3.微分方程模型(缉私艇追击走私船问题)解析
7-缉私艇追走私船-仿真
显示船与艇行进路线程序
c=3; a=0.4/60; b=0.8/60; d=0.01;dt=2;t=0; jstx=c;jsty=0;zscx=0;zscy=0; while (sqrt((jstx-zscx)^2+(jsty-zscy)^2)>d) plot(jstx,jsty,'rO',zscx,zscy,'y*') pause(0.00001) hold on t=t+dt; jstx=jstx-b*dt*jstx/sqrt(jstx^2+(a*t-jsty)^2); jsty=jsty+b*dt*(a*t-jsty)/sqrt(jstx^2+(a*tjsty)^2); zscy=a*t; plot(jstx,jsty,'rO',zscx,zscy,'y*') end
2. 使用计算机仿真方法求解下述问题：在正方形的四个顶 使用计算机仿真方法求解下述问题： 点上各有一人，如下图所示，在某一时刻， 点上各有一人，如下图所示，在某一时刻，四人同时出发以匀 速按顺时针方向追赶下一个人,如果他们始终保持对准目标, 速按顺时针方向追赶下一个人,如果他们始终保持对准目标,试 确定每个人的行进路线。 确定每个人的行进路线。
o
c
x
MATLAB软件仿真法 软件仿真法 当建立动态系统的微分方程模型很困难时， 当建立动态系统的微分方程模型很困难时， 我们可以用计算机仿真法对系统进行分析研究。 我们可以用计算机仿真法对系统进行分析研究。 所谓计算机仿真就是利用计算机对实际动态系 统的结构和行为进行编程、模拟和计算， 统的结构和行为进行编程、模拟和计算，以此 来预测系统的行为效果。 来预测系统的行为效果。
数学实验期末作业(缉私艇问题)
问题：缉私艇问题续。
（1）在本问题的求解过程中，假定了走私艇的逃跑方向是正北方向，而初始缉私艇的位置在x 轴正向。
如果放宽这个假定，也就是当这个夹角是任意角度时，如何建立方程进行求解。
以下面数值为例进行求解：b=40,a=20,c=15,其中坐标系如课件上所述，走私船的方向为45°。
（2）如果有多个走私艇在一个位置上进行交易，而缉私艇向该方向追赶。
这些走私艇向不同方向四散逃走，问如何安排追赶路线？ （假定缉私艇追上一个立刻掉头追赶另外一个，中间没有时间停留）。
以下面数值为例进行求解：b=40,a1=20, a2=25, a3=30,c=15,三个角度分别为45°，90°和-60°。
（1）缉私艇速度为b ，走私船速度为a ，初始距离为c 。
设走私船的速度方向与缉私艇初始速度方向呈θ角，因为缉私艇速度方向始终指向走私船方向，故两者大致轨迹如图所示。
根据x 与y 的速度关系可列出以下微分方程：cos x dxv b dt α== sin y dy v b dt α==即：22(cos )(cos )(sin )dx b c at x dt c at x at y θθθ+-=+-+-22(sin )(cos )(sin )dy b at y dt c at x at y θθθ-=+-+-由dsolve 列方程无法得到x(t), y(t)的解析解，通过变换消去t 可得到以下微分函数关系：22[()sin cos ]1(sin cos )ay c x y y y b θθθθ''''-+=+-αθC(x,y)Q(c+atcos θ,atsinθ)R(c+ycot θ,y)yx走私船缉私艇再通过dsolve函数求解，仍无法得到y(x)的解析解。
因此只能用数值解法求其解。
给定初值：a=20，b=40，c=15，θ=45°。
使用MATLAB求解可得：轨迹图由图和数据初步判断大约在t=0.5到t=1之间缉私艇追上走私船。
缉私艇追击走私船问题论文
基于微分模型下的缉私问题摘 要为了研究缉私艇追击走私船问题，我们通过对缉私船以及走私船之间的运动轨迹关系进行讨论，通过结合两者之间的相互关系，建立相应微分方程模型。
首先，对问题一，我们建立缉私船与走私船之间的坐标系，得出缉私船及走私船之间的关系并得到其微分方程。
然后将得到的微分方程方程简化，得到微分模型的方程⎪⎩⎪⎨⎧='==⎪⎭⎫ ⎝⎛+=,0)(,0)(1222c y c y b ar dx dy r dx y d x ， 对bar =与1之间的关系进行讨论，得到： 当1<=b a r 时，方程的解析解为211111112rcr c x r c x r c y rr -+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+ 即当0=x 时, 缉私船能追上走私船，此时21r cr y -=，)()1(222a b bcr a cr a y t -=-== 当1≥=bar 时，缉私船不能追上走私船。
其次，对问题二，根据题设给出的条件c=3千米，a=0.4千米/秒，b=0.8千米/秒结合问题一建立的微分方程模型，通过matlab 软件绘制出缉私艇追赶走私船运动轨迹的图形。
然后我们利用计算机仿真算法，模拟缉私艇追击走私船的动态过程。
从而实现对缉私艇整个追击过程的完美拟合。
关键字：微分方程模型；matlab 仿真法；缉私艇追击过程AbstractTo study the anti-smuggling smuggling boat chase, we trajectory through the relationship between anti-smuggling boats and smuggling boat to discuss, through a combination of mutual relations between the two differential equations to model appropriate.First, a problem, we have established smuggling coordinate between the ship and the smuggling boat, draw anti-smuggling and smuggling boat relationship between ship and get their equations. The differential equation is then simplified to give the differential equation model⎪⎩⎪⎨⎧='==⎪⎭⎫ ⎝⎛+=,0)(,0)(1222c y c y b ar dx dy r dx y d x ， The relationship between a discussion, we get: At that 1<=bar time, the analytical solution for the equation 211111112rcr c x r c x r c y rr-+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+ That 0=x time, the anti-smuggling boats can catch smugglers, then21r cr y -=，)()1(222a b bc r a cr a y t -=-== At that 1≥=bar time, the anti-smuggling boats can not catch smugglers. Secondly, the question two, according to the title given conditions set c = 3 one thousand meters, a = 0.4 km / s, b = differential equation model 0.8 km / sec combined with a problem created by matlab software to map out anti-smuggling catch smugglers trajectory graphics. Then we use computer simulation algorithms, simulated anti-smuggling smuggling boat chase dynamic process. Anti-smuggling in order to achieve the perfect fit throughout the course of the pursuit.Keywords: differential equation model; matlab simulation method; anti-smuggling chase procedure一、问题重述1.1问题的提出缉私艇追击走私船问题:海上边防缉私艇发现距c公里处有一走私船正以匀速a沿直线行驶, 缉私艇立即以最大速度b追赶, 在雷达的引导下，缉私艇的方向始终指向走私船。
追击问题
追击问题本实验的目的是: 建立追击问题的微分方程模型，用Mathematica 模拟缉私艇追踪敌艇的实际过程。
问题：我缉私艇雷达发现，正东1 海里处一艘走私船正以常速向北方向 v 逃窜，缉私艇 v 2 立即以的速度追赶，借助于雷达，缉私艇航行的方向始终对准走私船。
试求缉私艇的航行曲线方程，并问走私船航行多远时被我缉私艇追上。
一、 建立微分方程模型：首先如图建立坐标系。
设缉私艇的航行曲线方程为)(x f y =，，又t v dx y x2102='+⎰，t 消去 ，得dx y y y x x⎰'+=+'-02121)1(。
两边对求导 x ，则实际问题化为求解微分方程：(1)(0)0,(0)0x y y y ⎧''-=⎪⎨⎪'==⎩缉私艇的航行曲线方程为32)x 1(31x 1y 23+-+--=（1x 0≤≤）。
当1x =时，2(1)3y =，故走私船航行32海里时被缉私艇追上。
或者用mathematica 软件来求解上述微分方程，输入命令：DSolve 1x y ''x 1y 'x^22,y'0y 00,y x ,xSolve::ifun :Inverse functions are being usby Solve,so some solutions may not be foy x 13221x 1x x y x13221x1x显然第一个解为所求的方程，为了求得当1x =时函数得值，可由以下命令得到：y x_:13221x 1x x 运行后也可的(1)3y =，即走私船航行3海里时被缉私艇追上。
二、仿真方法：即模仿真实事件的行为和过程。
在这个问题上，就是一步步地以时间间隔为t ∆来模拟缉私艇追踪敌艇的实际过程。
当0t =时，敌艇在0(1,0)M 处，缉私艇在000(0,0)P x y ==处，方向指向敌艇，即00θ=。
追击问题
1 缉私艇海上边防缉私艇发现距c 公里处有一走私船正以匀速2v 沿直线行驶,缉私艇立即以最大速度1v 追赶,在雷达的引导下，缉私艇的方向始终指向走私船。
问缉私艇何时追赶上走私船?并求出缉私艇追赶的路线。
解:模型假设：1.假设缉私艇在追击走私船雷达不会出现故障，以保障缉私艇始终指向走私船。
2.假设在任一时刻t ，缉私艇位置为()()()()t y t x t s ,=，则有b dt dy dt dx dt ds =⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=22 3.将缉私艇与走私船置于一直角坐标系中，假设走私船起始位置在坐标原点，并沿着纵轴正向匀速行驶，则任一时刻走私船的位置为()at ,0，缉私艇初始位置到走私船起始位置的方向与走私船的航向夹角为θ。
模型建立与求解：根据模型假设可得：()()()()()()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧-==-===⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=-===∙∙θθθθcos sin cos 0sin 00022b dt dy b dtdx c y c x b dt dy dt dx dt ds t x att y t x t y t t 也即：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=-==⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=-==θθθθtan 1cos )sin (sin 22c x dx dy c c y b dt dy dt dx dt ds x at y dx dy 对xat y dx dy -=两边关于x 同时求导： ()dxdt x a x dx dy x dx dt a dx dy xat y x dx dt a dx dy x at y x dx dt a dx dy dx y d -=--=---=--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2222即dx dt a dx y d x 122-= ................................................ 对b dt dy dt dx dt ds =⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=22 分析可得： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+==211dx dy dxds b ds dt 从而有211⎪⎭⎫ ⎝⎛+-==dx dy b dx ds ds dt dx dt ................................................ 综合以上可得一下微分方程模型：()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+==θθθθtan 1cos sin 1sin 222c x dx dy c c y dx dy b a dx y d x 为简化起见，在此假设 2πθ=，则上述模型可简化为： ()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==⎪⎭⎫ ⎝⎛+==001222c x dx dy c y dx dy b a dx y d x在matlab 下用dsolve 命令求解上述微分方程syms a b c x y ；()()()()'','0','0','2^1/2'x c Dy c y Dy sqrt b a y D x dsolve y ==+*=*=得解如下：y=1/2*x*b/(-b+a)/(x^(a/b))*c^(a/b)+1/2*x*b/(b+a)*x^(a/b)/(c^(a/b))-c*b*a/(-b^2+a^2)整理后有：22112a b abc x c a b b c x a b b c y b a b a -+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+模型分析：由所得模型可知，对于该问题可分为以下三种情况：222222bc 0,y 0x ,1a .3,y 0x ,1a .2,y 0,1a .1a b a b abc a b abc bbx b-⎪⎭⎫ ⎝⎛--→→<∞→→=∞→→>所用的时间为处追上走私船，，此时缉私艇在位置时，私艇的速度则当即走私船的速度小于缉若上走私船此时缉私艇也不可能追时，相同，则当即走私船与缉私艇速度若走私船此时缉私艇不可能追上时，私艇的速度，则当即走私船的速度大于缉若针对上述情况，作出缉私艇的追击路线：function [x y]=fun(a,b,c)x=c:-0.01*c:0;x1=b/(b+a).*(x./c).^(a/b+1);x2=b/(b-a).*(c./x).^(a/b-1);y=c/2.*(x1-x2)+a*b*c/(b^2-a^2);a1=12;b1=16;a2=20;b2=16;[x1 y1]=fun(a1,b1,c);[x2 y2]=fun(a2,b2,c);plot(x1,y1,'r',x2,y2,'b','LineWidth',2),axis([0 c 0 30]),xlabel('x'),ylabel('y'),title('追击模拟'),text(0,a1*b1*c/(b1^2-a1^2),'\leftarrow\fontsize{16}在此追上'), text(1,5,'\fontsize{16}a<b'),text(2,8,'\fontsize{16}a>b')效果如下：。
12-缉私艇追走私船模型实验解析
再解释：
称 y( xn1 ) y( xn ) 为函数y( x )在区间 [ xn , xn1 ]上的平均斜率。 h
则用函数y(x)在区间[xn,xn+1]上的平均斜率代替 了曲线在点xn的斜率。 得到启发：只要对曲线在区间[xn,xn+1]上的平均 斜率提供一种算法，就可以得到一种计算yn+1的公 式。如果设法在区间内多预测几个点的斜率值，然 后将这些点处斜率值的加权平均值作为曲线在区间 上的平均值，由此构造出由yn计算yn+1的精度更高 的计算公式，这就是龙格-库塔方法的基本思想。
缉私艇的位置到达点 D( xk , yk ) 追赶方向可用方向余弦表示为：
0 xk cos k (0 xk )2 (atk yk )2
atk yk sin k (0 xk )2 (atk yk )2
R(0, atk )
k
D( x k , y k )
时间步长
的主要部分，因此比它们具有更高的精度。
这是一个隐式公式，可采用迭代法求解。
通常先用欧拉公式提供一个yn附近的初始迭代值，然后再用梯形
公式做迭代。
2）欧拉两步法 用函数y(x)在xn处的中心差商代替微分方程中的 导数，
y ( x n 1 ) y ( x n 1 ) f ( xn , y( xn )) 2h
end szy_imeu plot(x,szy_imeu,'r-','linewidth',2) f=x.^3.*exp(x)+x.^3.*sin(x)+2*x.^2; hold on plot(t,f,'b*--')
11.3 辑私问题
r
1
dy dx
2
y(c)
0,
y(c)
0
模型求解 ：
1) 求解析解
（1）当r a 1， b
其中r a / b
缉私问题
y
c 2
1 1 r
x c
1r
1 1 r
x c
1r
cr 1 r 2
当x=0时，
微分方程 之缉私问题
缉私问题
一艘缉私舰雷达发现距c km处有一艘走私船正 以匀速 a km/min沿直线行驶。缉私舰立即以 最 大的速度 b km/min追赶，若用雷达进行跟
踪， 保持船的瞬时速度方向始终指向走私船，试求 缉私舰追逐路线和追上的时间。
缉私问题
模型建立
建立如右坐标系，缉私 船在(c,0)处发现走私 船在(0,0)处，走私船 逃跑方向为y轴方向。 在t时刻，走私船到达 R(0,at)，缉私舰到达 D(x,y)
缉私问题
根据题意有如下关系式
dy tg y at
Hale Waihona Puke dxx0化简得：d2y
dt
x a
ds
dx2
dx
又因
dt
b，s为弧长
dt dt ds 1 dx ds dx b
1
dy dx
2
（1） （2）
缉私问题
将（2）代入（1）得：
x
d2y dx 2
（2）当 r a 1 ，缉私艇不可能追赶上走私船 b
2）求数值解 假设a = 60公里/小时，b = 80公里/小时，c = 500公里 用MATLAB软件编程求数值解
上机实验(微分与差分方程)
实验一一、实验名称：微分方程数值解二、实验内容一天，缉私舰雷达（A）发现，距离10公里处的海面上有一艘走私船（B）正以匀速25公里/小时沿垂直于AB的直线行驶，缉私舰立即以最大速度（匀速40公里/小时）追赶。
若用雷达进行跟踪，保持船的瞬时速度方向始终指向走私船。
(1) 缉私舰的运动轨迹是怎样的？是否能够追上走私船？如果能追上，需要用多长时间？(2)若缉私舰在走私船2公里处，被走私船发现，走私船立刻加速逃窜（匀速30公里/小时）。
假设走私船沿任意方向逃离，此时是否能够追上走私船？如果能追上，最多需要用多长时间？走私船沿哪个方向逃离时被追上所花的时间最长？(3)如果走私船发现缉私舰后，在逃离的过程中，随时都可能改变方向，此时缉私舰是否能够追上走私船？如果能追上，最多需要用多长时间？三、实验目的熟悉matlab的符号运算环境，掌握微分方程建立、求解方法四、实验原理建立相应的微分方程，并用所掌握的求解方法进行求解与分析.六、实验结果及分析七、实验结论和注记实验二一、实验名称：动态系统模拟二、实验内容一小超级市场有4个付款柜，每个柜台为一位顾客计算货款数的时间与顾客所购商品件数成正比（大约每件费时2s），20%的顾客用支票或信用卡支付，这需要1.5min，其余的顾客付现金则仅需0.5min。
有人倡议设一个快速服务台专为购买8个或8个以下商品的顾客服务，指定另外两个为“现金支付柜”。
请你建立一个模拟模型，用于比较现有系统和倡议的系统的运转。
假设顾客到达平均间隔时间是15秒，顾客购买商品件数按如下频率表分布。
三、实验目的熟悉matlab的统计工具箱，掌握随机数的生成、固定时间增量法与面向事件法的动态模拟方法.四、实验原理把该问题抽象为多队列、多服务台的排队系统，应用动态模拟方法得到模拟数据，分析平均队列长度、平均等待时间等指标。
六、实验结果及分析七、实验结论和注记。
常微分方程模型及其数值解
Q(c,at)
P(x,y)
R(c,y )
0
y
x
c
例2 弱肉强食
问题 自然界中在同一环境下的两个种群之间存在着几种不同的生存方式，比如相互竞争，即争夺同样的食物资源，造成一个种群趋于灭绝，而另一个趋向环境资源容许的最大容量；或者相互依存，即彼此提供部分食物资源，二者和平共处，趋于一种平衡状态；再有一种关系可称之为弱肉强食，即某个种群甲靠丰富的自然资源生存，而另一种群乙靠捕食种群甲为生，种群甲称为食饵（Prey），种群乙为捕食者（Predator），二者组成食饵-捕食者系统。海洋中的食用鱼和软骨鱼（鲨鱼等）、美洲兔和山猫、落叶松和蚜虫等都是这种生存方式的典型。这样两个种群的数量是如何演变的呢？近百年来许多数学家和生态学家对这一系统进行了深入的研究，建立了一系列数学模型，本节介绍的是最初的、最简单的一个模型，它是意大利数学家Volterra在上个世纪20年代建立的。
0.00 0.40 0.80 1.20 1.60 2.00
0.00000 0.36085 0.51371 0.50961 0.45872 0.40419
0.00000 0.34483 0.48780 0.49180 0.44944 0.40000
0.00000 -0.01603 -0.02590 -0.01781 -0.00928 -0.00419
而
从而有: y(xn+1)-yn+1=O(h3)
2.4 Taylor展开方法
设y(x)是初值问题（4)的精确解, 利用Taylor展开式可得
称之为p阶Taylor展开方法. …… …… …… 因此，可建立节点处近似值yn满足的差分公式 其中
所以,此差分公式是p阶方法.
02
缉私船路线的微分方程模型(周东海、熊潘、文跃忠)
缉私船路线的微分方程模型队员：周东海 20087610熊潘 20087618文越忠 20087622摘要：对缉私船追上走私船的问题，为了便于分析，我们用数值法模拟，然后用MATLAB求解。
对模型1根据定义的参数2,m i l en 60,20,10πθ====d kn v kn a ，用MATLAB 解得运动轨迹见附录1，在（60，40）处缉私船追上走私船，所耗时间小时4,4010==t t 。
对模型2根据定义的参数4,mile n 50,30,15πθ====d kn v kn a ，用MATLAB解得运动轨迹见附录2，在（81.13，31.13）处缉私船追上走私船。
此时935.2,13.314sin 15==t t π，即在2.935小时后缉私船追上走私船对模型3根据定义的参数32,mile n 40,40,20πθ====d kn v kn a ，用MATLAB 解得运动轨迹见附录3，在（29.41，18.34）处缉私船追上走私船。
此时059.1,34.1832sin 20==t t π,即在1.059小时后缉私船追上走私船 对模型1进行稳定性分析，在2πθ=的条件时，由水平位移的时间等于垂直位移的时间，va v da y t /)(22-==将第3组数据代入，t=0.917，误差134.0059.1917.0059.1=-=∆，只相差几分钟，说明模型还是可信。
关键词：MATLAB 微分方程 数值模拟 数值稳定性一、问题的重述我缉私船雷达发现，距离d处有一走私船正以匀速a沿直线行驶，缉私船立即以最大速度（匀速v）追赶。
若用雷达进行跟踪，保持船的瞬时速度方向始终指向走私船，则缉私船的运动轨迹是怎样的？是否能够追上走私船？如果能够追上，需用多少时间？试用数值方法进行模拟。
【思考】当缉私船雷达发现d处有一走私船后雷达突然损坏，无法跟踪走私船逃窜的位置。
若假定走私船作匀速直线运动（但不知方向），且缉私船速度v大于走私船速度a，则缉私船应采用什么策略才能确保追上走私船？二、问题分析、假设与符号说明假设1 走私船正以匀速a沿直线行驶假设2 缉私船的速度方向始终指向走私船并立即以最大速度（匀速v）追赶假设3 不考虑风浪的影响涉及常量：a走私船的速度（kn）n ）d 走私船与缉私船之间的距离（milev缉私船的速度（kn）涉及变量：θ走私船与x轴的夹角以缉私船与走私船初始位置的连线为x轴，以走私船为坐标原点，垂直两船连线为y轴建立直角坐标系图1设缉私船航行的曲线方程为)(x f y =，在时刻t 时缉私船位于(,)P x y ，走私船位于Q ， Q 点坐标为()θθsin ,cos at at ，直线PQ 与缉私船的路线相切，缉私船的方向始终指向走私船可得到：)sin ()sin ()cos ()cos ()sin ()cos (2222y at y at x d at vdt dy x d at y at x d at v dt dx --+-+=-+-+-+=θθθθθθ（1）为了便于求解及分析，我们用数值法进行模拟。
微分方程模型缉私艇追击走私船问题
ans=1/2*exp(-r*(log(c)-log(x)))*c^r*(1/c)^r/(r+1)*x+ 1/2*exp(r*(log(c)-log(x)))/(-1+r)*x1/2*c*(-(1/c)^r*c^r+c^r*(1/c)^r*r+r+1)/(r^2-1)
微分方程模型实例2——缉私艇追击走私船问题
y(c) 0
微分方程模型实例2——缉私艇追击走私船问题
1)
r a 1 b
y
c 2
1 1 r
x c
1 r
1 1 r
x
1
r
c
cr 1 r2
dy
1
x r
c
r
dx 2 c x
y(c) 0
当 x = 0 时，
y cr 1 r2
，
t y cr bc a a(1 r 2 ) (b2 a 2 )
dx
又 ds b dt
s表示弧长
dt dt ds 1 1 ( dy )2 (2)
dx ds dx b
dx
结合(1)、(2)得到如下微分方程：
d2y
x
dx 2
r
1 ( dy )2 dx
y(c) 0, y'(c) 0
其中r a b
问题：是否存在解析解？
微分方程模型实例2——缉私艇追击走私船问题
matlab
若想看图中“o”点的坐标可执行下面的命令： [t,y]=ode23('zx',3,0.0005,0) plot(t,y)
此时缉私艇的位置坐标是（0.00050000000000，1.96013657712118）
MATLAB缉私艇追击走私船_数学建模汇总
p(c)
0
p 1 p2 x r c
p
1
p2
c
r
x
x
d
2y
r
dx2
1 dy 2 dx
y(c)
0,
y(c)
0
r a/b
dy
1
x
r
c
r
dx 2 c x
y(c) 0
1)r a 1, b
y
c 2
1 1 r
x
1 r
c
1 1 r
x c
1r
cr 1 r2
t=t+dt;
jstx=jstx-b*dt*jstx/sqrt(jstx^2+(a*t-jsty)^2);
jsty=jsty+b*dt*(a*t-jsty)/sqrt(jstx^2+(a*t-jsty)^2);
zscy=a*t;
penadupsleo(t0(j.2st)x,jsty,'ro',zscx,zscy,'b*')艇：（0历.0时00：04219，6秒1.9，7）
1
t=9，5，2.8125（分钟）
0.5
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
2) r a 1， b
y
c 2
1
1
r
x c
1 r
r
1 1
c r1
x
cr r2 1
dy
1
x
r
c
r
dx 2 c x
y(c) 0
当 x 0 时， y ，缉私艇不可能追赶上走私船。
微分方程应用题
1、美国原子能委员会以往处理浓缩的放射性废料的方法，一直是把它们装入密封的圆桶里，然后扔到水深为90多米的海底。
生态学家和科学家们表示担心，怕圆桶下沉到海底时与海底碰撞而发生破裂，从而造成核污染。
原子能委员会分辨说这是不可能的。
为此工程师们进行了碰撞实验，发现当圆桶下沉速度超过12.2m/s与海底相撞时，圆桶就可能发生碰裂。
这样为避免圆桶碰裂，需要计算一下圆桶沉到海底时速度是多少？这时已知圆桶重量为239.46kg，体积为0.2058m3，海水密度为1035.71 kg /m3。
如果圆桶速度小于12.2m/s，就说明这种方法是安全可靠的，否则就要禁止用这种方法来处理放射性废料。
假设水的阻力与速度大小成正比例，其正比例常数k=0.6。
（1）建立解决上述问题的微分方程数学模型。
（2）用数值和解析两种方法求解微分方程，并回答是否要禁止用这种方法来处理放射性废料。
m=圆筒的质量p=海水的密度k=比例常数v=体积数学模型：m2、一只小船度过宽为d的河流，目标是起点A正对着的B点，设河水流速1v，船在静止的水中的速度为2v。
求：（1）建立描述小船航线的微分方程模型。
（2）设d=100m, 1v=1m/s, 2v=2m/s，用数值方法求渡河所需时间，任意时刻小船位置及航行曲线，作图并与解析解比较；（3）若流速1v=0, 0.5, 1.5, 2（m/s），结果将如何？3、设想自然界有两个种群为了争夺有限的同一食物来源和生活空间时，从长远的眼光来审视，其最终结局是它们中的竞争力弱的一方首先被淘汰，然后另一方独占全部资源而以单种群模式发展；还是存在某种稳定的平衡状态，两个物种按照某种规模构成双方长期共存？试建立两种群相互竞争的数学模型，并讨论该模型是否有解析解？若无解析解，就用数值方法求解模型，通过改变各种参数进行讨论和结果解释。
4、海防某部缉私艇上的雷达发现正东方向15海里处有一艘走私船正以20 海里/小时的速度向正北方向行驶，缉私艇立即以40 海里/小时的速度前往拦截。
微分方程应用举例
即 dx 2x 6 ， dt 100t
通解为
x
e
2 100t
dt
[
6
e
2 100t
dt
dt
C
]
1 (100
t
)2
[2(100
t
)3
C
]
2(100
t
)
C (100
t
)2
.
把初始条件 x t0 50 代入通解，
得
50
2100
C 1002
，C 1002150
，
从而
x
2(100 t
)
1500000 (100 t )2
1 z2 z C1 ， 1 x
代入初始条件 y(0)0 ，得C11 ，
从而 1 z2 z 1 ，即 1 x
1 y2 y 1 ，
①
1 x
亦即 1 y2 y 1 x ，
②
①- ②得 y 1 1 1 x ，
2 1 x 2
3
再积分得 y
1
x
1(1 3
x)2
C2
，
代入初始条件
y(0)0
，得C2
2 3
，
x t30 26015103000200171( g) 。
即 30 min后 容器内含盐 171g。
3．我缉私艇雷达发现，正东 1 海里处一艘走私船正以常 速 v向北方向逃窜，缉私艇立即以 2v 的速度追赶，借助 于雷达，缉私艇航行的方向始终对准走私船。试求缉私艇 的航行曲线方程，并问走私船航行多远时被我缉私艇追上。
解：如图建立坐标系。设缉私艇的航行曲线方程为y f ( x) ，
在时刻 t 缉私艇位于 P( x, y), y
海上缉私模型论文数学建模MATLAB.
.海上缉私问题建模题目二组别：第五组组长：练佳翔组员：邵*组员：***海上缉私问题摘要针对海上缉私问题，要求出缉私船是否能追上走私船，或着是求缉私艇追上走私船的位置和时间，就需要知道走私船和缉私艇的位置坐标、大概的行驶路线、及二者的速度。
对于走私船和缉私艇的位置坐标，可以由二者的行驶路线 、速度、行驶时间之间的关系得到。
而走私船和缉私艇的位置坐标，可用三角函数、坐标关系、圆的位置关系求解。
当缉私船追上走私船时，走私船和缉私艇的位置坐标相同，即二者的横坐标相等，纵坐标相等。
在此期间，再加以MATLAB 软件进行求解。
关键字： 海上缉私 位置坐标 速度 MATLAB 软件问题重述分别对以下情况建立缉私船的位置和航线的数学模型，自己设定速度等参数，求数值解：(1) 走私船向正向非匀速直线行驶，其速度()a t 按正弦规律变化，如图1．已知缉私船以速度b 匀速追击， 1.5b d =（d 为常数），两船初始距离2c d =．图1(2) 两船速度大小都不变，走私船以速度a 沿着与正向成θ角的直线行驶，如图2．已知缉私船的速度 1.6b a =，两船初始距离c a =．取25θ=与65θ=，求数值解，并说明走私船按哪个角度逃跑较快？图2(3) 两船速度大小都不变，走私船以速度a 沿半径为r 的圆弧向P 点逃跑，现有两种方案，如图3．问两种方案是否都能到达P 点？已知圆弧半径r a =，缉私船的速度 1.4b a =，两船初始距离0.8c a =．方案1 方案2图3(4)两船速度都大小不变，走私船以速度a 先向正向直线行驶，一段时间（设尚未被缉私船追上）后改变方向，沿着与正向成θ角(90180)θ<≤的直线行驶，如图4．已知缉私船的速度 1.2b a =，两船初始距离 1.5c a =．取170θ=，求数值解．图4(4)(5) 开始两船速度大小都不变，走私船以速度a 向正向沿直线行驶，但当两船距离小于r 时，缉私船会发现被人追击，将沿正北方向以速度g 加速逃跑，如图5．已知0.5r a =， 1.5g a =，缉私船的速度 1.8b a =，两船初始距离3c a =，求数值解．图5(6) 实际在追击时，缉私船速度方向的改变并不连续，每隔时间t∆变换一次角度，在两次变换之间，缉私船按直线运动．若两船速度大小都不变，走私船以速度a向正向沿直线行驶，30b=（海里/小时），两船初始距离25c= a=（海里/小时），缉私船的速度50（海里），60t∆=（秒）．试画出缉私船的航线图，建立此时的追击模型，比较与之前模型有何不同，并求数值解．问题分析问题一：要确定缉私船追上走私船的位置及时间，就必须确定缉私船、走私船的坐标。
3.微分方程模型(缉私艇追击走私船问题)解析
c 2
1 1 r
x c
1r
r
1 ，1
c r1
x
cr r2 1
dy
1
x
r
c
r
dx 2 c x
y(c) 0
当 x 0 时， y 缉私艇不可能追赶上走私船。
3)
r 1 ，
y
1 2
x2 c2 2c
c ln
x c
当 x 0 时， y ， 缉私艇不可能追赶上走私船。
微分方程模型实例2——缉私艇追击走私船问题
六. 实验任务
1. 有一只猎狗在B点位置发现了一只兔子在正东北方距离它200米的地 方O处，此时兔子开始以8米/秒的速度向正西北方距离为120米的洞口A全 速跑去，假设猎狗在追赶兔子的时候始终朝着兔子的方向全速奔跑，用计 算机仿真法等多种方法完成下面的实验： (1) 问猎狗能追上兔子的最小速度是多少？ (2) 在猎狗能追上兔子的情况下，猎狗跑过的路程是多少？ (3) 画出猎狗追赶兔子奔跑的曲线图。 (4) 假设在追赶过程中，当猎狗与兔子之间的距离为30米时，兔子由于
t=t+dt; jstx=jstx-b*dt*jstx/sqrt(jstx^2+(a*t-jsty)^2); jstxb=[jstxb,jstx]; jsty=jsty+b*dt*(a*t-jsty)/sqrt(jstx^2+(a*t-jsty)^2); jstyb=[jstyb,jsty]; zscy=a*t; zscyb=[zscyb,zscy]; end zscxb=zeros(length(zscyb)); plot(jstxb,jstyb,zscxb,zscyb,'*')
5.3.2 缉私艇追击走私船问题
追捕走私船
公海地图：设直线L 为公海与领海的分界线，一巡逻艇在A 处发现了北偏东︒60海面B 处有一艘走私船，走私船正向停泊在公海上接应的走私海轮C 航行，以便上海轮后逃窜。
已知巡逻艇的速度是走私船航速的2倍，A 与公海相距约20海里，走私船可能向任意方向逃窜，设t AB 2=海里，0>t 。
请回答下列问题：(1)如果走私船和巡逻艇都是沿直线航行，那么走私船能被截获的点是哪些？(2)根据截获点的轨迹，探讨可截获区域和非截获区域。
(3)如果走私船在非即或区域就进入公海，那么巡逻艇追捕失败。
要保证领海内捕获，就应保证非截获区域与公海区域不相交(即交集为空集)。
此时，A 、B 相距最远是多少海里？解：以A 为原点，以正东方向为x 轴正方向，并以海里为单位，建立平面直角坐标系，设t AB 2=海里，()t t B ,3，0>t（1） 设巡逻艇与走私船相遇在点()y x P ,，则PB PA 2=，即()()222232t y t x y x -+-=+ 化简并整理得， 2223434334⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-t t y t x由此可知，巡逻艇截获走私船的点的轨迹是以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛t t C 34,334为圆心，以t 34为半径的圆。
由点C 坐标可见，A 、B 、C 共线，且AC AB 43=。
（2） 设点()y x Q ,在圆C 内部，则2223434334⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-t t y t x 可变形为()()222232t y t x y x -+->+，即QB QA 2> 故巡逻艇从A 到Q 所花时间比走私船从B 到Q 所花时间要多，也即巡逻艇不可能在圆C 内部截获走私船。
类似地，对于圆C 外部的点()y x R ,，必有RB RA 2<，故巡逻艇只要根据走私船逃窜的方向，设计好合理的方向，可在圆C 外截获走私船。
故截获区域为领海上圆C 外部，非截获区域为圆C 内部。
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问题：是否存在解析解？
微分方程模型实例2——缉私艇追击走私船问题
a 其中r b
四. 模型求解
(1) 求解析解
d 2 y dp dy p， 2 令： dx ， dx dx dx dp r 2 x 1 p p (c ) 0 r x 2 p 1 p c r c p 1 p 2 x
cr ， y cr bc t 2 2 2 1 r a a(1 r ) (b a 2 )
4 3.5 3 2.5
c=3千米，a=0.4千米/秒， 分别取b=0.6,0.8,1.2千米/秒时， 缉私艇追赶路线的图形。
追赶时间分别为： t=9，5，2.8125（分钟）
Matlab绘图
2 1.5 1 0.5 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
y
o
c
x
微分方程模型实例2——缉私艇追击走私船问题
三.模型的建立
假设：
(1) 建立坐标系； (2) 缉私船在(c,0)处发现走私船在 (0,0)处； (3) 走私船逃跑方向为y轴方向； (4) t时刻，走私船到达R(0,at) 缉私舰到达D(x,y)； (5) ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ私舰的运动轨迹为y=y(x)
y
R
D
微分方程模型实例2——缉私艇追击走私船问题
a 2) r 1 b 1 r r 1 c 1 x 1 c cr y 2 2 r 1 x 1 r c r 1 ，
当 x 0 时， y
dy 1 x r c r dx 2 c x y (c ) 0
0
微分方程模型实例2——缉私艇追击走私船问题
(c, 0)
x
三.模型的建立
dy y at 化简： x dx dx dy d 2 y dx dy x 2 a 对t求导： dt dx dx dt dt
dy y at tan( ) dx x
y
R (0, at)
微分方程模型实例2——缉私艇追击走私船问题
(3) 用MATLAB软件求数值解
c=3，a=0.4，b=0.8，r a / b 0.5 程序zx.m function y=zx(t,y) y=0.5*((t/3)^0.5-(3/t)^0.5)
dy 1 x r c r dx 2 c x y (c ) 0
微分方程模型实例2——缉私艇追击走私船问题
a 1) r 1 b 1 r 1 r c 1 x 1 x cr y 2 2 1 r c 1 r c 1 r
当 x = 0 时， y
dy 1 x r c r dx 2 c x y (c ) 0
5.3.2 缉私艇追击走私船问题
一. 建模目的 目的在于提高学生根据实际问题建立微分方程模型的能力，学会求微分 方程解析解与数值解的方法，并会做简单的计算机仿真。 二. 问题的提出 海上边防缉私艇发现距c公里处有一走私船正以匀速a沿直线行驶,缉私艇 立即以最大速度b追赶,在雷达的引导下，缉私艇的方向始终指向走私船。问 缉私艇何时追赶上走私船?并求出缉私艇追赶的路线。
dsolve('Dy=x+x*y','x') Ans=-1+exp(1/2*x^2)*C1 Matlab
dy 1 x r c r dx 2 c x y (c ) 0
dsolve('Dy=1/2*((x/c)^r-(c/x)^r)','y(c)=0','x') ans=1/2*exp(-r*(log(c)-log(x)))*c^r*(1/c)^r/(r+1)*x+ 1/2*exp(r*(log(c)-log(x)))/(-1+r)*x1/2*c*(-(1/c)^r*c^r+c^r*(1/c)^r*r+r+1)/(r^2-1)
缉私艇不可能追赶上走私船。
3)
1 x2 c2 x c ln r 1 ， y 2 2c c
当 x 0 时， y ， 缉私艇不可能追赶上走私船。
微分方程模型实例2——缉私艇追击走私船问题
(2) 用MATLAB软件求解析解
MATLAB软件5.3以上版本提供的解常微分方程解析解的指令是 dsolve，完整的调用格式是: dsolve('eqn1','eqn2', ...) 其中‘eqn1’,‘eqn2’, ...是输入宗量，包括三部分：微分方程、初始 条件、指定变量，若不指定变量，则默认小写字母t为独立变量。 微分方程的书写格式规定：当y是因变量时，用“Dny”表示y的n阶导数。 例 求微分方程 y x xy 的通解。
α y
D
化简：
d y dt x 2 a dx dx
2
（1）
0
x
x (c, 0) 微分方程模型实例2——缉私艇追击走私船问题
d2y dt x 2 a dx dx
ds 又 b dt
s表示弧长
dt dt ds 1 dy 2 1 ( ) dx ds dx b dx
(2)
结合(1)、(2)得到如下微分方程：
2 d2y dy x 2 r 1 dx dx y (c) 0, y (c) 0
r a/b
dy 1 x r c r dx 2 c x y (c ) 0