(~2N X 样本容量,25=n 所以,252,21~2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛N X 于是,21)(=X E .4.0252)(22==X D )2( 由),4.0,21(~2N X 得),1,0(~4.021N X - 故 ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤-=≤-6.04.021}24.0|21{|X P X P .4514.01)6.0(2=-Φ=例2 假设某物体的实际重量为μ, 但它是未知的. 现在用一架天平去称它, 共称了n 次,得到n X X X ,,,21 . 假设每次称量过程彼此独立且没有系统误差, 则可以认为这些测量值都服从正态分布),(2σμN , 方差2σ反映了天平及测量过程的总精度, 通常我们用样本均值X去估计μ, 根据定理1, .,~2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n N X σμ 再从正态分布的σ3性质知%.7.993||≥⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-n X P σμ 这就是说, 我们的估计值X 与真值μ的偏差不超过n /3σ的概率为99.7%,并且随着称量次数n 的增加, 这个偏差界限n /3σ愈来愈小. 例如若,1.0=σ10=n . 则%,7.99}09.0|{|101.03||≥<-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯<-μμX P X P 于是我们以99.7%的概率断言, X 与物体真正重量μ的偏差不超过0.09.如果将称量次数n 增加到100, 则%.7.99}03.0|{|1001.03||≥<-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯<-μμX P X P 这时,我们以同样的概率断言, X 与物体真正重量μ的偏差不超过0.03.例3 (E02) 在设计导弹发射装置时, 重要事情之一是研究弹着点偏离目标中心的距离的方差.对于一类导弹发射装置, 弹着点偏离目标中心的距离服从正态分布),(2σμN , 这里22100米=σ, 现在进行了25次发射试验, 用2S 记这25次试验中弹着点偏离目标中心的距离的样本方差. 试求2S 超过502米的概率.解 根据定理2, 有),1(~)1(222--n S n χσ 于是 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧->-=>222250)1()1(}50{σσn S n P S P ⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯>=1005025)24(2χP }12)24({2>=χP }401.12)24({2>>χP .975.0=(查表)于是我们可以以超过%5.97的概率断言, 2S 超过50 米2.双正态总体的抽样分布例4 (E03) 设两个总体X 与Y 都服从正态分布)3,20(N ，今从总体X 与Y 中分别抽得容量15,1021==n n 的两个相互独立的样本, 求}.3.0|{|>-Y X P解 由题设及定理4, 知),1,0(~5.0153103)2020()(N Y X Y X -=+--- 于是}3.0|{|>-Y X P ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤--=5.03.05.01Y X P ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ-=15.03.021.6744.0)42.0(22=Φ-=例5 (E04) 设总体X 和Y 相互独立且都服从正态分布);3,30(2N251201,,;,,Y Y X X 分别来自总体X 和Y 的样本, ,,Y X 21S 和22S 分别是这两个样均值和方差. 求}.4.0/{2221≤S S P解 因,3221==σσ 由定理4, ),125,120(~/2221--F S S 即).24,19(~/2221F S S因F 分布表中没有,191=n 但由F 分布的性质, 知),19,24(~/2122F S S于是 }5.2/{}4.0/{21222221≥=≤S S P S S P查表有,45.2)19,24(025.0=F 即,025.0}45.2)19,24({=>F P 故.025.0}4.0/{2221≈≤S S P课堂练习1. 设1521,,,X X X 为正态总体)3,0(2N 的一个样本, X 为样本均值, 求: .235)(65.361512⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-≤∑=i i X X P2. 设n X X X ,,,21 为总体),(~2σμN X 的一个样本, X 和2S 为样本均值和样本方差.又设新增加一个试验量11,++n n X X 与n X X ,,1 也相互独立, 求统计量11+-=+n n S XX U n 的分布.。
正态总体下的抽样分布
§1.2数理统计中常用的分布正态总体是最常见的总体, 本节介绍的几个抽样分布均对正态总体而言.1.标准正态分布2. 2分布3.t分布4.F分布o xϕ(x )定义:设X ~N (0,1),对任给的α, 0<α<1,称满足条件1、标准正态分布αϕαα==>⎰+∞dx x z X P z )(}{的点z α为标准正态分布的上α分位点.z αα例：求z0.05解:P{X≤z0.05}=1−P{X>z0.05}=1−0.05=0.95∵P{X≤1.64}=0.9495P{X≤1.65}=0.9505∴z0.05≈(1.64+1.65)/2=1.645公式: Φ(zα)=1−α常用数字575.296.1645.1005.0025.005.0===zzz定义:设X i ~N (0,1) (i =1,2,...,n ), 且它们相互独立,则称随机变量2、χ2分布221nii X χ==∑服从自由度为n 的χ2分布,记为χ2~χ2(n ).χ2分布最常用的是拟合优度检验.其中，在x > 0时收敛，称为Γ函数，具有性质1()tx te dtx +∞−−Γ=⎰(1)(),(1)1,(1/2)(1)!()x x x n n n N πΓ+=ΓΓ=Γ=Γ+=∈一般自由度为n 的χ2(n )的密度函数为12221,0()2()20,xnnn ex ng x x x −−⎧>⎪⎪=Γ⎨⎪⎪≤⎩χ2分布的密度函数图χ2~χ2(n)D Y =Di=1nX i 2=i=1n D(X i 2)=i=1n [E(X i 4)−(E(X i 2))2]=i=1n2=2n .χ2分布的基本性质（1）设Y 1~χ2 (m ), Y 2~χ2 (n ), 且Y 1 , Y 2 相互独立，则χ2 分布的可加性（2）若Y ~χ2 (n ), 则E (Y )=n ，D (Y )=2n.= 1;)(~221n m Y Y ++χY 1=i=1mX i 2，Y 2=i=m+1m+nX i 2，)(~2n m +χY 1+Y 2=i=1m+nX i2E Y =Ei=1nX i 2=i=1nE(X i 2)=i=1n[D(X i )+(E(X i ))2]=i=1n1=n ,E(X i 4)=12πන−∞+∞x 4e −x 22dx =3故（3）设X 1,…, X n 相互独立,且都服从正态分布N (μ,σ2),则;)(~)(12122n X Y ni i χμσ∑=−=（4）若Y ~χ2 分布,则当n 充分大时,近似服从N (0,1).n n Y 2−应用中心极限定理oχ2α(n )xf (x )α设χ2~χ2(n ),其密度函数为f (x ),对于给定的正数α(0<α<1),称满足条件αχχαχα==>⎰+∞dx x f n P n )(222)()}({的点χ2α(n )为χ2(n )分布的上α分位点.χ2分布的上α分位点当n 充分大时,22)12(1)(−+≈n z n ααχ例：设X ~N (μ,σ2), (X 1,X 2,...,X 16)是取自总体X 的样本,求概率:}2)(1612{216122σμσ≤−≤∑=i iX P 解:∵X 1,X 2,...,X 16相互独立且)1,0(~N X i σμ−)16(~)(21612χσμ∑=−∴i i X}2)(1612{216122σμσ≤−≤∑=i iX P }32)(8{1612≤−≤=∑=i i X P σμ}32)({}8)({16121612>−−≥−=∑∑==i i i i X P X P σμσμ≈0.95−0.01=0.94定义:设X ~N (0,1)，Y ~χ2(n )，且X 与Y 相互独立,则称随机变量3、t 分布服从自由度为n 的t 分布,记为T ~t (n )./X T Y n=T 的密度函数为：22112()1,.2n n n t x x n n n x π+−+⎛⎫Γ ⎪⎛⎫⎝⎭=+−∞<<∞ ⎪⎛⎫⎝⎭Γ ⎪⎝⎭1908年英国统计学家W.S. Gosset （笔名Student ）t分布的密度函数图T~t(n)t 分布的上α分位点设T ~t (n ),其密度函数为f (x ),对于给定的正数α(0<α<1),称满足条件(){()}()t n P T t n f x dt ααα+∞>==⎰的点t α(n )为t 分布的上α分位点.f (x )xt α(n )αt *0f (x )1-αx-t *t 分布的双侧α分位点设T ~t (n ),其密度函数为f (x ),对于给定的正数α(0<α<1),称满足条件*{||}1P T t α<=−的数t *为t 分布的双侧α分位点.α/2t 分布的密度函数f (x )是偶函数，故**()()P T t P T t ≤−=≥***(||)()P T t P t T t <=−<<*(),2P T t α≥=于是得即*()2P T t α>=**()()P T t P T t =<−≤−**(1())()P T t P T t =−≥−≥*12()1,P T t α=−≥=−= t α/2(n )t 分布的性质(1) 其密度函数f (x )是偶函数(3) f (x )的极限为N (0,1)的密度函数,即221lim ()()2x n f x x e φπ−→∞==(2)t 1−α(n )= −t α(n )当n >45时,t α(n )≈z α例：设X , Y 1,Y 2,Y 3,Y 4 相互独立,且X ～N (2,1),令Y i ～N (0, 4),i =1, 2, 3, 4 ,解：∵X -2～N (0, 1),～t (4),即Z 服从自由度为4 的t 分布.求Z 的分布.由t 分布的定义Y i /2～N (0, 1),i = 1, 2, 3, 4 . ,)2(4412∑=−=i iY X Z ∑=−=412)2(4i i Y X Z 4)2(2412∑=−=i i Y X例：设随机变量X 与Y 相互独立，X ~ N (0,16),Y ~ N (0,9) , X 1, X 2,…, X 9与Y 1, Y 2 ,…, Y 16分别是取自X 与Y 的简单随机样本,求统计量所服从的分布.解：)169,0(~921⨯+++N X X X )1,0(~)(431921N X X X +++⨯ 2162191YY XX Z ++++=从而16,,2,1,)1,0(~31=i N Y i )16(~3122161χ∑=⎪⎭⎫ ⎝⎛i i Y 2162221921Y Y Y X X X ++++++ ()16314311612921∑=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⨯=i i Y X X X )16(~tt分布用于在小样本(n<30)场合下的正态分布(大样本(n≥30)场合下可以用正态分布来近似),有时候在信息不足的情况下,只能用t分布,比如在总体方差不知的情况下,对总体均值的估计和检验通常要用t统计量.12222,()2(),0()()()220,0m n m m nm n x x m nm n n m x m n f x x +−−+⎧Γ⎪+>⎪=⎨ΓΓ⎪⎪≤⎩F 的密度函数为:所服从的分布为第一自由度为m ，第二自由度为n 的F 分布，记作F ~ F (m , n ).4、F 分布则称统计量F 分布多用于比例的估计和检验！nY mX F =定义：设随机变量X 与Y 独立，且X~χ2(m),Y~χ2(n),F 分布的密度函数图F~F(m,n)F 分布的上α分位点设F ~F (m ,n ),其密度函数为f (x ),对于给定的正数α(0<α<1),称满足条件ααα==>⎰+∞dx x f n m F F P n m F ),()()},({的点F α(m ,n )为F 分布的上α分位点.0f (x )F α(m ,n )αxF 分布的性质(1) 若F ~F (m ,n )，则(2)()~,1F F n m ),(1),(1m n F n m F αα=−}),(11{1n m F F P α−≤=∵1−α=P {F ≥F 1−α(m ,n )}}),(11{11n m F F P α−>−=αα=>⇒−}),(11{1n m F F P ),(),(11m n F n m F αα=⇒−（3）若X ~ t (n ), 则X 2~ F (1, n );mX nY F=1例：设F ~ F (24, 15) ,求F 1,F 2,F 3,使其分别满足P (F >F 1 )= 0.025 , P (F <F 2 )= 0.025 , P (F >F 3 )= 0.95 .解：(1)由m =24，n =15，α= 0. 025 ，查P192 附表6(2)无法直接查表获得,但由F 分布性质知1/F ~F (15, 24)，查附表6知(3) ∵F 3 =F 0. 95(24,15), 查附表6知：∴ F 2 = 1/2.44 = 0.41 ; 由性质(2)知,025.0)11()(22=>=<F F P F F P 1F 2=F 0.025(15,24)=2.44⇒P(F <1/2.44)=0.025F 0.05(15,24)=2.11,,)24,15(1)15,24(95.0195.0−=F F .474.011.213==∴F 知F 1= F 0.025 (24, 15)= 2.70 ;抽样分布定理1. 单个正态总体的抽样分布2. 两个正态总体的抽样分布定理：设X 1,X 2,...,X n 是来自正态总体N (μ,σ2)的样本,则1. 单个正态总体的抽样分布(1)),(~2n N X σμ)1,0(~N n X σμ−⇒(2)与S 2相互独立X (3))1(~)1(222−−n S n χσ(4))1(~−−n t n S X μ1σ2n(X i −μ)2~χ2(n)(5)(1)∑==ni i X n X 11)1,0(~N n X σμ−⇒为n 个相互独立的正态X ∴服从正态分布∑==ni i X E n X E 1)(1)(=μ∑==n i i X D n X D 12)(1)(n2σ=),(~2n N X σμ∴随机变量的线性组合(4)),1,0(~N n X σμ− 且它们相互独立由t 分布的定义,)1(~1)1(22−−−−n t n S n nX σσμ)1(~−−n t n S X μ即22)1(σS n −~χ2(n −1)例：设(X 1,X 2,…,Xn )是取自总体X 的样本, 是样本均值,如果总体X ~N (μ,4),则样本容量n 应取多大才能使X 95.0}1.0|{|≥≤−μX P 解:)1,0(~ N n X σμ− }21.02||{}1.0|{|n n X P X P ≤−=≤−∴μμ}05.02)(05.0{n X n n P ≤−≤−=μ)05.0()05.0(n n −Φ−Φ=1)05.0(2−Φ=n ≥0.95975.0)05.0(≥Φ⇒n 96.105.0≥⇒n ⇒n ≥1536.64⇒n ≥1537解：),1(~)1(222−−n S n χσ由),,(~2nN X σμ又()⎪⎭⎫⎝⎛+−+n n N X X n 211,0~σ)1,0(~11N n n X X n +−+σ故212(1)~(1)1(1)n X Xn n St n n n σσ+⎛⎫−−−⎪+−⎝⎭于是)1(~11−+−+n t n nS X X n 即例：总体X ~N (μ,σ2)，(X 1,X 2,…,X n ,X n +1)为样本，，求X n+1−തX S n n+1的分布.S 2=1n −1i=1n(X i −തX)2തX=1n i=1nX i定理：设总体X ~N (μ1,σ12),总体Y ~N (μ2,σ22).X 1,X 2,...,是总体X 的样本,Y 1,Y 2,...,是总体Y 的样本, 且这两个样本相互独立.则1n X 2n Y 2. 两个正态总体的抽样分布(1)),(~22212121n n N Y X σσμμ+−−(2))1,1(~2122222121−−n n F S S σσ)2(~11)()(212121−++−−−n n t n n S Y X ωμμ其中2)1()1(212222112−+−+−=n n Sn S n S ω称为混合样本方差.进一步,若σ12=σ22 =σ2,有(3)),(~221221n n N Y X σσμμ+−− )1,0(~11)()(2121N n n Y X +−−−∴σμμ2211)1(σSn −~χ2(n1−1),2222)1(σSn −~χ2(n2−1)且它们相互独立22222211)1()1(Sn Sn −+−∴~χ2(n1+n 2−2)由t 分布的定义,2)1()1(11)()(21222222112121−+−+−+−−−n n Sn Sn n n Y X σσσμμ22221121112)1()1()()(n n n n Sn S n Y X +−+−+−−−−μμ即~t (n 1+n 2−2)~t (n 1+n 2−2)小结1.理解总体、个体、样本和统计量的概念,掌握样本均值和样本方差的计算及基本性质2.掌握 2分布、t分布、F分布的定义,会查表计算3.理解正态总体的某些统计量的分布。
5 3正态总体的常用抽样分布
二. 两个正态总体的样本均值差和样本方差比的分布
定理3 设
与பைடு நூலகம்
分别为来自
正态总体
和
的样本, 且这两
个样本相互独立. 设
分别是两个样本的均值,
分别是两个样本的方差, 则有:
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(1)
(2)
特别地, 当
时,
(3) 当
已知时,
返回 上页 下页 结束
(4) 当
未知时,
助于培养学生的核心素养。
不足之处
文章难度相对较高，基础能力低的学生难以适应该教学。
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苏辙、曾巩合称“唐宋八大家”。后人又将其与韩愈、柳宗元和苏轼合称“千古文章四大家”。
关于“醉翁”与“六一居士”：初谪滁山，自号醉翁。既老而衰且病，将退休于颍水之上，则又更号六一居士。客有问曰：“六一何谓也？”居士曰：“吾家藏书一万卷，集录三代以来金石遗文一千卷，有琴一张，有棋一局，而常置酒一壶。”客曰：“是为五一尔，奈何？”居士曰：“以吾一翁，老于
情淋漓尽致，“也”“而”的反复运用，形成回环往复的韵律，使读者在诵读中获得美的享受。(3)文章写景优美，又多韵律，使人读来不仅能感受到绘画美，也能感受到韵律美。目标导学七：探索文本虚词，把握文言现象虚词“而”的用法用法
文本举例表并列
1.蔚然而深秀者；2.溪深而鱼肥；3.泉香而酒洌；4.起坐而喧哗者表递进
水落而石出者，山间之四时也。直译法：那太阳一出来，树林里的雾气散开，云雾聚拢，山谷就显得昏暗了，朝则自暗而明，暮则自明而暗，或暗或明，变化不一，这是山间早晚的景色。野花开放，有一股清幽的香味，好的树木枝叶繁茂，形成浓郁的绿荫。天高气爽，霜色洁白，泉水浅了，石底露出水
正态总体的抽样分布
2π −∞
−
3
x2 ∞−
x2
∫ xe 2 d (− ) = −
2π −∞
2
∫ 3
∞
x2 −
xde 2
=−
2π −∞
3 2π
⎛ x2 −
⎜⎜ xe 2 ⎝
+∞
⎞ ⎟⎟ ⎠ −∞
∫ ∫ + 3
x2 ∞−
e 2 dx =
3
x2 ∞−
e 2 d(
x
)=
3
2π −∞
π −∞
2
f
(x)
χ
2 n
分布分位点
对于给定的 α∈(0,1), 称满足条件
{ } ∫ α P
χ
2 n
>
χ
2 n
(α
)
∞
=
f (x)dx =
χn2 (α )
的点 χn2(α)为 χn2分布的上(右)α分位点。
χn2 分布上α 分位点有表可查见附表4。
n = 10 α
χ•210(0.005)
例如 由P215查得
P
(
χ
由度为n的F分布，F ~ Fm,n 又称：df1 = m, df2 = n.
其密度函数为：
f (x)
=
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
Γ
⎛ ⎜⎝
m
+ 2
Γ
⎛ ⎜ ⎝
m 2
⎞ ⎟ ⎠
Γ
0，
n⎞ ⎟⎠
⎛n⎞
⎛ ⎜⎝
m n
π
⎞2 ⎟ ⎠
x
π 2
−1
⎛⎜1
+
⎝
m n
概率论抽样分布
例1-1 设X1, X2,, Xn为来自正态总体N (, 2 )
的一个简单随机样本，则样本均值X n
服从＿＿＿＿，又若 ai为常数，则 ai X i i 1
服从＿＿＿＿. 解 因同为样相互独立的正态随机变量的线性和服从
正态分n布
n
n
n
E[
因而
i
ai X
1EX
i]
, DiX1
ai ,D2[i
确定样本容量n，使得两样本均值的距离
超过的概率不超过0.01.
解
由于X
~
N(,
2
), i
1,2,且独立，故
X1
X2
n ~
N (0, 2 2
n
)
于是
P(
X1
X2
)
P(
X1 X2
2 2 / n
) 2 2 / n
2[1 ( n)] 0.01 2
等价于
n
n
Φ( ) 0.995 2
2 u10.995 2.575 n 13.26
n
X n1
~
N (,
2)
所以，由正态分布的线性性得
因此
(
X n1
X
)
~
N (0, n n
1
2)
( Xn1 X ) n ~ N (0,1)
n1
从而有
[( Xn1 X ) n ]2 ~ 2(1)
n1
另一方面，有样本方差的性质知
nSn2
2
~
2(n
1)
且
[( Xn1 X )
n
n
]2 1
例2-2
设X
1
,
X
正态总体的抽样分布 (精简版)
正态总体的抽样分布（一）2χ分布设12,,,n X X X L 是来自标准正态总体的样本，则222212()n X X X n χ+++L : 其中2()n χ分布的概率密度为12221, 0()2()20, Γn y n y e y n f y --⎧>⎪⎪=⎨⎪⎪⎩其他 图形：见课本第139页图6-7。
2χ分布的性质：（1）可加性： 2221212+ ()n n χχχ+:（2）2()n χ分布的期望=n 和方差=2n记忆练习：记忆2()n χ分布的概率密度。
建议抄写若干遍，直到熟悉为止。
设2(0,1), ()X N Y n χ::相互独立， 则()t n : 其中t (n )分布的概率密度为1221()2()1, ()2Γn n t h t t n n +-+⎛⎫=+-∞<<∞ ⎪⎝⎭图形：对称的。
当n 足够大时，近似于标准正态分布。
性质： t (n )分布的极限是标准正态分布。
记忆练习：记忆()t n 分布的概率密度。
设2212(), ()U n V n χχ::，则1122/(,)/U n F n n V n : 其中12(,)F n n 分布的概率密度为1112112122212122()()2,>0()()()[1]220,ΓΓΓn n n n n n n yn y y n n n y n ψ-+⎧+⎪⎪⎪=⎨+⎪⎪⎪⎩其他图形：与2χ分布的密度曲线类似。
记忆练习：记忆12(,)F n n 分布的概率密度。
（四）正态总体样本均值与样本方差的分布设12,,,n X X X L 是来自正态总体2(,)N μσ 的样本。
该样本的均值和方差为 11ni i X X n ==∑ 22221111()()11n n i i i i S X X X X n n ===-=---∑∑ 关于X 和2S 需牢记如下5个重要结论：1. 2(,/)X N n μσ:2. 222(1)(1)n S n χσ--:3. X 与2S 相互独立。
正态总体的抽样分布
⑴ nX 2 2 n 1;
⑵
⑶
D
D
X2
X2
2 n2
;
S2
2 n2
2. n 1
双正态总体的抽样分布
设 X1, X 2 ,
, Xn
是取自总体
X ~N
1
,ห้องสมุดไป่ตู้
2 1
的一个简单随机样本, Y1,Y2 , ,Ym 是取自总体
P
X 40 5/ n
n 5
2
n 5
1,
n 5
0.975
n 5
u0.975
1.96
n 96.04.
所以, 取 n 97.
例2 设 X1, X 2 , , X n 是取自总体 X ~ N 0,1
X
=
1 n
n i 1
Xi
~
N
,
2
n
即
n X ~ N 0,1
证明(2)
由于 Xi ~ N , 2 ,
即：Xi ~ N 0,1
根据卡方分布的定义，可得
n
i1
Xi
2
=
1
2
n
Xi
i 1
2
⑴抽取容量为36的样本, 求 P 38 X 43 ;
⑵问样本容量 n 多大时, 才能使 P X 40 1 0.95 ?
解⑴ 由抽样分布及 n 36 可知
X
正态总体下的抽样分布
中心极限定理是抽样分布的理论基础， 它表明无论总体分布是什么，只要样 本量足够大，样本均值的分布近似正 态分布。
样本均值的性质
无偏性
样本均值的数学期望等于总体均值， 即$text{E}(bar{x}) = mu$。
最小方差性
在所有可能的样本统计量中，样本均 值具有最小的方差，即 $text{Var}(bar{x}) = frac{sigma^2}{n}$。
数学表达式
正态分布的数学表达式为$f(x) = frac{1}{sqrt{2pisigma^2}} e^{-frac{(x-mu)^2}{2sigma^2}}$，其中$mu$是均值， $sigma$是标准差。
抽样分布的概念
抽样分布
抽样分布描述的是从某一总体中随机 抽取一定数量的样本后，这些样本统 计量（如均值、方差等）的分布情况。
大样本下样本方差的分布
卡方分布
在大样本下，样本方差通常呈现卡方分布。
方差的无偏估计
在大样本下，样本方差是总体方差的无偏估计。
方差的同方差性
在大样本下，来自不同总体的样本方差通常具有同方差性，即它们具有相同的 方差。
04
小样本下的抽样分布
小样本的定义
小样本是指从总体中随机抽取的样本 量较小，通常在30个样本以下。
THANKS
感谢观看
正态分布的性质
Байду номын сангаас01
02
03
集中性
正态分布的曲线关于均值 所在直线对称，数据值主 要集中在均值附近。
均匀性
正态分布的曲线在均值两 侧均匀下降，且下降速度 逐渐减缓。
平坦性
正态分布的曲线在均值的 两侧逐渐接近水平线，表 现出平坦的趋势。
正态总体的抽样分布
解 ( X Y ) (6 5) ~ N (0,1)
1/10 1/10
P( X Y 1.3)
P
(X Y ) (6 5) 1/10 1/10
1.3 (6 5) 1/10 1/10
P
(X
Y) 1/10
(6 5) 1/10
0.67
(0.67)
0.7486
定理5 : 设总体X 与Y相互独立, ( X1, X 2,..., X nX )是来自
1 nX (X
nX 1 i1
Xi )2
(Y1,Y2 ,...,YnY
)是来自总体Y
~
N (Y
,
2 Y
)的一个样本,
Y
1 nY
nY
Yi ,
i 1
SY2
1 nY 1
nY i 1
(Y
Yi )2
定理4： ( X Y ) (X Y ) ~ N (0,1)
2 X
/ nX
2 Y
/ nY
证
由于
X
~
N
~
N
(
X
,
2 X
)的一个样本,
S
2 X
为其样本方差;
(Y1,Y2 ,...,YnY
)是来自总体Y
~
N
(
Y
,
2 Y
)的一个样本,
SY2为其样本方差;则
F
S
2 X
SY2
2 Y
2 X
~ F(nX
1, nY
1)
特别,当σX2 = σY2时,有
F
S
2 X
SY2
~
F (nX
1, nY
1)
证 由于
正态总体的抽样分布
n
(d) S 2 =
1
2 2 (X -X) ~ (n) i 2 i=1
n
请回答：设总体X~N（μ，σ2），X1，X2，…，X8为
一个样本，则（
（1）
）成立。
~ t (8) (2) ~ t (7)
(3)
~ t (7)
(4)
~ t (8)
请回答：设 是样本均值，记
是来自正态总体N(μ ，σ 2）的样本，
设 X: 1. 2. 若 X~N（0，1），则 X1，X2，…，Xn
四大统计量
两个正态总体
Y ~ N (μ2,σ2 2) ： Y1，Y2，…,Yn2 ，它们相互独立，
（1） 若 X ~ N (μ1,σ12) ： X1，X2，…,Xn1
则
（2）
当σ12 =σ22 =σ2时，
（ 3）
请回答： 设X1,X2,X3,X4是总体N（0，1）的样本，则：
Y ~ N (μ2,σ2 2) ： Y1，Y2，…,Yn2 ，它们相互独立，
则
定理3
(两总体样本均值差的分布)
2 2
且 设 X ~ N (1 , )，Y ~ N (2 , )，
X 与Y 独立,
X 1 , X 2 , …,
X n1
2 2
是取自X的样本, Y1,Y2,…,
Yn2
是
取自Y的样本, 均值, S 2
的点
为
分布的“上
百分位点”。
查t 分布表，附表3 例
t的分布的双侧α 分位点为满足
取
当
时
分布上侧α 分位点
分布下侧α 分位点
分布双侧α 分位点
四、F分布 1.定义: 设
2.5 正态总体的抽样分布
Yi ai j , i 1, 2, , n,
j 1
故Y1，Y2，...，Yn仍为正态随机变量，且
E (Yi ) aij E ( Z j ) 0.
j 1
n
由
0, i j , cov( Z i , Z j ) ij 1, i j ,
n n
i 1, 2, , n,
53.852 50.852 (1.7143) (1.1429) 6.3/ 6 6.3/ 6 0.8239
定理2 设 X ~ N ( , 2 ), X 1 , X 2 , , X n 为X的样本，则
2
证明
Yi N (0,1),
而
i 1, 2, , n. 1 Z j nZ , n
n i 1
Y1 a1 j Z j
j 1 j 1 n
n
n
2 T T T T T 2 Y Y Y ( AZ ) ( AZ ) Z ( A A ) Z Z Z Z i i, i 1
2 例6 设总体 X ~ N ( , )，从总体中抽取样本 X 1 , X 2 , , X n , X n 1 , 记 n 2 1 n 1 2 X n X i , Sn Xi X , n i 1 n 1 i 1 证明统计量
n X n 1 X n t (n 1). n 1 Sn
X 1 , X 2 , , X n为X的样本， 定理4 设总体 X ~ N ( , 2 ) ， 样本均值和样本方差分别为 X 和 S 2 ，则随机变量 X t n ~ t ( n 1). S X N 0,1， 证明 根据定理1，可得 u / n
生物统计学课件-3正态分布和抽样分布
的信息。
生物量分布
生物量在不同生物个体 之间存在差异，其生物 量通常服从正态分布。 通过对生物量分布进行 分析，可以了解生物群 落的结构和生态特征。
02
抽样分布
抽样分布的定义
抽样分布
抽样分布的特性
感谢您的观看
THANKS
实例一：人类身高数据的正态分布分析
总结词
人类身高数据呈现正态分布，即大多数人的身高集中 在平均值附近，少数人偏离平均值。
详细描述
通过对大量人群的身高数据进行统计分析，可以发现 这些数据呈现正态分布的特点。正态分布是一种常见 的概率分布，其特点是数据点呈现钟形曲线，平均值 处达到峰值，两侧逐渐降低。在人类身高数据中，平 均身高即为正态分布的均值，大多数人的身高都接近 这个平均值，只有少数人身高过高或过低。这种分布 反映了人类身高的自然变异和遗传因素。
描述样本统计量（如样本均值、样本 比例等）如何围绕总体参数（如总体 均值、总体比例等）分布的统计规律。
与总体参数密切相关，样本量越大， 抽样分布越接近总体参数。
抽样分布的形成
通过多次从总体中随机抽取样本，并 观察样本统计量的变化，可以形成抽 样分布。
抽样分布的性质
中心极限定理
无论总体分布是什么形状，当 样本量足够大时，样本统计量
实例二：人类基因频率的抽样分布分析
总结词
人类基因频率在不同人群中存在差异，通过抽样分布 分析可以了解基因频率的分布情况。
详细描述
基因频率是指某种特定基因在群体中的出现频率。由于 不同人群的遗传背景和进化历程不同，基因频率也会有 所差异。为了了解基因频率在不同人群中的分布情况， 可以采用抽样分布的方法进行分析。通过对不同人群进 行随机抽样，检测特定基因的存在与否，并计算基因频 率。通过比较不同人群的基因频率数据，可以了解基因 频率的分布特征和变异情况。
生物统计学课件--3正态分布和抽样分布备课讲稿
正态分布密度函数在直角坐标上的图象称正态曲线
x
决定正态曲线最高点横坐标的值，决定正态曲线最 高点纵坐标的值和曲线的开张程度， 越小，曲线越 陡峭，数据越整齐。
N（ ，2 ） N（156，4.82），N（15，4）
正态曲线有一组而不是一条
2、正态分布的累积函数
f (x)
1
x2
e2
2
三、标准正态分布
称=0，=1时的正态分布为标准正态分布，记为N（0，1）。
1、标准正态分布的密度函数和累积函数
密度函数：
(u)
1
u 2
e2
2
其中：-∞ u∞
累积函数：
(u)P(Uu) 1
u u2
e 2du
2
标准正态分布的分布曲线
u 标准正态分布的累积分布曲线
u
服从正态分布，且有：
x ,
2 x
2
n
即： X N(,2 )
n
将平均数标准化，则：u
x
， u服从N（0，1）
n
例：假如某总体由三个数字2、4、6组成，现在从该总体中做放回式抽样，
样本容量
样本
样本数
n=1
2
4
6
31
平均数
2
4
6
n=2
2 2 ，2 4 ，4 2，2 6，6 2， 4 4， 4 6，6 4，6 6
310=59049
n=20
5904959049
2、标准差未知时的样本平均数的分布----t 分布 若总体的方差是未知的，即标准差 未知，可以用样 本的标准差 s代替总体的标准差 ，
则变量
3正态总体条件下的抽样分布ppt课件
3
1 3
[(
X
1
X2
X3 )2
(X4
X5
X6 )2]
~
2 (2),
所以C 1 , CY 服从 2 分布.
3
8
4
4
4
4
5
5
5
5
1 1.12 1.12 21 1.12 0.2628
5
练习
5．设 X1, X 2 , , X n 是来自总体 X N (0, 2 ) 的样本,
则服从自由度为 n 1的 t 分布的统计量是(
)． A
nX
nX
nX
nX
(A )
(B)
S
S
(C) S 2
2
~ 2(n 1);
(2) X 与 S 2 独立.
(n 1)S2
2
1
2
n i1
Xi X
2
n i1
Xi
X
2
~
2 (n 1);
3
定理设二X1, X 2, , X n 是总体 N (, 2 ) 的样本,
X , S 2 分别是样本均值和样本方差, 则有
设总体 X
~
N 12,4,
X1,
X
2
,
X
是来自总体的样本
5
求样本均值与总体均值 之差的绝对值大于 1的概率.
解 由题意得, X ~ N12, 4
5
故所求概率为P X EX 1 P X 12 1
PX 13 PX 11
1 P( X 12 13 12) P( X 11 1112)
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(4) X和S2相互独立.
数理统计
n取不同值时 (n 1)S 2 的分布
2
数理统计
n取不同值时样本均值 X 的分布
数理统计
推论 设X1,X2,…,Xn是取自正态总体 N (, 2 )
的样本, 则有
X和S2 分别为样本均值和样本方差,
X ~ t(n 1)
Sn
X ~ N (0,1), / n
证
(1)
由定理2,
X
~
N (1
,
2 1
n1
)，
Y
~
N (2
,
2 2
n2
)，
且 X 与Y 相互独立，由正态分布的可加性,可得
X
Y
~
N (1
2
,
2 1
n1
2 2
)
.
n2
标准化,即得
U ( X Y ) (1 2 ) ~ N (0,1) .
2 1
2 2
n1 n2
10
数理统计
(2) 由定理2,
(n1
数理统计
第三节 正态总体下的抽样 分布定理
数理统计
定理1 设总体 X 的均值和方差均存在,EX ,
DX 2 ,对样本 ( X1, X2 ,, Xn ) 及其样本均值 X 和样本
方差 S2 ,
有 E(X) ,
2
D( X )
，
E(S2) 2
.
n
证 X1, X 2 ,, X n 相互独立,且与总体 X 同分布,故有
8
定理3
设两个正态总体 X
~
N
(
1
,
2 1
)
,Y
~
N (2 ,数理22统)计
相互独立,分别抽取样本(X1, X2,, Xn1 ) 和(Y1,Y2,,Yn2 ) ，
各自的样本均值和样本方差分别记为 X ,Y
,
S
2 X
, SY2
,则
(1) U ( X Y ) (1 2 ) ~ N (0,1)
2 1
即应取 n 1537 .
15
例2 设某厂生产 的灯泡的使用寿命 X ~ N (1000数,理统2计)
(单位:小时). 今抽取一容量为 9 的样本,得到 s 100 ,
试求 P{ X 940} .
分析 由于题中 2 未知, 故不能用 X ~ N(, 2 ) ,
n 用 S 2 代替 2 ,构造统计量T X ~ t(n 1) .
相互独立,
(n1
1)
S
2 X
F
(n2
2 1
1)SY2
2 2
(n1 1) (n2 1)
sX2 sY2
12
2 2
~ F (n1 1, n2 1) .
14
例1 设总体 X ~ N(, 4) , 若要以 95%的概率保证样本数理均统值计 X 与总体期望 的偏差小于 0.1, 问样本容量 n 应取多大?
n 1 i1
n
2 .
3
数理统计
当总体为正态分布时，教材上给出了 几个重要的抽样分布定理.
定理 2 设X1,X2,…,Xn是取自正态总体 N (, 2 )
的样本，则有
(1)
X ~ N(, 2 )
n
(2)
X ~ N (0,1) n
n
(3)
(n 1)S 2
2
( Xi X )2
i 1
2
~ 2 (n 1)
解 因 X ~ N(, 4) , 故 X ~ N (, 4 ) ,
n 所以 P{| X | 0.1} P{| X | 0.1 }
2/ n 2/ n 2( 0.1 ) 1 0.95 ,
2/ n
即 (0.05 n) 0.975 ,
查表得 0.05 n 1.96 , n 1536.64 ,
n
数理统计
E(S2 )
1 n1
E(
n i 1
X
2 i
nX
2)
1[ n1
n i 1
E
(
X
2 i
)
nE ( X
2 )]，
而
E(X
2 i
)
D( X i
)
[E(X
i
)]2
2
2
，
E( X 2 ) D( X ) [E( X )]2 2 2 ，
n
E(S 2 ) 1 [ n ( 2 2 ) n( 2 2 )]
1)S
2 X
2 1
~
2 (n1
1) ，(n2
1)SY2
2 2
~ 2(n2 1)，
且
S
2 X
,
SY2
相互独立，由
2
分布的可加性,有
V
(n1
1)
S
2 X
2 1
(n2
1)SY2
2 2
~
2(n1 n2
2) .
因
为
2 1
2 2
2
,
记 Sw2
(n1
1)
S
2 X
(n2
1)SY2
n1 n2 2
,
则有
2 1
2 2
~ F (n1 1, n2 1) .
证
(n1
1)S
2 X
2 1
~
2 (n1
1) ， (n2
1)SY2
2 2
~ 2(n2 1)，
且
S
2 X
与 SY2
相互独立,
13
(n1
1)S
2 X
2 1
~
2 (n1
1) ，(n2
1)SY2
2 2
数理统计
~ 2(n2 1)，
且
S
2 X
与 SY2
/
n1
2 2
/
n2
(2)
当
2 1
2 2
2 时，
T
(X
Y
) （1
11
2）~
t(n1
n2
2) ，
Sw
n1 n2
其中
Sw2
(n1
1)S
2 X
n1
(n2 1)SY2 n2 2
称为联合样本方差.
9
(1) U ( X Y ) (1 2 ) ~ N (0,1)
2 1
/
n1
2 2
/
n2
数理统计
S/ n
解 因为
T X 1000 ~ t(8) , S/ 9
t X ~Байду номын сангаасt(n)
Y
(n 1)S 2 ~ 2 (n 1),
n
2
X / n
~
N
(0,
1)
，(
n
1)
2
S
2
~
数理统计
2 (n 1) ，
且 X 与 (n 1)S 2 相互独立，
/ n
2
所以
t X 2/n
(n 1)S 2
2 (n 1)
X ~ t(n 1) .
S/ n
V
(n1 n2 2)Sw2
2
~
2 (n1 n2 2) .
11
U ( X Y ) (1 2 ) ~ N (0,1) . 2 2
n1 n2
V
(n1
n2
2)
S
2 w
2
~
2 (n1 n2 2)
数理统计
且U与V相互独立，
T
U
( X Y ) （1 2）
V /(n1 n2 2)
Sw
11 n1 n2
~ t(n1 n2 2) .
12
定理4
设两个正态总体 X
~
N
(
1
,
2 1
)
,Y
~
N (数2 ,理统22计)
相互独立,分别抽取样本(X1, X2,, Xn1 ) 和(Y1,Y2,,Yn2 ) ，
各自的样本均值和样本方差分别记为 X ,Y
,
S
2 X
, SY2
,则
F
s
2 X
sY2
E( X i ) E( X ) , D( X i ) D( X ) 2 , i 1,2,, n
所以
E( X )
E( 1 n
n i 1
Xi)
1 n
n i 1
E(Xi )
,
D( X )
1 D(
n
n i 1
Xi)
1 n2
n i 1
D(
X
i
)
2
n
.
2
E( X ) , D( X ) 2 ，E(S 2 ) 2 .