(完整word版)2018年考研数学一真题.docx

2018 年全国硕士研究生入学统一考试数学( 一) 试卷

一、选择题：1~8小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的（ 1 ）下列函数中，在x 0 处不可导的是（）

(A) f x x sin x(B)f x x sin x

(C)f x cos x(D)f x cos x

（ 2 ）过点1,0,0 , 0,1,0 ，且与曲面z

x2y2相切的平面为（）

(A)z 0与

x y z1(B)z0与 2x2 y z2

(C)x y与x y z1(D)x y与2x2 y z2

（ 3 ）1n 2n3

（）2n 1 !

n 0

(A)sin1cos1(B)2sin1cos1 (C)2sin12cos1(D)2sin13cos1

2

（ 4 ）设M21x2dx, N21x x

dx, K 2 1cosx dx, 则（）

2

1x2e2

(A) M N K(B) M K N

(C) K M N(D)K N M

110

（ 5 ）下列矩阵中与矩阵01 1 相似的为（）

001

111101

(A)011(B)011

001001

111101

(C)010(D)010

001001

（ 6 ）设A、B为n阶矩阵，记

r X为矩阵 X的秩， X ,Y表示分块矩阵，则（）(A)r A, AB r A(B)r A, BA r A

(C)r A, B max r A , r B(D)r A, B r A T B T

（ 7 ）设随机变量X的概率密度f x满足 f 1 x f1

2

0.6,则 P X 0

x , 且 f x dx（）0

(A)

0.2

(B) 0.3

(C) 0.4

(D) 0.5

（ 8 ）设总体 X 服从正态分布 N

, 2 , X , X , , X n 是来自总体 X 的简单随机样本，据此样本检测：

1

2

假设： H 0： = 0， H 1：

0，则 （

）

(A) 如果在检验水平

=0.05下拒绝 H 0，那么在检验水平 =0.01下必拒绝 H

(B) 如果在检验水平 =0.05下拒绝 H 0，那么在检验水平 =0.01必接受 H 0

(C) 如果在检验水平 =0.05下接受 H 0，那么在检验水平

=0.01下必拒绝 H

(D) 如果在检验水平

=0.05下接受 H 0，那么在检验水平

=0.01下必接受 H 0

二、填空题： 9~14

小题，每小题 4 分，共 24 分。

1 tan x

1

sin kx

__________.

（ 9 ） 若 lim tan x

e, 则 k

x

1

（ 10 ） 设函数 f

x 具有 阶连续导数，若曲线 y f x 过点

0,0

且与曲线 y

x

在点

1,2 处

2

2

1 x dx

__________.

相切，则

xf

（ 11 ） 设F ( x, y,

z)

xyi

yz j zxk, 则rotF 1,1,0

.

（ 12 ） 设 为球面 2

2

2

与平面 的交线，则

.

L

x

y

z

1 x y z 0 L xyds

（ 13 ） 设 2阶矩阵 A 有两个不同特征

值， 1 ,

2是 A

的线性无关的特征向量，且满足

A

2

12

=

12

，

则 A

.

（ 14 ） 设随机事件 A 与 B 相互独立， A 与C 相互独立， BC = ，若

P A P B

1

, P AC AB C

1 ,

2

4

则 P C

.

三、解答题： 15~23 小题，共 94 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（ 15 ）（本题满分 10 分）

求不定积分

e 2 x arctan e x 1dx.

（ 16 ）（本题满分10 分）

将长为 2m的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形. 三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在，求出最小值.

（17 ）（本题满分 10 分）

设是曲面 x 1 3y2 3z2的前侧，计算曲面积分

I = xdydz y3 2 dzdx z3 dxdy.

（ 18 ）（本题满分10 分）

.

已知微分方程y y f ( x),其中 f ( x)是 R上的连续函

数

（ I）若f ( x)x, 求方程的通解；

T 为周期的解.

（ II）若f (x)是周期为T的函数，证明：方程存在唯一的

以

（ 19 ）（本题满分10 分）

设数列 x n满足： x1 0, x n e x n 1e x n 1(n 1,2, ), 证明 x n收敛，并求 lim x n .

n