201x-201X学年高中数学第二章数列2.1数列的概念与简单表示法第2课时数列的通项公式与递推公式

第2课时 数列的通项公式与递推公式

[课时作业]

[A 组 基础巩固]

1．数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧ 3n ＋1n 为奇数，2n －2n 为偶数，

则a 2a 3等于( ) A ．70 B ．28

C ．20

D ．8 答案：C

2．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( )

A.⎩⎨⎧ a 1＝1，

a n ＋1＝a n ＋n n ∈N *

B.⎩⎨⎧ a 1＝1，

a n ＝a n －1＋n n ≥2，n ∈N *

C.⎩⎨⎧ a 1＝1，

a n ＋1＝a n ＋n －1n ≥2，n ∈N *

D.⎩⎨⎧ a 1＝1，

a n ＝a n －1＋n －1n ∈N *

解析：将数值代入选项验证即可．

答案：B

3．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＝na n －1(n ≥2)，则a 5等于( )

A ．240

B ．120

C ．60

D ．30 解析：逐项代入可求．

答案：A

4．若数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n

3a n ＋1，则数列{a n }的第4项是(

) A.116 B.117

C.110

D.125

解析：∵a 1＝1，a n ＋1＝a n 3a n ＋1

， ∴a 2＝a 13a 1＋1＝13＋1＝14，a 3＝a 23a 2＋1＝14

34＋1＝17，

a 4＝a 33a 3＋1＝1

737＋1＝110，故选C. 答案：C

5．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n －1(n ∈N *)，则a 1 000＝( )

A ．1

B ．1 999

C ．1 000

D ．－1 解析：a 1＝1，a 2＝2×1－1＝1，a 3＝2×1－1＝1，a 4＝2×1－1＝1，…，可知a n ＝1(n ∈N *)，∴a 1 000＝1.

答案：A

6．数列{a n }中，a 1＝a 2＝1，a n ＋2＝a n ＋1＋a n ，则a 4＝________. 解析：由a n ＋2＝a n ＋1＋a n ，

∴a 3＝a 1＋a 2＝2，

a 4＝a 2＋a 3＝1＋2＝3.

答案：3

7．已知数列{a n }满足：a 4n －3＝1，a 4n －1＝0，a 2n ＝a n ，n ∈N *，则a 2 017＝________；a 2 014＝________. 解析： 依题意得a 2 017＝a 4×505－3＝1，a 2 014＝a 2×1 007＝a 1 007＝a 4×252－1＝0.故分别填1,0. 答案：1 0

8．数列{a n }的通项公式a n ＝(－1)n

·12n ＋1，则a 3＝________，a 10＝________，a 2n －1＝________. 解析：分别用3,10和2n －1去代换通项公式中的n ，得 a 3＝(－1)3·

12×3＋1＝－17， a 10＝(－1)10·12×10＋1＝121

， a 2n －1＝(－1)2n －1·122n －1＋1＝－14n －1

. 答案：－17 121 －14n －1

9．已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝3a n (n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式．

解析：由a n ＋1＝3a n 得a n ＋1a n

＝3. 因此可得a 2a 1＝3，a 3a 2＝3，a 4a 3＝3，…，a n a n －1

＝3(n ≥2)． 将上面的n －1个式子相乘可得

a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1

＝3n －1. 即a n a 1

＝3n －1， 所以a n ＝a 1·3n －1，

又a 1＝2，故a n ＝2·3n －1.

当n ＝1时，a 1＝2×30＝2也满足，故a n ＝2·3n －1.

10．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n a n ＋2

(n ∈N *)，试探究数列{a n }的通项公式． 解析：法一：将n ＝1,2,3,4依次代入递推公式得a 2＝23，a 3＝24，a 4＝25，又a 1＝22

， ∴可猜想a n ＝2n ＋1

. 应有a n ＋1＝

2n ＋2，将其代入递推关系式验证成立， ∴a n ＝2n ＋1

. 法二：∵a n ＋1＝2a n a n ＋2

， ∴a n ＋1a n ＝2a n －2a n ＋1.

两边同除以2a n ＋1a n ，得

1a n ＋1－1a n ＝12. ∴1a 2－1a 1＝12，1a 3－1a 2＝12，…，1a n －1a n －1＝12

. 把以上各式累加得1a n －1a 1＝n －12

. 又a 1＝1，∴a n ＝2n ＋1

. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1

(n ∈N *)．

[B组能力提升]

1．已知数列{a n}的前n项和S n＝n3，则a6＋a7＋a8＋a9等于( )

A ．729

B ．387

C ．604

D ．854 解析：a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 5＝93－53＝604，故选C. 答案：C

2．数列7,9,11，…中，2n －1是数列的第________项( )

A ．n －3

B ．n －2

C ．n －1

D ．n 解析：a n ＝2(n ＋3)－1，设2n －1是数列的第m 项，则2n －1＝2(m ＋3)－1，解得m ＝n －3. 答案：A

3．已知数列{a n }对任意的p ，q ∈N *满足a p ＋q ＝a p ＋a q ，且a 2＝－6，则a 10＝________. 解析：∵a p ＋q ＝a p ＋a q ，

∴a 4＝2a 2＝－12，

a 8＝2a 4＝－24，

a 10＝a 2＋a 8＝－30.

答案：－30

4．已知数列{a n }，a 1＝－1，a 2＝2，a n ＝a n －1＋a n －2(n ≥3)，则a 7＝________. 解析：分别求出a 3，a 4，a 5，a 6，即可求a 7.

答案：11

5．在数列{a n }中，已知a 1＝1，S n ＝n 2a n ，求该数列的通项公式． 解析：因为S n ＝n 2a n ，①

所以S n －1＝(n －1)2a n －1 (n ≥2)．②

①－②得a n ＝S n －S n －1＝n 2a n －(n －1)2a n －1，

可得(n 2－1)a n ＝(n －1)2a n －1，

即(n ＋1)a n ＝(n －1)a n －1，故a n a n －1＝n －1n ＋1

. 所以a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·……·

n －1n ＋1 ＝1×13×24×…n －1n ＋1

＝2n n ＋1

.