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上海市高一第一学期数学期末试卷
上海市高一第一学期数学期末试卷复兴高级中学 朱良一、填空题1、已知a 、b R ∈,且{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭,则a b +=______________ 2、已知集合{}24120A x x x =--≤,401x B xx ⎧-⎫=≤⎨⎬-⎩⎭,则A B ⋂=______________ 3、设全集U R=,已知集合{}3(1)x A y y x ==<,{}12B x x =<<,()U A B ⋂=ð______________4、函数213()22f x x x =-+的定义域和值域都是[1,]a ,则a 的取值为______________ 5、函数2()22f x x ax =++在[3,3]x ∈-上是单调函数,则实数a 的取值范围是_________ 6、函数91y x x =++,当[8,10]x ∈时的最小值是______________ 7、已知0x >,0y >,228x y xy ++=,则2x y +的最小值是______________8、已知函数21()1x f x ⎧+=⎨⎩ 00x x ≥<,则满足不等式2(1)(2)f x f x ->的x 取值范围是______________9、已知函数53()231f x x x =++,则不等式()(3)2f x f x +->的解集为______________ 10、对于实数x 、y ,则“8x y +≠”是“2x ≠或6y ≠”的______________条件 11、对于函数()f x ,()g x ,记{}()()()max (),()()()()f x f xg x f x g x g x f x g x ≥⎧=⎨<⎩,则函数{}()max 1,2F x x x =+-（x R ∈）的最小值是______________12、设两个命题（1）不等式21()423x m x x +>>-对一切实数x 恒成立； （2）函数()(72)xf x m =--是R 上的减函数如果这两个命题仅有一个是真命题,则实数a 的取值范围是______________ 13、()f x 是定义在R 上的函数（1）若存在1x 、2x R ∈,12x x <,使12()()f x f x <成立,则函数()f x 在R 上单调递增；（2）若存在1x 、2x R ∈,12x x <,使12()()f x f x ≤成立,则函数()f x 在R 上不可能单调递减；（3）若存在20x >,对于任意1x R ∈都有112()()f x f x x <+成立,则函数()f x 在R 上单调递增；（4）对任意1x 、2x R ∈,12x x <,都有12()()f x f x ≥成立,则函数()f x 在R 上单调递减； （5）函数()f x 对任意实数x 都有()(1)f x f x <+,那么()f x 在实数集R 上是增函数 以上命题正确的序号是_______________14、若关于x 的不等式kx x x x ≥-++|3|922在[1,5]x ∈上恒成立,则实数k 的取值范围是_______________ 二、选择题15、如图,已知正ABC ∆的边长为1,E 、F 、G 分别是AB 、BC 、CA 上的点,且AE BF CG ==,设EFG ∆的面积为y , AE 的长为x ,则y 关于x 的函数的图象大致是（）16、已知()y f x =与()y g x =的图象如图所示,则函数()()()F x f x g x =⋅的图象可以是（）()y g x =()y f x =B ()A ()O xyy x O GEFCBA A ()B ()C ()D ()17、已知0x 是函数1()21xf x x=+-的一个零点,若10(1,)x x ∈,20(,)x x ∈+∞, 则（）（A ）1()0f x <,2()0f x < （B ）1()0f x <,2()0f x > （C ）1()0f x >,2()0f x <（D ）1()0f x >,2()0f x >18、设函数()f x 的定义域为R ,有下列三个命题（1）若存在常数M ,使得对任意x R ∈,有()f x M ≤,则M 是函数()f x 的最大值； （2）若存在0x R ∈,使得对任意x R ∈且0x x ≠,有0()()f x f x <,则0()f x 是函数()f x 的最大值；（3）若存在0x R ∈,使得对任意x R ∈,有0()()f x f x ≤,则0()f x 是函数()f x 的最大值 这些命题中,真命题的个数是（ ） （A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个 三、解答题19、用木料制作如图所示的框架,框架的下部是边长分别为x 、y （单位：m ）的矩形,上部是等腰直角三角形,若要求框架围成的总面积为8（2m ）,则x 、y 分别为多少时用料最省？（精确到0.001（m ））20、已知函数1()22xx f x =-（1）设集合15()4A x f x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭,{}260B x x x p =-+<,若A B ⋂≠∅,求实数p 的取值范围；（2）若2(2)()0tf t mf t +≥对于[1,2]t ∈恒成立,求实数m 的取值范围21、已知()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数,且(1)1f =-,若x 、[1,1]y ∈-,0x y +≠,则xy()()0f x f x x y+<+（1）用定义证明,()f x 在[1,1]-上是减函数； （2）解不等式：11()()12f f x x <+-； （3）若2()21f x t at ≥--对所有[1,1]x ∈-,[1,1]a ∈-均成立,求实数t 的取值范围22、设函数()a f x x x=+,2()22g x x x a =-+-,其中0a > （1）若1x =是关于x 的不等式()()f x g x >的解,求a 的取值范围； （2）求函数()af x x x=+在(0,2]x ∈上的最小值； （3）若对任意的1x ,2(0,2]x ∈,不等式12()()f x g x >恒成立,求a 的取值范围；（4）当32a =时,令()()()h x f x g x =+,试研究函数()h x 在(0,)x ∈+∞上的单调性,并求()h x 在该区间上的最小值答案一、填空题 1、1-；2、[2,1)[4,6]-⋃；3、[2,3)(,1]⋃-∞；4、3；5、(,3][3,)-∞-⋃+∞；6、9；7、4；8、(1)-；9、3(,)2+∞； 10、充分不必要；11、32；12、(,1][3,4]-∞⋃；13、（2）；14、(,6]-∞二、选择题 15、C ； 16、A ； 17、B ； 18、C三、解答题19、解：2184xy x +=得84xy x =-（0x <<）31622(1)2l x y x x=++=+≥此时8 2.343x =-≈, 2.828y =≈用料最省 20、（1）解：(,2]A =-∞,令2()6g x x x p =-+,则由题意()0g x <得12(,)B x x =,且12x < 即(2)0g <,得(,8)p ∈-∞ （2）22112(2)(2)022t tt t t m -+-≥对[1,2]t ∈恒成立 即22(21)(21)0tt m -++≥,又[1,2]t ∈时2213t-≥则2210tm ++≥即2(21)tm ≥-+恒成立则5m ≥- 21、（1）略 （2）111121x x -≤+<≤-得3[,1)2x ∈-- （3）2min ()(1)121f x f t at ==-≥--即220t at -≤对所有[1,1]a ∈-均成立设2()2h a at t =-+ [1,1]a ∈- 则由题意得(1)0(1)0h h ≤⎧⎨-≤⎩得0t =22、（1）1x =代入得1a >；（2）min04()242a f x aa ⎧<≤⎪=⎨+>⎪⎩ （3）min max ()()(2)8f x g x g a >==-得4a > （4）232()230h x x x=+- (0,)x ∈+∞ 用定义易证()h x 在(0,2]x ∈上单调递减,在[2,)x ∈+∞上单调递增 则min ()(2)6h x h ==-。
上海市高一上学期期末考试数学试卷含答案
上海市高一年级第一学期数学学科期末考试卷（考试时间：90分钟 满分：150分 ）一、填空题（每题4分，共56分）1．若全集R U =，{}{}5|,2|>=>=x x B x x A ，则=B C A U _____________． 2．已知1>a ，则12-+a a 的最小值为__________． 3．幂函数y =f (x )的图像经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛2,81，则=)(x f ____________． 4. 函数()xx x f 4-=的零点个数为_________． 5．已知532sin =⎪⎭⎫⎝⎛-απ，则()απ-cos =______________． 6．函数()log (3)1a f x x =+-(0 1)a a >≠且，的图像恒过定点A ，则A 点坐标是 ． 7．已知31cos =α，且παπ32<<，则2sin α= _____．8．若函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且0)2(=f ，则使得0)(<x f的x 的取值范围是__________． 9．若关于x 的不等式0342≤++ax ax 的解集为空集，则实数a 的取值范围是______．10．已知(21)41()log 1a a x a x f x xx -+<⎧=⎨≥⎩ 是(,)-∞+∞上的减函数，那 么a 的取值范围 ． 11. 若不等式012>-+-k kx x 对()2,1∈x 恒成立，则实数k 的取值范围是_______．12．设非空集合{|}S x m x l =≤≤满足：当x S ∈时，有2x S ∈. 给出如下三个命题：①若1m =，则{1}S =；②若12m =-，则114l ≤≤；③若12l =，则0m ≤；④若1l =题的是__________．13．如图所示，已知函数()2log 4y x =图像上的两点 ,A B 和函数2log y x =上的点C ，线段AC 平行于y 轴，三角形ABC 为正三角形时点B 的坐标为(),p q ，则22qp +的值为14．若点A 、B 同时满足以下两个条件：（1）点A 、B 都在函数()y f x =上；（2）点A 、B 关于原点对称； 则称点对(),A B 是函数()f x 的一个“姐妹点对”．已知函数()()()24020x x f x x xx -≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，则函数()f x 的“姐妹点对”是 ． 二、选择题（每题5分，共20分）15．“3log 2<x ”是“1218>⎪⎭⎫⎝⎛-x ”的……………………………………（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件16．若2{|21},{|}M x y x N y y x ==+==-，则集合N M ,两的关系是（ ） A ．{(1,1)}MN =-B ．M N ＝∅C ．M N ⊆D ．N M ⊆17．已知()f x 是R 上的偶函数， 当0x >时()f x 为增函数， 若120,0x x <> 且12||||x x <， 则下列不等式成立的是…………………………………( ) A ．12()()f x f x ->- B ．12()()f x f x -<- C ．12()()f x f x ->- D ．12()()f x f x -<-18．函数()2()0f x ax bx c a =++≠的图像关于直线2bx a=-对称．据此可以推测，对 任意的非零实数,,,,,a b c m n p ，关于x 的方程[]2()()0m f x nf x p ++=的解集都不可能是………………………………………………………………（ ） A ．{}1,2 B ．{}1,4 C ．{}1,2,3,4 D ．{}1,4,16,64三、解答题（本大题满分74分，共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域 内写出必要的步骤）19．（本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分 ） 记关于x 的不等式01x ax -≤+的解集为P ，不等式11x -≤的解集为Q ．（1）若3a =，求出集合P ； （2）若Q P ，求实数a 的取值范围．20．（本题满分14分，共有2个小题，第1小题7分，第2小题7分 ）某种产品，当年产量在150吨至250吨之间时，其生产的总成本y (万元)与年产量x （吨）之间的函数关系可以近似地表示为230400010x y x =-+． （1）当该产品的年产量为多少时，每吨的平均成本P 最低，并求每吨最低成本；（2）若每吨平均出厂价为16万元，求年生产多少吨时可获得最大利润，并求出最大年利润Q ．21．（本题满分14分，第1小题5分，第2小题9分 ）关于x 的方程)lg()3lg()1lg(x a x x -=-+-，其中a 是实数． （1）当2a =时，解上述方程；（2）根据a 的不同取值，讨论上述方程的实数解的个数．22．（本题满分16分，第1小题4分，第2小题5分，第3小题7分） 设函数)10()1()(≠>--=-a a a k a x f xx且是定义域为R 的奇函数．（1）求k 值；（2）若()10f <，试判断函数单调性并求使不等式0)4()(2<-++x f tx x f 恒成立的t 的取值范围； （3）若()312f =，且()x mf aa x g xx 2)(22-+=-在[)1,+∞上的最小值为2-，求m 的值．23．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）已知集合M 是满足下列性质的函数()x f 的全体：在定义域内存在0x ，使得()()()1100f x f x f +=+成立．（1）函数()xx f 1=是否属于集合M ？说明理由； （2）设函数()M x ax f ∈+=1lg 2，求a 的取值范围；（3）设函数xy 2=图像与函数x y -=的图像有交点，证明：函数()M x x f x∈+=22．高一年级数学试卷答案一、填空题（每题4分，共56分）1．若全集R U =，{}{}5|,2|>=>=x x B x x A ，则=B C A U _____________．]5,2( 2．已知1>a ，则12-+a a 的最小值为__________．3．幂函数y =f (x )的图像经过点⎪⎭⎫⎝⎛2,81，则=)(x f ____________．31-x4. 函数()xx x f 4-=的零点个数为_________．2 5．已知532sin =⎪⎭⎫⎝⎛-απ，则()απ-cos =______________．35-6．函数()log (3)1a f x x =+-(0 1)a a >≠且，的图像恒过定点A ，则A 点坐标是_(2 1)--，_．7．已知31cos =α，且παπ32<<，则2sin α= _____．33-8．若函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且0)2(=f ，则使得0)(<x f的x 的取值范围是__________．)2,2(-9．若关于x 的不等式0342≤++ax ax 的解集为空集，则实数a 的取值范围是______． ⎪⎭⎫⎢⎣⎡43,010．已知(21)41()log 1a a x a x f x xx -+<⎧=⎨≥⎩ 是(,)-∞+∞上的减函数，那 么a 的取值范围__11[,)62__． 11. 若不等式012>-+-k kx x 对()2,1∈x 恒成立，则实数k 的取值范围是_______．(2]-∞，12．设非空集合{|}S x m x l =≤≤满足：当x S ∈时，有2x S ∈. 给出如下三个命题：①若1m =，则{1}S =；②若12m =-，则114l ≤≤；③若12l =，则02m ≤≤；④若1l =，则10m -≤≤或1m =.其中正确命题的是__________． ①②③④13．．()()()1,3,1,3-- 二、选择题（每题5分，共20分）15．A 16．D 17．B 18．D三、解答题：（本大题满分74分，共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤）19．（本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分 ） 解（1）若3a =，由不等式301x x -≤+，即(3)(1)0x x -+≤且1x ≠-，……… 4分 解得集合{|13,}.P x x x R =-<≤∈ ……………………………… 6分 （2）由不等式|1|1x -≤，解得{|02,}.Q x x x R =≤≤∈ …………………8分由不等式01x ax -≤+，得()(1)0x a x -+≤且1x ≠-，…………………9分 当1a >-时，{|1,}P x x a x R =-<≤∈， 又因为Q P ⊆，所以2a ≥；当1a <-时，{|1,}P x a x x R =≤<-∈，Q P 不成立；当1a =-时，P =∅，QP 也不成立．因此，求实数a 的取值范围是[)2,.+∞（可以不讨论直接判断得出）… 12分20．（本题满分14分，共有2个小题，第1小题7分，第2小题7分 ） 解（1）()400030,150,25010x P x x=+-∈………………………………3分3010≥=……………………………………………5分()4000200150,25010x x x=⇒=∈ ……………………………6分 当年产量为200吨时，每吨的平均成本最低为10万元．………7分（2）()216304000,150,25010x Q x x x =-+-∈………………………10分 ()212301290129010x =--+≤ ……………………………12分 ()230150,250x =∈……………………………………………13分 生产230吨时，最大年利润1290Q =万元．…………………14分 21．（本题满分14分，第1小题5分，第2小题9分 ）解（1）1030(1)(3)2x x x x x ->⎧⎪->⎨⎪--=-⎩…………………………………………3分x ⇒=2分 （2）原方程可化为1030(1)(3)x x x x a x ->⎧⎪->⎨⎪--=-⎩，……………………………6分即21353x x x a<<⎧⎨-+-=⎩，………………………………………………8分 作出253(13)y x x x =-+-<<及y a =的图像． 当1x =时1y =，当3x =时3y =，当52x =时134y =．由图像知： ① 413>a 或1≤a 时，两曲线无公共点，故原方程无解；………………10分 ② 当131≤<a 或413=a 时，两曲线有一个公共点，故原方程有一个实数解；…12分③ 当4133<<a 时，两曲线有两个公共点，故原方程有两个实数解．…………14分22．（本题满分16分，第1小题4分，第2小题5分，第3小题7分） 解(1)∵()f x 是定义域为R 的奇函数，∴()()001102f k k =⇒--=⇒= ……………………………… 4分 （2）),10()(≠>-=-a a a a x f xx且1(1)0,0,0,1,01f a a a a a<∴-<>≠∴<<又且……………………………5分x y a =在R 上递减，x y a -=在R 上递增，故()f x 在R 上单调递减． …6分不等式化为)4()(2-<+x f tx x f 04)1(,422>+-+->+∴x t x x tx x即恒成立，………………………… 8分016)1(2<--=∆∴t ，解得53<<-t ．………………………………… 9分(3)∵()312f =，231=-∴a a ，即,02322=--a a122a a ∴==-或（舍去）………………………………………………………10分 ∴()()22222)(2222+--+=-+=---x x x x x xm a a x mf a ax g ．令xxaa x f t --==)(由(1)可知xxaa x f --=)(为增函数∵1x ≥，∴()312t f ≥=……………12分 令h (t )＝t 2－2mt ＋2＝(t －m )2＋2－m 2 (32t ≥)……………………………13分 若32m ≥，当t ＝m 时，h (t )min ＝2－m 2＝－2，∴m ＝2……………… 14分 若32m <，当t ＝32时，h (t )min ＝174－3m ＝－2，解得m ＝2512>32，舍去…15分 综上可知m ＝2． ……………………………………………16分23．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 解（1）若()xx f 1=M ∈，则在定义域内存在0x ， 使得01111102000=++⇒+=+x x x x ， ∵方程01020=++x x 无解，∴()xx f 1=M ∉．……………………… 4分 ()()()()2222(2)lglg lg lg 2221011211a a a a f x M a x ax a x x x =∈⇒=+⇒-++-=++++………………………………………………………………………………6分 当2=a 时，21-=x ；……………………………………………………7分 当2≠a 时，由0≥∆，得[)(]53,22,530462+⋃-∈⇒≤+-a a a ，……9分∴[]53,53+-∈a ． ………………………………………………10分()()()()()00002112000000311212322(1)221x x x x f x f x f x x x x +-⎡⎤+--=++---=+-=+-⎣⎦（），……………………………………………………………………………………13分又∵函数xy 2=图像与函数x y -=的图像有交点，设交点的横坐标为a ，则()01202010=-+⇒=+-x a x a，其中10+=a x ，…………………16分∴()()()1100f x f x f +=+，即()M x x f x∈+=22 ．…………………18分。
上海市浦东新区高一上册期末数学试卷(有答案)【精选】.doc
上海市浦东新区高一（上）期末数学试卷一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1．（3分）函数y=a（a＞0且a≠1）的图象均过定点．2．（3分）请写出“好货不便宜”的等价命题：．3．（3分）若集合A={|≤1}，B={|≥a}满足A∩B={1}，则实数a=．4．（3分）不等式2|﹣1|﹣1＜0的解集是．5．（3分）若f（+1）=2﹣1，则f（1）=．6．（3分）不等式的解集为．7．（3分）设函数f（）=（+1）（+a）为偶函数，则a=．8．（3分）已知函数f（）=，g（）=，则f（）•g（）=．9．（3分）设α：≤﹣5或≥1，β：2m﹣3≤≤2m+1，若α是β的必要条件，求实数m 的取值范围．10．（3分）函数的值域是．11．（3分）已知ab＞0，且a+4b=1，则的最小值为．12．（3分）已知函数f（）=是R上的增函数，则a的取值范围是．二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题答对得3分，否则一律得零分.13．（3分）函数y=的大致图象是（）A． B．C．D．14．（3分）已知f（）是R上的奇函数，且当＞0时，f（）=﹣1，则＜0时f（）=（）A．﹣﹣1 B．+1 C．﹣+1 D．﹣115．（3分）证券公司提示：股市有风险，入市需谨慎．小强买的股票A连续4个跌停（一个跌停：比前一天收市价下跌10%），则至少需要几个涨停，才能不亏损（一个涨停：比前一天收市价上涨10%）．（）A．3 B．4 C．5 D．616．（3分）给定实数，定义为不大于的最大整数，则下列结论中不正确的是（）A．﹣≥0B．﹣＜1C．令f（）=﹣，对任意实数，f（+1）=f（）恒成立D．令f（）=﹣，对任意实数，f（﹣）=f（）恒成立三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 17．（8分）已知，求实数m的取值范围．18．（10分）如图，矩形草坪AMPN中，点C在对角线MN上．CD垂直于AN于点D，CB垂直于AM于点B，|CD|=|AB|=3米，|AD|=|BC|=2米，设|DN|=米，|BM|=y米．求这块矩形草坪AMPN面积的最小值．19．（10分）设a是实数，函数f（）=a﹣（∈R），（1）若已知（1，2）为该函数图象上一点，求a的值．（2）证明：对于任意a，f（）在R上为增函数．20．（12分）已知函数f（）=2﹣2a+1．（1）若对任意的实数都有f（1+）=f（1﹣）成立，求实数a的值；（2）若f（）在区间[1，+∞）上为单调递增函数，求实数a的取值范围；（3）当∈[﹣1，1]时，求函数f（）的最大值．21．（12分）在区间D上，如果函数f（）为减函数，而f（）为增函数，则称f（）为D 上的弱减函数．若f（）=（1）判断f（）在区间[0，+∞）上是否为弱减函数；（2）当∈[1，3]时，不等式恒成立，求实数a的取值范围；（3）若函数g（）=f（）+||﹣1在[0，3]上有两个不同的零点，求实数的取值范围．上海市浦东新区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1．（3分）函数y=a（a＞0且a≠1）的图象均过定点（0，1）．【解答】解：∵a0=1，a＞0且a≠1，∴函数y=a（a＞0且a≠1）的图象均过定点（0，1），故答案为：（0，1）．2．（3分）请写出“好货不便宜”的等价命题：便宜没好货．【解答】解：“好货不便宜”即“如果货物为好货，则价格不便宜”，其逆否命题为：“如果价格便宜，则货物不是好货”，即“便宜没好货”，故答案为：便宜没好货3．（3分）若集合A={|≤1}，B={|≥a}满足A∩B={1}，则实数a=1．【解答】解：∵A={|≤1}，B={|≥a}，且A∩B={1}，∴a=1，故答案为：14．（3分）不等式2|﹣1|﹣1＜0的解集是．【解答】解：①若≥1，∴2（﹣1）﹣1＜0，∴＜；②若＜1，∴2（1﹣）﹣1＜0，∴＞；综上＜＜．故答案为：＜＜．5．（3分）若f（+1）=2﹣1，则f（1）=﹣1．【解答】解：∵f（+1）=2﹣1，∴f（1）=f（0+1）=2×0﹣1=﹣1．故答案为：﹣1．6．（3分）不等式的解集为（﹣∞，2）∪[3，+∞）．【解答】解：原不等式等价于（﹣3）（﹣2）≥0且﹣2≠0，所以不等式的解集为（﹣∞，2）∪[3，+∞）；故答案为：（﹣∞，2）∪[3，+∞）7．（3分）设函数f（）=（+1）（+a）为偶函数，则a=﹣1．【解答】解：∵函数为偶函数得f（1）=f（﹣1）得：2（1+a）=0∴a=﹣1．故答案为：﹣1．8．（3分）已知函数f（）=，g（）=，则f（）•g（）=，∈（﹣1，0）∪（0，+∞）．【解答】解：∵函数f（）=，g（）=，∴f（）•g（）=，∈（﹣1，0）∪（0，+∞），故答案为：，∈（﹣1，0）∪（0，+∞）．9．（3分）设α：≤﹣5或≥1，β：2m﹣3≤≤2m+1，若α是β的必要条件，求实数m 的取值范围m≤﹣3或m≥2．【解答】解：α：≤﹣5或≥1，β：2m﹣3≤≤2m+1，若α是β的必要条件，则2m﹣3≥1或2m+1≤﹣5，故m≥2或m≤﹣3，故答案为：m≥2或m≤﹣3．10．（3分）函数的值域是（0，4] ．【解答】解：设t=2﹣2≥﹣2，∵y=（）t为减函数，∴0＜（）t≤（）﹣2=4，故函数的值域是（0，4]，故答案为：（0，4]．11．（3分）已知ab＞0，且a+4b=1，则的最小值为9．【解答】解：∵ab＞0，且a+4b=1，∴=（）（a+4b）=1+4++≥5+2=9，当且仅当a=，b=时取等号，∴的最小值为9，故答案为：9．12．（3分）已知函数f（）=是R上的增函数，则a的取值范围是[﹣1，0）．【解答】解：由于函数f（）=是R上的增函数，∴，求得﹣1≤a＜0，故答案为：[﹣1，0）．二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题答对得3分，否则一律得零分.13．（3分）函数y=的大致图象是（）A． B．C．D．【解答】解：y=f（﹣）===f（），∴函数y=为偶函数，∴图象关于y轴对称，故排除C，D，∵＞1，∴当＞0时，y=的变化是越越快，故排除B故选：A14．（3分）已知f（）是R上的奇函数，且当＞0时，f（）=﹣1，则＜0时f（）=（）A．﹣﹣1 B．+1 C．﹣+1 D．﹣1【解答】解：设＜0，则﹣＞0，∵当＞0时，f（）=﹣1，∴当＜0时，f（﹣）=﹣﹣1，又∵f（）是R上的奇函数，∴f（）=﹣f（﹣），∴当＜0时，f（）=﹣f（﹣）=+1，故选B．15．（3分）证券公司提示：股市有风险，入市需谨慎．小强买的股票A连续4个跌停（一个跌停：比前一天收市价下跌10%），则至少需要几个涨停，才能不亏损（一个涨停：比前一天收市价上涨10%）．（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：设小强买的股票A时买入价格为a，连续4个跌停后价格为a（1﹣10%）4=0.6561a，设至少需要个涨停，才能不亏损，则0.6564a（1+10%）≥a，整理得：1.1≥1.5235，∵1.15=1.6105，1.14=1.4641．∴至少需要5个涨停，才能不亏损．故选：C．16．（3分）给定实数，定义为不大于的最大整数，则下列结论中不正确的是（）A．﹣≥0B．﹣＜1C．令f（）=﹣，对任意实数，f（+1）=f（）恒成立D．令f（）=﹣，对任意实数，f（﹣）=f（）恒成立【解答】解：在A中，∵为不大于的最大整数，∴﹣≥0，故A正确；在B中，∵为不大于的最大整数，∴﹣＜1，故B正确；在C中，∵为不大于的最大整数，f（）=﹣，∴对任意实数，f（+1）=f（）恒成立，故C正确；在D中，∵为不大于的最大整数，f（）=﹣，∴f（﹣3.2）=﹣3.2﹣[﹣3.2]=﹣3.2+4=0.8，f（3.2）=3.2﹣[3.2]=3.2﹣3=0.2，∴对任意实数，f（+1）=f（）不成立，故D错误．故选：D．三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 17．（8分）已知，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）设函数，函数为R上的单调递增函数…（2分）得，m2+m≤﹣m+3…（2分）即，m2+2m﹣3≤0…（2分）得，（m﹣1）（m+3）≤0所以，m的取值范围为：m∈[﹣3，1]…（2分）18．（10分）如图，矩形草坪AMPN中，点C在对角线MN上．CD垂直于AN于点D，CB垂直于AM于点B，|CD|=|AB|=3米，|AD|=|BC|=2米，设|DN|=米，|BM|=y米．求这块矩形草坪AMPN面积的最小值．【解答】解：由题意…．（2分）S AMPN=（+2）（y+3）=y+3+2y+6=12+3+2y…．（5分）…．（2分）当且仅当3=2y，即=2，y=3时取得等号．…．（7分）面积的最小值为24平方米．…．（8分）19．（10分）设a是实数，函数f（）=a﹣（∈R），（1）若已知（1，2）为该函数图象上一点，求a的值．（2）证明：对于任意a，f（）在R上为增函数．【解答】解：（1）．（2）证明：设任意1，2∈R，1＜2，则f（1）﹣f（2）===，由于指数函数y=2在R上是增函数，且1＜2，所以即，又由2＞0，得，，∴f（1）﹣f（2）＜0即f（1）＜f（2），所以，对于任意a，f（）在R上为增函数．20．（12分）已知函数f（）=2﹣2a+1．（1）若对任意的实数都有f（1+）=f（1﹣）成立，求实数a的值；（2）若f（）在区间[1，+∞）上为单调递增函数，求实数a的取值范围；（3）当∈[﹣1，1]时，求函数f（）的最大值．【解答】解：（1）由对任意的实数都有f（1+）=f（1﹣）成立，知函数f（）=2﹣2a+1的对称轴为=a，即a=1；（2）函数f（）=2﹣2a+1的图象的对称轴为直线=a，由f（）在[a，+∞）上为单调递增函数，y=f（）在区间[1，+∞）上为单调递增函数，得，a≤1；（3）函数图象开口向上，对称轴=a，可得最大值只能在端点处取得．当a＜0时，=1时，函数取得最大值为：2﹣2a；当a＞0时，=﹣1时，函数取得最大值为：2+2a；当a=0时，=1或﹣1时，函数取得最大值为：2．21．（12分）在区间D上，如果函数f（）为减函数，而f（）为增函数，则称f（）为D 上的弱减函数．若f（）=（1）判断f（）在区间[0，+∞）上是否为弱减函数；（2）当∈[1，3]时，不等式恒成立，求实数a的取值范围；（3）若函数g（）=f（）+||﹣1在[0，3]上有两个不同的零点，求实数的取值范围．【解答】解：（1）由初等函数性质知，在[0，+∞）上单调递减，而在[0，+∞）上单调递增，所以是[0，+∞）上的弱减函数．（2）不等式化为在∈[1，3]上恒成立，则，而在[1，3]单调递增，∴的最小值为，的最大值为，∴，∴a∈[﹣1，]．（3）由题意知方程在[0，3]上有两个不同根，①当=0时，上式恒成立；②当∈（0，3]时，则由题意可得方程只有一解，根据，令，则t∈（1，2]，方程化为在t∈（1，2]上只有一解，所以．11。
上海市高一上学期期末数学试题(解析版)
一、填空题1．函数的定义域是______.()32lg 53y x x =+-【答案】50,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案.【详解】，()()32lg 53lg 53y x x x =+-=-所以，解得，0530x x ≥⎧⎨->⎩503x ≤<所以函数的定义域为.50,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭故答案为：50,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭2．函数的图象的对称中心是________． 3(1)2y x =-+【答案】()1,2【详解】的图象的对称中心是，将的图象向上平移 个单位，再向右平3y x =()0,03y x =2移 个单位，1即得的图象，所以对称中心为．()312y x =-+()1,23．函数的单调增区间是______. 55x y x =+【答案】(),-∞+∞【分析】根据函数的单调性确定正确答案. 【详解】在上递增，在上递增， 5y x =R 5x y =R 所以函数的单调增区间是. 55x y x =+(),-∞+∞故答案为：(),-∞+∞4．函数的反函数为______.()2230y x x x =-+≤【答案】13)y x =≥【分析】根据函数解析式确定，配方后求得，根据反函数定义即可确定函3y ≥13)x y =≥数的反函数.【详解】由题意可得在上递减，故，2223(1)2y x x x =-+=-+(,0]-∞3y ≥则，13)x y =≥故函数的反函数为，()2230y x x x =-+≤13)y x =≥故答案为： 13)y x =≥5．若，则_________.sin cos 2sin cos θθθθ+=-sin cos θθ⋅=【答案】310【解析】由条件可得，然后，可算出答案.tan 3θ=222sin cos tan sin cos sin cos tan 1θθθθθθθθ⋅⋅==++【详解】因为，所以，所以sin cos 2sin cos θθθθ+=-tan 12tan 1θθ+=-tan 3θ=所以222sin cos tan 33sin cos sin cos tan 19110θθθθθθθθ⋅⋅====+++故答案为：3106．已知函数是在定义域上的严格减函数，且为奇函数.若，则不等式()y f x =[]22-,()11f =-的解集是______.()21f x -≤【答案】[]1,4【分析】根据函数的奇偶性得到，从而得到，再根据定义域和单()()111f f -=-=()()21f x f -≤-调性列出不等式组，求出解集.【详解】因为是在定义域上的奇函数，， ()y f x =[]22-,()11f =-所以， ()()111f f -=-=故，()()211f x f -≤=-因为是在定义域上的严格减函数，()y f x =[]22-,所以，解得：，21222x x -≥-⎧⎨-≤-≤⎩14x ≤≤故答案为：[]1,47．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，经过分钟后物1C θ 0C θt 体的温度可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的大C θ ()010e ktθθθθ-=+-k 于0的常数，.现有的物体，放在的空气中冷却，4分钟以后物体的温度是，则80C 20C o 60C______分钟后温度首次低于（保留到整数部分）. 40C o 【答案】11【分析】代入数据计算得到，再次带入数据得到，根据，得42e 3k-=21381t ⎛⎫< ⎪⎝⎭1021381⎛⎫> ⎪⎝⎭1121381⎛⎫< ⎪⎝⎭到答案.【详解】根据题意：，解得； ()460208020ek-=+-⋅42e3k-=，即，即，即，()40208020ekt->+-⋅1e3kt-<()44421e 33ttk -⎛⎫=< ⎪⎝⎭21381t⎛⎫< ⎪⎝⎭，，故.1021381⎛⎫> ⎪⎝⎭1121381⎛⎫< ⎪⎝⎭11t =故答案为：118．已知正数、满足，且，则________. a b 4a b =2log 3a b +=a b +=【答案】或45【分析】由，得出，由得出解出的值，进4a b =log 42log 2b b a ==2log 3a b +=22log 2log 3b b +=b 而得出的值，从而得出的值.a ab +【详解】，，由得出， 4a b =Q log 42log 2b b a ∴==2log 3a b +=22log 2log 3b b +=由换底公式可得，，可得或. 21log 2log b b=222log 3log b b ∴+=2log 1b =2log 2b =①当时，，此时，，则； 2log 1b =2b =22log 22a ==4a b +=②当时，，此时，，则. 2log 2b =4b =4log 41a ==5a b +=因此， 或，故答案为或.4a b +=545【点睛】本题考查对数换底公式的应用，同时也考查了指数式与对数式的互化，解题时要观察出两个对数之间的关系，考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题.9．设为平面上一定点，为动点，则当由0变化到时，线段()2,0A ππsin 2,cos 233P t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭t π4扫过的面积是______.AP 【答案】π142-【分析】由题意点P 在半径为1，圆心在原点的单位圆上，结合图形，利用面积差求解即可. 【详解】由可知，点P 在半径为1，圆心在原点的单位圆上，22ππsin 2cos 2133t t ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭如图，，点P 运动到，则，10,()2t P =π4t =1(2Q π2POQ ∠=扇形面积为,POQ 1ππ1144⨯⨯⨯=而， 11222AOQ Q S OA h =⋅=⨯=A ,111122222AOP P S OA h =⋅=⨯⨯=A 故线段扫过的面积为, AP π142故答案为：. π142+10．已知，函数，若函数的值域为，则的值为R λ∈()2221,01,0 1x x x f x x x x λλ⎧-+≥⎪=⎨+<⎪+⎩()y f x =[)3,∞-+λ______. 【答案】2【分析】考虑，，三种情况，根据二次函数性质和函数单调性计算最值得到0λ>0λ=0λ<和，分别计算，再验证得到答案.()2min 1f x λ=-()1,12f x λ⎡⎫∈-+⎪⎢⎣⎭【详解】当时，时，，0λ>0x ≥()()222211f x x x x λλλ=-+=-+-，()()2min 1f x f λλ==-当时，，0x <()21111xf x x x xλλ=+=+++在上单调递增，在上单调递减，故，1y x x=+(),1-∞-()1,0-(]1,2y x x =+∈-∞-故， ()11,112f x x xλλ⎡⎫=+∈-+⎪⎢⎣⎭+当时，，此时满足值域. 213λ-=-2λ=当时，，此时，不满足，故.132λ-+=-8λ=21633λ-=-<-2λ=当时，时，，当时，，不满足；0λ=0x ≥()211f x x =+≥0x <()1f x =当时，时，，单调递增，，0λ<0x ≥()221f x x x λ=-+()()min 01f x f ==当时，，不成立；0x <()2111xf x x λ=+>+综上所述： 2λ=故答案为：211．设，，是实数，.若，则的值为______θx y 0xy ≠442222cos sin 1x y x y θθ+=+2024202420222022cos sin x y θθ+（用，表示）x y 【答案】()1011221xy +【分析】确定，展开利用均值不等式计算得到，结()442222cos sin 1x y x y θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭2222cos sin y x θθ=合得到，代入计算得到答案. 22cos sin 1θθ+=22222222sin cos y x y x x y θθ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩【详解】，即， 442222cos sin 1x y x y θθ+=+()442222cos sin 1x y xy θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭即， 24244422cos sin cos sin 1y x x y θθθθ+++=而2424444422cos sin cos sin cos sin y x x y θθθθθθ+++≥++，()2442222cos sin 2cos sin cos sin 1θθθθθθ=++=+=当且仅当，即时等号成立， 242422cos sin y x x y θθ=2222cos sin y x θθ=又，解得， 222222cos sin cos sin 1y x θθθθ⎧=⎨+=⎩22222222sin cos y x y x x y θθ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩()()()2024202420242024221012101210122022202220222220222222cos sin y y y x x y x y x x x y x y θθ++=+=+++.()1011221x y =+故答案为：()1011221x y +12．设表示，中的较小数.若函数至少有3个零{}min ,A B A B (){}2min 2,23f x x x ax a =--+-点，则实数的取值范围是______. a 【答案】[6,)+∞【分析】设，，根据函数的图象得出或.然后根据2()23g x x ax a =-+-()2h x x =-()h x 6a ≥2a ≤的取值讨论即可求解.a 【详解】设，， 2()23g x x ax a =-+-()2h x x =-由可得：.20x -=2x =±要使函数至少有3个零点，则函数至少有1个零点，则(){}2min 2,23f x x x ax a =--+-()g x ，解得：或.24(23)0a a ∆=--≥6a ≥2a ≤(1)当时，，作出函数的图象如下图所示：2a =2()21g x x x =-+(),()g x h x此时函数只有两个零点，不满足题意；()f x (2)当时，设函数的两个零点分别为，2a <()g x 1212,()x x x x <要使得函数至少有3个零点，则，(){}2min 2,23f x x x ax a =--+-22x ≤-所以，解得：；22(2)410ag a ⎧<-⎪⎨⎪-=-≥⎩a ∈∅(3)当时，，作出函数的图象如下图所示：6a =2()69g x x x =-+(),()g x h x由图可知，函数的零点个数为3，满足题意；()f x (4)当时，设函数的两个零点分别为，6a >()g x 3434,()x x x x <要使得函数至少有3个零点，则，(){}2min 2,23f x x x ax a =--+-32x >所以，解得：，此时，()2224310a g ⎧>⎪⎨⎪=-=>⎩2a >6a >综上所述，实数的取值范围是， a [6,)+∞故答案为：.[6,)+∞二、单选题13．若，，则角的终边位于（ ）πsin 02θ⎛⎫+> ⎪⎝⎭()sin 2π0θ->θA ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D【分析】根据题意和诱导公式可得：且，利用任意角三角函数的定义即可求解. cos 0θ>sin 0θ<【详解】因为，，由诱导公式可得：，，根据任意角πsin 02θ⎛⎫+> ⎪⎝⎭()sin 2π0θ->cos 0θ>sin 0θ<三角函数的定义可知：角位于第四象限， θ故选：.D 14．已知函数，则（ ） ()lg |1|lg |1|f x x x =++-()f x A ．是奇函数，且在上是增函数 (1,)+∞B ．是奇函数，且在上是减函数 (1,)+∞C ．是偶函数，且在上是增函数 (1,)+∞D ．是偶函数，且在上是减函数 (1,)+∞【答案】C【分析】利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性，再利用复合函数单调性法则判断单调性，结合选项可得结果.【详解】()lg 1lg 1f x x x -=-++ ，()f x =是偶函数；()f x \当时，，1x >()()()2()lg 1lg 1lg 1f x x x x =++-=-设，则在上单增，()21t x x =-()t x (1,)+∞又为增函数，所以在上单增，()lg f t t =()2()lg 1f x x =-(1,)+∞是偶函数，且在上是增函数.()f x \(1,)+∞故选：C.【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断以及函数单调性的判断，属于中档题. 判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法， (正为偶函数，负为减函数)；（2）和差法， ()()f x f x -=±（和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法，（ 为偶函数，()()0f x f x -±=()()1f x f x -=±1 为奇函数）.1-15．若都是实数，且，，则与的大小关系是 ,,,a b t x 1,0a b t <x a a t =+x b b t +A ． B ．C ．D ．不能确定x b b t >+x b b t =+x b b t <+【答案】A【详解】构造函数f (m )=mx ，g (m )=m +t .∵a ＞1，t ＞0，ax =a +t ＞a ＞1， ∴x ＞1.在同一坐标系内作出两函数图象.∵ax =a +t ，即两图象交点的横坐标为a . 若b ＞a ＞1，则f (b )＞g (b )，即bx ＞b +t . 本题选择A 选项.16．已知函数，设（）为实数，且．给出下列结论：3()13xxf x =+i x 1,2,3i =1230x x x ++=①若，则；1230x x x ⋅⋅>1233()()()2f x f x f x ++<②若，则． 1230x x x ⋅⋅<1233()()()2f x f x f x ++>其中正确的是（ ） A ．①与②均正确 B ．①正确，②不正确 C ．①不正确，②正确 D ．①与②均不正确【答案】A【分析】令，得到为递增函数，且为奇函数，①中，不妨设()1()2g x f x =-()g x ，结合，利用直线的方程得到，1230,0,0x x x <<>1212(,())A x x f x x ++OA ()()1212()g x g x g x x +<+进而得到，可判断①正确；②中，不妨设，得到点()()123()0g x g x g x ++<1230,0,0x x x <>>，利用直线的方程得到，进而得到2323(,())B x x f x x ++OB ()()2323()g x g x g x x +>+，可判定②正确.()()123()0g x g x g x ++>【详解】令函数，()()()13131112132213213x x x x x g x f x -=-=-==-+++可得函数为单调递增函数，()g x 又由，即， 3131()()02(13)2)(13x x x x g x g x --+-=+=++--()()g x g x -=-所以函数为奇函数，图象关于点对称，如图（1）所示， ()g x (0,0)①中，因为，且，则，1230x x x ++=1230x x x ⋅⋅>312()x x x =-+不妨设，1230,0,0x x x <<>则点，此时直线的方程为，1212(,())A x x f x x ++OA 1212()f x x y x x x +=+可得，()()121211221212()(),g x x g x x g x x g x x x x x x ++<<++则，()()12121212121212()()()g x x g x x g x g x x x g x x x x x x +++<+=+++可得，()()1212()0g x g x g x x +-+<又由，所以，()31212[()]()g x g x x g x x =-+=-+()()123()0g x g x g x ++<即，即，所以①正确；()()123111()0222f x f x f x -+-+-<1233()()()2f x f x f x ++<②中，若，不妨设，则， 1230x x x ⋅⋅<1230x x x ⋅⋅>123()x x x =-+不妨设，1230,0,0x x x <>>则点，此时直线的方程为，2323(,())B x x f x x ++OB 2323()f x x y x x x +=+可得，()()232322332323()(),g x x g x x g x x g x x x x x x ++>>++则，()()23232323232323()()()g x x g x x g x g x x x g x x x x x x +++>+=+++可得，()()2323()0g x g x g x x +-+>又由，所以， ()12323[()]()g x g x x g x x =-+=-+()()123()0g x g x g x ++>即，即，()()123111()0222f x f x f x -+-+->1233()()()2f x f x f x ++>所以②正确. 故选：A.【点睛】方法点拨：令函数，得到函数为递增函数，且为奇函数，求得点()1()2g x f x =-()g x 和，结合直线和的方程，得出不等式关系式是解答1212(,())A x x f x x ++2323(,())B x x f x x ++OA OB 的关键.三、解答题17．已知、是关于的方程的两个根.sin θcos θx ()20R x ax a a -+=∈(1)求实数的值，a (2)求的值. 221cos sin cos sin cos 1tan θθθθθθ-++--【答案】(1) 1a =(2)1-【分析】（1）计算，根据韦达定理得到，解得答案； 240a a ∆=-≥222sin cos 21a a θθ+=-=（2）根据三角恒等变换化简得到原式为，代入数据计算即可.sin cos θθ+【详解】（1）、是关于的方程的两个根，sin θcos θx ()20R x ax a a -+=∈，解得或，则，， 240a a ∆=-≥4a ≥0a ≤sin cos a θθ+=sin cos a θθ=， ()2222sin cos sin cos 2sin cos 21a a θθθθθθ+=+-=-=解得（舍），故1a =1a =1a =（2） ()222222sin cos cos 1cos sin cos sin cos 1tan sin cos si o i s n n s c θθθθθθθθθθθθθθ+-++=----- ()()22sin cos sin cos sin cos sin cos sin co s n s i cos θθθθθθθθθθθθ-+=-=---.sin cos 1a θθ=+==18．设.()()22log 1f x x a x =-+-(1)判断函数的奇偶性； ()y f x =(2)若，求证：函数在内有且仅有一个零点. 12a =()y f x =()1,+∞【答案】(1)，为偶函数；时，为非奇非偶函数 0a =()f x 0a ≠()f x (2)证明见解析【分析】（1）考虑和两种情况，根据函数奇偶性的定义，计算和的关系，得0a =0a ≠()f x ()f x -到答案.（2）根据复合函数奇偶性确定函数单调递增，计算，，根据零点存在定理得0f >0f <到证明.【详解】（1）当时，，定义域关于原点对称，0a =()()22log 1f x x x =+-，函数为偶函数；()()()()()2222log 1log 1f x x x x x f x -=-+--=+-=当时，，0a ≠()()22log 1f x x a x =-+-，()()()()2222log 1log 1f x x a x x a x -=--+--=++-，且，函数为非奇非偶函数；()()f x f x ≠-()()f x f x ≠--综上所述：，为偶函数；时，为非奇非偶函数. 0a =()f x 0a ≠()f x （2），当时，， ()()221log 12f x x x =-+-1x >()()221log 12f x x x =-+-为增函数，在上为增函数，在上为增函数.12y x =-21y x =-()1,+∞2log y x =()0,∞+故函数在上为增函数，()()221log 12f x x x =-+-()1,+∞，， 110022f=+=>152022f =-=<故函数在上有零点，函数单调递增，故函数在内有且仅有一个零点()y f x =()1,+∞19．一研究小组在对某学校的学生上课注意力集中情况的调查研究中发现，其注意力指数与听课p时间之间的关系满足如图所示的曲线.当时，曲线是二次函数图像的一部分，当t (]0,14t ∈[]14,40t ∈时，曲线是函数，且图像的一部分.根据研究，当注意力指数不小于()log 583(0a y t a =-+>1)a ≠p 80时听课效果最佳.(1)求的函数关系式；()p f t =(2)有一道数学难题，讲解需要22分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时段讲完？请说明理由.【答案】(1) 213112)82,(0,14]4()log (5)83,(14,40]t t p f t t t ⎧--+∈⎪==⎨-+∈⎪⎩（(2)能，理由见详解【分析】(1)根据所给的函数图像先求出当t ∈(0,14]时的二次函数解析式，再由点，代入函数14,81（）求出t ∈[14,40]时的解析式，用分段函数表达即可.()log 583a y t =-+(2)对分段函数，分别解不等式，求出的取值范围，然后取并集，再计算时间的长度，然后80p ≥t 对老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完做出判断. 【详解】（1）当时，设， (0,14]t ∈2()(12)82(0)p f t c t c ==-+<将点(14,81)代入得，14c =-∴当时，；(0,14]t ∈21()(12)824p f t t ==--+当时，将点代入，得.[14,40]t ∈(14,81)log (5)83a y t =-+13a =所以 213112)82,(0,14]4()log (5)83,(14,40]t t p f t t t ⎧--+∈⎪==⎨-+∈⎪⎩（（2）当时， ，(0,14]t ∈2112)82804t --+≥（解得:1212t -≤≤+所以； [12t ∈-当时，，[14,40]t ∈13log (5)8380t -+≥解得，所以， 532t <≤[14,32]t ∈综上时学生听课效果最佳. [12t ∈-此时. (32122022t =--=+>A 所以，教师能够合理安排时间讲完题目.故老师能经过合理安排在学生听课效果最佳时段讲完.20．若函数满足在定义域内的某个集合上，是一个常数，则称()y f x =A ()()()22x xf x x A -∈在上具有性质.若是函数定义域的一个子集，称函数，是函()f x A P I ()y f x =()()g x f x =x I ∈数在上的限制.()y f x =I (1)设是上具有性质的奇函数，求时不等式的解集； ()y f x =[]3,3-P []3,3x ∈-()32f x >(2)设为上具有性质的偶函数.若关于的不等式在上有()y f x =[]3,3-P x ()()220f x m f x +⋅<[]3,3-解，求实数的取值范围；m (3)已知函数在区间上的限制是具有性质的奇函数，在上的限制是具()y f x =[]1,1-P [)(]2,11,2-- 有性质的偶函数.若对于上的任意实数，，，不等式恒成P []22-,1x 2x 3x ()()()1234f x f x mf x ++>立，求实数的取值范围. m 【答案】(1)(]1,3(2)12m <-(3)24,317m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭【分析】（1）设，根据奇函数确定，再解不等式即可.()()22xxf x a -=()122xxf x =-+（2）设，根据函数为偶函数，得到，不等式转化为，根据函数的值()22xx a f x =+1a =12k m k <-域和单调性计算最值得到答案.（3）确定函数的解析式，根据函数的单调性计算函数的值域为，再考虑，33517,,2224⎡⎤⎛⎤- ⎢⎥⎥⎣⎦⎝⎦ 0m >，三种情况，分别计算综合得到答案.0m =0m <【详解】（1）设，则，函数为奇函数，故，()()22xxf x a -=()22xxa f x =+()010f a =+=，则，， 1a =-()122xx f x =-+()()112222x x x x f x f x ---=-+=-+=-函数为奇函数，满足，，设，，解得或（舍） 13222x x -+>2xt =132t t -+>2t >21t <-即，解得，故 22x >1x >(]1,3x ∈（2）设，则，函数为偶函数，()()22xxf x a -=()22xxa f x =+故，故，， ()()1222222x x x x x x a a f x a f x ---=+=⋅+==+1a =()122x x f x =+，即，()()220f x m f x +⋅<2211222022x x x x m ⎛⎫+++< ⎪⎝⎭设，，则，函数在上单调递减，在上单调递122xx k +=[]3,3x ∈-12,88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1y x x =+1,18⎡⎫⎪⎢⎣⎭[]1,8增，故， 16522,28xx k ⎡⎤+=∈⎢⎥⎣⎦， 2222111122222222202222x x x x x x x x m m k mk ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++-=+-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即，函数在上单调递减，22122k k m k k -<=-12k y k =-652,8k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故，故.max 11212222k k ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭12m <-（3）根据（1）（2）知：，()[][)(]12,1,1 212,2,11,22x x x x x f x x ⎧-+∈-⎪⎪=⎨⎪+∈--⋃⎪⎩当时，，设，则，， []1,1x ∈-()122x x f x =-+2x b =1,22b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1y b b =-+函数单调递增，，133,22y b b ⎡⎤=-+∈-⎢⎥⎣⎦时，，设，则，单调递增， (]1,2x ∈()122x x f x =+2xc=(]2,4c ∈1y c c=+故，函数在上的偶函数， 1517,24y c c ⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦[)(]2,11,2-- 故， ()15172,224xx f x ⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦综上所述：()33517,,2224f x ⎡⎤⎛⎤∈- ⎢⎥⎥⎣⎦⎝⎦，()()()1234f x f x mf x ++>当时，即，即，解得； 0m >()()min max 24f x mf x +>17344m -+>417m <当时，即，即，成立；0m =()min 240f x +>340-+>当时，即，即，解得；0m <()()min min 24f x mf x +>3342m -+>-23m >-综上所述：24,317m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭【点睛】关键点睛：本题考查了函数的新定义，涉及函数的单调性，奇偶性，值域，不等式恒成立和能成立问题，综合性强，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，利用换元法求函数值域是解题关键，换元法可以简化运算，是常考的方法，需要熟练掌握. 21．若定义在区间上的函数满足：存在常数，使得对任意的[],a b ()y f x =M ，都有成立，则称12n a x x x b =≤≤⋅⋅⋅≤=()()()()()()12231n n f x f x f x f x f x f x M --+-+⋅⋅⋅+-≤为一个有界变差函数，并将满足条件的的最小值称为的全变差.()y f x =M ()y f x =(1)判断函数，和（为有理数集）是否为有界变差()()311f x x x =--≤≤()[][]R 0,0,1Q 1,0,1Q x D x x ⎧∈⋂⎪=⎨∈⋂⎪⎩ðQ 函数；（无需说明理由） (2)求函数的全变差； ()()414g x x x x=+≤≤(3)证明：函数是上的有界变差函数. ()2log 4xh x x x=+[]1,4【答案】(1)是有界变差函数, 不是有界变差函数； 3()f x x =-()D x (2)2； (3)证明见解析.【分析】（1）根据已知定义判断即可;（2）根据全变差定义结合单调性,把差的绝对值去掉求解可得; （3）根据有界变差函数定义结合单调性,把差的绝对值去掉求解可得; 【详解】（1）由在上递减，3()f x x =-[1,1]-令，则121...1n x x x -=≤≤≤=23121()()()()...()()n n f x f x f x f x f x f x --+-++-=， 121231()()()()...()()()()(1)(1)2n n n f x f x f x f x f x f x f x f x f f --+-++-=-=--=显然，存在，使任意的，都有2M ≥12n a x x x b =≤≤⋅⋅⋅≤=成立，()()()()()()12231n n f x f x f x f x f x f x M --+-+⋅⋅⋅+-≤所以为一个有界变差函数；3()f x x =-对于，令，所得中有理数、无理数都有可能为无限()D x 120...1n x x x =≤≤≤=i x *(1,N )i n n ≤≤∈个，若以无理数、有理数成对依次出现时12,,...,n x x x 12312()()()()...()()n n f x f x f x f x f x f x --+-++-随n 的变大趋向于正无穷大， 所以不是一个有界变差函数.()D x （2）对任意的，11221.....4.n m m x x x x x +=≤≤≤≤≤≤==在上单调递减，所以，()g x []1,2()()()()121...m m g x g x g x g x -≥≥≥≥即()()()()()()12231...m m g x g x g x g x g x g x --+-++-，()()()()()()()()122311...m m m g x g x g x g x g x g x g x g x -=-+-++-=-在上单调递增，所以，()g x []2,4()()()()11n n m m g x g x g x g x -+≥≥≥≥ 即()()()()()()1112...m n n n n m g x g x g x g x g x g x --+--+-++-，()()()()()()()()2111...n n n n m n m m g x g x g x g x g x g x g x g x --+-=-+-++-=-所以()()()()()()12231...n n g x g x g x g x g x g x --+-++-，()()()()()()1222214n m g x g x g x g g g =+-=+-=所以，存在使成立， 2M ≥()()()()()()12231n n g x g x g x g x g x g x M --+-+⋅⋅⋅+-≤则称为一个有界变差函数，的最小值2称为的全变差. ()y g x =M ()y g x =（3）由（2）知：在上是一个有界变差函数， ()g x []1,4令，则，而在上， 1()()p x g x =111()()|()()|||()()i i i i i i g x g x p x p x g x g x -----=[]1,4()54g x ≥≥所以，即，故111|()()||()()|16i i i i p x p x g x g x ---≤-11221|()()||()()|1616nn i i i i i i M p x p x g x g x --==-≤-=∑∑()p x 是有界变差函数；又在上递增且值域为[0,2]，任意，则2()log q x x =[]1,41214n x x x =≤≤≤= ，()()()12...n q x q x q x ≤≤≤所以，故存在使，则12|()()|n i i i q x q x -=-∑()()()()1412n q x q x q q =-=-=2M ≥12|()()|ni i i q x M q x -=-≤∑是有界变差函数，()q x 令，则()()()h x q x p x =⋅11122|()()||()()()()|nni i i i i i i i h x h x q x p x q x p x ---==-=-∑∑，1112|()[()()]()[()()]|ni i i i i i i q x p x p x p x q x q x ---==-+-∑由上可设且均为常数，故1|()|,|()|i i q x N p x L -≤≤,N L ，而、均为有界变差函数，111222|()()||()()||()()|nn nii i i i i i i i h x h xN p x p x L q x q x ---===-≤-+-∑∑∑()p x ()q x 所以为有界变差函数. ()()()h x q x p x =⋅2log 4xx x=+【点睛】关键点点睛：根据有界变差函数的定义，结合相关函数的单调性判断无限细分后区间端点函数值差的绝对值小于某一常数是否恒成立.。
《解析》上海市曹杨二中2016-2017学年高一上学期期末数学试卷Word版含解析
2015-2016学年上海市曹杨二中高一（上）期末数学试卷一、填空题：1．已知集合A={x|x≥1}，B={x|x≥a}，若A，则实数a的取值范围是．2．若函数，，则f（x）+g（x）=．3．函数f（x）=2|x|+ax为偶函数，则实数a的值为．4．函数f（x）=x2（x≤﹣1）的反函数是f﹣1（x）=．5．在直角坐标系xOy中，终边在坐标轴上的角α的集合是．6．已知函数，则f（f（3））=．7．若幂函数在（0，+∞）是单调减函数，则m的取值集合是．8．若不等式|x﹣m|＜1成立的充分不必要条件是1＜x＜2，则实数m的取值范围是．9．已知等腰三角形的周长为常数l，底边长为y，腰长为x，则函数y=f（x）的定义域为．10．已知角α的终边上一点，且，则tanα的值为．11．已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，，则此函数的值域为．12．对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0，则称x0是f（x）的一个不动点，已知f（x）=x2+ax+4在[1，3]恒有两个不同的不动点，则实数a的取值范围．二、选择题：13．若a＜0，b＞0，则下列不等式恒成立的是（）A．a2＜b2B． C． D． +≥214．函数y=ln|x|与y=﹣在同一平面直角坐标系内的大致图象为（）A． B． C． D．15．已知函数f（x）=|lgx|﹣（）x有两个零点x1，x2，则有（）A．x1x2＜0 B．x1x2=1 C．x1x2＞1 D．0＜x1x2＜116．对于函数f（x），若存在区间A=[m，n]，使得{y|y=f（x），x∈A}=A，则称函数f（x）为“可等域函数”，区间A为函数的一个“可等域区间”．给出下列四个函数：①f（x）=|x|；②f（x）=2x2﹣1；③f（x）=|1﹣2x|；④f（x）=log2（2x ﹣2）．其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4三、解答题：（共48分）17．（10分）已知一个扇形的周长为定值a，求其面积的最大值，并求此时圆心角α的大小．18．（12分）若方程x2+（m﹣3）x+m=0，m∈R，在x∈R上有两个不相等的实数根，求m的取值范围．19．（12分）设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（1）若a=﹣1，解不等式f（x）≥3；（2）若不等式f（x）≥3对一切x∈R恒成立，求实数a的取值范围．20．（14分）已知集合M是具有下列性质的函数f（x）的全体：存在实数对（a，b），使得f（a+x）•f（a﹣x）=b对定义域内任意实数x都成立（1）判断函数是否属于集合M（2）若函数具有反函数f﹣1（x），是否存在相同的实数对（a，b），使得f（x）与f﹣1（x）同时属于集合M？若存在，求出相应的a，b，t；若不存在，说明理由．（3）若定义域为R的函数f（x）属于集合M，且存在满足有序实数对（0，1）和（1，4）；当x∈[0，1]时，f（x）的值域为[1，2]，求当x∈[﹣2016，2016]时函数f（x）的值域．2015-2016学年上海市曹杨二中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：1．已知集合A={x|x≥1}，B={x|x≥a}，若A，则实数a的取值范围是（﹣∞，1] ．【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】利用并集的定义和不等式的性质求解．【解答】解：∵集合A={x|x≥1}，B={x|x≥a}，A，∴a≤1．∴实数a的取值范围是（﹣∞，1]．故答案为：（﹣∞，1]．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意子集定义的合理运用．2．若函数，，则f（x）+g（x）=1+，0≤x≤1．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】利用函数性质直接求解．【解答】解：∵函数，，∴，即0≤x≤1，∴f（x）+g（x）=（1+）+（）=1+．0≤x≤1．故答案为：1+．0≤x≤1．【点评】本题考查函数解析式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．3．函数f（x）=2|x|+ax为偶函数，则实数a的值为0．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据函数奇偶性的定义建立方程关系进行求解即可．【解答】解：∵f（x）=2|x|+ax为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即2|﹣x|﹣ax=2|x|+ax，则a=0，故答案为：0．【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，根据条件建立方程关系是解决本题的关键，比较基础．4．函数f（x）=x2（x≤﹣1）的反函数是f﹣1（x）=﹣，x≥1．【考点】反函数．【分析】先求出x=﹣，y≥1，x，y互换，得反函数f﹣1（x）．【解答】解：∵函数f（x）=y=x2（x≤﹣1），∴x=﹣，y≥1，x，y互换，得反函数f﹣1（x）=﹣，x≥1．故答案为：﹣，x≥1．【点评】本题考查反函数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意反函数性质的合理运用．5．在直角坐标系xOy中，终边在坐标轴上的角α的集合是{α|α=，n∈Z} ．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】分别写出终边在x轴上的角的集合、终边在y轴上的角的集合，进而可得到终边在坐标轴上的角的集合．【解答】解：终边在x轴上的角的集合为{α|α=kπ，k∈Z}，终边在y轴上的角的集合为{α|α=kπ+，k∈Z}，故合在一起即为{α|α=，n∈Z}故答案为：{α|α=，n∈Z}【点评】本题考查终边相同的角的表示方法，属于基础题．6．已知函数，则f（f（3））=3．【考点】函数的值．【分析】由已知得f（3）=23=8，从而f（f（3））=f（8），由此能求出结果．【解答】解：∵函数，∴f（3）=23=8，f（f（3））=f（8）=log28=3．故答案为：3．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．7．若幂函数在（0，+∞）是单调减函数，则m的取值集合是{0，1} ．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】由幂函数f（x）为（0，+∞）上递减，推知m2﹣m﹣2＜0，解得﹣1＜m＜2因为m为整数故m=0，1．【解答】解：∵幂函数f（x）=x m2﹣m﹣2（m∈Z）在区间（0，+∞）上是减函数，∴m2﹣m﹣2＜0，解得﹣1＜m＜2，∵m为整数，∴m=0，1∴满足条件的m的值的集合是{0，1}，故答案为：{0，1}．【点评】本题考查函数的解析式的求法，是基础题，解题时要注意幂函数的性质的合理运用．8．若不等式|x﹣m|＜1成立的充分不必要条件是1＜x＜2，则实数m的取值范围是[1，2] ．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据不等式的性质，以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：由|x﹣m|＜1得m﹣1＜x＜m+1，∵1＜x＜2是不等式|x﹣m|＜1成立的充分不必要条件，∴满足，且等号不能同时取得，即，解得1≤m≤2，故答案为：[1，2]．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据不等式之间的关系是解决本题的关键．9．已知等腰三角形的周长为常数l，底边长为y，腰长为x，则函数y=f（x）的定义域为（，）．【考点】函数的定义域及其求法；函数解析式的求解及常用方法．【分析】根据周长得出x、y、l三者的关系，再根据三角形的三边大小关系及不等式的性质即可得出．【解答】解：由题意得：y+2x=l，2x＞y＞0，解得：＜x＜，故答案为：（，）．【点评】熟练不等式的基本性质和三角形的三边大小关系是解题的关键．10．已知角α的终边上一点，且，则tanα的值为±1．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】利用正弦函数的定义求出m，利用正切函数的定义求出tanα的值．【解答】解：由题意，，∴，∴tanα=±1．故答案为±1．【点评】本题考查三角函数的定义，考查学生的计算能力，比较基础．11．已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，，则此函数的值域为．【考点】指数函数综合题；函数的值域．【分析】设t=，利用换元法求得当x≥0时函数的值域，再根据奇函数的性质求得当x≤0时函数的值域，然后求并集可得答案．【解答】解：设t=，当x≥0时，2x≥1，∴0＜t≤1，f（t）=﹣t2+t=﹣+，∴0≤f（t）≤，故当x≥0时，f（x）∈[0，]；∵y=f（x）是定义在R上的奇函数，∴当x≤0时，f（x）∈[﹣，0]；故函数的值域时[﹣，]．【点评】本题考查了函数的性质及其应用，考查了函数值域的求法，运用换元法求得x≥0时函数的值域是解答本题的关键．12．对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0，则称x0是f（x）的一个不动点，已知f（x）=x2+ax+4在[1，3]恒有两个不同的不动点，则实数a的取值范围．【考点】函数与方程的综合运用．【分析】不动点实际上就是方程f（x0）=x0的实数根．二次函数f（x）=x2+ax+4有不动点，是指方程x=x2+ax+4有实根．即方程x=x2+ax+4有两个不同实根，然后根据根列出不等式解答即可．【解答】解：根据题意，f（x）=x2+ax+4在[1，3]恒有两个不同的不动点，得x=x2+ax+4在[1，3]有两个实数根，即x2+（a﹣1）x+4=0在[1，3]有两个不同实数根，令g（x）=x2+（a﹣1）x+4．在[1，3]有两个不同交点，∴，即解得：a∈；故答案为：．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、函数与方程的综合运用，解答该题时，借用了一元二次方程的根的判别式与根这一知识点．二、选择题：13．若a＜0，b＞0，则下列不等式恒成立的是（）A．a2＜b2B． C． D． +≥2【考点】不等式的基本性质．【分析】根据题意，依次分析选项，对于A、B，举出反例可得其错误，对于C，分析可得＜0而＞0，易得C正确，对于D，分析a、b的符号可得＜0且＜0，则有+＜0，可得D错误；综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A、若a=﹣3，而b=1，则a2＞b2．故A错误；对于B、若a=﹣9，而b=1，则有＞，故B错误；对于C，若a＜0，则＜0，而b＞0，则＞0，故＜，故C正确；对于D，若a＜0，b＞0，故＜0，＜0，则有+＜0，故D错误；故选C．【点评】本题考查不等式的性质，关键是熟悉不等式的性质，对于不成立的不等式，可以举出反例，进行判断．14．函数y=ln|x|与y=﹣在同一平面直角坐标系内的大致图象为（）A． B． C． D．【考点】函数的图象．【分析】根据函数y=ln|x|是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，排除A、B；再根据y=﹣表示一个半圆（圆位于x轴下方的部分），可得结论．【解答】解：由于函数y=ln|x|是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，故排除A、B；由于y=﹣，即y2+x2=1（y＜0），表示一个半圆（圆位于x轴下方的部分），故选：C．【点评】本题主要考查函数的图象特征，属于基础题．15．已知函数f（x）=|lgx|﹣（）x有两个零点x1，x2，则有（）A．x1x2＜0 B．x1x2=1 C．x1x2＞1 D．0＜x1x2＜1【考点】函数的零点与方程根的关系；指数函数与对数函数的关系．【分析】先将f（x）=|lgx|﹣（）x有两个零点转化为y=|lgx|与y=2﹣x有两个交点，然后在同一坐标系中画出两函数的图象得到零点在（0，1）和（1，+∞）内，即可得到﹣2﹣x1=lgx1和2﹣x2=lg x2，然后两式相加即可求得x1x2的范围．【解答】解：f（x）=|lgx|﹣（）x有两个零点x1，x2即y=|lgx|与y=2﹣x有两个交点由题意x＞0，分别画y=2﹣x和y=|lgx|的图象发现在（0，1）和（1，+∞）有两个交点不妨设x1在（0，1）里x2在（1，+∞）里那么在（0，1）上有2﹣x1=﹣lgx1，即﹣2﹣x1=lgx1…①在（1，+∞）有2﹣x2=lg x2…②①②相加有2﹣x2﹣2﹣x1=lgx1x2∵x2＞x1，∴2﹣x2＜2﹣x1即2﹣x2﹣2﹣x1＜0∴lgx1x2＜0∴0＜x1x2＜1故选D．【点评】本题主要考查确定函数零点所在区间的方法﹣﹣转化为两个函数的交点问题．函数的零点等价于函数与x轴的交点的横坐标，等价于对应方程的根．16．对于函数f（x），若存在区间A=[m，n]，使得{y|y=f（x），x∈A}=A，则称函数f（x）为“可等域函数”，区间A为函数的一个“可等域区间”．给出下列四个函数：①f（x）=|x|；②f（x）=2x2﹣1；③f（x）=|1﹣2x|；④f（x）=log2（2x ﹣2）．其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】函数的值．【分析】在①中，（0，+∞）是f（x）=|x|的唯一可等域区间；在②中，[﹣1，1]是唯一的可等域区间；在③中，函数只有一个等可域区间[0，1]；在④中，函数无可等域区间．【解答】解：在①中，（0，+∞）是f（x）=|x|的唯一可等域区间，故①成立；在②中，f（x）=2x2﹣1≥﹣1，且f（x）在x≤0时递减，在x≥0时递增，若0∈[m，n]，则﹣1∈[m，n]，于是m=﹣1，又f（﹣1）=1，f（0）=﹣1，而f（1）=1，故n=1，[﹣1，1]是一个可等域区间；若n≤0，则，解得m=，n=，不合题意，若m≥0，则2x2﹣1=x有两个非负解，但此方程的两解为1和﹣，也不合题意，故函数f（x）=2x2﹣1只有一个等可域区间[﹣1，1]，故②成立；在③中，函数f（x）=|1﹣2x|的值域是[0，+∞），所以m≥0，函数f（x）=|1﹣2x|在[0，+∞）上是增函数，考察方程2x﹣1=x，由于函数y=2x与y=x+1只有两个交点（0，1），（1，2），即方程2x﹣1=x只有两个解0和1，因此此函数只有一个等可域区间[0，1]，故③成立；在④中，函数f（x）=log2（2x﹣2）在定义域（1，+∞）上是增函数，若函数有f（x）=log2（2x﹣2）等可域区间[m，n]，则f（m）=m，f（n）=n，但方程log2（2x﹣2）=x无解（方程x=log2x无解），故此函数无可等域区间，故④不成立．综上只有①②③正确．故选：C．【点评】本题考查函数的可等域区间的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．三、解答题：（共48分）17．（10分）（2015秋•普陀区校级期末）已知一个扇形的周长为定值a，求其面积的最大值，并求此时圆心角α的大小．【考点】扇形面积公式．【分析】设扇形的弧长，然后，建立关系式，结合二次函数的图象与性质求解最值即可．【解答】解：设扇形面积为S，半径为r，圆心角为α，则扇形弧长为a﹣2r，所以S=（a﹣2r）r=﹣+．故当r=且α=2时，扇形面积最大为．【点评】本题重点考查了扇形的面积公式、弧长公式、二次函数的最值等知识，属于基础题．18．（12分）（2015秋•普陀区校级期末）若方程x2+（m﹣3）x+m=0，m∈R，在x∈R上有两个不相等的实数根，求m的取值范围．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】根据二次函数的性质求出m的范围即可．【解答】解：若方程x2+（m﹣3）x+m=0，m∈R，在x∈R上有两个不相等的实数根，则△=（m﹣3）2﹣4m＞0，解得：m＜1，或m＞9．【点评】本题考查了二次函数的性质，根据判别式求出m的范围即可．19．（12分）（2015秋•普陀区校级期末）设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（1）若a=﹣1，解不等式f（x）≥3；（2）若不等式f（x）≥3对一切x∈R恒成立，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（1）利用a=3，化简不等式，通过分类讨论取得绝对值求解即可．（2）利用函数恒成立，转化求解即可．【解答】解：（1）当a=﹣1时，不等式f（x）≥3，即|x﹣1|+|x+1|≥3，①当x≥1时，不等式即x﹣1+x+1≥5，解得x≥；②当﹣1＜x＜1时，不等式即x﹣1﹣1﹣x≥5，无解；③当x≤﹣1时，不等式即1﹣x﹣1﹣x≥3，解得x≤﹣；综上，不等式f（x）≥5的解集为（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．（2）∵f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|≥|（x﹣1）﹣（x﹣a）|=|a﹣1|，∴f（x）min=|a﹣1|．∵f（x）≥3对任意x∈R恒成立，∴|a﹣1|≥3，解得a≤﹣2或a≥4，即实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[4，+∞）．【点评】本题考查函数恒成立绝对值不等式的解法，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，考查计算能力．20．（14分）（2015秋•普陀区校级期末）已知集合M是具有下列性质的函数f（x）的全体：存在实数对（a，b），使得f（a+x）•f（a﹣x）=b对定义域内任意实数x都成立（1）判断函数是否属于集合M（2）若函数具有反函数f﹣1（x），是否存在相同的实数对（a，b），使得f（x）与f﹣1（x）同时属于集合M？若存在，求出相应的a，b，t；若不存在，说明理由．（3）若定义域为R的函数f（x）属于集合M，且存在满足有序实数对（0，1）和（1，4）；当x∈[0，1]时，f（x）的值域为[1，2]，求当x∈[﹣2016，2016]时函数f（x）的值域．【考点】反函数；函数的值域．【分析】（1）根据已知中集合M的定义，分别判断两个函数是否满足条件，可得结论；（2）假定∈M，求出相应的a，b，t值，得到矛盾，可得答案．（3）利用题中的新定义，列出两个等式恒成立；将x用2+x代替，两等式结合得到函数值的递推关系；用不完全归纳的方法求出值域【解答】解：（1）当f（x）=x时，f（a+x）•f（a﹣x）=（a+x）•（a﹣x）=a2﹣x2，其值不为常数，故f1（x）=x∉M，当f（x）=3x时，f（a+x）•f（a﹣x）=3a+x•3a﹣x=32a，当a=0时，b=1，故存在实数对（0，1），使得f（0+x）•f（0﹣x）=1对定义域内任意实数x都成立，故∈M；（2）若函数具有反函数f﹣1（x），且∈M，则f（a+x）•f（a﹣x）=•==b，则，解得：，此时f（x）=1（x≠﹣1），不存在反函数，故不存在实数对（a，b），使得f（x）与f﹣1（x）同时属于集合M．（3）函数f（x）∈M，且存在满足条件的有序实数对（0，1）和（1，4），于是f（x）•f（﹣x）=1，f（1+x）•f（1﹣x）=4，用x﹣1f替换f（1+x）•f（1﹣x）=4中x得：f（x）f（2﹣x）=4，当x∈[1，2]时，2﹣x∈[0，1]，f（x）=∈[2，4]，∴x∈[0，2]时，f（x）∈[1，4]．又由f（x）•f（﹣x）=1得：f（x）=，故=，即4f（﹣x）=f（2﹣x），即f（2+x）=4f（x）．（16分）∴x∈[2，4]时，f（x）∈[4，16]，x∈[4，8]时，f（x）∈[16，64]，…依此类推可知x∈[2k，2k+2]时，f（x）∈[22k，22k+2]，故x∈[2014，2016]时，f（x）∈[22014，22016]，综上所述，x∈[0，2016]时，f（x）∈[1，22016]，x∈[﹣2016，0]时，f（x）=∈[2﹣2016，1]，综上可知当x∈[﹣2016，2016]时函数f（x）的值域为[2﹣2016，22016]．【点评】本题考查理解题中的新定义、判断函数是否具有特殊函数的条件、利用新定义得到恒等式、通过仿写的方法得到函数的递推关系、考查利用归纳的方法得结论．。
上海高一上学期期末数学试题(解析版)
高一上学期期末数学试题一、填空题1化成有理数指数幂的形式为__________. 0)a >【答案】13a 【分析】根据给定条件，利用分数指数幂的意义求解作答. 【详解】. 0a >114111113333444()()()a a a a a +=⋅===故答案为：13a 2．不等式的解集是___________. |1|2x -<【答案】(1,3)-【分析】根据绝对值的意义直接求解即可. 【详解】, |1|2x -< ,212x ∴-<-<解得，13x -<<所以不等式的解集为. (1,3)-故答案为：(1,3)-3．已知a 、b 是方程的两个根，则______． 23410x x -+=11a b+=【答案】4【分析】直接利用韦达定理代入计算即可.【详解】由韦达定理可得，41,33a b ab +==4113413a b a b ab++===故答案为：4.4．已知扇形的弧所对的圆心角为，且半径为，则该扇形的面积为________． 54︒10cm 2cm 【答案】15π【分析】根据角度制与弧度制的互化，可得圆心角，再由扇形面积公式求解即可. 3π10α=【详解】由题意，根据角度制与弧度制的互化，可得圆心角.则该扇形的面积为3π5410α=︒=. 213π1015π210⨯⨯=2cm 故答案为： 15π5．已知，则角属于第____________象限． sin 0tan θθ<θ【答案】二或三【分析】根据题意，结合三角函数在各个象限的符号，即可得到结果. 【详解】因为，即与的符号相反， sin 0tan θθ<sin θtan θ所以为第二或第三象限， θ故答案为: 二或三6．已知是定义在上的奇函数，当时，，则____. ()y f x =R 0x >()21x f x =-(2)f -=【答案】3-【详解】 由题意得，函数为奇函数，所以.()y f x =()2(2)2(21)3f f -=-=--=-7．已知函数的反函数为，若函数的图像过点，则实数a 的()3x f x a =+1()y f x -=1()y f x -=(3,2)值为__________． 【答案】-6【分析】由的图象过点得函数的图象过点，把点代入1()y f x -=(3,2)()y f x =(2,3)(2,3)()y f x =的解析式求得的值．a 【详解】解：的图象过点，1()y f x -= (3,2)函数的图象过点，∴()y f x =(2,3)又，()3x f x a =+，即．233a ∴+=6a =-故答案为：． 6-8．已知，则____________． cos )ααβ=-=π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos(2)αβ-=【分析】根据，得到，求出π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ,22αβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭sin )ααβ=-=法，结合余弦的和角公式求出答案.【详解】，故，π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ,22αβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭因为，所以，sin()0αβ-=>π0,2αβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭所以，sin )ααβ==-==故()()()()2cos cos cos sin sin cos αβααβααβααβ⎡⎤-=+--⎦=--⎣. ==9．在数学解题中，时常会碰到形如“”的式子，它与“两角和的正切公式”的结构类似.若1x yxy+-，则________.sincos855tan 15cos sin 55a b a b πππππ+=-b a =【分析】将已知条件左边分式分子分母同时除以，结合两角和的正切公式，求得的值. cos5a πba【详解】由已知分子分母同时除以得，sincos855tan 15cos sin 55a b a b πππππ+=-cos 5a π. tan85tan 151tan 5ba b a πππ+=-又，所以. tantan853tantan()15531tan tan 35πππππππ+=+=-tan 3b a π=【点睛】本小题主要考查两角和的正切公式，考查齐次方程的计算，属于中档题.10．若函数有2个零点，则实数a 的取值范围是______．()2,1,x x x x af x x x a ⎧-<=⎨-≥⎩【答案】(](]2,01,2- 【分析】画出的图像，分，，，，讨()2,1,x x x x af x x x a ⎧-<=⎨-≥⎩2a ≤-20a -<≤01a <≤12a <≤2a >论观察图像可得答案.【详解】当时，函数零点为1，只有1个零点2a ≤-()2,1,x x x x af x x x a ⎧-<=⎨-≥⎩当时，函数零点为-2，1，有2个零点，符合；20a -<≤()2,1,x x x x af x x x a ⎧-<=⎨-≥⎩当时，函数零点为-2，0，1，有3个零点；01a <≤()2,1,x x x x af x x x a ⎧-<=⎨-≥⎩当时，函数零点为-2，0，有2个零点；12a <≤()2,1,x x x x af x x x a⎧-<=⎨-≥⎩当时，函数零点为-2，0，2，有3个零点；2a >()2,1,x x x x af x x x a ⎧-<=⎨-≥⎩综上：实数a 的取值范围是 (](]2,01,2- 故答案为：.(](]2,01,2- 【点睛】思路点睛：对于分段函数的零点问题，注意根据两段函数的零点合理分类，分类时注意按一定的次序进行.二、单选题11．以下命题正确的是（ ） A ．终边重合的两个角相等 B ．小于 的角都是锐角 90 C ．第二象限的角是钝角 D ．锐角是第一象限的角【答案】D【分析】根据象限角的定义判断求解即可.【详解】对于A,例如和中边相同，但两个角不相等，故A 错误；30 390对于B,例如，但不是锐角，故B 错误；090< 0 对于C,例如是第二象限角，但不是钝角，故C 错误； 210- 210- 因为锐角为大于小于，所以锐角在第一象限，故D 正确. 0 90 故选:D.12．若函数的一个正零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：32()22f x x x x =+-- (1)2f =- (1.5)0.625f = (1.25)0.984f =-(1.375)0.260f =-(1.4375)0.162f =(1.40625)0.054f =-那么方程的一个近似根（精确度0.1）为（ ）．A ．1.2 B ．1.4 C ．1.3 D ．1.5 32220x x x +--=【答案】B【分析】根据二分法求零点的步骤以及精确度可求得结果.【详解】解：因为，所以，所以函数在内有零点，因为(1)0,(1.5)0f f <>(1)(1.5)0f f <(1,1.5)，所以不满足精确度；1.510.50.1-=>0.1因为，所以，所以函数在内有零点，因为(1.25)0f <(1.25)(1.5)0f f <(1.25,1.5)，所以不满足精确度；1.5 1.250.250.1-=>0.1因为，所以，所以函数在内有零点，因为(1.375)0f <(1.375)(1.5)0f f <(1.375,1.5)，所以不满足精确度；1.5 1.3750.1250.1-=>0.1因为，所以，所以函数在内有零点，因为(1.4375)0f >(1.4375)(1.375)0f f <(1.375,1.4375)，所以满足精确度；1.4375 1.3750.06250.1-=<0.1所以方程的一个近似根（精确度）是区间内的任意一个值（包32220x x x +--=0.05(1.375,1.4375)括端点值），根据四个选项可知选B . 故选：B13．已知全集及集合，，则的U =R 2128,4aA a a -⎧⎫=≤<∈⎨⎬⎩⎭Z {}23100B b b b b =+->∈R ，A B 元素个数为（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】B【分析】可求出集合，，然后进行交集和补集的运算求出，然后即可得出的元素个A B A B A B 数．【详解】解：，2128,4a A a a -⎧⎫=≤<∈⎨⎬⎩⎭Z {}23100B b b b b =+->∈R ，，，，1，2，3，，或，且{|223A a a ∴=--<…}{|14a Z a a ∈=-<…}{0a Z ∈=4}{|5B b b =<-2}b >，U =R ，， ∴{|52}B b b =-……{0,1,2}A B = 的元素个数为：3．∴A B 故选：． B 14．函数，因其图像类似于汉字“囧”，故被称为“囧函数”，下列说法中正确的个数为1()||1f x x =-（ ）①函数的定义域为； ②； ()f x {}1x x ≠2022((2023))2021f f =-③函数的图像关于直线对称； ④当时，函数的最大值为； ()f x 1x =(1,1)x ∈-()f x 1-⑤方程有四个不同的实根． 2()40f x x -+=A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】B【分析】根据分式分母不为零可求得定义域判断①；利用解析式可求得判断()f x ()()2023f f ②；通过判断③；分别在和的情况下得到，判断④；利用()()20f f ≠(]1,0x ∈-[)0,1x ∈()max f x 数形结合判断⑤.【详解】对于①，由得：，的定义域为，①错误；10x -≠1x ≠±()f x \{}1x x ≠±对于②，，，②正确；()120232022f = ()()112022202312022202112022f f f ⎛⎫∴===-⎪⎝⎭-对于③，，，， ()12121f ==- ()10101f ==--()()20f f ∴≠不关于直线对称，③错误；()f x \1x =对于④，当时，，此时； (]1,0x ∈-()1111f x x x ==---+()()01f x f ≤=-当时，，此时； [)0,1x ∈()11f x x =-()()01f x f ≤=-综上所述：当时，，④正确；()1,1x ∈-()max 1f x =-对于⑤，在平面直角坐标系中，作出与的大致图象，()f x 24y x =-由图象可知与有四个不同交点，()f x 24y x =-方程有四个不同的根，⑤正确.∴()240f x x -+=所以正确的个数为3. 故选：B.三、解答题15．已知，求下列各式的值：1tan 2,tan 42παβ⎛⎫+==- ⎪⎝⎭(1)；tan α(2)． sin()2sin cos 2sin sin cos()αβαβαβαβ+-++【答案】(1)13(2) 1-【分析】(1)两角和的正切展开求解.(2)两角和的正余弦展开合并同类项，再运用两角和的正余的逆运用转化为正切求解.【详解】（1） πtantan π1tan 4tan 2π41tan 1tan tan 4ααααα++⎛⎫+=== ⎪-⎝⎭-⋅1tan 3α∴=（2）()()sin sin cos cos sin ,cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ+=⋅+⋅+=⋅-⋅sin()2sin cos 2sin sin cos()2sin sin cos cos sin 2sin cos cos s c s in o sin sin αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+-∴=++⋅+⋅-⋅⋅-+⋅ ()()()sin cos sin sin cos tan sin sin cos cos cos βααβαββααβαββα-⋅-⋅===-⋅+⋅-又 ()11tan tan 523tan 1111tan tan 61132βαβααβ-----====-+⋅-⎛⎫+⨯- ⎪⎝⎭sin()2sin cos 12sin sin cos()αβαβαβαβ+-∴=-++16．某小微公司每年燃料费约20万元．为了“环评”达标，需要安装一块面积为（单位：平()0x x ≥方米）可用10年的太阳能板，其工本费为（单位：万元），并与燃料供热互补工作，从此，公司2x每年的燃料费为（，k 为常数）万元．记y 为该公司10年的燃料费与安装太阳能板1040kx +0x ≥的费用之和．(1)求k 的值，并写出函数的表达式；()y f x =(2)求y 的最小值，并指出此时所安装的太阳能板的面积x ． 【答案】(1)，()； 800k =80042xy x =++0x ≥(2)38万元，安装的太阳能板的面积为36平方米.【分析】(1)根据每年的燃料费计算可得k 值，进而写出函数的表达式. ()y f x =(2)利用(1)中函数表达式结合均值不等式即可计算最小值及所对x 值. 【详解】（1）依题意，当时，，解得， 0x =2040k=800k =于是得该公司10年的燃料费与安装太阳能板的费用之和，，800800101040242x xy x x =⋅+=+++0x ≥所以，函数的表达式为，. 800k =()y f x =80042xy x =++0x ≥（2）由(1)知，，， 0x ≥8004223842x y x +=+-≥=+当且仅当，即时取“=”， 800442x x +=+36x =所以y 的最小值是38万元，此时所安装的太阳能板的面积为36平方米. 17．已知函数的表达式为.()y f x =()9233x x f x a =-⋅+(1)若，求函数的值域； 1,[0,1]a x =∈()y f x =(2)当时，求函数的最小值；[1,1]x ∈-()y f x =()h a (3)对于（2）中的函数，是否存在实数，同时满足下列两个条件：（i ）；（ii ）()h a ,m n 3n m >>当的定义域为，其值域为；若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. ()h a [,]m n 22,m n ⎡⎤⎣⎦,m n 【答案】(1)[]2,6(2)22821,9331()3,33126,3aa h a a a a a ⎧-<⎪⎪⎪=-≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩(3)不存在，理由见解析【分析】（1）由，利用的范围可得的范围，进而可得答案；()2312x y =-+x 3x （2）令，函数可转化为，分、、讨论可得答3x t =()f x ()()223g t t a a =-+-13a <133a ≤≤3a >案；（3）假设满足题意的，存在，函数在上是减函数，求出的定义域、值域，列m n ()h a ()3,+∞()h a 出方程组，求解与已知矛盾，即可得到结论.【详解】（1）当时，由，得，1a =9233x x y =-⨯+()2312x y =-+因为，所以，，[]0,1x ∈[]31,3x∈[]2,6y ∈所以函数的值域为.()y f x =[]2,6（2）令，因为，故，函数可转化为3x t =[]1,1x ∈-1,33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x ， ()()222233g t t at t a a =-+=-+-①当时，；13a <()1282393ah a g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭②当时，；133a ≤≤()()23h a g a a ==-③当时，．3a >()()3126h a g a ==-综上所述，. ()22821,93313,33126,3a a h a a a a a ⎧-<⎪⎪⎪=-≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩（3）假设满足题意的，存在，m n 因为，，3n m >>()126h a a =-所以在上是严格减函数，()y h a =()3,+∞所以在上的值域为，()y h a =[],m n ()(),⎡⎤⎣⎦h n h m 又在上的值域为，所以，即， ()y h a =[],m n 22,m n ⎡⎤⎣⎦()()22h n m h m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩22126126n m m n ⎧-=⎨-=⎩两式相减，得，()()()226m n m n m n m n -=-=+-因为，所以，3n m >>6m n +=而由，可得，与矛盾．3n m >>6m n +>6m n +=所以，不存在满足条件的实数，．m n 18．已知函数的定义域是使得解析式有意义的x 集合，如果对于定义域内的任意实数x ，函数()f x 值均为正，则称此函数为“正函数”.（1）证明函数是“正函数”； ()()2lg 11f x x =++（2）如果函数不是“正函数”，求正数a 的取值范围. ()11a f x x x =+-+（3）如果函数是“正函数”，求正数a 的取值范围. ()()()222242122x a x a f x x a x a +--+=+--+【答案】（1）证明见解析，（2）（3）(,1]-∞(){}6,13- 【解析】（1）有题知：，即证.()1f x ≥（2）首先讨论当时，显然不是“正函数”. 当时，从反面入手，假设0a ≤()11a f x x x =+-+0a >是“正函数”，求出的范围，再取其补集即可.()f x a （3）根据题意得到：或，解方程和不等式组即可. 22(2)4(42)0(1)8(22)0a a a a ⎧---<⎨---<⎩12242122a a a a --+==--+【详解】（1）.2()lg(1)1lg111f x x =++≥+=函数值恒为正数，故函数是“正函数”.2()lg(1)1f x x =++（2）当时，，0a ≤(0)10f a =-<显然不是“正函数”. ()11a f x x x =+-+当时0a >假设为“正函数”.则恒大于零. ()11a f x x x =+-+()f x. ()1221a f x x x =++-≥+所以，即20->1a >所以不是“正函数”时， ()11a f x x x =+-+.01a <≤综上：.1a ≤（3）有题知：若函数是“正函数”， ()22(2)242(1)22x a x a f x x a x a +--+=+--+则或. 22(2)4(42)0(1)8(22)0a a a a ⎧---<⎨---<⎩12242122a a a a --+==--+解得：或.61a -<<3a =【点睛】本题主要考查函数的新定义，同时考查了对所学知识的综合应用，属于难题.。
上海高一上数学期末考试试卷
【分析】
根据原函数与反函数的关系，解方程 ，即可.
【详解】
令 解得
函数 的反函数为 .
故答案为：
13．1
【解析】
【分析】
根据函数 为偶函数，则定义域关于原点的对称，且 ，列方程组得 ，解方程组即可.
【详解】
函数 是定义域为 的偶函数
，解得 ，
即
故答案为：
14．10或100
【解析】
【分析】
令 ，则方程 变形为 ，解得 或 ，即 或 ，解方程即可.
16．
【解析】
【分析】
根据 为奇函数，且在 上是减函数，可知 ，即 ，令 ，根据函数 在 上单调递增，求解 的取值范围，即可.
【详解】
为奇函数，且在 上是减函数
在 上是减函数.
∴ ，即 .
令 ，则 在 上单调递增.
若使得不等式 在 上都成立.
则需 .
故答案为：
17．
【解析】
【分析】
由题意可知，函数 在 单调递增，则 ，解方程，即可.
【详解】
(1)由题意， 过点 ，即 ，解得
所以 .
(2) 为 上的奇函数
∴ ，解得 ，即
则
令 ，即
则
即 ，解得 .
(3)由(2)可知
即
令 ，则
令 ，
在 单调递减
∴
若关于 的不等式 在区间 上恒成立,则
又 为正实数
∴ .
【详解】
函数
函数 在 单调递增
即 ，
又 函数 在区间 上的最大值比最小值大 .
，解得 或 （舍去）
综上所述：
18．(1) ；(2)偶函数，证明见解析.
【解析】
上海高一上学期期末数学试题(解析版)
一、填空题1．已知集合，，则__________． {1,1,2}A =-{}20B x x x =+=A B = 【答案】{}1-【分析】可求出集合，然后进行交集的运算即可．B 【详解】解：，1，，，，{1A =- 2}{1B =-0}．{1}A B ∴=- 故答案为：．{}1-2．设a 、b 都为正数，且，则的最小值为________. 4a b +=11a b +【答案】1【分析】把变形为：利用已知，结合基本不等式进行求解即可. 11a b +1114()4a b ⨯⋅+【详解】因为a 、b 都为正数，所以有：， 111111114(()((2)(214444b a a b a b a b a b ⨯⋅+=+⋅+=⋅++≥⋅+=当且仅当时取等号，即时取等号，b a a b=2a b ==故答案为：13．函数，则______________. 2()1y f x x ==-1(3)f -=【答案】 53【解析】3在反函数的定义域中，它必在原函数的值域中，因为反函数与原函数的对应关系相反，故由解得值为所求. 231x =-x 【详解】由解得，所以. 231x =-53x =15(3)3f -=故答案为： 534．已知且，若，，则_______________.0a >1a ≠log 2a m =log 3a n =m n a +=【答案】6【解析】利用指数式与对数式的互化，再利用同底数幂相乘即可.【详解】，同理：log 2,2m a m a =∴= 3n a =∴236m n m n a a a +==⨯=故答案为：6【点睛】对数运算技巧：(1)指数式与对数式互化；(2)灵活应用对数的运算性质；(3) 逆用法则、公式；(4) 应用换底公式，化为同底结构．5．已知函数，是偶函数，则的值为______．()()221f x ax b x =+++22,x a a ⎡⎤∈-⎣⎦a b +【答案】1-【分析】根据奇偶定义可建立方程求解即可.【详解】由题意得，所以，所以.2220202b a a a a +=⎧⎪-+=⎨⎪-<⎩1,2a b ==-1a b +=-故答案为：1-6．若幂函数（为整数）的定义域为，则的值为______．22mm y x -++=m R m 【答案】或01【分析】依题意可得，解得的取值范围，再由为整数，求出参数的值.220m m -++>m m 【详解】由题意得，解得，又为整数，所以或.220m m -++>12m -<<m 0m =1故答案为：或017．用“二分法”求方程在区间内的实根，首先取区间中点进行判断，那么下一340x x +-=()1,32x =个取的点是______．x =【答案】1.5## 32【分析】先确定函数单调性，根据二分法求解即可得解.【详解】设函数，易得函数为严格增函数，3()4f x x x =+-因为，，(1)20f =-<(2)60f =>所以下一个有根区间是，(1,2)那么下一个取的点是．1.5x =故答案为：1.58．已知函数的最小值为-2，则实数a =________.22([0,1])y x ax x =+∈【答案】 32-【分析】根据二次函数的对称轴与所给区间的相对位置进行分类讨论求解即可.【详解】，所以该二次函数的对称轴为：，222()2()y f x x ax x a a ==+=+-x a =-当时，即，函数在时单调递减，1a ≤-1a ≤-2()2f x x ax =+[0,1]x ∈因此，显然符合； min 3()(1)1222f x f a a ==+=-⇒=-1a ≤-当时，即时，； 01a <-<10a -<<2min ()2f x a a =-=-⇒=10a -<<当时，即时，函数在时单调递增，0a -≤0a ≥2()2f x x ax =+[0,1]x ∈因此，不符合题意，综上所述：， min ()(0)02f x f ==≠-32a =-故答案为： 32-9．设方程的实根，其中k 为正整数，则所有实根的和为22log 1122x a a --=-+12,,,k x x x ______．【答案】4【分析】画出的图象，由图象的特征可求.2()log 11g x x =--【详解】令，，2()|log ||1|f x x =-22()|log ||1||log ||1|()f x x x f x -=--=-=所以函数图象关于轴对称，2()|log ||1|f x x =-y 令，则的图象关于直线对称，2()log 11g x x =--()(1)g x f x =-1x =因为方程的实根，可以看作函数的图象与直线22log 1122x a a --=-+2()log 11g x x =--的交点横坐标.222y a a =-+由图可知方程有4个实根，且关于直线对称.22log 1122x a a --=-+1x =所以.12344x x x x +++=故答案为：4.10．设函数，，如果对任意的实数，任意的实数，不等()2x f x =2()2g x x x a =-+1[1,2]x ∈2[1,2]x ∈式恒成立，则实数a 的取值范围为________．()()121f x g x -≥【答案】(,1][6,)-∞+∞U【分析】分别求出函数，在上的值域，把问题转化为关于的不等式()2x f x =2()2g x x x a =-+[1,2]a 组，求出解集即可【详解】解：因为在上为增函数，()2x f x =[1,2]所以，min max ()(1)2,()(2)4f x f f x f ====所以在上的值域为，()2x f x =[1,2][2,4]因为的对称轴为直线，2()2g x x x a =-+1x =所以在上为增函数，2()2g x x x a =-+[1,2]所以，min max ()(1)1,()(2)g x g a g x g a ==-==所以在上的值域为，2()2g x x x a =-+[1,2][1]a a -,因为对任意的实数，任意的实数，不等式恒成立，1[1,2]x ∈2[1,2]x ∈()()121f x g x -≥所以，解得， (1)4121a a ⎧--≥⎪⎨-≥⎪⎩4613a a a a ≤≥⎧⎨≤≥⎩或或所以或，1a ≤6a ≥所以实数a 的取值范围为，(,1][6,)-∞+∞U 故答案为：(,1][6,)-∞+∞U 【点睛】此题考查函数在闭区间上的最值问题和不等式恒成立问题，考查了数学转化思想，解题的关键是求出函数，在上的值域，把问题转化为，从而()2x f x =2()2g x x x a =-+[1,2](1)4121a a ⎧--≥⎪⎨-≥⎪⎩可求出实数a 的取值范围，属于中档题二、单选题11．已知x ，y 是实数，则“”是“”的（ ）x y >33x y >A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】由充要条件的定义求解即可【详解】因为 ， 2233223()()()24y y x y x y x xy y x y x ⎡⎤⎛⎫-=-++=-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦若，则， x y >223()024y y x y x ⎡⎤⎛⎫-++>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦若，则，即， 223()024y y x y x ⎡⎤⎛⎫-++>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦0x y ->x y >所以 ，即“”是“”的充要条件，33x y x y >⇔>x y >33x y >故选：C.12．如果，那么（ ）12log 0.8log 0.80x x <<A ．B ． 2101x x <<<1201x x <<<C ．D ．121x x <<211x x <<【答案】C【分析】根据换底公式可得，再利用单调性可以判断C 正0.820.810.8log log 0log 1x x <<=0.8log y x =确.【详解】因为，则，12log 0.8log 0.80x x <<0.820.810.8log log 0log 1x x <<=又因为在上单调递减，0.8log y x =()0,∞+那么，121x x <<故选：C ．13．在同一直角坐标系中，二次函数与幂函数图像的关系可能为（ ） 2y ax bx =+(0)b a y x x =>A ． B ． C ．D ．【答案】A【分析】根据题意，结合二次函数和幂函数的性质依次分析选项，即可得到答案.【详解】对于A ，二次函数开口向上，则，其对称轴，则，即2y ax bx =+0a >b x 02a =->0b a<幂函数为减函数，符合题意；(0)b a y x x =>对于B ， 二次函数开口向下，则，其对称轴，则，即幂函数2y ax bx =+a<0b x 02a =->0b a <为减函数，不符合题意；(0)b a y x x =>对于C ，二次函数开口向上，则，其对称轴，则，即幂函数2y ax bx =+0a >12b x a=-=-2b a =为增函数，且其增加的越来越快，不符合题意；(0)b a y x x =>对于D ， 二次函数开口向下，则，其对称轴，则，即幂函2y ax bx =+a<0122b x a =->-01b a <<数为增函数，且其增加的越来越慢快，不符合题意；(0)b a y x x =>故选：A 【点睛】关键点点睛：本题考查函数图像的分析，在同一个坐标系中同时考查二次函数和幂函数性质即可得解，考查学生的分析试题能力，数形结合思想，属于基础题.14．若函数与在区间上都是严格减函数，则实数的取值范围为（ ） ||y x a =--1a y x =+[1,2]a A ．B ．C ．D ． (,0)-∞(1,0)(0,1]-⋃(0,1)(0,1]【答案】D【分析】由一次函数及反比例函数的单调性，结合图像变换即可得到实数的取值范围.a 【详解】函数的图像关于对称，||y x a =--x a =所以当，y 随x 的增大而减小，当，y 随x 的增大而增大.x a >x a <要使函数在区间上都是严格减函数，||y x a =--[1,2]只需； 1a ≤要使在区间上都是严格减函数，只需； 1a y x =+[1,2]0a >故a 的范围为.01a <≤故选：D三、解答题15．求下列不等式的解集：(1) 4351x x +>-(2)2332x x -<-【答案】(1)(1,8)(2)(1,)+∞【分析】（1）根据分式不等式及一元二次不等式的解法求解集.（2）应用公式法求绝对值不等式的解集.【详解】（1），故解集为； ()()4385018011x x x x x x +->⇔<⇔--<--(1,8)（2），|23|32322332x x x x x -<-⇔-+<-<-故解集为.(1,)+∞16．已知函数． ()22(11)1x f x x x =-<<-(1)判断函数的奇偶性，并说明理由；()f x (2)判断函数的单调性并证明．()f x 【答案】(1)是奇函数，理由见解析()f x (2)在上单调递减，证明见解析()f x (1,1)-【分析】（1）根据函数奇偶性定义进行判断证明；（2）根据函数单调性定义进行证明.【详解】（1）是奇函数，理由如下：()f x 函数，则定义域关于原点对称， ()22(11)1x f x x x =-<<-因为，所以是奇函数； ()()221x f x f x x --==--()f x （2）任取，1211x x -<<<则 22121211221222221212222222()()11(1)(1)x x x x x x x x f x f x x x x x --+-=-=---- ， 1221211221222212122()2()2(1)()(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x x x x -+-+-==----因为，所以， 1211x x -<<<2212211210,0,10,10x x x x x x +>->-<-<所以，所以在上单调递减.12())0(f x f x ->()f x (1,1)-17．将函数（且）的图像向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到log 2a y x =-0a >1a ≠函数的图像．()y f x =(1)求函数的解析式()f x (2)设函数，若对一切恒成立，求实数m 的取值范围；()()()1f x f x F x a ++=()m F x <()1,x ∈-+∞(3)讨论关于x 的方程，在区间上解的个数． ()log ap f x x=()1,-+∞【答案】(1)()log (1)a f x x =+(2)(,0]-∞(3)答案见解析【分析】(1)由图象的平移特点可得所求函数的解析式；(2)求得的解析式，可得对一切恒成立，再由二次函数的性质可得所()F x (1)(2)m x x <++(1,)∈-+∞x 求范围；(3)将方程等价转化为且，根据题意只需讨论在区间()log a p f x x =1(1p x x x +=>-0)x ≠(1)p x x =+上的解的个数，利用图象，数形结合即可求得答案.(1,)-+∞【详解】（1）将函数且的图象向左平移1个单位，log 2(0a y x a =->1)a ≠得到的图象，再向上平移2个单位，得函数的图象； log (1)2a y x =+-()log (1)a f x x =+（2）函数，，()()()()()()()1log 1log 212a a f x f x x x F x a a x x +++++===++1x >-若对一切恒成立，()m F x <(1,)∈-+∞x 则对一切恒成立，(1)(2)m x x <++(1,)∈-+∞x 由在严格单调递增，得，(1)(2)y x x =++(1,)-+∞(1)(2)0y x x =++>所以，即的取值范围是；0m ≤m (,0]-∞（3）关于的方程 x ()log log (1)log aa a p p f x x x x=⇔+=且， 1(1p x x x ⇔+=>-0)x ≠所以只需讨论在区间且x ≠0上的解的个数．(1)p x x =+(1,)-+∞由二次函数且的图象得，(1)(1y x x x =+>-0)x ≠当时，原方程的解有0个； 1(,)4p ∈-∞-当时，原方程的解有1个； 1(0,)4p ⎧⎫∈-+∞⎨⎬⎩⎭当时，原方程的解有2个． 1(,0)4p ∈-18．其公司研发新产品，预估获得25万元到2000万元的投资收益，现在准备拟定一个奖励方案：奖金y （万元）随投资收益x （万元）的增加而增加，奖金不超过75万元，同时奖金不超过投资收益的20%．(1)用数学语言列出公司对函数模型的基本要求；(2)判断函数是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由； ()1050x f x =+(3)已知函数符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a 取值范围． ()1252g x a ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭【答案】(1)答案见解析(2)不符合，理由见解析(3) 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据函数单调性的定义以及最值的定义，结合题意中的不等关系，可得答案； （2）由（1）所得的三个条件，进行检验，可得答案；（3）利用幂函数的单调性，结合题意中的最值以及不等关系，可得不等式组，利用基本不等式，可得答案.【详解】（1）满足的基本要求是：①是定义域上的严格增函数，()f x ()f x [25,2000]②的最大值不超过75，③在上恒成立； ()f x ()5x f x ≤[25,2000]（2），不满足要求③，故不符合； ()1050x f x =+()5050115f =>（3）因为，所以函数满足条件①， 12a ≥()gx 由函数满足条件②得，解得()g x 2575≤a ≤由函数满足条件③得，对恒成立， ()gx 255x ≤[25,2000]x ∈即恒成立，2a ≤[25,2000]x ∈时取等号，所以． 2≥=25x =1a ≤综上所述，实数的取值范围是． a 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦19．已知函数 ()22,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩(1)设k 、m 均为实数，当时，的最大值为1，且满足此条件的任意实数x 及m 的(],x m ∈-∞()f x 值，使得关于x 的不等式恒成立，求k 的取值范围；()()22310f x m k m k ≤--+-(2)设t 为实数，若关于x 的方程恰有两个不相等的实数根且，()()2log 0f f x t x --=⎡⎤⎣⎦12,x x 12x x <试将表示为关于t 的函数，并写出此函数的定义域． 1221212log 211++--+-x x x x 【答案】(1)4k ≥(2)， 1221212log 2|1||1|x x x x ++--+-1t t=+(]1,3【分析】(1)分离参数，得，再借助基本不等式求解即可； 4(3)83k m m ≥-++-(2)先得出，再对，进行分类讨论. ()()22,1()log log ,1x x f f x x x ≤⎧=⎨>⎩1x >1x ≤【详解】（1）当时，，故.(,]x m ∈-∞max ()f x =102m ≤≤要使得不等式恒成立，2()(2)310f x m k m k ≤--+-需使，2(2)310m k m k --+-1≥即对于任意的都成立. 2(2)3110m k m k --+-≥[0,2]m ∈因为，所以. 133m ≤-≤4(3)83k m m ≥-++-由，得 30m ->403m <-4(3)84843m m -++≤-+=- （当且仅当时取等号）1m =所以；4k ≥（2）由函数，得， ()f x 22,0log ,0x x x x ⎧≤=⎨>⎩()()22,1()log log ,1x x f f x x x ≤⎧=⎨>⎩①若，则方程变为，1x ≤[]2()log ()0f f x t x --=x =2log ()t x -即，则，2x t x =-2x t x =+为递增函数，，则有；2x y x =+1x ≤3t ≤②若，则方程变为1x >[]2()log ()0f f x t x --=，即，且，故，()222log log log ()x t x =-2log x t x =-0t x ->1t >于是分别是方程、的两个根，则，，12,x x 2x t x =-2log x t x =-11x ≤21x <即，121x x ≤<由于函数与的图像关于直线对称，2log y x =2x y =y x =故，12x x t +=， 122122log 2()x x t x x t +=-+=()()1212112|1||1|211x x x x =--+-+-+-1t=故，且， 1221212log 2|1||1|x x x x ++--+-1t t =+13t <≤故此函数的定义域为.(]1,3【点睛】方法点睛：对于非二次不等式恒成立求参问题，一般先分离参数，转化为最值问题，进而可借助函数或基本不等式进行求解；方程解的个数可等价于两个不同函数交点个数，分段函数则需要考虑每一段解析式是否成立.20．对于定义在D 上的函数，设区间是D 的一个子集，若存在，使得函()y f x =[,]m n 0(,)x m n ∈数在区间上是严格减函数，在区间上是严格增函数，则称函数在区()y f x =[]0,m x []0,x n ()y f x =间上具有性质P ．[,]m n （1）若函数在区间上具有性质P ，写出实数a 、b 所满足的条件；2y ax bx =+[0,1]（2）设c 是常数，若函数在区间上具有性质P ，求实数c 的取值范围．3y x cx =-[1,2]【答案】（1）；（2）．20a b -<<()3,12c ∈【分析】（1）根据定义判断出为二次函数，然后根据的单调性和单调区间判断出2y ax bx =+()f x 的开口以及对称轴，由此得到满足的条件；2y ax bx =+,a b （2）先分析函数在区间上为严格增函数和严格减函数时的取值，据此分析出3y x cx =-[1,2]c 在区间上先递减再递增时的取值范围，由此求解出的取值范围.3y x cx =-[1,2]c c 【详解】（1）当函数在区间上具有性质P 时，由其图象在R 上是抛物线， 2y ax bx =+[0,1]故此抛物线的开口向上（即），且对称轴是； 0a >(0,1)2b x a=-∈于是，实数a ，b 所满足的条件为：．20a b -<<（2）记．设，是区间上任意给定的两个实数，3()f x x cx =-1x 2x [1,2]总有． ()()()()2212121122f x f x x x x x x x c -=-++-若，当时，总有且，3c ≤12x x <120x x -<22112211130x x x x c ++->++-=故，因此在区间上是严格增函数，不符合题目要求．()()120f x f x -<3y x cx =-[1,2]若，当时，总有且，12c ≥12x x <120x x -<222211222222120x x x x c ++-<+⨯+-=故，因此在区间上是严格减函数，不符合题目要求．()()120f x f x ->3y x cx =-[1,2]若，当且时，总有且， 312c <<12x x <12,x x ⎡∈⎢⎣120x x -<2211220333c c c x x x x c c ++-<++-=故，因此在区间上是严格减函数； ()()120f x f x ->3y x cx =-⎡⎢⎣当且时，总有且， 12x x <12,2x x ⎤∈⎥⎦120x x -<2211220333c c c x x x x c c ++->=++-=故，因此在区间上是严格增函数．()()120f x f x -<3y x cx =-2⎤⎥⎦因此，当时，函数在区间上具有性质P ．()3,12c ∈3y x cx =-[1,2]【点睛】关键点点睛：本题属于函数的新定义问题，求解本题第二问的关键在于对于性质的理P 解，通过分析函数不具备性质的情况：严格单调递增、严格单调递减，借此分析出可能具备性质P的情况，然后再进行验证即可. P。
上海市宝山区201x-201x学年高一上学期期末数学试卷 Word版含解析
上海市宝山区2021-2021 学年高一上学期期末数学试卷一、填空题〔本大题共有12题，总分值36分〕考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否那么一律得零分．1．〔3分〕函数y=log2〔x﹣1〕的定义域是．2．〔3分〕设全集U=R，集合S={x|x≥﹣1}，那么∁U S=．3．〔3分〕设关于x的函数y=〔k﹣2〕x+1是R上的增函数，那么实数k的取值范围是．4．〔3分〕x=log75，用含x的式子表示log7625，那么log7625=．5．〔3分〕函数y=的最大值为．6．〔3分〕假设函数f〔x〕=﹣a是奇函数，那么实数a的值为．7．〔3分〕假设不等式x2﹣mx+n＜0〔m，n∈R〕的解集为〔2，3〕，那么m﹣n=．8．〔3分〕设α：0≤x≤1，β：m≤x≤2m+5，假设α是β的充分条件，那么实数m的取值范围是．9．〔3分〕设a，b均为正数，那么函数f〔x〕=〔a2+b2〕x+ab的零点的最小值为．10．〔3分〕给出以下命题：①直线x=a与函数y=f〔x〕的图象至少有两个公共点；②函数y=x﹣2在〔0，+∞〕上是单调递减函数；③幂函数的图象一定经过坐标原点；④函数f〔x〕=a x﹣2〔a＞0，a≠1〕的图象恒过定点〔2，1〕．⑤设函数y=f〔x〕存在反函数，且y=f〔x〕的图象过点〔1，2〕，那么函数y=f﹣1〔x〕﹣1的图象一定过点〔2，0〕．其中，真命题的序号为．11．〔3分〕设函数f〔x〕〔x∈R〕满足|f〔x〕+〔〕2|≤，且|f〔x〕﹣〔〕2|≤．那么f〔0〕=．12．〔3分〕假设F〔x〕=a•f〔x〕g〔x〕+b•+c〔a，b，c均为常数〕，那么称F〔x〕是由函数f〔x〕与函数g〔x〕所确定的“a→b→c〞型函数．设函数f1〔x〕=x+1与函数f2〔x〕=x2﹣3x+6，假设f〔x〕是由函数f1﹣1〔x〕+1与函数f2〔x〕所确定的“1→0→5〞型函数，且实数m，n 满足f〔m〕=f〔n〕=6，那么m+n的值为．二、选择题〔本大题共有4题，总分值12分〕每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否那么一律得零分．13．〔3分〕“a＞1〞是“a＞0〞的〔〕A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件14．〔3分〕函数y=x+〔x＞0〕的递减区间为〔〕A．〔0，4] B．C．15．〔3分〕如图为函数f〔x〕=t+log a x的图象〔a，t均为实常数〕，那么以下结论正确的选项是〔〕A．0＜a＜1，t＜0 B．0＜a＜1，t＞0 C．a＞1，t＜0 D．a＞1，t＞0 16．〔3分〕设g〔x〕=|f〔x+2m〕﹣x|，f〔t〕为不超过实数t的最大整数，假设函数g〔x〕存在最大值，那么正实数m的最小值为〔〕A．B．C．D．三、解答题〔本大题共有5题，总分值52分〕解答以下各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．〔8分〕解不等式组：．18．〔8分〕某“农家乐〞接待中心有客房200间，每间日租金为40元，每天都客满．根据实际需要，该中心需提高租金．如果每间客房日租金每增加4元，客房出租就会减少10间．〔不考虑其他因素〕〔1〕设每间客房日租金提高4x元〔x∈N+，x＜20〕，记该中心客房的日租金总收入为y，试用x表示y；〔2〕在〔1〕的条件下，每间客房日租金为多少时，该中心客房的日租金总收入最高？19．〔10分〕f〔x〕=|x+a|〔a＞﹣2〕的图象过点〔2，1〕．〔1〕求实数a的值；〔2〕如下列图的平面直角坐标系中，每一个小方格的边长均为1．试在该坐标系中作出函数y=的简图，并写出〔不需要证明〕它的定义域、值域、奇偶性、单调区间．20．〔12分〕设函数f〔x〕=log m〔1+mx〕﹣log m〔1﹣mx〕〔m＞0，且m≠1〕．〔1〕判断f〔x〕的奇偶性；〔2〕当m=2时，解方程f〔6x〕=1；〔3〕如果f〔u〕=u﹣1，那么，函数g〔x〕=x2﹣ux的图象是否总在函数h〔x〕=ux﹣1的图象的上方？请说明理由．21．〔14分〕对于四个正数x，y，z，w，如果xw＜yz，那么称〔x，y〕是〔z，w〕的“下位序对〞．〔1〕对于2，3，7，11，试求〔2，7〕的“下位序对〞；〔2〕设a，b，c，d均为正数，且〔a，b〕是〔c，d〕的“下位序对〞，试判断，，之间的大小关系；〔3〕设正整数n满足条件：对集合{t|0＜t＜2021}内的每个m∈N+，总存在k∈N+，使得〔m，2021〕是〔k，n〕的“下位序对〞，且〔k，n〕是〔m+1，2021 〕的“下位序对〞．求正整数n的最小值．上海市宝山区2021-2021 学年高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题〔本大题共有12题，总分值36分〕考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否那么一律得零分．1．〔3分〕函数y=log2〔x﹣1〕的定义域是〔1，+∞〕．考点：对数函数的定义域．专题：计算题．分析：由函数的解析式知，令真数x﹣1＞0即可解出函数的定义域．解答：解：∵y=log2〔x﹣1〕，∴x﹣1＞0，x＞1函数y=log2〔x﹣1〕的定义域是〔1，+∞〕故答案为〔1，+∞〕点评：此题考察求对数函数的定义域，熟练掌握对数函数的定义及性质是正确解答此题的关键．2．〔3分〕设全集U=R，集合S={x|x≥﹣1}，那么∁U S={x|x＜1}．考点：补集及其运算．专题：集合．分析：由全集U=R，以及S，求出S的补集即可．解答：解：∵全集U=R，集合S={x|x≥﹣1}，∴∁U S={x|x＜1}，故答案为：{x|x＜1}．点评：此题考察了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解此题的关键．3．〔3分〕设关于x的函数y=〔k﹣2〕x+1是R上的增函数，那么实数k的取值范围是〔2，+∞〕．考点：函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：直接利用一次函数时单调递增函数求出参数k的范围．解答：解：关于x的函数y=〔k﹣2〕x+1是R上的增函数所以：k﹣2＞0解得：k＞2所以实数k的取值范围为：〔2，+∞〕故答案为：〔2，+∞〕点评：此题考察的知识要点：一次函数单调性的应用．属于根底题型．4．〔3分〕x=log75，用含x的式子表示log7625，那么log7625=4x．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数的运算性质即可得出．解答：解：∵x=log75，∴log7625==4x，故答案为：4x．点评：此题考察了对数的运算性质，属于根底题．5．〔3分〕函数y=的最大值为2．考点：函数的值域．专题：函数的性质及应用．分析：首先把二次函数转化成标准型，进一步利用定义域求出函数的最值．解答：解：函数=函数的定义域{x|0＜x＜4}所以：当x=2时，函数取最小值所以：y min=2故答案为：2点评：此题考察的知识要点：二次函数的性质的应用，属于根底题型．6．〔3分〕假设函数f〔x〕=﹣a是奇函数，那么实数a的值为1．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据奇函数的结论：f〔0〕=0列出方程，求出a的值即可．解答：解：因为奇函数f〔x〕=﹣a的定义域是R，所以f〔0〕=﹣a=0，解得a=1，故答案为：1．点评：此题考察奇函数的性质的应用，属于根底题．7．〔3分〕假设不等式x2﹣mx+n＜0〔m，n∈R〕的解集为〔2，3〕，那么m﹣n=﹣1．考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系，求出m、n的值即可．解答：解：∵不等式x2﹣mx+n＜0〔m，n∈R〕的解集为〔2，3〕，∴对应方程x2﹣mx+n=0的两个实数根2和3，由根与系数的关系，得，∴m﹣n=5﹣6=﹣1．故答案为：﹣1．点评：此题考察了不等式的解法与应用问题，也考察了根与系数的应用问题，是根底题目．8．〔3分〕设α：0≤x≤1，β：m≤x≤2m+5，假设α是β的充分条件，那么实数m的取值范围是．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的关系转化为不等式之间的关系，进展判断即可．解答：解：∵α：0≤x≤1，β：m≤x≤2m+5，∴α是β的充分条件，那么，即，解得﹣2≤m≤0，故答案为：．点评：此题主要考察充分条件和必要条件的应用，根据充分条件和必要条件的关系转化为不等式之间的关系是解决此题的关键．9．〔3分〕设a，b均为正数，那么函数f〔x〕=〔a2+b2〕x+ab的零点的最小值为﹣．考点：函数零点的判定定理．专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：函数f〔x〕=〔a2+b2〕x+ab的零点即方程〔a2+b2〕x+ab=0的解，由根本不等式求最值．解答：解：函数f〔x〕=〔a2+b2〕x+ab的零点即方程〔a2+b2〕x+ab=0的解，x=﹣≥﹣；当且仅当a=b时，等号成立；故答案为：﹣．点评：此题考察了函数的零点与方程的根的关系应用及根本不等式的应用，属于根底题．10．〔3分〕给出以下命题：①直线x=a与函数y=f〔x〕的图象至少有两个公共点；②函数y=x﹣2在〔0，+∞〕上是单调递减函数；③幂函数的图象一定经过坐标原点；④函数f〔x〕=a x﹣2〔a＞0，a≠1〕的图象恒过定点〔2，1〕．⑤设函数y=f〔x〕存在反函数，且y=f〔x〕的图象过点〔1，2〕，那么函数y=f﹣1〔x〕﹣1的图象一定过点〔2，0〕．其中，真命题的序号为②④⑤．考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：①，利用函数的概念〔自变量与函数值一一对应〕可判断①；②，利用幂函数的性质可知y=x﹣2在〔0，+∞〕上是单调递减函数，可判断②；③，幂函数y=x﹣1的图象不经过坐标原点，可判断③；④，利用指数函数的图象与性质，可判断④；⑤，依题意，可知函数y=f﹣1〔x〕的图象过点〔2，1〕，从而可判断⑤．解答：解：对于①，直线x=a与函数y=f〔x〕的图象至多有1个公共点；，故①错误；对于②，由于﹣2＜0，由幂函数的性质可知，函数y=x﹣2在〔0，+∞〕上是单调递减函数，故②正确；对于③，幂函数y=x﹣1的图象不经过坐标原点，故③错误；对于④，函数f〔x〕=a x﹣2〔a＞0，a≠1〕的图象恒过定点〔2，1〕，故④正确；对于⑤，设函数y=f〔x〕存在反函数，且y=f〔x〕的图象过点〔1，2〕，那么函数y=f﹣1〔x〕的图象过点〔2，1〕，y=f﹣1〔x〕﹣1的图象一定过点〔2，0〕，故⑤正确．综上所述，真命题的序号为②④⑤．故答案为：②④⑤．点评：此题考察命题的真假判断及应用，综合考察函数的概念、幂函数的单调性质、指数函数的图象与性质及反函数的概念及应用，属于中档题．11．〔3分〕设函数f〔x〕〔x∈R〕满足|f〔x〕+〔〕2|≤，且|f〔x〕﹣〔〕2|≤．那么f〔0〕=．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：利用赋值法求解，最后用不等式的交集求出结果．解答：解：利用赋值法，令x=0，那么|f〔0〕﹣1|解得：同理：令x=0，那么|f〔0〕|解得：所以：即f〔0〕=故答案为：点评：此题考察的知识要点：赋值法在函数求值中的应用．属于根底题型．12．〔3分〕假设F〔x〕=a•f〔x〕g〔x〕+b•+c〔a，b，c均为常数〕，那么称F〔x〕是由函数f〔x〕与函数g〔x〕所确定的“a→b→c〞型函数．设函数f1〔x〕=x+1与函数f2〔x〕=x2﹣3x+6，假设f〔x〕是由函数f1﹣1〔x〕+1与函数f2〔x〕所确定的“1→0→5〞型函数，且实数m，n 满足f〔m〕=f〔n〕=6，那么m+n的值为2．考点：进展简单的合情推理．专题：综合题；推理和证明．分析：由新定义，确定f〔x〕=x〔x2﹣3x+6〕+5，利用f〔m〕=f〔n〕=6，可得m〔m2﹣3m+6〕=1，n〔n2﹣3n+6〕=7，设m+n=t，那么m=t﹣n，代入m〔m2﹣3m+6〕=1，可得〔t﹣n〕=1，即n3﹣〔3t﹣3〕n2+〔3t2﹣6t+6〕n﹣t3+3t2﹣6t+1=0，对照n2的系数，可得3t ﹣3=﹣3，即可得出结论．解答：解：∵f1〔x〕=x+1，∴f1﹣1〔x〕=x﹣1，即f1﹣1〔x〕+1=x﹣1+1=x，∵f〔x〕是由函数f1﹣1〔x〕+1与函数f2〔x〕所确定的“1→0→5〞型函数，∴f〔x〕=x〔x2﹣3x+6〕+5，由f〔m〕=f〔n〕=6可得f〔m〕=6，f〔n〕=12，即m〔m2﹣3m+6〕=1，n〔n2﹣3n+6〕=7，设m+n=t，那么m=t﹣n，代入m〔m2﹣3m+6〕=1，可得〔t﹣n〕=1，即n3﹣〔3t﹣3〕n2+〔3t2﹣6t+6〕n﹣t3+3t2﹣6t+1=0，对照n2的系数，可得3t﹣3=﹣3，∴t=2故答案为：2．点评：此题考察新定义，考察学生分析解决问题的能力，正确换元是关键．二、选择题〔本大题共有4题，总分值12分〕每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否那么一律得零分．13．〔3分〕“a＞1〞是“a＞0〞的〔〕A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义进展判断即可．解答：解：假设a＞1，那么a＞0成立，假设a=，满足a＞0，但a＞1不成立，故“a＞1〞是“a＞0〞的充分不必要条件，应选：A点评：此题主要考察充分条件和必要条件的判断，比较根底．14．〔3分〕函数y=x+〔x＞0〕的递减区间为〔〕A．〔0，4] B．C．考点：函数的单调性及单调区间．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用．分析：首先根据函数的关系式求出函数的导数，进一步利用y′＜0，求出函数的单调递减区间．解答：解：函数y=〔x＞0〕那么：解得：0＜x＜2所以函数的递减区间为：〔0，2〕应选：D点评：此题考察的知识要点：函数的导数的应用，利用函数的导数求函数的单调区间．属于根底题型．15．〔3分〕如图为函数f〔x〕=t+log a x的图象〔a，t均为实常数〕，那么以下结论正确的选项是〔〕A．0＜a＜1，t＜0 B．0＜a＜1，t＞0 C．a＞1，t＜0 D．a＞1，t＞0考点：对数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据对数函数的图象和性质即可得到答案解答：解：因为对数函数y=t+log a x的图象在定义域内是增函数，可知其底数大于1，由图象可知当x=1时，y=t＜0，应选：C点评：此题考察了对数函数的图象与性质，是根底的概念题．16．〔3分〕设g〔x〕=|f〔x+2m〕﹣x|，f〔t〕为不超过实数t的最大整数，假设函数g〔x〕存在最大值，那么正实数m的最小值为〔〕A．B．C．D．考点：函数的最值及其几何意义．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题意知，当n﹣1≤x+2m＜n，〔n∈Z〕时，f〔x+2m〕=n﹣1；从而可化简得2m﹣1＜f〔x+2m〕﹣x≤2m，再由最值可得2m≥|2m﹣1|；从而求得．解答：解：∵f〔t〕为不超过实数t的最大整数，∴当n﹣1≤x+2m＜n，〔n∈Z〕时，f〔x+2m〕=n﹣1；故n﹣1﹣2m≤x＜n﹣2m；故2m﹣1＜f〔x+2m〕﹣x≤2m；又∵m＞0；故假设函数g〔x〕存在最大值，那么2m≥|2m﹣1|；故m≥；应选D．点评：此题考察了绝对值函数与分段函数的应用，属于中档题．三、解答题〔本大题共有5题，总分值52分〕解答以下各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．〔8分〕解不等式组：．考点：其他不等式的解法．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：运用二次不等式和分式不等式的解法，分别求出它们，再求交集即可．解答：解：原不等式组可化为，解得，从而有0＜x＜2，所以，原不等式的解集为〔0，2〕．点评：此题考察二次不等式和分式不等式的解法，考察运算能力，属于根底题．18．〔8分〕某“农家乐〞接待中心有客房200间，每间日租金为40元，每天都客满．根据实际需要，该中心需提高租金．如果每间客房日租金每增加4元，客房出租就会减少10间．〔不考虑其他因素〕〔1〕设每间客房日租金提高4x元〔x∈N+，x＜20〕，记该中心客房的日租金总收入为y，试用x表示y；〔2〕在〔1〕的条件下，每间客房日租金为多少时，该中心客房的日租金总收入最高？考点：函数模型的选择与应用．专题：函数的性质及应用．分析：〔1〕设每间客房日租金提高4x元〔x∈N+，x＜20〕，记该中心客房的日租金总收入为y，根据条件即可求出y的表达式；〔2〕利用根本不等式或者一元二次函数的性质求最值即可．解答：解：〔1〕假设每间客房日租金提高4x元，那么将有10x间客房空出，故该中心客房的日租金总收入为y=〔40+4x〕=40〔10+x〕，〔这里x∈N•且x＜20〕．〔2〕∵y=40〔10+x〕≤40〔=40×225=9000，当且仅当10+x=20﹣x，即x=5时，y的最大值为9000，即每间客房日租金为40+4×5=60〔元〕时，该中心客房的日租金总收入最高，其值为9000元．点评：此题主要考察函数的应用问题，根据条件建立函数关系，利用根本不等式的性质求最值是解决此题的关键．此题也可以使用一元二次函数的最值性质解决．19．〔10分〕f〔x〕=|x+a|〔a＞﹣2〕的图象过点〔2，1〕．〔1〕求实数a的值；〔2〕如下列图的平面直角坐标系中，每一个小方格的边长均为1．试在该坐标系中作出函数y=的简图，并写出〔不需要证明〕它的定义域、值域、奇偶性、单调区间．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：〔1〕根据图象过点〔2，1〕，代入求出a的值，〔2〕根据分段函数分段画的原那么，根据函数的图象，我们可以分析出自变量，函数值的取值范围，从而得到定义域和值域，分析出从左到右函数图象上升和下降的区间，即可得到函数的单调区间解答：解：〔1〕依题意得f〔2〕=1，即|2+a|=1，∵a＞﹣2，∴2+a=1，解得a=﹣1，〔2〕由〔1〕可得f〔x〕=|x﹣1|，故y==，即y=．定义域：〔﹣∞，﹣1〕∪〔1，+∞〕，值域：，奇偶性：非奇非偶函数，单调〔递减〕区间：〔﹣∞，0]．点评：此题考察的知识点是分段函数的解析式求法及其图象的作法，函数的定义域及其求法，函数的值域，函数的图象，其中利用零点分段法求出函数的解析式是解答此题的关键．20．〔12分〕设函数f〔x〕=log m〔1+mx〕﹣log m〔1﹣mx〕〔m＞0，且m≠1〕．〔1〕判断f〔x〕的奇偶性；〔2〕当m=2时，解方程f〔6x〕=1；〔3〕如果f〔u〕=u﹣1，那么，函数g〔x〕=x2﹣ux的图象是否总在函数h〔x〕=ux﹣1的图象的上方？请说明理由．考点：对数函数图象与性质的综合应用；对数函数的图像与性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：〔1〕先求出函数f〔x〕的定义域为〔﹣，〕，再确定f〔﹣x〕=log m〔1﹣mx〕﹣log m〔1+mx〕﹣f〔x〕即可；〔2〕当m=2时，f〔x〕=log2〔1+2x〕﹣log2〔1﹣2x〕，由f〔6x〕=1得log2〔1+2•6x〕﹣log2〔1﹣2•6x〕=1，从而求解；〔3〕方法一：注意到f〔x〕的定义域为〔﹣，〕．假设m＞1，那么﹣＜u＜，即u2＜1；假设0＜m＜1，那么考虑函数F〔x〕=f〔x〕﹣x+1，也可得到u2＜1；那么g〔x〕﹣h〔x〕=〔x2﹣ux〕﹣〔ux﹣1〕=〔x﹣u〕2+1﹣u2≥1﹣u2＞0，从而证明；方法二：如同方法一讨论，也可构造函数G〔x〕==﹣m x﹣1﹣1，从而同方法一中的方法证明即可．解答：解：〔1〕函数f〔x〕的定义域为〔﹣，〕，关于原点对称；又f〔﹣x〕=log m〔1﹣mx〕﹣log m〔1+mx〕﹣f〔x〕，即f〔﹣x〕=﹣f〔x〕，故f〔x〕为定义域〔﹣，〕上的奇函数．〔2〕当m=2时，f〔x〕=log2〔1+2x〕﹣log2〔1﹣2x〕，由f〔6x〕=1得log2〔1+2•6x〕﹣log2〔1﹣2•6x〕=1，去对数得1+2•6x=2〔1﹣2•6x〕，解得6x=，从而x=﹣1．经检验，x=﹣1为原方程的解．〔3〕方法一：注意到f〔x〕的定义域为〔﹣，〕．假设m＞1，那么﹣＜u＜，即u2＜1；假设0＜m＜1，那么考虑函数F〔x〕=f〔x〕﹣x+1．因log m〔1+mx〕在〔﹣，〕上递减，而log m〔1﹣mx〕在〔﹣，〕上递增，故f〔x〕在〔﹣，〕上递减，又﹣x在〔﹣，〕上递减，所以F〔x〕在〔﹣，〕上也递减；注意到F〔0〕=1＞0，F〔1〕=f〔1〕＜0，所以函数F〔x〕在〔0，1〕上存在唯一零点，即满足f〔u〕=u﹣1的u∈〔0，1〕〔且u唯一〕，故u2＜1．综上所述，u2＜1．于是g〔x〕﹣h〔x〕=〔x2﹣ux〕﹣〔ux﹣1〕=〔x﹣u〕2+1﹣u2≥1﹣u2＞0，即g〔x〕﹣h〔x〕＞0，即对于任一x∈R，均有g〔x〕＞h〔x〕，故函数g〔x〕=x2﹣ux的图象总在函数h〔x〕=ux﹣1图象的上方．方法二：注意到f〔x〕的定义域为〔﹣，〕．假设m＞1，那么﹣＜u＜，即u2＜1；假设0＜m＜1，设函数G〔x〕==﹣m x﹣1﹣1，注意到在〔﹣，〕上递增，m x﹣1在〔﹣，〕上递减，故G〔x〕在〔﹣，〕上递增，又G〔0〕=1﹣＜0，G〔1〕=﹣1＞0，所以函数G〔x〕在〔0，1〕上存在唯一零点，又G〔x〕=0，即f〔x〕=x﹣1，于是，满足f〔u〕=u﹣1的u∈〔0，1〕〔且u唯一〕，故u2＜1．综上所述，u2＜1．于是g〔x〕﹣h〔x〕=〔x2﹣ux〕﹣〔ux﹣1〕=〔x﹣u〕2+1﹣u2≥1﹣u2＞0，即g〔x〕﹣h〔x〕＞0，即对于任一x∈R，均有g〔x〕＞h〔x〕，故函数g〔x〕=x2﹣ux的图象总在函数h〔x〕=ux﹣1图象的上方．点评：此题考察了函数的性质的应用及恒成立问题，同时考察了分类讨论的数学思想应用，属于中档题．21．〔14分〕对于四个正数x，y，z，w，如果xw＜yz，那么称〔x，y〕是〔z，w〕的“下位序对〞．〔1〕对于2，3，7，11，试求〔2，7〕的“下位序对〞；〔2〕设a，b，c，d均为正数，且〔a，b〕是〔c，d〕的“下位序对〞，试判断，，之间的大小关系；〔3〕设正整数n满足条件：对集合{t|0＜t＜2021}内的每个m∈N+，总存在k∈N+，使得〔m，2021〕是〔k，n〕的“下位序对〞，且〔k，n〕是〔m+1，2021 〕的“下位序对〞．求正整数n的最小值．考点：不等式的根本性质．专题：不等式．分析：〔1〕据新定义，代入计算判断即可；〔2〕根据新定义得到ad＜bc，再利用不等式的性质，即可判断；〔3〕由题意得到，继而求出n≥4029，再验证该式对集合{t|0＜t＜2021}内的每个m∈N+的每个正整数m都成立，继而求出最小值解答：解：〔1〕∵3×7＜11×2，∴〔2，7〕的下位序对是〔3，11〕．〔2〕∵〔a，b〕是〔c，d〕的“下位序对〞，∴ad＜bc，∵a，b，c，d均为正数，故﹣=＞0，即﹣＞0，所以＞；同理＜．综上所述，＜＜．〔3〕依题意，得，注意到m，n，l整数，故，于是2021〔mn+n﹣1〕≥2021×2021 k≥2021 〔mn+1〕，∴n≥，该式对集合{t|0＜t＜2021}内的每个m∈N+的每个正整数m都成立∴n≥=4029，∵＜＜，∴＜＜，∴＜＜，∴对集合{t|0＜t＜2021}内的每个m∈N+，总存在k∈N+，使得〔m，2021〕是〔k，n〕的“下位序对〞，且〔k，n〕是〔m+1，2021 〕的“下位序对〞．正整数n的最小值为4029点评：此题考察了新定义的学习和利用，关键掌握读懂新定义，属于难题如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。
2021-2022学年上海市上海中学高一上学期期末考数学试卷(含详解)
2021-2022年上海中学高一上期末一、填空题1.若函数()f x 满足()112x f x -+=，则()4f =______．2.函数()()2ln 4f x x=-的单调增区间是______．3.已知θ是第四象限角，5cos 13θ=，则2021cos 2πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭______．4.函数()()()42log 4log 2f x x x =⋅的最小值为______．5.已知函数()()12f x xx α=≤≤的最大值与最小值之差为12，则α=______．6.已知()f x 是偶函数，且方程()30f x -=有五个解，则这五个解之和为______．7.不等式()()2021202142x x --->-的解为______．8.设()f x 是定义在区间[]22-,上的严格增函数．若()()2212f a f a ->+，则a 的取值范围是______．9.若π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，记22cos sin P θθ=-，33cos sin Q θθ=-，44cos sin R θθ=-，则P 、Q 、R 的大小关系为______．10.在函数()125236x x xf x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭的图像上，有______个横、纵坐标均为整数的点．11.设()111f x x x x=++-，若存在a ∈R 使得关于x 的方程()()()20f x af x b ++=恰有六个解，则b 的取值范围是______．12.若定义域为(]0,I m =的函数()e xf x =满足：对任意能构成三角形三边长的实数,,a b c I ∈，均有()f a ，()f b ，()f c 也能构成三角形三边长，则m 的最大值为______．（e 2.718281828≈是自然对数的底）二、选择题13.2021- 的始边是x 轴正半轴，则其终边位于第（）象限．A.一B.二C.三D.四14.设函数()f x 的定义域为R ．则“()f x 在R 上严格递增”是“()()g x f x x =+在R 上严格递增”的（）条件A.充分不必要B.必要不充分C .充分必要D.既不充分也不必要15.将函数()()lg 2f x x =的图像向左、向下各平移1个单位长度，得到()g x 的函数图像，则()g x =（）A.()lg 211x +- B.1lg 5x +⎛⎫⎪⎝⎭C.()lg 211x -- D.1lg 5x -⎛⎫⎪⎝⎭16.设函数()2xf x x =+，点()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y 在()f x 的图像上，且32210x x x x -=-≠．对于ABC ，下列说法正确的是（）①一定是钝角三角形②可能是直角三角形③不可能是等腰三角形③可能是等腰三角形A.①③B.①④C.②③D.②④三、解答题17.求函数()f x =18.已知0a >，b R ∈，且函数()12xf x b a=+-有奇偶性，求a ，b 的值．19.某厂商计划投资生产甲、乙两种商品，经市场调研发现，如图所示，甲、乙商品的投资x 与利润y （单位：万元）分别满足函数关系11ay k x =与22ay k x =．（1）求1k ，1a 与2k ，2a 的值；（2）该厂商现筹集到资金20万元，如何分配生产甲、乙商品的投资，可使总利润最大？并求出总利润的最大值．21.设函数()1122f x x ax x x ⎛⎫=+-≤≤ ⎪⎝⎭，其中a R ∈．（1）若当1,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时()f x 取到最小值，求a 的取值范围．（2）设()f x 的最大值为()M a ，最小值为()L a ，求()()()g a M a L a =-的函数解析式，并求()g a 的最小值．23.对于函数()f x ，若实数0x 满足()00f x x =，则称0x 是()f x 的不动点．现设()2f x x a =+．（1）当2a =-时，分别求()f x 与()()f f x 的所有不动点；（2）若()f x 与()()ff x 均恰有两个不动点，求a 的取值范围；（3）若()f x 有两个不动点，()()ff x 有四个不动点，证明：不存在函数()g x 满足()()()f x g g x =．2021-2022年上海中学高一上期末一、填空题1.若函数()f x 满足()112x f x -+=，则()4f =______．【1题答案】【答案】4【解析】【分析】根据题意，令3x =，结合指数幂的运算，即可求解.【详解】由题意，函数()f x 满足()112x f x -+=，令3x =，可得()()3131424f f -+===.故答案为：4.2.函数()()2ln 4f x x =-的单调增区间是______．【2题答案】【答案】(2,0]-【解析】【分析】先求出函数的定义域，再换元，利用复合函数单调性的求法求解【详解】由240x ->，得22x -<<，所以函数的定义域为(2,2)-，令24t x =-，则ln y t =，因为24t x =-在(2,0]-上递增，在[0,2)上递减，而ln y t =在(0,)+∞上为增函数，所以()f x 在(2,0]-上递增，在[0,2)上递减，故答案为：(2,0]-3.已知θ是第四象限角，5cos 13θ=，则2021cos 2πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭______．【3题答案】【答案】1213-【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系求出sin θ的值，在利用诱导公式可求得结果.【详解】因为θ是第四象限角，5cos 13θ=，则12sin 13θ==-，所以，202112cos cos sin 2213ππθθθ⎛⎫⎛⎫-=-==-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：1213-.4.函数()()()42log 4log 2f x x x =⋅的最小值为______．【4题答案】【答案】18-##-0.125【解析】【分析】化简函数为()2442(log )3log 1f x x x =++，4log t x R =∈，得到()2231f t t t =++，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】由题意，函数()()()4242log 4log 2(log 1)(log 1)f x x x x x =⋅=++24444(log 1)(2log 1)2(log )3log 1x x x x =++=++，令4log t x R =∈，可得()22312312()48f t t t t =++=+-，当34t =-时，()min 31()48f t f =-=-，即函数()f x 的最小值为18-.故答案为：18-.5.已知函数()()12f x x x α=≤≤的最大值与最小值之差为12，则α=______．【5题答案】【答案】23log 2或1-.【解析】【分析】根据幂函数的性质，结合题意，分类讨论，利用单调性列出方程，即可求解.【详解】由题意，函数()()12f x xx α=≤≤，当0α>时，函数()f x 在[]1,2上为单调递增函数，可得1212α-=，解得23log 2α=；当0α=时，显然不成立；当0α<时，函数()f x 在[]1,2上为单调递减函数，可得1122α-=，解得1α=-，综上可得，23log 2α=或1α=-.故答案为：23log 2或1-.6.已知()f x 是偶函数，且方程()30f x -=有五个解，则这五个解之和为______．【6题答案】【答案】15【解析】【分析】根据函数的奇偶性和图象变换，得到函数()3=-y f x 的图象关于3x =对称，进而得出方程其中其中一个解为3x =，另外四个解满足14236x x x x +=+=，即可求解.【详解】由题意，函数()f x 是偶函数，可函数()f x 的图象关于0x =对称，根据函数图象的变换，可得函数()3=-y f x 的图象关于3x =对称，又由方程()30f x -=有五个解，则其中一个解为3x =，不妨设另外四个解分别为1234,,,x x x x 且1234x x x x <<<，则满足2314322x x x x ++==，即14236x x x x +=+=，所以这五个解之和为66315++=.故答案为：15.7.不等式()()2021202142x x --->-的解为______．【7题答案】【答案】()(),23,4∞-⋃【解析】【分析】根据幂函数的性质，分类讨论即可【详解】将不等式()()2021202142x x --->-转化成2021202111(()42x x >--（Ⅰ）1041021142x x x x ⎧>⎪-⎪⎪>⎨-⎪⎪>⎪--⎩，解得34x <<；（Ⅱ）104102xx ⎧>⎪⎪-⎨⎪<⎪-⎩，解得2x <；（Ⅲ）1041021142x x x x ⎧<⎪-⎪⎪<⎨-⎪⎪>⎪--⎩，此时无解；综上，不等式的解集为：(,2)(3,4)-∞故答案为：(,2)(3,4)-∞ 8.设()f x 是定义在区间[]22-,上的严格增函数．若()()2212f a f a ->+，则a 的取值范围是______．【8题答案】【答案】6[,1)2--.【解析】【分析】根据题意，列出不等式组222122212222a a a a ⎧->+⎪-≤-≤⎨⎪-≤+≤⎩，即可求解.【详解】由题意，函数()f x 是定义在区间[]22-,上的严格增函数，因为()()2212f a f a ->+，可得222122212222a a a a ⎧->+⎪-≤-≤⎨⎪-≤+≤⎩，解得12a -≤<-，所以实数a 的取值范围是6[,1)2--.故答案为：[,1)2--.9.若π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，记22cos sin P θθ=-，33cos sin Q θθ=-，44cos sin R θθ=-，则P 、Q 、R 的大小关系为______．【9题答案】【答案】P R Q =<【解析】【分析】利用平方差公式和同角三角函数的平方关系可得P 、R 的关系，然后作差，因式分解，结合已知可判断P 、Q 的大小关系.【详解】44222222cos sin (cos sin )(cos sin )cos sin R P θθθθθθθθ=-=+-=-=又2233cos sin (cos sin )P Q θθθθ-=---(cos sin )(cos sin )(cos sin )(1cos sin )θθθθθθθθ=-+--+(cos sin )(cos sin 1cos sin )θθθθθθ=-+--(cos sin )(cos 1)(1sin )θθθθ=---因为π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos sin 0,cos 10,1sin 0θθθθ->-<->所以0P Q -<，即P Q<所以P 、Q 、R 的大小关系为P R Q =<.故答案为：P R Q=<10.在函数()125236x x xf x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭的图像上，有______个横、纵坐标均为整数的点．【10题答案】【答案】3【解析】【分析】由题可得函数为减函数，利用赋值法结合条件及函数的性质即得.【详解】因为()125236x x xf x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以函数在R 上单调递减，又()0001250=3236f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()11112512236f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()222125252=23618f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()3331253=1236f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且当3x >时，()()0,1f x ∈，当0x <时，令,N *x n n =-∈，则()12536151222Z 236251010n n nn n n nn n f n ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=++=++=++∉ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，综上，函数()125236xxxf x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的图像上，有3个横、纵坐标均为整数的点．故答案为：3.11.设()111f x x x x=++-，若存在a ∈R 使得关于x 的方程()()()20f x af x b ++=恰有六个解，则b 的取值范围是______．【11题答案】【答案】2,)++∞【解析】【分析】作出f (x )的图像，当0x <时，min ()1f x =+，当0x >时，min ()2f x =.令()t f x =，则20t at b ++=，则该关于t的方程有两个解1t、2t，设1t＜2t，则11)t∈+，21,)t∈+∞.令2()g t t at b=++，则(2)01)0gg>⎧⎪⎨+<⎪⎩，据此求出a的范围，从而求出b的范围．【详解】当1≥x时，11()11f x x xx x=++-=+，当01x<<时，112()11f x x xx x x=++-=+-，当0x<时，112()11f x x xx x x=--+-=--+，则f(x)图像如图所示：当0x<时，2()11f x xx=--+≥+，当0x>时，min()2f x=．令()t f x=，则20t at b++=，∵关于x的方程()()()20f x af x b++=恰有六个解，∴关于t的方程20t at b++=有两个解1t、2t，设1t＜2t，则11)t∈+，21,)t∈+∞，令2()g t t at b=++，则(2)4201)91)0g a bg a b=++>⎧⎪⎨+=++++<⎪⎩，∴42ba-->且a<，要存在a满足条件，则42b--<，解得2b>+．故答案为：2,)++∞．12.若定义域为(]0,I m =的函数()e xf x =满足：对任意能构成三角形三边长的实数,,a b c I ∈，均有()f a ，()f b ，()f c 也能构成三角形三边长，则m 的最大值为______．（e 2.718281828≈是自然对数的底）【12题答案】【答案】ln 4##2ln 2【解析】【分析】不妨设三边的大小关系为：0a b c <≤≤，利用函数的单调性，得出()f a ，()f b ，()f c 的大小关系，作为三角形三边则有任意两边之和大于第三边，再利用基本不等式求出边的范围得出m 的最大值即可.【详解】()e xf x =在(]0,I m =上严格增，所以(()1,e m f x ⎤∈⎦，不妨设0a b c <≤≤，因为对任意能构成三角形三边长的实数,,a b c I ∈，均有()f a ，()f b ，()f c 也能构成三角形三边长，所以e e e ,a b c a b c +>+>，因为e e e a b c +≥=>，所以24e e a b c +>，因为对任意,,a b c I ∈都成立，所以24e e c c ≥，所以e 4c ≤，所以ln 4c ≤，所以ln 4m ≤，所以m 的最大值为ln 4．故答案为：ln 4.二、选择题13.2021- 的始边是x 轴正半轴，则其终边位于第（）象限．A.一 B.二C.三D.四【13题答案】【答案】B 【解析】【分析】将2021- 转化为()0,360内的角，即可判断.【详解】20213606139-=-⨯+ ，所以2021- 的终边和139 的终边相同，即落在第二象限.故选：B14.设函数()f x 的定义域为R ．则“()f x 在R 上严格递增”是“()()g x f x x =+在R 上严格递增”的（）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要【解析】【分析】利用特例法、函数单调性的定义结合充分条件、必要条件的定义判断可得出合适的选项.【详解】若函数()f x 在R 上严格递增，对任意的1x 、2R x ∈且12x x <，()()12f x f x <，由不等式的性质可得()()1122f x x f x x +<+，即()()12g x g x <，所以，()()g x f x x =+在R 上严格递增，所以，“()f x 在R 上严格递增”⇒“()()g x f x x =+在R 上严格递增”；若()()g x f x x =+在R 上严格递增，不妨取()12f x x =-，则函数()()12g x f x x x =+=在R 上严格递增，但函数()12f x x =-在R 上严格递减，所以，“()f x 在R 上严格递增”⇐/“()()g x f x x =+在R 上严格递增”.因此，“()f x 在R 上严格递增”是“()()g x f x x =+在R 上严格递增”的充分不必要条件.故选：A.15.将函数()()lg 2f x x =的图像向左、向下各平移1个单位长度，得到()g x 的函数图像，则()g x =（）A.()lg 211x +-B.1lg 5x +⎛⎫⎪⎝⎭C.()lg 211x -- D.1lg 5x -⎛⎫⎪⎝⎭【15题答案】【答案】B 【解析】【分析】根据函数的图象变换的原则，结合对数的运算性质，准确运算，即可求解.【详解】由题意，将函数()()lg 2f x x =的图像向左、向下各平移1个单位长度，可得()221lg[2(1)]1lg(22)1lg lg 105x x g x x x ++=+-=+-==.故选：B.16.设函数()2xf x x =+，点()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y 在()f x 的图像上，且32210x x x x -=-≠．对于ABC ，下列说法正确的是（）①一定是钝角三角形②可能是直角三角形③不可能是等腰三角形③可能是等腰三角形A.①③B.①④C.②③D.②④【解析】【分析】结合0BA BC ⋅<uu r uu u r，得到90ABC ∠> ，所以ABC 一定为钝角三角形，可判定①正确，②错误；根据两点间的距离公式和函数的变化率的不同，得到AB BC <，可判定③正确，④不正确.【详解】由题意，函数()2xf x x =+为单调递增函数，因为点()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y 在()f x 的图像上，且32210x x x x -=-≠，不妨设123x x x <<，可得12123232(,),(,)BA x x y y BC x x y y =--=--，则12321232()()()()BA BC x x x x y y y y ⋅=--+--，因为123x x x <<，可得1232()()0x x x x --<，31221222313222(()()[())][2()]()2x x x x x x x x y y y y -+----+-=又由因为12220x x -<，120x x -<，32220x x ->，320x x ->，所以31221232[())][())22(22(]0xxxxx x x x -+-+-<-，所以12321232()()()()0BA BC x x x x y y y y ⋅=--+--<所以90ABC ∠> ，所以ABC 一定为钝角三角形，所以①正确，②错误；由两点间的距离公式，可得AB BC ==根据指数函数和一次函数的变化率，可得点A 到B 的变化率小于点B 到C 点的变化率不相同，所以AB BC <，所以ABC 不可能为等腰三角形，所以③正确，④不正确.故选：A.三、解答题17.求函数()f x =【17题答案】【答案】定义域为(1,)+∞，值域为[1,)+∞，递减区间为(1,2]，递增区间为[2,)+∞.【解析】【分析】由函数的解析式有意义列出不等式，可求得其定义域，由2331(1)111x x x x x -+=-+---，结合基本不等式，可求得函数的值域，令()1(1)11g x x x =-+--，根据对勾函数的性质和复合函数的单调性的判定方法，可求得函数的单调区间.【详解】由题意，函数()f x =23301x x x -+≥-且10x -≠，因为方程223333(024x x x -+=-+>，所以10x ->，解得1x >，所以函数()f x 的定义域为(1,)+∞又由2233(1)(1)11(1)1111x x x x x x x x -+---+==-+----，因为10x ->，所以1(1)1111x x -+-≥=-，当且仅当111x x -=-时，即2x =时，等号成立，所以23311x x x -+≥-，所以函数()f x 的值域为[1,)+∞，令()1(1)11g x x x =-+--，根据对勾函数的性质，可得函数()g x 在区间(1,2]上单调递减，在[2,)+∞上单调递增，结合复合函数的单调性的判定方法，可得()f x 在(1,2]上单调递减，在[2,)+∞上单调递增.18.已知0a >，b R ∈，且函数()12x f x b a=+-有奇偶性，求a ，b 的值．【18题答案】【答案】()f x 为奇函数，11,2a b ==，【解析】【分析】由函数奇偶性的定义列方程求解即可【详解】若()f x 为奇函数，则()()0(R)f x f x x -+=∈，所以11022x x b b a a-+++=--恒成立，即212122x x x b a a+=--⋅-，所以22222212[2(1)2]x x x x a b a a a -⋅+=--⋅++⋅-恒成立，所以21222(1)ab a b a =⎧⎨-=-+⎩，解得112a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以当()f x 为奇函数时，11,2a b ==，若()f x 为偶函数，则()()(R)f x f x x -=∈，所以1122x x b b a a-+=+--恒成立，得22x x -=，得0x =，不合题意，所以()f x 不可能是偶函数，综上，()f x 为奇函数，11,2a b ==，19.某厂商计划投资生产甲、乙两种商品，经市场调研发现，如图所示，甲、乙商品的投资x 与利润y （单位：万元）分别满足函数关系11ay k x =与22ay k x =．（1）求1k ，1a 与2k ，2a 的值；（2）该厂商现筹集到资金20万元，如何分配生产甲、乙商品的投资，可使总利润最大？并求出总利润的最大值．【19题答案】【答案】（1）1 1.5k =，11a =，23k =，212a =（2）分配生产乙商品的投资为1万元，甲商品的投资为19万元，此时总利润的最大值为31.5万元.【解析】【分析】（1）代入点的坐标，求出1k ，1a 与2k ，2a 的值；（2）在第一问的基础上，表达出总利润的关系式，利用配方求出最大值.【小问1详解】将()()1,1.5,3,4.5代入11ay k x =中，111 1.53 4.5a k k =⎧⎨⋅=⎩，解得：111.51k a =⎧⎨=⎩，将()()4,6,9,9代入22ay k x =中，22224699a a k k ⎧⋅=⎨⋅=⎩，解得：22312k a =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以1 1.5k =，11a =，23k =，212a =.【小问2详解】设分配生产乙商品的投资为m （0≤m ≤20）万元、甲商品的投资为()20m -万元，此时的总利润为w ，则())12231.5203131.52w m m =-+⋅=-+，因为0≤m ≤20，1=，即1m =时，w 取得最大值，即分配生产乙商品的投资为1万元，甲商品的投资为19万元，此时总利润的最大值为31.5万元.21.设函数()1122f x x ax x x ⎛⎫=+-≤≤ ⎪⎝⎭，其中a R ∈．（1）若当1,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时()f x 取到最小值，求a 的取值范围．（2）设()f x 的最大值为()M a ，最小值为()L a ，求()()()g a M a L a =-的函数解析式，并求()g a 的最小值．【21题答案】【答案】（1）3(3,)4-（2）()()()33,[,)2452(3,0]2513(3,)2243,(,3]2a a g a a x g a g a a x a a ∞∞⎧∈+⎪⎪⎪=--∈-⎪=⎨⎪=--∈-⎪⎪⎪-∈--⎩，最小值为12.【解析】【分析】（1）求得函数的导数()22(1)1a x f x x--'=，令()2(1)1h x a x =--，要使得函数()f x 在1(,2)2x ∈取到最小值，则函数()f x 必须先减后增，列出方程组，即可求解；（2）由（1）知()2(1)1h x a x =--，若10a -≤时，得到函数()f x 在1[,2]2上单调递减，得到()32g a a =；若10a ->时，令()0h x =，求得x =12≤2≥，122<<三种情况讨论，求得函数的解析式，利用一次函数、换元法和二次函数的性质，即可求解.【小问1详解】解：由函数()11(1)f x x ax a x x x =+-=-+，可得()2221(1)1(1)a x f x a x x--'=--=，令()2(1)1h x a x =--，要使得函数()f x 在1(,2)2x ∈取到最小值，则函数()f x 必须先减后增，则满足()()11()11024(2)4110h a h a ⎧=--<⎪⎨⎪=-->⎩，解得334a -<<，即实数a 的取值范围为3(3,)4-.【小问2详解】解：由（1）知()22(1)1a x f x x--'=，设()2(1)1h x a x =--，若10a -≤时，即1a ≥时，()0h x <，即()0f x '<，函数()f x 在1[,2]2上单调递减，所以1515()(),(2)2222()2M a f a f a L a ==-==-，可得()()()32g a M a L a a =-=；若10a ->时，即1a <时，令()0h x =，即2(1)10a x --=，解得x =x =12≤时，即3a ≤-时，()0h x >在1[,2]2x ∈恒成立，即()0f x '>，可得函数()f x 在1[,2]2上单调递增，所以5151(2)2,()()22(2)2f a L a f a M a ==-==-，可得()()()32g a M a L a a =-=-；2≥时，即314a ≤<时，()0h x <在1[,2]2x ∈恒成立，即()0f x '<，可得函数()f x 在1[,2]2上单调递减，所以1515()(,(2)2222()2M a f a f a L a ==-==-，可得()()()32g a M a L a a =-=；③当122<<时，即334a -<<时，当1[2x ∈时，()0h x <，即()0f x '<，()f x 单调递减；当2]x ∈时，()0h x >，即()0f x '>，()f x 单调递增，所以当x =()f x取得最小值，即()L a =，又由1515(),(2)22222f a f a =-=-，可得13((2)22f f a -=，（i ）当30a -<≤时，1()(2)02f f -<，即1((2)2f f <，所以5()(2)22M a f a ==-，此时()()()522g a M a L a a --==-；（ii ）当304a <<时，1()(2)02f f ->，即1((2)2f f >，所以151()()222M a f a ==-，此时()()()5122g a M a a L a --==-，综上可得，函数()g a 的解析式为()()()33,[,)2452(3,0]2513(3,)2243,(,3]2a a g a a x g a g a a x a a ∞∞⎧∈+⎪⎪⎪=--∈-⎪=⎨⎪=--∈-⎪⎪⎪-∈--⎩，当3a ≤-时，()9(3)2g a g ≥-=；当34a ≥时，()39(48g a g ≥=；当30a -<≤时，令[1,2)t =，则21a t =-，可得()21222t t t ϕ-+=，根据二次函数的性质，可得当1t =时，函数()t ϕ取得最小值，最小值为()112ϕ=；当304a <<时，令1(,1)2t =，则21a t =-，可得()21222t t t ϕ-+=，则()()112t ϕϕ>=，综上可得，函数()g a 的最小值为12.23.对于函数()f x ，若实数0x 满足()00f x x =，则称0x 是()f x 的不动点．现设()2f x x a =+．（1）当2a =-时，分别求()f x 与()()f f x 的所有不动点；（2）若()f x 与()()ff x 均恰有两个不动点，求a 的取值范围；（3）若()f x 有两个不动点，()()f f x 有四个不动点，证明：不存在函数()g x 满足()()()f x g g x =．【23题答案】【答案】（1）123415152,1,22x x x x --+==-==（2）31,44⎡⎫-⎪⎢⎣⎭（3）见详解.【解析】【小问1详解】因为2a =-，所以()f x x =即220x x --=，所以122,1x x ==-，所以()f x 的不动点为122,1x x ==-；解(())f f x x =，22242(())(2)(2)242f f x f x x x x x =-=--=-+=，所以42420x x x --+=，因为()f x x =是(())f f x x =的解，所以上述四次方程必有因式22x x --，利用长除法或者双十字相乘法因式分解得22(2)(1)0x x x x --+-=，所以123,4152,1,2x x x -±==-=，所以(())f f x 的不动点为123,4152,1,2x x x -±==-=；【小问2详解】由2()f x x a x =+=得20x x a -+=，由222422(())()()2f f x f x a x a a x ax a a x =+=++=+++=、得42220x ax x a a +-++=，因为()f x x =是(())f f x x =的解，所以上述四次方程必有因式2x x a -+，利用长除法或者双十字相乘法因式分解得22()(1)0x x a x x a -++++=，因为()f x 与(())f f x 均恰有两个不动点，所以①12140,144340a a a ∆=->∆=--=--<或②1140a ∆=->且20x x a -+=和210x x a +++=有同根，由①得3144a -<<，②中两方程相减得210x +=，所以12x =-，故34a =-，综上，a 的取值范围是31,44⎡⎫-⎪⎢⎣⎭；【小问3详解】（3）设()f x 的不动点为,a b ，(())f f x 的不动点为a b c d ,,,，所以(),(),(),()f a a f b b f c c f d d ==≠≠，设()(())h x f f x =，则()(())h c f f c c ==，所以(())((())()h f c f f f c f c ==，所以()f c 是()(())h x f f x =的不动点，同理，()f d 也是()(())h x f f x =的不动点，只能(),()f c d f d c ==，假设存在()(())f x g g x =，则()()g a a g b b =⎧⎨=⎩或()()g a bg b a =⎧⎨=⎩，因为()y f x =过点(,),(,)c d d c ，所以(),()g c c g d d ≠≠，否则()(())()f c g g c g c c ===矛盾，且(),()g c d g d c ≠≠，否则()(())()f c g g c g d d ===，所以一定存在(),(),(),()g c t g t d g d s g s c ====，,S t 与cd 均不同，所以((())g g g t t =，所以(())f f t t =，所以(())f f x 有另外不动点，矛盾，故不存在函数()g x 满足()(())f x g g x =．。
2020-2021上海市高一数学上期末试卷(及答案)
2020-2021上海市高一数学上期末试卷(及答案)一、选择题1．设a b c ，，均为正数，且122log aa =，121log 2b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭．则（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．c a b << D ．b a c <<2．已知集合21,01,2A =--｛，，｝，{}|(1)(2)0B x x x =-+<,则AB =（ ）A ．{}1,0-B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}0,1,23．若函数,1()42,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,+∞B ．（1,8）C ．（4,8）D ．[4,8)4．下列函数中，值域是()0,+∞的是（ ） A ．2y x = B ．211y x =+ C ．2x y =-D ．()lg 1(0)y x x =+>5．已知函数()2x xe ef x --=，x ∈R ，若对任意0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，都有()()sin 10f f m θ+->成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()0,1B ．()0,2C ．(),1-∞D ．(]1-∞，6．若函数ya >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则log a 56＋log a 485＝( ) A ．1B ．2C ．3D ．47．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数为（ ） A ．1ln||y x = B ．3y x = C ．||2x y =D ．cos y x =8．将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，min t 后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线nt y ae =，假设过5min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过min m 甲桶中的水只有4a升，则m 的值为（ ） A ．10B ．9C ．8D ．59．若0.33a =，log 3b π=，0.3log c e =，则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>10．若函数()[)[]1,1,0{44,0,1xx x f x x ⎛⎫∈- ⎪=⎝⎭∈，则f (log 43)＝( ) A ．13B ．14C ．3D ．411．下列函数中，在区间(1,1)-上为减函数的是A ．11y x=- B ．cos y x =C ．ln(1)y x =+D ．2x y -=12．已知函数()()f x g x x =+，对任意的x ∈R 总有()()f x f x -=-，且(1)1g -=，则(1)g =（ ）A ．1-B ．3-C ．3D ．1二、填空题13．已知函数()22f x mx x m =-+的值域为[0,)+∞，则实数m 的值为__________ 14．()f x 是R 上的奇函数且满足(3)(3)f x f x -=+，若(0,3)x ∈时，()lg f x x x =+，则()f x 在(6,3)--上的解析式是______________．15．已知函数2()log f x x =，定义()(1)()f x f x f x ∆=+-，则函数()()(1)F x f x f x =∆++的值域为___________.16．已知函数()()1123121x a x a x f x x -⎧-+<=⎨≥⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是_____.17．已知11,,1,2,32a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，若幂函数()af x x =为奇函数，且在()0,∞+上递减，则a的取值集合为______. 18．若函数()242xx f x aa =+-（0a >，1a ≠)在区间[]1,1-的最大值为10，则a =______.19．已知函数1,0()ln 1,0x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，若方程()()f x m m R =∈恰有三个不同的实数解()a b c a b c <<、、，则()a b c +的取值范围为______；20．已知函数()5,222,2x x x f x a a x -+≤⎧=++>⎨⎩，其中0a >且1a ≠，若()f x 的值域为[)3,+∞，则实数a 的取值范围是______．三、解答题21．已知函数()log (12)a f x x =+，()log (2)a g x x =-，其中0a >且1a ≠，设()()()h x f x g x =-.(1)求函数()h x 的定义域;(2)若312f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，求使()0h x <成立的x 的集合. 22．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当()0,x ∈+∞时，()232f x x ax a =++-. （1）求()f x 的解析式；（2）若()f x 是R 上的单调函数，求实数a 的取值范围. 23．已知函数sin ωφf x A x B (0A >，0>ω，2πϕ<)，在同一个周期内，当6x π=时，()f x 取得最大值2，当23x π=时，()f x 取得最小值2-. (1)求函数()f x 的解析式，并求()f x 在[0，π]上的单调递增区间.(2)将函数()f x 的图象向左平移12π个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到函数()g x 的图象，方程()g x a =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦有2个不同的实数解，求实数a 的取值范围.24．随着我国经济的飞速发展，人们的生活水平也同步上升，许许多多的家庭对于资金的管理都有不同的方式.最新调查表明，人们对于投资理财的兴趣逐步提高.某投资理财公司做了大量的数据调查，调查显示两种产品投资收益如下： ①投资A 产品的收益与投资额的算术平方根成正比； ②投资B 产品的收益与投资额成正比.公司提供了投资1万元时两种产品的收益，分别是0.2万元和0.4万元.（1）分别求出A 产品的收益()f x 、B 产品的收益()g x 与投资额x 的函数关系式； （2）假如现在你有10万元的资金全部用于投资理财，你该如何分配资金，才能让你的收益最大？最大收益是多少？ 25．计算或化简：（1）112320412730.1log 321664π-⎛⎫⎛⎫++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）6log 332log log 2log 36⋅-- 26．已知函数()xf x a =(0a >,且1a ≠),且(5)8(2)f f =. (1)若(23)(2)f m f m -<+,求实数m 的取值范围; (2)若方程|()1|f x t -=有两个解,求实数t 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】试题分析：在同一坐标系中分别画出2,xy =12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log y x =，12log y x =的图象，2xy =与12log y x =的交点的横坐标为a ，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与12log y x =的图象的交点的横坐标为b ，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与2log y x =的图象的交点的横坐标为c ，从图象可以看出．考点：指数函数、对数函数图象和性质的应用．【方法点睛】一般一个方程中含有两个以上的函数类型，就要考虑用数形结合求解，在同一坐标系中画出两函数图象的交点，函数图象的交点的横坐标即为方程的解．2．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】由已知得{}|21B x x =-<<，因为21,01,2A =--｛，，｝，所以{}1,0A B ⋂=-，故选A ．解析：D 【解析】 【分析】根据分段函数单调性列不等式，解得结果. 【详解】因为函数,1()42,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数， 所以140482422a a a aa ⎧⎪>⎪⎪->∴≤<⎨⎪⎪-+≤⎪⎩故选：D 【点睛】本题考查根据分段函数单调性求参数，考查基本分析判断能力，属中档题.4．D解析：D 【解析】 【分析】利用不等式性质及函数单调性对选项依次求值域即可． 【详解】对于A ：2y x =的值域为[)0,+∞；对于B ：20x ≥，211x ∴+≥，21011x ∴<≤+， 211y x ∴=+的值域为(]0,1； 对于C ：2xy =-的值域为(),0-∞； 对于D ：0x >，11x ∴+>，()lg 10x ∴+>，()lg 1y x ∴=+的值域为()0,+∞；故选：D ． 【点睛】此题主要考查函数值域的求法，考查不等式性质及函数单调性，是一道基础题．5．D解析：D试题分析：求函数f （x ）定义域，及f （﹣x ）便得到f （x ）为奇函数，并能够通过求f′（x ）判断f （x ）在R 上单调递增，从而得到sinθ＞m ﹣1，也就是对任意的0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦都有sinθ＞m ﹣1成立，根据0＜sinθ≤1，即可得出m 的取值范围． 详解：f （x ）的定义域为R ，f （﹣x ）=﹣f （x ）； f′（x ）=e x +e ﹣x ＞0； ∴f （x ）在R 上单调递增；由f （sinθ）+f （1﹣m ）＞0得，f （sinθ）＞f （m ﹣1）； ∴sin θ＞m ﹣1； 即对任意θ∈0,2π⎛⎤⎥⎝⎦都有m ﹣1＜sinθ成立；∵0＜sinθ≤1； ∴m ﹣1≤0；∴实数m 的取值范围是（﹣∞，1]． 故选：D ．点睛：本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，注意奇函数的在对称区间上的单调性的性质；对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，但是直接解不等式非常麻烦的问题，可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质得到不等式的解集.6．C解析：C 【解析】 【分析】先分析得到a ＞1，再求出a =2,再利用对数的运算求值得解. 【详解】由题意可得a －a x ≥0，a x ≤a ，定义域为[0，1]， 所以a >1，y [0，1]上单调递减，值域是[0，1]，所以f (0)1，f (1)＝0， 所以a ＝2，所log a56＋log a 485＝log 256＋log 2485＝log 28＝3. 故选C 【点睛】本题主要考查指数和对数的运算，考查函数的单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.解析：A 【解析】本题考察函数的单调性与奇偶性 由函数的奇偶性定义易得1ln||y x =，||2x y =，cos y x =是偶函数，3y x =是奇函数 cos y x =是周期为2π的周期函数，单调区间为[2,(21)]()k k k z ππ+∈0x >时，||2x y =变形为2x y =，由于2>1,所以在区间(0,)+∞上单调递增 0x >时，1ln||y x =变形为1ln y x =，可看成1ln ,y t t x==的复合，易知ln (0)y t t =>为增函数，1(0)t x x=>为减函数，所以1ln ||y x =在区间(0,)+∞上单调递减的函数故选择A8．D解析：D 【解析】由题设可得方程组()552{4n m n ae aa ae +==，由55122n nae a e =⇒=，代入(5)1142m n mn ae a e +=⇒=，联立两个等式可得512{12mn n e e ==，由此解得5m =，应选答案D 。
上海高一上学期期末数学试题(解析版)
高一数学一、填空题（本题满分40分，每题4分，共10题）1. 函数的定义域是_________ ．y =【答案】()1,-+∞【解析】【详解】试题分析：函数满足，即函数定义域为10x +>()1,-+∞考点：求函数定义域2. 已知幂函数的图象过点，则______.()y f x=(()3f =【解析】【分析】先根据待定系数法求得函数的解析式，然后可得的值．()y f x =()3f 【详解】由题意设， ()y f x x α==∵函数的图象过点，()y fx =(∴， 1222α==∴， 12α=∴，()12f x x =∴．()1233f ==【点睛】本题考查幂函数的定义及解析式，解题时注意用待定系数法求解函数的解析式，属于基础题．3. 已知函数的两个零点分别为，则___________. ()21f x x x =+-12,x x 221212x x x x +=【答案】1【解析】【分析】依题意方程有两个不相等实数根、，利用韦达定理计算可得；210x x +-=1x 2x 【详解】解：依题意令，即，()0f x =210x x +-=所以方程有两个不相等实数根、，210x x +-=1x 2x 所以，，121x x +=-121x x ⋅=-所以； ()()2212121212111x x x x x x x x +=+--=⨯=故答案为：14. 已知函数是奇函数，则实数______． ()22f x ax x =+a =【答案】0【解析】【分析】由奇函数定义入手得到关于变量的恒等式后，比较系数可得所求结果．【详解】∵函数为奇函数，()f x ∴，()()f x f x -=-即，2222ax x ax x -=--整理得在R 上恒成立，20ax =∴．0a =故答案为．0也是解决此类问题的良好方法，属于基础题．5. 若二次函数在区间上为严格减函数，则实数的取值范围是________．()()2212f x ax a x =+-+(],4∞-a 【答案】 10,5⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】由题知，再解不等式组即可得答案. 02(1)42a a a >⎧⎪-⎨-≥⎪⎩【详解】解：因为二次函数在区间上为严格减函数，()()2212f x ax a x =+-+(],4∞-所以，即，解得, 02(1)42a a a >⎧⎪-⎨-≥⎪⎩0105a a >⎧⎪⎨<≤⎪⎩105a <≤所以，实数的取值范围是 a 10,5⎛⎤ ⎥⎝⎦故答案为： 10,5⎛⎤ ⎥⎝⎦6. 古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的部分多为扇环．已知某扇形的扇环如图所示，其中外弧线的长为，内弧线的长为，连接外弧与内弧的两端的线段均为，则该扇形60cm 20cm 18cm 的中心角的弧度数为____________．【答案】209【解析】 【分析】根据扇形弧长与扇形的中心角的弧度数为的关系，可求得，进而可得该扇形的中心α9cm OC =角的弧度数.【详解】解：如图，依题意可得弧的长为，弧的长为，设扇形的中心角的弧度数为AB 60cm CD 20cm α则，则，即． A A ,AB OA CD OC αα=⋅=⋅60320OA OC ==3OA OC =因为，所以，所以该扇形的中心角的弧度数． 18cm AC =9cm OC =A 209CD OC α==故答案为：. 2097. 已知函数，且，那么=_________. 331()5f x ax bx x =+--(2)2f -=(2)f 【答案】-12【解析】【分析】代入，整体代换求值即可.2,2x x =-=【详解】由题意，，即， 33)(21(2)(2(2)52)f a b -=+--⨯--=-3317222a b +⨯-⨯=-故, 331(2)22575122f a b =+⨯--=--=-故答案为：-128. 已知函数，关于的不等式在区间上总有解，则实数的()14f x x x =+-x ()22x m m f ≥-+1,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦m 取值范围为________．【答案】 【解析】 【分析】由题知，进而根据对勾函数性质求解最值，解不等式即可. ()2max 2m f x m ≥-+【详解】解：当时，，当且仅当时取得等号， 1,36x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦12y x x =+≥1x =因为当时，； 16x =1137666y x x =+=+=当时， 3x =1133y x x =+=+=所以，根据对勾函数性质，当时，， 1,36x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦11342,6y x x ⎡⎤=+-∈-⎢⎥⎣⎦所以，当时，， 1,36x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()11340,6f x x x ⎡⎤=+-∈⎢⎥⎣⎦因为关于的不等式在区间上总有解， x ()22x m m f ≥-+1,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以，， 21326m m -+≤m ≤≤所以，实数的取值范围为 m故答案为：9. 已知函数，函数，如果恰好有两个零点，()22,2()2,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩()(2)g x b f x =--()()y f x g x =-则实数的取值范围是________．b 【答案】7(2,)4⎧⎫+∞⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】求出函数的表达式，构造函数，作出函数的图象，利用数形()()y f x g x =-()()(2)h x f x f x =+-()h x 结合进行求解即可.【详解】，()(2)g x b f x =-- ，()()()(2)y f x g x f x b f x ∴=-=-+-由，()(2)0f x b f x -+-=得，()(2)b f x f x =+-设，()()(2)h x f x f x =+-若，则，，0x ≤0x -≥22x -≥则，2()()(2)2h x f x f x x =+-=++若，则，，02x <≤20x -≤-<022x ≤-<则，()()(2)2222222h x f x f x x x x x =+-=-+--=-+-+=若，则，，2x >2x -<-20x -<则， 22()()(2)(2)2258h x f x f x x x x x =+-=-+--=-+即，222,0()2,0258,2x x x h x x x x x ⎧++≤⎪=<≤⎨⎪-+>⎩作出的图象如图，()h x当时，， 0x ≤22177()2()244h x x x x =++=++≥当时，， 2x >22577()58()244h x x x x =-+=-+≥由图象知要使有两个零点，即有四个根，()()y f x g x =-()h x b =则满足或， 74b =2b >故答案为： 7(2,)4⎧⎫+∞⎨⎬⎩⎭【点睛】函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．10. 设，，若存在，使得()1f x x =-4()g x x =-121,,,[,4]4n x x x ⋅⋅⋅∈12()()f x f x ++⋅⋅⋅+成立，则正整数的最大值为________1121()()()()()()n n n n f x g x g x g x g x f x --+=++⋅⋅⋅++n 【答案】6【解析】【分析】由题设且上有，所以，使得()()3n n f x g x -≥1[,4]4n x ∈65()()[3,4n n f x g x -∈121,,,[,4]4n x x x ∃⋅⋅⋅∈成立，只需即可，进1111()()...()()()()n n n n f x g x f x g x f x g x ---++-=-max [()()]3(1)n n f x g x n -≥-而求得正整数的最大值.n 【详解】由题意知：，使成121,,,[,4]4n x x x ∃⋅⋅⋅∈1111()()...()()()()n n n n f x g x f x g x f x g x ---++-=-立，而当且仅当时等号成立， 4()()113n n n n f x g x x x -=-+≥-=12[,4]4n x =∈∴，而，即， ()()3(1)n n f x g x n -≥-1[,4]4n x ∈65()()[3,4n n f x g x -∈∴仅需成立即可，有，故正整数的最大值为. 653(1)4n -≤7712n ≤n 6故答案为：. 6【点睛】关键点点睛：结合基本不等式有，即1111()()...()()3(1)n n f x g x f x g x n ---++-≥-，应用对勾函数的性质求值域，并将存在性问题转化为函数闭区间内有解，只要()()3(1)n n f x g x n -≥-即可求最值.max [()()]3(1)n n f x g x n -≥-二、选择题（本题满分16分，每题4分，共4题）11. 已知为实数，若，则是的（ ）a b 、2:0,:0ab a αβ=+=αβA. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】【分析】根据充分性和必要性的判断方法来判断即可．【详解】当时，若，不能推出，不满足充分性；0ab =1,0a b ==20a +=当，则，有，满足必要性；20a =0a b ==0ab =所以是的必要不充分条件．αβ故选:B ．12. 已知实数，，则的最小值为（ ） ,0,191a b a b >+=119a b +A. 100B. 300C. 800D. 400【答案】D【分析】应用“1”的代换，将目标式转化为，再利用基本不等式求最小值即可，注意等1919362b a a b++号成立的条件.【详解】由， ,0,191a b a b >+=∴，当且仅当时等号成1191191919()(19)362362400b a a b a b a b a b +=++=++≥+=a b =立. ∴的最小值为400. 119a b+故选：D13. 设函数的定义域为，对于下列命题：()f x R ①若存在常数，使得对任意，有，则是函数的最小值；M x ∈R ()f x M ≥M ()f x ②若函数有最小值，则存在唯一的，使得对任意，有；()f x 0R x ∈x ∈R ()()0f x f x ≥③若函数有最小值，则至少存在一个，使得对任意，有； ()f x 0R x ∈x ∈R ()()0f x f x ≥④若是函数的最小值，则存在，使得．()0f x ()f x x ∈R ()()0f x f x ≥则下列为真命题的选项是（ ）A. ①②都正确B. ①③都错误C. ③正确④错误D. ②错误④正确 【答案】D【解析】【分析】根据函数最小值的定义依次判断各选项即可得答案.【详解】解：对于①，不一定是函数的函数值，所以可能的最小值大于，故错误； M ()f x ()f x M 对于②，函数有最小值，则可能存在若干个，使得对任意，有，故错()f x 0R x ∈x ∈R ()()0f x f x ≥误；对于③，函数有最小值，则由最小值的定义，至少存在一个，使得对任意，有()f x 0R x ∈x ∈R ，故正确；()()0f x f x ≥对于④，若是函数的最小值，则存在，使得，故错误；.()0f x ()f x x ∈R ()()0f x f x ≥故真命题的选项是②错误④正确.14. 设，分别是函数和的零点（其中），则的取值1x 2x ()x f x x a-=-()log 1a g x x x =-1a >129x x +范围是（） A.B. C. D. [)6,+∞()6,+∞[)10,+∞()10,+∞【答案】D【解析】【分析】根据零点定义,可得,分别是和的解.结合函数与方程的关系可知,分别是函数1x 2x 1x a x =1log a x x =1x 2x 与函数和函数交点的横坐标,所以可得,.而与互为1y x =x y a =log a y x =101x <<21x >x y a =log a y x =反函数,则由反函数定义可得.再根据基本不等式,即可求得的最小值,将化为121x x ⋅=12x x +129x x +,即可得解.1228x x x ++【详解】因为,分别是函数和的零点 1x 2x ()x f x x a-=-()log 1a g x x x =-则,分别是和的解 1x 2x 1x a x =1log a x x=所以,分别是函数与函数和函数交点的横坐标1x 2x 1y x =x y a =log a y x =所以交点分别为 121211,,,x x x x A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为1a >所以,101x <<21x >由于函数与函数和函数都关于对称1y x =x y a =log a y x =y x =所以点与点关于对称A B y x =因为关于对称的点坐标为 111,A x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭y x =111,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以 121x x =即,且121x x ⋅=12x x ≠所以129x x +1228x x x =++28x ≥+,由于,所以不能取等号228x >+12x x ≠因为21x >所以2282810x +>+=即()12910,x x +∈+∞故选:D【点睛】本题考查了反函数的定义及性质综合应用,函数与方程的关系应用,基本不等式求最值,综合性强,属于难题.三、解答题（本题满分44分，共4题）15. 已知．sin 2cos αα=（1）求的值； πtan 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭（2）求的值． ()2i 2n sin 1s πcos ααα+-【答案】（1）3-（2） 132【解析】【分析】（1）由题知，再根据正切的和角公式求解即可；tan 2α=（2）根据诱导公式，结合齐次式求解即可.【小问1详解】解：由知，sin 2cos αα=tan 2α=所以， πtan 121tan 341tan 12ααα++⎛⎫+===- ⎪--⎝⎭【小问2详解】解：由知；sin 2cos αα=tan 2α=所以. ()22222213sin πcos s s sin 13sin co 3t in cos t 1an an ααααααααα+++===-16. 2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响．在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失．为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x 万件与年促销费用m 万元满足（k 为常数），如果(0)m ≥41k x m =-+不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算） 816x x+（1）将2020年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数；（2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润是多少？【答案】（1） 1636(0)1y m m m =--≥+（2）该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元【解析】【分析】（1）根据题意列方程即可.（2）根据基本不等式，可求出的最小值，从而可求出的最大值. 16(1)1m m +++16361m m --+【小问1详解】由题意知，当时，（万件），0m =2x =则，解得，∴． 24k =-2k =241x m =-+所以每件产品的销售价格为（元）， 8161.5x x +⨯∴2020年的利润． 816161.581636(0)1x y x x m m m x m +=⨯---=--≥+【小问2详解】∵当时，， 0m ≥10m +>∴， 16(1)81m m ++≥=+当且仅当即时等号成立． 16(1)1m m =++3m =∴，83729y ≤-+=即万元时，（万元）．3m =max 29=y 故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元．17. 已知函数.()log (23)1(0,1)a f x x a a =-+>≠（1）当时，求不等式的解集；2a =()3f x <（2）当时，设，且，求（用表示）；10a =()()1g x f x =-(3),(4)==g m g n 6log 45,m n （3）在（2）的条件下，是否存在正整数，使得不等式在区间上有解，若存k 22(1)lg()+>g x kx []3,5在，求出的最大值，若不存在，请说明理由.k 【答案】（1）；（2）；（3）存在，3. 37,22⎛⎫⎪⎝⎭21m n m n +-+【解析】【分析】（1）时，不等式即，解不等式可得结果；2a =2log (23)2x -<（2）依题意得，进而由换底公式和对数的运算性质可得结果； lg3,lg5m n ==（3）依题意得在区间上有解； 令，则，因此()2221x k x -<[]3,5()()[]2221,3,5x h x x x -=∈()max k h x <求得的最大值即可求得结果.()h x 【详解】（1）当时，2a =()()2log 2313f x x =-+<故 ，所以不等式的解集为； 0234x <-<()3f x <37,22⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）当时，，10a =()()()1lg 23g x f x x =-=-， ()()3lg3,4lg5m g n g ∴====. 6lg45lg9lg52log 45lg6lg3lg21m n m n ++∴===+-+（3）在（2）的条件下，不等式化为， ()()221lg g x kx +>()()22lg 21lg x kx ->即在区间上有解. 令，则，()2221x k x -<[]3,5()()[]2221,3,5x h x x x -=∈()max k h x <，， ()()2222112x h x x x -⎛⎫==- ⎪⎝⎭111,53⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x ，又是正整数，故的最大值为3. ()()max 81525k h x h ∴<==k k18. 若函数对定义域内的任意x 都满足，则称具有性质． ()f x ()1f x f x ⎛⎫=⎪⎝⎭()f x M （1）判断是否具有性质M ，并证明在上是严格减函数； ()1f x x x=+()f x ()0,1（2）已知函数，点，直线与的图象相交于两点（在左()ln g x x =()1,0A ()0y t t =>()g x B C 、B 边），验证函数具有性质并证明；()g x M AB AC <（3）已知函数，是否存在正数，当的定义域为时，其值域为()1h x x x=-m n k ，，()h x [],m n ，若存在，求的范围，若不存在，请说明理由．[],km kn k 【答案】（1）具有，证明见解析；（2）证明见解析；（3）不存在，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据具有性质的定义判断即可，结合单调性的定义证明即可；M （2）根据具有性质的定义判断即可，再根据得，进而根据两点间的距离公式M |ln |x t =,e e t t C B x x -==作差法比较即可；（3）根据题意，分或，结合函数单调性讨论求解即可.01m n <<<1m n <<【小问1详解】 解：因为，所以函数具有性质， ()11111f x f x xx x x⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭()f x M 任取，1201x x <<<则， 121212121212121211111()()()()x x f x f x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+-+=-+-=-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为，所以，1201x x <<<121210,0x x x x >>-<所以，即，12())0(f x f x ->12()()f x f x >所以，在区间上单调递减.()f x ()0,1【小问2详解】 解：因为，所以具有性质， 11ln ln ln ()g x x g x x x ⎛⎫==-== ⎪⎝⎭()g x M由性质得或，解得或，|ln |x t =ln x t =-ln x t =e t x -=e =t x 因为，，所以，0t >e e t t -<,e e t t C B x x -==所以，||AB ==||AC ==所以，2222||||(1e )(1e )2(e e )(e e )t t t t t t AB AC ---⎡⎤-=---=-+-⎣⎦当，，当且仅当时取等号，且， ()0,x ∈+∞1()2f x x x =+≥1x =10e 1e et t t -<=<<所以，2(e e )0,e e 0t t t t ---+<->所以，即.22||||2(e e )(e e )0t t t t AB AC --⎡⎤-=-+-<⎣⎦AB AC <【小问3详解】解：注意到，由于均为正整数，(1)0h =,,m n k 所以，要使存在正数，当的定义域为时，其值域为，则或m n k ，，()h x [],m n [],km kn 01m n <<<，1m n <<当，01m n <<<因为为单调递减函数， 1101,()||x h x x x x x<<=-=-所以，其值域为，((),())h n h m 所以，(),()h n km h m kn ==所以，即，整理得，即，与定义域为矛盾； ()()h n m h m n =11n m nn mm -=-2211n m -=-m n =[],m n 当时，1m n <<因为为增函数， 111,()||x h x x x x x>=-=-所以，其值域为， ((),())h m h n 所以，即 (),()h m km h n kn ==11,m km n kn m n-=-=所以，即，与定义域为矛盾； 22221(1)1,(1)1,1k m k n m n k -=-===-m n =[],m n 综上，不存在正数满足条件.m n k ，，【点睛】关键点点睛：本题第三问解题的关键在于结合函数，均为正整数得到(1)0h =,,m n k或，进而分类讨论求解即可. 01m n <<<1m n <<。
上海高一上学期期末数学试题(解析版)
一、填空题1．函数的定义域是________.2()log (3)f x x =-【答案】(3,)+∞【分析】根据函数成立的条件，即可求函数的定义域．【详解】解：要使函数有意义，则x ﹣3＞0，即x ＞3，故函数的定义域为（3，+∞），故答案为：（3，+∞）．【点睛】本题主要考查函数定义域的求法，正确判断函数成立的条件是解决此类问题的关键． 2．不等式的解集为__________. 21x x ≥-【答案】{}12x x <≤【分析】利用分式不等式的解法求解即可.【详解】因为， 21x x ≥-所以，则，即，故， 201x x -≥-()2101x x x --≥-201x x -+≥-201x x -≤-所以，解得，故，()()21010x x x ⎧--≤⎨-≠⎩121x x ≤≤⎧⎨≠⎩12x <≤所以的解集为. 21x x ≥-{}12x x <≤故答案为：.{}12x x <≤3．已知，若幂函数奇函数，且在上为严格减函数，则112,1,,,1,2,322α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭()f x x α=()0,∞+__________.α=【答案】-1【分析】根据幂函数在上为严格减函数，可得，再由幂函数奇函()f x x α=()0,∞+0α<()f x x α=数即可得答案.【详解】解：因为幂函数在上为严格减函数，()f x x α=()0,∞+所以，0α<所以， 12,1,2α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭又因为幂函数奇函数，且， ()f x x α=12,1,2α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭所以，1α=-故答案为：-14．已知角的终边经过点，则___________.α(1,3)P -tan α=【答案】3-【分析】根据正切函数定义计算【详解】由题意． 3tan 31α==--故答案为：．3-5．已知扇形的弧长为，且半径为，则扇形的面积是__________. cm 2π10cm 2cm 【答案】## 52π5π2【分析】由扇形面积公式可直接求得结果. 【详解】扇形面积. 115102222S lr ππ==⨯⨯=故答案为：. 52π6．若，则________． 1sin cos 5αα+=sin 2α=【答案】 2425-【分析】直接将两边平方，结合二倍角公式计算可得； 1sin cos 5αα+=【详解】解：因为，所以，即1sin cos 5αα+=()21sin cos 25αα+=221sin +2sin cos cos 25αααα+=，即，所以 11+sin 225α=24sin 225α=-故答案为： 2425-7．方程的两个实根分别为，则__________.（结果表示成含20(0)x x m m +-=>12,x x 221212x x x x +=m的表达式）【答案】m 【分析】根据韦达定理运算求解.【详解】∵方程的两个实根分别为，则当时恒成立，可20(0)x x m m +-=>12,x x 140m ∆=+>0m >得， 12121x x x x m +=-⎧⎨=-⎩∴.()()22121212121x x x x x x x x m m +=+=-⨯-=故答案为：.m8．方程的解为______.()lg 21lg 1x x ++=【答案】2.【解析】由对数的运算性质可转化条件为，即可得解.()21100210x x x x ⎧+=⎪>⎨⎪+>⎩【详解】方程等价于，()lg 21lg 1x x ++=()lg 2110210x x x x ⎧+=⎪>⎨⎪+>⎩所以，解得.()21100210x x x x ⎧+=⎪>⎨⎪+>⎩2x =故答案为：2.【点睛】本题考查了对数方程的求解，考查了运算求解能力，属于基础题.9．函数的值域是_______. 121xy =+【答案】(0,1)【分析】由函数解析式导出，利用指数式的有界性，，即可求解y 的取值范围，即为值域. 12x y y-=【详解】由函数解析式，， 121,2x x y y y y-+=∴=，解得 120,0x y y->∴> 01y <<则值域为，(0,1)故答案为：(0,1)【点睛】指数函数，值域为，即恒成立.2x y =(0,)+∞20x >10．如果对任意实数x 总成立，那么a 的取值范围是____________.19x x a +++>【答案】(),8∞-【分析】先利用绝对值三角不等式求出的最小值，进而求出a 的取值范围.19x x +++【详解】，当且仅当时等号成立，故，所以a 的取值()19198x x x x +++≥+-+=91x -≤≤-8a <范围是.(),8∞-故答案为：(),8∞-11．已知函数，若，且，则的取值范围是______．()ln f x x =0a b <<()()f a f b =2+a b【答案】()3,+∞【分析】由，可得，，得，所以()()f a f b =0a b <<01,1a b <<>ln ln a b -=1b a =22a b a a+=+，然后构造函数，利用可求出其单调区间，从而可求出其范围 2()(01)g x x x x=+<<【详解】的图象如图，()ln f x x =因为，()()f a f b =所以，ln ln a b =因为，0a b <<所以，，ln 0a <ln 0b >所以，01,1a b <<>所以，ln ln ,ln ln a a b b =-=所以，所以，ln ln a b -=ln ln ln()0a b ab +==所以，则， 1ab =1b a =所以， 22a b a a+=+令，则， 2()(01)g x x x x =+<<22()1x g x x x'-=-=当时，，01x <<()0g x '<所以在上递减，()g x (0,1)所以，()(1)123g x g >=+=所以，23+>a b 所以的取值范围为，2+a b ()3,+∞故答案为：()3,+∞12．设函数在区间上的最大值和最小值分别为M ､m ，()()221202120211-++-=+x xx f x x []2022,2022-则___________.M m +=【答案】2【分析】，令()()221202120211-++-=+x xx f x x 220212021112x x x x -+-=++，易得函数为奇函数，则，从()[]220212021,202222,2021x xg x x x x -+-=∈-+()g x ()()max min g x g x =-而可得出答案.【详解】解：()()221202120211-++-=+x x x f x x 2220212021121x xx x x -+=++-+， 220212021112x xx x -+-=++令， ()[]220212021,202222,2021x xg x x x x -+-=∈-+因为， ()()22021202121x xg x g x x x -+---==-+所以函数为奇函数，()g x 所以，即，()()max min g x g x =-()()max min 0g x g x +=所以，()()()()max min max min 112f x f x g x g x +=+++=即.2M m +=故答案为：2.二、单选题13．已知，，都是实数，则“”是“”的（ ）a b c a b <22ac bc <A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】利用充分、必要条件的定义，结合不等式的性质判断题设条件间的推出关系，即可知条件间的充分、必要关系.【详解】当时，若时不成立；a b <0c =22ac bc <当时，则必有成立，22ac bc <a b <∴“”是“”的必要不充分条件.a b <22ac bc <故选：B14．下列四组函数中，两个函数相同的是（ ）A ．和y =2y =B ．和1y =0y x =C ．和y x =y =D ．和2log a y x =2log a y x =【答案】C【分析】如果函数的三要素中有一个不同，则两个函数不同；判断两个函数相同，需要判断定义域、对应关系相同.【详解】选项A ，函数的定义域为R ，定义域为，所以两个函数不同； y 2y =[)0+∞，选项A ，函数的定义域为R ，定义域为，所以两个函数不同；1y =0y x ={}|0x x ≠选项C ，因为，定义域都为R ，所以函数和y x ==y x =y =选项D ，函数的定义域为，定义域为，所以两个函数不同. 2log a y x ={}|0x x ≠2log a y x ={}|0x x >故选：C.15．函数的图像的对称性为（ ） 412x x y +=A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线对称y x =【答案】B 【分析】将函数进行化简，利用函数的奇偶性的定义进行判断．【详解】解：因为，所以， 4141()22222x x x x x x x f x -+==+=+()222(2)x x x x f x f x ---=+=+=所以函数是偶函数，即函数图象关于轴对称．()f x y 故选：．B 16．若，则函数的两个零点分别位于区间 a b c <<()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--A ．和内B ．和内 (,)a b (,)b c (,)a -∞(,)a bC ．和内D ．和内(,)b c (,)c +∞(,)a -∞(,)c +∞【答案】A【详解】试题分析：，所以有零点，排除B ，D()()()()()()0,0f b b c b a f c c a c b =--=--(,)b c选项.当时，恒成立，没有零点，排除C ，故选A.另外，也可x c >()0f x >()()()0f a a b a c =-->知内有零点.(,)a b 【解析】零点与二分法. 【思路点晴】如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，且有·，那么，函数在区间内有零点，即存在使得，这个也就是(,)a b (,)c a b ∈方程的根.注意以下几点：①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点.③由函数在闭区间上有零点不一定能推出·，如图所示.所以[],ab·是在闭区间上有零点的充分不必要条件.[],a b三、解答题17．已知集合. {}{}24(0),230A xx a a B x x x =-≥>=--<∣∣(1)若，求；3a =A B ⋂(2)若，求实数的取值范围. B A ⊆a 【答案】(1) {}13xx <<∣(2)01a <≤【分析】（1）由不等式的解法，结合集合的运算求解即可；（2）由集合的包含关系得出实数的取值范围.a 【详解】（1）或，. {}{437A xx x x =-≥=≥∣∣}1x ≤{}{}223013B x x x x x =--<=-<<∣∣因为，所以. {}17A xx =<<∣{}13A B x x ⋂=<<∣（2）或，因为，， {}{4|4A x x a x x a =-≥=≥+∣}4x a ≤-B A ⊆443a +>>所以，即. 430a a -≥⎧⎨>⎩01a <≤18．（1）化简：.()()()()π3πcos πcos cos 2πsin 22sin πcos παααααα⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭++-（2）已知，且在同一象限，求的值. 31sin ,cos 52αβ==-,αβ()cos αβ+【答案】（1）0；（2【分析】（1）根据诱导公式化简整理；（2）先根据三角函数值判断所在象限，进而利用平方,αβ关系可求，代入两角和的余弦公式运算求值.cos ,sin αβ【详解】（1）()()()()()()()π3πcos πcos cos 2πsin cos sin cos cos 22cos cos 0sin πcos πsin cos αααααααααααααα⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭+=+=-+=+---.（2）∵，且在同一象限，则为第二象限角， 31sin 0,cos 052αβ=>=-<,αβ,αβ∴，4cos =,sin 5αβ=-==故. ()413cos cos cos sin sin 525αβαβαβ⎛⎫⎛⎫+=-=-⨯--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19．科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震I 级度量可定义为； r 2lg 23r I =+(1)若，求相应的震级；（结果精确到0.1级）61.210I =⨯(2)中国地震台网测定：2021年11月17日13时54分在江苏省盐城市大丰区海域发生5.0地震，地震造成江苏盐城、南通等地震感强烈，上海亦有震感；请问汶川8.0级地震的相对能量是大丰区8.0I 海域5.0级地震相对能量的多少倍？（结果精确到个位）5.0I 【答案】(1)6.1(2)31623【分析】（1）由里氏震级度量公式计算即可；（2）由公式解出，再代入数值计算即可. 2lg 23r I =+I 【详解】（1）当时，61.210I =⨯则有. 6222lg()2(lg125)2(1.085)2 6.11.213330r =+=++≈++=⨯所以相应的震级为级. 6.1（2）由，可得， 2lg 23r I =+36210r I -=所以. 3869928.0235695.022101010316231010I I ⨯-⨯-===≈所以汶川8.0级地震的相对能量是大丰区海域5.0级地震相对能量的倍.8.0I 5.0I 3162320．已知二次函数，．2()1=++f x x ax [1,2]x ∈-（1）如果函数单调递减，求实数的取值范围；()f x a （2）当时，求的最大值和最小值，并指出此时x 的取值；1a =()f x （3）求的最小值，并表示为关于a 的函数．()f x ()H a 【答案】（1）；（2）当时，，当时，；（3）(]4--∞，12x =-min 3()4f x =2x =max ()7f x =()H a =． 22,21,42452,4a a a a a a -≥⎧⎪⎪--<<⎨⎪⎪+≤-⎩【分析】（1）根据函数开口向上，对称轴为，进而结合题意得：，解不等式即可得2a x =-22a -≥答案；（2）由题知，进而根据二次函数性质即可得答案； 2213()124f x x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭（2）根据题意，分，，三种情况讨论函数单调性求解最小值即可.4a ≤-42a -<<2a ≥【详解】解：（1）因为函数开口向上，对称轴为， 2()1=++f x x ax 2a x =-若函数在上单调递减，则，解得：. ()f x [1,2]x ∈-22a -≥4a ≤-故当函数单调递减，实数的取值范围是：. ()f x a (]4--∞，（2）当时，， 1a =2213()124f x x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭所以当时，函数取得最小值. 12x =-()f x min 3()4f x =当时，函数取得最大值.2x =()f x max ()7f x =（3）因为函数开口向上，对称轴为， 2()1=++f x x ax 2a x =-所以当，即：时，函数在上为单调递减函数，故22a -≥4a ≤-()f x [1,2]-；()()()min 225H a f x f a ===+当，即：时，函数在上为单调递增函数，故12a -≤-2a ≥()f x [1,2]-()()()min 12H a f x f a ==-=-；当，即时，函数在上为单调递减函数，在上为单调递增122a -<-<42a -<<()f x 1,2a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦,22a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦函数，故； ()()2min 124a a H a f x f ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭综上，. ()H a =22,21,42452,4a a a a a a -≥⎧⎪⎪--<<⎨⎪⎪+≤-⎩【点睛】本题考查二次函数在闭区间上的最值和单调性问题，考查运算求解能力，分类讨论思想，是中档题.本题第三问解题的关键在于由二次函数的单调性分，，三种情况讨4a ≤-42a -<<2a ≥论求解.21．设. 21()21x x f x -=+（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；()y f x =（2）求证：函数在R 上是严格增函数；()y f x =（3）若，求t 的取值范围.()2(1)10f t f t -+-<【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）证明见解析；（3）或．1t >2t <-【分析】（1）根据奇偶函数的定义进行判断即可；（2）利用单调性的定义，结合指数函数的单调性进行证明即可；（3）利用（1）（2）的结论，结合一元二次不等式的解法进行求解即可.【详解】（1）函数为奇函数，证明如下：()y f x =的定义域为，关于原点对称， 21()21x x f x -=+(,)∞∞-+ ()()2212112()()2112221x x x xx xx x f x f x --------====-+++∴为奇函数；()y f x =（2）证明：任取，且12,x x R ∈12x x < 212122()1212121x x x x x f x +--===-+++ ()()()()()1212212212222222211212121212121x x x x x x x x f x f x -⎛⎫-=---=-= ⎪++++++⎝⎭∵，12x x <∴，，， 21220x x >>12220x x -<2210x +>1210x +>第 11 页 共 11 页∴，即 ()()120f x f x -<()()12f x f x <∴函数在R 上是严格增函数()y f x =（2）∵在R 上是奇函数且严格增函数，()y f x =所以()()()2222(1)10(1)1111f t f t f t f t f t t t -+-<⇔-<--=-⇔-<-220t t ⇔+->，解得或 (2)(1)0t t ⇔+->1t >2t <-所以t 的取值范围是或．1t >2t <-。
上海市高一上学期期末数学试题
2021-2022学年上海市浦东新区进才中学高一（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共有3小题，满分36分）1.（3分）若集合{}2,A x x =，则实数x 可取的值的全体所构成的集合为______. 2.（3分）已知1x >，则41x x +-的取值范围是______. 3.（3分）已知函数()y f x =为定义在R 上的奇函数，写出函数()12y f x =--的图像的一个对称中心______.4.（3分）已知函数1y kx =+的零点在区间()1,1-内，常数k 的取值范围为______.5.（3分）已知2log 90a <，实数a 的取值范围为______.6.（3分）已知集合11,,0,2,32A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，()()(){},k B y f x f x x k A y f x ===∈=且为奇函数，则集合B 的子集个数为______.7.（3分）函数22y x x =-，[]2,1x ∈-的反函数为______.8.（3分）函数()2lg 82y x x =+-的单调递增区间是______.9.（3分）要建造一个高为3米，容积为48立方米的无盖长方体蓄水池.已知池底的造价为每平方米1500米，池壁的造价为每平方米1000元.该蓄水池的总造价y （元）关于池底一边的长度x （米）的函数关系为：______.10.（3分）若函数()()()3141112x a x a x y a x ⎧-+<⎪=⎨-≥⎪⎩是R 上的严格减函数，则实数a 的取值范围为______.11.（3分）商品批发市场中，某商品的定价每天随市场波动，甲乙两名采购员在每月的同一天去该市场购买同一种商品，甲每次购买a 公斤，乙每次购买b 元（a ，b 互不相等），该方案实施2次后______的购买方案平均价格更低（填“甲”或“乙”）12.（3分）已知函数()y f x =为()22f x ax x b =++，其中a b >，若()0f x ≥对任意x ∈R 的恒成立，且函数存在零点，则22a b a b+-的最小值为______. 二、选择题（本大题共有4小题，满分16分）13.（4分）已知函数()y f x =的定义域为R ，则命题“()y f x =是偶函数”是命题“()()fx f x =对一切实数x 都成立”的（ ）条件A.充分非必要B.必要非充分C.充分必要D.既不充分也不必要14.（4分）“对于任意x ∈R 的实数，不等式23x x a +--≥恒成立”的一个充分必要条件是（ ）A.(][),23,a ∈-∞-+∞B.[]2,3a ∈-C.(],5a ∈-∞D.(],5a ∈-∞-15.（4分）已知lg a ，lg b 是方程22410x x -+=的两个根，则2lg a b ⎛⎫⎪⎝⎭的值是（ ）A.4B.3C.2D.116.（4分）已知函数()y f x =，x D ∈，若存在实数m ，使得对于任意的x D ∈，都有()f x m ≥，则称函数()y f x =，x D ∈有下界，m 为其一个下界.类似的M ，若存在实数，使得对于任意的x D ∈，都有()f x M ≤，则称函数()y f x =，x D ∈有上界，M 为其一个上界.若函数()y f x =，x D ∈既有上界，又有下界，则称该函数为有界函数.对于下列4个命题①若函数()y f x =有下界，则函数()y f x =有最小值；②若定义在R 上的奇函数()y f x =有上界，则该函数是有界函数； ③对于函数()y f x =，若函数()y f x =有最大值，则该函数是有界函数； ④若函数()y f x =的定义域为闭区间[],a b ，则该函数是有界函数. 其中真命题的序号为（ ） A.①③B.②③C.②④D.②③④三、解答题（本大题满分48分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17.（8分）设全集U R =，设函数()2lg 1y ax =-的定义域为集合A ，函数1y x x=+的值域为集合B .（1）当1a =时，求A ； （2）若AB R =，求实数a 的取值范围.18.（10分）已知关于x 的不等式()lg 37x x a ++-≤. （1）当1a =时，解该不等式；（2）若该不等式的解集为∅，求常数a 的取值范围.19.（10分）某条货运线路总长2000千米，交通法规定，在该线路上货车最低限速50千米/时（含），最高限速100千米/时（含）.汽油的价格是每升8元，汽车在该路段行驶时，速度为x 千米/时，每小时油耗为24240x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭升（假设汽车保持匀速行驶）（1）求该线路行车油费y （元）关于行车速度x （千米/时）的函数关系；（2）车速为何值时，行车油费达到最低？并求出最低的行车油费；（3）运营该条线路的刘师傅接到某公司的货运派单，要求在24小时内送达，否则将少支付50元费用作为超时补偿.请写出此时刘师傅驾驶的最优车速. 20.（10分）已知函数()y f x =满足()()1log 0,11amxf x a a x -=>≠-且()y f x =为奇函数.（1）求m 的值；（2）判断()y f x =在区间()1,+∞上的单调性；（3）当12a =时，若对于任意的[]3,4x ∈，总有()12xf x b ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭成立，求实数b 的取值范围.21.（10分）对于函数()y f x =，x D ∈，设区间I 是D 上的一个子集，对于区间I 上任意的1x ，2x ，3x ，当123x x x <<时，如果总有()()()()21322132f x f x f x f x x x x x --<--，则称函数()y f x =是区间I 上的T 函数.（1）判断下列函数是否是定义域上的T 函数：①2y x =，②21y x =+； （2）已知定义域上的严格增函数()y f x =也是定义域上的T 函数，试问：()1y f x -=是否是定义域上的T 函数？若是，请给出证明；若不是，请说明理由；（3）若函数()y f x =为区间I 上的T 函数，证明：对于任意的1x ，2x I ∈和任意的()0,1λ∈，总有()()()()121211f x x f x f x λλλλ+-<+-⎡⎤⎣⎦.2021-2022学年上海市浦东新区进才中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析1.()()(),00,11,-∞+∞【分析】由题意得不等式2x x ≠，从而求解. 【解答】解：∵2x x ≠，∴0x ≠且1x ≠；故实数x 可取的值的全体所构成的集合为()()(),00,11,-∞+∞；故答案为：()()(),00,11,-∞+∞.【点评】本题考查了集合中元素的互异性应用，属于基础题. 2.[)5,+∞ 【分析】由于441111x x x x +=-++--，然后利用基本不等式即可求解. 【解答】解：因为1x >，则()44411115111x x x x x x +=-++≥-⋅=---， 当且仅当411x x -=-，即3x =时取等号，此时41x x +-的取值范围是[)5,+∞.故答案为：[)5,+∞.【点评】本题主要考查利用基本不等式在最值求解中的应用，解题的关键是应用条件的配凑. 3.()1,2-【分析】根据题意，由奇函数的定义可得()f x 的1个对称中心为()0,0，由函数图象的变换规律分析可得答案.【解答】解：根据题意，函数()y f x =为定义在R 上的奇函数，其对称中心为()0,0，将()y f x =的图象向右平移1个单位，向下平移2个单位可得()12y f x =--的图像，则函数()12y f x =--的图像的一个对称中心为()1,2-；故答案为：()1,2-. 【点评】本题考查函数的图象变换，涉及函数的对称性，属于基础题. 4.()(),11,-∞-+∞【分析】令()()110f f -<且函数()f x 在区间()1,1-内单调即可. 【解答】解：∵函数1y kx =+恰有一个零点在区间()1,1-内，∴()()110k k -+<，∴()(),11,k ∈-∞-+∞.故答案为：()(),11,-∞-+∞.【点评】本题主要考查函数零点的判定定理.属基础题. 5.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】由题意，利用对数的性质，解对数不等式，求得a 的范围. 【解答】解：∵2log 90a <，∴021a <<，∴102a <<，故答案为：10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点评】本题主要考查对数的性质，解对数不等式，属于基础题.6.4【分析】根据题意，由幂函数的性质可得集合B ，进而分析可得答案. 【解答】解：根据题意，集合11,,0,2,32A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，()()(){},k B y f x f x x k A y f x ===∈=且为奇函数，则{}1,3B =-，集合B 的子集有224=个，故答案为：4.【点评】本题考查幂函数的图象，涉及子集的定义，属于基础题. 7.()111fx x -=+[]1,8x ∈-【分析】先由二次函数的性质求得[]1,8y ∈-，即为反函数的定义域，再由220x x y --=，解得11x y =+()1fx -.【解答】解：函数22y x x =-的对称轴为1x =，∴当[]2,1x ∈-时，22y x x =-单调递减，∴[]1,8y ∈-，由22y x x =-可得220x x y --=，解得11x y =+又∵[]2,1x ∈-，∴11x y =+∴函数22y x x =-，[]2,1x ∈-的反函数为()111f x x -=+[]1,8x ∈-.【点评】本题主要考查了二次函数的性质，考查了反函数的定义，属于基础题. 8.()2,1-【分析】先求出函数定义域，然后对复合函数进行分解，再判定两简单函数的单调性，利用复合函数单调性的判定方法可得所求增区间. 【解答】解：由2820x x +->，得()2,4x ∈-，()2lg 82y x x =+-由lg y u =，282u x x =+-复合而成，且lg y u =递增，282u x x =+-在()2,1-上递增，在()1,4上递减， ∴()2lg 82y x x =+-单调递增区间是()2,1-.故答案为：()2,1-.【点评】本题考查复合函数的单调性、对数函数、二次函数的单调性，属中档题. 9.166000150016y x x ⎛⎫=++⨯ ⎪⎝⎭，0x > 【分析】根据条件便可得到池底面积为4平方米，底面的另一边长16x，从而便可得到总造价y 与x 的解析式；【解答】解：根据条件，该蓄水池的总造价y 元，池底一边的长度x 米，底面另一边长为16x米；∴长方体的底面积为16，侧面积为1632x x ⎛⎫⨯+⎪⎝⎭，由题意得： 166000150016y x x ⎛⎫=++⨯ ⎪⎝⎭，0x >；故答案为：166000150016y x x ⎛⎫=++⨯ ⎪⎝⎭，0x >； 【点评】考查长方体的体积公式，根据实际问题建立函数关系式的方法，是基础题. 10.11,123⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 【分析】根据分段函数单调性的性质建立不等式关系进行求解即可.【解答】解：∵函数()()()3141112x a x a x y a x ⎧-+<⎪=⎨-≥⎪⎩是R 上的严格减函数，∴310011712a a a a ⎧⎪-<⎪<<⎨⎪⎪-≥-⎩，∴11123a ≤<，∴实数a 的取值范围是11,123⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：11,123⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【点评】本题主要考查函数单调性的应用，根据分段函数单调性的性质建立不等式关系是解决本题的关键. 11.乙【分析】设每次购买时商品的价格分别为x 元/公斤、y 元/公斤(),0x y >，可将甲乙2次购买的平均价格用x ，y 表示出来，再用基本不等式比较即可.【解答】解：设每次购买时商品的价格分别为x 元/公斤、y 元/公斤(),0x y >， 则甲的平均价格为：22ax ay x ya ++=；乙的平均价格为：22b xy b b x y x y=++， 因为x ，0y >，所以22xyx y xy +≥=；22xy xy x y xy ≤=+（当x y =时取“=”号）， 所以22x y xyx y+≥+（当x y =时取“=”号），故乙的平均价格更低.故答案为：乙. 【点评】本题考查了基本不等式在生活中的应用，考查了转化思想，属于基础题. 12.22【分析】根据题意，由二次函数的性质分析可得1ab =，由此可得()()22222a b ab a b a b a b a b a b-++==-+---，结合基本不等式的性质分析可得答案. 【解答】解：根据题意，函数()22f x ax x b =++满足()0f x ≥对任意x ∈R 的恒成立，且函数存在零点，必有440ab ∆=-=，则有1ab =，则()()22222a b ab a b a b a b a b a b-++==-+---， 又由a b >，则()()222a b a b a b a b-+≥⨯-=--2a b -=立，即22a b a b+-的最小值为2；故答案为：22【点评】本题考查基本不等式的性质，涉及二次函数的性质，属于基础题. 13.C【分析】根据题意，由函数奇偶性的性质分析两个命题的关系，结合充分必要条件的定义可得答案.【解答】解：根据题意，若()y f x =是偶函数，即()()f x f x -=，必有()()f x f x =成立，反之，若()()fx f x =，当0x <时，有()()f x f x -=，则函数()f x 为偶函数，故题“()y f x =是偶函数”是命题“()()f x f x =对一切实数x 都成立”的充分必要条件，故选：C.【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及充分必要条件的判断，属于基础题. 14.D【分析】原题等价于min23a x x ≤⎡+--⎤⎣⎦，利用绝对值的性质求出min23x x ⎡+--⎤⎣⎦，能求出结果.【解答】解：∵对于任意x ∈R 的实数，不等式23x x a +--≥恒成立，∴min 23a x x ≤⎡+--⎤⎣⎦，由20x +=，得2x =-，由30x -=，得3x =， 当2x <-时，23235x x x x +--=---+=-；当23x -≤≤时，[]2323215,5x x x x x +--=+-+=-∈-； 当3x >时，23235x x x x +--=+-+=. 综上，[]235,5x x +--∈-.∴min235a x x ≤⎡+--⎤=-⎣⎦，∴“对于任意x ∈R 的实数，不等式23x x a +--≥恒成立”的一个充分必要条件是(],5-∞-.故选：D.【点评】本题考查含绝对值不等式的运算，考查充要条件、分类讨论思想等基础知识，考查运算求解能力，是基础题. 15.C【分析】运用二次方程的韦达定理和对数的运算性质，结合配方法，计算即可得到所求值. 【解答】解：lg a ，lg b 是方程22410x x -+=的两个根，可得lg lg 2a b +=，1lg lg 2a b =， 则()()22221lg lg lg lg lg 4lg lg 244222a a b a b a b b ⎛⎫=-=+-=-⨯=-= ⎪⎝⎭.故选：C.【点评】本题考查对数的运算性质，以及二次方程根的韦达定理的运用，考查配方法，属于基础题.16.B【分析】根据函数上界，下界，有界的定义分别进行判断即可. 【解答】解：①当0x >时，()1f x x=，则()0f x ≥恒成立，则函数()y f x =有下界，但函数()y f x =没有最小值，故①错误；②若定义在R 上的奇函数()y f x =有上界，不妨设当0x ≥时，()f x M ≤成立，则当0x <时，0x ->，则()f x M -≤，即()f x M -≤，则()f x M ≥-，该()f x 的下界是M -，则函数是有界函数，故②正确；③对于函数()y f x =，若函数()y f x =有最大值，设()f x M ≤，则()M f x M -≤≤，该函数是有界函数，故③正确；④函数()tan ,0202x x f x x ππ⎧≤<⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，则函数()y f x =的定义域为闭区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则函数()f x 的值域为[)0,+∞，则()f x 只有下界，没有上界，即该函数不是有界函数.故④错误；故选：B.【点评】本题主要考查难题的真假判断，利用有界函数的定义分别进行判断是解决本题的关键，是中档题.17.【分析】（1）当1a =时解不等式210x ->，再求A 即可；（2）先求函数1y x x=+的值域得到集合B ，根据A B R =可转化为当()2,2x ∈-时，210ax -≤恒成立，从而分类讨论即可.【解答】解：（1）当1a =时，210x ->，解得1x >或1x <-，故[]1,1A =-； （2）由题意知，(][),22,B =-∞-+∞，又∵AB R =，∴()2,2A -⊆，即当()2,2x ∈-时，210ax -≤恒成立，①当0x =时，10-≤成立，符合题意， ②当0x ≠时，210ax -≤可化为21a x ≤； ∵2114x >，∴14a ≤；综上所述，实数a 的取值范围为1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 【点评】本题考查了复合函数的定义域及值域，同时应用了分类讨论的思想方法，属于基础题.18.【分析】（1）由题意，利用绝对值的意义，求得不等式的解集.（2）由题意，()lg 37a x x ⎡⎤<++-⎣⎦恒成立，求得()lg 37x x ++-的最小值，可得a 的范围.【解答】解：（1）当1a =时，关于x 的不等式()lg 37lg10x x a ++-≤=， ∴3710x x ++-≤，根据绝对值的意义，则该不等式的解为[]3,7-. （2）若该不等式的解集为∅，则()lg 37a x x ⎡⎤<++-⎣⎦恒成立， 则()minlg 371a x x ⎡⎤<++-=⎣⎦，则常数a 的取值范围为(),1-∞.【点评】本题主要考查对数函数的单调性，绝对值的意义，求函数的最值，属于中档题.19.【分析】（1）行车所用时间为2000x ，汽车每小时油耗24240x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭升，然后求解行车总费用.（2）当[]50,100x ∈时，函数严格增，然后求解函数的最小值.（3）推出行车总费用()64000200250,50,336400020025050,,10033x x x y f x x x x⎧⎡⎤+∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦==⎨⎛⎤⎪+-∈ ⎥⎪⎝⎦⎩，通过分段函数，求解函数的最小值即可.【解答】解：（1）行车所用时间为2000x，根据汽油的价格是每升8元， 而汽车每小时油耗24240x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭升，则行车总费用为2200064000200842403x xy x x ⎛⎫=⨯⨯+=+ ⎪⎝⎭，[]50,100x ∈.（2）由（1）知640002003xy x =+，当[]50,100x ∈时，函数严格增， 则当50x =时，行车油费最低，最低为138403元.（3）由题意知行车总费用()64000200250,50,336400020025050,,10033x x x y f x x x x⎧⎡⎤+∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦==⎨⎛⎤⎪+-∈ ⎥⎪⎝⎦⎩，当25050,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()y f x =的最小值为()13840503f =， 当250,1003x ⎛⎤∈⎥⎝⎦时，()y f x =的最小值为2505646213840393f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭， 所以综上所述，最优车速为50千米/时.【点评】本题考查函数的实际应用，分段函数的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题.20.【分析】（1）利用()y f x =是奇函数，通过()()f x f x -=-，求解m 即可. （2）()1log 1ax f x x +=-，令12111x y x x +==+--，则在()1,+∞上单调递减.通过a 的范围，判断函数的单调性即可.（3）对于任意的[]3,4x ∈，总有()12xf x b ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭成立，即()12xb f x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭恒成立，令()()12xg x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，只需()min b g x <，转化求解即可.【解答】解：（1）∵()y f x =是奇函数，∴()()f x f x -=-，∴11011mx x x mx+-=>---，∴22211m x x -=-，∴1m =±，检验1m =（舍），∴1m =-. （2）由（1）知()1log 1a x f x x +=-，令12111x y x x +==+--，则在()1,+∞上单调递减. 当1a >时，()y f x =在区间()1,+∞上的单调递减； 当01a <<时，()y f x =在区间()1,+∞上的单调递增.（3）对于任意的[]3,4x ∈，总有()12x f x b ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭成立，即()12xb f x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭恒成立，令()()12xg x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，只需()min b g x <，又易知()()12xg x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[]3,4x ∈上是增函数，∴98b <-.9,8b ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭.【点评】本题考查函数与方程的综合应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题.21.【分析】（1）利用作差法，结合T 函数的定义即可逐个判定；（2）()1y fx -=不是定义域上的T 函数，由反函数的性质及T 函数的定义即可证明； （3）假设12x x <，则()11221x x x x λλ<+-<，利用T 函数的定义化简即可得证.【解答】解：（1）①当123x x x <<时，()()()()()()222221323221213213213221320f x f x f x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -----=-=+-+=-<----，所以①是定义域上的T 函数； ②当123x x x <<时，()()()()21322132f x f x f x f x x x x x ---=--()()()()2132213221212121220x x x x x x x x +-++-+-=-=--，所以②不是定义域上的T 函数.（2）()1y fx -=不是定义域上的T 函数，理由如下：因为()y f x =是定义域上的严格增函数，所以当123x x x <<时，()()()123f x f x f x <<，即123y y y <<，若原函数为增函数，则反函数也是增函数，即若123x x x <<，则()()()111123f x f x f x ---<<，又因为()y f x =是定义域上的T 函数，即当123x x x <<时，总有()()()()213221320f x f x f x f x x x x x --<<--， 所以()()()()32212132x x x x f x f x f x f x -->--，即当123x x x <<时，()()()()111121322132f y f y f y f y y y y y ------>--， 综上所述，()1y fx -=不是定义域上的T 函数.（3）证明：若对于任意的1x ，2x I ∈和任意的()0,1λ∈，假设12x x <，则()11221x x x x λλ<+-<，因为函数()y f x =为区间I 上的T 函数，所以()()()()()()()()1212121212121111f x x f x f x f x x x x x x x x λλλλλλλλ+---+-<+---+-⎡⎤⎣⎦，化简得()()()()()()()()()1212122121111f x x f x f x f x x x x x x λλλλλλ+---+-<---，∵21x x >，∴210x x ->，∴()()()()()()()121212111f x x f x f x f x x λλλλλλ+---+-<-， ∴()()()()()()()()1212121111f x x f x f x f x x λλλλλλλλ+--<---+-， ∴()()()()()121211f x x f x f x λλλλ+-<+-.【点评】本题主要考查函数恒成立问题，解题的关键是对新函数定义的理解与应用，考查逻辑推理能力，属于难题.。
上海市高一数学上学期期末试卷及答案(共3套)
{} 5.已知sinα=（α在第二象限），则⎩0,x∈ðU AUA B (x)=f(x)+f(x)（4）fA B(x)=f(x)⋅f(x)B.f(x)=,g(x)=上海市金山中学高一上学期期末考试数学试卷一、填空题（本题共36分）1.已知集合A={-2,-1,0,1}，集合B=x x2-1≤0,x∈R，则A B=_______．2.已知扇形的圆心角为3π4，半径为4，则扇形的面积S=．3.函数f(x)=x+2x-1的定义域是___________.4.已知log x+log y=1，则x+y的最小值为_____________.221 3cos(π+α)2tan(π+α)=.6.已知f(x)=x1-x,g(x)=1-x,则f(x)⋅g(x)=.7.方程log(4x-5)=x+2的解x=.28.若函数y=1kx2+2kx+3的定义域为R，则实数k的取值范围是___________.219.若f(x)=x3-x-3，则满足f(x)>0的x的取值范围.10.若函数y=x-b在(a,a+6)(b<-2)上的值域为(2,+∞)，则a+b=. x+211.设a为正实数，y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)=x+ax+7，若f(x)≥1-a对一切x≥0成立，则a的取值范围为________.⎧1,x∈A12．定义全集U的子集A的特征函数为f(x)=⎨，这里ðA表示A在全集U中的补A U集，那么对于集合A、B⊆U，下列所有正确说法的序号是.（1）A⊆B⇒f(x)≤f(x)（2）f(x)=1-f(x)A BðA A（3）fA B A B二、选择题（本题共12分）13．设x取实数，则f(x)与g(x)表示同一个函数的是（）A.f(x)=x2,g(x)=x2(x)2x x(x)2C.f(x)=1,g(x)=(x-1)0D.f(x)=x2-9x+3,g(x)=x-3⎩b , (a < b )17．解不等式组 ⎨ x + 1 . > 2 ⎩ x - 219. 某工厂某种航空产品的年固定成本为 250 万元，每生产 x 件，需另投入成本为C ( x ) ，当年14. 已 知 α : x - 1 < 1 ， β : x ≥ a ， 若 α 是 β 的 充 分 非 必 要 条 件 ， 则实 数 a 的 取 值 范 围 是()A. a ≥ 0B. a ≤ 0C. a ≥ 2D. a ≤ 215 ． 若 函 数 f ( x ) = (k - 1)a x - a - x (a > 0, a ≠ 1) 在 R 上 既 是 奇 函 数 ， 又 是 减 函 数 ， 则g ( x ) = log ( x + k ) 的图像是（ ） aA.B. C. D.⎧a , (a ≥ b ) 216.定义一种新运算： a ⊗ b = ⎨ ，已知函数 f ( x ) = ⊗ 2 x ，若函数 g ( x ) = f ( x ) - k 恰有x 两个零点，则实数 k 的取值范围为 （ ）A.(0,1)B. C. [2,+∞) D. (2,+∞)三、解答题（本题共 8+8+10+12+14 分）⎧x 2 - x - 6 ≥ 0 ⎪⎪18. 已 知 不 等 式 x 2 - mx + 2 < 0(m ∈ R ） 的 解 集 为{x 1 < x < n , n ∈ R } ， 函 数f ( x ) = x 2 - ax + 2(a ∈ R ) .（1）求 m , n 的值；（2）若 y = f (x ) 在 (-∞,1] 上单调递减，解关于 x 的不等式 log (nx 2 + 3x + m - 2) < 0 .a．2 x - 1450 （万元）.每件商品售价为 50 万元.通过市场分析，该厂生产的商 （1）写出年利润 L ( x ) （万元）关于年产量 x （件）的函数解析式；．产 量 不 足 80 件 时 ， C ( x )= 1 3x + 1 0（ 万 元 ） . 当 年 产 量 不 小 于 80 件 时 ，C ( x ) = 51x + 10000x ．．品能全部售完.． （2）年产量为多少件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？20. 设幂函数 f ( x ) = (a - 1) x k (a ∈ R , k ∈ Q ) 的图像过点 ( 2,2) . (1)求 k , a 的值;(2) 若函数 h ( x ) = - f ( x ) + 2b f ( x ) + 1 - b 在 [0,2] 上的最大值为 3 ，求实数 b 的值．21. 已知函数 f (x ) = log x - 1 a x + 1（其中 a > 0 且 a ≠ 1 ）， g (x )是 f (x + 2)的反函数.（1）已知关于 x 的方程 logma (x + 1)(7 - x )= f (x )在 x ∈ [2,6 ]上有实数解，求实数 m 的取值范围；（2）当 0 < a < 1 时，讨论函数 f (x )的奇偶性和单调性；（3）当 0 < a < 1 ， x > 0 时，关于 x 的方程 g (x ) 2 + m g ( x ) + 2 m + 3 = 0 有三个不同的实数解，求 m 的取值范围.{ }-3 ，则满足f ( x ) > 0 的 x 的取值范围 . (0,1)11. 设 a 为正实数，y = f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数，当 x < 0 时， f ( x ) = x + + 7 ，若 f ( x ) ≥ 1 - a 对0, x ∈ ð A⎩ UA B ( x ) = f ( x ) + f ( x )（4） fA B ( x ) = f ( x ) ⋅ f ( x ), g ( x ) =x B. a ≤ 0参考答案一、填空题（本题共 36 分）1. 已知集合 A = {-2 , - 1 , 0 , 1} ，集合 B = x x 2 - 1 ≤ 0, x ∈ R ，则 AB = _ { 1,0,1}_．2.已知扇形的圆心角为 3π 4，半径为 4 ，则扇形的面积 S = 16π ．8. 若函数 y =1kx 2 + 2kx + 3的定义域为 R ，则实数 k 的取值范围是_____.[0,3)2 9.若 f ( x ) = x 3- x- 110. 若函数 y = x - b x + 2在 (a , a + 6)(b < -2) 上的值域为 (2, +∞) ，则 a + b = . - 10ax一切 x ≥ 0 成立，则 a 的取值范围为________ . a ≥ 4⎧1, x ∈ A12． 定义全集U 的子集 A 的特征函数为 f ( x ) = ⎨ ，这里 ð A 表示 A 在全集U 中的补集，那么A U U对于集合 A 、B ⊆ U ，下列所有正确说法的序号是 .（1）（2）（4） （1） A ⊆ B ⇒ f ( x ) ≤ f ( x ) （2） f ( x ) = 1 - f ( x )A Bð A A（3） f A B A B 二、选择题（本题共 12 分） 13．设 x 取实数，则 f (x ) 与 g (x ) 表示同一个函数的是（ B ）A. f ( x ) = x 2 2( x ) 2 xB. f ( x ) = , g ( x ) =x ( x ) 2C. f ( x ) = 1, g ( x ) = ( x - 1) 0D. f ( x ) =x 2 - 9 x + 3, g ( x ) = x - 3 14. 已 知 α : x - 1 < 1 ， β : x ≥ a ， 若 α 是 β 的 充 分 非 必 要 条 件 ， 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是( B ) A. a ≥ 0 C. a ≥ 2 D. a ≤ 2 15．若函数 f ( x ) = (k - 1)a x - a - x (a > 0, a ≠ 1) 在 R 上既是奇函数，又是减函数，则 g ( x ) = log ( x + k ) 的a图像是（ A ）⎧ > 2 ⎩ x - 2x < -1或x > - ⎧⎪2 x 2 + 3x + 1 > 0 ⎪⎪ 2 2 + 3x + 1) < 0 ，∴ ⎨ ⇒⎨ ⎪⎩2 x ⎪- ∴- < x < -1或 - < x < 0 ,即不等式的解集为 (- < x < -1) (- < x < 0) .19. 某工厂某种航空产品的年固定成本为 250 万元，每生产 x 件，需另投入成本为 C ( x ) ，当年产量不足 80 件时， C ( x ) = 1x 2+ 10 x （万元）.当年产量不小于 80 件时， C ( x ) = 51x +- 1450 （万元）.每3x 件商品售价为 50 万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完. （1）写出年利润 L ( x ) （万元）关于年产量 x （件）的函数解析式； ．A.B. C. D.16.定义一种新运算：a ⊗ b = ⎨a , (a ≥ b ) ⎩b , (a < b ) 2 ，已知函数 f ( x ) = ⊗ 2 x ，若函数 g ( x ) = f ( x ) - k 恰有两个零 x点，则实数 k 的取值范围为（ D ）A.(0,1)B. (1,2]C.[2,+∞)D. (2,+∞)三、解答题（本题共 8+8+10+12+14 分）⎧x 2 - x - 6 ≥ 0 ⎪17．解不等式组 ⎨ x + 1 .⎪解：解 x 2 - x - 6 ≥ 0 得： x ≤ -2 或 x ≥ 3 ；x + 1 解 > 2 得 2 < x < 5 ；即不等式组的解集为[3,5) 。
上海市高一上学期期末数学试题(解析版)
一、填空题（本大题满分36分，本大题共有12题）1. 函数__________．()f x =【答案】1[,)2+∞【解析】【详解】依题意，. 1210,2x x -≥≥2. 直角坐标平面上由第二象限所有点组成的集合用描述法可以表示为_____________． 【答案】 (){},0,0,R x y x y y ∈【解析】【分析】根据给定条件，利用集合的描述法写出第二象限的点集作答. 【详解】依题意，第二象限所有点组成的集合是. (){},0,0,R x y x y y ∈故答案为： (){},0,0,R x y x yy ∈3. 集合，，若，则_____________．{}2,3x A ={},B x y ={}3A B ⋂=A B ⋃=【答案】{}1,2,3【解析】【分析】根据交集运算得出.,x y 【详解】若，则，，所以，所以．{}3A B ⋂=33x =3y =1x ={}1,2,3A B = 故答案为：{}1,2,34. 已知幂函数的图像经过点，则_____________．()y f x =()4,2()3f =【解析】【分析】根据给定条件，求出幂函数的解析式，再求出函数值作答.()f x 【详解】依题意，设函数，且为常数，则有，解得，即()f x x α=R α∈(4)42f α==12α=12()f x x =，所以.(3)f =5. 已知方程的两个根为，则_____________．220x x +-=12,x x 221221x x x x +=【答案】2【解析】【分析】根据给定条件，利用韦达定理计算作答.【详解】显然方程有两个实根，它们为，则，220x x +-=12,x x 12121,2x x x x +=-=-所以． ()()2212211212212x x x x x x x x +=+=-⨯-=故答案为：26. 用反证法证明命题：“设x ，．若，则或”吋，假设的内容应该是R y ∈2x y +>1x >1y >_____________．【答案】且1x ≤1y ≤【解析】【分析】根据给定条件，写出已知命题结论的否定作答.【详解】命题若，则或”的结论是“或”，其否定为“且”， 2x y +>1x >1y >1x >1y >1x ≤1y ≤所以假设的内容应该是：且.1x ≤1y ≤故答案为：且1x ≤1y ≤7. 已知函数在区间上是严格减函数，则实数a 的取值范围是_____________．()224f x x ax =-+[]1,2【答案】[)2,+∞【解析】【分析】根据给定条件，利用二次函数的单调性求解作答.【详解】函数在上是严格减函数，依题意，， ()224f x x ax =-+(,]a -∞2a ≥所以实数a 的取值范围是.[)2,+∞故答案为：[)2,+∞8. 若关于x 的不等式的解集是R ，则实数k 的取值范围是______． ()2140x k x +-+>【答案】(3,5)-【解析】【分析】根据不等式的解集是R ，可得，解不等式可得答案. ()2140x k x +-+>2(1)440k ∆=--⨯<【详解】关于x 的不等式的解集是R ， ()2140x k x +-+>则方程的判别式 ,解得， ()2140x k x +-+=2(1)440k ∆=--⨯<35k -<<即实数k 的取值范围是，(3,5)-故答案为：(3,5)-9. 已知偶函数，，且当时，，则_____________．()y f x =x ∈R 0x ≥()3221x f x x =+-()2f -=【答案】19【解析】【分析】根据给定条件，利用偶函数的定义直接计算作答.【详解】R 上的偶函数，当时，， ()y f x =0x ≥()3221xf x x =+-所以. ()()3222222119f f -==⨯+-=故答案为：1910. 若则的最小值为_________.log 41,a b =-a b +【答案】1【解析】【详解】试题分析：由得， log 41,a b =-104a b =>所以（当且仅当即时，等号成立） 114a b b b +=+≥=14b b =12b =所以答案应填1.考点：1、对数的运算性质；2、基本不等式.11. 甲、乙两人解关于x 的不等式，甲写错了常数b ，得到的解集为，乙写错了常20x bx c ++<()3,2-数c ，得到的解集为．那么原不等式的解集为_____________．()3,4-【答案】()2,3-【解析】【分析】根据给定条件，求出常数，再解一元二次不等式作答.,b c 【详解】依题意，，，即，326c =-⨯=-341b -=-+=1b =-因此不等式为：，解得，20x bx c ++<260x x --<23x -<<所以原不等式的解集为． ()2,3-故答案为：()2,3-12. 已知函数的定义域为D ，对于D 中任意给定的实数x ，都有，，且()y f x =()0f x >x D -∈．则下列3个命题中是真命题的有_____________（填写所有的真命题序号）．()f x -⋅()1f x =①若，则；0D ∈()01f =②若当时，取得最大值5，则当时，取得最小值； 3x =()f x 3x =-()f x 15③若在区间上是严格增函数，则在区间上是严格减函数．()f x ()0,∞+()f x (),0∞-【答案】①②【解析】【分析】根据给定条件，逐一验证各个命题在条件被满足时，结论是否成立作答.【详解】对于①，，有，则，又，所以，①0D ∈0D -∈2[(0)](0)(0)1f f f =-⋅=(0)0f >()01f =正确；对于②，依题意，，，x D ∀∈0()(3)5f x f <≤=则，，即当时，取得最小值，②正确； x D -∈11(3)(3)()(3)()5(3)f f f x f f x f -⋅-=≥==-3x =-()f x 15对于③，，有，则，依题意，在上是严格减函数， (,0)x ∈-∞(0,)x -∈+∞1()()f x f x =-()f x -(,0)-∞因此在上是严格增函数，即函数在上是严格增函数，③错误， 1()f x -(,0)-∞()f x (,0)-∞所以3个命题中是真命题的有①②.故答案为：①②二、选择题（本大题满分12分，本大题共有4题）13. 已知a >0>b ，则下列不等式一定成立的是（ ） A. a 2<－ab B. |a |<|b |C. D. 11a b >1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C【解析】【分析】由特殊值法可以排除选项A,B,D ，由指数函数的单调性可知选项C 正确.【详解】法一：当a ＝1，b ＝－1时，满足a >0>b ，此时a 2＝－ab ，|a|＝|b|，，所以A ，B ，1122a b ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D 不一定成立．因为a >0>b ，所以b －a<0，ab <0，所以，所以一定成立，故选110b a a b ab --=>11a b >C. 法二：因为a >0>b ，所以，所以一定成立， 110a b >>11a b>故选：C.【点睛】对于不等式的判定，我们常取特殊值排除法和不等式的性质进行判断，另外对于指数式，对数式，等式子的大小比较，我们也常用函数的单调性．14. 函数的零点所在的区间可以是（ ） ()357f x x x =+-A.B. C. D.()0,1()1,2()2,3()3,4【答案】B【解析】 【分析】利用零点存在性定理，可得答案.【详解】，，，()070f =-<()115710f =+-=-<()28107110f =+-=>，，()327157350f =+-=>()464207770f =+-=>由，则函数的零点存在的区间可以是，()()120f f <()f x ()1,2故选：B.15. “”是“关于的不等式的解集为”的（ ）0a =x 21ax b ->∅A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据“关于的不等式的解集为”求得的范围，从而可判断两个条件之间的关系.x 21ax b ->∅a 【详解】解：关于的不等式的解集为，当时，不等式为，解集为，符合x 21ax b ->∅0a =21b ->∅题意；当时，不等式化为，则，不符合题意；当时，不等式化为0a >21ax b >+21b x a +>a<0，则，不符合题意；综上， 21ax b >+21b x a +<0a =所以“”是“关于的不等式的解集为”的充要条件.0a =x 21ax b ->∅故选：C .16. 设集合，，，{}21|10P x x ax =++>{}22|20P x x ax =++>{}21|0Q x x x b =++>其中，给出下列两个命题：命题：对任意的，是的子集；命{}22|20Q x x x b =++>,a b ∈R 1q a 1P 2P 题：对任意的，不是的子集．下列说法正确的是（ ）2q b 1Q 2Q A. 命题是真命题，命题是假命题1q 2q B. 命题是假命题，命题是真命题1q 2q C. 命题、都是真命题1q 2q D. 命题、都是假命题1q 2q 【答案】A【解析】【分析】根据不等式的特征，可判断命题，利用判别式，可得集合、的关系，从而判断命题.1q 1Q 2Q 2q 【详解】由于，即时，一定成立，故是的22211x ax x ax ++=+++210x ax ++>220x ax ++>1P 2P 子集，因此命题是真命题.1q 令，； 20x x b ++=114104b b ∆=-⨯⨯<⇒>令，.从而可知，当时，，此时，是的220x x b ++=44101b b ∆=-⨯⨯<⇒>1b >12Q Q R ==1Q 2Q 子集，故命题是假命题.2q 故选：A三、解答题（本大题满分52分，本大题共有4题）17. 解下列不等式：（1）； 212302x x -+-≤（2）. 5331x x +-≤【答案】（1）；（2）. ⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭[3,1)-【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式的解法，直接求解即可；（2）根据分式不等式的解法，等价于，再求解即可. 5331x x +-≤(26)(1)010x x x +-≤⎧⎨-≠⎩【详解】（1）由可得： ， 212302x x -+-≤20461x x ≤-+解得：， x x ≥故解集为： ⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭ （2）由化简为：， 5331x x +-≤531x x +--3≤0即，等价于， 261x x +-≤0(26)(1)010x x x +-≤⎧⎨-≠⎩解得，故解集为.31x -≤<[3,1)-18. 已知全集，集合，．U =R []2,10A =-{}2B x x m =-≤（1）若，求；10m =A B （2）若，求实数m 的取值范围；A B ⋂=∅（3）若“”是“”的必要非充分条件，求实数m 的取值范围．x A ∈x B ∈【答案】（1）；()()212,-∞-+∞ （2）；()()212,-∞-+∞ （3）.[]0,8【解析】【分析】（1）把代入，求出集合B ，再利用并集、补集的定义求解作答.10m =（2）化简集合B ，利用交集的结果列出不等式，求解作答.（3）利用必要不充分条件的意义，结合集合的包含关系求解作答.【小问1详解】当时，，则，10m ={}[]28,12B x x m =-≤=[]2,12A B =- 所以.()()212,A B =-∞-+∞ 【小问2详解】 ，{}[]22,2B x x m m m =-≤=-+因为，则或，解得或，A B ⋂=∅210m ->22m +<-12m >4m <-所以m 的取值范围为．()()212,-∞-+∞ 【小问3详解】因为“”是“”的必要不充分条件，则有，x A ∈x B ∈B A ⊂由（2）知，或，解得或，因此， 21022m m +≤⎧⎨-+>-⎩21022m m +<⎧⎨-+≥-⎩08m <≤08m ≤<08m ≤≤所以实数m 的取值范围是.[]0,819. 设常数，函数． 0a ≥()22x x a f x a+=-（1）若，判断函数在区间上的单调性，并说明理由；2a =()y f x =[)2,+∞（2）根据a 的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由．()y f x =【答案】（1）函数在区间上是严格减函数，理由见解析()y f x =[)2,+∞（2）具体见解析【解析】【分析】（1）由定义结合指数函数的单调性得出单调性；()y f x =（2）分类讨论的值，结合奇偶性的定义判断即可.a 【小问1详解】 当，， 2a =()241222x x x a f x a +==+--任取，有，所以 122x x ≤<1202222x x <-<-12442222x x >--所以， ()()12f x f x >所以函数在区间上是严格减函数()y f x =[)2,+∞【小问2详解】①当时，，定义域为，故函数是偶函数；0a =()()1R f x x =∈x ∈R ()y f x =②当时，，定义域为， 1a =()2121x x f x +=-()(),00,∞-+∞U ，故函数为奇函数； ()()21212121x x x x f x f x --++-==-=---()y f x =③当且时，定义域为关于原点不对称，0a >1a ≠()()22,log log ,a a -∞+∞ 故函数既不是奇函数，也不是偶函数，()y f x =所以当时，函数是偶函数，当时，函数是奇函数，当且时，0a =()y f x =1a =()y f x =0a >1a ≠函数是非奇非偶函数.()y f x =20. 某公司拟投资开发一种新能源产品，估计公司能获取不低于100万元且不高于1600万元的投资收益．该公司对科研课题组的奖励方案有如下3条要求：①奖金y （单位：万元）随投资收益x （单位：万元）的增加而增加；②奖金不低于10万元且不超过200万元；③奖金不超过投资收益的20%．（1）设奖励方案函数模型为，我们可以用数学语言表述公司对奖励方案的函数模型，比如方案()y f x =要求③“奖金不超过投资收益的20%”可以表述为：“恒成立”．请你用用数学语言表述另外两条()5x f x ≤奖励方案；（2）判断函数是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由； ()3030x f x =+（3）已知函数符合公司奖励方案函数模型要求．在该奖励方案函数模型前提下，科研()45g x =-课题组最多可以获取多少奖金？【答案】（1）答案见解析；（2）不符合；（3）195万元.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用函数单调性、值域的意义写出方案的前两个要求作答.（2）根据给定函数，逐一判断方案中的3个要求是否都满足作答.（3）根据给定的函数模型，求出a 的取值范围，再求出最多可以获取的奖金作答.【小问1详解】“奖金y （单位：万元）随投资收益x （单位：万元）的增加而增加”可以表述为：当时，[100,1600]x ∈是的增函数；()y f x =x “奖金不低于10万元且不超过200万元”表述为：函数值.[10,200]y ∈【小问2详解】函数在上是增函数，， ()3030x f x =+[100,1600]x ∈100250(100),(1600)33f f ==函数的值域， ()f x 100250[,][10,200]33⊆由得：，解得，因此对，不成立， ()5x f x ≤30305x x +≤180x ≥[100,180)x ∈()5x f x ≤即对，不等式不恒成立， [100,1600]x ∀∈()5x f x ≤所以函数不符合公司奖励方案函数模型的要求. ()3030x f x =+【小问3详解】因为函数符合公司奖励方案函数模型要求，则函数在上是增函数，()45g x =-()g x [100,1600]x ∈有，0a >，，解得， min ()(100)104510g x g a ==-≥max ()(1600)4045200g x g a ==-≤114928a ≤≤由，不等式恒成立，得， [100,1600]x ∀∈()5x g x ≤4555x a ≤⇔≤，即时取等号， [10,40]30≥==225x =于是，解得，从而， 530a ≤6a ≤1162a ≤≤因此当，时，，当且仅当且1162a ≤≤[100,1600]x ∈()4545195g x ≤-≤-=6a =时取等号，且，1600x =195200<所以在该奖励方案函数模型前提下，科研课题组最多可以获取195万元奖金.。
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高一上的综合练习复兴高级中学 朱良一、填空题1、已知 a 、 bR ，且a, b,1a 2 ,a b,0 ，则 ab ______________a2、已知集合 Ax x 2 4x 12 0 ， Bx 4 x 0 ，则 A B______________x 13 、 设 全 集 UR ， 已 知 集 合 Ay y 3x ( x1) ， Bx 1 x 2 ，A(e U B) ______________4f ( x)1 x 2x3 的定义域和值域都是 [1,a]，则 a 的取值为 ______________、函数225f ( x)2 2ax 2x[ 3,3]a_________在 上是单调函数，则实数的取值范围是 、函数6、函数 yxx 9 ，当 x [8,10] 时的最小值是 ______________17、已知 x0 ， y 0， x 2 y 2xy 8 ，则 x2y 的最小值是 ______________8 、已知函数f ( x)x21 x，则满足不等式f (1 x 2 )f (2 x) 的 x 取值范围是1x______________9、已知函数 f ( x)2x 5 3x 3 1 ，则不等式 f (x)f (x 3)2 的解集为 ______________、对于实数 x 、 y ，则“xy 8”是“x2或 y 6 ”的______________条件1011 、 对 于 函 数 f (x) ， g( x) ， 记 max f ( x), g( x) f ( x) f ( x) g ( x) ， 则 函 数g ( x) f (x) g ( x)F ( x) max x1 , x2 （ x R ）的最小值是 ______________12、设两个命题（1）不等式 (1) x 4 m 2x x 2 对一切实数 x 恒成立；3（2）函数f ( x )(7 2 ) x 是 R 上的减函数m如果这两个命题仅有一个是真命题，则实数 a 的取值范围是 ______________13、 f (x) 是定义在 R 上的函数（1）若存在 x 、 x R ， x x ，使 f (x ) f (x ) 成立，则函数 f ( x) 在 R 上单调递增；（2）若存在x1、x2R ， x1 x2，使 f ( x1 ) f ( x2 ) 成立，则函数 f (x) 在R上不可能单调递减；（3）若存在x20 ，对于任意 x1R 都有 f (x1) f ( x1 x2 ) 成立，则函数 f ( x) 在R上单调递增；（4）对任意x1、x2R ， x1 x2，都有 f ( x1 ) f ( x2 ) 成立，则函数 f (x) 在R上单调递减；（5）函数f (x)对任意实数x都有f (x) f ( x1)，那么 f ( x) 在实数集R上是增函数以上命题正确的序号是_______________14、若关于x的不等式x29 | x23x | kx 在 x[1,5] 上恒成立，则实数k 的取值范围是_______________A二、选择题E15、如图，已知正ABC 的边长为 1， E 、 F 、 G 分别是AB 、 BC 、 CA 上的点，且 AE BF CG ，设EFG 的面积为 y ，G AE 的长为x，则 y 关于x的函数的图象大致是（）B F C y y y y33334444O x O xOA B C16、已知y f ( x) 与 y g( x) 的图象如图所示，则函数 F ( x)y y （）y f ( x)O x O y y yO x O x Ox O xDf(x) g (x) 的图象可以是y g(x)xyx O x17、已知 x 0是函数 f (x) 2x1的一个零点，若 x 1(1, x 0 ) ， x 2 ( x 0 , ) ，1 x则（）（A ） f (x 1) 0 ， f (x 2 ) 0 （C ） f ( x 1 )0 ， f (x 2 ) 0（ B ） f ( x 1 ) 0 ， f ( x 2 ) 0 （ D ） f ( x 1 ) 0 ， f (x 2 ) 018、设函数 f ( x) 的定义域为 R ，有下列三个命题（1）若存在常数 M ，使得对任意 xR ，有 f ( x) M ，则 M 是函数 f ( x) 的最大值；（2）若存在 x 0 R ，使得对任意 xR 且 x x 0 ，有 f (x)f ( x 0 ) ，则 f ( x 0 ) 是函数 f (x)的最大值；（ 3）若存在 x 0 R ，使得对任意 xR ，有 f ( x)f (x 0 ) ，则 f ( x 0 ) 是函数 f ( x) 的最大值这些命题中，真命题的个数是（ ）23（A ） 0个 1（C ） 个（ D ） 个（ B ） 个三、解答题19、用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为 x 、 y （单位： m ）的矩形，上部是等腰直角三角形，若要求框架围成的总面积为 8（ m 2 ），则 x 、 y 分别为多少时用料最省？（精确到0.001 （ m ））yx20、已知函数 f ( x)2x12 x（1）设集合 Ax f (x)15， B x x 26x p0 ，若 A B，求实数 p 的4取值范围；（2）若 2t f (2t)mf (t) 0 对于 t [1,2] 恒成立，求实数 m 的取值范围21 f ( x)是定义在[ 1,1]上的奇函数，且f (1) 1，若 x 、y [ 1,1]，x y 0，、已知则 f (x) f ( x)0x y（1）用定义证明， f ( x)在[ 1,1]上是减函数；（2）解不等式：f (1) f (x1)；x12（3）若f ( x) t22at 1 对所有 x[ 1,1] ， a[ 1,1]均成立，求实数t 的取值范围22、设函数f ( x) x a， g( x)2x2x 2 a ，其中a 0 x（1）若x 1 是关于x的不等式 f ( x)g ( x) 的解，求 a 的取值范围；（2）求函数 f ( x) x a(0,2]上的最小值；在 xx（3）若对任意的x1，x2(0, 2]，不等式 f (x1) g (x2 ) 恒成立，求 a 的取值范围；（ 4）当a32 时，令h( x) f ( x)g( x) ，试研究函数 h(x) 在 x (0,) 上的单调性，并求 h( x) 在该区间上的最小值答案一、填空题1、 1；2、 [ 2,1)[4,6] ；3、 [2,3) ( ,1] ；4、 3；、 (, 3] [3,)；6 、 9；、 ；8、 ( 1,2 1) ；5749、 ( 3 ,) ；10、充分不必要；11、 3 ；12、 ( ,1][3,4] ；2213、（ 2）； 14、 (,6]二、选择题15、 C ；16、 A ；17、 B ； 18、 C三、解答题19、解： xy1 x2 8 得 y 8 x（ 0 x4 2 ）4 x4l2x 2 y2 x (32) x 168( 21)2x此时 x 8 4 2 2.343 ， y2 2 2.828 用料最省20、（ 1）解： A ( ,2] ，令g( x)x 2 6x p ，则由题意 g( x) 0 得 B ( x 1 , x 2 ) ，且 x 12即 g (2)0 ，得 p( ,8)（2） 2t (2 2t12t )m(2t1t )0对 t[1,2] 恒成立22即 (2 2t 1)(22t 1 m) 0 ，又 t [1,2] 时 22t 13则 22t 1 m 0 即 m(2 2 t 1) 恒成立则 m521、（ 1）略（2） 1 x111得 x [ 3, 1)2x 12（3） f ( x) min f (1)1t 2 2at 1 即 t 2 2at 0 对所有 a[ 1,1]均成立设 h( a)2at t 2a [ 1,1]则由题意得h(1) 0 得 th( 1)22、（ 1） x 1 代入得 a 1 ；2a0a4（2）f ( x)min a22a4（3）f ( x) min g( x)max g(2)8 a 得a4（4）h( x)2x23230x(0, )x用定义易证 h( x) 在 x (0,2]上单调递减，在x [2, ) 上单调递增则 h( x) min h(2)6。