公开课： 空间角的求法
空间角的求法精品(教案).doc
学习必备欢迎下载空间角，能比较集中反映空间想象能力的要求，历来为高考命题者垂青，几乎年年必考。
空间角是异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角总称。
空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转化为空间向量的坐标运算来解。
空间角的求法一般是：一找、二证、三计算。
一、异面直线所成角的求法异面直线所成的角的范围：0 90（一）平移法【例1】已知四边形ABCD 为直角梯形，AD//BC，ABC 90 ，PA 平面 AC ，且 BC 2 ，PAADAB1 ，求异面直线PC 与 BD 所成角的余弦值的大小。
【解】过点 C 作 CE // BD 交 AD 的延长线于E ，连结 PE ，则 PC 与 BD 所成的角为PCE 或它的补角。
CE BD 2，且PE PA2 AE2 10P由余弦定理得 c o s PCE PC 2 CE 2 PE 2 32PC CE 6A 3PC 与 BD 所成角的余弦值为 DC6 B（二）补形法【变式练习】已知正三棱柱ABC A1 B1C1的底面边长为8，侧棱长为 6，D为AC中点。
求异面直线AB1与 BC1所成角的余弦值。
A 1 C1 【答案】125 B 1DCAB二、直线与平面所成角直线与平面所成角的范围：90方法：射影转化法（关键是作垂线，找射影）【例 2】如图，在三棱锥 P ABC 中，APB 90， PAB 60 ，AB BC CA ，点 P 在平面 ABC内的射影 O 在 AB 上，求直线 PC 与平面 ABC 所成的角的大小。
P【解】连接 OC ，由已知，OCP 为直线 PC 与平面 ABC 所成角C设 AB 的中点为 D ，连接 PD ,CD 。
AB BC CA ，所以 CDABABAPB 90 , PAB60 ，所以 PAD 为等边三角形。
不妨设 PA2 ，则 OD 1,OP3, AB4CD 2 3, OCOD 2 CD 213 在 RtOCP 中， tan OCP OP 3 39OC1313【变式练习 1】如图，四棱锥S ABCD 中， AB // CD ， BC CD ，侧面 SAB 为等边三角形。
怎样求空间角、 空间距离
nPMdab2图npMdα1图MdP nβα4图MdP nα3图怎样求空间角、 空间距离求空间角、 空间距离高考的重点热点之一，属必考内容，同时也是最重要的得分点。
既是必考，就须反复操练，烂熟于心。
一、求空间距离方法方法一：用定义法做出相应的距离，转化为两点间的距离问题求解（通常转化为解三角形问题，有时也用等面积、等体积法求之）方法二： 向量坐标法 则d=||||n MP n ⋅（公式一）1、点P 到平面α的距离.如图1（M 为α内的点，n 为平面的法向量）2、异面直线a 与b 的距离如图2（P 为a 上一点，M 为b 上一点，n 为与两异面直线都垂直的向量）3、平行于平面α的直线l 到平面α的距离如图3（P 为线上一点，M 为面α内一点，n 为平面的法向量）4、平行平面α 、β间的距离如图4（P 为α内一点，M 为β内一点，n 为平面的法向量）二、求空间角的方法方法一：用定义法作角，转化为相交直线所成的角，然后求解. 1、异面直线a 与b 所成的角θ在一条直线上找一点作另一直线的平行线，构成三角形，或在具体图形中找另一点，过此点作两直线的平行线，构成三角形. 2、直线l 与平面α所成的角ϕ斜线上选点P ，过P 作PM ⊥α于M ，连 AM, ϕ=AMP ∠为所求;利用公式cos θb nam5图mαMPn6图=cos 1θ cos ϕ （θ为斜外角，1θ为面平角）3、二面角ϕ过二面角棱上一点分别在两个半平面内做垂线，从而得到所求的二面角（通常利用特殊图形法 、两垂一连法既三垂线定理去做）也可用射影面积公式求之 S ′=S cos ϕ方法二：向量法利用公式cos θ =||||||n m n m ⋅（公式二）求出θ= arccos||||||n m n m ⋅1、异面直线a 与b 所成的角θ如图5分别求出两条直线a 与b 的方向向量m 、n，利用公式二求出θ= arccos||||||n m n m ⋅2、直线l 与平面α所成的角ϕ如图6求与l 的方向向量m ,再求平面α的法向量n , m 与n 所在直线所成的角为θ，利用公式二求出θ= arccos||||||n m n m ⋅则ϕ＝2π－θ 3、求二面角ϕ如图7、8求两平面的法向量m 与n 或如图9、10找分别与两半平面平行且都垂直于棱的两向量m 与n .利用公式二求出θ= arccos||||||n m n m ⋅，当ϕ为锐角时如图7、9ϕ=θ， 当ϕ为钝角时如图8、10 ϕ= π－θ三.、用向量求角，求距离典型例题分析（对我们而言，不能求出角和距离许多时候是因为我们不能找到或作出角和距离。
用空间向量求空间角课件(共22张PPT)
向量的加法与数乘
向量的加法满足平行四边形法则或三 角形法则，即$vec{a} + vec{b} = vec{b} + vec{a}$。
数乘是指实数与向量的乘积，满足分 配律，即$k(vec{a} + vec{b}) = kvec{a} + kvec{b}$。
向量的数量积
向量的数量积定义为$vec{a} cdot vec{b} = left| vec{a} right| times left| vec{b} right| times cos theta$，其中$theta$为两 向量的夹角。
数量积满足交换律和分配律，即$vec{a} cdot vec{b} = vec{b} cdot vec{a}$和$(lambdavec{a}) cdot vec{b} = lambda(vec{a} cdot vec{b})$。
03 向量的向量积与混合积
向量的向量积
定义
两个向量a和b的向量积是一个向量，记作a×b，其模长为 |a×b|=|a||b|sinθ，其中θ为a与b之间的夹角。
适用范围
适用于直线与平面不垂直的情况。
利用向量的混合积求二面角
1 2 3
定义
二面角是指两个平面之间的夹角。
计算公式
cosθ=∣∣a×b×c∣∣∣∣a∣∣∣∣b∣∣∣∣c∣∣，其中a、 b和c分别是三个平面的法向量，θ是两个平面之 间的夹角。
适用范围
适用于两个平面不平行的情况。
06 案例分析
案例一：利用空间向量求线线角
定义
线线角是指两条直线之间的夹角。
计算公式
cosθ=∣∣a⋅b∣∣∣∣a∣∣∣∣b∣∣∣， 其中a和b是两条直线的方向向量，
空间角的计算课件
H A E1B 1 7
E1
B1
.G
A
B
1 5
可得直线AH与BE1所成角的余弦值
1 7
1
2
3
5
例1：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
1
4
D1F1= D1C 1,
角的余弦值。
1
B1E1= 4
A1B1，求直线DF1与BE1所成
D1 F1
A1
H
C1
E1 B1
D
A
C
B
例1：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
综合法：作——证——求。
G
解析：延长AH,BE1 交于点G, 所以∠AGGH= 1 7
在三角形HE1G中，由余弦定理得
A1
H
E1
B1
GE12 GH 2 HE12
cos =
2GE1 • GH
17 17 4 15
2 17 17 17
1
点, 且D1E1= 4 D1C1求直线E1F与平面D1AC所成角的正弦值.
D1(0,0,4)
(0,4,4) C1
E1
(4,2,4) B1 (4,4,4)
(4,0,4)
A1
(0,4,0)
C
D
(4,0,0)
A
B
F
(4,4,0)
解：以
{DA,DC,DD}
正交基底，建立如图所示的
1 为
空间直角坐标系D-xyz，则各点的坐标为
D1 A 2, CE 1 (t 2)2 t 2 4t 5
D1 A • CE=1
D1 A • CE
1
所以cos60 =
空间角的计算PPT课件
系 C,如xy图z 所示，设 则C：C1 1
C1
F1
D1
B1
A(1,0,0), B(0,1,0),
1
11
F1( 2 , 0,1), D1( 2 , 2 ,1)
A1
C
所以：AF1
(
1 2
,
0,1),
BD1
(1 2
,
1 2
,1)
A
By
cos AF1, BD1
AF1
6.正方体中ABCD-A1B1C1D1中E为A1D1的
中点, 则二面角E-BC-A的大小是__4__5_0___
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7.正三棱柱 ABC A1B1C1中，D是AC的中点，当 AB1 BC1时，求二面角D BC1 C的余弦值。
8.已知正方体 ABCD A1B1C1D1的边长为2， O为AC和BD的交点，M为DD1 的中点
B
化为向量问题 根据向量的加法法则有
C D
AB AC CD DB
A
d
2
2
AB
( AC
CD
DB )2
2
2
2
AC CD BD 2( AC CD AC DB CD DB)
a2 c2 b2 2AC DB a2 c2 b2 2CA DB
于是，得 2CA DB a2 b2 c2 d 2
法向量的夹
角；
同进同出，
二面角等于
n1
l
法向量夹角 的补角。
n2
l
n1
cos cos n1, n2
cos cos n1, n2
第14页/共59页
1、已知 AB =(2,2,1),AC =(4,5,3),则平面
空间中的角的求法
空间角的求法一.空间角:1.异面直线所成的角: 0°<θ≤90°2.直线与平面所成的角: 0°≤θ≤90°3.二面角: 0°<θ≤180°二.空间角的求法：(计算思想主要是转化)：1.几何法：（1）把空间角转化为平面角，利用三角形的边角关系进行计算（余弦定理）,如图所示（2）计算步骤：一作、二证、三点、四算2.向量法：把空间角的计算转化为空间向量的坐标运算来求解（1）异面直线所成的角：把异面直线所成角化为向量的夹角。
一般地，异面直线l1、l2的方向向量夹角的余弦为：cosa ba bβ⋅=⋅，则所求异面直线所成角（范围）与其相等或互补。
（2）直线和平面所成的角:利用斜线和射影的夹角或考虑法向量，设θ为直线l 与平面α所成的角，ϕ为直线l 的方向向量v 与平面α的法向量n 之间的夹角，则有2πϕθ=-或θπϕ+=2,所以sin cos n v n vθϕ⋅==特别地 0=ϕ时，2πθ=，α⊥l ；2πϕ=时，0=θ，α⊆l 或α//l 。
（3）二面角的求法：①从平面的法向量考虑，设 21,n n 分别为平面βα,的法向量，二面角β--αl 的大小为θ，向量21,n n 的夹角为ϕ，则有π=ϕ+θ或 ϕ=θ（图5）,所以1212cos n n n n ϕ⋅=⋅ 。
θωαlvnωθαvln因为二面角的大小有时为锐角、直角，有时也为钝角。
所以在计算之前不妨先依题意判断一下所求二面角的范围，然后根据计算取“相等角”或取“补角”。
②如果AB 、CD 分别是二面角l αβ--的两个面内与棱l 垂直的异面直线，则二面角的大小为,AB CD 〈〉。
三.例题与练习：例1.如右下图，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知4AB =，3AD =，12AA =,E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且1EB FB == ，求直线1EC 与1FD 所成的角。
高中数学《空间角的求法》课件1 北师大版必修2
∴ DE (3, 3, 0) , EC1 (1, 3, 2)
设平面 C1DE 的一个法向量 n ( x, y, z) ，
则
n n
DE EC1
3x 3y 0 x 3y 2z
0
设直线 CE 与平面 C1DE 所成的角为 ,
则 sin cos n, EC1 = n EC =
n EC
4 2 15 6 10 15
∴直线 CE 与平面 C1DE
所成 的角的正弦值为
2 15 15
.
第五页，共9页。
练习 2(全品 P95例3) 如图,直三棱柱 ABC ─A1B1C1 中,
a
lb
(1) cos cos n1 , n2
关键是求法向量,
另外还要注意角 的范围.
(2) a, b
其中 a, b 如图所示.
第二页，共9页。
练习 1(全品 P94 例 3)如图,在长方体 ABCD─A1B1C1D1 中,
已知 AB 4, AD 3, AA1 2, E 分别是线段 AB 、BC 上的
高中数学《空间角的求法》课件1 北师大 版必修2
2023/5/16
生产计划部
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第 46 讲空间角的求法(下)
空间角的计算:
三、二面角 ─ l ─ :0,
n 2 几何法: (利用垂线)作→证→求(三角形的计算)
P
n 1 利用垂线来作二面角,通常是“作一证一”的思路.
A
lO
向量法:
CC1 CB CA 2 , AC CB ,
A1
D 、E 分别是棱 C1C 、B1C1 的中点.
立体几何专题——空间角
立体几何专题：空间角第一节：异面直线所成的角一、基础知识1.定义： 直线a 、b 是异面直线，经过空间一交o ，分别a ΄//a ，b ΄//b ，相交直线a ΄b ΄所成的锐角（或直角）叫做。
2.范围： ⎥⎦⎤⎝⎛∈2,0πθ3.方法： 平移法、问量法、三线角公式（1）平移法：在图中选一个恰当的点（通常是线段端点或中点）作a 、b 的平行线，构造一个三角形，并解三角形求角。
（2）向量法：可适当选取异面直线上的方向向量，利用公式ba b a b a ⋅=><=,cos cos θ求出来方法1：利用向量计算。
选取一组基向量，分别算出 b a ⋅，a ，b 代入上式 方法2：利用向量坐标计算，建系，确定直线上某两点坐标进而求出方向向量),,(111z y x a =),,(222z y x b =222222212121212121cos z y x z y x z z y y x x ++++++=∴θ（3）三线角公式 用于求线面角和线线角 斜线和平面内的直线与斜线的射影所成角的余弦之积等于斜线和平面内的直线所成角的余弦 即：θθθcos cos cos 21= 二、例题讲练例1、（2007年全国高考）如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中， 12AA AB =，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为 例2、在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，已知AB=a ，BC=)(b a b >,AA 1=c ，求异面直线D 1B 和AC 所成的角的余弦值。
方法一：过B 点作 AC 的平行线（补形平移法） 方法二：过AC 的中点作BD1平行线方法三：（向量法）例3、 已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB DC ，⊥=∠PA DAB ,90 底面ABCD ，且12PA AD DC ===，1AB =，M 是PB 的中点（Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ； （Ⅱ）求AC 与PB 所成的角；例4、 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，3AB =，1BC =，2PA =， E 为PD 的中点求直线AC 与PB 所成角的余弦值；AB1B 1A 1D 1CCDOBB1A1AC1D CD1ϕ2ϕ1c b aθPαO AB1.正方体的12条棱和12条 面对角线中，互相异面的两条线成的角大小构成的集合是。
空间角及其计算ppt课件
二面角的平面角：在二面角的棱 AB 上任取一点 O，过 O
分别在二面角的两个面α，β 内作与棱垂直 的射线 OA，OB，我们把 ∠AOB 叫作
二面角 α-l-β 的平面角，用它来度量二面角
的大小．
二面角 θ 的取值范围为 θ∈ [0°，180°] .
平面角是直角的二面角叫作 直二面角
2×2×1×cos 60°＝3，所以 BD＝ 3，所以 B1D1＝ 3.
又 AB1 与 AD1 所成的角即为 AB1 与 BC1 所成的角 θ ，
所以
cos
θ＝AB221×＋AABD1×12－ABD11D21＝2×5＋25－×3
＝ 2
10 5.
答案:C
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
因此，BC⊥PC，
在 Rt△PCB 中，PB＝ PC2＋BC2＝ 13，
在
Rt△PEB
中，sin∠PBE＝PPEB＝
39 13 .
所以直线
PB
与平面
ABCD
所成的角的正弦值为
39 13 .
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
【变式探究】
1．(2017·新课标卷Ⅱ)已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 中， ∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为( )
C．120°
D．60°或 120°
解：∠FEG 为两异面直线 AD 与 BC 所成的角或其补角．
空间向量的应用 求空间角与距离 公开课一等奖课件
[点评与警示]
1.在难以建空间直角坐标系的情况下，
可用平移的方法求异面直线所成的角． 2．利用空间向量求两异面直线所成角，是通过两条直 线的方向向量的夹角来求解，而两异面直线所成角范围为 θ π ＝[0，2]，两向量夹角 α 的范围是[0，π]，要注意两者的区 别．cosθ＝|cosα|.
如图所示，在棱长为 2 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中， O 是底面 ABCD 的中心，E、F 分别是 CC1、AD 的中点，那 么异面直线 OE 和 FD1 所成角的余弦值等于( 10 A. 5 4 C.5 15 B. 5 2 D.3 )
[解析] 所成的角，
连接 A1C1，则∠AC1A1 为 AC1 与平面 A1B1C1D1
AB＝BC＝2⇒A1C1＝AC＝2 2，又 AA1＝1 ∴AC1＝3⇒sin∠AC1A1 AA1 1 ＝AC ＝3，故选 D. 1
[答案] D
2 ．(2009· 江西，9) 如图，正四面体 ABCD 的顶点 A， B ， C
[解析]
如图所示，建立空间直角坐标系，则 D1(0,0,2)，
F(1,0,0)，O(1,1,0)，E(0,2,1)，设 OE 和 FD1 所成的角为 θ， 则 cosθ＝|cos〈OE，FD1〉| OE· FD1 15 ＝ → ＝ . → 5 |FD1| |OE|·
→ → → →
→ →
(2)设n1、n2是二面角α－l－β的两个角α、β的法向量，则向 量n1与n2的夹角(或其补角)就是二面角的平面角的大小(如图 (b)(c)所示)．
4．利用空间向量求空间距离 (1)点面距离的求法 已知 AB 为平面 α 的一条斜线段，n 为平面 a 的法向量， |AB· n| 则 B 到平面 α 的距离为|BO|＝ |AB|· |cos〈AB，n〉|＝ |n| .
用空间向量求空间角课件(共22张PPT)
1
M
2 x 0 z 0 即 取z =2得x=1，y = - 2 2 x 2 y z 0 A
D O B
C
y
所以平面B1MA的一个法向量为 n (1， 2， 2) 1 2 4 6 cos B1O， n 6 6 9
x
由图可知二面角为锐角
6 所以二面角B1 MA C的余弦值为 。 6
即为两直线的夹角；当向量夹角为钝角时，两直线的夹角为向
量夹角的补角．
直线和直线在平面内的射影所成的角， 二、线面角： 叫做这条直线和这个平面所成的角.
[0, ] 直线与平面所成角的范围：
A
2
n
思考：如何用空间向量的夹角 表示线面角呢？
B
O
结论： sin
| cos n, AB |
立体几何中的向量方法 ——空间“角”问题
空间的角常见的有：线线角、线面角、面面角
复习回顾
• 直线的方向向量:两点 • 平面的法向量：三点两线一方程 • 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) 则(1)a·b＝ a1b1＋a2b2＋a3b3 .
复习回顾
• 设直线l1、l2的方向向量分别为a、b，平面α、β的 法向量分别为n1、n2.
10 5
所以直线SA与OB所成角余弦值为
课堂小结：
1.异面直线所成角：
C
D
cos sin
|cos CD, AB | | cos n, AB |
A
B
D1
A
O
2.直线与平面所成角： 3.二面角：
n
B
n2
《空间角的计算》课件
计算示例
通过具体的示例来理解空间角的计算方法。例如，在已知两个向量的情况下， 我们可以求解它们之间的夹角；又或者在已知三个点的坐标时，我们可以计 算它们围成的空间角。
总结
通过比较不同的计算方法，我们可以了解空间角的重要性和不同计算方法的优缺点。学习空间角对于提高相关 领域的数学能力具有重要意义。
《空间角的计算》PPT课 件
这是一份关于《空间角的计算》的PPT课件，旨在通过生动的图片和清晰的解 释，向大家介绍空间角的定义、计算方式、关系以及其在物理和工程中的应 用。
什么是空间角
空间角是三维空间中两个向量之间的夹角称为空间角。它可以通过向量的内积或两度和空间角之间存在着密切的关系。角度通常使用度数或弧度来表示，并且可以与空间角进行转换。此外， 定向角度和不定向角度也有着不同的概念和用途。
空间角的应用
空间角在物理学和工程中有着广泛的应用。在物理学中，它可以描述物体的 运动和力的方向。在工程中，它可以用于测量和设计三维结构。
空间角的计算方法
空间角的计算可以使用空间直角坐标系的方法、三点坐标法或两向量夹角法。每种方法都有其适用的场景和计 算方式。
浅析空间角的求解方法
1.找
又AM
( 2a)2 ( a)2 2
3a 2 , AC1
在RtΔAMC1中，cos C1AM
AM AC1
( 2a)2 a2 3a.
3, 2
C1 AM
π .2.证
6
AC
1与侧面ABB1
A1所成的角为
π 6
.
3.计算
解法2：(向量法)设O、O1分别是AC、A1C1的中点，则
OO1，AC，OB两两互相垂直，故可建立如z 图所示的
0 ,
得
x2
z2
0 ,
n2 MN 0
y2 z2 0
令x2 1,得n2 (1, 1, 1).
n1 n2 1 1 1 ( 1) 1 ( 1) 1,
| n1 | | n2 | 3,
cos n1, n2
n1 n2
1
| n1 | | n2 | ( 3)2
1. 3
平面MNA与平面MNB所成的锐二面角的余弦值是 1 . 3
x
AE AP PE ( 2t,t,1 t),
E
y
F
CF CB BF ( 2 2m, m, m),
由AE PB 0,CF PB 0,得
2t t 1 t 0 2 2m m m
,解得t 0
1,m 4
1. 2
AE ( 2 , 1 , 3),CF ( 2 , 1 , 1),
4 44
2 22
AE CF 1 ,| AE | 3 ,| CF | 1,
浅析空间角的求解方法
制作：温抗美 昭通市民族中学
一、重要知识点
1.求异面直线所成的角
（1）几何法
根据定义，通常用“平移转化” 的方法，通过平移 一条或两条直线，使之成为相交直线所成的角，然 后通过解三角形获解.（空间角转化成平面角）
求空间角的常用方法PPT课件
故选B．
点评 这里将点O到面 ABC1D1 的距离转化为点 A1 到面 ABC1D1 的距离，比直接求O
到平面ABC1D1 的距离要简单得多 。
第17页/共27页
【例8】 如图1-15，CD，AB是两条异面直线，它们夹在两平行平面 和 间的 部分AB，CD在平面 内的射影分别是12cm和2cm，它们与平面 的交角之差 的绝对值是45o ，求AC与BD之间的距离．
2
2
第10页/共27页
2
PE
PD2 DE2
a2
3 2
a
7a 2
EF
FD2 ED2
a 2
2
3 2
a
2
a
PE 2 EF 2 PF 2
cos PEF 2PF·EF
7 2
2
a
a2
a 2
2
2 7 aa
＝
7 4
＋1－
1 4
＝
5
7
2
7
14
∴二面角P-AB-F的平面角的余弦值为 5 7 14
∵O为底面中心，
∴O为BD中点，从而FO为△DAB的中位线．
∴FO ∴MO
1 AB 2
D1F
D1M ∴四边形 D1FOM 为平行四边形． 故∠MOE(或其补角)即为异面直线 D1F 和OE所成的角．
在△MOE中，OM D1F 22 1 5 ME 2
OE EC2 OC2 1 ( 2)2 3
则
FG
＝(－1，1，＋1)，A1 E
＝(－1，0，－1)，
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∴ FG A1E 1 0 1 0 FG A1E 选D．
点评 连B1G，B1F 运用平移法及勾股定理的逆定理当然也很简单，这里主要是强调 空间向量法的运用．
第七节第一课时空间角的求法
数学
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第七节 立体几何中的空间向量方法
解析：如图所示，以点 A 为坐标原点，建立空间直角坐标系 A－xyz， 则 A(0,0,0)，P(0,0,2)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)．∵AM⊥PD， PA＝AD， ∴M 为 PD 的中点，∴M 的坐标为(0,1,1)． ∴ AC ＝(1,2,0)， AM ＝(0,1,1)，CD＝(－1,0,0)． 设平面 ACM 的一个法向量为 n＝(x，y，z)， 由 n⊥ AC ，n⊥ AM 可得xy＋＋z2＝y＝0 0 ，
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第七节 立体几何中的空间向量方法
解析：如图建立空间直角坐标系，设 AB ＝EF＝CD＝2，∵AE∶DE∶AD＝1∶1∶
2 ， 则 E(0,0,0) ， A(1,0,0) ， F(0,2,0) ， C(0,2,1)，∴ AF ＝(－1,2,0)，EC ＝(0,2,1)， ∴cos〈 AF ， EC 〉＝45， ∴AF 与 CE 所成角的余弦值为45. 答案：45
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第七节 第一课时 空间角的求法
思 (1)将线线垂直的证明转化为证线面垂直.
路 一
(2)按“一作二证三求”的步骤求解.
[解] 法一：(1)证明：如图 1，因为 BB1⊥平面 ABCD，AC
⊂平面 ABCD，所以 AC⊥BB1.
又 AC⊥BD，所以 AC⊥平面 BB1D.
而 B1D⊂平面 BB1D，所以 AC⊥B1D.
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第七节 第一课时 空间角的求法
16届HW高三复习课件空间角的求法
二面角的范围： [0, ] 注:二面角是空间图形，平面角是平面图形。 在书写时不要写成“∠AOB为所求二面角”， 而应写成∠ AOB为二角 l 的平面角”. 2.求法：几何法 向量法 （1）几何法：将二面角转化为其平面角，要掌 握以下三种基本做法 ①直接利用定义，图4（1）， 在棱上取点，分别在两面内 引两条射线与棱垂直，这两条 垂线所成的角的大小就是 二面角的平面角。
1
1
D1
几何法：作、证、求。
C A
D B
例题探究： 如图，正三棱柱（侧棱与底面垂直且底面为正三角形）ABC— A1B1C1的底面边长为a,侧棱长为 2a 1）求AC1和CB1的夹角，
法３：基向量法： 1、在图形中取一组基底. 2、利用基底表示两直线的方向向量，利用两向量的夹 角公式求之. C
1
A1
AC1 (
C1 B1
3 2 a AC1 CB1 1 2 2 cos AC1 , CB1 2 | AC1 | | CB1 | 3a
a, a, 2a), CB1 ( a, a, 2a) 2 2 2 2
线面角等于直线的方向向量与平面的法向量所 成角或其补角的余角.
h （3）利用公式 sin l 其中： 是斜线与平面所成的角，
h 是垂线段的长，
l 是斜线段的长，其中出垂线段的长
（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难 点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的 长.
三、二面角: (1)定义：由一条直线出发的两个半平面所组成的 图形叫做二面角. (2)二面角的平面角 如图在二面角 αlβ 的棱上任取一点 O，以点 O 为 垂足， 在半平面 α 和 β 内分别作垂直于棱 l 的射线 OA 和 OB，则∠AOB 叫做二面角的平面角．
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做二面角 -l- 的平面角
3、二面角的大小
二面角的大小可以用它的平面角来度量．
即二面角的平面角是多少度，就说这个二面角
是多少度．
① 二面角的两个面重合： 0o； ② 二面角的两个面合成一个平面：180o；
二面角的范围：[ 0o, 180o ]．
题型一：求异面直线所成的角 典例分析
例1、如图，正方体ABCD-EFGH中,O为侧面ADHE的中心，求 (1)BE与CG所成的角？ (2)FO与BD所成的角？
反思提高：
直线与平面所成角的步骤：
(1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，将空间角(斜线 与平面所成的角)转化为平面角(两条相交直线所成的锐角)， 作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足(有 时可以是两垂足)作直线. (2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角. (3)计算：通常在垂线段，斜线段和射影所组成的直角 三角形中计算.
郸城县第三高级中学
齐飞
课标解读：
• 1、会用异面直线所成角的定义找出或作出 异面直线所成的角，并求出该角。 • 2、理解直线与平面所成角的概念，并能解 决简单的线面角问题。 • 3、理解二面角的有关概念，会求简单二面 角平面角的大小。
基本知识点：
• 一、异面直线所成的角 • 1、定义：
• 直线a、b是异面直线,在空间任选一点O,分别引直 线a' //a, b'// b,我们把相交直线a' 和 b'所成的锐角 （或直 角）叫做异面直线所成的角。90。G源自题型二：求直线与平面所成的角
典例分析
• 例2： 如图，正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平 面互相垂直，M、N分别是EC、AD的中点. • (1)求证：平面EFDC⊥平面ECB； • (2)求直线MN与平面ABCD所成的角的正切值.
【解】
(1)∵ABCD为正方形，∴AB⊥BC，
p
三、二面角 1、二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面 角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角 的面．
2、二面角的平面角
在二面角-l-的棱l上任取
一点O，如图，在半平面 和
l O
B A
内，从点 O 分别作垂直于棱
l 的射线OA、OB，射线OA、 OB组成∠AOB．则 ∠AOB 叫
又ABEF为正方形，∴AB⊥BE，∴AB⊥平面ECB. 又∵CD∥AB，∴CD⊥平面ECB， 而CD⊂平面EFDC，∴平面EFDC⊥平面ECB. （2）取BC的中点P，连接MP,NP。 ∵ABEF为正方形，∴EB⊥AB。 ∴ EB⊥平面ABCD ∵M、P分别是EC、BC的中点，∴MP ∥ EB 即 MP⊥平面ABCD. ∴∠MNP是直线MN与平面ABCD所成的角。 在Rt MPN中，∠MPN=90。 ∴tan∠MNP=0.5
题型三：求平面与平面所成的角
典例分析
例3、 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角 B1-AC-B大小的正切值.
C1 B1 C
D1 A1 D
O
B
A
反思提高：
利用定义法求二面角大小的步骤为：
（1）找出：找出或作出二面角的平面角；
（2）证明：其符合定义(垂直于棱)；
（3）计算：构造三角形求出该角。
• •
2、异面直线所成角的范围： 。 。 (0 ，90 ]
二、直线和平面所成的角
直线和平面所成的角，应分三种情况： 1.直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指这条直线和 它在平面上的射影所成的 锐角 ； 2.直线和平面垂直时，直线和平面所成角的大小为 90°； 3.直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成角的大小 为0° . 显然，直线和平面所成的角的范围为[0°， 90 ° ].
当堂训练（限时10分钟）
1:求下图正方体中每对异面直线所成的角
1. A1B与D1C1 4. A1B与C1D 7. A1B与B1C D1 C1 2. A1B与C1C 5. A1B与B1D1 A1 3. A1B与CD 6. B1B与AD B1
D A B C
H
G F
E
O
D A B
C
反思提高：
• 你能总结求异面直线所成角的步骤吗？
求异面直线所成的角的步骤是: 一作(找)：作（或找）平行线 二证：证明所作的角为所求的异 面直线所成的角。
三求：在一恰当的三角形中求出角
比一比，试一试
典例分析
变式一：如图所示,在空间四边形ABCD中,AD=BC=2,E ､F分别是AB､CD的中点.若 EF 2, 求AD､BC所成 的角.