河北省九年级数学中考复习-正方形专项复习

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中考数学考点28正方形总复习(解析版)

正方形【命题趋势】在中考中.正方形主要在选择题.填空题.解答题考查为主.并结合相似.锐角三角函数结合考查.；其中正方形常考4种模型是中考中的重难点。

【中考考查重点】一、正方形的性质及判定二、正方形常考模型考点：正方形性质及判定一、正方形的概念和性质1.概念：有一组邻边相等.并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.2.性质：（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质（2）正方形的四个角都是直角.四条边都相等（3）正方形的两条对角线相等.并且互相垂直平分.每一条对角线平分一组对角（4）正方形是轴对称图形.有4条对称轴（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形.两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。

二、正方形的判定判定方法：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）对角线相等的菱形是正方形；（3）对角线互相垂直的矩形是正方形。

注意：判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：先证明它是平行四边形.再证明它是菱形（或矩形）.最后证明它是矩形（或菱形）。

1.（2020秋•法库县期末）平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的性质是（）A．对角线互相平分B．对角线相等C．对角线互相垂直D．对角线互相垂直平分【答案】A【解答】解：A、平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线都互相平分.故本选项正确；B、只有矩形.正方形的对角线相等.故本选项错误；C、只有菱形.正方形的对角线互相垂直.故本选项错误；D、只有菱形.正方形的对角线互相垂直平分.故本选项错误．故选：A．2.（2020秋•武功县期末）如图.在正方形ABCD中.AB＝2.P是AD边上的动点.PE⊥AC于点E.PF⊥BD于点F.则PE+PF的值为（）A．4B．2C．D．2【答案】C【解答】解：在正方形ABCD中.OA⊥OB.∠OAD＝45°.∵PE⊥AC.PF⊥BD.∴四边形OEPF为矩形.△AEP是等腰直角三角形.∴PF＝OE.PE＝AE.∴PE+PF＝AE+OE＝OA.∵正方形ABCD的边长为2.∴OA＝AC＝＝．故选：C．3.（2010秋•金口河区期末）如图.在正方形ABCD中.E是DC上一点.F为BC延长线上一点.∠BEC＝70°.且△BCE≌△DCF．连接EF.则∠EFD的度数是（）A．10°B．15°C．20°D．25°【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD是正方形.∴∠BCE＝∠DCF＝90°；由旋转的性质知：CE＝CF.∠BEC＝∠DFC＝70°；则△ECF是等腰直角三角形.得∠EFC＝45°.∴∠EFD＝∠DFC﹣∠EFC＝25°．故选：D．4.（2020春•沙坪坝区期末）如图.正方形ABCD中.AB＝.点E是对角线AC上一点.EF⊥AB于点F.连接DE.当∠ADE＝22.5°时.EF的长是（）A．1B．2﹣2C．﹣1D．【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是正方形.∴AB＝CD＝BC＝.∠B＝∠ADC＝90°.∠BAC＝∠CAD＝45°.∴AC＝AB＝2.∵∠ADE＝22.5°.∴∠CDE＝90°﹣22.5°＝67.5°.∵∠CED＝∠CAD+∠ADE＝45°+22.5°＝67.5°.∴∠CDE＝∠CED.∴CD＝CE＝.∴AE＝2﹣.∵EF⊥AB.∴∠AFE＝90°.∴△AFE是等腰直角三角形.∴EF＝＝﹣1.故选：C．5.（2021•罗湖区校级模拟）如图.在平面直角坐标系xOy中.正方形ABCD的顶点D在y轴上且A（﹣3.0）.B（2.b）.则正方形ABCD的面积是（）A．20B．16C．34D．25【答案】C【解答】解：作BM⊥x轴于M．∵四边形ABCD是正方形.∴AD＝AB.∠DAB＝90°.∴∠DAO+∠BAM＝90°.∠BAM+∠ABM＝90°.∴∠DAO＝∠ABM.∵∠AOD＝∠AMB＝90°.∴在△DAO和△ABM中.∴△DAO≌△ABM（AAS）.∴OA＝BM.AM＝OD.∵A（﹣3.0）.B（2.b）.∴OA＝3.OM＝2.∴OD＝AM＝5.∴AD＝＝.∴正方形ABCD的面积＝34.故选：C．6.（2020春•老城区校级月考）如图.点P是正方形ABCD的对角线BD上一点.PE⊥BC于点E.PF⊥CD于点F.连接EF给出下列四个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE＝∠BAP．其中正确结论个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解答】解：如图.连接PC.延长AP交EF于H.延长FP交AB于G.在正方形ABCD中.∠ABP＝∠CBP＝45°.AB＝CB.∵在△ABP和△CBP中..∴△ABP≌△CBP（SAS）.∴AP＝PC.∠BAP＝∠BCP.又∵PE⊥BC.PF⊥CD.∴四边形PECF是矩形.∴PC＝EF.∠BCP＝∠PFE.∴AP＝EF.∠PFE＝∠BAP.故①④正确；只有点P为BD的中点或PD＝AD时.△APD是等腰三角形.故③错误；∵PF∥BC.∴∠AGF＝∠ABC＝90°.∵∠BAP＝∠PFE.∠APG＝∠FPH.∴∠AGP＝∠AHF＝90°.∴AP⊥EF.故②正确.故选：C．7.（2021秋•南海区月考）如图.点B在MN上.过AB的中点O作MN的平行线.分别交∠ABM的平分线和∠ABN的平分线于点C、D．（1）试判断四边形ACBD的形状.并证明你的结论．（2）当△CBD满足什么条件时.四边形ACBD是正方形？并给出证明．【答案】（1）四边形ACBD是矩形（2）△CBD满足CB＝BD时.四边形ACBD是正方形【解答】解：（1）四边形ACBD是矩形.证明：∵CD平行MN.∴∠OCB＝∠CBM.∵BC平分∠ABM.∴∠OBC＝∠CBM.∴∠OCB＝∠OBC.∴OC＝OB.同理可证：OB＝OD.∴OA＝OB＝OC＝OD.∵CD＝OC+OD.AB＝OA+OB.∴AB＝CD.∴四边形ACBD是矩形；（2）△CBD满足CB＝BD时.四边形ACBD是正方形.证明：由（1）得四边形ACBD是矩形.∵CB＝BD.∴四边形ACBD是正方形．1．（2021秋•武侯区期末）下列说法中.是正方形具有而矩形不具有的性质是（）A．两组对边分别平行B．对角线互相垂直C．四个角都为直角D．对角线互相平分【答案】B【解答】解：因为正方形的对角相等.对角线相等、垂直、且互相平分.矩形的对角相等.对角线相等.互相平分.所以正方形具有而矩形不具有的性质是对角线互相垂直．故选：B．2．（2017春•柳州期末）边长为4的正方形ABCD中.P是边AD上的动点.PE⊥AC于点E.PF⊥BD于点F.则PE+PF的值为（）A．2B．4C．2D．6【答案】A【解答】解：如图.∵四边形ABCD为正方形.∴∠CAD＝∠BDA＝45°.∵PE⊥AC于点E.PF⊥BD于点F.∴△APE和△PDF为等腰直角三角形.∴PE＝AP.PF＝PD.∴PE+PF＝（AP+PD）＝×4＝2．故选：A．3．（2021秋•普宁市期末）下列说法中正确的是（）A．矩形的对角线平分每组对角B．菱形的对角线相等且互相垂直C．有一组邻边相等的矩形是正方形D．对角线互相垂直的四边形是菱形【答案】C【解答】解：A、矩形的对角线平分每组对角.说法错误.故本选项不符合题意；B、菱形的对角线互相垂直.故本选项不符合题意；C、有一组邻边相等的矩形是正方形.正确.故本选项符合题意；D、对角线互相垂直的四边形不一定是菱形.故本选项不符合题意．故选：C．4．（2020•眉山）下列说法正确的是（）A．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形C．对角线相等的四边形是矩形D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形【答案】B【解答】解：A、一组对边平行另一组对边相等的四边形可以是等腰梯形.可以是平行四边形.故选项A不合题意；B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形.故选项B符合题意；C、对角线相等的平行四边形是矩形.故选项C不合题意；D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.故选项D不合题意；故选：B．5．（2021秋•海州区期末）如图.在正方形ABCD中.点E在对角线AC上.EF⊥AB于点F.EG⊥BC于点G.连接DE.若AB＝10.AE＝3.则ED的长度为（）A．7B．2C．D．【答案】C【解答】解：如图.连接BE.∵四边形ABCD是正方形.∴∠BAC＝∠DAC＝45°.AB＝AD.∵AE＝AE.∴△ABE≌△ADE（SAS）.∴BE＝DE.∵EF⊥AB于点F.AE＝3.∴AF＝EF＝3.∵AB＝10.∴BF＝7.∴BE＝＝.∴ED＝．故选：C．6．（2021秋•铁锋区期末）如图.已知在正方形ABCD中.AB＝BC＝CD＝AD＝10厘米.∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°.点E在边AB上.且AE＝4厘米.如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动.同时.点Q在线段CD上由C点向D点运动.设运动时间为t秒．当△BPE与△CQP全等时.t的值为（）A．2B．2或1.5C．2.5D．2.5或2【答案】D【解答】解：当点Q的运动速度与点P的运动速度都是2厘米/秒.若△BPE≌△CQP.则BP＝CQ.BE＝CP.∵AB＝BC＝10厘米.AE＝4厘米.∴BE＝CP＝6厘米.∴BP＝10﹣6＝4厘米.∴运动时间＝4÷2＝2（秒）；当点Q的运动速度与点P的运动速度不相等.∴BP≠CQ.∵∠B＝∠C＝90°.∴要使△BPE与△OQP全等.只要BP＝PC＝5厘米.CQ＝BE＝6厘米.即可．∴点P.Q运动的时间t＝＝（秒）.故选：D．7．（2021春•海淀区校级期末）如图.点E是正方形ABCD对角线AC上一点.EF⊥AB.EG ⊥BC.垂足分别为F.G.若正方形ABCD的周长是40cm．（1）求证：四边形BFEG是矩形；（2）求四边形EFBG的周长；（3）当AF的长为多少时.四边形BFEG是正方形？【答案】（1）略（2）20cm （3）AF＝5cm【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形.∴AB⊥BC.∠B＝90°．∵EF⊥AB.EG⊥BC.∴∠BFE＝90°.∠BGE＝90°．又∵∠B＝90°.∴四边形BFEG是矩形；（2）∵正方形ABCD的周长是40cm.∴AB＝40÷4＝10cm．∵四边形ABCD为正方形.∴△AEF为等腰直角三角形.∴AF＝EF.∴四边形EFBG的周长C＝2（EF+BF）＝2（AF+BF）＝20cm．（3）若要四边形BFEG是正方形.只需EF＝BF.∵AF＝EF.AB＝10cm.∴当AF＝5cm时.四边形BFEG是正方形．1．（2021•玉林）一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形：a．两组对边分别相等b．一组对边平行且相等c．一组邻边相等d．一个角是直角顺次添加的条件：①a→c→d②b→d→c③a→b→c则正确的是（）A．仅①B．仅③C．①②D．②③【答案】C【解答】解：①由a得到两组对边分别相等的四边形是平行四边形.添加c即一组邻边相等的平行四边形是菱形.再添加d即一个角是直角的菱形是正方形.故①正确；②由b得到一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.添加d即有一个角是直角的平行四边形是矩形.再添加c即一组邻边相等的矩形是正方形.故②正确；③由a得到两组对边分别相等的四边形是平行四边形.添加b得到一组对边平行且相等的平行四边形仍是平行四边形.再添加c即一组邻边相等的平行四边形是菱形.不能得到四边形是正方形.故③不正确；故选：C．2．（2019•毕节市）如图.点E在正方形ABCD的边AB上.若EB＝1.EC＝2.那么正方形ABCD的面积为（）A．B．3C．D．5【答案】B【解答】解：∵四边形ABCD是正方形.∴∠B＝90°.∴BC2＝EC2﹣EB2＝22﹣12＝3.∴正方形ABCD的面积＝BC2＝3．故选：B．3．（2021•重庆）如图.正方形ABCD的对角线AC.BD交于点O.M是边AD上一点.连接OM.过点O作ON⊥OM.交CD于点N．若四边形MOND的面积是1.则AB的长为（）A．1B．C．2D．2【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是正方形.∴∠MDO＝∠NCO＝45°.OD＝OC.∠DOC＝90°.∴∠DON+∠CON＝90°.∵ON⊥OM.∴∠MON＝90°.∴∠DON+∠DOM＝90°.∴∠DOM＝∠CON.在△DOM和△CON中..∴△DOM≌△CON（ASA）.∵四边形MOND的面积是1.四边形MOND的面积＝△DOM的面积+△DON的面积.∴四边形MOND的面积＝△CON的面积+△DON的面积＝△DOC的面积.∴△DOC的面积是1.∴正方形ABCD的面积是4.∴AB2＝4.∴AB＝2.故选：C．4．（2021•湖北）如图.在正方形ABCD中.AB＝4.E为对角线AC上与A.C不重合的一个动点.过点E作EF⊥AB于点F.EG⊥BC于点G.连接DE.FG.下列结论：①DE＝FG；②DE⊥FG；③∠BFG＝∠ADE；④FG的最小值为3．其中正确结论的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解答】解：①连接BE.交FG于点O.如图.∵EF⊥AB.EG⊥BC.∴∠EFB＝∠EGB＝90°．∵∠ABC＝90°.∴四边形EFBG为矩形．∴FG＝BE.OB＝OF＝OE＝OG．∵四边形ABCD为正方形.∴AB＝AD.∠BAC＝∠DAC＝45°．在△ABE和△ADE中..∴△ABE≌△ADE（SAS）．∴BE＝DE．∴DE＝FG．∴①正确；②延长DE.交FG于M.交FB于点H.∵△ABE≌△ADE.∴∠ABE＝∠ADE．由①知：OB＝OF.∴∠OFB＝∠ABE．∴∠OFB＝∠ADE．∵∠BAD＝90°.∴∠ADE+∠AHD＝90°．∴∠OFB+∠AHD＝90°．即：∠FMH＝90°.∴DE⊥FG．∴②正确；③由②知：∠OFB＝∠ADE．即：∠BFG＝∠ADE．∴③正确；④∵点E为AC上一动点.∴根据垂线段最短.当DE⊥AC时.DE最小．∵AD＝CD＝4.∠ADC＝90°.∴AC＝．∴DE＝AC＝2．由①知：FG＝DE.∴FG的最小值为2.∴④错误．综上.正确的结论为：①②③．故选：C．5．（2020•陕西）如图.在矩形ABCD中.AB＝4.BC＝8.延长BA至E.使AE＝AB.以AE为边向右侧作正方形AEFG.O为正方形AEFG的中心.若过点O的一条直线平分该组合图形的面积.并分别交EF、BC于点M、N.则线段MN的长为．【答案】4【解答】解：如图.连接AC.BD交于点H.过点O和点H的直线MN平分该组合图形的面积.交AD于S.取AE中点P.取AB中点Q.连接OP.HQ.过点O作OT⊥QH于T.∵四边形ABCD是矩形.∴AH＝HC.又∵Q是AB中点.∴QH＝BC＝4.QH∥BC.AQ＝BQ＝2.同理可求PO＝AG＝2.PO∥AG.EP＝AP＝2.∴PO∥AD∥BC∥EF∥QH.EP＝AP＝AQ＝BQ.∴MO＝OS＝SH＝NH.∠OPQ＝∠PQH＝90°.∵OT⊥QH.∴四边形POTQ是矩形.∴PO＝QT＝2.OT＝PQ＝4.∴TH＝2.∴OH＝＝＝2.∴MN＝2OH＝4.故答案为：4．6．（2021•邵阳）如图.在正方形ABCD中.对角线AC.BD相交于点O.点E.F是对角线AC上的两点.且AE＝CF．连接DE.DF.BE.BF．（1）证明：△ADE≌△CBF．（2）若AB＝4.AE＝2.求四边形BEDF的周长．【答案】（1）略（2）8【解答】（1）证明：由正方形对角线平分每一组对角可知：∠DAE＝∠BCF＝45°.在△ADE和△CBF中..∴△ADE≌△CBF（SAS）．（2）解：∵AB＝AD＝.∴BD＝＝＝8.由正方形对角线相等且互相垂直平分可得：AC＝BD＝8.DO＝BO＝4.OA＝OC＝4.又AE＝CF＝2.∴OA﹣AE＝OC﹣CF.即OE＝OF＝4﹣2＝2.故四边形BEDF为菱形．∵∠DOE＝90°.∴DE＝＝＝2．∴4DE＝.故四边形BEDF的周长为8．1．（2021•云岩区模拟）数学老师用四根长度相等的木条首尾顺次相接制成一个图1所示的菱形教具.此时测得∠D＝60°.对角线AC长为16cm.改变教具的形状成为图2所示的正方形.则正方形的边长为（）A．8cm B．4cm C．16cm D．16cm【答案】C【解答】解：如图1.图2中.连接AC．图1中.∵四边形ABCD是菱形.∴AD＝DC.∵∠D＝60°.∴△ADC是等边三角形.∴AD＝DC＝AC＝16cm.∴正方形ABCD的边长为16cm.故选：C．2．（2021•石家庄一模）将图1中两个三角形按图2所示的方式摆放.其中四边形ABCD 为矩形.连接PQ.MN.甲、乙两人有如下结论：甲：若四边形ABCD为正方形.则四边形PQMN必是正方形；乙：若四边形PQMN为正方形.则四边形ABCD必是正方形．下列判断正确的是（）A．甲正确.乙不正确B．甲不正确.乙正确C．甲、乙都不正确D．甲、乙都正确【答案】B【解答】解：若ABCD是正方形.可设AB＝BC＝CD＝AD＝x.∴AQ＝4﹣x.AP＝3+x.∴PQ2＝AQ2+AP2.即PQ＝＝＝.x取值不同则PQ的长度不同.∴甲不正确.若四边形PQMN为正方形.则PQ＝PN＝MN＝MQ＝5.且∠QMD+∠MQD＝∠QAP＝∠AQP+∠QP A＝90°.在△QMD和△PQA中..∴△QMD≌△PQA（ASA）.∴QD＝AP.同理QD＝AP＝MC＝BN.又∵BP＝MD＝AQ.∴QD﹣AD＝P A﹣AB.∴AB＝AD.同理AB＝CD＝AD＝BC.即四边形ABCD为菱形.∵∠DAB＝180°﹣∠QAP＝90°.则四边形ABCD为正方形.∴乙正确.故选：B．3．（2021•临沂模拟）如图.AD是△ABC的角平分线.DE.DF分别是△ABD和△ACD的高.得到下列四个结论：①OA＝OD；②AD⊥EF；③当∠A＝90°时.四边形AEDF是正方形；④AE+DF＝AF+DE．其中正确的是（）A．②③B．②④C．①③④D．②③④【答案】D【解答】解：如果OA＝OD.则四边形AEDF是矩形.没有说∠A＝90°.不符合题意.故①错误；∵AD是△ABC的角平分线.∴∠EAD＝∠F AD.在△AED和△AFD中..∴△AED≌△AFD（AAS）.∴AE＝AF.DE＝DF.∴AE+DF＝AF+DE.故④正确；∵在△AEO和△AFO中..∴△AEO≌△AFO（SAS）.∴EO＝FO.又∵AE＝AF.∴AO是EF的中垂线.∴AD⊥EF.故②正确；∵当∠A＝90°时.四边形AEDF的四个角都是直角.∴四边形AEDF是矩形.又∵DE＝DF.∴四边形AEDF是正方形.故③正确．综上可得：正确的是：②③④.故选：D．4．（2020•宁津县一模）下列说法正确的是（）A．对角线相等且相互平分的四边形是矩形B．对角线相等且相互垂直的四边形是菱形C．四条边相等的四边形是正方形D．对角线相互垂直的四边形是平行四边形【答案】A【解答】解：A、对角线相等且相互平分的四边形是矩形.故该选项正确；B、对角线相等且相互垂直的四边形不一定是菱形.故该选项错误；C、四条边相等的四边形是菱形.不是正方形.故该选项错误；D、对角线相互垂直的四边形不是平行四边形.故该选项错误.故选：A．5．（2021•南浔区模拟）如图.E.F是正方形ABCD的边BC上两个动点.BE＝CF．连接AE.BD交于点G.连接CG.DF交于点M．若正方形的边长为1.则线段BM的最小值是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：如图.在正方形ABCD中.AB＝AD＝CB.∠EBA＝∠FCD.∠ABG＝∠CBG.在△ABE和△DCF中..∴△ABE≌△DCF（SAS）.∴∠BAE＝∠CDF.在△ABG和△CBG中..∴△ABG≌△CBG（SAS）.∴∠BAG＝∠BCG.∴∠CDF＝∠BCG.∵∠DCM+∠BCG＝∠FCD＝90°.∴∠CDF+∠DCM＝90°.∴∠DMC＝180°﹣90°＝90°.取CD的中点O.连接OB、OF.则OF＝CO＝CD＝.在Rt△BOC中.OB＝＝＝.根据三角形的三边关系.OM+BM＞OB.∴当O、M、B三点共线时.BM的长度最小.∴BM的最小值＝OB﹣OF＝＝．故选：D．6.（2021•平凉模拟）如图.在矩形ABCD中.M、N分别是边AD、BC的中点.E、F分别是线段BM、CM的中点．（1）求证：BM＝CM．（2）当AB：AD的值为多少时.四边形MENF是正方形？请说明理由．【答案】（1）略（2）当AB：AD＝1：2时.四边形MENF是正方形【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形.∴AB＝DC.∠A＝∠D＝90°.∵M为AD中点.∴AM＝DM.在△ABM和△DCM中..∴△ABM≌△DCM（SAS）.∴BM＝CM；（2）解：当AB：AD＝1：2时.四边形MENF是正方形.理由如下：∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点.∴NE∥CM.NE＝CM.∵MF＝CM.∴NE＝FM.∵NE∥FM.∴四边形MENF是平行四边形.由（1）知△ABM≌△DCM.∴BM＝CM.∵E、F分别是BM、CM的中点.∴ME＝MF.∴平行四边形MENF是菱形；∵M为AD中点.∴AD＝2AM.∵AB：AD＝1：2.∴AD＝2AB.∴AM＝AB.∵∠A＝90°.∴∠ABM＝∠AMB＝45°.同理∠DMC＝45°.∴∠EMF＝180°﹣45°﹣45°＝90°.∵四边形MENF是菱形.∴菱形MENF是正方形．7．（2021•沂水县二模）如图.四边形ABCD是正方形.△ABE是等边三角形.M为对角线BD（不含B点）上的点．（1）当点M是CE与BD的交点时.如图1.求∠DMC的度数；（2）若点M是BD上任意一点时.将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN.连接EN.CM.求证：EN＝CM；（3）当点M在何处时.BM+2CM的值最小.说明理由．【答案】（1）60°（2）略（3）当M点位于BD.CE交点时.BM+2CM的值最小【解答】（1）解：∵△AEB是等边三角形.∴EB＝AB＝AE.∠EBA＝60°.∵四边形ABCD是正方形.∴AB＝BC.∠ABC＝90°.∴EB＝CB.∠EBC＝∠EBA+∠ABC＝60°+90°＝150°.∴∠BCE＝（180°﹣∠EBC）＝×（180°﹣150°）＝15°.∵BD是正方形ABCD的对角线.∴∠DBC＝45°.∵∠DMC是△BMC的外角.∴∠DMC＝∠DBC+∠BCE＝45°+15°＝60°；（2）证明：由旋转可知.BM＝BN.∠MBN＝60°.∵∠MBA＝45°.∴∠ABN＝∠MBN﹣∠MBA＝15°.∵∠ABE＝60°.∴∠NBE＝∠ABE﹣∠ABN＝45°.在△BMC和△BNE中..∴△BMC≌△BNE（SAS）.∴CM＝EN；（3）当M点位于BD.CE交点时.BM+2CM的值最小.理由如下：在△ADM和△CDM中..∴△ADM≌△CDM（SAS）.∴AM＝CM.将BM绕点B旋转60°.得到BN.∵∠EBN+∠NBA＝60°.∠NBA+∠ABM＝60°.∴∠EBN＝∠ABM.在△ENB和△AMB中..∴△ENB≌△AMB（SAS）.∴AM＝EN.∵BM＝BN.∠NBM＝60°.∴△BMN是等边三角形.∴BM＝NM.∴BM+2CM＝BM+AM+CM＝MN+EN+CM＝EN+MN+CM.即E.N.M.C四点共线时.有最小值．8．（2022•南昌模拟）已知正方形ABCD与正方形AEFG.正方形AEFG绕点A旋转一周．（1）如图1.连接BG、CF.①求的值；②求∠BHC的度数．（2）当正方形AEFG旋转至图2位置时.连接CF、BE.分别取CF、BE的中点M、N.连接MN.猜想MN与BE的数量关系与位置关系.并说明理由．【答案】（1）①＝②45°（2）BE＝2MN.MN⊥BE【解答】解：（1）①如图1.连接AF.AC.∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形.∴AC＝AB.AF＝AG.∠CAB＝∠GAF＝45°.∠BAD＝90°.∴∠CAF＝∠BAG..∴△CAF∽△BAG.∴＝；②∵AC是正方形BCD的对角线.∴∠ABC＝90°.∠ACB＝45°.在△BCH中.∠BHC＝180°﹣（∠HBC+∠HCB）＝180°﹣（∠HBC+∠ACB+∠ACF）＝180°﹣（∠HBC+∠ACB+∠ABG）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝45°；（2）BE＝2MN.MN⊥BE.理由如下：如图2.连接ME.过点C作CQ∥EF.交直线ME于Q.连接BH.设CF与AD 交点为P.CF与AG交点为R.∵CQ∥EF.∴∠FCQ＝∠CFE.∵点M是CF的中点.∴CM＝MF.又∵∠CMQ＝∠FME.∴△CMQ≌△FME（ASA）.∴CQ＝EF.ME＝QM.∴AE＝CQ.∵CQ∥EF.AG∥EF.∴CQ∥AG.∴∠QCF＝∠CRA.∵AD∥BC.∴∠BCF＝∠APR.∴∠BCQ＝∠BCF+∠QCF＝∠APR+∠ARC.∵∠DAG+∠APR+∠ARC＝180°.∠BAE+∠DAG＝180°.∴∠BAE＝∠BCQ.又∵BC＝AB.CQ＝AE.∴△BCQ≌△BAE（SAS）.∴BQ＝BE.∠CBQ＝∠ABE.∴∠QBE＝∠CBA＝90°.∵MQ＝ME.点N是BE中点.∴BQ＝2MN.MN∥BQ.∴BE＝2MN.MN⊥BE．。

2023年河北省中考数学模拟复习卷(答案在卷尾)

2023年河北省中考数学综合复习卷考试范围：初中；考试时间：120分钟；满分：120分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、单选题(本大题有16个小题，共42分。

1～10小题各3分，11～16小题各2分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若23a <<时，化简23a a -+-=（）A ．1B ．25a -C ．1-D ．52a -2．把长为2023个单位长度的线段AB 放在单位长度为1的数轴上，则线段AB 能盖住的整点有（） A ．2022个 B ．2023个 C ．2022或2023个 D ．2023或2024个3．如图，将一个含45︒的三角板ABC ，绕点A 按顺时针方向旋转60︒，得到ADE ，连接BE ，且2,90AC BC ACB ==∠=︒，则线段BE =（）A BC D ．1 4．下列计算：①()011-=-；②()2124-=；③55-=±．其中正确的有（） A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个5．2022年10月12日下午，“天宫课堂”第三课在中国空间站开讲，神舟十四号飞行乘组三位航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲进行授课，央视新闻抖音号进行全程直播，某一时刻观看人数达到421.1万，421.1万用科学记数法可以表示为（）A ．70.421110⨯B ．64.21110⨯C ．4421.110⨯D ．3421110⨯6．如图，在矩形ABCD 中，6cm AB =，对角线AC 与BD 相交于点O ，DE AC ⊥，垂足为E ，3AE CE =，则BD 的长为（）A ．B ．C ．12cmD ．7．如图，索玛立方块是由丹麦数学家皮亚特·海恩发明的，它是由7个不规则的积木单元，拼成一个333⨯⨯的立方体，有400多种拼法，则下列四个积木单元中，俯视图面积最大的是（）A ．B ．C ．D ．8．用换元法解方程222131x x x x-+=-时，若设21x y x =-，则原方程可化为关于y 的方程是（） A ．22310y y -+= B ．21203y y C ．2320y y -+= D ．2320y y ++=9．已知3,7a b ab +=-=，则多项式22a b ab a b +--的值为（）A ．24B ．18C ．24-D ．18-10．如图，在平面上将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠放在一起，则312=∠+∠-∠（）A ．24°B ．26°C ．28°D ．30°11．如图，边长为4的正方形ABCD 内接于O ，E 是劣弧AB 上的动点（不与点A ，B 重合），F 是劣弧BC 上一点，连接OE ，OF ，分别与AB ，BC 交于点G ，H ，且90EOF ∠=︒，则在点E 运动过程中，下列关系会发生变化的是（）甲：AE 与BF 之间的数量关系；乙：GH 的长度；丙：图中阴影部分的面积和A ．只有甲B ．只有甲和乙C ．只有乙D ．只有乙和丙12．定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．已知：如图，∠ACD 是ABC 的外角，求证：ACD A B ∠=∠+∠．证法1：如图．∠180A B ACB ∠+∠+∠=︒（三角形内角和定理）又∠180ACD ACB ∠+∠=︒（平角定义）∠ACD ACB A B ACB ∠+∠=∠+∠+∠（等量代换）∠ACD A B ∠=∠+∠（等式性质）证法2：如图，∠76A ∠=︒，59B ∠=︒，且135ACD ∠=︒（量角器测量所得）又∠1357659︒=︒+︒（计算所得）∠ACD A B ∠=∠+∠（等量代换）下列说法正确的是（）A ．证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整B ．证法1用严谨的推理证明了该定理C ．证法2用特殊到一般法证明了该定理D ．证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理13．王师傅用角尺平分一个角，如图①，学生小顾用三角尺平分一个角，如图②，他们都在AOB ∠两边上分别取OM ON =，前者使角尺两边相同刻度分别与M ，N 重合，角尺顶点为P ；后者分别过M ，N作OA ，OB 的垂线，交点为P ，则射线OP 平分AOB ，均可由OMP ONP ≌△△得知，其依据分别是（）A ．SSS ；SASB ．SAS ；SSSC ．SSS ；HLD ．SAS ；HL14．2022年12月4日11时01分，神州十四号载人飞船与空间站组合体成功分离返回地球，为了欢迎在中国空间站出差183天的航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲回家，北京市育英学校举行了“我的航天梦”英语演讲比赛．有9名学生通过海选进入决赛，他们决赛的最终成绩各不相同，其中的一名学生要想知道自己能否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的（）A ．众数B ．频率C ．平均数D ．中位数15．如图，在矩形ABDC 中，AC =4cm ，AB =3cm ，点E 以0.5cm/s 的速度从点B 到点C ，同时点F 以0.4cm/s 的速度从点D 到点B ，当一个点到达终点时，则运动停止，点P 是边CD 上一点，且CP =1，且Q 是线段EF 的中点，则线段QD +QP 的最小值为（）A ．B ．5CD 16．为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，某工厂自2019年1月开始限产进行治污改造，其月利润y （万元）与月份x 之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的一部分，下列选项错误．．的是（）A ．4月份的利润为50万元B ．治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元C ．治污改造完成前后共有4个月的利润低于100万元D ．9月份该厂利润达到200万元二、填空题(本大题共3个小题，每小题3分，共9分．其中19小题第一空1分，第二空2分)17．小明在学习圆的相关知识时，看到书本上提到可以用一把丁字尺（如图1）来找圆心，他想到爸爸的工具箱里有丁字尺，于是想利用丁字尺还原一个破损的圆，已知尺头4cm AB =，尺身刻度线l 垂直平分AB ，他摆出的情况如图2，发现两次测量丁字尺的尺身交于刻度为6cm 的位置，则这个破损的圆的直径是_______cm.18．在ABC 中，AB AC =，点G F ，分别为AB BC ，的中点，22AG AD EC ==，连接EG DF ，，将ABC 分成四块，如图（1）中∠，∠，∠，∠，四块图形恰好能拼成如图（2）的矩形，则tan B =___________．19．如图①，1234,,,O O O O 为四个等圆的圆心，,,,A B C D 为切点，请你在图中画出一条直线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是___；如图②，12345,,,,O O O O O 为五个等圆的圆心，,,,,A B C D E 为切点，请你在图中画出一条直线，将这五个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 __．（答案不唯一）三、解答题(本大题共7个小题，共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 20．（7分）已知：整式21A n =+，2B n =，21C n =-，整式0C >．(1)当1999n =时，写出整式A B +的值______（用科学记数法表示结果）；(2)求整式22A B -；(3)嘉淇发现：当n 取正整数时，整式A 、B 、C 满足一组勾股数，你认为嘉淇的发现正确吗？请说明理由．21．（8分）我们定义：一个整数能表示22a b a b +++（a ，b 是整数）的形式，则这个数为“和谐数”，例如8是“和谐数”，理由：因为2282121=+++，所以8是“和谐数”．(1)请判断14______“和谐数”（填“是”或“不是”）；(2)请你写出一个大于14且小于20的“和谐数”：______；(3)当整数m ，n 满足()222817x m n x x ++=-+时，求“和谐数”22m n m n +++的值；(4)若实数x ，y 满足992280x y xy +--=，求22x y x y +++的最小值．22．（8分）小红、小明、小亮要参加某电视台组织的主持人演讲比赛，按程序分别进行答辩、笔试和网络投票，(1)在进行答辩之前，需要抽签决定答辩次序，直接写出小红抽到第一个答辩的概率；(2)答辩、笔试成绩如下表，网络投票每张选票只限填写小红、小明、小亮其中的一人，且每张得票记1分，统计选票后，绘出不完整的统计图．答辩、笔试成绩统计表根据以上信息，请解答： ①网络选票总数是________；补全条形统计图：②比赛组委会将答辩、笔试和网络投票三项得分按5∠4∠1的比例确定每人的总成绩，分数最高者为冠军，请你通过计算说明谁是冠军．23．（10分）对于平面直角坐标系xOy 中的点A 和点P ，若将点P 绕点A 逆时针旋转90°后得到点Q ，则称点Q 为点P 关于点A 的“垂链点”，图1为点P 关于点A 的“垂链点”Q 的示意图．(1)已知点A 的坐标为()00，，点P 关于点A 的“垂链点”为点Q ； ①若点P 的坐标为()20，，则点Q 的坐标为_______________； ②若点Q 的坐标为()21-，，则点P 的坐标为__________； (2)如图2，已知点C 的坐标为()10，，点D 在直线113y x =+上，若点D 关于点C 的“垂链点”在坐标轴上，试求出点D 的坐标； (3)如图3，已知图形G 是端点为()10，和()02-，的线段，图形H 是以点O 为中心，各边分别与坐标轴平行的边长为6的正方形，点M 为图形G 上的动点，点N 为图形H 上的动点，若存在点()0T t ，，使得点M 关于点T 的“垂链点”恰为点N ，请直接写出t 的取值范围．24．（10分）图1是某种型号圆形车载手机支架，由圆形钢轨、滑动杆、支撑杆组成．图2是它的正面示意图，滑动杆AB 的两端都在圆O 上，A 、B 两端可沿圆形钢轨滑动，支撑杆CD 的底端C 固定在圆O 上，另一端D 是滑动杆AB 的中点，（即当支架水平放置时直线AB 平行于水平线，支撑杆CD 垂直于水平线），通过滑动A 、B 可以调节CD 的高度．当AB 经过圆心O 时，它的宽度达到最大值10cm ，在支架水平放置的状态下：(1)当滑动杆AB 的宽度从10厘米向上升高调整到6厘米时，求此时支撑杆CD 的高度．(2)如图3，当某手机被支架锁住时，锁住高度与手机宽度恰好相等（AE AB =），求该手机的宽度．25．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线223(0)y ax ax a a =--≠的顶点为P ，且该抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧）．我们规定抛物线与x 轴围成的封闭区域称为“区域G ”（不包括边界）；横、纵坐标都是整数的点称为整点．(1)如果抛物线223y ax ax a =--经过点(13)，． ①求a 的值；②直接写出“区域G ”内整数点的个数；(2)当a<0时，如果抛物线223y ax ax a =--在“区域G ”内有4个整数点，求a 的取值范围；(3)当0a >时，抛物线与直线x a =交于点C ，把点C 向左平移5个单位长度得到点D ，以CD 为边作等腰直角三角形CDE ，使90DCE ∠=︒，点E 与抛物线的顶点始终在CD 的两侧，线段DE 与抛物线交于点F ，当2tan 3ECF ∠=时，直接写出a 的值．26．（14分）ABC 的边BC 在直线l 上，AC BC ⊥，且AC BC =，EFP △的边FP 也在直线l 上，边EF 与边AC 重合，且EF FP =．(1)如图1，直接写出AB 与AP 的数量关系：______，AB 与AP 的位置关系：______；(2)将EPF 沿直线l 向左平移到图2的位置时，EP 交AB 于点O ，交AC 于点Q ，连接AP ，BQ ，求证：ABQ APQ ∠=∠；(3)将EPF 沿直线l 向左平移到图3的位置时，EP 的延长线交AC 的延长线于点Q ，连接AP ，BQ ，试探究ABQ ∠与APQ ∠满足的数量关系，并说明理由；(4)若1cm AC BC ==，AB =，点P 在CB 的延长线上继续向左平移，当:3:2CBQ CBA ∠∠=时，请直接写出CBQ △与CBA △的面积之比．参考答案：1．B 【分析】直接利用绝对值的性质化简求出答案．【详解】解：23a <<，20a ∴-<，()222a a a ∴-=--=-，23a a ∴-+-23a a =-+-25a =-．故答案为：B ．【点睛】此题主要考查了绝对值的性质，正确利用a 的取值范围化简是解题关键．2．D【分析】根据题意把长为1个单位长度的线段AB 放在单位长度为1的数轴上，可能盖住2个或1个点，以此类推，找出规律即可解答．【详解】解：1个单位长度的线段放在数轴上，两端的放在整数点上，盖住2个点，两端不在整数点上，盖住1个点；2个单位长度的线段放在数轴上，两端的放在整数点上，盖住3个点，两端不在整数点上，盖住2个点； 3个单位长度的线段放在数轴上，两端的放在整数点上，盖住4个点，两端不在整数点上，盖住2个点； ⋯n 个单位长度的线段放在数轴上，两端的放在整数点上，盖住()1n +个点，两端不在整数点上，盖住n 个点；∴2023个单位长度的线段放在数轴上，两端的放在整数点上，盖住2024个点，两端不在整数点上，盖住2023个点；故答案为：D ．【点睛】此题考查了数轴规律题，解题的关键是根据题意分情况找出规律．3．A【分析】连接BD ，延长BE 交AD 于点F ，根据旋转性质可知AB AD =，60DAB ∠=︒，90AED ∠=︒，2AE DE AC BC ====，由此得出ABD △为等边三角形，然后进一步通过证明BAE BDE ≌得出ABE DBE ∠∠=，根据等腰三角形三线合一可知BF AD ⊥，且AF DF =，由此利用勾股定理分别计算出AB 、BF 的长，最后通过BE BF EF =-进一步计算即可得出答案．【详解】解：如图，连接BD ，延长BE 交AD 于点F ，由旋转可知，AB AD =，60DAB ∠=︒，90AED ∠=︒，2AE DE AC BC ====，ABD ∴为等边三角形，AB BD ∴=，在BAE 与BDE △中，AE DE =，BA BD =，BE BE =，BAE BDE ∴≌（SSS ）， ABE DBE ∴∠=∠，∠BF AD ⊥，且AF DF =，2AC BC ==，90ACB ∠=︒，AB ∴=22222+=AB BD AD ∴===22AF ∴=2BF ∴=226AB AF -90AED ∠=︒，AE DE =，45FAE ∴∠=︒，BF AD ⊥，45FEA ∴∠=︒，EF AF ∴==2BE BF EF ∴=-=62故选：A ．【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形性质及判定和勾股定理与等腰三角形性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键．4．D【分析】根据零指数幂，有理数的乘方，绝对值的计算法则求解即可．【详解】解：①()011-=，计算错误，不符合题意；②()224-=，计算错误，不符合题意；③55-=，计算错误，不符合题意； ∠计算正确的有0个，故选D ．【点睛】本题主要考查了零指数幂，有理数的乘方，绝对值，熟知相关知识是解题的关键，注意非零底数的零次幂的结果为1．5．B【分析】科学记数法的表示形式为10(110)n a a ⨯≤<，根据小数点移动的位数确定n 的值即可．【详解】解：421.1万＝4211000＝64.21110⨯．故选：B ．【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，解题的关键是正确确定a 的值以及n 的值．6．C【分析】由矩形的性质得出OA OD OC ==，由已知条件得出OE CE =，由线段垂直平分线的性质得出OD CD =，即可求出BD 的长．【详解】解：3AE CE =，4AC CE ∴=，四边形ABCD 是矩形，122OA OC AC CE ∴===，12OD BD =，AC BD =，6cm CD AB ==， 2OA OD OC CE ∴===，OE CE ∴=DE AC ⊥，6cm OD CD ∴==，212cm BD OD ，故选：C ．【点睛】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，证明OD CD =是解决问题的关键．7．D【分析】根据俯视图中正方形的个数作出判断即可．【详解】解：A 、B 、C 三个选项中俯视图都是由3个小正方形组成，D 选项俯视图中有4个小正方形组成，因此俯视图面积最大的是D 选项中的图形，故D 正确．故选：D ．【点睛】本题主要考查了几何体的俯视图，解题的关键是分别判断出四个选项俯视图中正方形的个数．8．A【分析】把原方程按按照所给条件换元，整理即可．【详解】解：设21x y x =-， 222131x x x x-+=-可化为123y y +=， ∠2213y y +=，∠22310y y -+=，故选：A ．【点睛】本题考查换元法解方程，解题的关键是熟练掌握换元法．9．D【分析】先将22a b ab a b +--进行因式分解，然后整体代入求值即可．【详解】解：∠3,7a b ab +=-=，∠22a b ab a b +--()()ab a b a b =+-+()(1)a b ab =+-(3)(71)=-⨯-18=-．故选：D ．【点睛】本题主要考查了代数式求值以及因式分解的应用，解决本题关键是正确完成分解因式．10．A【分析】首先根据多边形内角和定理，分别求出正三角形、正方形、正五边形、正六边形的每个内角的度数是多少，然后分别求出312∠∠∠、、的度数是多少，进而求出312∠+∠-∠的度数即可．【详解】解：正三角形的每个内角是：180360︒÷=︒，正方形的每个内角是：360490︒÷=︒，正五边形的每个内角是：()521805-⨯︒÷31805=⨯︒÷5405=︒÷108=︒，正六边形的每个内角是：()621806-⨯︒÷41806=⨯︒÷7206=︒÷120=︒，则()()()312906012010810890∠+∠-∠=︒-︒+︒-︒-︒-︒301218=︒+︒-︒24=︒．故选：A ．【点睛】此题主要考查了多边形内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）n 边形的内角和()()2?1803n n =-≥且n 为整数）．（2）多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n 边形取n 个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．11．C【分析】连接,OB OA ，根据题意可得AOB EOF ∠=∠，45OAB OBH ∠=∠=︒，从而得到AOE BOF ∠=∠，进而得到AE BF =；再证得AOG BOH △≌△，可得OGH 是等腰直角三角形，从而得到2GH OG =，再由在点E 运动过程中，OG 的长度在发生变化，可得GH 的长度会改变；分别求出EOF S 扇形，OGBH S 四边形，再由阴影部分的面积和为24OGBH EOF S S π-=-四边形扇形，即可．【详解】解：如图，连接,OB OA ，∠正方形ABCD 内接于O ，∠90AOB ∠=︒，45OAB OBH ∠=∠=︒，∠90EOF ∠=︒，∠AOB EOF ∠=∠，∠AOE BOF ∠=∠，∠AE BF =，即AE 与BF 之间的数量关系不变；∠45OAB OBH ∠=∠=︒，OA OB =，AOE BOF ∠=∠，∠AOG BOH △≌△，∠OG OH =，∠OGH 是等腰直角三角形，∠222GH OG OH OG +=，而在点E 运动过程中，OG 的长度在发生变化，∠GH 的长度会改变；根据题意得4AB =， ∠22OA OB OE AB ==== ∠(29022360EOF S ππ⨯==扇形，∠AOG BOH △≌△，∠AOG BOH S S =，∠112222422BOG BOH BOG AOG AOB OGBH S S S S S S OA OB =+=+==⋅=⨯四边形， ∠图中阴影部分的面积和为24OGBH EOF S S π-=-四边形扇形，不变；综上所述，关系会发生变化的是乙．故选：C【点睛】本题主要考查了圆的综合题，正方形的性质，熟练掌握圆周角定理，扇形面积公式，根据题意得到AOG BOH △≌△是解题的关键．12．B【分析】根据定理证明的一般步骤进行分析判断即可解答．【详解】解：∠证法1按照定理证明的一般步骤，从已知出发经过严谨的推理论证，得出结论的正确，具有一般性，无需再证明其他形状的三角形，∠A 的说法不正确，不符合题意；B 的说法正确，符合题意；C 、∠定理的证明必须经过严谨的推理论证，不能用特殊情形来说明，∠C 的说法不正确，不符合题意；D 、∠定理的证明必须经过严谨的推理论证，与测量次数的多少无关，∠D 的说法不正确，不符合题意，综上，B 的说法正确，故选：B ．【点睛】本题主要考查了三角形的外角的性质的证明以及定理的证明的一般步骤，依据定理证明的一般步骤分析解答是解题的关键．13．C【分析】根据题意可知：王师傅用角尺平分一个角时使得：OM ON =，PM PN =，OP OP =，故王师傅的依据为：SSS ；学生小顾用三角尺平分一个角时使得：OM ON =，90OMP ONP ∠=∠=︒，且OP OP =，故学生小顾的依据为：HL ；即可得到结果【详解】∠王师傅用角尺平分一个角，在AOB ∠两边上分别取OM ON =，使角尺两边相同刻度分别与M ，N 重合，角尺顶点为P ；∠OM ON =，PM PN =，OP OP =，∠()SSS OMP ONP ≌△△，故王师傅的依据为：SSS ；∠学生小顾用三角尺平分一个角，在AOB ∠两边上分别取OM ON =，分别过M ，N 作OA ，OB 的垂线，交点为P ，∠OM ON =，90OMP ONP ∠=∠=︒，且OP OP =，∠()HL OMP ONP △≌△，故学生小顾的依据为：HL ；故答案为：C【点睛】本题考查了全等三角形的判定和角平分线的概念，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键14．D【分析】根据题意，可以选取合适的统计量，从而可以解答本题．【详解】解：∠有9名学生参加比赛，一名学生想知道自己能否进入前5名，∠这名学生要知道这组数据的中位数，故选：D ．【点睛】本题考查统计量的选择，解题的关键是明确题意，选取合适的统计量．15．A【分析】如图，建立如图所示的平面直角坐标系，连接QB ，PB ．首先用t 表示出点Q 的坐标，发现点Q 在直线y =2上运动，求出PB 的值，再根据PQ +PD =PQ +QB ≥PB ，可得结论．【详解】解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，连接QB ，PB ．∠四边形ABDC 是矩形，∠AC =BD =4cm ，AB =CD =3cm ，∠C （-3，0），B （0，4），∠∠CDB =90°，∠BC 222234CD CB +=+（cm ），∠EH ∠CD ，∠△BEH ∠∠BCD ，∠BE EH BH BC CD BD==，∠0.5534t EH BH==，∠EH=0.3t，BH=0.4t，∠E（-0.3t，4-0.4t），∠F（0，0.4t），∠QE=QF，∠Q（-320t，2），∠点Q在直线y=2上运动，∠B，D关于直线y=2对称，∠QD=QB，∠QP+QD=QB+QP，∠QP+QB≥PB，PB2224+5，∠QP+QD5∠QP+QD的最小值为5故选：A．【点睛】本题考查轴对称最短问题，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，轨迹等知识，解题的关键是构建平面直角坐标系，发现点Q在直线y=2上运动．16．C【分析】直接利用已知点求出一次函数与反比例函数的解析式进而分别分析得出答案．【详解】A、设反比例函数的解析式为kyx =，把(1,200)代入得，k＝200，∠反比例函数的解析式为：200yx =，当x＝4时，y＝50，∠4月份的利润为50万元，正确意；B、治污改造完成后，从4月到6月，利润从50万到110万，故每月利润比前一个月增加30万元，正确；C、当y＝100时，则200 100x=，解得：x ＝2，则只有3月，4月，5月共3个月的利润低于100万元，不正确．D 、设一次函数解析式为：y ＝kx ＋b ，则4506110k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：3070k b =⎧⎨=-⎩，故一次函数解析式为：y ＝30x −70，故y ＝200时，200＝30x −70，解得：x ＝9，则治污改造完成后的第5个月，即9月份该厂利润达到200万元，正确．故选：C ．【点睛】此题主要考查了一次函数与反比函数的应用，正确得出函数解析式是解题关键． 17．10【分析】依题意，确定圆心位置，利用垂径定理构造直角三角形，求解即可．【详解】如图：确定圆心O ，依题意：OC AB ⊥122AC AB ∴== 在直角OCA 中：222222640OA AC OC =+=+=210OA =故答案为210OA =【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理的综合运用，关键是根据题意建立圆的模型，利用垂径定理确定线段长度，从而求解．1815【分析】以F 为原点，BC 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，设DF 交GE 于M ，过G 作GN BC ⊥于N ，过E 作EP BC ⊥于P ，延长GE 交x 轴Y 于H ，设BF CF m AF n ===，，用相似三角形性质可求出113113,,,,,224444G m n E m n D m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，从而可得直线DF 解析式为3n y x m =，直线GE 解析式为255n y x n m =-+，即可求出()3,,2,088m n M H m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据四块图形恰好能拼成如图（2）的矩形，得222FM MH FH +=，即()22222332028888m n m n m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简整理有15n =，在Rt ABF 中，15tan AF n B BF m ===．【详解】解：AB AC =，A ∴在BC 的垂直平分线上，点G F ，分别为AB BC ，的中点， AG BG BF CF ∴==，，22AG AD EC ==，1144AD EC AC AB ∴===，以F 为原点，BC 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，设DF 交GE 于M ，过G 作GN BC ⊥于N ，过E 作EP BC ⊥于P ，延长GE 交x 轴Y 于H ，如图：设BF CF m AF n ===，，GN BC AF BC ⊥⊥，，90AFB GNB ∴∠=∠=︒，又ABF GBN ∠=∠，ABF GBN ∴∽，GN BN BG AF BF AB∴==，即12GN BN n m ==， 1122GN n BN m ∴==，， 12NF m ∴=， 1122G m n ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，，同理CEP CAF ∽，14PE CP CE n m AC ∴===， 1144PE n CP m ∴==，， 34PF m ∴=， 3144E m n ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，，同法可得1344D m n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，设直线DF 解析式为1y k x =，把1344D m n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入得：11344mk n =，解得：13n k m=， ∠直线DF 解析式为3n y x m =，设直线GE 解析式为22y k x b =+，把1131,,,2244G m n E m n ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭代入得： 222211223144mk b n mk b n ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：22525n k m b n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∠直线GE 解析式为255n y x n m =-+，联立得3255n y x m n y x n m ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解得：838m x n y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，388m n M ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，，在255n y x n m =-+中，令0y =得2x m =， ()2,0H m ∴，四块图形恰好能拼成如图（2）的矩形，90FMH ∴∠=︒， 222FM MH FH ∴+=，()0,0F ，()22222332028888m n m n m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简整理可得2253n m =， 00m n >>，，15n ∴=，在Rt ABF 中，15tan AF n B BF m === 15 【点睛】本题考查锐角三角函数，矩形的性质，解题的关键是读懂题意，建立直角坐标系，求出M 的坐标．19．作图见解析，1O 和3O （答案不唯一）作图见解析，13O O 与24O O 的交点O 和5O （答案不唯一）【分析】利用中心对称图形进行分析，对于图①，过13,O O 的直线即可满足题意；对于图②过13O O 和24O O 的交点O 和5O 的直线即可满足题意．【详解】解：图①既是轴对称图形，也是中心对称图形，则只需过它的对称中心任意画一条直线即可，如图所示：∴如过13,O O 的一条直线（答案不唯一），故答案为：1O 和3O ；图②它不是中心对称图形，图①中，直线过图形的对称中心即可；一个圆时，只要过圆心即可，则画一条过13O O 和24O O 的交点O 和5O 的直线即可，如图所示：故答案为：13O O 与24O O 的交点O 和5O ．【点睛】本题考查利用对称性质作图，借助图形，准确分析图形的对称特征是解决问题的关键． 20．(1)6410⨯(2)22(1)n -(3)正确，理由见解析【分析】1（）根据题意可得，()()22121A B n n n +=++=+，把1999n =代入计算应用科学记数法表示方法进行计算即可得出答案；2（）把21A n =+，2B n =，代入22A B -中，可得()()22212n n +-，应用完全平方公式及因式分解的方法进行计算即可得出答案；3（）先计算()()2222221B C n n +=+-，计算可得()221n +，应用勾股定理的逆定理即可得出答案．【详解】（1）解：()()22121A B n n n +=++=+，当1999n =时，原式()219991=+22000=6410=⨯；故答案为：6410⨯；（2）()()2222212A B n n -=+- ()2222214n n n =++- ()22221n n =-+ 22(1)n =-；（3）嘉淇的发现正确，理由如下：()()2222221B C n n +=+-()2222421n n n =+-+ ()221n =+，222B C A ∴+=，∴当n 取正整数时，整式A 、B 、C 满足一组勾股数．【点睛】本题主要考查了勾股定理及逆定理，科学记数法，熟练掌握勾股定理及逆定理，科学记数法的计算方法进行求解是解决本题的关键．21．(1)是(2)18(3)12或14(4)12【分析】（1）根据“和谐数”的定义，即可求解；（2）根据“和谐数”的定义，即可求解；（3）根据()222817x m n x x ++=-+，可得22228217x n m x m x x +=+++-，从而得到41m n =-⎧⎨=±⎩，再代入，即可求解；（4）根据992280x y xy +--=，可得()2928xy x y =+-，再代入把原式变形为()2241x y +-+，即可求解．【详解】（1）解：∠22143131=+++，∠14是“和谐数”；故答案为：是（2）解：∠22183232=+++，∠18是“和谐数”；故答案为：18（3）解：∠()222817x m n x x ++=-+，∠22228217x n m x m x x +=+++-， ∠222817m m n =-⎧⎨+=⎩，解得：41m n =-⎧⎨=±⎩， ∠当1n =时，()()2222414114m n m n +++=-++-+=，当1n =-时，()()()()2222414112m n m n +++=-+-+-+-=，综上所述，“和谐数”22m n m n +++的值为12或14；（4）解：∠992280x y xy +--=，∠()2928xy x y =+-，∠22x y x y +++2222y xy x y x y x =-++++ ()22x y x y xy -=+++()()2928y x x y x y -++=+++()()2828x y x y =+-++，()2241x y +-+=∠()204x y +-≥，∠()212124x y -≥++，即2212x y x y +++≥，∠22x y x y +++的最小值为12．【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式，理解“和谐数”的定义是解题的关键．22．(1)13； (2)①300张；条形图见解析；②小明；【分析】（1）根据概率公式解答即可；（2）①利用小红的票数和票数所占百分比求出总票数，便可得到小亮的票数；进而补全条形图；②根据答辩分数占50%，笔试分数占40%，投票分数占10%，分别计算三人的加权平均得分；分数最高的即为冠军．（1）解：∠三人抽到第一个答辩的概率相等，∠小红抽到第一个答辩的概率为13．（2）解：①由小红的得票数和百分比可得：总票数=102÷0.34=300（张）；小亮的票数=300-102-108=90（张）；∠完整条形图为：②由答辩、笔试和网络投票三项得分按5∠4∠1的比例确定每人的总成绩，可得：小红得分=92×0.5+85×0.4+102×0.1=90.2（分）；小明得分=89×0.5+88×0.4+108×0.1=90.5（分）；小亮得分=90×0.5+89×0.4+90×0.1=89.6（分）；小明分数最高，故：小明是冠军．【点睛】本题考查了概率公式，条形统计图和扇形统计图的联系，利用加权平均数作决策；掌握加权平均数的计算方法是解题关键．23．(1)①()()02? 12，②， (2)413D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，或()01D ， (3)713t ≤≤或1133t -≤≤- 【分析】（1）根据旋转的性质，即可求解；（2）①当点D 在第一象限时，点D 关于点C 的“垂链点”在x 轴上，CD x ⊥轴，即可求解；②当点D 在第二象限时，证明DHC COD '≌即可求解；（3）分点N 落在正方形右边一条边上、上边一条边上两种情况，分别求解即可．【详解】（1）点A 的坐标为()00，，即点A 是原点，根据旋转性质得：①点()02Q ，②点()12P ，，故答案为()02，，()12，（2）①当点D 在第一象限时，点D 关于点C 的“垂链点”在x 轴上，CD x ∴⊥轴，故点413D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，； ②当点D 在第二象限时，如下图，设点1m 13D m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，点D (0，n ），点D 的“垂链点”D 在y 轴上，过点D 作DH x ⊥轴于点H ，9090DCH HDC OCD DCH ∠∠∠+=︒+∠'=︒，，HDC OCD ∠∠∴='，90DHC COD ∠∠︒'==，DC D C '=,DHC COD '≌，则DH OC =，即1113m +=，解得：0m =，故点()01D ，，综上，点413D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，或()01D ，（3）图形G 所在的直线表达式为：22y x =-，设点()22M m m -，，其中01m ≤≤，当N 落在正方形的右边的一条边上，①当T 在x 轴上方时，如下图：分别过M 、N 作y 轴的垂线交于点H '、G '，同理可证：NG T TH ''≌M ，TH NG '='，即()223t m --=，21t m =+，而01m ≤≤，且3N y ≤，则713t ≤≤； ②当T 在x 轴下方时，当3t =-时，点M 关于点T 的“垂链点”恰好为N 在正方形的边上，故3t =-；当点T 在3t =-下方时，且3N x ≥-，同理可得：3m t =--，解得：3t 且0t >，不符合题意舍去；当N 点落在正方形的上面的一条边上时，同理可得：3t m =-，而01m ≤≤，且3N y ≤，解得：1133t -≤≤-，综上，t 的取值范围是：713t ≤≤或1133t -≤≤-．【点睛】本题考查一次函数综合运用，正方形的性质，图形的旋转，解不等式等，这种新定义类的题目，通常按照题设顺序逐次求解，解题时注意分类讨论，避免遗漏．24．(1)支撑杆CD 的高度为9cm ．(2)手机的宽度为8cm ．【分析】（1）如图，连结OA ，由题意可得：O 的直径为10，6,AB = 由,OD AB ⊥ 先求解,OD 从而可得答案；（2）如图，记圆心为O ，连结OA ，证明,AE CD BF AB 设,AD BD x ==则2,AE CD BF AB x 则25,OD x 再利用勾股定理建立方程求解即可．【详解】（1）解：如图，连结OA ，由题意可得：O 的直径为10，6,AB =5,OA,CD AB ⊥ 即,OD AB ⊥ 3,AD BD ∴==22534,OD9.CD OC OD所以此时支撑杆CD 的高度为9cm ．（2）解：如图，记圆心为O ，连结OA ，由题意可得：,90,AB AE E EAB ABF∠四边形AEFB 为正方形，,CD EF,AE CD BFAB ,CD AB ⊥∴ 设,AD BD x ==则2,AE CD BF AB x5,OA OC25,OD x由勾股定理可得：2225=25,x x 解得120,4,x x ==经检验0x =不符合题意，舍去，取4,x = 8AB =（cm ），即手机的宽度为8cm ．【点睛】本题考查的是正方形的判定与性质，垂径定理的应用，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，理解题意，建立方程解题是关键．25．(1)①34a =-；②6个 (2)当3142a -<-时，“区域G ”内有4个整数点； (3)12a =或32a =【分析】（1）①将点(13)，代入223y ax ax a =--，求出a 的值即可；。

精品九年级数学中考数学一轮复习第15课菱形正方形

第15课菱形正方形⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧面积公式：周长公式：判定：性质：菱形⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧分线形成的四边形为矩形四边形四个内角平分线形成的四边形为平行四边形四个内角平角平分线问题成四边形为正方形四边中点菱形形四边形为菱形四边中点连线形成四边形为矩形四边中点连线形成线形成四边形为平行四边形四边中点连中点问题中考真题练习1.下列命题中，真命题是( )A.两条对角线垂直的四边形是菱形B.对角线垂直且相等的四边形是正方形C.两条对角线相等的四边形是矩形D.两条对角线相等的平行四边形是矩形2.如图,已知四边形ABCD 是平行四边形,下列结论中不正确的是（）A.当AB=BC 时,它是菱形B.当AC ⊥BD 时,它是菱形C.当∠ABC=90°时,它是矩形D.当AC=BD 是,它是正方形第2题图第3题图第4题图3.如图,在菱形ABCD 中,对角线AC,BD 相交于点O,E 为AB 的中点,且OE=a ，则菱形ABCD 周长为（）A.16aB.12aC.8aD.4a4.如图,菱形ABCD 的两条对角线相交于O,若AC=6，BD=4,则菱形ABCD 的周长是（）A.24B.16C.134D.325.如图，菱形ABCD 的边长为4，过点A 、C 作对角线AC 的垂线，分别交CB 和AD 的延长线于点E 、F ，AE=3，则四边形AECF 的周长为（）A.22B.18C.14D.11第5题图第6题图第7题图 6.如图,在菱形ABCD 中,M ，N 分别在AB ，CD 上,且AM=CN,MN 与AC 交于点O,连接BO.若∠DAC=280，则∠OBC 的度数为（）A.28°B.52°C.62°D.72°7.如图,在矩形ABCD 中,边AB 的长为3,点E ，F 分别在AD ，BC 上,连接BE,DF,EF,BD.若四边形BEDF 是菱形,且EF=AE+FC,则边BC 的长为（） A.32 B.33 C.36 D.38.顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是( )A.等腰梯形B.正方形C.平行四边形D.矩形9.正方形内有一点A ，到各边的距离从小到大依次是1、2、3、4，则正方形的周长是（）A.10B.20C.24D.2510.如图,ABCD 是正方形场地,点E 在DC 延长线上,AE 与BC 相交于F.有甲、乙、丙三名同学同时从点A出发,甲沿着A ﹣B ﹣F ﹣C 路径行走至C,乙沿着A ﹣F ﹣E ﹣C ﹣D 路径行走至D,丙沿着A ﹣F ﹣C ﹣D 路径行走至D.若三名同学行走的速度都相同,则他们到达各自的目的地的先后顺序（由先至后）是（）A.甲乙丙B.甲丙乙C.乙丙甲D.丙甲乙第10题图第11题图第12题图 11.如图,边长为6的大正方形中有两个小正方形,若两个小正方形的面积分别为S 1、S 2，则S 1+S 2值为（）A ．16B ．17C ．18D ．1912.如图,点E 在正方形ABCD 内,满足90AEB ∠=︒,AE=6,BE=8,则阴影部分的面积是( )A.48B.60C.76D.8013.如图,两个全等菱形的边长为1厘米,一只蚂蚁由A 点开始按ABCDEFCGA 的顺序沿菱形的边循环运动，行走2015厘米后停下,则这只蚂蚁停在点．第13题图第14题图第15题图14.菱形ABCD 中,AE 垂直平分BC,垂足为E,AB=4cm.那么菱形ABCD 的面积是，对角线BD的长是．15.如图,已知正方形ABCD 的边长为m ，△BPC 是等边三角形，则△CDP 的面积为 (用含m的代数式表示) .16.已知菱形ABCD 的面积是12cm2，对角线AC=4cm ，则菱形的边长是 cm.17.己知菱形ABCD 边长是6,点E 在直线AD 上,DE=3，连接BE 与对角线AC 相交于点M ，则AMMC 的值是18.如图，边长为2的正方形ABCD 中，P 是CD 的中点，连接AP 并延长交BC 的延长线于点F ，作△CPF的外接圆⊙O ，连接BP 并延长交⊙O 于点E ，连接EF ，则EF 的长为第18题图第19题图第20题图19.如图,已知P 是正方形ABCD 对角线BD 上一点,且BP=BC,则∠ACP 度数是． 20.如图,四边形ABCD,EFGH,NHMC 都是正方形，边长分别为a,b,c ；A,B,N,E,F 五点在同一直线上，则c= （用含有a,b 的代数式表示）．21.如图,将正方形ABCD 折叠,使顶点A 与CD 边上的点M 重合,折痕交AD 于E ，交BC 于F ，边AB 折叠后与BC 边交于点G 。

河北省中考数学复习四边形第28讲正方形与四边形综合试题(含解析)-人教版初中九年级全册数学试题

第28讲正方形与四边形综合1. (2013，某某) 一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示．若∠3＝50°，则∠1＋∠2的度数为(B)第1题图A. 90°B. 100°C. 130°D. 180°【解析】如答图．∠BAC＝180°－90°－∠1＝90°－∠1，∠ABC＝180°－60°－∠3＝120°－∠3，∠ACB＝180°－60°－∠2＝120°－∠2.在△ABC中，∠BAC＋∠ABC＋∠ACB ＝180°，∴90°－∠1＋120°－∠3＋120°－∠2＝180°.∴∠1＋∠2＝150°－∠3.∵∠3＝50°，∴∠1＋∠2＝150°－50°＝100°.第1题答图2. (2015，某某，导学号5892921)如图所示的是甲、乙两X不同的矩形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则(A)第2题图A. 甲、乙都可以B. 甲、乙都不可以C. 甲不可以，乙可以D. 甲可以，乙不可以【解析】甲、乙都可以拼一个与原来面积相等的正方形，所拼图形如答图所示．第2题答图3. (2016，某某)关于▱ABCD的叙述，正确的是(C)A. 若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形B. 若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形C. 若AC＝BD，则▱ABCD是矩形D. 若AB＝AD，则▱ABCD是正方形【解析】∵在▱ABCD中，AB⊥BC，∴四边形ABCD是矩形，不一定是菱形．故选项A错误．∵在▱ABCD中，AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，不一定是正方形．故选项B错误．∵在▱ABCD中，AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形．故选项C正确．∵在▱ABCD中，AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形，不一定是正方形．故选项D错误．4. (2017，某某)如图所示的是边长为10 cm的正方形铁片，过两个顶点剪掉一个三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度所标的数据(单位：cm)不正确的是(A)第4题图A B C D【解析】该正方形的对角线的长是10 2 cm≈14.14 cm，所以正方形内部的每一个点，到正方形的顶点的距离都要小于14.14 cm.正方形的性质例1 (2018，某某二模)如图，P为正方形ABCD的对角线BD上任意一点，过点P作PE⊥BC 于点E，PF⊥CD于点F，连接EF.给出以下4个结论：①△FPD是等腰直角三角形；②AP＝EF；③AD＝PD；④∠PFE＝∠BAP.其中正确的结论是(C)例1题图A. ①②B. ①④C. ①②④D. ①③④【解析】如答图，连接PC .∵P 为正方形ABCD 的对角线BD 上任意一点，∴PA ＝PC ，∠BCD ＝90°.∵PE ⊥BC ，PF ⊥CD ，∴∠PEC ＝∠DFP ＝∠PFC ＝∠BCD ＝90°.∴四边形PECF 是矩形．∴PC ＝EF .∴PA ＝EF .故②正确．∵BD 是正方形ABCD 的对角线，∴∠ABD ＝∠BDC ＝∠DBC ＝45°.∵∠PFD ＝∠BCD ＝90°，∴PF ∥BC .∴∠DPF ＝∠DBC ＝45°.∴△FPD 是等腰直角三角形．故①正确．在△PAB 和△PCB 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CB ，∠ABP ＝∠CBP ，BP ＝BP ，∴△PAB ≌△PCB .∴∠BAP ＝∠BCP .易证∠PFE ＝∠BCP ，∴∠PFE ＝∠BAP .故④正确．∵P 是正方形对角线BD 上任意一点，∴AD 不一定等于PD .故③错误．例1答图针对训练1 (2018，某某丰南区二模)如图，在正方形ABCD 外侧，作等边三角形ADE ，AC ，BE 相交于点F ，则∠BFC 的度数为(B)训练1题图A. 75°B. 60°C. 55°D. 45°【解析】 ∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BAD ＝90°，AB ＝AD ，∠BAF ＝45°.∵△ADE 是等边三角形，∴∠DAE ＝60°，AD ＝AE .∴∠BAE ＝90°＋60°＝150°，AB ＝AE .∴∠ABE ＝∠AEB ＝12×(180°－150°)＝15°.∴∠BFC ＝∠BAF ＋∠ABE ＝45°＋15°＝60°.正方形的判定例2 (2018，某某灌阳县模拟)如图，在△ABC 中，O 是AC 上一动点，过点O 作直线MN ∥BC .设MN 交∠BCA 的平分线于点E ，交∠ACD 的平分线于点F .若点O 运动到AC 的中点，要使四边形AECF 是正方形，则∠ACB 的度数是(D)例2题图A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°【解析】∵CE，CF分别为∠ACB，∠ACD的平分线，∴∠ECF＝90°.∵MN∥BC，∴∠FEC＝∠ECB.∵∠ECB＝∠ECO，∴∠FEC＝∠ECO.∴OE＝OC.同理OC＝OF.∴OE＝OF.∵点O 运动到AC的中点，∴OA＝OC.∴四边形AECF为矩形．若∠ACB＝90°，则AC⊥EF.∴四边形AECF为正方形.针对训练2 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O.添加一个条件，能使菱形ABCD 成为正方形的是(C)训练2题图A. BD＝ABB. AC＝ADC. ∠ABC＝90°D. OD＝AC【解析】要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可：①有一个内角是直角；②对角线相等.平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系例3 (2018，某某)如图，E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．下列说法：①若AC＝BD，则四边形EFGH为矩形；②若AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形；③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等．其中正确的个数是(A)例3题图A. 1B. 2C. 3D. 4【解析】由三角形中位线定理可知四边形的四边中点组成的四边形是平行四边形．本题中，当AC ＝BD 时，四边形EFGH 是菱形；当AC ⊥BD 时，四边形EFGH 是矩形；当AC ＝BD 且AC ⊥BD 时，四边形EFGH 是正方形．反之，四边形EFGH 是正方形时，AC 与BD 互相垂直且相等．只有说法④正确.针对训练3 (2018，某某盐都区模拟)如图，在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，E ，F ，G ，H 分别为AD ，BC ，BD ，AC 的中点，顺次连接E ，G ，F ，H .(1)求证：四边形EGFH 是菱形；(2)当∠ABC 与∠DCB 满足什么关系时，四边形EGFH 为正方形，并说明理由；(3)猜想：∠GFH ，∠ABC ，∠DCB 三个角之间的关系．(直接写出结果)训练3题图【思路分析】 (1)根据三角形中位线的性质得到EG ＝12AB ，EH ＝12CD ，HF ＝12AB ，GF ＝12CD .根据菱形的判定定理即可得到结论．(2)根据平行线的性质得到∠ABC ＝∠HFC ，∠DCB ＝∠GFB .根据平角的定义得到∠GFH ＝90°，于是得到结论．(3)由平行线的性质得到∠ABC ＝∠HFC ，∠DCB ＝∠GFB .根据平角的定义即可得到结论．(1)证明：∵E ，F ，G ，H 分别为AD ，BC ，BD ，AC 的中点，∴EG ＝12AB ，EH ＝12CD ，HF ＝12AB ，GF ＝12CD . ∵AB ＝CD ，∴EG ＝EH ＝HF ＝GF .∴四边形EGFH 是菱形．(2)解：当∠ABC ＋∠DCB ＝90°时，四边形EGFH 为正方形．理由：∵E ，F ，G ，H 分别为AD ，BC ，BD ，AC 的中点，∴HF ∥AB ，GF ∥CD .∴∠ABC ＝∠HFC ，∠DCB ＝∠GFB .∵∠ABC ＋∠DCB ＝90°，∴∠HFC ＋∠GFB ＝90°.∴∠GFH ＝90°.∴菱形EGFH 是正方形．(3)解：∠GFH ＋∠ABC ＋∠DCB ＝180°.一、选择题1. (2018，某某二模)如图，从正方形纸片的顶点沿虚线剪开，则∠1的度数可能是(A)第1题图A. 44°B. 45°C. 46°D. 47°【解析】如答图．∵四边形为正方形，∴∠2＝45°.∵∠1＜∠2，∴∠1＜45°.第1题答图2. (2018，某某)如图，正方形ABCD 的边长为1，E ，F 分别是对角线AC 上的两点，EG ⊥AB ，EI ⊥AD ，FH ⊥AB ，FJ ⊥AD ，垂足分别为G ，I ，H ，J ，则图中阴影部分的面积为(B)第2题图A. 1B. 12C. 13D. 14【解析】根据对称性，可知四边形EFHG 的面积与四边形EFJI 的面积相等．∴S 阴影＝ 12S 正方形ABCD ＝12.3. (2018，某某)如图，在正方形ABCD 中，A ，B ，C 三点的坐标分别是(－1，2)，(－1，0)，(－3，0)．将正方形ABCD 向右平移3个单位长度，则平移后点D 的坐标是(B)第3题图A. (－6，2)B. (0，2)C. (2，0)D. (2，2)【解析】∵在正方形ABCD中，A，B，C三点的坐标分别是(－1，2)，(－1，0)，(－3，0)，∴点D的坐标为(－3，2)．∴将正方形ABCD向右平移3个单位长度，平移后点D的坐标是(0，2)．4. (2018，湘西州)下列说法中，正确的有(B)①对顶角相等；②两直线平行，同旁内角相等；③对角线互相垂直的四边形为菱形；④对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【解析】①对顶角相等，故①正确．②两直线平行，同旁内角互补，故②错误．③对角线互相垂直平分的四边形为菱形，故③错误．④对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形，故④正确．5. (2018，某某)如图，已知E，F，G，H分别是菱形ABCD各边的中点，则四边形EFGH 是(B)第5题图A. 正方形B. 矩形C. 菱形D. 平行四边形【解析】由菱形对角线的性质和三角形中位线定理可得四边形EFGH是矩形．6. 如图，已知正方形ABCD的边长为1，连接AC，BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE 的长为(A)第6题图A. 2－1B.22C. 1D. 1－22【解析】如答图，过点E 作EF ⊥DC 于点F .∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD .∵CE 平分∠ACD ，∴EO ＝EF .∵正方形ABCD 的边长为1，∴AC ＝ 2.∴CO ＝12AC ＝22.∴CF ＝CO ＝22.∴EF ＝DF ＝DC －CF ＝1－22.∴DE ＝2DF ＝2－1.第6题答图7. 如图，正方形OABC 的两边OA ，OC 分别在x 轴、y 轴上，点D (5，3)在边AB 上．以点C 为中心，把△CDB 旋转90°，则旋转后点D 的对应点D ′的坐标是(C)第7题图A. (－2，0)B. (－2，10)C. (2，10)或(－2，0)D. (10，2)或(－2，10)【解析】因为点D (5，3)在边AB 上，所以AB ＝BC ＝5，BD ＝5－3＝2.①若把△CDB 顺时针旋转90°，则点D ′在x 轴上，OD ′＝2，所以D ′(－2，0)．②若把△CDB 逆时针旋转 90°，则点D ′到x 轴的距离为10，到y 轴的距离为2，所以D ′(2，10)．综上，旋转后点D 的对应点D ′的坐标为(－2，0)或(2，10)．8. 如图，边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A 顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是(D)第8题图A. 12B. 33C. 1－33D. 2－1 【解析】 ∵绕顶点A 顺时针旋转45°，∴∠D ′CE ＝45°，∠CD ′E ＝90°.∴CD ′＝D ′E .∵AC ＝12＋12＝2，∴CD ′＝2－1.∴正方形重叠部分的面积是12×1×1－12×(2－1)×(2－1)＝2－1.二、填空题9. 如图，在正方形ABCD 中，E 为AD 的中点，连接EC ，过点E 作EF ⊥EC ，交AB 于点F ，则tan ∠ECF ＝（ 12）.第9题图【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠A＝∠D＝90°.∵AE＝ED，∴CD＝AD＝2AE.∵∠FEC＝90°，∴∠AEF＋∠DEC＝90°.∵∠DEC＋∠DCE＝90°，∴∠AEF＝∠DCE.∵∠A＝∠D，∴△AEF∽△DCE.∴EFEC＝AEDC＝12.∴tan∠ECF＝EFEC＝12.10. 如图，E为正方形ABCD外一点，AE＝AD，∠ADE＝75°，则∠AEB＝30°.第10题图【解析】∵AE＝AD，∠ADE＝75°，∴∠DAE＝180°－2∠ADE＝180°－2×75°＝30°.∴∠BAE＝∠BAD＋∠DAE＝90°＋30°＝120°.∵AB＝AD，∴AB＝AE.∴∠AEB＝1 2(180°－∠BAE)＝12×(180°－120°)＝30°.11. (2018，某某)以正方形ABCD的边AD为边作等边三角形ADE，则∠BEC的度数是30°或150°.【解析】如答图①.∵四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，∴AB＝BC＝CD＝AD ＝AE＝DE，∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，∠AED＝∠ADE＝∠DAE＝60°.∴∠BAE＝∠CDE＝150°.∴∠AEB＝∠CED＝15°.∴∠BEC＝∠AED－∠AEB－∠CED＝30°.如答图②.同理∠CDE＝∠ADC－∠ADE＝90°－60°＝30°.∴∠CED＝∠ECD＝12×(180°－30°)＝75°.∴∠BEC＝360°－75°×2－60°＝150°.第11题答图12. (2018，某某)如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为(2，3)，则点F的坐标为(－1，5)．第12题图【解析】如答图，过点E 作x 轴的垂线EH ，垂足为H ，过点G 作x 轴的垂线GM ，垂足为M ，连接GE ，FO 相交于点O ′.∵四边形OEFG 是正方形，∴OG ＝EO .易证∠GOM ＝∠OEH ，∠OGM ＝∠EOH .∴△OGM ≌△EOH (ASA)．∴GM ＝OH ＝2，OM ＝EH ＝3.∴G (－3，2)．∴O ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，52.∵点F 与点O 关于点O ′对称，∴点F 的坐标为(－1，5)．第12题答图三、解答题13. (2018，某某)如图，已知E 为正方形ABCD 的边AD 上一点，连接BE ，过点C 作⊥BE ，垂足为M ，交AB 于点N .(1)求证：△ABE ≌△B ；(2)若N 为AB 的中点，求tan ∠ABE .第13题图【思路分析】 (1)根据正方形的性质和全等三角形的判定定理证明即可．(2)根据全等三角形的性质和三角函数解答即可．(1)证明：如答图．∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ＝BC ，∠A ＝∠CBN ＝90°，∠1＋∠2＝90°.∵CM ⊥BE ，∴∠2＋∠3＝90°.∴∠1＝∠3.在△ABE 和△B 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠CBN ，AB ＝BC ，∠1＝∠3，∴△ABE ≌△B (ASA)． (2)解：∵N 为AB 的中点， ∴BN ＝12AB .∵△ABE ≌△B ， ∴AE ＝BN ＝12AB .在Rt △ABE 中，tan ∠ABE ＝AE AB ＝12AB AB ＝12.第13题答图14. (2018，某某)如图，在正方形ABCD 中，对角线BD 所在的直线上有两点E ，F 满足BE ＝DF ，连接AE ，AF ，CE ，CF .(1)求证：△ABE ≌△ADF ；(2)试判断四边形AECF 的形状，并说明理由．第14题图【思路分析】 (1)根据正方形的性质和全等三角形的判定定理证明即可．(2)四边形AECF 是菱形，根据对角线垂直且互相平分的四边形是菱形即可判断．(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝AD . ∴∠ABD ＝∠ADB . ∴∠ABE ＝∠ADF .在△ABE 和△ADF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，∠ABE ＝∠ADF ，BE ＝DF ，∴△ABE ≌△ADF (SAS)． (2)解：四边形AECF 是菱形．理由：如答图，连接AC . ∵四边形ABCD 是正方形， ∴OA ＝OC ，OB ＝OD ，AC ⊥EF . ∴OB ＋BE ＝OD ＋DF . ∴OE ＝OF .∴四边形AECF 是菱形．第14题答图15. (2018，某某)如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 边上的一个动点，F ，G ，H 分别是BC ，BE ，CE 的中点．(1)求证：△BGF ≌△FHC ；(2)设AD ＝a ，当四边形EGFH 是正方形时，求矩形ABCD 的面积．第15题图【思路分析】 (1)根据三角形中位线定理和全等三角形的判定证明即可．(2)利用正方形的性质和矩形的面积公式解答即可．(1)证明：∵F ，G ，H 分别是BC ，BE ，CE 的中点， ∴FH ∥BE ，FH ＝12BE ，GE ＝BG ＝12BE ，BF ＝FC .∴∠CFH ＝∠CBG ，FH ＝BG . ∴△BGF ≌△FHC .(2)解：如答图，连接EF ，GH .当四边形EGFH 是正方形时，得EF ⊥GH 且EF ＝GH . ∵在△BEC 中，G ，H 分别是BE ，CE 的中点， ∴GH ＝12BC ＝12AD ＝12a ，且GH ∥BC .∴EF ⊥BC .∵四边形ABCD 为矩形，∴AB ＝EF ＝GH ＝12a .∴矩形ABCD 的面积为AB ·AD ＝12a ·a ＝12a 2.第15题答图16. (2018，某某)如图，正方形ABCD 的对角线交于点O ，点E ，F 分别在AB ，BC 上(AE ＜BE )，且∠EOF ＝90°，OE ，DA 的延长线相交于点M ，OF ，AB 的延长线相交于点N ，连接MN .(1)求证：OM ＝ON ；(2)若正方形ABCD 的边长为4，E 为OM 的中点，求MN 的长．(结果保留根号)第16题图【思路分析】 (1)证△OAM ≌△OBN 即可得．(2)作OH ⊥AD ，由正方形的边长为4且E 为OM 的中点知OH ＝HA ＝2，HM ＝4，再根据勾股定理得OM ＝2 5.由等腰直角三角形的性质知MN＝2OM .(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴OA ＝OB ，∠DAO ＝∠OBA ＝45°. ∴∠OAM ＝∠OBN ＝135°. ∵∠EOF ＝90°，∠AOB ＝90°， ∴∠AOM ＝∠BON .∴△OAM ≌△OBN (ASA)．∴OM ＝ON . (2)解：如答图，过点O 作OH ⊥AD 于点H .∵正方形ABCD 的边长为4， ∴OH ＝HA ＝2. ∵E 为OM 的中点， ∴HM ＝4.∴OM ＝22＋42＝2 5. ∴MN ＝2OM ＝210.第16题答图1. (2018，某某)如图，已知E 是矩形ABCD 的对角线AC 上的一动点，正方形EFGH 的顶点G ，H 都在边AD 上．若AB ＝3，BC ＝4，则tan ∠AFE 的值为(A)第1题图A. 37B. 33C. 34 D. 随点E 位置的变化而变化【解析】 ∵EF ∥AD ，∴∠AFE ＝∠FAG .∴HE ∥CD .∴△AEH ∽△ACD .∴EH AH ＝CD AD ＝34.设EH ＝3x ，AH ＝4x ，∴HG ＝GF ＝3x .∴tan ∠AFE ＝tan ∠FAG ＝GF AG ＝3x 3x ＋4x ＝37. 2. (2018，某某)如图，已知正方形ABCD 的边长为5，点E ，F 分别在AD ，DC 上，AE ＝DF ＝2，BE 与AF 相交于点G ，H 为BF 的中点，连接GH ，则GH 的长为（342）.(结果保留根号) 第2题图【解析】 ∵四边形ABCD 为正方形，∴∠BAE ＝∠D ＝90°，AB ＝AD .∵AE ＝DF ，∴△ABE ≌△DAF (SAS)．∴∠ABE ＝∠DAF .∵∠ABE ＋∠BEA ＝90°，∴∠DAF ＋∠BEA ＝90°.∴∠BGF ＝∠AGE ＝90°.∵H 为BF 的中点，∴GH ＝12BF .∵BC ＝5，CF ＝CD －DF ＝5－2＝3，∴BF ＝BC 2＋CF2＝34.∴GH ＝12BF ＝342.3. (2018，某某，导学号5892921)如图，在正方形ABCD 中，AB ＝3，点E ，F 分别在CD ，AD 上，CE ＝DF ，BE ，CF 相交于点G .若图中阴影部分的面积与正方形ABCD 的面积之比为2∶3，则△BCG 的周长为15＋3.(结果保留根号)第3题图【解析】 ∵阴影部分的面积与正方形ABCD 的面积之比为2∶3，∴阴影部分的面积为23×9CE ＝DF ，BC ＝CD ，∠BCE ＝∠CDF ＝90°，可得△BCE ≌△CDF ，∴△BCG 的面积与四边形DEGF 的面积相等，均为12×3＝32.易证∠BGC ＝90°.设BG ＝a ，CG ＝b ，则12ab ＝32.又∵a 2＋b 2＝32，∴a 2＋2ab ＋b 2＝9＋6＝15，即(a ＋b )2＝15.∴a ＋b ＝15，即BG ＋CG ＝15.∴△BCG 的周长为15＋3.4. (2018，，导学号5892921)如图，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上的一动点(不与点A ，B 重合)，连接DE ，点A 关于直线DE 的对称点为F ，连接EF 并延长交BC 于点G ，连接DG ，过点E 作EH ⊥DE 交DG 的延长线于点H ，连接BH .(1)求证：GF ＝GC ；(2)用等式表示线段BH 与AE 的数量关系，并证明．第4题图【思路分析】 (1)连接DF ，根据对称的性质，得△ADE ≌△FDE ，再由HL 证明Rt △DFG ≌Rt △DCG ，可得结论．(2)作辅助线，构建AM ＝AE ，先证明∠EDG ＝45°，得DE ＝EH ，证明△DME ≌△EBH ，则EM ＝BH ，根据勾股定理得EM ＝2AE ，得结论．(1)证明：如答图，连接DF . ∵四边形ABCD 是正方形， ∴DA ＝DC ，∠A ＝∠C ＝90°. ∵点A 关于直线DE 的对称点为F ， ∴△ADE ≌△FDE .∴DA ＝DF ，∠DFE ＝∠A ＝90°.∴DF ＝DC ，∠DFG ＝90°.在Rt △DFG 和Rt △DCG 中，⎩⎪⎨⎪⎧DG ＝DG ，DF ＝DC ，∴Rt △DFG ≌Rt △DCG (HL)． ∴GF ＝GC . (2)解：BH ＝2AE .证明：如答图，在线段AD 上截取AM ，使AM ＝AE . ∵AD ＝AB ， ∴DM ＝BE .由(1)知∠1＝∠2，∠3＝∠4. ∵∠ADC ＝90°，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝90°. ∴∠2＋∠3＝45°，即∠EDG ＝45°. ∵EH ⊥DE ， ∴∠DEH ＝90°.∴∠AED ＋∠BEH ＝∠AED ＋∠1＝90°，△DEH 是等腰直角三角形． ∴∠1＝∠BEH ，DE ＝EH . ∴△DME ≌△EBH . ∴EM ＝BH .在Rt △AEM 中，∠A ＝90°，AM ＝AE ， ∴EM ＝2AE . ∴BH ＝2AE .第4题答图。

2020年度九年级中考数学专题复习探究正方形中的“十字架模型”含答案

2020年度九年级中考数学专题复习探究正方形中的“十字架模型”一、考题研究在特殊的四边形问题中翻折的问题是比较常见的，不论是期中、期末和中考中都比较常见，能否采用合适的方法求出线段长，或者是利用面积之间关系求线段之间关系，这就是我们今天重点学习的一个模型“十字架模型”二、知识回顾1、全等三角形的性质与判定2、相似三角形的性质与判定3、矩形和正方形的性质与判定4、图形的变换--轴对称三、十字架模型【十字架模型】--正方形第一种情况：过顶点在正方形ABCD中，AE⊥BF，可得AE=BF，借助于同角的余角相等，证△明BAF≌△ADE（ASA）所以AE=BF第二种情况：不过顶点在正方形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边上的点，其中：EG⊥FH，可得EG=FH也可以如下证明在正方形ABCD中，E，F，G，H分别AB、BC、CD、DA边上的点，其中：EG⊥FH，可得EG=FH【导入】如图，将边长为4的正方形纸片ABCD折叠，使得点A落在边C D的中点E处，折痕为FG，点F 、G 分别在边AD、BC上，则折痕FG的长度为______．【分析】过点G 作G H AD于H，根据翻折变换的性质可得G F AE ，然后求出GFH D，再利用“角角边”证明ADE和GHF全等，根据全等三角形对应边相等可得GF AE，再利用勾股定理列式求出AE，从而得解．【解答】法一：解：如图，过点G作G H A D于H，则四边形ABGH中，HG AB，由翻折变换的性质得G F A E，Q AFG DAE 90，AED DAE 90，AFG AED，Q四边形ABCD是正方形，A D AB，H G AD，在ADE和GHF中，GHF D Array AFG AED，GH ADADE GHF(A AS)，G F AE，Q点E是CD的中点，1D E CD 2，2在Rt ADE中，由勾股定理得，AE AD2DE2422225，GF的长为25．故答案为：25．【点评】本题考查翻折变换的问题，折叠问题其实质是轴对称，对应线段相等，对应角相等，找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键．法二：分析：连接AE，求解FG相当于求AE。

2021年九年级数学中考一轮复习正方形的判定与性质中考真题演练2(附答案)

2021年九年级数学中考一轮复习正方形的判定与性质中考真题演练2（附答案）1．已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．（1）当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1），请你直接写出BM、DN和MN的数量关系：__________．（2）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明.（3）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请写出直接写出结论．2．如图，正方形ABCD，G是BC边上任意一点（不与B、C重合），DE⊥AG于点E，BF ∥DE，且交AG于点F．（1）求证：AF﹣BF＝EF；（2）四边形BFDE是否可能是平行四边形，如果可能，请指出此时点G的位置，如不可能，请说明理由．3．已知：如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EOF＝90°．求证：CE＝DF．4．如图，已知正方形ABCD的边长为1，正方形CEFG的面积为S1，点E在DC边上，点G在BC的延长线上，设以线段AD和DE为邻边的矩形的面积为S2，且S1＝S2．（1）求线段CE的长；（2）若点H为BC边的中点，连接HD，求证：HD＝HG．5．如图所示，已知平行四边形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，∠OBC＝∠OCB．（1）求证：平行四边形ABCD是矩形；（2）请添加一个条件使矩形ABCD为正方形．6．如图，点O是线段AB上的一点，OA＝OC，OD平分∠AOC交AC于点D，OF平分∠COB，CF⊥OF于点F．（1）求证：四边形CDOF是矩形；（2）当∠AOC多少度时，四边形CDOF是正方形？并说明理由．7．如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，DE⊥AC、DF⊥AB，垂足分别是E、F，且BF＝CE．（1）求证：DE＝DF；（2）当∠A＝90°时，试判断四边形AFDE是怎样的四边形，并证明你的结论．8．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB=22，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE．交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．①求证：矩形DEFG是正方形；②探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．9．如图（1），已知四边形ABCD的四条边相等，四个内角都等于90°，点E是CD边上一点，F是BC边上一点，且∠EAF=45°．（1）求证：BF+DE=EF；（2）若AB=6，设BF=x，DE=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）过点A作AH⊥FE于点H，如图（2），当FH=2，EH=1时，求△AFE的面积．10．取一张正方形的纸片进行折叠，具体操作过程如下：第一步：如图1，先把正方形ABCD对折，折痕为MN．第二步：点G在线段 MD上，将△GCD沿GC翻折，点D恰好落在MN上，记为点P，连接BP．（1）判断△PBC的形状，并说明理由；（2）作点C关于直线AP的对称点C′，连接PC′、DC′．①在图2中补全图形，并求出∠APC′的度数；②猜想∠PC′D的度数，并加以证明；（温馨提示：当你遇到困难时，不妨连接AC′、CC′，研究图形中特殊的三角形）11．问题提出(1)如图1，将直角三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条直角边交边DC于点E，线段PB和线段PE相等吗？请证明；问题探究(2)如图2，移动三角板，使三角板的直角顶点P在对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条直角边交DC的延长线于点E，(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；问题解决(3)继续移动三角板，使三角板的直角顶点P在对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条直角边交DC的延长线于点E，(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．12．综合与实践问题情境：在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：如图1，在矩形ABCD 中，AD=2AB ，E 是AB 延长线上一点，且BE=AB ，连接DE ，交BC 于点M ，以DE 为一边在DE 的左下方作正方形DEFG ，连接AM ．试判断线段AM 与DE 的位置关系．探究展示：勤奋小组发现，AM 垂直平分DE ，并展示了如下的证明方法：证明：∵BE=AB ，∴AE=2AB ．∵AD=2AB ，∴AD=AE ．∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ． ∴EM EB DM AB=．（依据1） ∵BE=AB ，∴1EM DM =．∴EM=DM ．即AM 是△ADE 的DE 边上的中线，又∵AD=AE ，∴AM ⊥DE ．（依据2）∴AM 垂直平分DE ．反思交流：（1）①上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？②试判断图1中的点A 是否在线段GF 的垂直平分线上，请直接回答，不必证明；（2）创新小组受到勤奋小组的启发，继续进行探究，如图2，连接CE ，以CE 为一边在CE 的左下方作正方形CEFG ，发现点G 在线段BC 的垂直平分线上，请你给出证明；探索发现：（3）如图3，连接CE ，以CE 为一边在CE 的右上方作正方形CEFG ，可以发现点C ，点B 都在线段AE 的垂直平分线上，除此之外，请观察矩形ABCD 和正方形CEFG 的顶点与边，你还能发现哪个顶点在哪条边的垂直平分线上，请写出一个你发现的结论，并加以证明．参考答案1.解：（1）BM+DN=MN．理由如下：如图4，把△AND绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，则由题意可得：点C、B、F三点共线，∴由旋转的性质可得：BF=DN，AF=AN，∠BAF=∠DAN，∵∠BAD=90°，∠MAN=45°，∴∠BAM+∠DAN=45°，∴∠BAF+∠BAM=45°=∠MAF=∠MAN，又∵AM=AM，∴△AMF≌△AMN，∴MF=MN，又∵MF=BM+BF，BF=DN，∴MN=BM+DN；（2）成立，理由如下：如图5，把△ADN绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE，则可得E、B、M三点共线．∴∠EAM=90°﹣∠NAM=90°﹣45°=45°，AE=AN，BE=DN，又∵∠NAM=45°，∴∠EAM=∠NAM，∴在△AEM与△ANM中，，∴ME=MN，∵ME=BE+BM=DN+BM，∴DN+BM=MN；（3）DN-BM=MN．理由如下：如图6，在DC上截取DE=BM，连接AE，∵∠ADE=∠ABM=90°，AD=AB，∴△ADE≌△ABM，∴AE=AM，∠DAE=∠BAM，∵∠BAM+∠BAN=∠MAN=45°，∴∠DAE+∠BAN=45°，∴∠EAN=90°-∠DAE-∠BAN=45°=∠MAN，又∵AN=AN，∴△EAN≌△MAN，∴EN=MN，又∵DN-DE=EN，∴DN-BM=MN.2．解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAF+∠DAE＝90°，∵DE⊥AG，∴∠DAE+∠ADE＝90°，∴∠ADE＝∠BAF，又∵BF∥DE，∴∠BFA＝90°＝∠AED，∴AE＝BF，∴AF﹣BF＝AF﹣AE＝EF；（2）不可能，理由是：如图，若要四边形BFDE是平行四边形，已知DE∥BF，则当DE＝BF时，四边形BFDE为平行四边形，∵DE＝AF，∴BF＝AF，即此时∠BAF＝45°，而点G不与B和C重合，∴∠BAF≠45°，矛盾，∴四边形BFDE不可能是平行四边形．3．证明：∵四边形ABCD为正方形，∴OD＝OC，∠ODF＝∠OCE＝45°，∠COD＝90°，∴∠DOF+∠COF＝90°，∵∠EOF＝90°，即∠COE+∠COF＝90°，∴∠COE＝∠DOF，∴△COE≌△DOF（ASA），∴CE＝DF．4．解：（1）设正方形CEFG的边长为a，∵正方形ABCD的边长为1，∴DE＝1﹣a，∵S1＝S2，∴a2＝1×（1﹣a），解得，（舍去），，即线段CE的长是；（2）证明：∵点H为BC边的中点，BC＝1，∴CH＝0.5，∴DH＝＝，∵CH＝0.5，CG＝，∴HG＝，∴HD＝HG．5．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵∠OBC＝∠OCB，∴OB＝OC，∴AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形；（2）解：AB＝AD（或AC⊥BD答案不唯一）．理由：∵四边形ABCD是矩形，又∵AB＝AD，∴四边形ABCD是正方形．或：∵四边形ABCD是矩形，又∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是正方形．6．（1）证明：∵OD平分∠AOC，OF平分∠COB（已知），∴∠AOC＝2∠COD，∠COB＝2∠COF，∵∠AOC+∠BOC＝180°，∴2∠COD+2∠COF＝180°，∴∠COD+∠COF＝90°，∴∠DOF＝90°；∵OA＝OC，OD平分∠AOC（已知），∴OD⊥AC，AD＝DC（等腰三角形的“三合一”的性质），∴∠CDO＝90°，∵CF⊥OF，∴∠CFO＝90°∴四边形CDOF是矩形；（2）当∠AOC＝90°时，四边形CDOF是正方形；理由如下：∵∠AOC＝90°，AD＝DC，∴OD＝DC；又由（1）知四边形CDOF是矩形，则四边形CDOF是正方形；因此，当∠AOC＝90°时，四边形CDOF是正方形．7．（1）证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠BFD＝∠CED＝90°，在Rt△BDF和Rt△CDE中，∵，∴Rt△BDF≌Rt△CDE（HL），∴DE＝DF；（2）答：四边形AFDE是正方形．证明：∵∠A＝90°，DE⊥AC，DF⊥AB，∴四边形AFDE是矩形，又∵Rt△BDF≌Rt△CDE，∴DF＝DE，∴四边形AFDE是正方形．22.解：①过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示：∵正方形ABCD，∴∠BCD=90°，∠ECN=45°，∴∠EMC=∠ENC=∠BCD=90°，且NE=NC，∴四边形EMCN为正方形．∵四边形DEFG是矩形，∴EM=EN，∠DEN+∠NEF=∠MEF+∠NEF=90°，∴∠DEN=∠MEF，又∠DNE=∠FME=90°．在△DEN和△FEM中，∵∠DNE=∠FME，EN=EM，∠DEN=∠FEM，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴ED=EF，∴矩形DEFG为正方形，②CE+CG的值为定值，理由如下：∵矩形DEFG为正方形，∴DE=DG，∠EDC+∠CDG=90°．∵四边形ABCD是正方形，∵AD=DC，∠ADE+∠EDC=90°，∴∠ADE=∠CDG．在△ADE和△CDG中，∵AD=CD，∠ADE=∠CDG，DE=DG，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE=CG，∴AC=AE+CE=2AB=2×22=4，∴CE+CG=4 是定值．解:（1）如图1中，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=CD=BC，∠BAD=90°，∵∠EAF=45°，∴∠BAF+∠BAH=∠BAF+∠DAE=45°，∴∠FAH=∠FAE=45°，∵AF=AF，AH=AE，∴△AFH≌△AFE（SAS），∴EF=FH，∵FH=BH+BF=DE+BF，∴EF=BF+DE；（2）∵AB=BC=CD=6，BF=x，DE=y，∴EF=x+y，FC=6=﹣x，EC=6﹣y，在Rt△ECF中，∵EF2=CF2+EC2，∴（x+y）2=（6﹣x）2+（6﹣y）2，∴y=3662+6xx（0≤x≤6）；（3）如图2中，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABM．由（1）可知△AFM≌△AFH，∵AB⊥FM，AH⊥EF，∴AB=AH，设AB=BC=CD=AD=x，∵∠ABF=∠AHF=90°，∵AF=AF．AB=AH，∴Rt△AFB≌Rt△AFH（HL），∴BF=FH=2，同理可证：DE=EH=1，∴CF=x﹣2，EC=x﹣1，在Rt△ECF中，∵EF2=CF2+EC2，∴32=（x﹣2）2+（x﹣1）2，∴x=317 +或317-（舍弃），∴S△AEF=12•EF•AH=12317+9317+8.解：（1）△PBC是等边三角形，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD，∠ABC=90°，由折叠的性质得：BN=NC=12BC=12PC，MN⊥BC，∴PB=PC，∠PNC=90°，在Rt△PNC中，sin∠NPC=12NCPC=，∴∠NPC=30°，∴∠PCB=60°，∴△PBC是等边三角形；（2）①补全图形如图2所示：由①得：∠PCB=∠PBC=∠BPC=60°，PB=PC=BC，∵∠ABC=90°，∴∠ABP=90°﹣60°=30°，∵AB=BC，∴AB=PB，∴∠BAP=∠BPA=12(180°-∠PBC)=75°，∴∠APC=∠BPA+∠BPC=75°+60°=135°，∵C关于直线AP的对称点为C′，∴∠APC'=∠APC=135°；②连接AC'，CC'，如图3所示：由对称的性质得：AC=AC'，∠CAP=∠C'AP=30°，∴∠CAC'=60°，∴△CAC'是等边三角形，∴AC'=CC'，∠AC'C=60°，在△AC'D 和△CC'D 中，{AC CC AD CDC D C D=='='''， ∴△AC'D ≌△CC'D （SSS ），∴∠AC'D=∠CC'D=12∠AC'C=30°， ∵∠AC'P=∠ACP=15°，∴∠PC'D=15°．9.解：(1)如图1，过点P 作PM ⊥BC ，PN ⊥CD ，垂足分别为M ，N ，∵四边形ABCD 为正方形，∴∠BCD ＝90°，AC 平分∠BCD ，∵PM ⊥BC ，PN ⊥CD ，∴四边形PMCN 为正方形，PM ＝PN ，∵∠BPE ＝90°，∠BCD ＝90°，∴∠PBC ＋∠CEP ＝180°，而∠CEP ＋∠PEN ＝180°，∴∠PBM ＝∠PEN ，在△PBM 和△PEN 中， { PBM PEN PMB PNE PM PN∠=∠∠=∠= ∴△PBM ≌△PEN(AAS)，∴PB ＝PE(2)如图2，PB ＝PE 还成立．理由如下：过点P 作PM ⊥BC ，PN ⊥CD ，垂足分别为M ，N ，∵四边形ABCD 为正方形，∴∠BCD ＝90°，AC 平分∠BCD ，∵PM ⊥BC ，PN ⊥CD ，∴四边形PMCN 为正方形，PM ＝PN ，∴∠MPN ＝90°，∵∠BPE ＝90°，∠BCD ＝90°，∴∠BPM ＋∠MPE ＝90°，而∠MPE ＋∠EPN ＝90°，∴∠BPM ＝∠EPN ，在△PBM 和△PEN 中， { PMB PNE PM PN BPM EPN∠=∠=∠=∠∴△PBM≌△PEN(ASA)，∴PB＝PE (3)如图3，PB＝PE还成立．理由如下：过点P作PM⊥BC交BC 的延长线于点M，PN⊥CD的延长线于点N，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BCD＝90°，AC 平分∠BCD，∵PM⊥BC，PN⊥CD，∴四边形PMCN为正方形，PM＝PN，∴∠MPN＝90°，∵∠BPE＝90°，∠BCD＝90°，∴∠BPM＋∠BPN＝90°，而∠BPN＋∠EPN＝90°，∴∠BPM＝∠EPN，在△PBM和△PEN中，{PMB PNEPM PNBPM EPN∠=∠=∠=∠∴△PBM≌△PEN(ASA)，∴PB＝PE12．解：由问题情景知，AM⊥DE，∵四边形DEFG是正方形，∴DE∥FG，∴点A在线段GF的垂直平分线上．（2）证明：过点G作GH⊥BC于点H，∵四边形ABCD是矩形，点E在AB的延长线上，∴∠CBE=∠ABC=∠GHC=90°，∴∠BCE+∠BEC=90°．∵四边形CEFG为正方形，∴CG=CE，∠GCE=90°，∴∠BCE+∠BCG=90°．∴∠2BEC=∠BCG．∴△GHC≌△CBE．∴HC=BE，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC．∵AD=2AB，BE=AB，∴BC=2BE=2HC，∴HC=BH．∴GH垂直平分BC．∴点G在BC的垂直平分线上．（3）答：点F在BC边的垂直平分线上（或点F在AD边的垂直平分线上）．过点F作FM⊥BC于点M，过点E作EN⊥FM于点N．∴∠BMN=∠ENM=∠ENF=90°．∵四边形ABCD是矩形，点E在AB的延长线上，∴∠CBE=∠ABC=90°，∴四边形BENM为矩形．∴BM=EN，∠BEN=90°．∴∠1+∠2=90°．∵四边形CEFG为正方形，∴EF=EC，∠CEF=90°．∴∠2+∠3=90°．∴∠1=∠3．∵∠CBE=∠ENF=90°，∴△ENF≌△EBC．∴NE=BE．∴BM=BE．∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC．∵AD=2AB，AB=BE．∴BC=2BM．∴BM=MC．∴FM垂直平分BC．∴点F在BC边的垂直平分线上。

中考数学专项复习命题点5 正方形的性质与判定(必考)

第15题解图③
解法4：如解图④，过点作于点，交于点，由点是的中点，得 , 分别是 , 的中点，由中位线得，得，由 ,得，则 .
第15题解图④
第16题图
16.[2023安徽]如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点 .若，，则 ( )
, ， .
第10题图
10.[2023河北]如图，在中，，点是斜边的中点，以为边作正方形 .若，则 ( )
A. B. C. 12 D. 16
√
【解析】四边形是正方形，又，，（负值已舍），在中，点是斜边的中点，，即，在中，，， .
第15题解图①
解法2：如解图②，延长交的延长线于点，易得，由，点是的中点，得，由垂直平分，得， , ，，则， .
第15题解图②
解法3：如解图③，过点作交于点，过点作于点，易得四边形是矩形，在中求得，在中求得，则 .
√
第9题图
9.（优质原创）如图，在正方形中， , 分别在边 , 上，且为等边三角形，若，则的长为_ ________.
第9题图
【解析】设与的交点为 , 为等边三角形，四边形为正方形，， , , ， , , 垂直平分， , ，
第13题图
13.如图，是正方形的对角线，平分交的延长线于点，交于点，则的值为( )
A. B. C. 2 D.
√
【解析】四边形是正方形，，，，，，平分，，，，，，， .
第2题图
2.（新中考）如图，平行四边形的对角线互相垂直，要使成为正方形，还需添加的一个条件是_ _______________________.（只需添加一个即可）

中考数学一轮复习之正方形1

中考数学一轮复习之正方形【例】如图，在正方形ABCD 中，P 、Q 分别是BC 、CD 上的点，若∠PAQ ＝450，求证：PB ＋DQ ＝PQ 。

变式：若条件改为PQ ＝PB ＋DQ ，那么∠PAQ ＝？你还能得到哪些结论？【问题一】如图，已知正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，E 是AC 上一点，过A 作AG ⊥EB 于G ，AG 交BD 于点F ，则OE ＝OF ，对上述命题，若点E 在AC 的延长线上，AG ⊥EB ，交EB 的延长线于点G ，AG 的延长线交DB 的延长线于点F ，其它条件不变，则结论“OE ＝OF ”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，说明理由。

问题一图 1O FGEDC BA问题一图2【问题二】操作，将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD 上，并使它的直角顶点P 在对角线AC 上滑行，直角的一边始终经过点B ，另一边与射线DC 相交于点Q 。

探究：设A 、P 两点间的距离为x 。

（1）当点Q 在边CD 上时，线段PQ 与线段PB 之间有怎样的关系？试证明你观察得到的结论；（2）当点Q 在边CD 上时，设四边形PBCQ 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）当点P 在线段AC 上滑行时，△PCQ 是否可能成为等腰三角形，如果可能，指出所有能使△PCQ 成为等腰三角形的点Q 的位置，并求出相应的x 值；如果不可能，请说明理由（题目中的图形形状大小都相同，供操作用）。

DC B ADC B ADCB A跟踪训练：一、填空题：1、给出下面三个命题：①对角线相等的四边形是矩形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③对角线互相垂直的矩形是正方形。

其中真命题是（填序号）。

2、如图，将正方形ABCD 的BC 边延长到E ，使CE ＝AC ，AE 与CD 边相交于F 点，那么CE ∶FC ＝。

第2题图EFDCBA第3题图3、如图，把正方形ABCD 沿着对角线AC 的方向移动到正方形D C B A ''''的位置，它们的重叠部分的面积是正方形ABCD 面积的一半，若AC ＝2，则正方形移动的距离A A '是。

九年级数学中考复习课题矩形、菱形、正方形AB组习题专题课后训练分层练习B组提高题含答案解析

九年级数学中考复习课题矩形、菱形、正方形AB组习题专题课后训练分层练习B组提高题含答案解析A组1．下列性质中，菱形具有而平行四边形不具有的性质是（）A．对边平行且相等B．对角线互相平分C．对角线互相垂直D．对角互补解：A、平行四边形的对边平行且相等，所以A选项错误；B、平行四边形的对角线互相平分，所以B选项错误；C、菱形的对角线互相垂直，平行四边形的对角线互相平分，所以C选项正确；D、平行四边形的对角相等，所以D选项错误．故选C．2．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．对边分别相等B．对角分别相等C．对角线互相平分D．对角线相等解：矩形的性质有：①矩形的对边相等且平行，①矩形的对角相等，且都是直角，①矩形的对角线互相平分、相等；菱形的性质有：①菱形的四条边都相等，且对边平行，①菱形的对角相等，①菱形的对角线互相平分、垂直，且每一条对角线平分一组对角；①矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等，故选D．3．顺次连接四边形ABCD各边中点所成的四边形为菱形，那么四边形ABCD的对角线AC 和BD只需满足的条件是（）A．相等B．互相垂直C．相等且互相垂直D．相等且互相平分解：因为原四边形的对角线与连接各边中点得到的四边形的关系：①原四边形对角线相等，所得的四边形是菱形；①原四边形对角线互相垂直，所得的四边形是矩形；①原四边形对角线既相等又垂直，所得的四边形是正方形；①原四边形对角线既不相等又不垂直，所得的四边形是平行四边形．因为顺次连接四边形ABCD各边中点所成的四边形为菱形，所以四边形ABCD的对角线AC和BD相等．故选A．4．已知菱形的两条对角线长分别是6cm和8cm，则菱形的边长是（）A．12cm B．10cm C．7cm D．5cm解：如图：①菱形ABCD中BD=8cm，AC=6cm，①OD=BD=4cm，OA=AC=3cm，在直角三角形AOD中AD===5cm．故选D．5．如图，菱形纸片ABCD，①A=60°，P为AB中点，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP所在的直线上，得到经过点D的折痕DE，则①DEC等于75度．解：连接BD，①四边形ABCD为菱形，①A=60°，①①ABD为等边三角形，①ADC=120°，①C=60°，①P为AB的中点，①DP为①ADB的平分线，即①ADP=①BDP=30°，①①PDC=90°，①由折叠的性质得到①CDE=①PDE=45°，在①DEC中，①DEC=180°﹣（①CDE+①C）=75°．故答案为：75．6．如图：在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则DE的长是3．解：如图，连接CE，，设DE=x，则AE=8﹣x，①OE①AC，且点O是AC的中点，①OE是AC的垂直平分线，①CE=AE=8﹣x，在Rt①CDE中，x2+42=（8﹣x）2解得x=3，①DE的长是3．故答案为：3．7．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC上一点，且AB=BE，①1=15°，则①2=30°．解：①四边形ABCD是矩形，①①ABC=①BAD=90°，OB=OD，OA=OC，AC=BD，①OB=OC，OB=OA，①①OCB=①OBC，①AB=BE，①ABE=90°，①①BAE=①AEB=45°，①①1=15°，①①OCB=①AEB﹣①EAC=45°﹣15°=30°，①①OBC=①OCB=30°，①①AOB=30°+30°=60°，①OA=OB，①①AOB是等边三角形，①AB=OB，①①BAE=①AEB=45°，①AB=BE，①OB=BE，①①OEB=①EOB，①①OBE=30°，①OBE+①OEB+①BEO=180°，①①OEB=75°，①①AEB=45°，①①2=①OEB﹣①AEB=30°，故答案为：30°．8．如图，在Rt①ABC中，①ACB=90°，D为AB的中点，AE①CD，CE①AB，连接DE交AC于点O．（1）证明：四边形ADCE为菱形．（2）BC=6，AB=10，求菱形ADCE的面积．证明：（1）①在Rt①ABC中，①ACB=90°，D为AB中点，①CD=AB=AD，又①AE①CD，CE①AB①四边形ADCE是平行四边形，①平行四边形ADCE是菱形；（2）在Rt①ABC中，AC===8．①平行四边形ADCE是菱形，①CO=OA，又①BD=DA，①DO是①ABC的中位线，①BC=2DO．又①DE=2DO，①BC=DE=6，①S菱形ADCE===24．B组9．如图：点P是Rt①ABC斜边AB上的一点，PE①AC于E，PF①BC于F，BC=15，AC=20，则线段EF的最小值为（）A．12B．6C．12.5D．25解：如图，连接CP．①①C=90°，AC=3，BC=4，①AB===25，①PE①AC，PF①BC，①C=90°，①四边形CFPE是矩形，①EF=CP，由垂线段最短可得CP①AB时，线段EF的值最小，此时，S①ABC=BC•AC=AB•CP，即×20×15=×25•CP，解得CP=12．故选A．10．如图，在菱形ABCD中，①BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，点E为垂足，连接DF，则①CDF为（）A．80°B．70°C．65°D．60°解：如图，连接BF，在①BCF和①DCF中，①CD=CB，①DCF=①BCF，CF=CF①①BCF①①DCF①①CBF=①CDF①FE垂直平分AB，①BAF=×80°=40°①①ABF=①BAF=40°①①ABC=180°﹣80°=100°，①CBF=100°﹣40°=60°①①CDF=60°．故选D．11．如图，在菱形ABCD中，①A=110°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP①CD于点P，则①FPC的度数为（）A．55°B．50°C．45°D．35°解：延长PF交AB的延长线于点G．如图所示：在①BGF与①CPF中，，①①BGF①①CPF（ASA），①GF=PF，①F为PG中点．又①由题可知，①BEP=90°，①EF=PG，①PF=PG，①EF=PF，①①FEP=①EPF，①①BEP=①EPC=90°，①①BEP﹣①FEP=①EPC﹣①EPF，即①BEF=①FPC，①四边形ABCD为菱形，①AB=BC，①ABC=180°﹣①A=70°，①E，F分别为AB，BC的中点，①BE=BF，①BEF=①BFE=（180°﹣70°）=55°，①①FPC=55°；故选：A．12．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC上一点，且AB=BE，①1=15°，则①2=30°．解：①四边形ABCD是矩形，①①ABC=①BAD=90°，OB=OD，OA=OC，AC=BD，①OB=OC，OB=OA，①①OCB=①OBC，①AB=BE，①ABE=90°，①①BAE=①AEB=45°，①①1=15°，①①OCB=①AEB﹣①EAC=45°﹣15°=30°，①①OBC=①OCB=30°，①①AOB=30°+30°=60°，①OA=OB，①①AOB是等边三角形，①AB=OB，①①BAE=①AEB=45°，①AB=BE，①OB=BE，①①OEB=①EOB，①①OBE=30°，①OBE+①OEB+①BEO=180°，①①OEB=75°，①①AEB=45°，①①2=①OEB﹣①AEB=30°，故答案为：30°．13．（2019•绍兴）如图，在直线AP上方有一个正方形ABCD，①P AD＝30°，以点B为圆心，AB长为半径作弧，与AP交于点A，M，分别以点A，M为圆心，AM长为半径作弧，两弧交于点E，连结ED，则①ADE的度数为15°或45°．【分析】分点E与正方形ABCD的直线AP的同侧、点E与正方形ABCD的直线AP的两侧两种情况，根据正方形的性质、等腰三角形的性质解答．解：①四边形ABCD是正方形，①AD＝AE，①DAE＝90°，①①BAM＝180°﹣90°﹣30°＝60°，AD＝AB，当点E与正方形ABCD的直线AP的同侧时，由题意得，点E与点B重合，①①ADE＝45°，当点E与正方形ABCD的直线AP的两侧时，由题意得，E′A＝E′M，①①AE′M为等边三角形，①①E′AM＝60°，①①DAE′＝360°﹣120°﹣90°＝150°，①AD＝AE′，①①ADE′＝15°，故答案为：15°或45°．14．如图：在①ABC中，CE、CF分别平分①ACB与它的邻补角①ACD，AE①CE于E，AF①CF 于F，直线EF分别交AB、AC于M、N．（1）求证：四边形AECF为矩形；（2）试猜想MN与BC的关系，并证明你的猜想；（3）如果四边形AECF是菱形，试判断①ABC的形状，直接写出结果，不用说明理由．（1）证明：①AE①CE于E，AF①CF于F，①①AEC=①AFC=90°，又①CE、CF分别平分①ACB与它的邻补角①ACD，①①BCE=①ACE，①ACF=①DCF，①①ACE+①ACF=（①BCE+①ACE+①ACF+①DCF）=×180°=90°，①三个角为直角的四边形AECF为矩形．（2）结论：MN①BC且MN=BC．证明：①四边形AECF为矩形，①对角线相等且互相平分，①NE=NC，①①NEC=①ACE=①BCE，①MN①BC，又①AN=CN（矩形的对角线相等且互相平分），①N是AC的中点，若M不是AB的中点，则可在AB取中点M1，连接M1N，则M1N是①ABC的中位线，MN①BC，而MN①BC，M1即为点M，所以MN是①ABC的中位线（也可以用平行线等分线段定理，证明AM=BM）①MN=BC；法二：延长MN至K，使NK=MN，因为对角线互相平分，所以AMCK是平行四边形，KC①MA，KC=AM因为MN①BC，所以MBCK是平行四边形，MK=BC，所以MN=BC（3）解：①ABC是直角三角形（①ACB=90°）．理由：①四边形AECF是菱形，①AC①EF，①EF①AC，①AC①CB，①①ACB=90°．即①ABC是直角三角形．15．如图，在①ABC中，①ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE①BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．（1）求证：BD=DF；（2）求证：四边形BDFG为菱形；（3）若AG=13，CF=6，求四边形BDFG的周长．（1）证明：①①ABC=90°，BD为AC的中线，①BD=AC，①AG①BD，BD=FG，①四边形BGFD是平行四边形，①CF①BD，①CF①AG，又①点D是AC中点，①DF=AC，①BD=DF；（2）证明：①BD=DF，①四边形BGFD是菱形，（3）解：设GF=x，则AF=13﹣x，AC=2x，①在Rt①ACF中，①CFA=90°，①AF2+CF2=AC2，即（13﹣x）2+62=（2x）2，解得：x=5，①四边形BDFG的周长=4GF=20．。

中考数学复习《矩形、菱形与正方形》考点及重点题型

中考数学复习《矩形、菱形与正方形》考点及重点题型知识点一：特殊平行四边形的性质与判定1.矩形1）性质：（1）具有平行四边形的一切性质（2）矩形的四个角都是直角（3）矩形的对角线相等（4）矩形是轴对称图形另说法：（1）四个角都是直角（2）对角线相等且互相平分.即AO=CO=BO=DO.（3）面积=长×宽=2S△ABD =4S△AOB.2)判定（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形（3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形变式练习：如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC＝2∠CAD，则∠BAE＝__22.5__度．,2.菱形1）性质：（1）具有平行四边形的一切性质（2）菱形的四条边相等（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角（4）菱形是轴对称图形另说法（1）四边相等（2）对角线互相垂直、平分，一条对角线平分一组对角（3）面积=底×高=对角线_乘积的一半2）判定（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形变式练习1：如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为AD的中点，若OE＝3，则菱形ABCD的周长为__24__．第1题图) ,第2题图)变式练习2：如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件_AC⊥BD或∠AOB＝90°或AB＝BC_使其成为菱形(只填一个即可)．变式练习3：如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝60°，则对角线AC的长是______．第3题图【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝6，∵∠ABC＝60°，∴AC＝AB＝BC＝6.变式练习4：如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，则△ABD的周长等于( ) A. 18 B. 16 C. 15 D. 14【解析】B∵四边形ABCD是菱形，∴BO＝OD＝12BD＝3，AO＝OC＝12AC＝4，∴AB＝5，∴△ABD的周长为：5＋5＋6＝16.3正方形1）性质（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。

中考数学专题复习矩形、菱形、正方形(无答案)

第3题矩形、菱形、正方形一、考点知识梳理1、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系：① 将任意三角形绕它一边的中点旋转180°，旋转前后的两个三角形能组成一个； ② 将三角形绕旋转180°，旋转前后的两个三角形能组成一个矩形；③ 将三角形绕旋转180°，旋转前后的两个三角形能组成一个菱形； ④ 将三角形绕旋转180°，旋转前后的两个三角形能组成一个正方形；温馨提示：：① 矩形、菱形和正方形都具有平行四边形的所有性质； ② 正方形具有矩形和菱形的所有性质。

2、矩形、菱形、正方形的性质：3、矩形、菱形、正方形的判定：二、典型考题展示1、如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，∠AOB=60º，AB=2，则矩形的对角线AC 长为（）A 、2B 、4C 、32D 、342、下列四边形中，对角线一定不相等的是（）A ．正方形B ．矩形C ．等腰梯形D ．直角梯形3、如图，菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，OE ∥DC 且交BC 于E ， AD=6cm ，则OE 的长为（）A ．6cmB ．4cmC ．3cmD ．2cm4、菱形的两条对角线的长分别是6cm 和8cm ，则菱形的周长是 cm ．三、综合拓展提升【例1】如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过A 点作BC 的平行线交CE 的延长线于点A BCDO第1题A BF ，且AF ＝BD ，连接BF.（1）线段BD 与CD 有何数量关系，为什么？（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形AFBD 是矩形？请说明理由．【例2】如图，已知抛物线c bx x y ++=2与x 轴交于点A 、B ，2＝AB ，与y 轴交于点C ，对称轴为直线2＝x ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设D 为抛物线上一点，E 为对称轴上一点，若以点A ，B ，D ，E 为顶点的四边形是菱形，求点D 的坐标.四、课时总结收获小组内交流本节课的收获与困惑.五、能力评估检测1、如图，矩形ABCD 的对角线AC ＝8cm ，∠OAB ＝60°，则AB 的长为（）A 、3cmB 、2 cmC 、32cmD 、4 cm 2、如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，CE ∥BD ，DE ∥AC ，若AC ＝4，则四边形CODE 的周长是（）A 、4B 、6C 、8D 、10第1题图第2题图3、如图，菱形ABCD 的对角线AC ＝8cm ，∠OAB ＝60°，则AB 的长为，此菱形的面积为 ·4、正方形ABCD 的对角线AC 、BD 交于O 点，且AC ＝8cm ，则AB 的长为，正方形ABCD 的面积为 ·第3题图第4题图。

2024年中考数学总复习考点培优训练第五章第四节正方形

第四节正方形基础过关1. 正方形具有而菱形不具有的性质是()A. 对角线平分一组对角B. 对角线相等C. 对角线互相垂直平分D. 四条边相等2. (2022玉林)若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得的四边形是正方形，则四边形ABCD的两条对角线AC，BD一定是()A. 互相平分B. 互相垂直C. 互相平分且相等D. 互相垂直且相等3. (2023自贡)如图，边长为3的正方形OBCD两边与坐标轴正半轴重合，点C的坐标是()A. (3，－3)B. (－3，3)C. (3，3)D. (－3，－3)第3题图4. (2023重庆A卷)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF＝45°.若∠BAE＝α，则∠FEC一定等于()A. 2αB. 90°－2αC. 45°－αD. 90°－α第4题图5. (2023龙东地区)在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，试添加一个条件_________________________，使得矩形ABCD为正方形．6. (2023宁夏)如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E在AD上，连接EB，EC，则图中阴影部分的面积是__________．第6题图7. (2023湘潭)七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具，某同学用边长为4 dm的正方形纸板制作了一副七巧板，如图所示，由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成，则图中阴影部分的面积为__________dm2.第7题图8. (2023怀化)如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点，PE⊥AD于点E，PE＝3.则点P到直线AB的距离为__________．第8题图9. (2023枣庄)如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝7，点F为DE的中点，若△CEF的周长为32，则OF的长为__________．第9题图10. (2022贵阳)如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，连接BE，BE的垂直平分线交AB于点M，交CD于点N，垂足为O，点F在DC上，且MF∥AD.(1)求证：△ABE≌△FMN；(2)若AB＝8，AE＝6，求ON的长．第10题图综合提升11. (2023安徽)如图，点E 在正方形ABCD 的对角线AC 上，EF ⊥AB 于点F ，连接DE 并延长，交边BC 于点M ，交边AB 的延长线于点G .若AF ＝2，FB ＝1，则MG ＝( ) A. 23 B.352C. 5 ＋1D. 10第11题图12. (2023黑白卷)如图，在正方形ABCD 中，点E 为BD 上一点，DE ＝3BE ，连接AE ，过点E 作AE 的垂线，交CD 于点F ，连接AF 交BD 于点G .下列结论：①sin ∠BAE ＝13 ；②∠EAF ＝45°；③点F 为CD 的中点；④BE ＋DG ＝GE .其中正确的有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个第12题图新考法推荐13. (数学文化)(2023杭州)第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形(△DAE ，△ABF ，△BCG ，△CDH )和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，∠ABF>∠BAF，连接BE.设∠BAF＝α，∠BEF＝β，若正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1∶n，tan α＝tan2β，则n＝()A. 5B. 4C. 3D. 2第13题图。

2024年九年级数学正方形复习教案【教案】

2024年九年级数学正方形复习教案【教案】一、教学内容本节课为2024年九年级数学正方形复习课，教学内容参照教材第九章《几何图形与证明》中第四节“正方形的性质和判定”。

具体内容包括：正方形的定义、性质、判定方法及其在实际问题中的应用。

二、教学目标1. 知识与技能：使学生掌握正方形的定义、性质和判定方法，并能运用所学知识解决相关问题。

2. 过程与方法：通过复习正方形的性质和判定，提高学生的逻辑思维能力和几何图形的识别能力。

3. 情感态度与价值观：培养学生对几何图形的兴趣，激发学生探索数学知识的热情。

三、教学难点与重点教学难点：正方形的判定方法及性质的应用。

教学重点：正方形的定义、性质和判定方法。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。

2. 学具：直尺、圆规、量角器、练习本。

五、教学过程1. 引入：通过展示实际生活中的正方形物品（如方桌、魔方等），引导学生认识正方形的特点，激发学生学习兴趣。

提问：正方形在日常生活和几何图形中有什么特点？2. 复习正方形的定义和性质a. 教师引导学生回顾正方形的定义。

b. 学生列举正方形的性质。

c. 教师通过多媒体课件演示正方形的性质。

3. 讲解正方形的判定方法a. 教师讲解正方形的判定方法。

c. 通过例题讲解，巩固判定方法。

4. 随堂练习a. 教师出示练习题。

b. 学生独立完成练习题。

c. 教师点评并解答疑问。

5. 应用拓展a. 教师出示实际问题。

b. 学生分组讨论，提出解决方案。

c. 教师点评并给出最佳解决方案。

六、板书设计1. 正方形的定义、性质、判定方法。

2. 例题及解题步骤。

3. 课后作业。

七、作业设计1. 作业题目：b. 已知正方形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，求证：点O 为对角线的中点。

c. 设正方形ABCD的边长为a，求正方形的面积。

2. 答案：a. 略。

b. 连接OB、OC，由正方形的性质可知，OB=OC，同理OD=OA，故点O为对角线的中点。

2021年九年级中考数学复习强化练习——正方形及四边形综合问题

正方形及四边形综合问题一、选择题1. 下列条件不能判断▱ABCD是正方形的是()A.∠ABC=90°且AB=ADB.AB=BC且AC⊥BDC.AC⊥BD且AC=BDD.AC=BD且AB=BC2. 下列说法，正确的个数有 ()①正方形既是菱形又是矩形;②有两个角是直角的四边形是矩形;③菱形的对角线相等;④对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.A.1个B.2个C.3个D.4个3. 如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边的正方形EFGH的周长为()A. 2B. 2 2C. 2＋1D. 22＋14. 如图正方形ABCD中，E为AB中点，FE⊥AB，AF=2AE，FC交BD于点O，则∠DOC的度数为()A.60°B.67.5°C.75°D.54°5. （2020·威海）如图，在▱ABCD中，对角线BD⊥AD，AB＝10，AD＝6，O为BD的中点，E为边AB上一点，直线EO交CD于点F，连结DE，BF．下列结论不成立的是（）A．四边形DEBF为平行四边形B．若AE＝3.6，则四边形DEBF为矩形C．若AE＝5，则四边形DEBF为菱形D．若AE＝4.8，则四边形DEBF为正方形6. 如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE.若AB的长为2，则FM的长为()A. 2B. 3C. 2D. 17. 已知在平面直角坐标系中放置了5个如图X3－1－10所示的正方形(用阴影表示)，点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x轴上．若正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，则点A3到x轴的距离是()A.3＋318 B.3＋118C.3＋36 D.3＋168. （2020·东营）如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A、B重合），对角线AC 、BD 相交于点O ，过点P 分别作AC 、BD 的垂线，分别交AC 、BD 于点E 、F ，交AD 、BC 于点M 、N ，下列结论：①△APE ≌△AME ；②PM+PN=AC ；③222PE PF PO ；④△POF ∽△BNF ；⑤点O 在M 、N 两点的连线上．其中正确的是（）A. ①②③④B. ①②③⑤C. ①②③④⑤D. ③④⑤A BCDEFMNOP二、填空题9. 如图，在正方形ABCD 中，AC 为对角线，点E 在AB 边上，EF ⊥AC 于点F ，连接EC ，AF=3，若△EFC 的周长为12，则EC 的长为 .10. 如图，E ，F是正方形ABCD 的对角线AC上的两点，AC=8，AE=CF=2，则四边形BEDF 的周长是 .11. ▱ABCD的对角线AC 与BD 相交于点O ，且AC ⊥BD ，请添加一个条件：________，使得▱ABCD 为正方形．12. 如图，正方形ABCO 的顶点C ，A 分别在x 轴，y 轴上，BC 是菱形BDCE 的对角线，若∠D ＝60°，BC ＝2，则点D 的坐标是________．13. 如图，在正方形ABCD 中，点E ，N ，P ，G 分别在边AB ，BC ，CD ，DA 上，点M ，F ，Q 都在对角线BD 上，且四边形MNPQ 和AEFG 均为正方形，则S 正方形MNPQS 正方形AEFG的值等于________．14. 如图，正方形ABCD的边长为22，对角线AC，BD相交于点O，E是OC的中点，连接BE，过点A作AM⊥BE于点M，交BD于点F，则FM的长为________．15. 如图，有一个边长不定的正方形ABCD，它的两个相对的顶点A，C分别在边长为1的正六边形一组平行的对边上，另外两个顶点B，D在正六边形内部(包括边界)，则正方形边长a的取值范围是________．16. 如图，正方形ABCD的面积为3 cm2，E为BC边上一点，∠BAE＝30°，F 为AE的中点，过点F作直线分别与AB，DC相交于点M，N.若MN＝AE，则AM的长等于________cm.三、解答题17. 如图，在正方形ABCD中，E是DC边上一点(与D，C不重合)，连接AE，将△ADE沿AE所在的直线折叠得到△AFE，延长EF交BC于点G，连接AG，作GH⊥AG，与AE的延长线交于点H，连接CH.显然AE是∠DAF的平分线，EA是∠DEF的平分线.仔细观察，请逐一找出图中其他的角平分线(仅限于小于180°的角的平分线)，并说明理由.18. 如图①，在四边形ABCD中，点P是AB上一点，点E在射线DP上，且∠BED＝∠BAD，连接AE.(1)若AB＝AD，在DP上截取点F，使得DF＝BE，连接AF，求证：△ABE≌△ADF；(2)如图②，若四边形ABCD是正方形，点P在AB的延长线上，BE＝1，AE＝32，求DE的长；(3)如图③，若四边形ABCD是矩形，AD＝2AB，点P在AB的延长线上，AE＝5 BE，若AE=nDE，求n的值.图①图②图③19. 已知正方形ABCD中，点E在BC上，连接AE，过点B作BF⊥AE于点G，交CD于点F.(1)如图①，连接AF，若AB＝4，BE＝1，求证：△BCF≌△ABE；(2)如图②，连接BD，交AE于点N，连接AC，分别交BD、BF于点O、M，连接GO，求证：GO平分∠AGF；(3)如图③，在第(2)问的条件下，连接CG，若CG⊥GO，AG＝nCG，求n的值.20. （2020·河南）将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB′，记旋转角为.连接BB′，过点D作DE垂直于直线BB′，垂足为点E，连接DB′，CE.(1)如图1，当=60°时，△DEB′的形状为，连接BD，可求出BBCE′的值为；(2)当0°＜＜360°且≠90°时，①(1)中的两个结论是否仍然成立?如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；②当以点B′、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出BEB E′的值.正方形及四边形综合问题-答案一、选择题1. 【答案】B[解析]A.▱ABCD中，若∠ABC=90°，则▱ABCD是矩形，再由AB=AD 可得是正方形，故此选项错误;B.▱ABCD中，若AB=BC，则▱ABCD是菱形，再由AC⊥BD仍可得是菱形，不能判定为正方形，故此选项正确;C.▱ABCD中，若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形，再由AC=BD可得是正方形，故此选项错误;D.▱ABCD中，若AC=BD，则▱ABCD是矩形，再由AB=BC可得是正方形，故此选项错误.故选B.2. 【答案】B3. 【答案】B【解析】∵正方形ABCD的面积为1，∴BC＝CD＝1，∵E、F是边的中点，∴CE＝CF＝12，∴EF＝（12）2＋（12）2＝22，则正方形EFGH的周长为4×22＝2 2.4. 【答案】A[解析]连接BF，∵E为AB中点，FE⊥AB，∴EF垂直平分AB，∴AF=BF.∵AF=2AE，∴AF=AB，∴AF=BF=AB，∴△ABF为等边三角形，∴∠FBA=60°，BF=BC，∴∠FCB=∠BFC=15°，∵四边形ABCD为正方形，∴∠DBC=45°，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和得∠DOC=15°+45°=60°.5. 【答案】：∵O为BD的中点，∴OB＝OD，∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，∴∠CDO＝∠EBO，∠DFO＝∠OEB，∴△FDO≌△EBO（AAS），∴OE＝OF，∴四边形DEBF为平行四边形，故A选顶结论正确，若AE＝3.6，AD＝6，∴，又∵，∴，∵∠DAE＝∠BAD，∴△DAE∽△BAD，∴AED＝∠ADB＝90°．故B选项结论正确，∵AB＝10，AE＝5，∴BE＝5，又∵∠ADB＝90°，∴DE AB ＝5，∴DE ＝BE ，∴四边形DEBF 为菱形．故C 选项结论正确，∵AE ＝3.6时，四边形DEBF 为矩形，AE ＝5时，四边形DEBF 为菱形， ∴AE ＝4.8时，四边形DEBF 不可能是正方形．故D 不正确．故选：D ．6. 【答案】B【解析】∵AB ＝2，∴BF ＝2，又∵BM ＝12BC ＝1，由勾股定理得FM ＝FB 2－BM 2＝ 3.7. 【答案】⎝⎛⎭⎪⎫72，0D 解析：过小正方形的一个顶点D 3作FQ ⊥x 轴于点Q ，过点A 3作A 3F ⊥FQ 于点F .∵正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O ＝60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3， ∴∠B 3C 3E 4＝60°，∠D 1C 1E 1＝30°，∠E 2B 2C 2＝30°， ∴D 1E 1＝12D 1C 1＝12，∴D 1E 1＝B 2E 2＝12， ∴cos30°＝B 2E 2B 2C 2＝12B 2C 2，解得：B 2C 2＝33.∴B 3E 4＝36，cos30°＝B 3E 4B 3C 3.解得：B 3C 3＝13. 则D 3C 3＝13. 根据题意得出：∠D 3C 3Q ＝30°，∠C 3D 3Q ＝60°，∠A 3D 3F ＝30°， ∴D 3Q ＝12×13＝16，FD 3＝D 3A 3·cos30°＝13×32＝36.则点A3到x轴的距离FQ＝D3Q＋FD3＝16＋36＝3＋16.8. 【答案】B【解析】本题考查了垂线、平行线和正方形的性质，全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判断和性质、相似三角形的判定和性质，是常见问题的综合，灵活的运用所学知识是解答本题的关键．综合应用垂线、平行线和正方形的性质，全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判断和性质、相似三角形的判定和性质等知识，逐个判断5个结论的正确性，得出结论．①∵正方形ABCD，∴∠APE=∠AME=45°，∵PM⊥AE，∴∠AEP=∠AEM=90°，∵AE=AE，∴△APE≌△AME（ASA）；②过点N作NQ⊥AC于点Q，则四边形PNQE是矩形，∴PN=EQ，∵正方形ABCD，∴∠P AE=∠MAE=45°，∵PM⊥AE，∴∠PEA=45°，∴∠P AE=∠APE，PE=NQ，∴△APE等腰直角三角形，∴AE=PE，同理得：△NQC等腰直角三角形，∴NQ=CQ，∵△APE≌△AME，∴PE=ME，∴PE=ME= NQ=CQ，∴PM=AE+CQ，∴PM+PN=AE+CQ+EQ=AC，即PM+PN=AC成立；③∵正方形ABCD，∴AC⊥BD，∴∠EOF是直角，∵过点P分别作AC、BD的垂线，分别交AC、BD于点E、F，∴∠PEO和∠PFO是直角，∴四边形PFOE 是矩形，∴PF=OE，在R t△PEO中，有PE2+OE2=PO2，∴PE2+PF2=PO2，即PE2+PF2=PO2成立；④△BNF是等腰直角三角形，点P不在AB的中点时，△POF不是等腰直角三角形，所以△POF与△BNF不一定相似，即△POF∽△BNF不一定成立；⑤∵△AMP是等腰直角三角形，△PMN∽△AMP，∴△PMN是等腰直角三角形，∵∠MPN=90°，∴PM=PN，∵AP=22PM，BP=22PN，∴AP=BP，∴点P是AB的中点，又∵O为正方形的对称中点，∴点O在M、N两点的连线上．综上，①②③⑤成立，即正确的结论有4个，答案选B．二、填空题9. 【答案】5[解析]∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，∴∠F AE=45°，又∵EF⊥AC，∴∠AFE=90°，∴∠AEF=45°，∴EF=AF=3，∵△EFC的周长为12，∴FC=12-3-EC=9-EC，在Rt△EFC中，EC2=EF2+FC2，∴EC2=9+(9-EC)2，解得EC=5.10. 【答案】8 [解析]如图，连接BD 交AC 于点O ，∵四边形ABCD 为正方形，∴BD ⊥AC ，OD=OB=OA=OC ， ∵AE=CF=2，∴OA -AE=OC -CF ，即OE=OF ，∴四边形BEDF 为平行四边形，且BD ⊥EF ， ∴四边形BEDF 为菱形， ∴DE=DF=BE=BF ， ∵AC=BD=8，OE=OF==2，∴由勾股定理得:DE===2，∴四边形BEDF 的周长=4DE=4×2=8，故答案为:8.11. 【答案】∠BAD ＝90°(答案不唯一)【解析】∵▱ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且AC ⊥BD ，∴▱ABCD 是菱形，当∠BAD ＝90°时，菱形ABCD 为正方形．故可添加条件：∠BAD ＝90°.12. 【答案】(3＋2，1) 【解析】如解图，过点D 作DG ⊥BC 于G ，DF ⊥x 轴于F ，∵在菱形BDCE 中，BD ＝CD ，∠BDC ＝60°，∴△BCD 是等边三角形，∴DF ＝CG ＝12BC ＝1，CF ＝DG ＝3，∴OF ＝3＋2，∴D(3＋2，1)．解图13. 【答案】89 【解析】设BD ＝3a ，∠CDB ＝∠CBD ＝45°，且四边形PQMN 为正方形，∴DQ ＝PQ ＝QM ＝NM ＝MB ，∴正方形MNPQ 的边长为a ，正方形AEFG的对角线AF ＝12BD ＝32a ，∵正方形对角线互相垂直，∴S 正方形AEFG ＝12×32a×32a ＝98a 2，∴S 正方形MNPQ S 正方形AEFG ＝a 298a2＝89.14. 【答案】55【解析】∵四边形ABCD 为正方形，∴AO ＝BO ，∠AOF ＝∠BOE＝90°，∵AM ⊥BE ，∠AFO ＝∠BFM ，∴∠FAO ＝∠EBO ，在△AFO 和△BEO中，⎩⎨⎧∠AOF ＝∠BOE AO ＝BO ∠FAO ＝∠EBO，∴△AFO ≌△BEO(ASA )，∴FO ＝EO ，∵正方形ABCD的边长为22，E 是OC 的中点，∴FO ＝EO ＝1＝BF ，BO ＝2，∴在Rt △BOE 中，BE ＝12＋22＝5，由∠FBM ＝∠EBO ，∠FMB ＝∠EOB ，可得△BFM ∽△BEO ，∴FM EO ＝BF BE ，即FM 1＝15，∴FM ＝55.15. 【答案】62≤a ≤3－3 【解析】∵ABCD 是正方形，∴AB ＝a ＝22AC ，∴a的取值范围与AC 的长度直接相关．如解图①，当A ，C 两点恰好是正六边形一组对边中点时，a 的值最小，∵正六边形的边长为1，∴AC ＝3，∴AB ＝a ＝22AC ＝62；如解图②，连接MN ，延长AE ，BF 交于点G ，∵正六边形和正方形ABCD ，∴△MNG 、△ABG 、△EFG 为正三角形，设AE ＝BF ＝x ，则AM ＝BN ＝1－x ，AG ＝BG ＝AB ＝1＋x ＝a ，∵GM ＝MN ＝2，∠BNM ＝60°，∴sin ∠BNM ＝sin 60°＝BC 2BN ＝a 21－x，∴3()1－x ＝a ，∴3()2－a ＝a ，解得，a＝233＋1＝3－ 3.∴正方形边长a 的取值范围是62≤a ≤3－ 3.16. 【答案】233或33【解析】如解图，过N 作NG ⊥AB ，交AB 于点G ，∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ＝AD ＝NG ＝ 3 cm ，在Rt △ABE 中，∠BAE ＝30°，AB ＝ 3 cm ，∴BE ＝1 cm ，AE ＝2 cm ，∵F 为AE 的中点，∴AF ＝12AE ＝1 cm ，在Rt △ABE 和Rt △NGM 中，⎩⎨⎧AB ＝NGAE ＝NM ，∴Rt △ABE ≌Rt △NGM(HL )，∴BE ＝GM ，∠BAE ＝∠MNG ＝30°，∠AEB ＝∠NMG ＝60°，∴∠AFM ＝90°，即MN ⊥AE ，在Rt △AMF 中，∠FAM ＝30°，AF ＝1 cm ，∴AM ＝AF cos 30°＝132＝233cm ，由对称性得到AM′＝BM ＝AB －AM ＝3－233＝33 cm ，综上，AM 的长等于233或33 cm .解图三、解答题17. 【答案】[解析]过点H 作HN ⊥BM 于N ，利用正方形的性质及轴对称的性质，证明△ABG ≌△AFG ，可推出AG 是∠BAF 的平分线，GA 是∠BGF 的平分线;证明△ABG ≌△GNH ，推出HN=CN ，得到∠DCH=∠NCH ，推出CH 是∠DCM 的平分线;再证∠HGN=∠EGH ，可知GH 是∠EGM 的平分线. 解:过点H 作HN ⊥BM 于N ，则∠HNC=90°，∵四边形ABCD 为正方形，∴AD=AB=BC ，∠D=∠DAB=∠B=∠DCB=∠DCM=90°. ①∵将△ADE 沿AE 所在的直线折叠得到△AFE ， ∴△ADE ≌△AFE ，∴∠D=∠AFE=∠AFG=90°，AD=AF ，∠DAE=∠F AE ，∴AF=AB. 又∵AG=AG ，∴Rt △ABG ≌Rt △AFG (HL)， ∴∠BAG=∠F AG ，∠AGB=∠AGF ，∴AG 是∠BAF 的平分线，GA 是∠BGF 的平分线. ②由①知，∠DAE=∠F AE ，∠BAG=∠F AG ，又∵∠BAD=90°，∴∠GAF+∠EAF=×90°=45°，即∠GAH=45°.∵GH⊥AG，∴∠GHA=90°-∠GAH=45°，∴△AGH为等腰直角三角形，∴AG=GH.∵∠AGB+∠BAG=90°，∠AGB+∠HGN=90°，∴∠BAG=∠NGH.又∵∠B=∠HNG=90°，AG=GH，∴△ABG≌△GNH(AAS)，∴BG=NH，AB=GN，∴BC=GN.∴BC-CG=GN-CG，∴BG=CN，∴CN=HN.∵∠HNC=90°，∴∠NCH=∠NHC=×90°=45°，∴∠DCH=∠DCM-∠NCH=45°，∴∠DCH=∠NCH，∴CH是∠DCM的平分线.③∵∠AGB+∠HGN=90°，∠AGF+∠EGH=90°，由①知，∠AGB=∠AGF，∴∠HGN=∠EGH，∴GH是∠EGM的平分线.综上所述，AG是∠BAF的平分线，GA是∠BGF的平分线，CH是∠DCM的平分线，GH是∠EGM的平分线.18. 【答案】(1)证明：∵∠BED＝∠BAD，∠BPE＝∠DP A，∴∠ABE＝∠ADF，又∵AB＝AD，BE＝DF，∴△ABE≌△ADF；(2)解：如解图①，延长ED到点F，使得DF＝BE，连接AF，解图①∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠BAD ＝∠BED ＝∠BEP ，∵∠P ＝∠P ，∴∠PBE ＝∠ADP ， ∴∠ABE ＝∠ADF ， ∵BE ＝DF ，AB ＝AD ， ∴△ABE ≌△ADF ，∴AE ＝AF ，∠BAE ＝∠F AD ，∴∠F AD ＋∠EAD ＝∠BAE ＋∠EAD ＝90°， ∴EF ＝2AE ＝32×2＝6，∴DE ＝EF －DF ＝EF －BE ＝6－1＝5；(3)解：如解图②，过点A 作AF ⊥AE 交ED 的延长线于点F ，解图②∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD ＝∠BED ＝∠BEP ＝90°， ∵AF ⊥AE ，∠P ＝∠P ，∴∠PBE ＝∠ADP ，∠EAB ＝90°－∠EAD ＝∠F AD ， ∴∠ABE ＝180°－∠PBE ＝180°－∠ADP ＝∠ADF ， ∴△ABE ∽△ADF ， ∴，21===AFAE DFBE ADAB∴AF ＝2AE ，DF ＝2BE ，在Rt △AEF 中，由勾股定理得EF 22AE AF +=5AE ， ∵AE ＝5BE ，∴EF ＝5AE ＝5·5BE ＝5BE ， ∴AE DE ＝53，∴n =53. 19. 【答案】(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴BC ＝CD ＝AD ＝AB ＝4，∠ABE ＝∠C ＝∠D ＝90°， ∴∠ABG ＋∠CBF ＝90°， ∵BF ⊥AE ，∴∠ABG ＋∠BAE ＝90°， ∴∠BAE ＝∠CBF ，在△BCF 和△ABE 中，⎩⎨⎧∠C ＝∠ABEBC ＝AB∠CBF ＝∠BAE， ∴△BCF ≌△ABE (ASA)；(2)证明：∵AC ⊥BD ，BF ⊥AE ， ∴∠AOB ＝∠AGB ＝∠AGF ＝90°， ∴A 、B 、G 、O 四点共圆， ∴∠AGO ＝∠ABO ＝45°，∴∠FGO ＝90°－45°＝45°＝∠AGO ， ∴GO 平分∠AGF ；(3)解：如解图，连接EF ，解图∵CG ⊥GO ，∴∠OGC ＝90°，∵∠EGF ＝∠BCD ＝90°， ∴∠EGF ＋∠BCD ＝180°， ∴C 、E 、G 、F 四点共圆，∴∠EFC ＝∠EGC ＝180°－90°－45°＝45°， ∴△CEF 是等腰直角三角形， ∴CE ＝CF ，同(1)得△BCF ≌△ABE ， ∴CF ＝BE ，∴CE ＝BE ＝12 BC ，∴OA ＝12 AC ＝ 22BC ＝ 2CE ，由(2)得A 、B 、G 、O 四点共圆， ∴∠BOG ＝∠BAE ，∵∠GEC ＝90°＋∠BAE ，∠GOA ＝90°＋∠BOG ， ∴∠GOA ＝∠GEC ，又∵∠EGC ＝∠AGO ＝45°，∴△AOG ∽△CEG ， ∴AG CG ＝OACE ＝2， ∴AG ＝ 2 CG ， ∴n = 2 .20. 【答案】解： (1)等腰直角三角形，2. (2)①两个结论仍成立.证明:连接BD.∵AB=AB′，∠BAB′=，∴∠AB′B=90°-2a，∵∠B′AD=a -90°，AD=AB′，∴∠AB′D=135-2a，∴∠EB′D=∠AB′D -∠AB′B=45°.∵DE ⊥BB′，∴∠EDB′=∠EB′D=45°，∴△DEB′是等腰直角三角形，∴DB DE′=2. ∵四边形ABCD 为正方形，∴BD CD =2，∠BDC=45°.∴DB DE′=BDCD ， ∵∠EDB′=∠BDC ，∴∠EDB′+∠EDB=∠BDC+∠EDB ，即∠BDB′=∠CDE.∴△B′DB ∽△EDC ，∴2BB BDCE CD′； ②3或1.思路提示：分两种情况.情形一，如图，当点B′在BE 上时，由BB CE′=2，设BB′=2m ，CE=2m . ∵CE ∥B′D ，CE=B′D ，∴B′D=2m ，在等腰直角三角形DEB′中，斜边B′D=2m ，∴B′E=DE=m ，于是得到BE B E ′2=3m mm. 情形二，如图，当点B′在BE 延长线上时，由BB CE′=2，设BB′=2m ，CE=2m .∵CE ∥B′D ，CE=B′D ，∴B′D=2m ，在等腰直角三角形DEB′中，斜边B′D=2m ，∴B′E=DE=m 。

中考数学复习----《正方形的判定》知识点总结与专项练习题(含答案解析)

中考数学复习----《正方形的判定》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1.直接判定：四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形。

2.利用平行四边形判定：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。

（定义判定）3.利用菱形与矩形判定：①有一个角是直角的菱形是正方形。

②对角线相等的菱形是正方形。

③邻边相等的矩形是正方形。

④对角线相互垂直的矩形是正方形。

练习题1、（2022•绍兴）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB＝2，∠ABC＝60°，E，F是对角线BD上的动点，且BE＝DF，M，N分别是边AD，边BC上的动点．下列四种说法：①存在无数个平行四边形MENF；②存在无数个矩形MENF；③存在无数个菱形MENF；④存在无数个正方形MENF．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后逐一分析即可．【解答】解：连接AC，MN，且令AC，MN，BD相交于点O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵BE＝DF，∴OE＝OF，只要OM＝ON，那么四边形MENF就是平行四边形，∵点E，F是BD上的动点，∴存在无数个平行四边形MENF，故①正确；只要MN＝EF，OM＝ON，则四边形MENF是矩形，∵点E，F是BD上的动点，∴存在无数个矩形MENF，故②正确；只要MN⊥EF，OM＝ON，则四边形MENF是菱形，∵点E，F是BD上的动点，∴存在无数个菱形MENF，故③正确；只要MN＝EF，MN⊥EF，OM＝ON，则四边形MENF是正方形，而符合要求的正方形只有一个，故④错误；故选：C．2、（2022•滨州）下列命题，其中是真命题的是（）A．对角线互相垂直的四边形是平行四边形B．有一个角是直角的四边形是矩形C．对角线互相平分的四边形是菱形D．对角线互相垂直的矩形是正方形【分析】根据，平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定方法一一判断即可．【解答】解：A、对角线互相垂直的四边形是平行四边形，是假命题，本选项不符合题意；B、有一个角是直角的四边形是矩形，是假命题，本选项不符合题意；C、对角线互相平分的四边形是菱形，是假命题，本选项不符合题意；D、对角线互相垂直的矩形是正方形，是真命题，本选项符合题意．故选：D．3、（2022•攀枝花）如图，以△ABC的三边为边在BC上方分别作等边△ACD、△ABE、△BCF．且点A在△BCF内部．给出以下结论：①四边形ADFE是平行四边形；②当∠BAC ＝150°时，四边形ADFE是矩形；③当AB＝AC时，四边形ADFE是菱形；④当AB＝AC，且∠BAC＝150°时，四边形ADFE是正方形．其中正确结论有（填上所有正确结论的序号）．【分析】①利用SAS证明△EFB≌△ACB，得出EF＝AC＝AD；同理由△CDF≌△CAB，得DF＝AB＝AE；根据两边分别相等的四边形是平行四边形得出四边形ADFE是平行四边形，即可判断结论①正确；②当∠BAC＝150°时，求出∠EAD＝90°，根据有一个角是90°的平行四边形是矩形即可判断结论②正确；③先证明AE＝AD，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可判断结论③正确；④根据正方形的判定：既是菱形，又是矩形的四边形是正方形即可判断结论④正确．【解答】解：①∵△ABE、△CBF是等边三角形，∴BE＝AB，BF＝CB，∠EBA＝∠FBC＝60°；∴∠EBF＝∠ABC＝60°﹣∠ABF；∴△EFB≌△ACB（SAS）；∴EF＝AC＝AD；同理由△CDF≌△CAB，得DF＝AB＝AE；由AE＝DF，AD＝EF即可得出四边形ADFE是平行四边形，故结论①正确；②当∠BAC＝150°时，∠EAD＝360°﹣∠BAE﹣∠BAC﹣∠CAD＝360°﹣60°﹣150°﹣60°＝90°，由①知四边形AEFD是平行四边形，∴平行四边形ADFE是矩形，故结论②正确；③由①知AB＝AE，AC＝AD，四边形AEFD是平行四边形，∴当AB＝AC时，AE＝AD，∴平行四边形AEFD是菱形，故结论③正确；④综合②③的结论知：当AB＝AC，且∠BAC＝150°时，四边形AEFD既是菱形，又是矩形，∴四边形AEFD是正方形，故结论④正确．故答案为：①②③④．。

中考数学专题复习课件(第23讲_矩形、菱形、正方形)

考点训练
由 F 为 AB 的中点知，∠CFA＝90° ，∴ CF∥EA. 在等边三角形 ABC 中，CF＝ AD. 在等边三角形 ADE 中，AD＝EA，∴CF＝EA. ∴四边形 AFCE 为平行四边形．又∵∠CFA＝90° ，∴四边形 AFCE 为矩形．
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考点知识精讲中考典例精析
(1)(2010· 芜湖 )下列命题中是真命题的是( A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 B．有两边和一角对应相等的两个三角形全等 C．两条对角线相等的平行四边形是矩形 D．两边相等的平行四边形是菱形
)
(2)(2009· 凉山 )如图，将矩形 ABCD 沿对角线 BD 折叠，
举一反三
使 C 落在 C′处，BC′交 AD 于点 E，则下列结论不一定成立的是( ．．． A． AD ＝BC′ B．∠EBD＝∠EDB C．△ ABE∽△ CBD AE D．sin∠ ABE＝ ED
【点拨】本题综合考查等边三角形的性质和矩形的判定．
【解答】(1)在等边△ABC 中，∵点 D 是 BC 边的中点，∴∠DAC＝ 30° .又∵△ ADE 是举 .∴∠CAE＝∠DAE－∠DAC＝60° －30° ＝30° . 一等边三角形，∴∠DAE＝ 60° 反 (2)由(1)知，∠EAF＝90° . 三
举反三
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考点知识精讲中考典例精析
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考点知识精讲中考典例精析

中考数学一轮复习教案： (正方形)

初三数学复习教案(正方形)课题：正方形教学目标：使学生掌握正方形的性质、判定及应用。

教学过程：一、知识要点：1．性质：名称边角对角线对称性正方形对边平行四边相等都是直角垂直平分且相等轴对称、中心对称2．判定：正方形有一组邻边相等的矩形；有一个角是直角的菱形。

二、范例分析：例1．填空：（1）对角线的菱形是正方形。

（2）对角线的平行四边形是正方形。

（3）对角线的矩形是正方形。

（4）顺次连结四边形各边中点得正方形。

例2．已知：正方形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是边上的点，EF ⊥GH ，求证：EF=GH 。

例3．已知：正方形ABCD 中，O 为中心，以O 为顶点作正方形OEFG ，（1）求证：BE=CG ；（2）求证：BE⊥CG；（3）求证：AB=BM+DN ；（4）若S OMCN =3，求正方形的边长；（5）若MN=3，正方形边长为2+1，求tan∠MOC。

例4．已知：M 为正方形ABCD 中AD 边中点，∠PMB=∠MBC，求证：DP=2PC 。

例5．已知四边形ABCD 是正方形，且边长为2＋1，延长BC 到E ，使CE ＝5－2，并作正方形CEFG ，（如图），求△BDF 的面积．例6. 如图，∠POQ ＝90°，边长为2cm 的正方形ABCD 的顶点B 在OP 上，C 在OQ 上，且∠OBC ＝30°，分别求点A 、D 到OP 的距离．例7.如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 的中点，连结CE ，过B 作BF ⊥CE 交AC 于F 。

求证：CF=2FA例8.如图．正方形 ABCD 是⊙O 的内接正方形，延长BA 到E ，使AE ＝AB ，连结ED ． ⑴求证：直线ED 是⊙O 的切线；⑵ 连结EO 交AD 于点F ，求证：EF=2FO ，FD=2FA 。

同步练习1.如图：E 是边长为1的正方形ABCD 的对角线BD 上一点，且BE ＝BC ，P 为CE 上任意一点，PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥BE 于点R ，则PQ ＋PR 的值是（）A 、23B 、21C 、22D 、322. 设将一张正方形纸片沿右图中虚线剪开后，能拼成下列四个图形，则其中是中心对称图形的是（）．第9题图 EQ R PD CB AABCDPMB C H A DG E F A B CDN OM EFG GDF E C B A M F ED C BA（A ）（B ）（C ）（D ）3. 如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，AE ⊥EF ．则下列结论正确的是（）．（A ）∠BAE ＝30° （B ） CE 2＝AB ·CF （C ） CF＝31CD （D ）△ABE ∽△AEF 4．如图，圆的直径是10厘米，A 、B 、C 、D 分别为正方形各边的中点，则图中阴影部分的面积是．5.某正方开园地是由边长为1的四个小正方形组成,现要在园地上建一个花坛(阴影部分),使花坛面积是园地面积的一半,以下图中设计不合要求的是6．下图是某同学在沙滩上用石于摆成的小房子．观察图形的变化规律，写出第n 个小房子用了块石子． 7．某校有一个正方形的花坛，现要将它分成形状和面积都相同的四块种上不同颜色的花卉，请你帮助设计三种不同的方案，分别画在下面三个正方形图形上（用尺规作图或徒手作图均可，但要尽可能准确些、美观些）．8．右图是用8个大小一样边长为整数的矩形搭成的,其中中间阴影部分是一边长为2的正方形,试写出符合要求的三个不同的矩形边长___________________．9．如图所示，在正方形ABCD 中，点E 、F 是BC 边上的三等分点，求证：AF ＝DE10. 如图,已知正方形ABCD 的边AB 与正方形AEFM 的边AM 在同一直线上，直线BE 与DM 交于点N.求证：BN ⊥DM11.已知Q 是正方形ABCD 中CD 边上一点,P 是BC 边上一点; (1) 若∠DAQ=∠PAQ,求证:AP=BP+QD;(2) 若AP=BP+QD,则∠DAQ=∠PAQ 成立吗？为什么？12.在平面上有且只有四个点，这四个点有一个独特的性质：每两个点之间的距离有且只有两种长度.例如，正方形ABCD 中，有AB=BC=CD=DA ≠AC=BD ，请画出具有这种独特的性质的另外四种不同的图形，并标明相等的线段.13．已知：如图，点E 是正方形ABCD 的边CD 上一点，点F 是CB 的延长线上一点，且EA ⊥AF .求证：DE =BF .14.将正方形ABCD 折叠，使顶点A 与CD 边上的点M 重合，折痕交AD 于E ，交BC 于F ，边AB 折叠后与BC 边交于点G(如图). ⑴如果M 为CD 边的中点，求DE ∶DM ∶EM ； ⑵如果M 为CD 边上的任意一点，设AB ＝2a ，问ΔCMG 的周长与点M 的位置有关吗？为什么？ACDBB A DC E FA B C D Q PA M FD E NB C A D C B A B C D A D B F EC15．如图，△ABC 中，∠C=900，AC=BC=2，D 为BC 上一点，AD 的垂直平分线EF 交AC 于E ，交AB 于F ，(1) 当CD=2时，求AE 的长；(2) 当CD=2(2-1)时，证明：四边形AEDF 是菱形.A CEFBDO。

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河北省2020届九年级数学中考复习-正方形专项复习
班级：姓名：成绩：
一、选择题
1．如图，已知点E是矩形ABCD的对角线AC上的一动点，正方形EFGH的顶点G、H都在边AD上，若AB=3，BC=4，则tan∠AFE的值（）
A．等于B．等于
C．等于D．随点E位置的变化而变化
2．如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．则图中阴影部分的面积等于（）
A．1 B．C．D．
3．下列说法中，正确个数有（）
①对顶角相等；
②两直线平行，同旁内角相等；
③对角线互相垂直的四边形为菱形；
④对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形．
A．1个B．2个C．3个D．4个
4.如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在AB，AD上，若CE=，且∠ECF=45°，则CF的长为（）
A. B. C. D.
5.如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE最小，则这个最小值为（）
6.如图,正方形的边长为4，动点在正方形的边上沿运动，运动到点停止，设，的面积，则关于的函数图象大致为
7．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（）
A．16 B．17 C．18 D．19
8．如图，正方形ABCD中，AB=3，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF．下列结论：①点G是BC中点；②FG=FC；③S△FGC=．其中正确的是（）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
9．如图，ABCD为正方形，O为AC、BD的交点，△DCE为Rt△，∠CED=90°，∠DCE=30°，若OE=，则正方形的面积为（）
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
10.如图，面积为24的正方形ABCD 中，有一个小正方形EFGH ，其中E 、F 、G 分别在AB 、BC 、FD 上，若BF ＝
6
2
，则小正方形的周长为( )
A.568
B.566
C.562
D.1063
11.如图，正方形纸片ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，折叠正方形纸片ABCD ，使AD 落在BD 上，点A 恰好与BD 上的点F 重合，展开后折痕DE 分别交AB 、AC 于点E 、G ，连结GF ，给出下列结论：①∠ADG ＝22.5°；③tan ∠AED ＝2；③S △AGD ＝S △OGD ；④四边形AEFG 是菱形；⑤BE ＝2OG ；⑥若S △OGF ＝1．则正方形ABCD 的面积是6＋42，其中正确的结论个数为( )
A ．2
B ．3
C ．4 D.5
二．填空题
12．以正方形ABCD 的边AD 作等边△ADE ，则∠BEC 的度数是．
13．如图，已知正方形ABCD ，点M 是边BA 延长线上的动点（不与点A 重合），且AM ＜AB ，△CBE 由△DAM 平移得到．若过点E 作EH ⊥AC ，H 为垂足，则有以下结论：①点M 位置变化，使得∠DHC=60°时，2BE=DM ；②无论点M 运动到何处，都有DM=HM ；③无论点M 运动到
何处，∠CHM 一定大于135°．其中正确结论的序号为．
14.如图，点E在正方形ABCD的边CD上．若△ABE的面积为8，CE=3，则线段BE的长为．
15.如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，M、N两点关于对角线AC对称，若DM=1，则tan∠ADN= ．
16.如图，已知正方形ABCD的边长为4，对角线AC与BD相交于点O，点E在DC边的延长线上．若∠CAE=15°，则AE= ．
17．如图，在平面直角坐标系中，点A和点B分别在x轴和y轴的正半轴上，OA=OB=a，以线段AB为边在第一象限作正方形ABCD，CD的延长线交x轴于点E，再以CE为边作第二个正方形ECGF，…，依此方法作下去，则第n个正方形的边长是．
18．如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，点E在AB边上，EF⊥AC于点F，连接EC，AF=3，△EFC的周长为12，则EC的长为．
三、解答题
19．如图，在正方形ABCD中，点M是对角线BD上的一点，过点M作ME∥CD交BC于点E，作MF∥BC交CD于点F．求证：AM=EF．
20．如图，P为正方形ABCD的边AD上的一个动点，AE⊥BP，CF⊥BP，垂足分别为点E、F，已知AD=4．
（1）试说明AE2+CF2的值是一个常数；
（2）过点P作PM∥FC交CD于点M，点P在何位置时线段DM最长，并求出此时DM的值．
21．已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P．
⑴求证：AP＝BQ；
⑵在不添加任何辅助线的情况下，诸直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长．
22．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是△ABC的一条角平分线．点O、E、F分别在BD、BC、AC上，且四边形OECF是正方形．
（1）求证：点O在∠BAC的平分线上；
（2）若AC=5，BC=12，求OE的长．
23．如图，在正方形ABCD中，AF=BE，AE与DF相交于点O．
（1）求证：△DAF≌△ABE；
（2）求∠AOD的度数．
24．如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF=90°，OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN．
（1）求证：OM=ON．
（2）若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长．。