数学归纳法证明不等式和整除问题教案资料
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当 nk1时 不 等 式 成 立 . 由 (1)(2)可 知 ， 贝 努 利 不 等 式 成 立 .
练习 4
.设n∈N+ ,求证：f(n)=32n+2-8n-9是64的 倍数
练 习 5 ： . 当 n≥2 时 , 求
证: 1 1 1 L 1 n
kk 1 k1
k 1 右式
k 1
k1 k1
当n k 1时，不等式成立。
由（1）（2）可知，对一切n N，且n 2，不等式都成立。
即 当 n k 1 时 不 等 式 成 立 . 由 (1 )(2 )可 知 ， 不 等 式 对 一 切 正 整 数 n 均 成 立 .
用数学归纳法证明不等式问题
练习1：观察下面两个数列，从第几项起an始终小于bn?
证明你的结论.
n2 : 1， 4， 9， 16， 25， 36， 49， 64， 81， L； 2n : 2， 4， 8， 16， 3Байду номын сангаас， 64， 128， 256， 512， L.
(2 ) 假 设 当 n k (k 1 ) 时 ， 命 题 成 立 ， 即 有 s in k k s in.
当 n k 1 时 ，
sink1 sinkcoscosksin
sinkcos cosksin sink cos cosk sin sink sin ksin sin (k1)sin
23
n
证明：（1） 当n 2时，左式 1 1 1 2 1.7 2 右式
2
2
当n 2时，不等式成立
（2）假设当n k( 2)时，不等式成立，即 1 1 1 L 1 k
23
k
则当n k 1时， 左式 1 1 1 L 1 1 k 1
23
k k1
k1
k(k 1) 1
例2
练习 2
练 习 3.证 明 贝 努 利 不 等 式 : 如 果 x是 实 数 ， 且 x1 ， x0， n 为 大 于 1的 自 然 数 , 那 么 有(1x)n1nx 证 明 : ( 1 ) 当 n 2 时 ， 由 x 0 得 ( 1 x ) 2 1 2 x x 2 1 2 x ， 不 等 式 成 立 . (2 )假 设 当 n k (k 2 )时 不 等 式 成 立 ， 即 有 (1 x )k 1 k x . 当 n k 1 时 ，
重点：两个步骤、一个结论；
注意：递推基础不可少， 归纳假设要用到， 结论写明莫忘掉。
关键：一凑假设 二凑结论
例 1 . 证 明 不 等 式 s i n n n s i n ( n N )
证 明 : ( 1 ) 当 n 1 时 ， 上 式 左 边 s i n 右 边 ， 不 等 式 成 立 .
由 数 列 的 前 几 项 猜 想 ， 从 第 5 项 起 ， a nb n ， 即 n 22 n(n N ， n5 )
证 明 : ( 1 ) 当 n 5 时 有 5 2 2 5 ， 命 题 成 立 .
(2 ) 假 设 当 n k (k 5 ) 时 命 题 成 立 ， 即 有 k 2 2 k . 当 n k 1 时 ， 即 当 nk1 时 命 题 成 立 . 由 (1)(2)可 知 ， n 22n(n N ， n5)
当 nk1时 不 等 式 成 立 . 由 (1)(2)可 知 ， 贝 努 利 不 等 式 成 立 .
练习 4
.设n∈N+ ,求证：f(n)=32n+2-8n-9是64的 倍数
练 习 5 ： . 当 n≥2 时 , 求
证: 1 1 1 L 1 n
kk 1 k1
k 1 右式
k 1
k1 k1
当n k 1时，不等式成立。
由（1）（2）可知，对一切n N，且n 2，不等式都成立。
即 当 n k 1 时 不 等 式 成 立 . 由 (1 )(2 )可 知 ， 不 等 式 对 一 切 正 整 数 n 均 成 立 .
用数学归纳法证明不等式问题
练习1：观察下面两个数列，从第几项起an始终小于bn?
证明你的结论.
n2 : 1， 4， 9， 16， 25， 36， 49， 64， 81， L； 2n : 2， 4， 8， 16， 3Байду номын сангаас， 64， 128， 256， 512， L.
(2 ) 假 设 当 n k (k 1 ) 时 ， 命 题 成 立 ， 即 有 s in k k s in.
当 n k 1 时 ，
sink1 sinkcoscosksin
sinkcos cosksin sink cos cosk sin sink sin ksin sin (k1)sin
23
n
证明：（1） 当n 2时，左式 1 1 1 2 1.7 2 右式
2
2
当n 2时，不等式成立
（2）假设当n k( 2)时，不等式成立，即 1 1 1 L 1 k
23
k
则当n k 1时， 左式 1 1 1 L 1 1 k 1
23
k k1
k1
k(k 1) 1
例2
练习 2
练 习 3.证 明 贝 努 利 不 等 式 : 如 果 x是 实 数 ， 且 x1 ， x0， n 为 大 于 1的 自 然 数 , 那 么 有(1x)n1nx 证 明 : ( 1 ) 当 n 2 时 ， 由 x 0 得 ( 1 x ) 2 1 2 x x 2 1 2 x ， 不 等 式 成 立 . (2 )假 设 当 n k (k 2 )时 不 等 式 成 立 ， 即 有 (1 x )k 1 k x . 当 n k 1 时 ，
重点：两个步骤、一个结论；
注意：递推基础不可少， 归纳假设要用到， 结论写明莫忘掉。
关键：一凑假设 二凑结论
例 1 . 证 明 不 等 式 s i n n n s i n ( n N )
证 明 : ( 1 ) 当 n 1 时 ， 上 式 左 边 s i n 右 边 ， 不 等 式 成 立 .
由 数 列 的 前 几 项 猜 想 ， 从 第 5 项 起 ， a nb n ， 即 n 22 n(n N ， n5 )
证 明 : ( 1 ) 当 n 5 时 有 5 2 2 5 ， 命 题 成 立 .
(2 ) 假 设 当 n k (k 5 ) 时 命 题 成 立 ， 即 有 k 2 2 k . 当 n k 1 时 ， 即 当 nk1 时 命 题 成 立 . 由 (1)(2)可 知 ， n 22n(n N ， n5)