专题——求恒成立问题参数范围
求恒成立问题中参数范围(精)
| f ( x) | 1 的充要条件是 a b 1
练习： 1、求使不等式 2 x 1 m( x 2 1)对于 | m | 2的一切实数m 恒成立的实数 x的取值范围
2、已知函数f ( x) ax2 bx c(a 0), f (1) 0, 且对于一切 1 x2 x R恒有x f ( x) 成立，求f ( x)的表达式。 2
令g (a) ( x 2)a x 2 4 x 4
则g (a) 0对a [1 ,1]恒成立，
g (1) 0 所以 g (1) 0
解得：x 3或x 1
故x的取值范围是 (,1) (3,)
一次函数f ( x) ax b的图象性质 f ( m) 0 1、f ( x) ax b 0在区间 [ m, n]上恒成立 f ( n) 0 f ( m) 0 2、f ( x) ax b 0在区间 [ m, n]上恒成立 f ( n) 0 a 0 3、f ( x ) ax b 0在区间 [ m,)上恒成立 f ( m) 0
f 2 ( x) 0对于x [0,1]恒成立的充要条件是
a 2b a 2b 解得 或 a b 1 a 2 b
这样，当 b 1 时，对任意 x [0,1],| f ( x) | 1 b 1 a 2 b
① 式恒成立，对任意 当0 b 1 时， x [0,1],
1 x 2 1 x 当0 x 1时，原不等式可变形为 ( ) sin cos 0 x x 1 x 令t , 则f (t ) t 2 sin t cos (t 0) x sin 0 f (t ) 0,当t 0时恒成立，故 1 4 sin cos 0
微专题：恒成立问题
t 12
则 x2 2 = 2x 1
4 t
2
t2
2t 4t
9
1 4
t
9 t
2
1
（2） 2x 1 0 x 1 ，不等式对任意的 m 均成立 2
（3）
2x
1
0
x
1 2
，
m
x2 2x
2 1
max
(注意不等号变号！！）
t 12
令 t 2x 1, 1 t 0 ,则 x2 2 = 2x 1
为自变量构造函数。
（2）线段的图像特征：若两个端点均在坐标轴的一侧，则线段上的点与端点同侧。
（3）对点评（2）的推广：已知一个函数连续且单调，若两个端点在坐标轴的一侧，则曲线上所有点均与
端点同侧
三、最值分析法
例 1：设 f x x2 2mx 2 ，当 x 1, 时， f x m 恒成立，求 m 的取值范围
而 f (x) 是一个开口向上且恒过定点（0，1）的二次函数，要使对任一实数 x ，
1
g(x) 0
0
x
y
f (x) 8x 1
图1
f (x)
1
0
x
g(x) mx
图2 f x
y
f x 与 g x 的值至少有一个为正数则只需 f (x) 0 在 (, 0] 上恒成立。(如图 3) 1
则有
4 m
y ax2 x 开口向下，且 f x a 为 f x 向右平移 a 个单位，观
察可得只需 x
1,x 2
1 2
，
f
xa
f
x ，即可保证
x
1 2
,
1 2
，
f
x
参数范围求恒成立问题
专题——求参数取值范围一般方法概念与用法恒成立问题是数学中常见问题,也是历年高考的一个热点;题型特点大多以已知一个变量的取值范围,求另一个变量的取值范围的形式出现;这样的题型会出现于代数中的不等式里也会出现在几何里;就常考题型的一般题型以及解题方法,我在这里做了个小结;题型以及解题方法一,分离参数在给出的不等式中,如果能通过恒等变形分离出参数,即：若()a f x ≥恒成立,只须求出()max f x ,则()max a f x ≥；若()a f x ≤恒成立,只须求出()min f x ,则()min a f x ≤,转化为函数求最值;例1、已知函数()lg 2a f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,若对任意[)2,x ∈+∞恒有()0f x >,试确定a 的取值范围; 解：根据题意得：21a x x +->在[)2,x ∈+∞上恒成立, 即：23a x x >-+在[)2,x ∈+∞上恒成立,设()23f x x x =-+,则()23924f x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭ 当2x =时,()max 2f x = 所以2a >例2．已知当x ∈R 时,不等式a+cos2x<5-4sinx+45-a 恒成立,求实数a 的取值范围;分析：在不等式中含有两个变量a 及x,其中x 的范围已知x ∈R,另一变量a 的范围即为所求,故可考虑将a 及x 分离; 解：原不等式即：4sinx+cos2x<45-a -a+5要使上式恒成立,只需45-a -a+5大于4sinx+cos2x 的最大值,故上述问题转化成求fx=4sinx+cos2x 的最值问题; fx= 4sinx+cos2x=-2sin 2x+4sinx+1=-2sinx -12+3≤3, ∴45-a -a+5>3即45-a >a+2上式等价于⎪⎩⎪⎨⎧->-≥-≥-2)2(4504502a a a a 或⎩⎨⎧≥-<-04502a a ,解得≤54a<8. 说明：注意到题目中出现了sinx 及cos2x,而cos2x=1-2sin 2x,故若把sinx 换元成t,则可把原不等式转化成关于t 的二次函数类型;二,变主换元在给出的含有两个变量的不等式中,学生习惯把变量x 看成是主元未知数,而把另一个变量a 看成参数,在有些问题中这样的解题过程繁琐;如果把已知取值范围的变量作为主元,把要求取值范围的变量看作参数,则可简化解题过程; 例3．对于满足|p|≤2的所有实数p,求使不等式x 2+px+1>2p+x 恒成立的x 的取值范围;分析：在不等式中出现了两个字母：x 及P,关键在于该把哪个字母看成是一个变量,另一个作为常数;显然可将p 视作自变量,则上述问题即可转化为在-2,2内关于p 的一次函数大于0恒成立的问题;解：不等式即x -1p+x 2-2x+1>0,设fp= x -1p+x 2-2x+1,则fp 在-2,2上恒大于0,故有：⎩⎨⎧>>-)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧>->+-0103422x x x 解得：⎩⎨⎧-<><>1113x x x x 或或 ∴x<-1或x>3.例4、若不等式()2211x m x ->-对满足2m ≤的所有m 都成立,求x 的取值范围;解：设()()()2121f m m x x =---,对满足2m ≤的m ,()0f m <恒成立,()()()()()()2221210202021210x x f f x x ⎧----<-<⎧⎪⎪∴∴⎨⎨<---<⎪⎪⎩⎩解得：1122x -++<< 三,利用二次函数根的分布例5.设fx=x 2-2ax+2,当x ∈-1,+∞时,都有fx ≥a 恒成立,求a 的取值范围;分析：题目中要证明fx ≥a 恒成立,若把a 移到等号的左边,则把原题转化成左边二次函数在区间-1,+∞时恒大于0的问题;解：设Fx= fx -a=x 2-2ax+2-a.ⅰ当∆=4a -1a+2<0时,即-2<a<1时,对一切x ∈-1,+∞,Fx ≥0恒成立；ⅱ当∆=4a -1a+2 ≥0时由图可得以下充要条件：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤--≥-≥∆,1220)1(0a f 即⎪⎩⎪⎨⎧-≤≥+≥+-,1030)2)(1(a a a a 得-3≤a ≤-2;综合可得a 的取值范围为-3,1四,利用集合与几何之间的关系 在给出的不等式中,若能解出已知取值范围的变量,就可利用集合与集合之间的包含关系来求解,即：[]()(),,m n f a g a ⊂⎡⎤⎣⎦,则()f a m ≤且()g a n ≥,不等式的解即为实数a 的取值范围;例6、当1,33x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,log 1a x <恒成立,求实数a 的取值范围;解：1log 1a x -<<（1） 当1a >时,1x a a <<,则问题转化为11,3,3a a ⎛⎫⎛⎫⊆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 3113a a ≥⎧⎪∴⎨≤⎪⎩ 3a ∴≥ （2） 当01a <<时,1a x a <<,则问题转化为11,3,3a a ⎛⎫⎛⎫⊆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1313a a⎧≤⎪⎪∴⎨⎪≥⎪⎩103a ∴<≤ 综上所得：103a <≤或3a ≥ 五,几何中的求参 要确定变量k 的范围,可先建立以k 为函数的目标函数)(t f k =,从而使这种具有函数背景的范围问题迎刃而解;的范围。
微专题：恒成立问题
4 ln x
min
4 ，所以
1 ln a
4
，最终解得
a
0,1
e
1 4
,
.
一、单变量、单参数的恒成立问题
（二）分离动直线
【例 2】：已知 x R ，不等式 2xex mx ex m 恒成立，
则实数 m 的取值范围为
.
【解析】：由题可知， x R ，不等式 2xex ex mx m 恒成立，
根据换底公式，即不等式 ln x ln2 x 4 对任意 x (1,100) 恒成立，因为 ln x 0 ， ln a
则不等式
1 ln a
ln
x
4 ln x
对任意
x
(1,100)
恒成立，即
1 ln a
ln
x
4 ln x
min
，
利用基本不等式求得
ln
x
f
(
x)
0
，
当
x
时，
f
(x)
，且
f
1 2
1
2e 2
，
所以函数 f (x) 图像如图所示，
设过定点 1, 0 的动直线与函数 y f (x) 相切于点 x0 , 2x0 1 ex0 ，
则切线方程可表示为 y 2x0 1 ex0 2x0 1 ex0 x x0 ，
上递减，
g(x)min g(1) 2a 2 ，因为 2a 2 0 ，不合题意；
导数恒成立问题求参数范围
导数恒成立问题求参数范围好嘞，今天咱们聊聊“导数恒成立问题求参数范围”这个话题，别看这个名字听上去高大上，其实说白了就是要搞清楚，什么情况下一个函数的导数总是成立。
先来个简单的背景介绍，导数嘛，就是数学里用来描述一个函数变化速度的工具，像车速表一样。
你要是开车，看看速度表，啊，今天我开得挺快，这就是导数在起作用。
好了，咱们举个简单的例子，想象你有个函数，它的样子就像是弯弯曲曲的山路。
你走这条路的时候，有时候上下起伏，有时候平平的。
如果这条路一直都是上坡或者下坡，那导数就恒成立了。
反过来，如果你遇到的路况不一样，比如突然出现个大坑，那导数就不再恒成立了，懂了吗？再来点具体的，假设有个函数，像是f(x) = ax² + bx + c。
这个函数的导数就是f'(x) = 2ax + b。
如果我说这个导数恒成立，那么就意味着不管你给我什么x，这个导数都必须有意义，也就是说，不会变成无穷大，或者不连续。
这里的参数a、b、c就成了关键角色，像是我们生活中的小伙伴，得看他们的表现。
现在，你可能会问，怎么才能搞清楚这参数的范围呢？我们得先了解什么是“恒成立”。
就像你每天吃饭，不管怎样都得吃，不可能今天想吃米饭，明天又想吃饺子，哈哈，没门儿！所以对于我们的函数，如果它的导数在某个范围内都是稳定的，那我们就得找出这个范围。
这些参数就像是调味料，放多了味道会太重，放少了又不够。
这时候我们可以考虑导数的零点，特别是2ax + b = 0的时候，咱们可以解出x的值。
想象一下，如果有个b恰好是0，那这个函数就像是一个平稳的湖面，没有波澜，真是太好啦！但是，若是a也为0，那这个函数直接就成了常数函数，导数自然也成了0。
这样一来，大家都快乐，哈哈。
不过，若是a大于0或者小于0，那我们就得小心了。
因为这时候函数的形状会随着x的变化而变化。
我们不想一会儿上天，一会儿入地，对吧？所以参数a就像是把握方向的舵，得仔细考虑。
(完整)高中数学恒成立问题中求含参范围的方法总结,推荐文档
恒成立问题中含参范围的求解策略数学中含参数的恒成立问题，几乎覆盖了函数，不等式、三角，数列、几何等高中数学的所有知识点，涉及到一些重要的数学思想方法，归纳总结这类问题的求解策略，不但可以让学生形成良好的数学思想，而且对提高学生分析问题和解决问题的能力是很有帮助的，下面就几种常见的求解策略总结如下，供大家参考。
一、分离参数——最值化1 在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：a ≥f(x)恒成立,只须求出 ,则a ≥ ;若a ≤f(x)恒成立, 只须求出 ,则a ≤转化为函数求最值.例1 已知函数f(x)= ,若任意x ∈[2 ,+∞)恒有f(x)>0,试确定a 的取值范围. 解:根据题意得,x+−2>1在x ∈[2 ,+∞)上恒成立,即a>−+3x 在x ∈[2 ,+∞)上恒成立.设f(x)=-+3x .则f(x)=−+ ,当x=2时,=2 ,所以a>22在给出的不等式中，如果通过恒等变形不能直接解出参数，则可将两变量分别置于不等式的两边，即:若f(a)≥g(x)恒成立,只须求出g(x)最大值 ,则f(a)≥ .然后解不等式求出参数a 的取值范围; :若f(a)≤g(x)恒成立,只须求出g(x)最小值 ,则f(a)≤ .然后解不等式求出参数a 的取值范围.问题还是转化为函数求最值.例2 已知x ∈(−∞ ,1]时,不等式1++(a −)>0恒成立,求a 的取值范围.解 令=t ,∵x ∈(−∞ ,1] ∴t ∈(0 ,2].所以原不等式可化为<,要使上式在t ∈(0 ,2]上恒成立,只须求出f(t)=在t ∈(0 ,2]上的最小值即可. ∵f(t)==+=− 又t ∈(0 ,2] ∴∈[) ∴=f(2)=∴< , ∴−<a<例3 设c b a >>且ca mc b 1b a 1-≥-+-恒成立，求实数m 的取值范围。
解析：由于c a >，所以0c a >-，于是⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--≤c b 1b a 1)c a (m 恒成立，因+≥⎪⎭⎫⎝⎛--+--++=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--2c b b a b a c b 11c b 1b a 1)]c b ()b a [(c b 1b a 1)c a (.4cb b a b ac b 2=--⋅-- （当且仅当b a c b -=-时取等号），故4m ≤。
专题二 在区间上的参数恒成立问题
专题二 利用导数求参数的取值范围问题解题步骤：（1）将问题转化（2）参变分离（3）抓住已知，找最值问题的转化条件(1)f(x)>A 在区间D 上恒成立⇔f(x)在D 上的最小值大于A(2)f(x)<B 在区间D 上恒成立⇔f(x)在D 上的最大值小于B注意：要分清参变量，给了谁的范围谁就是变量，求谁谁就是参数例题：1.已知函数f (x )3232ax x =-+1(x ∈R),其中a >0. 若在区间11[]22-,上,f (x )>0恒成立,求a 的取值范围.解: f ′2()333(x ax x x ax =-=-1).令f ′(x )=0,解得x =0或1x a=. 以下分两种情况讨论:① 若02a <≤,则112a ≥.当x 变化时,f ′(x ),f (x )的变化情况如下表: 当11[]22x ∈-,时,f (x )>0等价于1()021()02f f ⎧->,⎪⎨⎪>,⎩ 即 508508a a -⎧>,⎪⎨+⎪>.⎩ 解不等式组得-5<a <5.因此02a <≤.②若a >2,则1102a <<.当x 变化时,f ′(x ),f (x )的变化情况如下表:当11[]22x ∈-,时,f (x )>0等价于1()021()0f f a ⎧->,⎪⎨⎪>,⎩ 即25081102a a-⎧>,⎪⎨->,⎪⎩5a <<或a <.因此2<a <5.综合①和②,可知a 的取值范围为0<a <5.2.(2010 天津文 16) 设函数f(x)=x-1x ,对任意x [1,∈+∞），f(mx)+mf(x)<0恒成立，则实数m 的取值范围是________解：（1）将变量代入mx − 1mx + mx − m x < 0（2）参变分离(把x 放在不等号的一边，m 放在不等号的另一边)2mx − 1mx − m x< 0 由x ≥1,可得2m x 2<m +1m（3）分类讨论若m>0时，2x 2<1+1m 2⇔(2x 2)max <1+1m 2(舍)若m<0时，2x 2>1+1m 2⇔(2x 2)min >1+1m 2令g(x)= 2x 2,g(x)在[1,+∞)上单调递增所以g min (x)=g(1)=2>1+1m 2,解得m<-1专题三 利用导数研究某个区间上恒为单调函数的问题函数在某个区间上恒为增函数(或减函数)的问题,关键是利用导数将问题转化为函数的导数在此区间上恒为正(或负)的问题,也就是导函数最值大于(或小于)0的问题.具体处理时,一定要注意端点值的讨论.解题步骤：（1）将问题转化（2）参变分离（3）抓住已知，找最值问题转化条件：(1)f(x)在区间(a,b)内为单增（减）函数⇔ f ′(x)≥0（或f ′(x)≤0 ）在(a,b)内恒成立(2)f(x)在区间(a,b)内存在单增（减）区间（找最值）⇔ 在(a,b)内f ′max (x)>0 （或f ′min (x)<0 ）(3)f(x)为R 上的单调函数⇔f ′(x)在R 上不变号⇔f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在R 上恒成立(4)f(x)在区间(a,b)内不单调⇔f(x)在(a,b)内存在极值点例题：1.已知函数f (x )＝x 3－ax 2－3x .若f (x )在[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围；[审题视点] 函数单调的充要条件是f ′(x )≥0或f ′(x )≤0且不恒等于0.解：(1)对f (x )求导，得f ′(x )＝3x 2－2ax －3.由f ′(x )≥0，得a ≤32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x . 记t (x )＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ，当x ≥1时，t (x )是增函数， ∴t (x )min ＝32(1－1)＝0. ∴a ≤0.注意：函数在指定区间上单调递增(减)，函数在这个区间上的导数大于或等于0(小于或等于0)，只要不在一段连续区间上恒等于0即可，求函数的单调区间解f ′(x )＞0(或f ′(x )＜0)即可． 2.（2011 安徽文 18） 设函数2()1xe f x ax =+，其中a 为正实数。
恒成立问题求参数范围的一种快捷解法
恒成立问题求参数范围的一种快捷解法在导数板块，在处理“不等式恒成立条件下参数范围”问题时，有一种快捷方法就是“必要条件法”，这种方法通常能很快的求出参数的范围，但需要注意的是还需要从正面说明这是一个充分条件。
下面我们用一些具体的题目来进行说明。
一、极值点在定义域内，且函数在极值点取到最值1.（2012湖南理）已知函数(),0ax f x e x a =-≠，若对一切(),1x R f x ∈≥恒成立，求a 的取值集合. 答案：1a =.解析：因()01f =，由题意，()00f '=，又()1axf x ae '=-所以10a -=，可得1a =.再证1a =时()1f x ≥即可.2.（2017全国Ⅱ）已知函数()2ln f x ax ax x x =--，且()0f x ≥,求a . 答案：1a =.解析：因()10f =，由题意，()10f '=，又()2ln 1f x ax a x '=---，所以10a -=，可得1a =.再证1a =时()0f x ≥即可.3. （2017全国Ⅲ）已知函数()1ln f x x a x =--,若()0f x ≥，求a 的值. 答案：1a =.解析：因()10f =，由题意，()10f '=，又()1af x x '=-，所以10a -=，可得1a =.再证1a =时()0f x ≥即可.4.已知函数()3ln f x ax ax x x =--，且()0f x ≥,求a . 答案：12a =.解析：因()10f =，由题意，()10f '=，又()23ln 1f x ax a x '=---，所以210a -=，可得12a =.再证12a =时()0f x ≥即可. 小结：此种情况求出的参数是一个确定的值.二、在端点处取得极值，且函数在定义域内呈现单调趋势 5. 已知函数()ln f x x x =，()()22a x xg x -=，若()()f x g x <对()1,x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围. 答案：2a ≥.解析：令()()()F x f x g x =-，由题意，()0F x <对()1,x ∈+∞恒成立，又()10F =，所以()10F '≤，可得2a ≥.再证2a ≥时()0F x <即可.6. （2010新课标文）设函数()()21x f x x e ax =--，若当0x ≥时()0f x ≥，求a 的取值范围. 答案：1a ≤.解析：因()00f =，又()()121xf x x e ax '=+--，()00f '=，()()22x f x x e a ''=+-，由题意，()00f ''≥，所以220a -≥，可得1a ≤.再证1a ≤时()0f x ≥即可.7. （2010新课标理）设函数2()1x f x e x ax =---,若当0x ≥时()0f x ≥，求a 的取值范围. 答案：12a ≤.解析：因()00f =，又()21x f x e ax '=--，()00f '=，()2xf x e a ''=-，由题意，()00f ''≥，所以120a -≥，可得12a ≤.再证12a ≤时()0f x ≥即可.小结：此种情况求出的参数是一个范围，且这个范围就是根据导数不等式求出的范围.三、在端点处取得极值，但函数在定义域内不单调8. （2015山东）设函数()()2()ln 1f x x a x x =++-，其中a R ∈.若0x ∀>，()0f x ≥成立，求a 的取值范围.答案：01a ≤≤.解析：因()00f =，又()()1211f x a x x '=+-+，由题意()00f '≥，所以10a -≥，可得1a ≤.但当1a ≤时并不能得到()0f x ≥恒成立，还需要进一步缩小加强条件，缩小范围.法一：可知当809a ≤≤时()f x 在(0,)+∞单调递增，而(0)0f =， 则当(0,)x ∈+∞时，()0f x >，符合题意；当819a <≤时，2(0)0,0g x ≥≤，()f x 在(0,)+∞单调递增，而(0)0f =，则当(0,)x ∈+∞时，()0f x >，符合题意；当1a >时，2(0)0,0g x <>，所以函数()f x 在2(0,)x 单调递减，而(0)0f =， 则当2(0,)x x ∈时，()0f x <，不符合题意；当0a <时，设()ln(1)h x x x =-+，当(0,)x ∈+∞时1()1011x h x x x'=-=>++， ()h x 在(0,)+∞单调递增，因此当(0,)x ∈+∞时()(0)0,ln(1)0h x h x >=+<，于是22()()(1)f x x a x x ax a x <+-=+-，当11x a >-时2(1)0ax a x +-<， 此时()0f x <，不符合题意． 综上所述，a 的取值范围是01a ≤≤．法二：当809a ≤≤时()f x 在(0,)+∞单调递增，而(0)0f =， 则当(0,)x ∈+∞时，()0f x >，符合题意；当819a <≤时，2(0)0,0g x ≥≤，()f x 在(0,)+∞单调递增，而(0)0f =， 则当(0,)x ∈+∞时，()0f x >，符合题意；当1a >时，2(0)0,0g x <>，所以函数()f x 在2(0,)x 单调递减，而(0)0f =， 则当2(0,)x x ∈时，()0f x <，不符合题意；当0a <时，设()ln(1)h x x x =-+，当(0,)x ∈+∞时1()1011xh x x x '=-=>++，()h x 在(0,)+∞单调递增，因此当(0,)x ∈+∞时()(0)0,ln(1)0h x h x >=+<，于是22()()(1)f x x a x x ax a x <+-=+-，当11x a >-时2(1)0ax a x +-<， 此时()0f x <，不符合题意． 综上所述，a 的取值范围是01a ≤≤．法三：设函数2()ln(1)()f x x a x x =++-，(0)0f =，要使0x ∀>，都有()0f x ≥成立，只需函数函数()f x 在(0,)+∞上单调递增即可，于是只需0x ∀>，1()(21)01f x a x x '=+-≥+成立，当12x >时1(1)(21)a x x ≥-+-，令210x t -=>，2()(,0)(3)g t t t =-∈-∞+， 则0a ≥；当12x =时12()023f '=>；当102x <<，1(1)(21)a x x ≤-+-，令21(1,0)x t -=∈-，2()(3)g t t t =-+关于(1,0)t ∈-单调递增，则2()(1)11(13)g t g >-=-=--+，则1a ≤，于是01a ≤≤． 又当1a >时，2(0)0,0g x <>，所以函数()f x 在2(0,)x 单调递减，而(0)0f =， 则当2(0,)x x ∈时，()0f x <，不符合题意； 当0a <时，设()ln(1)h x x x =-+，当(0,)x ∈+∞时1()1011x h x x x'=-=>++， ()h x 在(0,)+∞单调递增，因此当(0,)x ∈+∞时()(0)0,ln(1)0h x h x >=+<，于是22()()(1)f x x a x x ax a x <+-=+-，当11x a >-时2(1)0ax a x +-<，此时()0f x <，不符合题意．综上所述，a 的取值范围是01a ≤≤．小结：此种情况求出的参数也是一个范围，但这个范围是根据导数不等式求出的范围的子集，还需要根据情况进行进一步的约束.“必要条件法”的关键是需要检验找得的必要条件是否同时也是充分条件，只有当这个条件是充要条件时才是真正的解决了问题。
聚焦“恒成立”与“有解”问题中参数范围的求解
聚焦“恒成立”与“有解”问题中参数范围的求解246740 安徽省枞阳县会宫中学 朱贤良E-MAIL:zxl.ah@新课标中，出现了两个新名词：全称量词“∀”与存在量词“∃”，由它们构成的“不等式恒成立”问题及“不等式、方程有解”问题常常在知识交汇点处设置，极易与导数等其它数学知识交融在一起，渗透着函数与方程、化归与转化、分类讨论及数形结合等数学思想，因而在高考中异常活跃，成为每年高考考查学生分析问题解决问题能力与创新意识的热点题型，长盛不衰.而学生在求解此类问题中参数范围时，常因无法审题而束手无策，或因理解不当而错误连连.本文拟对“恒成立”与“有解”问题中参数范围的求法作一分类，供读者解这类问题时参考.1.“不等式恒成立”问题中参数范围的求法1.1 直接转化为求函数的最值问题是处理不等式恒成立问题的基本思路例1（2010天津）已知函数()f x =32312ax x -+（x R ∈），其中0a >. （Ⅰ）若a =1，求曲线y=()f x 在点（2，(2)f ）处的切线方程； （Ⅱ）若在区间11[,]22-上，()0f x >恒成立，求a 的取值范围. 解析：（Ⅰ）略.（Ⅱ）由题意，在区间11[,]22-上，()0f x >恒成立， 即11[,]22x ∈-时，min ()0f x >. 因此,问题即转化为求函数()f x 在区间11[,]22-上的最值问题. ()f x '=2333(1)ax x x ax -=-.令()f x '=0，解得x =0或1a.以下分两种情况讨论： ①当112a ≥即02a <≤时,随x 的变化，()f x '的符号与()f x 的单调性如下表：因此11[,]22x ∈-时，min ()0f x >等价于11min (),()022f f ⎧⎫->⎨⎬⎩⎭，即1()021()02f f ⎧->⎪⎪⎨⎪>⎪⎩⇒50885088a a ⎧-+>⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩⇒55a -<<⇒02a <≤.②当11a <即2a >时,随x 的变化，()f x '的符号与()f x 的单调性如下表：因此11[,]22x ∈-时，min ()0f x >等价于11min (),()02f f a ⎧⎫->⎨⎬⎩⎭，即1()021()0f f a ⎧->⎪⎪⎨⎪>⎪⎩⇒250881102a a⎧-+>⎪⎪⎨⎪-+>⎪⎩⇒2a <-或52a <<⇒25a <<. 综上所述，a 的取值范围为05a <<.总结：当函数()f x 在区间D 上最值存在时，“x D ∀∈，()0f x >（0≥）”的充要条件是“x D ∈时，min ()0(0)f x >≥”,“x D ∀∈，()f x 0<（0≤）”的充要条件是“x D ∈时，max ()0(0)f x <≤”.1.2 分离主元与参数，再转化为求函数的最值问题是处理不等式恒成立问题的常见策略 仍以例1（Ⅱ）为例加以说明.解法二：由题意，在区间11[,]22-上，323()102f x ax x =-+>恒成立， 即11[,]22x ∈-时，32312ax x >-恒成立. ①当1[,0)2x ∈-时，即233311322x a x x x -<=-+恒成立. 令313()2g x x x =-+，1[,0)2x ∈-.此时题意等价于min ()a g x <.先换元，再由导数知识可求min ()5g x =，故5a <.②当1(0,]2x ∈时，即233311322x a x x x ->=-+恒成立. 令313()2h x x x =-+，1(0,]2x ∈.此时题意等价于max ()a h x >.易求max ()5h x =-，故5a >-. ③当0x =时，即01a ⋅>-a R ⇒∈. 综上所述，a 的取值范围为05a <<.总结：将不等式中的参数a 与主元x 分离开来，问题变形为“不等式()f x a >（,,a a a <≤≥）恒成立”，进而又演变为求函数()f x 的最值，而此时函数()f x 中不再含有参数，求最值比较简便,甚至于有时不需要分类讨论.读者可以尝试用上述两种方法去解下文中例２，对此将会有更深刻的感受．1.3 二次不等式恒成立问题可借助二次函数图像，从而将问题转化为二次方程根的分布问题例２（2008年全国Ⅰ卷）已知函数()f x =321x ax x +++，a ∈R ． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设函数()f x 在区间21(,)33--内是减函数，求a 的取值范围． 解析：（Ⅰ）略.（Ⅱ）题意等价于导函数2()3210f x x ax '=++≤对21(,)33x ∈--恒成立， 即二次方程0)(='x f 的两根中，一根小于或等于32-,一根大于或等于31-．由一元二次方程根的分布，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-'≤-'0)31(0)32(f f ，解得2≥a ．总结：本题转化为一元二次不等式恒成立问题后，借助二次函数图像，利用二次方程根的分布知识，迅速准确地得出正确答案，无疑是此题求解的最佳途径．1.4 四个注意事项1.4.1 注意区分主元与参数例3（2006四川）已知函数,5)()(,13)(3--'=-+=ax x f x g ax x x f 其中)(x f '是)(x f 的导函数.对满足11a -≤≤的一切a 的值,都有g(x)0,<求实数x 的取值范围.解析:由题意()2335g x x ax a =-+-．令()()2335a x a x ϕ=-+-,(11a -≤≤),这是关于a 的一次函数，其中x 为参数．对11a -≤≤，恒有()0g x <，即()0a ϕ<．∴()()1010ϕϕ<⎧⎪⎨-<⎪⎩ 即22320380x x x x ⎧--<⎨+-<⎩⇒213x -<<．故2,13x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭． 总结：通常情况下，x 为主元，a 为参数，而本题中已知a 的范围求x 的范围，故我们视a 为主元，x为参数，从而把不等式转化为关于a 的一次式形式，最终利用一次函数或常数函数性质求解．1.4.2 注意避免分类讨论 如前所述，“恒成立问题”的基本处理方法是将其转化为函数最值问题，而函数最值问题往往要考虑参数的取值进行分类讨论，这也是高考数学中常见的考点，但此类问题往往因学生把握不好分类讨论的标准而造成失分之痛．事实上，在一些不等式恒成立问题，特别是一次与二次不等式恒成立问题中，往往可以借助函数的图像与性质避免分类讨论，这实为解题的首选方法．比如本文中的例2与例3，倘若直接转化为求函数()f x '与()a ϕ的最值，则必须就函数的单调性进行分类讨论，过程较为复杂；一旦我们借助二次函数、一次函数及常数函数的图像与性质，则变多种情况为一种，大大简化解题过程．1.4.3 注意函数最值不存在的情况例4 （1）)2,1(∈∀x ，0ln 212>--a x x ，则实数a 的取值范围是 ； （2）),1(+∞∈∀x ，0ln 212<--a x x ，则实数a 的取值范围是 .解析：（1）)2,1(∈∀x ，0ln 212>--a x x ⇔)2,1(∈∀x ，x x a ln 212-<.∵)2,1(∈x 时, x x x f ln 21)(2-=递增, 其值域为)2ln 2,21(-,∴21≤a .（2）),1(+∞∈∀x ，0ln 212<--a x x ⇔),1(+∞∈∀x ，x x a ln 212->.∵),1(+∞∈x 时, 函数x x x f ln 21)(2-=递增, 其值域为),21(+∞,∴Φ∈a .总结：当函数)(x f 的最值不存在时，“不等式恒成立”问题可以这样处理: (1)当I x ∈时, 函数)(x f 的值域为),(n m , 则I x ∈∀，)(x f a <⇔m a ≤；I x ∈∀，)(x f a ≤⇔m a ≤； I x ∈∀，)(x f a >⇔n a ≥；I x ∈∀，)(x f a ≥⇔n a ≥.(2)当I x ∈时, 函数)(x f 的值域为),(+∞m , 则I x ∈∀，)(x f a >⇔Φ∈a ；I x ∈∀，)(x f a ≥⇔Φ∈a .(3)当I x ∈时, 函数)(x f 的值域为),(n -∞, 则I x ∈∀，)(x f a <⇔Φ∈a ；I x ∈∀，)(x f a ≤⇔Φ∈a .读者可自行对例题再作适当改编, 即可得到上述各种类型问题. 1.4.4 注意数形结合例5（2009上海）当01x ≤≤时，不等式kx x≥2sin π成立，则实数k 的取值范围是_______.解析：作出1sin2xy π=与2y kx =的图象，要使不等式sin2xkx π≥成立，由图可知须k ≤1．总结：解题原理是：()()f x g x ≥恒成立()f x ⇔图像在()g x 图像的上方，此思路特别适用于不等式两边是不同类型的不等式恒成立题型．2. “ 不等式有解”问题中参数范围的求法2.1 当函数最值存在时，直接转化为或分离主元与参数后再转化为求函数最值问题 例6 [1,2]x ∃∈，21ln 02x x a --≥，则实数a 的取值范围是 . 思路一：直接转化为函数最值问题.题意等价于函数21ln 2y x x a =--，[1,2]x ∈的最大值大于或等于0. 由导数知识得，[1,2]x ∈时, 21ln 2y x x a =--递增,其最大值为2ln 2a --，故2ln 20a --≥⇒2ln 2a ≤-思路二：分离主元与参数，再求函数最值.[1,2]x ∃∈，21ln 02x x a --≥⇔[1,2]x ∃∈，21ln 2a x x ≤-2max 1(ln )2a x x ⇔≤-，[1,2]x ∈.∵[1,2]x ∈时, 21ln 2y x x =-递增, 其最大值为2ln2-,∴2ln 2a ≤-.总结：当函数()f x 在区间D 上最值存在时，“x D ∃∈，()0f x >（0≥）”的充要条件是“x D ∈时，max ()0(0)f x >≥”,“x D ∃∈，()f x 0<（0≤）”的充要条件是“x D ∈时，min ()0(0)f x <≤”.一般地，当不等式中主元与参数易于分离时可考虑分离之，这极可能简化函数最值的求解过程. 2.2 注意函数最值不存在的情况例7 )2,1(∈∃x ，21ln 02x x a --≥，则实数a 的取值范围是 . 解析：)2,1(∈∃x ，21ln 02x x a --≥⇔)2,1(∈∃x ，21ln 2a x x ≤-.∵)2,1(∈x 时, 21ln 2y x x =-递增, 其值域为)2ln 2,21(-,∴2ln 2a <-.总结：当函数)(x f 的最值不存在时的“不等式有解”问题可以这样解决: (1)当I x ∈时, 函数)(x f 的值域为),(n m , 则I x ∈∃，)(x f a <⇔n a <；I x ∈∃，)(x f a ≤⇔n a <； I x ∈∃，)(x f a >⇔m a >；I x ∈∃，)(x f a ≥⇔m a >；(2)当I x ∈时, 函数)(x f 的值域为),(+∞m , 则I x ∈∃，)(x f a <⇔R a ∈；I x ∈∃，)(x f a ≤⇔R a ∈；(3)当I x ∈时, 函数)(x f 的值域为),(n -∞, 则I x ∈∃，)(x f a >⇔R a ∈；I x ∈∃，)(x f a ≥⇔R a ∈.以上结论，读者不妨加以验证.3. “方程有解”问题中参数范围的求法 3.1 “方程有解”问题的两种转化途径例8（2011辽宁）已知函数()f x =2xe x a -+有零点，则a 的取值范围是 . 思路一：直接将“方程有解”或“函数有零点”转化为“函数图像与x 轴有交点”. 先利用导数研究函数()f x 图像与性质：()20ln 2x f x e x '=-=⇒=，列表：由题知，函数()f x 图像与x 轴有交点，即有(ln 2)22ln 20f a =-+≤2ln 22a ⇒≤-.思路二：将主元x 与参数a 分离，即得关于x 的方程2xx e a -=有解，即得函数12xy x e =-与2y a=的图像有交点.同思路一，可判断函数12xy x e =-在(,ln 2)-∞上递增，在(ln 2,)+∞上递减，因而其值域为(,2ln 22]-∞-.要使两函数图像有交点，则a 的取值范围就是函数12xy x e =-的值域，即(,2l n 22]a ∈-∞-. 总结：“方程有解”问题的求解，不论是直接转化为函数图像与x 轴相交，还是分离主元与参数后再转化为两函数图像相交，其实质是数形结合思想的应用.明白了这一点，读者可尝试具体解决以下问题：例9 （1）（2011北京）已知函数32,2,()(1), 2.x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是 .（答案：01k <<）（2）（2007广东）已知a 是实数，函数2()223f x ax x a =+--．如果函数()y f x =在区间[1,1]-上有零点，求a 的取值范围．（答案：题意即关于x 的方程2(21)32x a x -=-在区间[1,1]-上有根⇔关于x的方程23221xa x -=-在区间[1,(-⋃⋃上有解，根据数形结合的思想，函数23221xy x -=-，[1,((2222x ∈--⋃-⋃的值域即为参数a 的取值范围，即a∈3(,[1,)2+-∞-⋃+∞.） 3.2 “一元二次方程有解’问题例10 （1）（2007湖北）设二次函数()f x =2x ax a ++，方程()0f x x -=的两根1x 和2x 满足1201x x <<<，求实数a 的取值范围.（2）函数()421xxf x m =+⋅+有且仅有一个零点，则实数m 的值是 .解析：（1）令2()()(1)g x f x x x a x a =-=+-+，题意即二次方程方程()0g x =在区间(0,1)上有两不等实根．则可得01012(1)0(0)0a g g ∆>⎧⎪-⎪<<⎪⎨⎪>⎪>⎪⎩，，，，01133a a a a ⎧>⎪⇔-<<⎨⎪<->+⎩，，03a ⇔<<- （2）令2x t =，记2()()1g t f x t m t ==+⋅+，由题知，二次方程2()10g t t m t =+⋅+=在区间(0,)+∞上有且仅有一解，符合题意的情况有三种：①若二次方程()0g t =有两个相等正根，则0202m m∆=⎧⎪⇒=-⎨->⎪⎩； ②若二次方程()0g t =有一正根一零根，则1212000t t m t t ∆>⎧⎪+>⇒∈∅⎨⎪⋅=⎩；③若二次方程()0g t =有一正根一负根，则120m t t ∆>⎧⇒∈∅⎨⋅<⎩．综上，2m =-．总结：“三个二次”问题是高考中经典与热点题型，以上“一元二次方程有解’问题一般都转化为“一元二次方程根的分布”问题，其解决过程往往要结合二次函数图像、二次方程根与系数的关系等相关知识，具有一定的综合性与灵活性．读者还可以沿此思路去求解本文中例9（2）．4.“ 双主元”问题中参数范围的求法4.1 “任意-任意”型例11（2008天津）已知函数()()0≠++=x b x a x x f ，其中R b a ∈,.若对于任意的⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21a ，不等式()10≤x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,41上恒成立，求b 的取值范围.思路一：先看成关于x 的不等式恒成立，再看成关于a 的不等式恒成立,逐步确定主元． 由题知2()1a f x x '=-． 当0a >时，令()0f x '=，解得x =故()f x 在[,1]4上的最大值为()4f 与(1)f 的较大者.由题意,对于任意的1[,2]2a ∈，不等式0(1)f x ≤在1[,1]4上恒成立，当且仅当max ()10f x ≤,即10(11(4)10)f f ≤≤⎧⎪⎨⎪⎩，即39449a b ab ≤-≤-⎧⎪⎨⎪⎩对任意的1[,2]2a ∈成立． 从而得74b ≤，所以满足条件的b 的取值范围是(7,]4-∞． 思路二：分离双主元a 与x ，再转化为两个独立函数的最值大小问题，一步到位．由题意, 任意的1[,2]2a ∈，不等式10a x b x ++≤在1[,1]4上恒成立22max min11,2,,1,(10)2411,2,,1,[(10)]24a x a x b xa x a xb x ⎡⎤⎡⎤⇔∀∈∀∈≤-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⇔∀∈∀∈≤-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦即1102716442110b b b -⎧≤-+⎪⇒≤⎨⎪≤-+-⎩．总结：求解多元变量的不等式恒成立问题，通常可以利用逐步确定主元的策略．在本例中，涉及到的变量有三个，固定a 与b ，先解决关于x 的不等式恒成立问题，进而求解关于a 的不等式恒成立问题，是为思路一．一般地，若双主元易于分离，可分离之，则问题演变为“112212,,()()x D x D f x g x ∀∈∀∈≤”，等价于“1122,x D x D ∈∈时，1max 2min ()()f x g x ≤”，从而实现一步到位，是为思路二．4.2 “任意-存在”型 例12 （1）已知24(),(0,2)1xf x x x =∈+；设0a ≠，(),(0,2)g x ax a x =-∈．若对任意1(0,2)x ∈，总存在2(0,2)x ∈，使12()()f x g x =，求实数a 的取值范围．（2）（2010山东）已知函数1()ln 1af x x ax x-=-+-()a R ∈. (Ⅰ)当12a ≤时，讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）设2()24g x x bx =-+．当14a =时，若对任意1(0,2)x ∈，存在[]21,2x ∈，使12()()f x g x ≥，求实数b 取值范围.解析：（1）1(0,2)x ∀∈，2(0,2)x ∃∈，12()()f x g x =12(0,2),(0,2)x x ⇔∈∈时，函数1()f x 值域是2()g x 值域的子集.先求函数1()f x 的值域：1(0,2)x ∈时，11211144()11x f x x x x ==++，其值域为(0,2]； 再求函数2()g x 的值域：当0a >时，22()g x ax a =-在(0,2)上递增，其值域为(,)a a -；当0a <时，22()g x ax a =-在(0,2)上递减，其值域为(,)a a -.∴题意等价于0(0,2](,)a a a >⎧⎨⊆-⎩或0(0,2](,)a a a <⎧⎨⊆-⎩(,2)(2,)a ⇒∈-∞-⋃+∞.（2）第(Ⅰ)问答案为：当0a ≤时，()f x 在(0,1)减，(1,)+∞增； 当102a <<时，()f x 在(0,1)减，1(1,1)a -增，1(1,)a-+∞减； 当12a =时，()f x 在(0,)+∞减. 第（Ⅱ）问中，1(0,2)x ∀∈，[]21,2x ∃∈，使12()()f x g x ≥ (0,2)⇔，[]21,2x ∈时，1min2min ()()f x g x ≥.由（Ⅰ）知，11,(0,2)4a x =∈时，1min1()(1)2f x f ==-. 又2222()24g x x bx =-+，[]21,2x ∈， ①当1b ≤时，2min ()(1)52g x g b ==-，故1522b b -≥-⇒∈∅；②当12b <<时，22min ()()4g x g b b ==-，故2142b b -≥-⇒∈∅； ③当2b ≥时，2min ()(2)84g x g b ==-，故1178428b b -≥-⇒≥.综上，178b ≥. 总结：这两题中，12,x x 都是主元，这种“任意-存在”型问题的常见题型及具体转化策略为：112212,,()()x D x D f x g x ∀∈∃∈=1122()()f x D g x D ⇔⊆在上的值域在上的值域； 112212,,()()x D x D f x g x ∀∈∃∈>1122()()f x D g x D ⇔>在上的最小值在上的最小值； 112212,,()()x D x D f x g x ∀∈∃∈<1122()()f x D g x D ⇔<在上的最大值在上的最大值.读者可以小试下例：例12 （1）（2008天津）设1a >，若对于任意的[]2x a a ∈，，都有2y a a ⎡⎤∈⎣⎦，满足方程log log 3a a x y +=，这时a 的取值的集合为（ ）A ．{}12a a <≤B ．{}2a a ≥C ．{}23a a ≤≤D ．{}23，（答案:由题意,[]32,2,,,a x a a y a a y x ⎡⎤∀∈∃∈=⎣⎦．[]32,2,a x a a y a a x ⎡⎤∈=⎣⎦即时，的值域是的一个子集222,, 2.2a a a a a ⎡⎤⎡⎤⊆⇒≥⎢⎥⎣⎦⎣⎦即） （2）设1a >，若对于[][],2,,2x a a y a a ∀∈∃∈满足l o g l o g 3a a x y +>,这时a 的取值范围为 .（答案:由题意,[][]3,2,,2,a x a a y a a y x∀∈∃∈<． []32,2,[,]a x a a y a a x∈∈即时，的最大值小于y 的最大值，即221 2.a a a <⇒<<）4.3 “存在-存在”型例13 （1）若实数0m ≠，存在[]121,,1,1x x ⎡∈∈-⎣21mx =+，这时m 的取值范围为 .（2）若实数0m ≠，存在[]121,,1,1x x ⎡∈∈-⎣21mx ≤+，这时m 的取值范围为 .解析:（1）记函数11()1f x x =⎡∈⎣，[]222()11,1,g x x mx =+∈-.- 11 -则题意中，[]121,,1,1x x ⎡∃∈∈-⎣，12()()f x g x =[]121,,1,1x x ⎡⇔∈∈-⎣时，函数1()f x 值域与2()g x 值域的交集非空. 即0[3,4][1,1]m m m >⎧⎨⋂-+≠∅⎩或0[3,4][1,1]m m m <⎧⎨⋂+-≠∅⎩， 即013m m >⎧⎨+≥⎩或013m m <⎧⎨-≥⎩22m m ⇒≥≤-或. （2）题意中，[]121,,1,1x x ⎡∃∈∈-⎣，12()()f x g x ≤[]121,,1,1x x ⎡⇔∈∈-⎣时，函数1min 2max ()()f x g x ≤. 即031m m >⎧⎨≤+⎩或031m m <⎧⎨≤-⎩22m m ⇒≥≤-或. 总结：本例中这种双主元的“存在-存在”型问题的转化策略可总结为：112212,,()()x D x D f x g x ∃∈∈=1122()()f x D g x D ⇔在上值域与在上值域的交集非空；112212,,()()x D x D f x g x ∃∈∈>1122()()f x D g x D ⇔>在上的最大值在上的最小值.以上探讨的四大类“恒成立”与“有解”问题中参数范围的求法，具体结合了转化与化归等重要数学思想，具有一定的普遍意义，属于高考所强调的“通性通法”的范畴. 只有在不断的解题实践中，逐渐摸索与总结，才能恰当选择、灵活运用相关方法与策略去合理地解题. 所谓云开雾散、柳暗花明，这不正是我们所追求的解题境界吗？参考文献：[1] 蒋寿荣．新高考试卷中的全称量词和存在量词[J]．数学通讯，2009，5(下半月).[2] 朱贤良，付朝华.另类“恒成立”与“有解”问题[J]．中学数学教学，2010，1.[3] 程贤清，景亚晓，徐小艳．破解不等式恒成立问题的十大策略[J]．中学数学，2011，6．[4] 孙枫，许成文．含“全称量词”与“存在量词”的数学问题[J]．中小学数学(高中)，2010，6.作者概况：朱贤良，男，1981年12月生，安徽枞阳人．中学一级教师，任教于安徽省级示范高中枞阳县会宫中学．主要从事中学数学教学研究、高考试题研究与初等数学研究等，近两年在《中学数学教学参考》、《数学通讯》、《中小学数学》、《中学数学教学》等杂志发表论文十余篇．通讯地址：246740 安徽省枞阳县会宫中学E-MAIL:zxl.ah@QQ:326516975。
“恒成立(任意型)、能成立(存在型)、恰成立”三大问题求解参数取值范围的解题切入点-高一版 - 上传版
对任意的x1、x2∈A，恒有a>| f(x1)-f(x2)|成立；等价于a>| f(x1)-f(x2)|max成立,而| f(x1)-f(x2)|max=f(x)max-f(x)min
4.单一函数、双“存在”型
存在x1、x2∈A，使得|f(x1)-g(x2)|<a等价于|f(x1)-g(x2)|min<a，而|f(x1)-g(x2)|min要通过 与 的值域来得到。
等价于在区间D上函数 和图象在函数 图象上方
（4）∀x∈D,均有f(x)﹤g(x)恒成立，则F(x)=f(x)-g(x)﹤0，F(x)max﹤0
等价于在区间D上函数 和图象在函数 图象下方
（5）∀x1∈D,∀x2∈E,均有f(x1) >g(x2)恒成立，则f(x)min>g(x)max
（6）∀x1∈D,∀x2∈E,均有f(x1) <g(x2)恒成立，则f(x)max<g(x)min
＝9a－5；
∴g(a)＝
(2)设≤a1<a2≤，则g(a1)－g(a2)
＝(a1－a2)(1－)>0，
∴g(a1)>g(a2)，
∴g(a)在[，]上是减函数．
设<a1<a2≤1，则g(a1)－g(a2)＝(a1－a2)(9－)<0，∴g(a1)<g(a2)，
∴g(a)在(，1]上是增函数．
∴当a＝时，g(a)有最小值.
4.恒成立与存在性的综合性问题
注意恒成立与存在有解的区别与联系
（1）∀x1∈D,∃x2∈E,使得f(x1) >g(x2)成立，则f(x)min>g(x)min
（2）∀x1∈D,∃x2∈E,使得f(x1) <g(x2)成立，则f(x)max<g(x)max
恒成立问题求参数范围的方法
恒成立问题求参数范围的方法
嘿，朋友们！今天咱要来唠一唠恒成立问题求参数范围的方法，这可太重要啦！
比如说，你看那函数 f(x)=x^2+2ax+1，要是让它在某个区间上恒大于0，这不就得想法子找出 a 的范围嘛。
这就好比你要去寻找宝藏，得知道从哪里开始挖呀！
咱先来说说分离参数法。
就是把参数和变量分开来，让参数在一边，变量在另一边。
就像你把好东西和坏东西分开放一样，这样清楚明白！比如说有个式子 mx^2+2x-1>0 恒成立，咱就可以把 m 分离出来，m>1/x^2-2/x。
然后再去研究右边这个式子的最值，不就可以求出 m 的范围啦！
再来就是最值法啦。
你想想，要恒成立，那函数的最值是不是得满足条件呀？好比你要跑赢比赛，总得知道自己的最快速度才行嘛。
比如函数
f(x)=ax^3+bx^2+cx 在区间[1,2]上恒小于 2，那咱就求出这个函数在这个区间上的最大值，让它小于 2 不就得了。
还有图像法呢，通过画函数图像来直观地看出参数的范围。
这就像你看地图找路一样，一目了然呀！比如说知道一个函数的大致形状，然后根据恒成立的条件在图像上找找线索。
哎呀呀，这些方法各有各的好用之处。
分离参数法简单直接，最值法稳妥可靠，图像法直观形象。
所以说呀，恒成立问题求参数范围并不可怕，只要咱掌握了这些方法，就像有了一把钥匙，能打开那扇通往正确答案的门！遇到这种问题咱就不用愁啦，大胆去尝试，肯定能找到答案！。
“恒成立”问题的参数范围
利用函数的导数求解“恒成立”求参数范围问题（1）恒成立问题求参数范围：min )()(x f a x f a <⇔< max )()(x f a x f a >⇔>例1已知函数()(1)ln 1f x x x x =+-+.若2'()1xf x x ax ≤++求a 的取值范围；练习1.设函数c bx ax x x f 8332)(23+++=在1=x 及2=x 时取得极值（1）求a,b 的值,(2)若对于任意的∈x ［0,3］都有2)(c x f <成立,求c 的取值范围答案：1. 解: (1)a=-3,b=4 (2)9+8c<c 2,解得c<-1或c>9（2）恒成立问题求参数范围：分离参数法。
例2. 已知函数x a x x f ln )(2+= (1)e a 2-=时，求函数)(x f 的单调区间和极值，(2)若函数x x f x g 2)()(+=在［1，4］是减函数，求实数a 的取值范围解得：(1)函数)(x f 的单调递减区间是),0(e ，单调递增区间是（,e )∞+，极小值是0)(=e f（2）由x x a x x g 2ln )(2++=得222)(xx a x x g -+='依题意0)(≤'x g 所以0222≤-+x x a x 即222x x a -≤又222)(x xx -=ϕ在［1，4］上是减函数，故 ϕ（4）min =263-所以263-≤a 练习1.已知)10(cos )(<<-+=-x x x ae x f x （1）若对任意的0)(),1,0(<∈x f x恒成立，求实数a 的取值范围。
（2）求证：)10(21sin 2<<+<+-x x x ex 解：（1）1-≤a(2)构造函数)10(21sin )(2<<--+=-x x x e x h x 且0)0(=h 则x x e x h x -+-='-cos )(由（1）知当a=-1时，)10(0cos )(<<<-+-=-x x x e x f x 故h(x)在（0，1）上单调递减，h(x)<h(0)=0即)10(21sin 2<<+<+-x x x e x (3) 恒成立问题求参数范围—构造新函数法的单调性或利用原函数的单调性例3.设函数f (x )＝(x ＋1)ln(x ＋1)，若对所有的x ≥0，都有f (x )≥ax 成立，求实数a 的取值范围．解法：令g (x )＝(x ＋1)ln(x ＋1)－ax ，对函数g (x )求导数：g ′(x )＝ln(x ＋1)＋1－a 令g ′(x )＝0，解得x ＝e a －1－1，(i )当a ≤1时，对所有x ＞0，g ′(x )＞0，所以g (x )在[0，＋∞)上是增函数， 又g (0)＝0，所以对x ≥0，都有g (x )≥g (0)，即当a ≤1时，对于所有x ≥0，都有 f (x )≥ax ． (ii )当a ＞1时，对于0＜x ＜e a －1－1，g ′(x )＜0，所以g (x )在(0，e a －1－1)是减函数， 又g (0)＝0，所以对0＜x ＜e a －1－1，都有g (x )＜g (0)，即当a ＞1时，不是对所有的x ≥0，都有f (x )≥ax 成立．综上，a 的取值范围是（－∞，1]．练习1 设函数22)1ln()(+-+=x x x x f 证明：当x>0时，0)(>x f。
“恒成立”条件下参数范围的求解策略
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际问题，四是探索未知领域。
参数范围求解在数学中的应用非 常广泛，例如在不等式、函数、 数列、解析几何等领域都有应用
。
02 恒成立的数学模型
一次函数恒成立Biblioteka 数学模型一次函数一般形式为：$y = kx + b$，当$k \neq 0$时，函 数为一次函数。
对于一次函数，若要使函数恒成立，需要满足条件：$k > 0$ 且$b \geq 0$。
恒成立在数学中的重要性主要体现在以下几个方面：一是简化数学问题，二是优化 算法，三是解决实际问题，四是探索未知领域。
参数范围求解的意义和应用
参数范围求解是指通过一定的方 法，求解出使数学表达式恒成立
的参数的取值范围。
参数范围求解的意义主要体现在 以下几个方面：一是简化数学问 题，二是优化算法，三是解决实
增强求解策略的普适性
总结通用方法
对于不同类型的“恒成立”问 题，总结通用的求解方法，例 如利用函数的单调性、不等式
的放缩法、数形结合等。
推广到多元函数
将单变量函数的“恒成立”问题拓 展到多元函数的情形，利用多元函 数的性质，如偏导数、雅可比矩阵 等，求解参数范围。
考虑一般情况
对于特殊情况的“恒成立”问题， 尝试找到一般情况的解决方法，使 得求解策略更具有普遍性。
拓展应用领域
随着数学在其他学科中的应用越来越广泛，“恒成立”条件下参数范围的求解策略也可以 应用于其他领域，如物理学、化学、生物学等。因此，未来可以进一步拓展这一领域的应 用范围。
结合大数据技术
在大数据时代，结合大数据技术对“恒成立”条件下参数范围问题进行数据分析和挖掘， 可以为解决复杂问题提供更多的支持和帮助。因此，未来可以进一步探讨如何将大数据技 术与这一领域相结合，以实现更高效的数据分析和处理。
专题突破一利用导函数研究恒成立(教)
专题突破一 高考中的导数综合问题第1课时 利用导数研究恒(能)成立问题题型一 分离参数求参数范围例1 已知函数f (x )＝a e x －2x ＋1.(1)当a ＝1时，求函数f (x )的极值；(2)若f (x )>0对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝e x －2x ＋1，则f ′(x )＝e x －2，令f ′(x )<0，解得x <ln 2；令f ′(x )>0，解得x >ln 2.故函数f (x )在(－∞，ln 2)上单调递减，在(ln 2，＋∞)上单调递增，故函数f (x )的极小值为f (ln 2)＝2－2ln x ＋1＝3－2ln 2，无极大值．(2)f (x )>0对x ∈R 恒成立，即a >2x －1e x 对任意x ∈R 都成立， 设g (x )＝2x －1e x ，则a >g (x )max ， g ′(x )＝2e x －(2x －1)e x (e x )2＝3－2x e x ， 令g ′(x )>0，解得x <32；令g ′(x )<0，解得x >32. 故函数g (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，32上单调递增，在⎝⎛⎭⎫32，＋∞上单调递减， ∴g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫32＝322e ＝322e -.故实数a 的取值范围为322e -∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，. 思维升华 分离参数法解决恒(能)成立问题的策略(1)分离变量.构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．(2)a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ；a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min ；a ≥f (x )能成立⇔a ≥f (x )min ；a ≤f (x )能成立⇔a ≤f (x )max .跟踪训练1 已知函数f (x )＝ax －e x (a ∈R )，g (x )＝ln x x. (1)求函数f (x )的单调区间；(2)∃x ∈(0，＋∞)，使不等式f (x )－g (x )＋e x ≤0成立，求a 的取值范围．解 (1)因为f ′(x )＝a －e x ，x ∈R .当a ≤0时，f ′(x )<0，f (x )在R 上单调递减；当a >0时，令f ′(x )＝0，得x ＝ln a .由f ′(x )>0，得f (x )的单调递增区间为(－∞，ln a )；由f ′(x )<0，得f (x )的单调递减区间为(ln a ，＋∞)．综上所述，当a ≤0时，f (x )的单调递减区间为(－∞，＋∞)，无单调递增区间；当a >0时，f (x )的单调递增区间为(－∞，ln a )，单调递减区间为(ln a ，＋∞)．(2)因为∃x ∈(0，＋∞)，使不等式f (x )－g (x )＋e x ≤0成立，所以ax ≤ln x x ，即a ≤ln x x 2. 设h (x )＝ln x x 2，则问题转化为a ≤⎝⎛⎭⎫ln x x 2max . 由h ′(x )＝1－2ln x x 3，令h ′(x )＝0，得x ＝ e. 当x 在区间(0，＋∞x (0，e) e(e ，＋∞) h ′(x ) ＋ 0 －h (x ) ↗ 极大值12e↘由上表可知，当x ＝e 时，函数h (x )有极大值，即最大值，为12e ，所以a ≤12e. 故a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，12e .题型二 等价转换法求参数的范围例2 (2020·合肥六校联考)已知函数f (x )＝(x ＋a －1)e x ，g (x )＝12x 2＋ax ，其中a 为常数． (1)当a ＝2时，求函数f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)若对任意的x ∈[0，＋∞)，不等式f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围．解 (1)因为a ＝2，所以f (x )＝(x ＋1)e x ，所以f (0)＝1，f ′(x )＝(x ＋2)e x ，所以f ′(0)＝2，所以所求切线方程为2x －y ＋1＝0.(2)令h (x )＝f (x )－g (x )，由题意得h (x )min ≥0在x ∈[0，＋∞)上恒成立，因为h (x )＝(x ＋a －1)e x －12x 2－ax ， 所以h ′(x )＝(x ＋a )(e x －1)．①若a ≥0，则当x ∈[0，＋∞)时，h ′(x )≥0，所以函数h (x )在[0，＋∞)上单调递增，所以h (x )min ＝h (0)＝a －1，则a －1≥0，得a ≥1.②若a <0，则当x ∈[0，－a )时，h ′(x )≤0；当x ∈[－a ，＋∞)时，h ′(x )≥0，所以函数h (x )在[0，－a )上单调递减，在[－a ，＋∞)上单调递增，所以h (x )min ＝h (－a )，又因为h (－a )<h (0)＝a －1<0，所以不符合题意．综上，实数a 的取值范围为[1，＋∞)．思维升华 对不适合分离参数的不等式，常常将参数看成常数，直接构造函数，转化成求函数的最值问题． 跟踪训练2 已知函数f (x )＝e x －ax .(1)讨论f (x )的单调性；(2)当x ∈[0，＋∞)时，都有f (x )>－a ，求实数a 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝e x －a (x ∈R )，当a ≤0时，f ′(x )>0，∴f (x )在R 上单调递增；当a >0时，令f ′(x )>0⇒x >ln a ，令f ′(x )<0⇒x <ln a ，∴f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．(2)依题意知，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )min >－a ，由(1)知，当a ≤1时，f (x )在[0，＋∞)上单调递增，∴f (x )min ＝f (0)＝1>－a ，∴－1<a ≤1.当a >1时，f (x )在[0，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增，∴f (x )min ＝f (ln a )＝e ln a －a ln a ＝a －a ln a >－a ，解得1<a <e 2.综上，函数a 的取值范围为(－1，e 2)．题型三 双变量的恒(能)成立问题例3 设f (x )＝a x＋x ln x ，g (x )＝x 3－x 2－3. (1)如果存在x 1，x 2∈[0,2]，使得g (x 1)－g (x 2)≥M 成立，求满足上述条件的最大整数M ；(2)如果对于任意的s ，t ∈⎣⎡⎦⎤12，2，都有f (s )≥g (t )成立，求实数a 的取值范围．解 (1)存在x 1，x 2∈[0,2]，使得g (x 1)－g (x 2)≥M 成立，等价于[g (x 1)－g (x 2)]max ≥M 成立．g ′(x )＝3x 2－2x ＝x (3x －2)，令g ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝23， ∵g ⎝⎛⎭⎫23＝－8527， 又g (0)＝－3，g (2)＝1，∴当x ∈[0,2]时，g (x )max ＝g (2)＝1，g (x )min ＝g ⎝⎛⎭⎫23＝－8527， ∴M ≤1－⎝⎛⎭⎫－8527＝11227， ∴满足条件的最大整数M 为4.(2)对任意的s ，t ∈⎣⎡⎦⎤12，2有f (s )≥g (t )，则f (x )min ≥g (x )max .由(1)知当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，g (x )max ＝g (2)＝1，∴当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，f (x )＝a x＋x ln x ≥1恒成立， 即a ≥x －x 2ln x 恒成立．令h (x )＝x －x 2ln x ，x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，∴h ′(x )＝1－2x ln x －x ，令φ(x )＝1－2x ln x －x ，∴φ′(x )＝－3－2ln x <0，h ′(x )在⎣⎡⎦⎤12，2上单调递减，又h ′(1)＝0，∴当x ∈⎣⎡⎦⎤12，1时，h ′(x )≥0，当x ∈[1,2]时，h ′(x )≤0，∴h (x )在⎣⎡⎦⎤12，1上单调递增，在[1,2]上单调递减，∴h (x )max ＝h (1)＝1，故a ≥1.∴实数a 的取值范围是[1，＋∞)．思维升华 “双变量”的恒(能)成立问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，进行等价变换，常见的等价转换有(1)∀x 1，x 2∈D ，f (x 1)>g (x 2)⇔f (x )min >g (x )max .(2)∀x 1∈D 1，∃x 2∈D 2，f (x 1)>g (x 2)⇔f (x )min >g (x )min .(3)∃x 1∈D 1，∀x 2∈D 2，f (x 1)>g (x 2)⇔f (x )max >g (x )max .跟踪训练3 已知函数f (x )＝x －1－a ln x (a <0)．(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)当0<x 1<x 2≤1时，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<4x 1x 2，求实数a 的取值范围． 解 (1)由题意知f ′(x )＝1－a x ＝x －a x(x >0)， 因为x >0，a <0，所以f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．(2)∵0<x 1<x 2≤1，∴x 1－x 2<0，∴原不等式等价于f (x 1)－f (x 2)>4(x 1－x 2)x 1x 2， 即f (x 1)－f (x 2)>4x 2－4x 1， 即f (x 1)＋4x 1>f (x 2)＋4x 2. 设g (x )＝f (x )＋4x，x ∈(0,1]， |f (x 1)－f (x 2)|<4⎪⎪⎪⎪1x 1－1x 2等价于g (x )在(0,1]上单调递减，所以g ′(x )≤0在(0,1]上恒成立⇔1－a x －4x 2＝x 2－ax －4x 2≤0在(0,1]上恒成立⇔a ≥x －4x在(0,1]上恒成立，易知y ＝x －4x在(0,1]上单调递增，其最大值为－3.因为a <0，所以－3≤a <0，所以实数a 的取值范围为[－3,0)． 培优点 隐零点问题在求解导数问题时，我们一般对函数的零点设而不求，通过一种整体代换和过渡，再结合题目条件最终解决问题，我们称这类问题为“隐零点问题”．例1. 已知函数)2ln()(+-=x e x g x，证明)(x g ＞0.跟踪练习：已知函数x a e x f x ln )(-=.（I ）讨论)(x f 的导函数)('x f 的零点的个数；（II ）证明：当0>a 时，)ln 2()(a a x f -≥.课时精练1．设函数f (x )＝ln x ＋a x(a 为常数)． (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)不等式f (x )≥1在x ∈(0,1]上恒成立，求实数a 的取值范围．解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－a x 2＋1x ＝x －a x 2， 当a ≤0时，又x >0，∴x －a >0，∴f ′(x )>0，∴f (x )在定义域(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，若x >a ，则f ′(x )>0，∴f (x )单调递增；若0<x <a ，则f ′(x )<0，∴f (x )单调递减．综上可知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，f (x )在区间(0，a )上单调递减，在区间(a ，＋∞)上单调递增．(2)f (x )≥1⇔a x ＋ln x ≥1⇔a x≥－ln x ＋1⇔a ≥－x ln x ＋x 对任意x ∈(0,1]恒成立． 令g (x )＝－x ln x ＋x ，x ∈(0,1]．则g ′(x )＝－ln x －x ·1x＋1＝－ln x ≥0，x ∈(0,1]， ∴g (x )在(0,1]上单调递增，∴g (x )max ＝g (1)＝1，∴a ≥1，故a 的取值范围为[1，＋∞)．2．已知函数f (x )＝x ln x (x >0)．(1)求函数f (x )的极值；(2)若存在x ∈(0，＋∞)，使得f (x )≤－x 2＋mx －32成立，求实数m 的最小值． 解 (1)由f (x )＝x ln x ，得f ′(x )＝1＋ln x ，令f ′(x )>0，得x >1e ；令f ′(x )<0，得0<x <1e.所以f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞上单调递增． 所以f (x )在x ＝1e 处取得极小值，且为f ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1e，无极大值． (2)由f (x )≤－x 2＋mx －32，得m ≥2x ln x ＋x 2＋3x .问题转化为m ≥⎝⎛⎭⎫2x ln x ＋x 2＋3x min . 令g (x )＝2x ln x ＋x 2＋3x ＝2ln x ＋x ＋3x (x >0)．则g ′(x )＝2x ＋1－3x 2＝x 2＋2x －3x 2＝(x ＋3)(x －1)x 2. 由g ′(x )>0，得x >1；由g ′(x )<0，得0<x <1.所以g (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．所以g (x )min ＝g (1)＝4，则m ≥4.故m 的最小值为4.3．已知f (x )＝e x －ax 2.(1)若f (x )在x ＝1处的切线与直线(e －2)x －y ＝0平行，求a 的值；(2)当x ∈[0，＋∞)时，恒有f (x )≥x ＋(1－x )e x ，求实数a 的取值范围． 解 (1)f ′(x )＝e x －2ax ，∴f ′(1)＝e －2a ＝e －2，∴a ＝1.(2)f (x )≥x ＋(1－x )e x ，即e x －ax 2≥x ＋e x －x e x ，即e x －ax －1≥0，x ≥0.令h (x )＝e x －ax －1(x ≥0)，则h ′(x )＝e x －a (x ≥0)，当a ≤1时，由x ≥0知h ′(x )≥0，∴h (x )在[0，＋∞)上单调递增，∴在[0，＋∞)上h (x )≥h (0)＝0，原不等式恒成立．当a >1时，令h ′(x )>0，得x >ln a ；令h ′(x )<0，得0≤x <ln a .∴h (x )在[0，ln a )上单调递减，又∵h (0)＝0，∴h (x )≥0不恒成立，∴a >1不合题意．综上，实数a 的取值范围为(－∞，1]．4．已知函数f (x )＝x 2＋(a ＋1)x －ln x ，g (x )＝x 2＋x ＋2a ＋1.(1)若f (x )在(1，＋∞)上单调递增，求实数a 的取值范围；(2)当x ∈[1，e]时，f (x )<g (x )恒成立，求实数a 的取值范围．解 (1)f (x )＝x 2＋(a ＋1)x －ln x ，f ′(x )＝2x ＋(a ＋1)－1x. 依题意知x ∈(1，＋∞)时，2x ＋(a ＋1)－1x≥0恒成立， 即a ＋1≥1x －2x .令k (x )＝1x －2x ，x ∈(1，＋∞)，∴k ′(x )＝－1x 2－2<0， ∴k (x )在(1，＋∞)上单调递减，∴k (x )<k (1)＝－1，∴a ＋1≥－1，即a ≥－2， ∴实数a 的取值范围为{a |a ≥－2}．(2)令φ(x )＝f (x )－g (x )＝ax －ln x －2a －1，x ∈[1，e]，则只需φ(x )max <0即可，φ′(x )＝a －1x ＝ax －1x. 当a ≤0时，φ′(x )<0，∴φ(x )在[1，e]上单调递减，∴φ(x )max ＝φ(1)＝－a －1，∴－a －1<0，即a >－1，∴－1<a ≤0.当a >0时，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，φ′(x )<0，当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，φ′(x )>0， ∴φ(x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递增， ∴要使φ(x )max <0，只需⎩⎪⎨⎪⎧ φ(1)<0，φ(e )<0，a >0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －a －1<0，a e －2a －2<0，a >0，解得0<a <2e －2， 综上，实数a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪ －1<a <2e －2.5．已知函数f (x )＝x －(a ＋1)ln x －a x (a ∈R )，g (x )＝12x 2＋e x －x e x . (1)当x ∈[1，e]时，求f (x )的最小值；(2)当a <1时，若存在x 1∈[e ，e 2]，使得对任意的x 2∈[－2,0]，f (x 1)<g (x 2)成立，求a 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝(x －1)(x －a )x 2. ①当a ≤1，x ∈[1，e]时，f ′(x )≥0，f (x )单调递增，f (x )min ＝f (1)＝1－a . ②当1<a <e ，x ∈[1，a ]时，f ′(x )≤0，f (x )单调递减；x ∈[a ，e]时，f ′(x )≥0，f (x )单调递增；所以f (x )min ＝f (a )＝a －(a ＋1)ln a －1. ③当a ≥e ，x ∈[1，e]时，f ′(x )≤0，f (x )在[1，e]上单调递减．f (x )min ＝f (e)＝e －(a ＋1)－a e， 综上，当a ≤1时，f (x )min ＝1－a ；当1<a <e 时，f (x )min ＝a －(a ＋1)ln a －1；当a ≥e 时，f (x )min ＝e －(a ＋1)－a e. (2)由题意知f (x )(x ∈[e ，e 2])的最小值小于g (x )(x ∈[－2,0])的最小值． 由(1)知当a <1时f (x )在[e ，e 2]上单调递增，f (x )min ＝f (e)＝e －(a ＋1)－a e.g ′(x )＝(1－e x )x . 当x ∈[－2,0]时，g ′(x )≤0，g (x )单调递减，g (x )min ＝g (0)＝1，所以e －(a ＋1)－a e <1，即a >e 2－2e e ＋1， 所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫e 2－2e e ＋1，1.。
第二章专题恒成立与存在性求参数范围问题课件高一上学期数学人教A版
解 :由题意可得,
m2 42m 3 m2 8m 12 0,
解得 6 m 2,
{m 6 m 2}.
2. 分离参数最值法
例2已知 x 1,不等式 x2 ax x2 2恒成立,求实数 a的取值范围.
a 2x2 2 x
解: 当 x＝0时, x2＋a|x|＋1＝1 ≥ 0 成立. 当 x≠0 时，a|x|≥－(x2＋1)，a≥－ |x|＋|1x| 恒成立.
∵ |x|＋|1x| ≥ 2 (当且仅当 |x|＝1 时, 等号成立), ∴－|x|＋|1x|≤－2, ∴a≥－2.
2. 分离参数最值法
练习2 : 若不等式a2 b2 2 ( 1)(a b) 对任意的正数 a, b 恒成立, 求实数 的取值范围.
例题选讲
例1不等式(a 2)x2 2(a 2)x 4 0 对一切 x R 恒
成立,求实数 a的取值范围.
a 2, 2.
1. 判别式法, 必须具备以下两个条件:
(1) 能转化成关于 x 的一元二次不等式; (2) 不等式对任意 x R的恒成立.
1. 判别式法
练习:已知不等式 x2 mx 2m 3 0的解集为, 求实数 m的取值范围.
4. 更换主元法
例4若对任意 a [1,1],函数 f (x) x2+(a 4)x 4 2a
的值恒大于零, 则 x的取值范围是( C )
A.(,1) (2, ) B.(1, 2) C.(,1) (3, ) D.(1,3)
方法一: 更换主元 +图象法;
方法二 : 参变分离最值法.
恒成立求参数范围常用的有三种方法:
0
x
x
x1,或x
构造斜率求恒成立问题中参数的取值范围
构造斜率求恒成立问题中参数的取值范围作者：何方璇来源：《新课程·教师》2016年第01期在各省市的高考题中，常将导数作为压轴题的考查对象，而导数中多涉及不等式的恒成立的证明或求解问题，本文以解决不等式恒成立问题的两种方法比较为突破点，发现一类恒成立问题，采用构造动函数分类讨论往往很困难，但若巧妙地构造斜率可以有效地降低题目的思维量和运算量，达到事半功倍的效果。
一、一道高考题的两种解法【2012全国大纲卷理科第20题】设函数f（x）=ax+cosx，x∈[0，π]（1）讨论f（x）的单调性；（2）设f（x）≤1+sinx，求a的取值范围。
解：（1）略解法1：ax+cosx≤1+sinx，x∈[0，π]等价转换为ax+cosx-1-sinx≤0，令g（x）=ax+cosx-1-sinx，要使g（x）≤0成立，只需使gmax（x）≤0g′ （x）=a-cosx-sinx=a- sin（x+ ），∵x∈[0，π]，∴ sin（x+ ）∈[-1， ]①当a≥ 时，g′ （x）≥0，g（x）在x∈[0，π]上单调递增，gmax（x）=g（π）=aπ-2≤0即a≤ ，所以a∈？准②当a≤-1时，g′ （x）≤0，g（x）在x∈[0，π]上单调递减，gmax（x）=g（0）=0≤0即a∈R，所以a≤-1③当-1g（x）单调递减，x∈（x0，π]，g′ （x）>0，g（x）单调递增。
所以gmax（x）为g（0）和g（π）的最大值。
g（0）≤0g（π）≤0得a≤ ，所以-1④当-1≤a< 时，令g′（x）=0，？埚x1∈（0，），x2∈（，），当x∈[0，x1），g′ （x）>0，g（x）单调递增，因为g（0）=0，？埚x3∈[0，x1）使g （x3）≥g（0）=0所以1≤a< 不成立。
综上所述a的取值范围为a≤ 。
解法2：ax+cosx≤1+sinx①当x=0时，a∈R②当x∈（0，π]时，a≤ ，令g（x）=sinx-cosx+1= sin（x- ）+1，g（0）=0则上式转化为a≤ =k，其中k为函数图象上点（x，g（x））与点（0，g（0））连线的斜率。
高中数学恒成立问题中参数范围的求法
一、变换主元法
2
例1、已知函数f(x)=x+(a-6)x+9-3a,当-1≤a≤1时，f(x)>0恒成立，求x的取值范围。
二、判别式法
2 2
例2、已知函数f(x)=lg[x+(a-1) x+a 的定义域是实数集R,求实数a的取值范围
三、分离参数法例3、不等式x+ax+1≥0,对x (0, ]恒成立，求实数a 的取值范围221
四、利用根的分布例4（同例3）、不等式x+ax+1≥0,对x (0, ]恒成立，求实数a 的取值范围
212
五、数形结合法
x
例5、若函数f(x)=a-x-a(a>0,且a≠1）恒有两个零点，求实数a的取值范围
2
例6、当1<x<2时，不等式(x-1)<logx恒成立，求实数a的取值范围
六、根据函数的奇偶性、周期性等性质•若函数f(x)是奇(偶)函数，则对一切定义域中的x ,f(-x)=-f(x)•(f(-x)=f(x))恒成立；若函数y=f(x)的周期为T，则对一切定义域•中的x,f(x)=f(x+T)恒成立。
分析：告诉我们偶函数的条件，即相当于告诉我们一个恒成立问题。
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专题——求恒成立问题参数范围
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专题——求参数取值范围一般方法
概念与用法
恒成立问题是数学中常见问题，也是历年高考的一个热点。
题型特点大多以已知一个变量的取值范围，求另一个变量的取值范围的形式出现。
这样的题型会出现于代数中的不等式里也会出现在几何里。
就常考题型的一般题型以及解题方法，我在这里做了个小结。
题型以及解题方法
一，分离参数
在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若()a f x ≥恒成立，只须求出()max f x ，则()max a f x ≥；若()a f x ≤恒成立，只须求出()min f x ，则()min a f x ≤，转化为函数求最值。
例1、已知函数()lg 2a f x x x ⎛⎫=+
- ⎪⎝⎭，若对任意[)2,x ∈+∞恒有()0f x >，试确定a 的取值范围。
解：根据题意得：21a x x +
->在[)2,x ∈+∞上恒成立， 即：23a x x >-+在[)2,x ∈+∞上恒成立，
设()23f x x x =-+，则()2
3924f x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝
⎭ 当2x =时，()max 2f x = 所以2a >
例2．已知当x ∈R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx+45-a 恒成立，求实数a 的取值范围。
分析：在不等式中含有两个变量a 及x ，其中x 的范围已知（x ∈R ），另一变量a 的范围即为所求，故可考虑将a 及x 分离。
解：原不等式即：4sinx+cos2x<45-a -a+5 要使上式恒成立，只需45-a -a+5大于4sinx+cos2x 的最大值，故上述问题转化成求f(x)=4sinx+cos2x 的最值问题。
f(x)= 4sinx+cos2x=-2sin 2x+4sinx+1=-2(sinx -1)2+3≤3,
∴45-a -a+5>3即45-a >a+2 上式等价于⎪⎩
⎪⎨⎧->-≥-≥-2)2(4504502a a a a 或⎩⎨⎧≥-<-0
4502a a ，解得≤54a<8. 说明：注意到题目中出现了sinx 及cos2x ，而cos2x=1-2sin 2x,故若把sinx 换元成t,则可把原不等式转化成关于t 的二次函数类型。
二，变主换元
在给出的含有两个变量的不等式中，学生习惯把变量x 看成是主元（未知数），而把另一个变量a 看成参数，在有些问题中这样的解题过程繁琐。
如果把已知取值范围的变量作为主元，把要求取值范围的变量看作参数，则可简化解题过程。
例3．对于满足|p|≤2的所有实数p,求使不等式x 2+px+1>2p+x 恒成立的x 的取值范围。
分析：在不等式中出现了两个字母：x 及P,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。
显然可将p 视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于p 的一次函数大于0恒成立的问题。
解：不等式即(x -1)p+x 2-2x+1>0,设f(p)= (x -1)p+x 2-2x+1,则f(p)在[-2,2]上恒大于0，故有：
⎩⎨⎧>>-)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧>->+-0
103422x x x 解得：⎩⎨⎧-<><>1113x x x x 或或 ∴x<-1或x>3.
例4、若不等式()2211x m x ->-对满足2m ≤的所有m 都成立，求x 的取值范围。
解：设()()
()2121f m m x x =---，对满足2m ≤的m ，()0f m <恒成立， ()()()()()()2221210202021210
x x f f x x ⎧----<-<⎧⎪⎪∴∴⎨⎨<---<⎪⎪⎩⎩ 解得：171322x -++<< 三，利用二次函数根的分布
例5.设f(x)=x 2-2ax+2,当x ∈[-1,+∞)时，都有f(x)≥a 恒成立，求a 的取值范围。
分析：题目中要证明f(x)≥a 恒成立，若把a 移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间[-1,+∞)时恒大于0的问题。
解：设F(x)= f(x)-a=x 2-2ax+2-a.
ⅰ)当∆=4（a -1)(a+2)<0时，即-2<a<1时，对一切x ∈[-1,+∞)，F(x)≥0恒成立； ⅱ）当∆=4（a -1)(a+2) ≥0时由图可得以下充要条件：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤--≥-≥∆,12
20)1(0a f 即⎪⎩
⎪⎨⎧-≤≥+≥+-,1030)2)(1(a a a a 得-3≤a ≤-2;
综合可得a 的取值范围为[-3，1]
四，利用集合与几何之间的关系 在给出的不等式中，若能解出已知取值范围的变量，就可利用集合与集合之间的包含关系来求解，即：[]()(),,m n f a g a ⊂⎡⎤⎣⎦，则()f a m ≤且()g a n ≥，不等式的解即为实数a 的取值范围。
例6、当1,33x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，log 1a x <恒成立，求实数a 的取值范围。
解：1log 1a x -<<Q -o x
y
（1） 当1a >时，1x a a <<，则问题转化为11,3,3a a ⎛⎫⎛⎫⊆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 3113
a a ≥⎧⎪∴⎨≤⎪⎩ 3a ∴≥ （2） 当01a <<时，1a x a <<，则问题转化为11,3,3a a ⎛⎫⎛⎫⊆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1313a a
⎧≤⎪⎪∴⎨⎪≥⎪⎩103a ∴<≤ 综上所得：103
a <≤
或3a ≥ 五，几何中的求参 要确定变量k 的范围，可先建立以k 为函数的目标函数)(t f k =，从而使这种具有函数背景的范围问题迎刃而解。
的范围。
轴上截得在求若若两点相交于与的直线的焦点，过点是给定抛物线一个参数的范围）
、（双参数且已知其中例m y l ],9,4[,AF FB .B ,A C l F C F ,4x y :C 72∈==λλ].34,43[]43,34[k m ].916,169[214k 1y y (y y y y y y )1(y y y y ,y y x 1(1x )y ,x 1()y ,1x (AF FB ,
k m )1x (k y l 222121212
1121121
2121122Y --∈-=∈-+=-+-=⇒⎩⎨⎧-=-=+⇒-=⎩⎨⎧-=-=-⇒--=-=-=⇒-=所求得：，由韦达定理代入整理）由）得由方程为：解：（略解）设直线λ
λλλλλλλλλλ
小练一下
1．已知函数]4,0(,4)(2∈--=x x x ax x f 时0)(<x f 恒成立，求实数a 的取值范围。
2.已知不等式(1)21x m x -<-对()0,3x ∈恒成立，求实数m 的取值范围。
3.已知不等式(1)21x m x -<-对()0,3m ∈恒成立，求实数x 的取值范围。
4.已知不等式2220x ax -+>对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围。
5.已知不等式2220x ax -+>对[]1,2x ∈恒成立，求实数a 的取值范围。
6.已知不等式2220x ax -+>对[]1,2x ∈-恒成立，求实数a 的取值范围。
7.对任意]1,1[-∈a ，不等式024)4(2
>-+-+a x a x 恒成立，求x 的取值范围。