高数下曲面及其方程
大学课件高等数学下学期6-6曲面及其方程
3. 双曲面
x2 a2
y2 b2
z02 c2
1
单叶双曲面
特点是: 平方项有一个取负号,另两个取正号.
z z
O
x
yx
O
y
炼油厂、炼焦厂的冷却塔就是单叶双曲面 的形状.
上一页 下一页
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
或
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
双叶双曲面
z
特点是:平方项有一个取 正号,另两个取负号.
由椭圆
x2 a2
z2 c2
1
绕z轴旋转而成.
方程可写为
x2 y2 a2
z2 c2
1
旋转椭球面与椭球面的区别：
与平面 z z1 ( | z1 | c) 的交线为圆.
上一页 下一页
(2) a b c
x2 a2
y2 a2
z2 a2
1
球面
方程可写为 x2 y2 z2 a2
z
O
y
x
上一页 下一页
那么，方程F ( x, y, z) 0就叫做曲面S 的方程，而
曲面S 就叫做方程的图形．
上一页 下一页
以下给出几例常见的曲面.
例 1 建立球心在点M 0 ( x0 , y0 , z0 )、半径为 R 的球面方程.
解 设M( x, y, z)是球面上任一点，
根据题意有 | MM0 | R
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R 所求方程为 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
第六节 曲面及其方程
一、曲面方程的概念 二、旋转曲面 三、柱面 四、二次曲面 五、小结
上一页 下一页
一、曲面方程的概念
2021研究生考试-高等数学考点解读及习题特训
） U(Pc,,8) = {<x,y)IO < �（x-x0 问y-yo )2 ＜δ
(1）内点 (2）外点 (3）边界点 开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集．
二、多元函数的概念
二元函数：设D是 R2 的一个非空子集，称映射 f:D →R为定义在D上的二元函数，通
no
＋ 飞．，， z
在 xOy 面上的投影方程．
y 求 ｛匕 的 交 线 C
案 UA抽
zx＝ ． fl4111、
y 2 － 叮／缸
nu
－y叫／－
AU
在古I) 例4设一 个立体由上半球面 z＝ 乒三亨利恍而 z＝
所围成，求它在 xOy
而上的投i；在．
答案
zx rlll〈lll
2 －
E
VJ
、，．
＝ AU
【旋转曲面方程求法】
IF(x,y)=O
( 1)坐标面上的曲线｛ I z=v
绕x轴旋转的曲面方程为 F(x，土石可？°）＝0;
绕y轴的旋转曲面方程为 F（±乒亏豆，y)=O.
I F(x,y,z) = 0,
Ix= /(z),
l lY (2）空间曲线｛ G(x,y,z) = 0, 绕z轴旋转的曲面方程，先从方程组中解出｛
xα 面上的投影．
习题10.求旋转抛物面 z=r+y(O 三z 三4）在三坐标面上的投影．
习题参考答案
习题1【答案】 x+y-3z-4=0. 习题2【答案】 9y-z-2=0. 习题3【答案】一x-一-20－＝一y一-3 2一＝一z-一1 4－．
习题4【答案】 Sx- 9y- 22z -59 = 0.
lf(x,y)-AI < e
高等数学(下)教案曲面及其方程
高等数学(下)教案曲面及其方程教学目标：1. 理解曲面的概念，掌握曲面的基本性质。
2. 学习曲面的方程表示方法，掌握常见曲面的方程。
3. 能够利用曲面方程进行曲面的绘制和分析。
教学内容：一、曲面的概念与基本性质1. 曲面的定义2. 曲面的基本性质2.1 曲面的导数2.2 曲面的切线和法线2.3 曲面的曲率2.4 曲面的切平面和法平面二、曲面的方程表示方法1. 参数方程表示法2.1 参数方程的定义2.2 参数方程的求导和积分2. 普通方程表示法2.1 普通方程的定义2.2 普通方程的求导和积分3. 柱面和二次曲面的方程3.1 柱面的方程3.2 二次曲面的方程三、常见曲面的方程1. 圆锥面的方程2. 椭圆面的方程3. 双曲面的方程4. 抛物面的方程5. 直纹面的方程四、曲面的绘制和分析1. 利用参数方程绘制曲面2. 利用普通方程绘制曲面3. 曲面的切线和法线分析4. 曲面的曲率分析5. 曲面的切平面和法平面分析教学方法：1. 采用多媒体教学，通过图形和动画展示曲面的形状和性质。
2. 通过例题讲解和练习，使学生掌握曲面方程的求解和分析方法。
3. 引导学生运用曲面方程解决实际问题，提高学生的应用能力。
教学评价：1. 课堂讲解和练习的参与度。
2. 学生对曲面方程的掌握程度。
3. 学生能够运用曲面方程进行曲面的绘制和分析。
教学资源：1. 教学PPT和动画演示。
2. 曲面方程的相关教材和参考书。
3. 计算机软件进行曲面的绘制和分析。
六、曲面的切平面和法线1. 切平面的定义与性质6.1 切平面的定义6.2 切平面的性质2. 法线的定义与性质6.3 法线的定义6.4 法线的性质3. 切平面和法线的求法6.5 切平面和法线的求法七、曲面的曲率1. 曲率的定义与性质7.1 曲率的定义7.2 曲率的性质2. 曲率的计算7.3 曲率的计算方法3. 曲面的弯曲程度分析7.4 曲面的弯曲程度分析八、曲面的绘制与分析实例1. 实例一：圆锥面的绘制与分析8.1 圆锥面的参数方程8.2 圆锥面的普通方程8.3 圆锥面的切平面和法线分析2. 实例二：椭圆面的绘制与分析8.4 椭圆面的参数方程8.5 椭圆面的普通方程8.6 椭圆面的切平面和法线分析3. 实例三：双曲面的绘制与分析8.7 双曲面的参数方程8.8 双曲面的普通方程8.9 双曲面的切平面和法线分析九、曲面在实际问题中的应用1. 曲面在工程中的应用9.1 曲面在机械设计中的应用9.2 曲面在建筑设计中的应用2. 曲面在自然科学中的应用9.3 曲面在光学中的应用9.4 曲面在声学中的应用十、复习与练习1. 复习本章内容10.1 复习曲面的概念与基本性质10.2 复习曲面的方程表示方法10.3 复习常见曲面的方程2. 课堂练习10.4 完成课堂练习题3. 课后作业10.5 布置课后作业教学方法：1. 采用案例教学法，通过具体实例讲解曲面的绘制与分析方法。
高等数学(下)教案曲面及其方程
高等数学(下)教案曲面及其方程教案内容：一、教学目标1. 让学生理解曲面的概念，掌握曲面的表示方法。
2. 让学生了解曲面的性质，如曲率、切线和法线等。
3. 让学生学会求解曲面的方程，并能运用曲面方程解决实际问题。
二、教学内容1. 曲面的概念及其表示方法曲面的定义曲面的表示方法：参数方程、直角坐标方程、柱面方程等。
2. 曲面的性质曲率：定义、计算方法及应用切线和法线：定义、计算方法及应用曲面的形状和分类：平面、柱面、锥面、二次曲面等。
3. 曲面的方程求解曲面的参数方程求解曲面的直角坐标方程求解曲面的柱面方程求解三、教学方法1. 采用多媒体教学，通过图形、动画等方式展示曲面的形象，帮助学生直观理解曲面的概念和性质。
2. 结合实例讲解曲面的方程求解方法，引导学生通过实践掌握曲面方程的求解技巧。
3. 开展课堂讨论，鼓励学生提出问题，共同探讨曲面的性质和应用。
四、教学安排1. 课时：2学时2. 教学方式：课堂讲解、实践练习、课堂讨论3. 教学过程：曲面的概念及其表示方法（0.5学时）曲面的性质（0.5学时）曲面的方程求解（0.5学时）课堂讨论（0.5学时）五、教学评价1. 课堂练习：要求学生在课堂上完成曲面方程的求解练习，检验学生对曲面方程的掌握程度。
2. 课后作业：布置有关曲面方程求解的课后作业，巩固学生对曲面方程的知识。
3. 课程考试：设置有关曲面方程的考试题目，全面评估学生对曲面及其方程的掌握情况。
六、教学内容1. 曲面的切平面与法线切平面的概念及其求法法线的概念及其求法切平面和法线在几何图形中的应用2. 曲面的图形描绘利用参数方程描绘曲面的图形利用直角坐标方程描绘曲面的图形利用柱面方程描绘曲面的图形七、教学方法1. 采用案例分析法，通过具体实例讲解曲面的切平面和法线的求法。
2. 利用计算机软件，演示曲面的图形描绘过程，帮助学生直观理解曲面的图形。
3. 鼓励学生参与讨论，分享曲面图形的描绘技巧，提高学生的动手能力和解决问题的能力。
高数曲面总结
高数曲面总结
高数曲面是高等数学中的一个重要知识点，在多元微积分中有广
泛应用。
曲面的概念涵盖了三维空间中的各种几何形体，包括球面、
圆柱面、圆锥面、双曲面等等。
以下是对于常见的曲面进行的总结：
1. 球面：球面是由一个半径为r的球体上所有与球心距离相等
的点构成的曲面。
它的方程是：(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2。
2. 圆柱面：圆柱面是由平面上一条曲线绕某条直线旋转一周形
成的曲面。
它的方程是：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2。
3. 圆锥面：圆锥面是由平面上一条曲线绕某条直线在一个点处
旋转形成的曲面。
它的方程是：(x-a)^2+(y-b)^2=(z-c)^2tan^2α，
其中α是锥面的半锥角。
4. 双曲面：双曲面是由平面上一对相交曲线绕某条轴对称而成
的曲面。
它的方程是：(x-a)^2/a^2+(y-b)^2/b^2-(z-c)^2/c^2=1。
以上只是几个常见的曲面，实际上曲面的类型非常多，每一种曲
面都有其独特的性质和方程。
在实际应用中，我们可以通过计算曲面
的相关参数来求解相关问题。
需要提醒的是，在进行曲面相关计算时，需要注意计算精度和符号问题，尤其是在涉及到曲面的求导和积分时，应谨慎处理。
高等数学第七章：曲面及其方程
4/21
旋转过程中的特征：
如图 设 M (x, y, z),
(1) z z1
（2）点M 到z 轴的距离
z
d M1(0, y1, z1)
M f ( y,z) 0
o
y
d x2 y2 | y1 | x
将 z z1 6; 7 ;
（1）双曲线
x2 a2
z2 c2
1分别绕 x轴和z轴；
绕x 轴旋转
x2 a2
y2 c2
z2
1
旋 转
双
绕z 轴旋转
x2 a2
y2
z2 c2
1
曲 面
x
y z
y2
（2）椭圆
a
2
z2 c2
1绕 y 轴和z轴；
x 0
绕 y 轴旋转
y2 a2
x2 c2
z2
1
0
2
叫圆锥面的
半顶角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z 轴，
半顶角为 的圆锥面方程． z
解 yoz面上直线方程为 z y cot
圆锥面方程
z x2 y2 cot x
M1(0, y1, z1 )
o
y
M( x, y, z)
例6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周， 求生成的旋转曲面的方程．
4/21
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
4/21
高等数学 第八章 第五节 曲面及其方程
(2) 用坐标面 xoz ( y = 0) 与曲面相截
截得中心在原点的双曲线。
x2 a2
−
z2 c2
=1
y = 0
实轴与 x 轴相合， 虚轴与 y 轴相合。
第八章 第五节
33
与平面 y = y1 ( y1 b) 的交线为双曲线。
x2
a
2
−
z2 c2
= 1−
y12 b2
双曲线的中心都在 y 轴上。
第八章 第五节
26
与平面 z = z1 (z1 0) 的交线为椭圆。
x2
2
pz1
+
y2 2qz1
=
1
z = z1
当 z1变动时，这种椭
圆的中心都在 z 轴上。
与平面 z = z1 (z1 0) 不相交。
② 用坐标面 xoz ( y = 0) 与曲面相截
截得抛物线
x2 = 2 pz
y = 0
f ( x2 + y2 , z) = 0
同理：绕 y 轴旋转的旋转曲面方程
f (y , x2 + z2 ) = 0
问：曲线 C: f ( x , y) = 0 xoy 绕 x 轴旋转生成 的旋转曲面为？绕 y 轴旋转生成的旋转曲面为一条与 L 相交的直线旋转所得旋转
x
H(z , x) = 0 表示母线平行于 y 轴;
z
准线为 xoz 面上的曲线 l3的柱面。 l3
x
y
第八章 第五节
18
例
y2 b2
+
z2 c2
=
1
椭圆柱面 // 轴
x
x2 a2
−
y2 b2
=
大学高数空间解析几何2.
曲西方程；F （xj,z ）=O空同解祈/L 何一・曲面方程的概念定义：如果曲面s 与三元方程F (x,j,z) = O 满足:(1)曲面s 上任一点的坐标都满足方程F (xj^z) =O(2)不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程.二、平面及其方程例1设有点A (1,2,3)与B (2,-1,4),求与线段AB垂直平分的平面方程・所求平面就是与A和B等距离的动点的轨迹设平面上任一点为A/(x,j,z)AM\ = \MnI (X・ 1)2 + (y ・ 2)2 + (z - 3)2 = V(x-2y+6 + iy +(z-4)2化简得2x-6j + 2z-7 = 0 —所求平面方程Ax + By+ Cz + D = O平面的一般方程■特殊半廁XOYlfri z = 0YOZ 而x =()zox 而y=o适合下列条件的平面方程Ax + B\+Cz^D = 0仃什么特征？I.过原点0 = 02•平行于他标轴 3 •包含坐标轴平行于X4 = 0包含X4 = 0Q = 0v/? = o>^B = 0 D = 02C = 0zC = 0Q = ()4•平行于坐标平面平行于XOY面4=0 B=Q zox®4=0C=0YOZifii B = 0 C = 04例2作Z-2的图形.三、球面及其方程例3建立球心在点Mo (myo, z…)半径为R的球而的方程.设是球面上的任一点\M A M = RJ (X-Xo) 2 + Cv-几)'+ (z・zj 承(尤-X J+ (y - y 0 y+ (z - z J=j 11+ZH OXZ ——HA THP GWOZZ XHXZ(o n )吕舍sHJ+X•I \7 卜 乙——K \—/ 丟逗迂膜低丫OHd +Xz IJ+ wZ = JQ■宀b上半部例5求与原点O及M❶（2,3,4）的距离之比为1:2 点的全体所组成的曲面方程•解设M （兀jsz）是曲面上任一点根据题意有-=1恨俯惣恵月IMMJ 2J(X・2), + (y - 3)2 +(Z - 4), 2所求方程为卜+I卜0+1）并+寻」四•旋转曲面定义以一条平曲线纟翹平面上的一条直线旋黔一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴.旋转面的方程曲线C卩（”Z）=0lx = 0曲线C〔八”乙）二。
§7.3曲面及其方程高数
d
M1(0, y1, z1)
坐标平面上的曲线绕某轴旋转, 轴坐标变量不变, 而将曲线方程中的另一变量改写成该变量与第三个变 量的平方和的正负平方根. 例5: 直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周, 所 得旋转曲面叫圆锥面. 两直线的交点叫圆锥面的顶点, 两直线的夹角 ( 0< < /2 )叫圆锥面的半顶角. 试建 立顶点在坐标原点, 旋转轴为 z 轴, 半顶角为 的圆锥 面方程. z 解: 由题意, 可设yoz坐标面上的 直线方程为: z = y cot M1 (0, y1 , z1 ) 则圆锥面方程为: M ( x, y, z ) o y z x 2 y 2 cot x 设cot =a, 则圆锥面的一般方程为:
a
x
o
b y
椭球面与相应平面的截痕均为椭圆. 随着|n|, |m|, |h|的增大, 截痕椭圆收缩, 当|n|=a, |m|=b, |h|=c时, 截痕 椭圆收缩为相应坐标轴上的点.
椭球面的几种特殊情况: 旋转椭球面:当a, b, c中有两个相等时. 如a=b时,
x2 y2 z2 1 a2 a2 c2 x2 z2 是由xoz面上的椭圆 2 2 1 绕z轴旋转而成. a c
旋转椭球面与椭球面的区别: 与平面 z=h ( |h|<c ) 的交线为圆: a2 2 2 x y 2 2 ( c h2 ) . c z h x2 y2 z2 球面: 当 a=b=c 时, 2 2 2 1. a a a x2 y2 z2 3. 单叶双曲面 2 2 2 1. a b c 先用截痕法研究单叶双曲面的形状: 平面z=h与单叶双曲面的截痕: h2 x2 y2 2 2 1 2 b c , a z h
高数曲面及其方程
绕x轴：x a
2 2
y2 z2 c2
1
(旋转双叶双曲面)
绕z轴：x
2
a2
y
2
z2 c2
1
(旋转单叶双曲面)
b. 柱面
在Oxyz中，方程x2＋y2 R2表示什么？
该方程表示： 以平行于z轴的直线为母线， 以xoy面上的圆周x2 y2 R2为准线的圆柱面.
Def 平行于定直线并绕定曲线C移动的动直 线L形成的轨迹叫做柱面； 称L为柱面的母线； 称C为柱面的准线。
即：
(x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2 (*)
(*)即是球面上点的坐标所满足的方程。 而不在球面上的点的坐标都不满足方程(*). 故，(*)即为所求.
1. 曲面方程的概念
Def 若曲面S与三元方程
F(x, y, z) 0
(*)
满足下列关系：
(1) S上任一点的坐标满足方程(*);
1.截痕法 截痕：平面与曲面F(x,y,z)=0的交线；
截痕法：通过综合截痕的变化去研究曲面的形状。
2.伸缩变形法
（一）椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
椭球面与
三个坐标面 的交线：
x2
a2
y2 b2
1,
z 0
z
x2 a2
z2 c2
1 ,
y
0
2.两个基本问题：
(1)已知曲面是动点的轨迹，求曲面方程；
(2)已知一个三元方程，研究该方程所表示曲面的 形状。
高数下曲面及其方程
方程 F ( x, y ) 0 表示 柱面, 母线 平行于 z 轴;
准线 xoy 面上的曲线 l1.
x
zl 2
y
方程 G ( y, z ) 0 表示柱面,
母线 平行于 x 轴; 准线 yoz 面上的曲线 l2.
x
z
l3
方程 H ( z, x) 0 表示柱面,
母线 平行于 y 轴;
准线 xoz 面上的曲线 l3.
x
机动 目录 上页 下页 返回
y
结束
四、柱面
引例. 分析方程
z
M
表示怎样的曲面 .
解:在 xoy 面上，
表示圆C, C o M1 在圆C上任取一点 M 1 ( x, y,0) , 过此点作 x 平行 z 轴的直线 l , 对任意 z , 点 M ( x, y, z ) 的坐标也满足方程 x 2 y 2 R 2
z
C
M ( x, y, z )
M 1 (0, y1 , z1 )
f ( y1 , z1 ) 0
当绕 z 轴旋转时, 该点转到 M ( x, y, z ) , 则有
z z1 ,
x y y1
2 2
o
y
故旋转曲面方程为
x
f ( x 2 y 2 , z) 0
机动 目录 上页 下页 返回 结束
x2 y2 z2 2 2 1. 2 a a c
曲面称为旋转椭球面，其方程为
再把旋转椭球面沿着y轴方向伸缩b/a倍，便得到椭球面。
机动 目录 上页 下页 返回 结束
3. 双曲面 (1)单叶双曲面 x2 y2 z 2 2 2 1 ( a, b, c 为正数 ) 2 a b c 2 2
高等数学(下)教案曲面及其方程
高等数学(下)教案曲面及其方程一、教学目标1. 理解曲面的概念，掌握曲面的表示方法。
2. 学习曲面的方程，了解曲面的性质和分类。
3. 能够运用曲面的知识解决实际问题。
二、教学内容1. 曲面的概念及表示方法曲面的定义曲面的表示方法：参数方程、普通方程、参数曲线2. 曲面的方程曲面的方程的定义曲面的方程的求法曲面的方程的性质3. 曲面的性质和分类曲面的基本性质：连续性、differentiability、smoothness 曲面的分类：凸面、凹面、平面、空间曲线4. 曲面的切线和法线曲面的切线的定义和性质曲面的法线的定义和性质5. 曲面的实例分析球面平面圆柱面圆锥面三、教学方法1. 讲授法：讲解曲面的概念、性质和分类，讲解曲面的方程的求法。
2. 案例分析法：分析具体的曲面实例，引导学生理解曲面的性质和方程。
3. 互动教学法：引导学生参与课堂讨论，提问和解答问题。
四、教学准备1. 教案和教学PPT2. 相关数学软件和模型五、教学评价1. 课堂参与度：学生参与课堂讨论、提问和解答问题的积极性。
2. 作业完成情况：学生完成作业的情况和答案的正确性。
3. 期末考试：期末考试中关于曲面及其方程的题目得分情况。
六、教学重点与难点1. 教学重点：曲面的概念及表示方法曲面的方程的求法和性质曲面的性质和分类曲面的切线和法线的性质2. 教学难点：曲面的方程的求法曲面的切线和法线的求法1. 课时安排：本章共安排8课时。
2. 课时分配：曲面的概念及表示方法（2课时）曲面的方程（2课时）曲面的性质和分类（2课时）曲面的切线和法线（1课时）曲面的实例分析（1课时）八、教学步骤1. 引入曲面的概念，引导学生思考曲面在现实生活中的应用。
2. 讲解曲面的表示方法，包括参数方程、普通方程和参数曲线。
3. 引导学生学习曲面的方程的求法，通过实例讲解。
4. 讲解曲面的性质和分类，引导学生理解曲面的不同特征。
5. 讲解曲面的切线和法线的性质，引导学生掌握切线和法线的求法。
大学高数第七章7-5曲面方程
x z （1）双曲线 2 2 1分别绕 x 轴和 z 轴； a c
x2 y2 z2 绕 x 轴旋转 2 1 2 a c x y z 2 1 绕 z 轴旋转 2 a c
2 2 2
2
2
旋 转 双 曲 面
( hyperboloid )
下页
上页
返回
-1 -0.5 0
1
0.5 1
0
M (0, y , z ) f ( y, z ) 0 M
d
1 1 1
y
d
x y | y1 |
2 2 2
x
2
将 z z1 , y1 x y 代入
f ( y1 , z1 ) 0
上页 下页 返回
z z1 , y1 x 2 y 2 代入 f ( y1 , z1 ) 0 将
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面。 这条定曲线C叫 柱面的准线 (directrix) ,动直 线L叫柱面的母 线(generatrix).
观察柱面的形 成过程:
播 放
上页
下页
返回
柱面举例
z
z
y 2x
2
平面
o
y
o
y
x
x
y x
抛物柱面
( Cylinder of the second order parabolic )
实轴与 x 轴相合， 虚轴与 z 轴相合.
上页 下页 返回
与平面 y y1 ( y1 b) 的交线为双曲线.
2 x2 z2 y1 2 2 1 2 b 双曲线的中心都在 y 轴上. a c y y 1
高等数学：曲面及其方程
⾼等数学：曲⾯及其⽅程§6．5曲⾯及其⽅程⼀、曲⾯⽅程的概念⼆、旋转曲⾯三、柱⾯曲⾯的⽅程、研究曲⾯的两个基本问题旋转曲⾯、旋转曲⾯的⽅程锥⾯的⽅程球⾯的⽅程柱⾯、柱⾯的准线和母线柱⾯⽅程的特征四、常见的⼆次曲⾯⼀、曲⾯⽅程的概念在空间解析⼏何中，任何曲⾯都可以看作点的⼏何轨迹．与三元⽅程F(x，y，z)?0F(x，y，z)?0有下述关系：(1)曲⾯S上任⼀点的坐标都满⾜⽅程F(x，y，z)?0；OxyzS在这样的意义下，如果曲⾯SM(x，y，z)(2)不在曲⾯S上的点的坐标都不满⾜⽅程F(x，y，z)?0，那么，⽅程F(x，y，z)?0就叫做曲⾯S的⽅程，⽽曲⾯S就叫做⽅程F(x，y，z)?0的图形．(x，y，z)OzxyM0RM例1建⽴球⼼在点M0(x0，y0，z0)、半径为R的球⾯的⽅程．解设M(x，y，z)是球⾯上的任⼀点，那么|M0M|?R．由于|M0M|所以?R，或(x?x0)2?(y?y0)2?(z?z0)2?R2．这就是建⽴球⼼在点M0(x0，y0，z0)、半径为R的球⾯的⽅程．特殊地，球⼼在原点O(0，0，0)、半径为R的球⾯的⽅程为x2?y2?z2?R2．例2设有点A(1，2，3)和B(2，?1，4)，求线段AB的垂直平分⾯的⽅程．解由题意知道，所求的平⾯就是与A和B等距离的点的⼏何轨迹．设M(x，y，z)为所求平⾯上的任⼀点，由于|AM|?|BM|，所以等式两边平⽅，然后化简得2x?6y?2z?7?0．这就是线段AB的垂直平分⾯的⽅程．OzxyABM解通过配⽅，原⽅程可以改写成(x?1)2?(y?2)2?z2?5．研究这⽅程所表⽰的曲⾯的形状．研究曲⾯的两个基本问题：(1)已知⼀曲⾯作为点的⼏何轨迹时，建⽴这曲⾯的⽅程；(2)已知坐标x、y和z间的⼀个⽅程时，例3⽅程x2?y2?z2?2x?4y?0表⽰怎样的曲⾯？这是⼀个球⾯⽅程，球⼼在点M 0(1，?2，0)、⽐较：球⼼在点M0(x0，y0，z0)、半径为R的球⾯的⽅程(x?x0)2?(y?y0)2?(z?z0)2?R2．，⼀般地，设有三元⼆次⽅程Ax2?Ay2?Az2?Dx?Ey?Fz?G?0，这个⽅程的特点是缺xy，yz，zx各项，⽽且平⽅项系数相同，只要将⽅程经过配⽅就可以化成⽅程(x?x0)2?(y?y0)2?(z?z0)2?R2．的形式，它的图形就是⼀个球⾯．⼆、旋转曲⾯以⼀条平⾯曲线绕其平⾯上的⼀条直线旋转⼀周所成的曲⾯叫做旋转曲⾯，这条定直线叫做旋转曲⾯的轴．设M1(0，y1，z1)为曲线C上的任⼀点，设在yOz坐标⾯上有⼀已知曲线C，它的⽅程为f(y，z)?0，把这曲线绕z轴旋转⼀周，就得到⼀个以z轴为轴的旋转曲⾯．它的⽅程可以求得如下：这时z?z1保持不变，且点M到z轴的距离为f(y1，z1)?0．当曲线C绕z轴旋转时，点M1也绕z轴转到另⼀点M(x，y，z)，这就是所求旋转曲⾯的⽅程．Ozxy|y1|那么有CM1(0,y1,z1)M便得曲线C绕z轴旋转所成的旋转曲⾯的⽅程．同理，曲线C绕y轴旋转所成的旋转曲⾯的⽅程为所以只要将⽅程z?ycot?中的y改成例4试建⽴顶点在坐标原点O，旋转轴为z轴，半顶⾓为?的圆锥⾯的⽅程．解在yOz坐标⾯点，直线L的⽅程为z?ycot?，因为旋转轴为z轴，就得到所要求的圆锥⾯的⽅程或其中a?cot?．z2?a2(x2?y2)，Oxyza解绕x轴旋转所在的旋转曲⾯的⽅程为例5将xOy坐标⾯上的双曲线分别绕x轴和z轴旋转⼀周，求所⽣成的旋转曲⾯的⽅程．Oxyz这两种曲⾯都叫做旋转双曲⾯．绕z轴旋转所在的旋转曲⾯的⽅程为Oxyz三、柱⾯例6⽅程x2?y2?R2表⽰怎样的曲⾯？解⽅程x2?y2?R2在xOy⾯上表⽰圆⼼在原点O、半径为R的圆．在空间直⾓坐标系中，这⽅程不含竖坐标z，即不论空间点的竖坐标z怎样，只要它的横坐标x和纵坐标y能满⾜这⽅程，那么这些点就在这曲⾯上．因此，过xOy⾯上的圆x2?y2?R2，且平⾏于z轴的直线⼀定在x2?y2?R2表⽰的曲⾯上．RRx2?y2?R2Oxyz所以这个曲⾯可以看成是由平⾏于z轴的直线l沿xOy⾯上的圆x2?y2?R2移动⽽形成的．l柱⾯：平⾏于定直线并沿定曲线C移动的直线L形成的轨迹叫做柱⾯，定曲线C叫做柱⾯的准线，动直线L叫做柱⾯的母线．OxyzCL母线准线其准线是xOy⾯上的曲线C：F(x，y)?0．上⾯我们看到，不含z的⽅程x2?y2?R2在空间直⾓坐标系中表⽰圆柱⾯，它的母线平⾏于z轴，它的准线是xOy⾯上的圆x2?y2?R2．⼀般地，只含x、y⽽缺z的⽅程F (x，y)?0，在空间直⾓坐标系中表⽰母线平⾏于z轴的柱⾯，它的准线是xOy⾯上的抛物线y2?2x，该柱⾯叫做抛物柱⾯．⼜如，⽅程x?y?0表⽰母线平⾏于z轴的柱⾯，其准线是xOy⾯的直线x?y?0，所以它是过z轴的平⾯．Oxyzx?y?0yOxzy2?2x例如，⽅程y2?2x表⽰母线平⾏于z轴的柱⾯，类似地，只含x、z⽽缺y的⽅程G(x，z)?0和只含y、z⽽缺x的⽅程程H(y，z)?0分别表⽰母线平⾏于y轴和x轴的柱⾯．例如，⽅程x?z?0表⽰母线平⾏于y轴的柱⾯，其准线是zOx⾯上的直线x?z?0．所以它是过y轴的平⾯．四、常见的⼆次曲⾯定义:三元⼆次⽅程所表⽰的曲⾯称为⼆次曲⾯.（1）椭球⾯（2）椭圆抛物⾯（3）马鞍⾯（4）单叶双曲⾯（5）圆锥⾯。
高等数学7.4曲面及其方程
设柱面的准线方程：F（x, y) 0, z 0,母线 / / z轴，求柱面方程
z
解：柱面上M ( x, y, z)，则准线上M（0 x0 , y0 , z0 )，
M
使得MM0 / / z轴 ，从而x x0 , y y0
由于F（x0 , y0 ) 0,从而F（x, y) 0
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截, 考察其交线(即截痕)的形状, 然后加以综合, 从而 了解曲面的全貌．
二次曲面
曲面方程
旋转曲面
柱面
二次曲面
(1) 椭球面
z
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
O y
1 用坐标面z = 0 , x = 0和 x y = 0去截割,分别得椭圆
x
2
a2
柱面
例3
以曲
线
x a
2 2
z2 c2
1
为母线,
y 0
绕 z 轴旋转而成的曲面方程为
x2 y2 a2
z2 c2
1，
即
x2 a2
y2 a2
z2 c2
1 ——
旋 转 单 叶双曲面
二次曲面
曲面方程
旋转曲面
柱面
例3
以曲线
x2 a2
z2 c2
1 为母线,
y 0
o
的点都在S上;
x
y
那末, 方程F (x, y, z) =0叫做曲面S的方程, 而曲面 S叫做方程F (x, y, z) =0的图形 .
曲面方程
旋转曲面
柱面
高等数学几种常见的曲面及其方程
一、二次曲面
1-1球面
(X-X0)2+(Y-Y0)2+(Z-Z0)2=R2
球心为M0(X0,Y0,Z0)
1-2椭圆锥面
1-3椭球面
其中，表示xOz平面上的椭圆绕z轴旋转而成的椭球面。
1-4单叶双曲面
其中，表示xOz平面上的双曲线绕z轴旋转而成的单叶双曲面。
1-5双叶双曲面
其中，表示xOz平面上的双曲线绕x轴旋转而成的双叶双曲面。
1-6椭圆抛物面
1-7双曲抛物面（马鞍面）
二、柱面
2-1圆柱面
X2+Y2=R2
2-2椭圆柱面
2-3双曲柱面
2-4抛物柱面
y2=2px
注：形如二、柱面只含x,y而缺少z的方程F(x,y)=0在空间直角坐标系中表示母线平行于z 轴的柱面，其准线为xOy平面上的曲线C：F(x,y)=0
特别地，
1.球x2+y2+z2=R2
2.圆柱面x2+y2=R2
3.旋转抛物面X2+Y2=z(以原点为顶点，上下两个开口分别向上向下的抛物线旋转而成的图形)
4.X2+Y2=z2(以原点为顶点，上下两个开口分别向上向下的圆锥，锥顶角为90。
)。
曲面及其方程ppt
曲面及其方程
一、曲面方程得概念 二、旋转曲面 三、柱面 四、二次曲面
z
➢引例
方程 x2 y 2 R2 表示怎样得曲面、
➢分析
M
在xoy面上, x2 y 2 R2 表示圆C,
Co
y
M1
在圆C上任取一点 M1(x, y,0) ,
x
过M1作平行z轴得直线l, 其上所有点得坐标都满足方l 程,
(二次项系数不全为 0 )
得图形通常为二次曲面、 二次曲面得基本类型: 椭球面、抛物面、双曲面、锥面 研究二次曲面特性得基本方法: 截痕法
z
1、 椭圆锥面
z
x2 a2
y2 b2
z2
( a, b 为正数)
在平面 z t 上的截痕为椭圆
x2 (at)2
y2 (bt ) 2
1,
zt
o yy xx
①
在平面 x＝0 或 y＝0 上得截痕为过原点得两直线 、 可以证明, 椭圆①上任一点与原点得连线均在曲面上、
准线为xoy 面上得椭圆、
x y 0
平面
母线平行于z轴
准线为xoy 面上得直线、
一般地,在空间
方程 F (x, y) 0 表示柱面,
母线平行于 z 轴; 准线xoy 面上得曲线 l1、
方程 G( y, z) 0 表示柱面,
母线平行于 x 轴; 准线 yoz 面上得曲线 l2、
方程 H (z, x) 0 表示 柱面,
表示怎样的曲面
曲面及其方程
一、曲面方程得概念 二、旋转曲面 三、柱面 四、二次曲面
曲面及其方程
一、曲面方程得概念 二、旋转曲面 三、柱面 四、二次曲面
z
➢概念
一条平面曲线绕其平面上
高等数学空间曲面各种类型及方程
高等数学是大学数学课程中的一门重要学科，其中涵盖了许多复杂的数学概念和理论。
其中，空间曲面是高等数学中的一个重要概念，它在数学、物理学、工程学等领域中都有着广泛的应用。
本文将系统地介绍高等数学中空间曲面的各种类型及其方程。
一、空间曲面的定义空间曲面指的是三维空间中的曲线的集合，也就是说，它是由参数方程或者隐函数方程所描述的。
在数学中，空间曲面通常可以用下面的方程形式来表示：1. 参数方程形式：$P(x, y, z) = (x(t), y(t), z(t)), \alpha < t < \beta$2. 隐函数方程形式：$F(x, y, z) = 0$二、曲面的分类根据曲面的性质和方程的形式，空间曲面可以分为多种类型。
下面将分别介绍常见的曲面类型及其方程。
1. 锥面锥面是一种由一条直线（母线）绕着一个固定点（顶点）旋转而成的曲面。
它的方程可以用参数方程形式表示为：$\begin{cases}x = at \\y = bt \\z = ct\end{cases}$其中，a、b、c为常数。
2. 圆锥曲面圆锥曲面是由一条固定直线（母线）和一个固定点（焦点）相对应的点所生成的曲面。
其方程可以用隐函数方程表示为：$x^2 + y^2 = z^2$3. 圆柱面圆柱面是由一条曲线（母线）沿着平行于一条直线轴线运动而形成的曲面。
其方程可以用参数方程形式表示为：$\begin{cases}x = a\cos(t) \\y = b\sin(t) \\z = ct\end{cases}$其中，a、b、c为常数。
4. 圆锥面圆锥面是由一条圆锥曲线绕着其中心轴旋转而形成的曲面。
其方程可以用参数方程形式表示为：$\begin{cases}x = a\cos(t) \\y = b\sin(t) \\z = \pm\sqrt{x^2 + y^2}\end{cases}$其中，a、b为常数。
5. 双曲面双曲面是一种具有双曲线截面的曲面。
高等数学(下)教案曲面及其方程
高等数学(下)教案曲面及其方程教学目标：1. 理解曲面的概念，掌握曲面的表示方法。
2. 学习曲面的方程，了解曲面的性质。
3. 能够运用曲面的知识解决实际问题。
教学内容：第一章曲面的概念与表示方法1.1 曲面的概念1.2 曲面的表示方法1.2.1 参数方程1.2.2 隐函数方程1.2.3 显函数方程第二章曲面的方程2.1 曲面的方程概述2.2 曲面的标准方程2.2.1 椭圆抛物面2.2.2 双曲抛物面2.2.3 球面2.2.4 环面第三章曲面的性质3.1 曲面的形状3.2 曲面的尺寸3.3 曲面的方向3.4 曲面的曲率第四章曲面的切线与法线4.1 曲面的切线4.2 曲面的法线4.3 曲面的切线与法线的关系第五章曲面的交线与切平面5.1 曲面的交线5.2 曲面的切平面5.3 曲面的交线与切平面的关系教学方法：1. 采用多媒体教学，通过图形和动画展示曲面的形象，增强学生的直观感受。
2. 结合实例讲解曲面的方程，引导学生理解曲面的性质。
3. 通过练习题和小组讨论，巩固学生对曲面的理解和应用能力。
教学评估：1. 课堂练习：布置相关的练习题，检测学生对曲面方程的理解和应用能力。
2. 小组讨论：评估学生在小组中的合作能力和解决问题的能力。
3. 期中期末考试：全面评估学生对曲面及其方程的掌握程度。
教学资源：1. 多媒体教学课件：通过图形和动画展示曲面的形象，帮助学生直观理解曲面。
2. 练习题：提供相关的练习题，帮助学生巩固对曲面的理解和应用能力。
3. 小组讨论材料：提供相关的问题和案例，引导学生进行小组讨论和合作学习。
教学建议：1. 在讲解曲面的概念时，可以结合具体的图形和实例，帮助学生更好地理解曲面的定义。
2. 在学习曲面的方程时，可以通过具体的例子，引导学生理解和掌握曲面的标准方程。
3. 在讲解曲面的性质时，可以结合图形和动画，帮助学生直观地理解曲面的形状和尺寸。
4. 在学习曲面的切线与法线时，可以通过图形和实例，引导学生理解和掌握切线和法线的概念和关系。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？
z
C : f ( y, z ) 0
o x
y
f ( y, x z ) 0
2 2
机动
目录
上页
下页
返回
结束
例3. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为 的圆锥面方程. 解: 在yoz面上直线L 的方程为 绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为
一个球面 , 或点 , 或虚轨迹.
机动
目录
上页
下页
返回
结束
二、旋转曲面
定义2. 一条平面曲线 绕其平面上一条定直线旋转
一周 所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转
轴 . 例如 :
机动
目录
上页
下页
返回
结束
建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程: 给定 yoz 面上曲线 C: f ( y, z ) 0 若点 M1 (0, y1 , z1 ) C , 则有
x y z 2 1 2 a c 这两种曲面都叫做旋转双曲面.
2 2 2
x
y
z
机动
目录
上页
下页
返回
结束
三、二次曲面
三元二次方程
Ax 2 By 2 Cz 2 Dxy Eyx Fzx Gx Hy Iz J 0 (二次项系数不全为 0 )
的图形通常为二次曲面. 其基本类型有: 椭球面、抛物面、双曲面、锥面 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 . 研究二次曲面特性的一种基本方法: 截痕法
利用圆锥面（旋转曲面）的伸缩变形来得到椭圆锥 面的形状，这种方法是研究曲面形状的一种较简便的方 法。
2. 椭球面
x2 y2 z 2 2 2 1 ( a, b, c 为正数 ) 2 a b c
球面是旋转椭球面的特殊情形， 旋转椭球面是椭球面的特殊情形。 把xoz面上的椭圆
x2 z 2 2 1 绕z轴旋转，得到的 2 a c
x
机动 目录 上页
y
下页
返回
结束
内容小结
1. 空间曲面 • 旋转曲面 三元方程 F ( x , y , z ) 0
2 2 2 2 • 球面 ( x x0 ) ( y y0 ) ( z z0 ) R
f ( y, z ) 0 绕 z 轴的旋转曲面: 如, 曲线 x0
o x
y
P18
目录
上页
下页
返回
结束
4. 抛物面
(1) 椭圆抛物面
z
x2 y2 z ( p , q 同号) 2 p 2q
特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面. x (2) 双曲抛物面（鞍形曲面） z
y
x2 y2 z ( p , q 同号) 2p 2q 用截痕法讨论它的形状。
母线平行于 z 轴;
z
C
准线为xoy 面上的抛物线. x 2 2 x y 2 2 1表示母线平行于 a b z z 轴的椭圆柱面. x y 0 表示母线平行于 z 轴的平面. (且 z 轴在平面上)
o
y
z
o
y
o
y
x
机动 目录
x
上页 下页 返回 结束
一般地,在三维空间
z
y
l1
z
x z 2 1 把xoz面上的双曲线 2 a c
x
y
绕z轴旋转，得到旋转单叶双曲面
x2 y2 z 2 2 2 1 2 a a c
把此旋转曲面沿着y轴方向伸缩b/a倍，即得到 单叶双曲面。
机动
目录
上页
下页
返回
结束
(2) 双叶双曲面
z
x2 y2 z 2 2 2 1 ( a, b, c 为正数 ) 2 a b c
z
L
M (0, y, z )
y
两边平方
x
2
z a (x y )
2 2 2
机动
目录
上页
下页
返回
结束
例4. 求坐标面 xoz 上的双曲线 轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 解:绕 x 轴旋转 所成曲面方程为
分别绕 x
x2 y2 z 2 1 2 2 a c
绕 z 轴旋转所成曲面方程为
f ( x y , z ) 0
2 2
• 柱面 如,曲面F ( x , y ) 0 表示母线平行 z 轴的柱面. 又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 .
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2. 二次曲面
• 椭球面 • 抛物面:
三元二次方程
椭圆抛物面
双曲抛物面
x2 y2 z 2 p 2q • 双曲面: 单叶双曲面 双叶双曲面 2 2 x2 y2 x y 2 2 1 1 2 2 a b a b x2 y2 • 椭圆锥面: 2 z2 a2 b
y
l
沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆
柱面. 其上所有点的坐标都满足此方程, 故在空间
x 2 y 2 R 2 表示圆柱面
机动 目录 上页 下页 返回 结束
定义3. 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成
的轨迹叫做柱面. C 叫做准线, l 叫做母线.
表示抛物柱面,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
1. 椭圆锥面 x2 y2 2 2 z 2 a b
z
z
( a, b 为正数 )
o
在平面 z t 上的截痕为 椭圆 x2 y2 1, z t ① 2 2 (at ) (bt )
xx
y y
在平面 x＝0 或 y＝0 上的截痕为过原点的两直线 .
可以证明, 椭圆①上任一点与原点的连线均在曲面上.
2 2
2 2 2 2
( x 2) ( y 1) ( z 4) 化简得 2 x 6 y 2 z 7 0 说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面. 显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,
不在此平面上的点的坐标不满足此方程.
机动 目录 上页 下页 返回
结束
定义1. 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系:
第三节 曲面及其方程
一、曲面方程的概念
二、旋转曲面
三、柱面 四、二次曲面
第七章
机动目录上页ຫໍສະໝຸດ 下页返回结束
一、曲面方程的概念
引例: 求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的 轨迹方程. 解:设轨迹上的动点为 M ( x, y, z ) , 则 AM BM , 即
( x 1) ( y 2) ( z 3)
机动 目录 上页 下页
x
y
返回
结束
例1. 求动点到定点
方程.
距离为 R 的轨迹
依题意
解: 设轨迹上动点为
即
( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ( z z0 ) 2 R
故所求方程为
( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ( z z0 ) 2 R 2 z 特别,当M0在原点时,球面方程为
y x 1
机动
目录
上页
下页
返回
结束
2. P318 题3 , 10
题10 答案: 在 xoy 面上
机动
目录
上页
下页
返回
结束
x2 y2 z2 2 2 1. 2 a a c
曲面称为旋转椭球面，其方程为
再把旋转椭球面沿着y轴方向伸缩b/a倍，便得到椭球面。
机动 目录 上页 下页 返回 结束
3. 双曲面 (1)单叶双曲面 x2 y2 z 2 2 2 1 ( a, b, c 为正数 ) 2 a b c 2 2
方程 F ( x, y ) 0 表示 柱面, 母线 平行于 z 轴;
准线 xoy 面上的曲线 l1.
x
zl 2
y
方程 G ( y, z ) 0 表示柱面,
母线 平行于 x 轴; 准线 yoz 面上的曲线 l2.
x
z
l3
方程 H ( z, x) 0 表示柱面,
母线 平行于 y 轴;
准线 xoz 面上的曲线 l3.
z
C
M ( x, y, z )
M 1 (0, y1 , z1 )
f ( y1 , z1 ) 0
当绕 z 轴旋转时, 该点转到 M ( x, y, z ) , 则有
z z1 ,
x y y1
2 2
o
y
故旋转曲面方程为
x
f ( x 2 y 2 , z) 0
机动 目录 上页 下页 返回 结束
机动 目录 上页 下页 返回 结束
( p, q 同号)
思考与练习
1. 指出下列方程的图形:
方 程
x5
x y 9
2 2
平面解析几何中
空间解析几何中
平行于 y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面 圆心在(0,0) 半径为 3 的圆 斜率为1的直线 以 z 轴为中心轴的 圆柱面 平行于 z 轴的平面
(我们还可以用伸缩变形的方法来得到椭圆锥面 的形状。)
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例如，把圆 就变为椭圆
沿着y轴方向伸缩b/a倍，
x2 y2 2 1 . 2 a b
x2 y2 2 2 z 就变为椭圆锥面 2 a a
类似的，把空间图形 沿着y轴方向伸缩b/a倍， 那么，圆锥面
x2 y2 2 z 2. a2 b